Thème N 2 : FIGURES PLANES (1)

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1 Thème N 2 : FGURES PLNES (1) NTTN L EMNSTRTN TRNGLE ET RTES PRLLELES (1) : RTE ES MLEUX la fin du thème, tu dois savoir : Notion de émonstration : onnaître les Règles du débat mathématiques Savoir donner un contre-exemple Reconnaître et savoir utiliser une propriété de la forme : Si alors.. Ecrire la réciproque d une propriété Savoir rédiger une démonstration (chaînons déductifs) onnaître et utiliser les propriétés sur la «droite des milieux» - Notion de EMNSTRTN Règles du débat mathématiques. Règle : Un énoncé mathématiques est soit vrai soit faux. Règle : es exemples qui vérifient un énoncé ne suffisent pas pour montrer qu un énoncé est vrai Règle : Pour qu un énoncé soit vrai il faut qu il soit démontré en utilisant des propriétés, ou vérifié pour tous les cas possibles. Règle : Un exemple qui ne vérifie pas un énoncé suffit pour prouver qu un énoncé est faux, on dit que l on a trouvé un contre-exemple. Règle : Une constatation ou des mesures sur une figure ne suffisent par pour prouver qu un énoncé de géométrie est vrai. émonstration Une démonstration en géométrie est une succession de chaînons déductifs. Un chaînon déductif peut se présenter sous la forme : Enoncé et réciproque n sait que.. ( onnée ou conclusion précédente ) Si.. alors ( Propriété ) onc. ( onclusion du chaînon ) En mathématiques, on utilise très souvent des énoncés de la forme : «Si alors» Exemple : Si deux droites sont perpendiculaires alors elles sont sécantes ondition conclusion n trouve la réciproque d un énoncé en inversant la condition et la conclusion de cet énoncé. ttention : La réciproque d un énoncé vrai n est pas toujours vraie. Exemple : Si deux droites sont sécantes alors elles sont perpendiculaires. ( énoncé faux ). page 1

2 ontre-exemple Pour qu un énoncé de la forme : «si alors», un contre-exemple est un cas qui vérifie la condition et qui ne vérifie pas la conclusion. Exemple : «Si un nombre est divisible par 5 alors il se termine par 5». 10 est un contre exemple : - il vérifie la condition : 10 est divisible par 5 ; - mais il ne vérifie pas la conclusion : 10 ne se termine par 5. L énoncé est donc faux. PRPRETES ES MLEUX ET RTES PRLLELES NS UN TRNGLE 1 ) Milieux Si une droite passe par les milieux de deux côtés d un triangle alors elle est parallèle au troisième côté du triangle onnées : milieu de [] et J milieu de []. onclusion : La droite (J) est parallèle à (). J 2 ) Longueurs Si un segment joint les milieux de deux côtés d un triangle alors sa longueur est égale à la moitié de la longueur du troisième côté du triangle onnées : milieu de [] et J milieu de []. onclusion : J = ½ J page 2

3 3 ) Milieux et parallèles Si une droite passe par le milieu d un côté d un triangle et est parallèle à un second côté alors elle coupe le troisième côté en son milieu. onnées : milieu de [] ( d ) parallèle à la droite (). onclusion : ( d ) passe par le milieu du segment []. J ( d ) Méthode 1 : émontrer que deux droites sont parallèles et qu un segment est le double d un autre en utilisant les propriétés des milieux et droites parallèles dans un triangle. Trace un cercle de centre. Soit un point sur ce cercle et est un point extérieur à ce cercle. Soit le symétrique de par rapport à et soit le symétrique de par rapport à. a. Faire une figure et tracer les droites () et (). b. émontre que les droites () et () sont parallèles. c. émontre que = 2. a. Figure Rédaction : b émontrons que les droites () et () sont parallèles n sait que : - est un triangle. - milieu de [] (car est le symétrique de par rapport à.) - milieu de [] ( car est le symétrique de par rapport à.) Si une droite passe par les milieux de deux côtés d un triangle alors elle est parallèle au troisième côté du triangle. onc () est parallèle à (). page 3

4 c émontrons que = 2 n sait que : - est un triangle. - milieu de [] car est le symétrique de par rapport à. - milieu de [] car est le symétrique de par rapport à. Si un segment joint les milieux de deux côtés d un triangle alors sa longueur est égale à la moitié de la longueur du troisième côté du triangle onc = ½ ou encore = 2 Méthode 2 : émontrer qu un point est le milieu d un segment en utilisant une propriété des milieux et droites parallèles dans un triangle. - Soit deux droites ( 1 ) et ( 2 ) sécantes au point. - Soit M un point appartenant à ( 1 ) et soit N le symétrique de par rapport à M. - Soit ( 3 ) une droite passant par M qui coupe ( 2 ) en P. - Soit ( 4 ) la parallèle à ( 3 ) passant par N qui coupe ( 2 ) en R. a. Faire une figure et trace la droite (NP) puis la parallèle à la droite (NP) passant par R : cette parallèle coupe ( 1 ) en T. b. En considérant le triangle NR, démontre que P est le milieu de [R]. c. éduire, à partir de la question précédente, et en considérant le triangle TR, que N est le milieu de [T]. a - Figure Rédaction R P 2 T N M b - émontrons que P milieu de [R] n sait que : - NR est un triangle - M est le milieu de [N] car N est le symétrique de par rapport à M - (4) est parallèle à (3) ou encore (NR) parallèle à (MP ). Si une droite passe par le milieu d un côté d un triangle et est parallèle à un second côté alors elle coupe le troisième côté en son milieu onc P est le milieu de [R] page 4

5 c - émontrons que N milieu de [T]. n sait que : - TR est un triangle - P est milieu de [R] d après la question b. - (NP) parallèle à (TR) Si une droite passe par le milieu d un côté d un triangle et est parallèle à un second côté alors elle coupe le troisième côté en son milieu onc N est le milieu de [T]. - PRPRETES E GEMETRE roites 1 : Si deux droites sont parallèles à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles. 2 : Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles entre-elles. 3 : Si deux droites sont parallèles et si une troisième est perpendiculaire à l une alors elle est perpendiculaire à l autre. Médiatrice M1 : Si une droite est perpendiculaire à un segment et passe par son milieu alors c est la médiatrice de ce segment. M2 : Si une droite est la médiatrice d un segment alors elle est perpendiculaire à ce segment et passe par son milieu. M3 : Si un point est sur la médiatrice d un segment alors il est équidistant des extrémités de ce segment. M4 : Si un point est équidistant des extrémités d un segment alors il est sur la médiatrice de ce segment. M5 : Si une droite passe par deux points équidistants des extrémités d un segment alors c est la médiatrice de ce segment. M6 : Si une droite passe par un point équidistant des extrémités d un segment et est perpendiculaire à ce segment alors c est la médiatrice de ce segment. Triangle T1 : Si un triangle est rectangle alors le carré de la longueur de l hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés (théorème de Pythagore.). T2 : Si dans un triangle, le carré de la longueur de l hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres a côtés alors ce triangle est rectangle. T3 : Si un triangle est rectangle alors la longueur de la médiane issue de l angle droit est égale à la moitié de la longueur de l hypoténuse. T4 : Si un triangle est rectangle alors son hypoténuse est un diamètre du cercle circonscrit à ce triangle. T5 : Si, dans un triangle, la médiane issue d un sommet a une longueur égale à la moitié de la longueur du côté opposé alors le triangle est rectangle en ce sommet. T6 : Si une droite passe les milieux de deux côtés d un triangle alors elle est parallèles au troisième côté du triangle. T7 : Si un segment joint les milieux de deux côtés d un triangle alors sa longueur égale à la moitié de la longueur du troisième côté. T8 : Si une droite passe par le milieu d un côté et est parallèle à un deuxième côté alors cette droite passe par le milieu du troisième côté. T9 : ans un triangle, si M est un point du côté [] et N un point du côté [] et si les droites (MN) M N MN et () sont parallèles alors : = =. page 5

6 Parallélogramme P1 : Si un quadrilatère à ses côtés opposés parallèles deux à deux alors c est un parallélogramme. P2 : Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés sont parallèles deux à deux. P3 : Si un quadrilatère à ses diagonales qui ont le même milieu alors c est un parallélogramme. P4 : Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses diagonales ont le même milieu. P5 : Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés sont de même longueur. P6 : Si un quadrilatère (non croisé) a deux côtés opposés parallèles et de même longueur alors c est un parallélogramme. Losange L1 : Si un quadrilatère a ses quatre côtés de même longueur alors c est un losange. L2 : Si un quadrilatère est un losange alors ses côtés opposés sont parallèles deux à deux et ses quatre côtés sont de même longueur. L3 : Si un quadrilatère à ses diagonales qui ont le même milieu et sont perpendiculaires alors ses un losange. L4 : Si un quadrilatère est un losange alors ses diagonales ont le même milieu et sont perpendiculaires. L5 : Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur alors ses un losange. L6 : Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires alors c est un losange. Rectangle R1 : Si un quadrilatère a tris angles droits alors c est un rectangle. R2 : Si un quadrilatère est un rectangle alors ses côtés opposés sont parallèles deux à deux, de même longueur et ses quatre angles sont droits. R3 : Si un quadrilatère a ses diagonales de même milieu et de même longueur alors c est un rectangle. R4 : Si un quadrilatère est un rectangle alors ses diagonales ont le même milieu et sont de même longueur. R5 : Si un parallélogramme a un angle droit alors c est un rectangle. R6 : Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur alors c est un rectangle. arré : 1 : Si un quadrilatère a quatre côté de même longueur et un angle droit alors c est un carré. 2 : Si un quadrilatère est un carré alors il a quatre côtés de même longueur, quatre angles droits et ses côtés opposés sont parallèles deux à deux. 3 : Si un quadrilatère a ses diagonales de même milieu, de même longueur et sont perpendiculaires alors c est un carré. 4 : Si un quadrilatère est un carré alors ses diagonales ont le même milieu, sont perpendiculaires et sont de même longueur. 5 : Si un losange a un angle droit alors c est un carré. 6 : Si un losange a deux diagonales de même longueur alors c est un carré. 7 : Si un rectangle a deux côtés consécutifs de même longueur alors c est un carré. ercle 1 : Si deux points sont sur un cercle alors le centre de ce cercle est équidistant de ces deux points. 2 : Si un triangle est inscrit dans un cercle et a pour côté un diamètre de ce cercle alors ce triangle est rectangle et côté est l hypoténuse du triangle. ngles 1 : ans un triangle, la somme des mesures des trois angles est égale à : Si deux angles sont alternes internes alors ils ont la même mesure. 3 : Si deux angles sont correspondants alors ils ont la même mesure. 4 : Si deux angles sont opposés par le sommet alors ils ont la même mesure. page 6

7 SYMETRE ENTRLE - SYMETRE XLE XE ( Δ ) N N ' ' ' ' ' M M ' ( Δ ) est la médiatrice des segments [MM ] et [NN ]. Propriétés : La symétrie axiale conserve : l alignement des points :,, alignés donc,, alignés. Le milieu des segments : = 2 donc = 2. La longueur des segments : =. Symétrique d une droite : La mesure des angles : = ' ' '. L aire des polygones et des disques. d d' d d' (d) et (d ) se coupent en sur (Δ). (d ) est parallèle à (Δ). Symétrique d une figure : n obtient une figure symétrique en retournant le calque. - SYMETRE ENTRLE E ENTRE page 7

8 N M' ' ' ' M N' est le milieu du segment [MM ] et [NN ] Propriétés : Sauf pour le symétrique d une droite, on retrouve les mêmes propriétés que la symétrie axiale Symétrique d une droite : Si deux droites sont symétriques par rapport à un point alors elles sont parallèles. ( d ) est parallèle à ( d ) d Symétrique d une figure : n obtient la figure symétrique en tournant le calque autour du point d un demi-tour. d ' page 8

9 - PNTS SYMETRQUES éfinition : n dit que deux points et sont symétriques par rapport à un point quand est le milieu du segment [ ]. ' est le symétrique de par rapport à. est le symétrique de par rapport à. = et les points,, sont alignés. milieu de [ ]. onstruction du symétrique d un point. Exemple : onstruction du point symétrique du point par rapport au point. Programme de construction : 1. n trace la demi-droite [) 2. n place le point sur la demi-droite tel que = avec le compas. - ENTRE E SYMETRE UNE FGURE ertaines figures possèdent un centre de symétrie : le dessin ne change pas lorsqu on construit le symétrique de la figure par rapport à ce point. 1 centre 1 centre pas de centre de symétrie page 9

10 - EFNTN U PRLLELGRMME UTUR U PRLLELGRMME Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles () parallèle à () () parallèle à () Propriété : Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés sont parallèles. onstruire un parallélogramme Étant donnés trois points, et non alignés, termine le parallélogramme. 1 ) n trace les segments [] et 2 ) n prend avec le compas 3 ) n prend l'écartement, on [] et on se rappelle qu'un l'écartement, on pique sur pique sur et on trace un autre Etape 1 : Etape 2 : n trace un arc de Etape 3 : n trace un arc de parallélogramme doit avoir ses et on trace un arc de cercle. arc de cercle. Les deux arcs se n côtés trace opposés [] et [] de même. longueur. cercle de centre et de rayon cercle de centre coupent et de rayon en un. point. n localise le point. n place ensuite n le point finit de. tracer. mentalement. - SYMETRE ENTRLE ET PRLLELGRMME Un parallélogramme a un centre de symétrie qui est le point d intersection des diagonales. = et =, est le centre de symétrie du parallélogramme. page 10

11 - PRPRETES U PRLLELGRMME PRPRETE 1 : Par ses diagonales Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses diagonales ont le même milieu. = et =, alors est le milieu des diagonales du parallélogramme. PRPRETE 2 : Par ses côtés Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés sont de même longueur Si est un parallélogramme lors = et = Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés sont parallèles. Si est un parallélogramme lors () // () et () // () PRPRETE 3 : Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors deux côtés opposés sont parallèles et de même longueur. Si est un parallélogramme lors : () // () = page 11

12 PRPRETE 4 : Par ses angles Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses angles opposés ont même mesure Si est un parallélogramme lors = = - RENNTRE UN PRLLELGRMME Par ses diagonales Si un quadrilatère à un centre de symétrie, alors c'est un parallélogramme. Si dans un quadrilatère les diagonales se coupent en leur milieu, alors c'est un parallélogramme. Hypothèse: milieu de [] et [] onclusion: est un parallélogramme Par ses côtés Si un quadrilatère a les côtés opposés de même longueur, alors c'est un parallélogramme. Hypothèse: = et = onclusion: est un parallélogramme Si un quadrilatère a deux côtés opposés parallèles et de même longueur, alors c'est un parallélogramme. Hypothèse: = et () // ( ) onclusion: est un parallélogramme Par ses angles page 12

13 Si un quadrilatère a les angles opposés de même mesure, alors c'est un parallélogramme. Hypothèse: = et = onclusion: est un parallélogramme E - RENNTRE UN RETNGLE Un quadrilatère qui a trois angles droits est un rectangle. Hypothèse: les angles, et sont droits. onclusion: est un rectangle Un parallélogramme qui a un angle droit est un rectangle. Hypothèse: est un parallélogramme et l'angle est droit onclusion: est un rectangle Si les diagonales d'un quadrilatère ont la même longueur et se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un rectangle. Hypothèse: Le point est le milieu des segments [] et [] et = onclusion: est un rectangle F - RENNTRE UN LSNGE page 13

14 Un quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur est un losange. Hypothèse: = = =. onclusion: est un losange Un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur est un losange. Hypothèse: est un parallélogramme et =. onclusion: est un losange Si les diagonales d'un quadrilatère sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu alors ce quadrilatère est un losange. Hypothèse: Le point est le milieu des segments [] et [] et de plus () () onclusion: est un losange G - RENNTRE UN RRE page 14

15 Un quadrilatère qui est à la fois un rectangle et un losange est un carré. Hypothèse: = = = et ( ) () onclusion: est un carré. Si les diagonales d'un quadrilatère sont perpendiculaires, ont la même longueur et se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un carré. Hypothèse: le point est le milieu des segments [] et [], = et () () onclusion: est un carré. H - NGLES ET SYMETRE page 15

16 1 ) VULRE z y x a. ngles adjacents eux angles sont adjacents lorsque : - ils ont le même sommet, - ils sont situés de part et d autre d un côté qu ils ont en commun. Exemple : Les angles xy et yz sont adjacents x v b. ngles complémentaires 30 y 60 z eux angles sont complémentaires lorsque la somme de leurs mesures est égale à 90. Exemple : xy et vuz sont complémentaires car = 90 U x v c. ngles supplémentaires z eux angles sont supplémentaires lorsque la somme de leurs mesures est égale à 180. Exemple : xy et vuz sont supplémentaires car = 180 y U d. ngles opposés par le sommet x y eux angles sont opposés par le sommet lorsque : - ils ont le même sommet, - leurs côtés sont dans le prolongement l un de l autre. eux angles opposés par le sommet ont même mesure. Exemple : Les angles xx ' et yy ' sont opposés par le sommet. y' x' page 16

17 e. ngles alternes-internes Les deux angles sont situés de part et d autre d une droite sécante à deux autres droites et entre ces deux droites a b f. ngles correspondants a Les deux angles sont situés d un même côté par rapport à une droite sécante à deux autres droites, l un entre les deux droites, l autre ne l est pas. b 2 ) PRLLELES ET NGLES : PRPRETES Si deux droites, coupées par une sécantes, sont parallèles alors les angles alternes internes qu elles forment sont égaux. Si deux droites, coupées par une sécante, forment deux angles alternes internes égaux, alors les deux droites sont parallèles. Si deux droites, coupées par une sécantes, sont parallèles alors les angles correspondants qu elles forment sont égaux. Si deux droites, coupées par une sécante, forment deux angles correspondants égaux, alors les deux droites sont parallèles. page 17

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