A. CINEMATIQUE ET DYNAMIQUE

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1 A. CINEMATIQUE ET DYNAMIQUE 1. Grandeurs cinématiques a. Rappels et définitions La cinématique étudie les mouvements sans se préoccuper de leurs causes (c est-à-dire des forces) Le mouvement est le changement de position d un corps dans l espace. L objet en mouvement est appelé le mobile et sera modélisé par son point matériel qui est le plus souvent confondu avec son centre de gravité. Par étudier le mouvement, on entend déterminer les grandeurs physiques qui décrivent le mouvement (position, vitesse, accélération, ) et les relations qui les relient. Le mouvement est décrit par rapport à un référentiel. On appelle référentiel le système matériel par rapport auquel le mobile se déplace. Le mouvement du mobile dépend du référentiel. Il est relatif Pour pouvoir décrire le mouvement du mobile, il faut pouvoir repérer la position du mobile à un instant donné. Pour cela, on utilise un repère, lié au référentiel. Un repère est constitué par une origine O et une base orthonormée. La trajectoire d un point ponctuel est la courbe décrite par le mobile au cours du temps. La trajectoire dépend du repère choisi cinématique page 1

2 b. Repère cartésien repère (O, i, j, k) vecteur position : OM = x " i + y " j + z " k " x% $ ' OM $ y' $ ' #z & Les coordonnées x,y,z varient avec le temps. On appelle équations horaires les fonctions x(t), y(t) et z(t) La vitesse indique la rapidité avec laquelle la position du mobile varie. Vecteur vitesse : o v= dom o Le vecteur vitesse v d un mobile ponctuel M est la dérivée, par rapport au temps, de son vecteur position OM o Le vecteur vitesse d un mobile est tangent à sa trajectoire. m o Unité de la vitesse : s o Ordres de grandeur : cf feuille en annexe cinématique page 2

3 Expression du vecteur vitesse en coordonnées cartésiennes : L accélération indique la rapidité avec laquelle la vitesse du mobile varie. Vecteur accélération : o a = dv o Le vecteur accélération a d un mobile ponctuel M est la dérivée, par rapport au temps, de son vecteur vitesse v o Le vecteur accélération a d un mobile ponctuel M est la dérivée seconde, par rapport au temps, de son vecteur position OM o Unité de la vitesse : m s 2 o Ordres de grandeur : cf feuille en annexe cinématique page 3

4 Expression du vecteur accélération en coordonnées cartésiennes : cinématique page 4

5 c. La base de Frenet Pour une trajectoire curviligne, circulaire ou elliptique, on utilise souvent la base de Frenet : Dans la base (O, i, j, k), la trajectoire du mobile M est connue. En choisissant une origine des espaces (le point A), et un sens positif (cf. figure), on peut repérer la position du mobile par son abscisse curviligne s. Soit N et T deux vecteurs unitaires liés au mobile : le vecteur T est tangent à la trajectoire et orienté dans le sens positif le vecteur N est normal à la trajectoire et orienté vers l intérieur de la concavité de la trajectoire Ces deux vecteurs constituent une base locale, appelée base de Frenet (T,N ), qui est très utile pour l étude du mouvement circulaire. Expression du vecteur vitesse et du vecteur accélération dans la base de Frenet: cinématique page 5

6 d. Le mouvement circulaire uniforme (MCU) la trajectoire est un cercle la vitesse v est constante Attention : le vecteur vitesse v n est pas constant en direction repérage : coordonnées cartésiennes : $ OM = % x = R " cos# & y = R " sin# abscisse curviligne s on a : s = R "# (attention : en rad ) vitesse et vitesse angulaire: v = ds d(r "#) = = R d# on définit alors la vitesse angulaire " comme : ce qui donne : " = d# v = R "# cinématique page 6

7 comme " = d#, on trouve, en intégrant : " = # $ t + cste or, pour t = 0, " = 0 (conditions initiales), et ainsi cste =0, ce qui donne : " = # $ t le vecteur position s écrit donc : $ OM R " cos(#t) ' & ) % R " sin(#t) ( vecteur vitesse: v = dom % ' v x = dx = "R #$ # sin($t) & v y = dy. ' = R #$ # cos($t) ( )"R #$ # sin($t), v +. * R #$ # cos($t) - Remarques : a) v = v x 2 + v y 2 = R 2 " 2 (sin 2 ("t) + cos 2 ("t) = R #" b) on constate que v " OM = 0 ce qui signifie que v " OM vecteur accélération: a = dv % a x = dv x = "R #$ 2 # cos($t) ' & a y = dv y = "R #$ 2 # sin($t) (' ) a "R #$ 2 # cos($t), ) +. = "$ R # cos($t), 2 +. = "$ 2 OM *"R #$ 2 # sin($t) - * R # sin($t) - cinématique page 7

8 Ainsi, on a donc démontré que pour un mouvement circulaire uniforme, le vecteur accélération s écrit : a = " # 2 $ OM Le vecteur accélération d un MCU est porté par le rayon et dirigé vers le centre. On dit que l accélération est centripète. Ainsi : a = a = " 2 # R = v 2 R = v # " a = " 2 # R = v 2 R = v #" dans la base de Frenet : a = a T " T + a N " N Comme a = " # 2 $ OM et que on a : a = " 2 # R # N $ a T = 0 & % a N = " 2 # R = v 2 ' & R "OM = R # N période et fréquence: période T : durée pendant laquelle le mobile effectue 1 tour pour t = T on a " = 2# ainsi : " = # $ t 2$ % = # $ T T = 2 $ % # fréquence f : nombre de tours effectués en 1 seconde f = 1 T " = 2# $# f " = 2# $ T cinématique page 8