Soit la conduite en charge en forme de fer à cheval représentée par la figure 1. Elle écoule un débit volume. α α D 45 45

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1 Considérations téoriques/exercice n ) éfinition Soit la conduite en carge en forme de fer à ceval représentée par la figure. Elle écoule un débit volume d un liquide de viscosité cinématiqueν, sous un gradient de la perte de carge linéaire J. Sa paroi interne est caractérisée par la rugosité absolueε. La conduite est définie par ses dimensions linéaires Y = et y, où est le diamètre du cercle de centre O et de rayonoe = OC = OB = OG. C 0,5 α α β Y = E O γ α B I 0,5 F H A y G Figure : Scéma de définition de la conduite en carge en forme de fer à ceval ) Etapes constructives du profil de la conduite Les étapes constructives du profil de la conduite considérée peuvent être résumées ainsi. Tracer : i. Le cercle de centre O et de diamètre. ii. Le segment OFincliné d un angle de 45 par rapport à la verticale OG. iii. L arc de cercle EFappartenant au cercle de centre Bet de diamètre. iv. L arc de cercle BAappartenant au cercle de centre Eet de diamètre. v. L arc de cercle FGAappartenant au cercle de centre Cet de diamètre. info@laryss.net, 008, Tous droits réservés

2 ) Considérations géométriques i. Le triangle droit et isocèle COBsuggère les points suivants : = + = + = CB CO OB ( / ) ( / ) / Soit : CB = () γ 45 = () α + β = 45 () ii. Le triangle droit CIBpermet d écrire que : cos CI β = CB ( ) Soit, en tenant compte de la relation () et () : π CI cos ( β ) = cos α = 4 (4) iii. Le triangle droit CIFpermet d écrire que : CI CI cos ( α ) = = (5) CF Tenant compte de la relation (4), la relation (5) devient : cos ( α ) π = cos α 4 (6) L équation (6) est satisfaite pour : α = 4, 9589 (7) ou bien α = 0, radian info@laryss.net, 008, Tous droits réservés

3 iv. En considérant le triangle droit CHF, il vient que : HF HF sin ( α ) = = (8) CF Tenant compte de (7), la relation (8) permet de déduire que : HF = sin = sin 4, 9589 ( α ) ( ) HF = 0, 4478 (9) Ce résultat mène à écrire que : FA = HF = 0, 4478 FA = 0, (0) v. En considérant le triangle droit et isocèle OHF, nous pouvons écrire que : HF = OH soit, en tenant compte de la relation (9) : OH = 0, 4478 () vi. La dimension linéaire y s écrit : y = OG OH avec : OG = / ou bien, compte tenu de la relation () : y = 0,5 0, 4478 y = 0, () info@laryss.net, 008, Tous droits réservés

4 vii. La longueur de l arc de cercle EFest telle que : avec : EF = FG = GA = AB () EF = α (4) où l angle α est exprimé en radian. Ainsi : EF = 0, ) Caractéristiques de la conduite Les caractéristiques de la conduite sont, en particulier : i. L aire de la section mouillée Aégale à la somme des aires des sections : A0 du demi-cercle ECBE de diamètre, avec : π A0 = (5) 8 A du trapèze EBAFE, OH A = ( EB + FA) EB =, FA et OH étant régis respectivement par les relations (0) et (). Ainsi : ( 0, ) A = + 0, 4478 A 0,75 = (6) A, où A est l aire du segment circulaire d angle au centreα, appartenant au cercle de centre Bet de diamètre. Pour l angle α exprimé en radian, A s écrit : ( ) ( ) ( ) A = / sin / cos / 4 α α α = 0, / sin ( 0, / ) cos ( 0,44004 / ) info@laryss.net, 008, Tous droits réservés 4

5 A 0, = (7) A du segment circulaire de corde FA, d angle au centre α, appartenant au cercle de centre Cet de diamètre. Pour l angle α exprimé en radiant, A s écrit : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A = α sin α cos α = 0, sin 0, cos 0, = (8) A 0, Finalement, l aire de la section mouillée Ade la conduite considérée est : A = A + A + A + A = ( π / 8) + 0, , , A = 0,89 (9) ii. Le périmètre mouillé P, égal à la somme des longueurs de : P 0, périmètre du demi-cercle ECBde diamètre : Soit : P 0 π = (0) P0, = () P, où Pest la longueur de l arc de cercle EF, appartenant au cercle de centre B, d angle au centre α et de diamètre, soit, pour l angle α exprimé en radians : P = α () P 0, = () P, longueur de l arc de cercle FA, appartenant au cercle de centre C, d angle au centre α et de diamètre. Pour l angle α exprimé en radians, P s écrit : info@laryss.net, 008, Tous droits réservés 5

6 P = α (4) Soit : P = 0, P 0, = (5) Ainsi, le périmètre mouillé Precercé est : P = P + P + P 0 P =, , , P =, (6) iii. Le diamètre ydraulique est 4 A / P =, 0,89 = 4, =, (7) 5) Modèle rugueux de référence de la conduite 5.) Caractéristiques du modèle rugueux de référence Le modèle rugueux de référence de la conduite en forme de fer à ceval est scématiquement représenté sur la figure. Il est défini par les dimensions linéaires orizontales et y. Le modèle rugueux de référence écoule le débit volume, sous le gradient de la perte de carge linéaire J, d un liquide de viscosité cinématiqueν. info@laryss.net, 008, Tous droits réservés 6

7 C 0,5 α α β Y = E O γ α I B 0,5 F H G A y Figure : Scéma de définition du modèle rugueux de la conduite en carge en forme de fer à ceval Les caractéristiques du modèle rugueux de référence sont régies par des relations identiques à celles que nous avons précédemment établies, en particulier les relations (9), (6) et (7). Ainsi : L aire de la section mouillée Aest : A = 0,89 (8) Le périmètre mouillé Ps écrit : P =, (9) Le diamètre ydraulique s exprime par : =, (0) 5.) Relation régissant l écoulement dans le modèle rugueux de référence La relation régissant l écoulement dans le modèle rugueux de référence d une conduite en carge de forme donnée s obtient en ayant recours à la relation de arcy-weisbac (Acour, 007, Calcul des conduites et canaux par la MMR, Tome : Conduites et Canaux en carge, LARHYSS/Edition Capitale, 60 pages) : J P 8g A = () Compte tenu des relations (8) et (9), la relation () devient :, J = 8g ( 0,89 ) info@laryss.net, 008, Tous droits réservés 7

8 J = 0, g 5 () Introduisons le débit relatif : * = g J 5 () Tenant compte de (), la relation () permet d écrire que : * = 4, 7790 = constante (4) A partir de la relation (), nous pouvons également déduire que le diamètre du modèle rugueux de référence s écrit : = 0, 5790 g J /5 (5) Le nombre de Reynolds R, caractérisant l écoulement dans le modèle rugueux de référence, est : R 4 = (6) Pν En ayant recours à la relation (9), la relation (6) permet de déduire que R (, ) s écrit : R, = (7) ν Mais, le nombre de Reynolds Rpeut aussi s exprimer en fonction de et de J en combinant les relations (5) et (7). Il vient que : ( g J ) /5 R =, 7949 (8) ν info@laryss.net, 008, Tous droits réservés 8

9 Exercice n : On souaite déterminer les dimensions linéaires et y de la conduite en carge en forme de fer à ceval représentée par la figure. Utiliser pour cela la MMR en vous aidant des considérations téoriques ci-dessus exposées. On donne :,976 m / s = ; J ε = ; ν 4 = 8.0 ; 0 m s 6 = 0 /. Solution Résolvons le problème en admettant que le modèle rugueux de référence écoule le débit gradient de la perte de carge linéaire J Les données du problème sont alors telles que : = J, du même liquide de viscosité cinématiqueν. =, sous le i. selon la relation (5), le diamètre du modèle rugueux de référence est : /5 /5,976 = 0, 5790 = 0, 5790 =, m 4 g J 9,8 8.0 ii. Le périmètre mouillé Pest, en vertu de la relation (9) : P =, =, , = 6, m iii. Le nombre de Reynolds Rcaractérisant l écoulement dans le modèle rugueux de référence est par suite : 4 4 4,976 R = = = = 00750,5 6 Pν Pν 6, Rappelons que le nombre de Reynolds Raurait pu également être calculé par application de la relation (7) ou (8), pour = et J = J. iv. Le coefficient de correction des dimensions linéaires ψ est, selon la MMR (Acour, 007, Calcul des conduites et canaux par la MMR, Tome : Conduites et Canaux en carge, LARHYSS/Edition Capitale, 60 pages) : /5 /5 ε / 8,5 8, 5,5 log ψ = + =, 5 log = 0, , 75 R 00750,5 info@laryss.net, 008, Tous droits réservés 9

10 v. Le diamètre recercé est : = ψ = 0, , =, 00086m, m vi. Ainsi, la dimension linéaire y est, en vertu de la relation () : y = 0, = 0, , = 0,54 m 0,5 m vii. Vérification des calculs a) arcy-weisbac Vérifions les calculs en déterminant, pour les dimensions linéaires calculées, le gradient J de la perte de carge linéaire selon la relation de arcy-weisbac : J f ga = (9) L aire de la section mouillée Aest, selon la relation (9) : A = 0,89 = 0,89,00086 =, m Le diamètre ydraulique est, conformément à la relation (7): =, =, ,00086 =,0087 m Le coefficient de frottement f de la relation (9) est, selon la MMR : f 5 5 ψ 0, = = = 0, Ainsi, selon la relation (9), le gradient J de la perte de carge linéaire est : J f 0, 0045,976 = = = 8.0 ga, ,8, Il s agit bien de la valeur de J donnée à l énoncé de l exemple d application considéré. b) Formule générale du débit volume Selon Acour et Bedjaoui (Acour and Bedjaoui, 006, iscussion, Exact solutions for normal dept problem, Journal of Hydraulic Researc, 44, 5, 75-77) : ε / R 0,04 = 4 g A RJ log + 4,8 R info@laryss.net, 008, Tous droits réservés (40) 0

11 R désigne le rayon ydraulique. ans la relation (40), le nombre de Reynolds Rs exprime par : gjr R = (4) ν La relation (40) est applicable à toutes les formes usuelles de conduites et couvre l ensemble du domaine turbulent du diagramme de Moody. Le rayon ydraulique R est : R = / 4 =,0087 / 4 = 0, 0009m Le nombre de Reynolds Rest, selon la relation (4) : 4 gjr 9, ,0009 R = = = , ν 0 Ainsi, le débit volume est, en vertu de la relation (40) : 4 0,04 = 4 9,8, , log , 445 =, m / s,969 m / s Ainsi, le débit volume calculé selon la formule générale correspond, avec un écart relatif de moins de 0,7%, à celui donné à l énoncé de l exemple d application considéré. c) Formule de Cézy Selon Cézy, le débit volume est : = CA R J (4) où C ( m 0,5 / s) est le coefficient de résistance de Cézy. Selon la MMR, celui-ci est donné par : C 8 g 5/ ψ = (4) 8 9,8 = = 0, ,5 0,5 C 86, m / s 87 m / s 5/ Le débit volume serait donc, selon la relation (4) : 4 = CA R J = 86, , , =,976 m / s Il s agit bien de la valeur du débit volume donnée à l énoncé de l exemple d application considéré. info@laryss.net, 008, Tous droits réservés