POLYTOPES DE MAYER ET DE REE-HOOVER
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- Maurice Raymond
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1 POLYTOPES DE MAYER ET DE REE-HOOVER Amel Kaouche Université de Moncton, Canada 24 mars 2015 En collaboration avec Gilbert Labelle, Université du Québec à Montréal 1
2 CONTENU DE L EXPOSÉ Fonctions de poids de Mayer et de Ree-Hoover pour les graphes 2
3 CONTENU DE L EXPOSÉ Fonctions de poids de Mayer et de Ree-Hoover pour les graphes Interprétation des poids en termes de volumes signés de polytopes 3
4 CONTENU DE L EXPOSÉ Fonctions de poids de Mayer et de Ree-Hoover pour les graphes Interprétation des poids en termes de volumes signés de polytopes Méthodes des homomorphismes de graphes 4
5 CONTENU DE L EXPOSÉ Fonctions de poids de Mayer et de Ree-Hoover pour les graphes Interprétation des poids en termes de volumes signés de polytopes Méthodes des homomorphismes de graphes Formules explicites pour certaines familles infinies de graphes 5
6 CONTENU DE L EXPOSÉ Fonctions de poids de Mayer et de Ree-Hoover pour les graphes Interprétation des poids en termes de volumes signés de polytopes Méthodes des homomorphismes de graphes Formules explicites pour certaines familles infinies de graphes Poids de Mayer des graphes bipartis complets 6
7 V GAZ PARFAIT N particules ponctuelles sans interaction P kt = N V (formule classique) 7
8 V GAZ PARFAIT N particules ponctuelles sans interaction P kt = N V (formule classique) V GAZ IMPARFAIT N particules non ponctuelles avec interaction P kt = V N + β 2( V N)2 + β 3 ( V N)3 + (développement du viriel) 8
9 POIDS DE REE-HOOVER VERSUS POIDS DE MAYER 9
10 DÉVELOPPEMENT DU VIRIEL Développement du viriel: P kt = N ( ) N 2 ( ) N 3 V + β 2 + β 3 + V V 10
11 DÉVELOPPEMENT DU VIRIEL Développement du viriel: P kt = N ( ) N 2 ( ) N 3 V + β 2 + β 3 + V V P : pression k : constante T : température N : nombre de particules V : Volume 11
12 DÉVELOPPEMENT DU VIRIEL Développement du viriel: P kt = N ( ) N 2 ( ) N 3 V + β 2 + β 3 + V V P : pression k : constante T : température N : nombre de particules V : Volume Coefficient du viriel: β n = 1 n n! w M (b) b B[n] B[n]= l ensemble des graphes 2 connexes (blocs) sur [n] 12
13 POIDS DE MAYER DE GRAPHES Poids de graphes: fonctions sur les graphes invariantes sous les réétiquetages des sommets Poids de Mayer: w M (c)= (R d ) n 1 {i, j} c f( x i x j ) d x 1 d x n 1 13
14 POIDS DE MAYER DE GRAPHES Poids de graphes: fonctions sur les graphes invariantes sous les réétiquetages des sommets Poids de Mayer: avec x n = 0 w M (c)= (R d ) n 1 {i, j} c c : graphe connexe avec n sommets x 1,..., x n R d : positions des n particules f( x i x j ) d x 1 d x n 1 f = f(r) : fonction à valeurs réelles associée à l interaction des particules deux-à-deux 14
15 POIDS DE REE-HOOVER DE GRAPHES Poids de Ree-Hoover: w RH (b)= (R d ) n 1 {i, j} b f( x i x j ) {i, j} b f( x i x j ) d x 1 d x n 1 15
16 POIDS DE REE-HOOVER DE GRAPHES Poids de Ree-Hoover: w RH (b)= avec x n = 0 (R d ) n 1 {i, j} b f( x i x j ) {i, j} b b : graphe 2-connexe avec n sommets f(r)=1+ f(r) b=k n \b : graphe complémentaire de b f( x i x j ) d x 1 d x n 1 16
17 RELATION ENTRE w M ET w RH Pour tout graphe 2-connexe b, on a w RH (b) = b d K n w M (d) (par définition) 17
18 RELATION ENTRE w M ET w RH Pour tout graphe 2-connexe b, on a w RH (b) = b d K n w M (d) (par définition) w M (b)= b d K n ( 1) e(d) e(b) w RH (d) (par inversion de Möbius) 18
19 RELATION ENTRE w M ET w RH Pour tout graphe 2-connexe b, on a w RH (b) = b d K n w M (d) (par définition) w M (b)= b d K n ( 1) e(d) e(b) w RH (d) (par inversion de Möbius) w M (b) = b d K n w RH (d) (dans le cas d un gaz à noyaux durs) 19
20 DÉVELOPPEMENT DU VIRIEL Développement du viriel: P kt = N ( ) N 2 ( ) N 3 V + β 2 + β 3 + V V 20
21 DÉVELOPPEMENT DU VIRIEL Développement du viriel: P kt = N ( ) N 2 ( ) N 3 V + β 2 + β 3 + V V Coefficient du viriel: β n = 1 n n! w M (b) b B[n] (Mayer) = 1 n n! a n (b)w RH (b) (Ree Hoover) b B[n] 21
22 GAZ À NOYAUX DURS EN UNE DIMENSION 22
23 CAS SPÉCIAL : GAZ À NOYAUX DURS POUR d = 1 Particules dures dans V =[ v 2, v 2 ] V x 2 x 1 x 3 f(x,y) = χ( x y <1) f(x,y) = χ( x y 1) 23
24 CAS SPÉCIAL : GAZ À NOYAUX DURS POUR d = 1 Particules dures dans V =[ v 2, v 2 ] V x 2 x 1 x 3 f(x,y) = χ( x y <1) f(x,y) = χ( x y 1) w M (b)=( 1) R e(b) χ( x i x j <1) dx 1...dx n 1 n 1 {i, j} b 24
25 CAS SPÉCIAL : GAZ À NOYAUX DURS POUR d = 1 Particules dures dans V =[ v 2, v 2 ] V x 2 x 1 x 3 f(x,y) = χ( x y <1) f(x,y) = χ( x y 1) w M (b)=( 1) R e(b) χ( x i x j <1) dx 1...dx n 1 n 1 {i, j} b w RH (b)=( 1) R e(b) χ( x i x j <1) n 1 {i, j} b χ( x i x j 1) dx 1...dx n 1 {i, j} b 25
26 POIDS DE MAYER ET VOLUME DE POLYTOPES w M (c) = ( 1) R e(c) χ( x i x j <1)dx 1...dx n 1, x n = 0 n 1 {i, j} c = ( 1) e(c) Vol(P(c)) 26
27 POIDS DE MAYER ET VOLUME DE POLYTOPES w M (c) = ( 1) R e(c) χ( x i x j <1)dx 1...dx n 1, x n = 0 n 1 {i, j} c = ( 1) e(c) Vol(P(c)) où P(c) = {X R n x n = 0 et x i x j 1 {i, j} c} 27
28 POIDS DE MAYER ET VOLUME DE POLYTOPES w M (c) = ( 1) R e(c) χ( x i x j <1)dx 1...dx n 1, x n = 0 n 1 {i, j} c = ( 1) e(c) Vol(P(c)) où P(c) = {X R n x n = 0 et x i x j 1 {i, j} c} Exemple x 2 3 C: P(c): x
29 POIDS DE REE-HOOVER ET POLYTOPES w RH (b) = ( 1) R e(b) χ( x i x j <1) n 1 {i, j} b = ( 1) e(b) Vol(P RH (b)) χ( x i x j 1) dx 1...dx n 1, x n = 0 {i, j} b 29
30 POIDS DE REE-HOOVER ET POLYTOPES w RH (b) = ( 1) R e(b) χ( x i x j <1) n 1 {i, j} b = ( 1) e(b) Vol(P RH (b)) χ( x i x j 1) dx 1...dx n 1, x n = 0 {i, j} b où P RH (b) = {X R n x n = 0 et x i x j 1 {i, j} b, x i x j 1 {i, j} b} 30
31 MÉTHODE DES HOMOMORPHISMES DE GRAPHES w M (c) = ( 1) R e(c) χ( x i x j <1)dx 1...dx n 1, x n = 0 n 1 {i, j} c = ( 1) e(c) Vol(P(c)) 31
32 MÉTHODE DES HOMOMORPHISMES DE GRAPHES w M (c) = ( 1) R e(c) χ( x i x j <1)dx 1...dx n 1, x n = 0 n 1 {i, j} c = ( 1) e(c) Vol(P(c)) où P(c) = {X R n x n = 0 et x i x j 1 {i, j} c} 32
33 MÉTHODE DES HOMOMORPHISMES DE GRAPHES w M (c) = ( 1) R e(c) χ( x i x j <1)dx 1...dx n 1, x n = 0 n 1 {i, j} c = ( 1) e(c) Vol(P(c)) où P(c) = {X R n x n = 0 et x i x j 1 {i, j} c} Exemple x 2 3 C: P(c): x
34 MÉTHODE DES HOMOMORPHISMES DE GRAPHES w M (c) = ( 1) R e(c) χ( x i x j <1)dx 1...dx n 1, x n = 0 n 1 {i, j} c = ( 1) e(c) Vol(P(c)), où P(c) = {X R n x n = 0 et x i x j 1 {i, j} c} Exemple x 2 3 C: P(c): x
35 MÉTHODE DES HOMOMORPHISMES DE GRAPHES Représentation fractionnaire: x i = h i + ξ i h i : partie entière de x i ξ i : partie fractionnaire de x i 35
36 MÉTHODE DES HOMOMORPHISMES DE GRAPHES Représentation fractionnaire: x i = h i + ξ i h i : partie entière de x i ξ i : partie fractionnaire de x i 3 2 h i = 1 x i 0 1 ξ=0 ξ=1 ξ i 36
37 MÉTHODE DES HOMOMORPHISMES DE GRAPHES x i x j <1 37
38 MÉTHODE DES HOMOMORPHISMES DE GRAPHES x i x j < x i x j 1 x i 0 0 x j
39 MÉTHODE DES HOMOMORPHISMES DE GRAPHES Idée [Bodo Lass]: Évaluer le volume du polytope P(c) en le décomposant en ν(c) simplexes (valides) chacun de volume 1 (n 1)! 39
40 MÉTHODE DES HOMOMORPHISMES DE GRAPHES Idée [Bodo Lass]: Évaluer le volume du polytope P(c) en le décomposant en ν(c) simplexes (valides) chacun de volume 1 (n 1)! Comment: Ces simplexes sont classifiés en fixant les parties entières (h 1,h 2,,h n ) et les positions relatives des parties fractionnaires (ξ 1,ξ 2,,ξ n ) des coordonnées des points X =(x 1,x 2,,x n ) P(c) 40
41 MÉTHODE DES HOMOMORPHISMES DE GRAPHES h 1 = 0 2 x 4 h 2 = h 3 = 0 h 4 = 2 h 5 = 1 h 6 = x 1 x 2 x x 5 x 6 ξ 4 < ξ 1 < ξ 2 < ξ 5 < ξ 3 < ξ 6 41
42 MÉTHODE DES HOMOMORPHISMES DE GRAPHES CAS DU POIDS DE MAYER Simplexes valides: {i, j} c, ξ i < ξ j implique h i = h j ou h i = h j
43 MÉTHODE DES HOMOMORPHISMES DE GRAPHES CAS DU POIDS DE MAYER Simplexes valides: {i, j} c, ξ i < ξ j implique h i = h j ou h i = h j + 1 Prop [Bodo Lass]: Vol(P(c))= ν(c) (n 1)! où ν(c) = # de simplexes valides de P(c) = # de configurations pour le graphe c 43
44 NOMBRE DE CONFIGURATIONS 3 x 2 C: P(c): x
45 NOMBRE DE CONFIGURATIONS 3 x 2 C: P(c): x x 1 x 2 0 x x 1 x 2 x 3 x 3 x 3 x x 2 x 1 0 x x 2 x 1 x 3 x 3 x 3 x 1 45
46 NOMBRE DE CONFIGURATIONS 3 x 2 C: P(c): x x 1 x 2 0 x x 1 x 2 x 3 x 3 x 3 x x 2 x 1 0 x x 2 x 1 x 3 x 3 x 3 x 1 Le poids de chaque configuration est ( 1)e(c) (n 1)! 46
47 MÉTHODE DES HOMOMORPHISMES DE GRAPHES ADAPTÉE AU CAS DE REE-HOOVER x i x j >1 47
48 MÉTHODE DES HOMOMORPHISMES DE GRAPHES ADAPTÉE AU CAS DE REE-HOOVER x i x j > x i 1 x j 0 0 x i 1 x j 1 48
49 MÉTHODE DES HOMOMORPHISMES DE GRAPHES ADAPTÉE AU CAS DE REE-HOOVER Simplexes RH-valides: {i, j} c, ξ i < ξ j implique h i = h j ou h i = h j + 1, et {i, j} c, ξ i < ξ j implique h i h j 1 ou h i h j
50 MÉTHODE DES HOMOMORPHISMES DE GRAPHES ADAPTÉE AU CAS DE REE-HOOVER Simplexes RH-valides: {i, j} c, ξ i < ξ j implique h i = h j ou h i = h j + 1, et Proposition: {i, j} c, ξ i < ξ j implique h i h j 1 ou h i h j + 2 Vol(P RH (c))= ν RH(c) (n 1)! où ν RH (c) = # de simplexes valides de P RH (c) = # de RH configurations pour le graphe c 50
51 MAYER VERSUS REE-HOOVER Exemple : K 4 \{e} 51
52 POIDS DE MAYER DE K 4 \{e} Polytope P(K 4 \{e}) : w M (K 4 \{e}) = 28 3! =
53 POIDS DE REE-HOOVER DE K 4 \{e} Réunion de polytopes P RH (K 4 \{e}) : w RH (K 4 \{e}) = 4 3! =
54 MAYER VERSUS REE-HOOVER Mayer Ree-Hoover 28 simplexes 4 simplexes 54
55 QUELQUES FORMULES EXPLICITES POUR LES DEUX POIDS 55
56 NOUVELLES FORMULES EXPLICITES : K n \S k Soit S k le graphe k-étoile Le graphe S 4 56
57 NOUVELLES FORMULES EXPLICITES : K n \S k Soit S k le graphe k-étoile Le graphe S 4 Pour k 1, n k+3, on a w M (K n \S k ) = n+2 w RH (K n \S k ) = k j=1 j! ( k) j (n 1)(n 2) (n j) 2k! (n 1)(n 2) (n k) 57
58 LE POIDS DE REE-HOOVER DE K n \S 3 Pour n 3 on a : w RH (K n \S 3 ) = 12 (n 1)(n 2)(n 3) 58
59 LE POIDS DE REE-HOOVER DE K n \S 3 Pour n 3 on a : w RH (K n \S 3 ) = 12 (n 1)(n 2)(n 3) 1 x 1 x 2 x x i 1 1 x i x n 3 1 n 1 x n 2 x 2 x 3 x
60 LE POIDS DE REE-HOOVER DE K n \S 3 Pour n 3 on a : w RH (K n \S 3 ) = 12 (n 1)(n 2)(n 3) 1 x 1 x 2 x x i 1 1 x i x n 3 1 n 1 x n 2 x 2 x 3 x ! (n 4)! RH-configurations 60
61 LE POIDS DE MAYER DE K n \S 3 On a w M (K n \S 3 ) = n+ 6 (n 1) + 12 (n 1)(n 3) 61
62 LE POIDS DE MAYER DE K n \S 3 On a w M (K n \S 3 ) = n+ 6 (n 1) + 12 (n 1)(n 3) En effet w M = K n \S 3 d K n w RH (d) = w RH (K n ) +3 w RH (K n \S 1 ) + = n+3 2 n 1 + ( ) 3 2 = n+ 6 (n 1) + 12 (n 1)(n 3) ( ) 3 w RH (K n \S 2 ) +1 w RH (K n \S 3 ) 2 4 (n 1)(n 2) (n 1)(n 2)(n 3) 62
63 FORMULES EXPLICITES : K n \(S j S k ) Soit (S j S k ) le graphe obtenu en joignant par une nouvelle arête les centres d une j-étoile et d une k-étoile Le graphe S 3 S 4 63
64 FORMULES EXPLICITES : K n \(S j S k ) Soit (S j S k ) le graphe obtenu en joignant par une nouvelle arête les centres d une j-étoile et d une k-étoile Le graphe S 3 S 4 Pour j k 1, n k+ j+ 3, on a w RH (K n \(S j S k )) = w M (K n \(S j S k )) = 2k! j! (n 1)(n 2) (n (k+ j+1)) j+1 [( ) ( )] j+1 k+1 l! 2 + l=1 l l (n 1) (n l) 2 (n 1) j k ( )( ) j k m!l! + 2 m l (n 1) (n (m+l+ 1)) + n m=1 l=1 64
65 FORMULES EXPLICITES : K n \(S j C 4 S k ) Soit (S j C 4 S k ) le graphe obtenu en joignant par une arête du graphe C 4 les centres d une j-étoile et d une k-étoile Le graphe S 3 C 4 S 4 65
66 FORMULES EXPLICITES : K n \(S j C 4 S k ) Soit (S j C 4 S k ) le graphe obtenu en joignant par une arête du graphe C 4 les centres d une j-étoile et d une k-étoile Le graphe S 3 C 4 S 4 Pour j k 1, n k+ j+ 5, on a w RH (K n \(S j C 4 S k )) = 2k! j! (n 1)(n 2) (n (k+ j+ 3)) 66
67 FORMULES EXPLICITES : K n \(S j C 4 S k ) j+2 [( ) ( )] j+2 k+2 l! w M (K n \(S j C 4 S k )) = n+ 2 + l=1 l l (n 1) (n l) 8 + (n 1)(n 2) + 10 (n 1)(n 2)(n 3) j [( ) ( )] j k l! l=1 l l (n 1) (n (l+ 3)) ( )( ) j k m!l! j m=1 j+1 2 l=1 j+1 m=1 k l=1 2 m l (n 1) (n (m+l+ 3)) [( ) ( )] j+1 k+1 l! + l l (n 1) (n (l+ 2)) ( )( ) j+1 k+1 k+1 2 l=1 m l m!l! (n 1) (n (l+ 1)) 67
68 FORMULES EXPLICITES : K n \P k Soit P k la chaîne sur l ensemble [k] Le graphe P 6 68
69 FORMULES EXPLICITES : K n \P k Soit P k la chaîne sur l ensemble [k] Le graphe P 6 Pour k=3, n 5, on a K n \P 3 = K n \S 2 69
70 FORMULES EXPLICITES : K n \P k Soit P k la chaîne sur l ensemble [k] Le graphe P 6 Pour k=3, n 5, on a K n \P 3 = K n \S 2 Pour k=4, n 5, on a K n \P 4 = K n \S 1 S 1 70
71 FORMULES EXPLICITES : K n \P k Soit P k la chaîne sur l ensemble [k] Le graphe P 6 Pour k=3, n 5, on a K n \P 3 = K n \S 2 Pour k=4, n 5, on a K n \P 4 = K n \S 1 S 1 Pour k 5, n k+1, on a w M (K n \P k ) = n+ 2(k 1) (n 1) + 4(k 2) (n 1)(n 2) + w RH (K n \P k ) = 0 2(k 3) (n 1)(n 2)(n 3) 71
72 GRAPHES BIPARTIS COMPLETS, POIDS DE MAYER ET DE R-H VERSUS INVARIANTS DE GRAPHES 72
73 GRAPHES BIPARTIS COMPLETS 1 m+1 w M (K m,n )=( 1) mn 2m+n 1 m!n! (m+n 1)!. 2. m+2 m m+n 73
74 GRAPHES BIPARTIS COMPLETS 1 m+1 w M (K m,n )=( 1) mn 2m+n 1 m!n! (m+n 1)!. 2. m+2 m m+n Preuve: Évaluation de l intégrale définissant ce poids (par des changements de variables) 74
75 GRAPHES BIPARTIS COMPLETS 1 m+1 w M (K m,n )=( 1) mn 2m+n 1 m!n! (m+n 1)!. 2. m+2 m m+n Preuve: Évaluation de l intégrale définissant ce poids (par des changements de variables) Dénombrement de certains arrangements planaires spéciaux de points noirs et blancs (+ fonctions Bêta incomplètes) 75
76 GRAPHES BIPARTIS COMPLETS 1 m+1 w RH (K m,n )= m+2 m m+n 76
77 GRAPHES BIPARTIS COMPLETS 1 m+1 w RH (K m,n )= m+2 m m+n 77
78 MERCI MERCI MERCI MERCI MERCI MERCI MERCI MERCI MERCI MERCI 78
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