Correction des exercices sur l effet Doppler. Exercice 21 p.79

Transcription

1 Correction es exercices sur l eet Doppler xercice 21 p.79 Pour les curieux : justiication e la ormule onnée. L t = 0 L 1 λ t 1.(t -t) L 2.(t -t) t 2 t 1 t 2 oit t = 0 l instant émission u premier ront one. La voiture est alors à la istance L, appelons-le premier bip. La urée séparant l émission es eux bips est T. Le premier bip arrive à la voiture et se réléchit onc e açon instantanée à l instant t : La voiture est alors à une istance L 1 = L. t Le secon bip arrive à la voiture et se réléchit à l instant t : la voiture est alors à une istance L 2 = L. t La urée mise par le premier bip pour retourner au récepteur est t 1. On a : L 1 =. t 1. L instant où le premier bip est reçu est onc : t 1 = t + t 1 La urée mise par le secon bip pour retourner au récepteur à partir u moment où il est émis est t 2. On a : L 2 =. t 2. L instant où le secon bip est reçu est onc : t 2 = t + t 1 La urée séparant l émission e la réception est onc : T = t 2 - t 1 L2 L L.t L.t 1 Donc : T = t + t 2 (t+ t 1 ) = t t soit : T t t Donc : T 1 (t t) Il aut exprimer t t en onction es onnées. Penant la urée t t, la voiture a parcouru une istance =.(t -t) et le secon bip parcourt = (t -t). La somme e ces eux istance est égale à la istance séparant la voiture u secon bip à l instant t, soit une longueur one λ =.T par éinition.

2 Donc :.(t -t) + (t -t) =.T soit : t t.t Donc : T 1.T 1 soit : T 1 T Par conséquent, comme, il vient : T 1 où : 1 1 On eectue un éveloppement limité au premier orre en série e Taylor : Donc : 1 1 soit : 1 n éveloppant e nouveau au premier orre en série e Taylor, il vient : 2 1 On retrouve l expression proposée. La ormule est bien homogène et la réquence e réception est supérieure à la réquence émission comme prévu. éponse aux questions : 2 1.a. Le cinémomètre compare la réquence es ones électromagnétiques incientes à celle es ones réléchies. Dans le cas e l expérience e Buys-Ballot, les musiciens à quai reçoivent l one sonore émise par les musiciens u train. Il y onc eux iérences : il n y a pas e rélexion es ones émises. Il y onc eux iérences : - les ones utilisées par le cinémomètre sont es ones électromagnétiques, alors qu en 1845 c étaient es ones sonores, - Il y a rélexion es ones ans le cas u cinémomètre. 1.b. Les ones se réléchissent sur les obstacles. 1.c. Le sens iniqué u mouvement sur le schéma est : vers le cinémomètre. Donc, la voiture s approche u cinémomètre lorsque la mesure est aite. 1.. On sait que, lorsque la source se rapproche u récepteur, la réquence e l one pour le récepteur est supérieure à celle e l émission à la source. Donc, <. 2. D après la question précéente, <. Par lecture graphique sur le ocument : = 40,000 khz et = 40,280 khz.

3 On constate e plus que l amplitue u signal bleu est inérieure à celle u signal rouge, ce qui conirme que le signal bleu est bien le signal réléchi et atténué par son parcours ans l air. 3.a. <, ce qui permet éliminer (D). Dimensionnellement, la partie gauche e l expression (A) est homogène à une réquence, alors que la partie roite e l expression (A) n est pas homogène à une réquence, mais à une réquence multipliée par une vitesse : celle relation est onc à éliminer. Il en va e même pour la (B) : la partie gauche est homogène à une vitesse, tanis que la partie roite est homogène à une réquence multipliée par une vitesse. Il reste onc l expression (C) ont les eux parties sont homogènes à une réquence. 3.b. Le nombre 2 vient u ait que la vitesse e la voiture inlue eux ois : une ois à l aller es ones et une ois au retour (voir émonstration en introuction). 2 3.c. 1 onc : ,000 A.N : 1 1, ,280 m.s -1 Ce qui est cohérant avec la vitesse un jouet. 4. D après le graphique, comme la vitesse est constante, la position x u jouet est lié au temps t par la relation : x = viéo.t + x 0 0,24 0,02 Or, le graphique permet e éterminer le coeicient irecteur qui est égal à viéo : viéo 1,1 3,11 2,91 m.s -1 4.b. Les valeurs obtenues sont très voisines car l écart relati vaut : 1,18 1, ,7 % 1,18 Cela valie la moélisation u principe e mesure u raar automatique.

4 xercice 26 p.81 Pour les curieux : justiication u phénomène Consiérons un musicien (comme émetteur) ans un wagon u train, abor immobile. Pour le musicien u train qui joue un la3 à 440 Hz, cela signiie qu il y a une surpression e l air 440 ois par secone au voisinage e son tympan. ntre eux instants séparés par une urée égale à une périoe, une zone onnée e l air, qu on peut assimiler à un point, subit une surpression. I on consière l ensemble e l air, alors eux points seront en surpression au même instant s ils sont séparés par la istance que parcourt l one sonore en une périoe, c est-àire par une longueur one λ c.t La igure 1 représente l aspect e l air au voisinage un musicien u train, à un instant onné. Chaque cercle représente les points où il y a une surpression. Figure 1 Lorsque le wagon u train se éplace à vitesse constante par rapport au quai, les ones se éplacent toujours à la célérité c ans l air qui se éplace lui-même avec le wagon : la situation est inchangée pour le musicien ans le wagon, qui perçoit onc toujours un la3 à 440 Hz. On retrouve ainsi le principe e relativité u mouvement : il n y a aucun moyen e istinguer un réérentiel immobile un réérentiel en mouvement rectiligne uniorme, car les situations y sont ientiques. Consiérons maintenant un personnage (comme récepteur) immobile sur le quai. Lorsque le train se rapproche e lui à vitesse constante, les ones sonores se éplacent à la célérité c par rapport au quai, puisque l air au voisinage e est immobile par rapport au quai et onc par rapport à ce personnage. Penant une urée égale à une périoe, le train a avancé e la istance =.T, et l one a avancé à la célérité c ans toutes les irections à partir e la source. A l instant t = t+t, une nouvelle surpression est émise à la source, et la surpression précéemment émise a parcouru une istance = c.t. La istance entre eux points consécutis où il y a surpression est onc = = c.t -.T. (igure 2) Par conséquent, la longueur one e l one sonore perçue par le personnage immobile est onc : λ λ.t c Or, la réquence est liée à la longueur one par la relation : λ Par conséquent, la réquence perçue par le personnage sur le quai est iérente e la réquence émise : c c Cette réquence perçue par le personnage immobile sur le quai épen e la vitesse e la source (le wagon u train) selon la relation : c c La réquence e l one sonore perçue par l observateur est onc supérieure à la réquence e vibration e la source : le son perçu est plus aigu quan l émetteur se rapproche e l observateur. Ce qui onne la relation entre la vitesse e éplacement u train et la vitesse u son ans l air : c. 1

5 Figure 2 c t λ t +T t +2.T Pour tous : réponses aux questions. 1. Il s agit e l eet Doppler : le éplacement e la source par rapport à l observateur écale la réquence e l one perçue par l observateur par rapport à celle e l one émise par la source. 2. D après le ocument, la note perçue est un la ièse. Or, un la ièse a une hauteur e 446 Hz. L one sonore perçue a onc une réquence = 466 Hz. 3. D après la relation :. 1, on a : 440 A.N : = 19,0 m.s un train en soit environ 68 km.h -1 ce qui est compatible avec la vitesse

6 xercice 27 p L one sonore se éplace ans l air, supposé immobile (pas e vent), à la célérité après l énoncé : la célérité une one épen u milieu e propagation, mais non e la source. A va onc percevoir le signal avec un retar τ par rapport à la source. Or, l instant pris comme origine es ates est celui e l émission e l one sonore par. Donc l instant e réception par A est : t1 2.a. Durant une urée égale à une périoe e l one sonore émise, l émetteur parcourt une istance =.T 2.b. A t=0, est à une istance e A. Plus tar, à t = T, l émetteur a parcouru une istance : il est onc plus proche e A, et la istance entre et A vaut : = - soit : = -.T 2.c. A t=t, l émetteur est à la istance = -.T e l observateur A. Le retar qui sépare l émission.t e l one à la source et la réception vaut onc τ t2 T.T D où : t2 T emarque : l énoncé parle une «nouvelle émission e l one» : il serait plus juste e ire que l air au voisinage e l émetteur, c est-à-ire à la source, se retrouve e nouveau en situation e surpression. i l émetteur est en ait un haut-parleur, cela signiie qu à la ate t = T la membrane u haut-parleur se retrouve ans le même état vibratoire qu à l instant initial t = L observateur reçoit à la ate t 1 le premier signal, et à la ate t 2 le secon. La urée séparant eux.t signaux consécutis est onc TA t2 t1 T après les relations précéentes..t oit : TA T onc : TA 1.T La urée T A est en ait la périoe e l one sonore perçue par A. 1 4.a.On sait que la réquence est liée à la périoe par la relation : T 1 1 Donc la relation TA 1.T est équivalente à : 1. soit : Donc : A A A 1 La réquence e l one sonore perçue par A est plus grane que la réquence émission : le son est perçu plus aigu quan l émetteur se rapproche e l observateur. 4.b. Par conséquent :. 1 A

7 xercice 28 p L one sonore se éplace ans l air, supposé immobile comme précéemment(ex.27), à la célérité après l énoncé. La célérité une one épen u milieu e propagation, mais non e la source. B va onc percevoir le signal avec un retar τ par rapport à la source. Or, l instant pris comme origine es ates est celui e l émission e l one sonore par. Donc l instant e réception par B est : t1 2.a. Durant une urée égale à une périoe e l one sonore émise, l émetteur parcourt une istance =.T 2.b. A t=0, est à une istance e B. Plus tar, à t = T, l émetteur a parcouru une istance : il est onc plus éloigné e B, et la istance entre et B vaut : = + soit : = +.T 2.c. A t = T, l émetteur est à la istance = +.T e l observateur B. Le retar qui sépare l émission.t e l one à la source et la réception vaut onc τ t2 T.T D où : t2 T Même remarque que pour l exercice 27: l énoncé parle une «nouvelle émission e l one» : il serait plus juste e ire que l air au voisinage e l émetteur, c est-à-ire à la source, se retrouve e nouveau en situation e surpression. i l émetteur est en ait un haut-parleur, cela signiie qu à la ate t = T la membrane u haut-parleur se retrouve ans le même état vibratoire qu à t = L observateur reçoit à la ate t 1 le premier signal, et à la ate t 2 le secon. La urée séparant eux.t signaux consécutis est onc TB t2 t1 T après les relations précéentes..t oit : TB T onc : TB 1.T La urée T B est en ait la périoe e l one sonore perçue par B. 1 4.a.On sait que la réquence est liée à la périoe par la relation : T 1 1 Donc la relation TB 1.T est équivalente à : 1. soit : Donc : B B B 1 La réquence e l one sonore perçue par B est plus petite que la réquence émission : le son perçu est plus grave que le son émis. 4.b. Par conséquent :.. soit :. B onc :. 1 B B B

8 L énoncé rappelle que : xercice 29 p 82 - ans le cas où l émetteur s éloigne u récepteur, on a 1 - ans le cas où l émetteur s approche u récepteur, on a 1 1) Dans le cas u mouvement es galaxies, est la réquence es ones électromagnétiques (on se ixera sur les raiations visibles ou proches u visible pour cet énoncé) émises par les galaxies et la réquence es ones reçues (sur Terre), est la célérité e ces ones électromagnétiques urant le trajet (onc ans le vie) et la vitesse es galaxies par rapport à la Terre. 2) 0 car une vitesse est toujours positive, onc : - i l émetteur s éloigne u récepteur, 1 - i l émetteur s approche u récepteur, 1 3) i la réquence es ones lumineuses émises par une galaxie est supérieure à la réquence es ones reçues epuis la Terre (soit si 1 ) onc si le spectre reçu est «écalé vers le rouge», alors la galaxie s éloigne. Inversement, si 1, le spectre reçu est «écalé vers le bleu», signe que la galaxie se rapproche. 4) Toutes les galaxies lointaines s éloignent les unes es autres, et autant plus rapiement qu elles sont éloignées (on laissera e côté les galaxies e notre amas, l amas e la ierge). Plus une galaxie est lointaine et plus son spectre reçu sur Terre est écalé vers le rouge. Cette observation valie la conception e l expansion e l Univers, et onc par conséquent celle u Big-bang. emarque : plus précisément, l eet Doppler mis en jeu ans ce cas ait appel à la théorie e la relativité générale. L expansion e l univers est la ilatation e l espace lui-même, ce qui est iérent un objet en mouvement ans un espace ixe. L image est plutôt celle e taches e peintures à la surace un ballon, qui s éloignent les unes es autres quan le ballon, qui représente l espace, se ilate.