Quasicristaux et mesures presque-périodiques

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1 1 / 16 Quasicristaux et mesures presque-périodiques Claire Delplancke Sous la direction d Yves Meyer 24 juin 2010

2 2 / 16 Ensembles de Meyer Approximation diophantienne Ensembles coupe et projection Mesures presque-périodiques Figure de dif Qu est-ce qu un quasicristal?

3 3 / 16 Ensembles de Meyer Approximation diophantienne Ensembles coupe et projection Mesures presque-périodiques Figure de diffraction

4 4 / 16 Un réseau est un sous-groupe de R n à quotient compact. On peut l écrire sous la forme Λ = A(Z n ) où A est une matrice inversible de R n. La propriété de sous-groupe peut s écrire Λ Λ Λ. Soit Λ un sous-ensemble de R n Λ est uniformément discret si R 1 > 0 tel que toute boule de rayon R 1 contienne au plus un point de Λ. Λ est relativement dense si R 2 > 0 tel que toute boule de rayon R 2 contienne au moins un point de Λ. Λ est un ensemble de Delone s il vérifie les deux propriétés précédentes. Première notion de quasicristal Un ensemble de Meyer est un ensemble de Delone Λ tel qu il existe un ensemble fini F R n tel que Λ Λ Λ+F.

5 5 / 16 Soit Λ R n et ɛ (0, 2). Son ɛ-dual est Λ ɛ : Λ ɛ = {τ ; exp(iτλ) 1 ɛ, λ Λ} Si Λ est le réseau A(Z n ) et si ɛ (0, 1), alors Λ ɛ = Λ 0 = (2π)n (det A)Ã 1 (Z n ) où Ã la transposée de la comatrice de A. Le dual de Λ ɛ est Λ. Théorème Un ensemble Λ est un ensemble de Meyer si et seulement si il satisfait aux deux conditions suivantes : (2.1) Λ est un ensemble de Delone (2.2) Pour tout ɛ compris entre 0 et 1, Λ ɛ est un ensemble de Delone.

6 6 / 16 Tout ensemble Λ de R n vérifie évidemment (Λ ɛ) ɛ Λ. Seconde notion de quasicristal Un ensemble Λ de R n est un quasicristal au sens de l approximation diophantienne s il vérifie les trois conditions suivantes : (3.1) Λ est un ensemble de Delone (3.2) ɛ (0, 1), Λ ɛ est un ensemble de Delone. (3.3) ɛ (0, 1), l ɛ-dual de Λ ɛ est égal à Λ. Les quasicristaux au sens de l approximation diophantienne sont des ensembles de Meyer, mais la réciproque est fausse. Contre-exemple : si Λ = Z {Z + 2} Alors (Λ ɛ) ɛ = Z {Z + 2} {Z 2}

7 7 / 16 Soit Γ un réseau de R n R m et p 1, p 2 les projections sur R n et sur R m. On suppose que p 1 : Γ p 1 (Γ) R n est injective et que p 2 (Γ) est un sous-groupe dense de R m. Troisième notion de quasicristal Soit K R m un ensemble compact, Riemann-intégrable et d intérieur non vide. L ensemble modèle ou coupe et projection Λ défini par Γ et K est : Λ (Γ, K ) = {λ = p 1 (γ) ; γ Γ, p 2 (γ) K }

8 8 / 16 Supposons de plus que K est convexe et symétrique par rapport à 0. On définit le dual de K par K = {z ; z y 1, y K }. Soit ɛ (0, 1) et θ tel que 2 sin(θ/2) = ɛ, 0 < θ < π/2. Théorème Soit Γ et K comme ci-dessus. Alors le ɛ-dual de l ensemble modèle défini par Γ et K est l ensemble modèle défini par Γ et θk : Λ ɛ = {λ = p 1 (γ ) ; γ Γ, p 2 (γ ) θk } et le ɛ-dual de Λ ɛ est Λ. Un ensemble coupe et projection est un quasicristal au sens de l approximation diophantienne, mais la réciproque est fausse. Contre-exemple : Λ = Z {Z + 2} {Z 2}

9 9 / 16 Ensembles de Meyer Approximation diophantienne Ensembles coupe et projection Mesures presque-périodiques Figure de dif La formule de Poisson en dimension 1 s écrit (µ = δ n ) ( ˆµ = 2π n Z n 2πZ Soit Λ un ensemble coupe et projection défini par Γ et K : Λ = {λ = p 1 (γ) ; γ Γ, p 2 (γ) K }. Soit ϕ une fonction de R m nulle en-dehors de K. Théorème Soit µ la somme de masses de Dirac sur Λ : δ n ) µ = ϕ(p 2 (γ))δ p1 (γ) γ Γ, p 2 (γ) K Alors sa transformée de Fourier est ˆµ = (2π)n vol(γ) Γ ˆϕ(p 2 (γ )) δ p1 (γ )

10 10 / 16 Soit f une fonction de R n et ɛ > 0. Les τ vérifiant (a) sont les ɛ-presque-périodes de f : x R n, f (x + τ) f (x) ɛ (a) La fonction f est presque-périodique au sens de Bohr si pour tout ɛ > 0, l ensemble de ses ɛ-presque-périodes est relativement dense dans R n. Une mesure de R n est presque-périodique si f C c (R n ), la convolée µ f est presque-périodique.

11 11 / 16 Théorème Soit Λ un ensemble coupe et projection et ϕ C c (R n ) telle C C que ϕ(x) et ˆϕ(χ). 1+ x 2n+1 1+ χ 2n+1 Soit µ = γ Γ, p 2 (γ) K ϕ(p 2 (γ))δ p1 (γ) Alors µ et ˆµ sont des mesures de Radon presque-périodiques.

12 12 / 16 Soit Λ un ensemble modélisant un métal et soit µ la somme de masses de Dirac sur Λ : µ = δ λ λ Λ La figure de diffraction du métal est modélisée par la transformée de Fourier de ˆµ. Si ˆµ = λ Λ a λ δ λ + ν continue on observe des pics lumineux d intensité proportionnelle à a λ 2. La figure de diffraction est essentiellement discrète. Quatrième notion de quasicristal En cristallographie, Λ est un cristal apériodique si sa figure de diffraction est essentiellement discrète.

13 13 / 16 Soit Λ soit un ensemble coupe et projection (Γ,K). On suppose p 1 : Γ p 1 (Γ) R n injective, p 2 (Γ) dense dans R m, p 2 : Γ p 2 (Γ) R m injective, et p 1 (Γ) dense dans R n. Soit Alors µ = δ p1 (γ) γ Γ, p 2 (γ) K ˆµ = (2π)n vol(γ) Γ 1 K (p 2 (γ ))δ p1 (γ ) Les pics lumineux apparaissent à chaque point θ de Θ = {p 1 (γ ) ; γ Γ }, dense dans R n : absurde? Soit s la sensibilité de l appareil de détection. Les pics lumineux apparaissent en réalité à chaque point θ de Θ s = {p 1 (γ ) ; γ Γ, p 2 (γ ) B(0, C s n+1 )}.

14 14 / 16 On n observe pas le quasicristal infini Λ, auquel est associé µ = λ Λ δ λ, mais un échantillon Λ R = Λ B(0, R), auquel est associé µ R = λ ΛR δ λ = µ 1 B(0,R). La transformée de Fourier de µ R est Théorème ˆµ R = ˆµ ˆ1 B(0,R) = ˆµ sin Rx x sin R(x y) ˆµ R (x) = R y Λ ˆµ = 2π y Λ δ y Cette convergence s effectue au sens des distributions. Elle n a pas lieu au sens des mesures. Effet sur la figure de diffraction?

15 15 / 16 Yves Meyer, Quasicrystals, diophantine approximation and algebraic numbers. Lecture notes at the Winter School Beyond Quasicrystals, 1994, revised version. Constantin Corduneanu, Almost periodic function. Chelsea publishing company, 1989 [première édition en anglais : Wiley Interscience, 1961]. Marjorie Senechal, What is a quasicrystal? Notices of the AMS, vol.53, 8 (2006) J. C. Lagarias, Meyer concept of quasicrystal and quasiregular sets.comm. Math. Phys. 179 (1996) A. Hof, On diffraction by aperiodic structures.comm. Math. Phys. 169 (1996) R. V. Moody, Long-range order and diffraction. Proceedings of a Conference on Groups and Lie Algebras,Ed. Ken-Ichi Sinoda, Sophia Kokyuroku in Mathematics 46, 2006.

16 16 / 16 J. B. Suck, M. Schreiber, P. Häussler, Quasicrystals : an introduction to structure, physical properties and applications, Springer, Berlin, W. Rudin, Real and Complex Analysis. S. Lang, Algèbre. Wikipédia, Almost Periodic Function.