fonctions homographiques

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1 fonctions homographiques Table des matières 1 aspect numérique et algébrique activités activité 1 : différentes écritures activité 2 : valeur interdite corrigés activités corrigé activité 1 : différentes écritures corrigé activité 2 : valeur interdite à retenir eercices aspect graphique activité activité 1 : ajustement homographique corrigé activité 1 : ajustement homographique activité 2 : caractéristiques de l hyperbole d une fonction homographique corrigé activité 2 : caractéristiques de l hyperbole d une fonction homographique à retenir eercices variations activité : activité 1 : variations corrigé activité 1 : variations à retenir eercices signe et inéquations activités activité 1 : signe d un quotient et inéquations activité 2 : signe d un quotient corrigé activités corrigé activité 1 : signe d un quotient corrigé activité 2 : signe d un quotient à retenir eercices équations 31.1 activités activité 1 : atteindre un objectif activité 2 : résolution d équations corrigé activités corrigé activité 1 : atteindre un objectif corrigé activité 2 : résolution d équations à retenir eercices

2 6 tout en un activité globale corrigé activité globale eercices tp tp évaluations devoir maison corrigé devoir maison évaluation

3 1 aspect numérique et algébrique 1.1 activités activité 1 : différentes écritures 1. à la fin d un spectacle, il y a 80 hommes et 100 femmes dans la salle. chaque seconde, un couple (homme,femme) quitte la salle puis le reste des personnes quittent la salle à raison d une personne par seconde. (a) montrer que la proportion initiale de femmes est de 6% à 1% près par ecès si (b) montrer qu après = 60 secondes, la proportion de femmes est de 67% à 1% près par ecès si (c) montrer qu après secondes, la proportion de femmes est : donné par : p() = 0,+0 pour [0;80] +90 (d) montrer que l on a aussi p() = 0, + pour [0;80] +90 (e) qu obtient-on si on remplace par 90 dans l une et l autre des epressions de p()? (f) quelle date correspond à un pourcentage de femmes de 0 %? activité 2 : valeur interdite pour chacune des epressions ci dessous, déterminer la "valeur interdite" 1. f() = f() = f() = f() =

4 1.2 corrigés activités corrigé activité 1 : différentes écritures 1. à la fin d un spectacle, il y a 80 hommes et 100 femmes dans la salle. chaque seconde, un couple (homme,femme) quitte la salle puis le reste des personnes quittent la salle à raison d une personne par seconde. (a) proportion initiale de femmes : nombre de femmes p(0) = nombre total de personnes = = = 9 6% à 1% près par ecès si (b) après = 60 secondes, la proportion de femmes est : nombre de femmes p(60) = nombre total de personnes = = = % à 1% près par ecès si (c) après secondes, la proportion de femmes est donné par : nombre de femmes p() = nombre total de personnes = = = ( +100) 0, ( 2+180) 0, = 0, [0;80] car après 80 secondes, il n y a plus de femmes et on considère que est positif (d) on a aussi p() = 0, ,+ +90 = 0, ,+ +90 = 0,( +90) pour [0;80], en effet : +90 0,+ +90 = 0, ,+ +90 = 0, ,+ +90 = p() (e) si on remplace par 90 dans l une et l autre des epressions de p() : avec la première epression : p(90) = 0, 90+0 = qui n est pas un nombre réel avec la seconde epression : p(90) = 0, = 0,+ qui n est pas un nombre réel 0 90 est une "valeur interdite" pour p() p() n est pas définie pour = 90 (f) temps à attendre pour que le pourcentage de femmes soit de 0 % il suffit de résoudre l équation : p() = 0% soit R tel que p() = 0% 0,+ +90 = 0, +90 = 0 = 0 absurde cette équation n admet pas de solution dansr il n y aura jamais 0% de femme dans la salle

5 1.2.2 corrigé activité 2 : valeur interdite pour chacune des epressions ci dessous, déterminer la "valeur interdite" 1. f() = n eiste pas si et seulement si = 0 la valeur interdite est 0 2. f() = 10 n eiste pas si et seulement si 10 = 0 10 = 10 la valeur interdite est f() = n eiste pas si et seulement si 3 7 = = 7 3 la valeur interdite est f() = n eiste pas si et seulement si 2+20 = = 20 2 = 10 la valeur interdite est 10

6 1.3 à retenir définition 1 : (fonction homographique) quelle que soit la fonction f définie sur une partie D der f est une fonction homographique sur D équivaut à il eiste quatre nombres réels a, b, c et d avec c 0 et ad bc 0, quel que soit le nombre réel D, f() = a+b c+d remarques : i. les nombres a, b, c et d sont appelés les "coefficients" ii. une epression de la forme a+b est aussi appelé une "fraction rationnelle" c+d iii. si ad = bc, les couples (a,b) et (c,d) sont proportionnels et la fonction est constante par eemple : f() = = 2 pour tout R\{ 3 2 } eemples : i. f() = ii. f() = +10 a =... b =... c =... d =... a =... b =... c =... d =... iii. f() = 4 10 iv. f() = 1 a =... b =... c =... d =... a =... b =... c =... d =... propriété 1 : (domaine de définition) quels que soient les quatre réels a, b, c et d avec c 0 et ad bc 0 toute epression de la forme a+b c+d définit une fonction homographique surr\{ d c } par : f() = a+b c+d démonstration : a+b c+d = d c remarques : n eiste pas c+d = 0 i. la fonction ainsi définie n est pas définie en = d c ii. d c est appelée "valeur interdite" iii. R\{ d } est appelé le "domaine de définition" de f c

7 1.4 eercices eercice 1 : montrer dans chaque cas que f est une fonction homographique i. f() = 3+ 1 pour R\{0} ii. f() = 2+ 1 pour R\{3} 3 1 iii. f() = pour R\{4} 3 12 eercice 2 : montrer par un raisonnement par l absurde que si f(0) = 2, f(1) = 2 et f(2) = 3 alors f ne peut pas être une fonction homographique. eercice 3 : soit la fonction f telle que f est homographique, f(1) = 2 et f() = 3+b +4 i. déterminer la valeur de b ii. en déduire l epression de f() en fonction de eercice 4 : déterminer dans chaque cas le domaine de définition (maimal) de la fonction f définie par l epression donnée et préciser la valeur interdite : i. f() = ii. f() = iii. f() = 3

8 2 aspect graphique 2.1 activité activité 1 : ajustement homographique Le tableau suivant donne l évolution de la population de deu villes en nombre d habitants A B C D E F G H I J année rang : ville A ville B le but est de faire des prévisions pour les années suivantes 19 y : en milliers O (a) on modélise l évolution de la population de la ville A par une fonction homographique : f() = a+b +d i. soit f() le nombre d habitants de la ville A l année de rang, on détermine la formule de f en utilisant le premier, le troisième et le dernier point du graphique. A. montrer que, à partir du premier point, on a : b = 20000d B. montrer que, à partir du troisième point et du résultat précédent on a : 2a+000d = C. montrer que, à partir du dernier point et du premier résultat on a : 4a+6000d = 6000 D. en déduire que a = 1200, b = et d = E. en déduire que f() = +1 ii. en déduire la formule à entrer dans la cellule G2 de la feuille de calcul pour que le résultat s affiche automatiquement iii. estimer alors la population de la ville A de 2007 à 2010 et compléter le tableau et le graphique (b) faire de même pour la ville B (g() = a+b la population de la ville B l année de rang ) +d (c) relier les points de chaque ville par des courbes continues et caractériser les courbes (nom)

9 2.1.2 corrigé activité 1 : ajustement homographique Le tableau suivant donne l évolution de la population de deu villes en nombre d habitants A B C D E F G H I J année rang : ville A ville B le but est de faire des prévisions pour les années suivantes y : en milliers O (a) on modélise l évolution de la population de la ville A par une fonction homographique : f() = a+b +d i. soit f() le nombre d habitants de la ville A l année de rang, on détermine la formule de f en utilisant le premier, le troisième et le dernier point du graphique. A. à partir du premier point, on a : f(0) = f(0) = a 0+b 0+d b d = b = 20000d = B. à partir du troisième point et du résultat précédent on a : f(2) = 1000 f(2) = a 2+b = d 2a+b 2+d = a+b = 1000(2+d) 2a+b = d on a vu que : b = 20000d 2a+20000d = d 2a+000d = 30000

10 C. à partir du dernier point et du premier résultat on a : f(4) = f(4) = a 4+b = d 4a+b 4+d = a+b = 14000(4+d) 4a+b = d on a vu que : b = 20000d 4a+20000d = d 4a+6000d = 6000 D. on résout le système suivant pour déterminer a et d : { 2a+000d = a+6000d = 6000 { 4a+10000d = a+6000d = d = d = 1 2a+000d = a = a = 2000 a = 2000 = b = 20000d = = conclusion : a = 1200, b = et d = 1 E. on en déduit que f() = ii. formule à entrer dans la cellule G2 : = (1200 G )/(G1 +1) iii. population de la ville A de 2007 à 2010, tableau et graphique : f() = f(6) = f(7) = f(8) = =

11 (b) de même pour la ville B (g() = a+b +d la population de la ville B l année de rang ) i. à partir du premier point, on a : g(0) = 8000 g(0) = a 0+b 0+d b d = 8000 b = 8000d = 8000 ii. à partir du troisième point et du résultat précédent on a : g(2) = g(2) = a 2+b = d 2a+b 2+d = a+b = 10000(2 +d) 2a+b = d on a vu que : b = 8000d 2a+8000d = d 2a 2000d = iii. à partir du dernier point et du premier résultat on a : g(4) = g(4) = a 4+b = d 4a+b 4+d = a+b = 11000(4 +d) 4a+b = d on a vu que : b = 8000d 4a+8000d = d 4a 3000d = iv. on résout le système suivant pour déterminer a et d : { 2a 2000d = a 3000d = { 4a 4000d = a 3000d = d = 4000

12 d = 4 2a 2000d = a = a = a = = b = 8000d = = conclusion : a = 14000, b = et d = 4 v. on en déduit que f() = A. formule à entrer dans la cellule G3 : = (14000 G )/(G1 +4) B. population de la ville B de 2007 à 2010, tableau et graphique : g() = g(6) = g(7) = g(8) = = = (c) relier les points de chaque ville par des courbes continues et caractériser les courbes (nom) les courbes sont des hyperboles

13 2.1.3 activité 2 : caractéristiques de l hyperbole d une fonction homographique 1. Dans un stade, il y a actuellement 20 supporters adverses et 70 supporters locau chaque minute, il entre 200 nouveau supporters dont 80 supporters adverses soit le nombre de minutes comptées à partir de maintenant. (a) montrer que la proportion de supporters adverses est données en fonction de par pour [ 3,12;+ [ (b) soit la fonction f définie par f() = i. donner le domaine de définition de f ii. compléter le tableau de valeurs ci dessous à 0,01 près par ecès si , -6,2 - f() 0,41 0,42 0,43 0,48 0, 0,7-3,7-3,12 0 2, f() 0,3 0,33 0,3 0,37 0,38 0,39 iii. placer les points associés au tableau dans le repère ci dessous et les joindre par une ligne continue iv. tracer dans le repère ci dessous les droites : A. (D) d équation : = B. ( ) d équation : y = 0,4 y C. la courbe de la fonction f coupe t-elle la droite (D)? (raisonner par l absurde pour justifier) comment appelle t-on une telle droite? D. la courbe de la fonction f coupe t-elle la droite ( )? (pour le justifier, supposer que c est vrai et raisonner par l absurde en résolvant une équation) comment appelle t-on une telle droite? E. la courbe semble t-elle admettre un centre de symétrie? (préciser) 2. soit la fonction homographique f telle que f() = a+b c+d (a) déterminer l équation de la droite (D) asymptote verticale à la courbe de f (b) déterminer l équation de la droite ( ) asymptote horizontale à la courbe de f (c) préciser le centre de symétrie de la courbe

14 2.1.4 corrigé activité 2 : caractéristiques de l hyperbole d une fonction homographique 1. Dans un stade, il y a actuellement 20 supporters adverses et 70 supporters locau chaque minute, il entre 200 nouveau supporters dont 80 supporters adverses soit le nombre de minutes comptées à partir de maintenant. (a) proportion de supporters adverses en fonction de : nombre de supporters adverses proportion = = nombre total de supporters pour = 3,12 on a 80 ( 3,12)+20 = 0 supporters adverse dans le stade donc [ 3,12;+ [ (b) soit la fonction f définie par f() = i. f() n eiste pas = 0 = 1000 = 200 D f =] ; [ [ ;+ [ ii. tableau de valeurs à 0,01 près par ecès si , -6,2 - f() 0,41 0,41 0,42 0,43 0,4 0,48 0, 0,7 1-3,7-3,12 0 2, f() -0,2 0 0,2 0,3 0,33 0,3 0,37 0,38 0,39 0,39 iii. points associés au tableau et ligne continue iv. droites : A. (D) d équation : = B. ( ) d équation : y = 0, (D) y ( )

15 C. la courbe de la fonction f ne coupe pas la droite (D) : raisonnons par l absurde pour le justifier : supposons qu il eiste un point I( I ;y I ) intersection de la droite et de la courbe alors I = et y I = f() or f() n eiste pas donc y I n eiste pas conclusion : il n eiste pas de tel point I la droite ne coupe pas la courbe on appelle une telle droite une asymptote verticale à la courbe de f D. la courbe de la fonction f ne coupe pas la droite ( ) raisonnons par l absurde pour le justifier : supposons qu il eiste un point J( J ;y J ) intersection de la droite et de la courbe alors y J = 0,4 et J est solution de l équation f() = 0, = 0,4 0,4 ( ) = = = 20 ce qui est absurde donc J n eiste pas conclusion : il n eiste pas de tel point J la droite ne coupe pas la courbe on appelle une telle droite une asymptote horizontale à la courbe de f E. le point P( ; 0, 4) semble être centre de symétrie de la courbe 2. soit la fonction homographique f telle que f() = a+b c+d (a) équation de la droite (D) asymptote verticale à la courbe de f : elle correspond à la valeur interdite : = d c d où l équation de (D) : = d c pour l eemple précédent cela donne : = = (b) équation de la droite ( ) asymptote horizontale à la courbe de f : elle correspond à la valeur dont se rapproche f() quand est de plus en plus grand a+b c+d a c = a quand est "très grand" c d où l équation de ( ) : y = a c pour l eemple précédent cela donne : y = = 0,4 (c) le point P( d c ; a c ) est centre de symétrie de la courbe pour l eemple précédent cela donne : P( ;0,4)

16 2.2 à retenir propriété 2 : (caractéristiques d une courbe de fonction homographique) ( ) : = d y c quel que soit le repère du plan (O,I,J), quelle que soit la fonction homographique f : f() = a+b de courbe C c+d (c 0 et ad bc 0) (D) : y = a c (1) C est appelée P "hyperbole" (2) C a pour droite asymptote verticale la droite ( ) d équation = d O (valeur interdite) c (3) C a pour droite asymptote horizontale la droite (D) d équation y = a c (4) P( d c ; a ) point d intersection des droites (D) et ( ) est centre de symétrie de la courbe c Si ad bc < 0 alors l hyperbole est "à l endroit" (comme la courbe de 1 ) () Si ad bc > 0 alors l hyperbole est "à l envers" (quotient des coefficients directeurs) démonstration : (cette propriété est admise) eemple : soit fonction homographique f telle que f() = a = 2 b = 3 c = 4 d = (1) la courbe C de f est une hyperbole (2) C a pour droite asymptote verticale la droite ( ) d équation = 4 = 1,2 (3) C a pour droite asymptote horizontale la droite (D) d équation y = 2 4 = 0, (4) P( 1,2 ; 0,) est centre de symétrie de la courbe () ad bc = = = 2 et 2 < 0 donc l hyperbole est à l endroit (comme celle de la fonction inverse) (D) y ( ) 2

17 2.3 eercices eercice : pour chacune des fonctions suivantes donner la nature de la courbe associée ainsi que les équations des droites asymptotes et le centre de symétrie de la courbe (a) f() = (b) f() = (c) f() = +7 (d) f() = 1 eercice 6 : écrire un algorithme qui donne les équations des droites asymptotes et le centre de symétrie de la courbe si on entre les coefficients de la fonction homographique

18 3 variations 3.1 activité : activité 1 : variations 1. soit la fonction homographique f définie par f() = 0,+0 pour R\{90} +90 ( proportion de femmes dans une salle en fonction du nombre de minutes depuis le départ pour [0;80] (activité 1 du début de chapitre)) (a) montrer que l on a aussi f() = 0,+ pour R\{90} +90 (b) on souhaite déterminer si f est croissante ou décroissante sur ] ; 90[ pour cela, on considère deu réels a et b tels que a < b < 90 et on compare f(a) et f(b) ( si on obtient f(a) > f(b) alors f est croissante sur ] ; 90[ ) ( si on obtient f(a) < f(b) alors f est décroissante sur ] ; 90[ ) i. compléter ce qui suit : a < b < 90 a... b a b a b a b ,+ a ,+ b f(a)... f(b)... conclusion : f est... sur ] ; 90[ (c) montrer de même que f est décroissante sur ]90 ; + [ (d) en déduire le tableau de variations de f (e) que dire de la proportion de femmes dans la salle quand le temps passe? 2. soit la fonction homographique g définie par g() = 0, (a) montrer que l on a aussi g() = 0, pour R\{90} +90 (b) déterminer si g est croissante ou décroissante sur ] ; 90[ pour R\{90} (c) déterminer si g est croissante ou décroissante sur ]90 ; + [ (d) en déduire le tableau de variations de g (e) que dire de la proportion d hommes dans la salle précédente quand le temps passe? (vérifier que g() est la proportion d hommes)

19 3.1.2 corrigé activité 1 : variations 1. soit la fonction homographique f définie par f() = 0,+0 pour R\{90} +90 ( proportion de femmes dans une salle en fonction du nombre de minutes depuis le départ pour [0;80] (activité 1 du début de chapitre)) (a) soit R\{90} : 0,+ +90 = 0, ,+ +90 = 0,( +90) ,+ +90 = 0, ,+ +90 = 0, ,+ +90 = f() (b) on souhaite déterminer si f est croissante ou décroissante sur ] ; 90[ pour cela, on considère deu réels a et b tels que a < b < 90 et on compare f(a) et f(b) ( si on obtient f(a) < f(b) alors f est croissante sur ] ; 90[ ) ( si on obtient f(a) > f(b) alors f est décroissante sur ] ; 90[ ) i. compléter ce qui suit : a < b < 90 a > b > 90 a+90 > b+90 > 0 1 a+90 < 1 b+90 < 0 a+90 < b+90 < 0 0,+ a+90 < 0,+ b+90 < 0, f(a) < f(b) < conclusion : f est croissante sur ] ; 90[ (c) de même,f est décroissante sur ]90 ; + [ 90 > a > b 90 < a < b 0 < a+90 < b > a+90 > 1 b+90 0 > a+90 > b+90 0, > 0,+ a+90 > 0,+ b+90 0, > f(a) > f(b) conclusion : f est croissante sur ]90 ;+ [

20 (d) tableau de variations de f 90 + f() ր ր (e) la proportion de femmes dans la salle augmente quand le temps passe 2. soit la fonction homographique g définie par g() = 0, (a) soit R\{90} : pour R\{90} 0, +90 = 0, , +90 = 0,( +90) , +90 = 0, , +90 = 0, , +90 = g() (b) sens de variation de g sur ] ; 90[ a < b < 90 a > b > 90 a+90 > b+90 > 0 1 a+90 < 1 b+90 < 0 a+90 < b+90 < 0 a+90 > b+90 > 0 0, a+90 > 0, b+90 > 0, g(a) > g(b) > 0, conclusion : g est dcroissante sur ] ; 90[ (c) sens de variation de g sur ]90 ; + [ 90 < a < b 90 > a > b 0 > a+90 > b < a+90 < 1 b+90 0 < a+90 < b+90 0 > a+90 > b+90 0, > 0, a+90 > 0, b+90 0,g(a) > g(b)

21 conclusion : g est décroissante sur ]90 ; + [ (d) tableau de variations de g 90 + g() ց ց (e) la proportion d hommes dans la salle diminue quand le temps passe proportion d hommes = 1 - proportion de femmes proportion d hommes = 1 - (0,+ +90 ) proportion d hommes = 1 0, +90 proportion d hommes = 0, +90 = g()

22 3.2 à retenir propriété 3 : (sens de variation d une fonction homographique) quelle que soit la fonction homographique f : f() = a+b c+d pour tout R\{ d c } si ad bc > 0 alors d c + f() ր ր a c + a c f croît sur ] ; d c [ f est croît sur ] d c ;+ [ si ad bc < 0 alors d c a + c f() ց ց + a c f est décroît sur ] ; d c [ f est décroît sur ] d c ;+ [ démonstration : (cette propriété est admise) piste : pour tout R\{ d a+b } on a, f() = c c+d = a c + bc ad c 2 + d c

23 3.3 eercices eercice 7 : (a) soit la fonction homographique f définie par f() = pour R\{} i. montrer que l on a aussi f() = 10+ pour R\{} 2+10 ii. montrer que f est croissante sur ] ; [, pour cela,compléter ce qui suit : a < b < 2a... 2b a b a b a b a b f(a)... f(b)... conclusion : f est... sur ] ; [ iii. montrer de même que f est croissante sur ] ;+ [ iv. en déduire le tableau de variations de f eercice 8 : (a) soit la fonction homographique f définie par f() = pour R\{} i. montrer que l on a aussi f() = 10 pour R\{} 2+10 ii. montrer que f est décroissante sur ] ; [, pour cela,compléter ce qui suit : a < b < 2a... 2b a b a b a b a b a b f(a)... f(b)... conclusion : f est... sur ] ; [ iii. montrer de même que f est décroissante sur ] ; + [ iv. en déduire le tableau de variations de f

24 4 signe et inéquations 4.1 activités activité 1 : signe d un quotient et inéquations les habitants d une ville sont actuellement peu équipés en téléphones portables un opérateur téléphonique T, a actuellement 20 clients parmi les 800 foyers équipés après une campagne de publicité, le responsable des ventes de cet opérateur T constate que, chaque mois, 400 nouvelles personnes s équipent d un téléphone portable, dont 360 chez T. (a) montrer que si les choses continuent ainsi, dans mois, la proportion de foyers équipés chez T parmi tous les foyers équipés est donnée par : f() = la courbe de la fonction f est donnée partiellement ci dessous y i. seuil de 80% A. déterminer graphiquement le nombre de mois à partir duquel 80% des personnes équipées le seront chez l opérateur T B. montrer que : quel que soit R\{ 2}, > 0, > 0 C. en déduire les solutions de l inéquation > 0 grâce à un tableau de signes D. en déduire les solutions de l inéquation > 0,8 E. est-ce cohérent avec le résultat trouvé graphiquement? ii. seuil de 8% A. déterminer graphiquement le nombre de mois à partir duquel 8% des personnes équipées le seront chez l opérateur T B. montrer que : quel que soit R\{ 2}, > 0, > 0 C. en déduire les solutions de l inéquation > 0 grâce à un tableau de signes D. en déduire les solutions de l inéquation > 0,8 E. est-ce cohérent avec le résultat trouvé graphiquement?

25 4.1.2 activité 2 : signe d un quotient 1. soit le quotient (a) construire un tableau de signes de l epression précédente avec commentaires (b) en déduire l ensemble des solutions de l inéquation : soit le quotient (a) construire un tableau de signes de l epression précédente avec commentaires (b) en déduire l ensemble des solutions de l inéquation :

26 4.2 corrigé activités corrigé activité 1 : signe d un quotient les habitants d une ville sont actuellement peu équipés en téléphones portables un opérateur téléphonique T, a actuellement 20 clients parmi les 800 foyers équipés après une campagne de publicité, le responsable des ventes de cet opérateur T constate que, chaque mois, 400 nouvelles personnes s équipent d un téléphone portable, dont 360 chez T. (a) si les choses continuent ainsi, dans mois, la proportion de foyers équipés chez T parmi tous les foyers équipés est donnée par : f() = nombre de personnes ayant un abonnement chez T nombre de personnes ayant un abonnement au total = la courbe de la fonction f est donnée partiellement ci dessous y i. seuil de 80% A. graphiquement, le nombre de mois à partir duquel 80% des personnes équipées le seront chez l opérateur T est 1 mois B. soit R\{ 2} > 0, ,8 > ,8 ( ) > 0 1 ( ) > > 0

27 C. pour déterminer les solutions de l inéquation > 0, on utilise un tableau de signes annulations = 0 = = = 0 = = donc : > 0 ] ; 2[ ]1 ; + [ D. on en déduit que : > 0,8 ] ; 2[ ]1 ; + [ E. ceci est cohérent avec le résultat trouvé graphiquement ( on retrouve le seuil de 1 mois) ii. seuil de 8% A. graphiquement le nombre de mois à partir duquel 8% des personnes équipées le seront chez l opérateur T est : 3 mois B. soit R\{ 2}, > 0, ,8 > ,8 ( ) > 0 1 ( ) > > 0 C. pour déterminer les solutions de l inéquation > 0 on utilise un tableau de signes : annulations = = = = donc : > 0 ] ; 2[ ]33 ; + [ D. on en déduit que : > 0,8 ] ; 2[ ]33 ; + [ E. ceci est cohérent avec le résultat trouvé graphiquement (on trouve le seuil de 33 mois (valeur eacte), proche du seuil graphique de 3 mois)

28 4.2.2 corrigé activité 2 : signe d un quotient 1. soit le quotient (a) annulations = 12 2 = = , donc : = 0 {17 3 } < 0 ] ; 6[ ]17 3 ; + [ > 0 ] 6 ; 17 3 [ (b) l ensemble des solutions de l inéquation : est S = [ 6 ; 17 3 [ 2. soit le quotient (a) 1, annulations = , = 7 = 1, donc : = 0 {10 7 } < 0 ] 1,4 ; 10 7 [ > 0 ] ; 1,4[ ]10 7 ; + [ (b) l ensemble des solutions de l inéquation : est S =] ; 1,4[ [ 10 7 ; + [

29 4.3 à retenir propriété 4 : (signe d un quotient) quels que soient les réels A et B le signe du produit A est donné par le tableau suivant B signe de A + signe de B le quotient de deu nombres réels de mêmes signes est positif le quotient de deu nombres réels signes contraires est négatif démonstration : (cette propriété est admise)

30 4.4 eercices eercice 9 : (a) soit le quotient i. construire un tableau de signes de l epression précédente avec commentaires ii. en déduire l ensemble des solutions de l inéquation : (b) soit le quotient i. construire un tableau de signes de l epression précédente avec commentaires ii. en déduire l ensemble des solutions de l inéquation : < eercice 10 : résoudre les équations suivantes en utilisant un tableau de signes (a) > 2 (b) +3 < 4 (c) 2 10 > eercice 11 : (a) résoudre chacune des inéquations suivantes graphiquement et algébriquement y i. ii. iii. +3 > 0 +3 < iv

31 équations.1 activités.1.1 activité 1 : atteindre un objectif un fournisseur d accès internet F a fait une étude sur le nombre de foyers connectés à internet dans une certaine ville. Actuellement seulement 200 foyers de cette ville ont une conneion internet dont seulement sont abonnés au fournisseur d accès F chaque mois, 100 nouveau foyers ouvrent une conneion internet dont 90 chez le fournisseur F qui assure une bonne publicité pour ses services (a) montrer que si les choses continuent ainsi, dans mois, la proportion de foyers abonnés chez F parmi tous les foyers qui possèdent une conneion est donnée par : f() = la courbe de la fonction f est donnée partiellement ci dessous y i. donner la proportion des personnes abonnés chez F parmi tous ceu qui ont une conneion internet au premier mois ( = 0) ii. seuil de 0% A. déterminer graphiquement le nombre de mois pour lequel 0% des personnes qui ont une conneion sont abonnés chez F 90+ B. résoudre l équation = 0, C. est-ce cohérent avec le résultat trouvé graphiquement? iii. seuil de 80% A. déterminer graphiquement le nombre de mois à partir duquel 80% des personnes qui ont une conneion sont abonnés chez F B. retrouver ce résultat par la résolution d une équation C. est-ce cohérent avec le résultat trouvé graphiquement? iv. procéder de même pour un seuil de : A. 9% B. 90%

32 .1.2 activité 2 : résolution d équations 1. résoudre chacune des équations suivantes graphiquement et algébriquement y (a) (b) (c) = = = (d) =

33 .2 corrigé activités.2.1 corrigé activité 1 : atteindre un objectif un fournisseur d accès internet F a fait une étude sur le nombre de foyers connectés à internet dans une certaine ville. Actuellement seulement 200 foyers de cette ville ont une conneion internet dont seulement sont abonnés au fournisseur d accès F chaque mois, 100 nouveau foyers ouvrent une conneion internet dont 90 chez le fournisseur F qui assure une bonne publicité pour ses services (a) f() = nombre de personnes ayant un abonnement chez F nombre de personnes ayant une conneion au total = la courbe de la fonction f est donnée partiellement ci dessous y i. proportion des personnes abonnés chez F parmi tous ceu qui ont une conneion internet au premier mois ( = 0) : f(0) = = 200 = 2,% ii. seuil de 0% A. graphiquement, le nombre de mois pour lequel 0% des personnes qui ont une conneion sont abonnés chez F est 2,4 mois B = 0, 0, ( ) = (90+) = = 40 = 9 40 = 2,37 C. ce qui est cohérent avec le résultat trouvé graphiquement (2,37 2,4)

34 iii. seuil de 80% A. graphiquement, le nombre de mois pour lequel 80% des personnes qui ont une conneion sont abonnés chez F est 1 mois B = 0,8 0,8 ( ) = (90+) = = 10 = 1 10 = 1, C. ce qui est cohérent avec le résultat trouvé graphiquement (1, 1) iv. procéder de même pour un seuil de : seuil de 9% : A. graphiquement, le nombre de mois pour lequel 9% des personnes qui ont une conneion sont abonnés chez F ne peut être déterminé avec le graphique donné B = 0,9 0,9 ( ) = (90+) = 90+ = 18 = 18 = 37 S = { 37} l opérateur F ne pourra jamais atteindre 9% avait aucun abonné car pour = 3 mois il n y seuil de 90% : A. graphiquement, le nombre de mois pour lequel 90% des personnes qui ont une conneion sont abonnés chez F ne peut être déterminé avec le graphique donné B = 0,9 0,9 ( ) = (90+) = = 0 ce qui est absurde S = (l équation n admet aucune solution dans R) l opérateur F ne pourra jamais atteindre 90%

35 .2.2 corrigé activité 2 : résolution d équations 1. résoudre chacune des équations suivantes graphiquement et algébriquement y (a) (b) = 0 i. graphiquement : S = { 8} ii. algébriquement : = 0 +8 = 0 = vérifions : 2 ( 8) 4 = 0 S = { 8} = i. graphiquement : S = { 4} ii. algébriquement : = 4 = (+8) = (2 4) 4 et = 8 16 et = 7 et 2 = 24 3,42 et 2 7 S = { 27 4 }

36 (c) = 3 4 i. graphiquement : S = { 2} ii. algébriquement : = 3 4 = (+8) = (2 4) ( 3) et = 6+12 et 2 10 = 20 et 2 = S = { 2} = 2 et 2 (d) = 1 2 i. graphiquement : le graphique ne permet pas de conclure ii. algébriquement : = (+8) = (2 4) 1 et = 2+ 4 et 2 0 = 20 et 2 absurde S = {0}

37 .3 à retenir propriété : (quotient nul) quels que soient les réels A et B, A B = 0 A = 0 et B 0 un quotient de réels est nul si et seulement si le numérateur est nul et le dénominateur non nul démonstration : (cette propriété est admise) propriété 6 : (quotients égau) quels que soient les réels A, B, C et D, A B = C D A D = B C et B 0 et D 0 démonstration : (cette propriété est admise)

38 .4 eercices eercice 12 : (a) résoudre chacune des équations suivantes graphiquement et algébriquement y i. ii. iii. +3 = 0 +3 = 1 +3 = iv. +3 =

39 6 tout en un 6.1 activité globale

40 Activité sur les fonctions homographiques : f() = a+b c+d (c 0 et ad bc 0) A la fin d un spectacle, 400 personnes (200 femmes et 2000 hommes) sont encore dans la salle de concert Chaque minute, 100 femmes et 100 hommes quittent la salle On s intéresse à la proportion de femmes présentes dans la salle au fur et à mesure que le temps passe y 1. calculer les proportions de femmes p(0) et p(20) dans respectivement 0 et 20 minutes. quel est le sens de variation du nombre de femmes? de la proportion de femmes? 2. montrer que la proportion de femmes dans minutes est : p() = donner la nature de la fonction p : et identifier les coefficients a, b, c et d obtenir un tableau de valeurs (départ à 0 fin 30 à et pas de 1) ainsi qu une représentation graphique pour p à l aide d un tableur puis à l aide de géogébra 4. quelle est la nature de la courbe de la fonction p? est-elle à l endroit (comme pour la fonction inverse) ou bien à l envers?. déterminer la valeur interdite pour la fonction p et construire la droite asymptote associée à cette valeur dans le repère ci dessus 6. déterminer la valeur limite pour la fonction p (en et + ) et construire la droite asymptote associée à cette valeur dans le repère ci dessus 7. donner les coordonnées du point P centre de symétrie de la courbe 8. donner le tableau de variations de la fonction p sur ] ; + [ 9. résoudre l équation p() = 0, 6 graphiquement et algébriquement et interpréter ce résultat. de même pour l équation p() = 2% 10. déterminer algébriquement le tableau de signes de p() et les commentaires associés 11. on souhaite résoudre l inéquation > 7, pour cela : montrer que (pour 22,) : 2+4 > 7 0, 8, > 0 en déduire l ensemble des solutions en utilisant un tableau de signes 12. tracer en rouge la courbe correspondant à la proportion de femmes dans la salle pour les 4 premières minutes sur quel intervalle de temps le pourcentage de femmes est-il supérieur à 7%? 13. s il partait 00 femmes et 400 hommes par minutes on aurait alors p() = montrer que cette fonction n est pas une fonction homographique quelle serait sa courbe?

41 6.2 corrigé activité globale

42 Activité sur les fonctions homographiques : f() = a+b c+d (c 0 et ad bc 0) A la fin d un spectacle, 400 personnes (200 femmes et 2000 hommes) sont encore dans la salle de concert Chaque minute, 100 femmes et 100 hommes quittent la salle On s intéresse à la proportion de femmes présentes dans la salle au fur et à mesure que le temps passe y 1. proportions de femmes dans 0mn et 20mn p(0) = , 6% 1.0 p(20) = = = 100% P le nombre de femmes est décroissant la proportion de femmes semble croissante proportions de femmes dans minutes : p() = = p est une fonction homographique avec a = 1, b = 2, c = 2 et d = c 0 et ad bc = 4+0 = tableau de valeurs (départ à 0 fin 30 à et pas de 1) et représentation graphique pour p à l aide d un tableur puis à l aide de géogébra 4. la courbe de la fonction p est un hyperbole à l envers car non semblable à celle de la fonction inverse. valeur interdite et droite asymptote 2+4 = 0 = 4 2 = 22, donc la valeur interdite est 22, et la droite asymptote verticale à la courbe a pour équation = 22, 6. la valeur limite de p p (en et + ) est a c = 1 2 = 0, et droite asymptote horizontale a pour équation y = 0, 7. P(22,;0,) est centre de symétrie de la courbe 22, + 8. tableau de variations de la fonctionpsur] ; + [ : + 0, f() ր ր 9. graphiquement : p() = 0,6 = 10 algébriquement : +2 0,6 = 0,6 = = 0,6( 2+4) +2 = 1, ,2 = ,2 = 2 = 2 0,2 = 10 interprétation du résultat : il y a 60% de femmes après 10mn 0,

43 graphiquement : p() = 2% = 0,2 =? (non visible) algébriquement : +2 0,2 = 0,2 = = 0,2( 2+4) +2 = 1,04+24,44 +1,04 = 24,44 2 0,04 = 0,6 = 0,6 0,04 = 14 interprétation du résultat : il y avait 2% de femmes il y a 14mn 10. tableau de signes de p() et les commentaires associés 22, 2 + annulations = 0 = = 0 = 22, p() = p() = 0 2 p() < 0 ] ; 22,[ ]2 ; + [ p() > 0 ] 22, ; 2[ 11. on souhaite résoudre l inéquation > 7, pour cela : montrer que (pour 22,) : 2+4 > 7 0, 8, > > > 0, ,7( 2 +4) > 2+4 1( 2+4) > 1,+33, ,+33,7 > , 33,7 > , 8,7 2+4 > 0 (C.Q.F.D.) on en déduit l ensemble des solutions en utilisant un tableau de signes : 17, 22, + annulations 0, 8, , 8,7 = 0 = 8,7 0, = 17, = 0 = 22, 0,+8, > 7 ]17,;22,[ 100

44 12. tracer en rouge la courbe correspondant à la proportion de femmes dans la salle pour les 4 premières minutes y P le pourcentage de femmes est supérieur à 7% sur ]17,;2[ 13. s il partait00 femmes et400 hommes par minutes on aurait alorsp() = = montrer que cette fonction n est pas une fonction homographique en effet : ad bc = ( 00) 400 ( 900) 200 = 0 quelle serait sa courbe? : une droite d équation y = = 9 privée du point d abscisse : = =

45 6.3 eercices

46 eercice 1 : montrer dans chaque cas que f est une fonction homographique i. f() = 3+ 1 pour R\{0} ii. f() = 2+ 1 pour R\{3} 3 1 iii. f() = pour R\{4} 3 12 eercice 2 : montrer par un raisonnement par l absurde que si f(0) = 2, f(1) = 2 et f(2) = 3 alors f ne peut pas être une fonction homographique. eercice 3 : soit la fonction f telle que f est homographique, f(1) = 2 et f() = 3+b +4 i. déterminer la valeur de b ii. en déduire l epression de f() en fonction de eercice 4 : déterminer dans chaque cas le domaine de définition (maimal) de la fonction f définie par l epression donnée et préciser la valeur interdite : i. f() = ii. f() = iii. f() = 3 eercice : pour chacune des fonctions suivantes donner la nature de la courbe associée ainsi que les équations des droites asymptotes et le centre de symétrie de la courbe (a) f() = (b) f() = (c) f() = +7 (d) f() = 1 eercice 6 : écrire un algorithme qui donne les équations des droites asymptotes et le centre de symétrie de la courbe si on entre les coefficients de la fonction homographique eercice 7 : (a) soit la fonction homographique f définie par f() = pour R\{} donner le tableau de variations de f (b) soit la fonction homographique f définie par f() = donner le tableau de variations de f pour R\{}

47 eercice 8 : (a) soit le quotient i. construire un tableau de signes de l epression précédente avec commentaires ii. en déduire l ensemble des solutions de l inéquation : (b) soit le quotient i. construire un tableau de signes de l epression précédente avec commentaires ii. en déduire l ensemble des solutions de l inéquation : < eercice 9 : résoudre les équations suivantes en utilisant un tableau de signes (a) > 2 (b) +3 < 4 (c) 2 10 > eercice 10 : (a) résoudre chacune des inéquations suivantes graphiquement et algébriquement y 9 8 i > ii. +3 < iii. iv. eercice 11 : (a) résoudre chacune des équations suivantes graphiquement et algébriquement y 9 8 i = ii. +3 = iii. iv. +3 = 3 +3 =

48 7 tp 7.1 tp1

49 tp : logiciels et étude de fonction nom, prénom :... buts : modéliser Mathématiquement une situation utiliser le logiciel géogebra conjecturer des résultats faire des démonstrations de certaines conjectures situation : Une personne (M Alkwarizmi) dispose d un budget de 90 écus il désire acheter une parcelle rectangulaire de terre à 4 écus le m 2 ainsi qu une clôture à 3 écus le mètre il désire de surcroît dépenser la totalité de son budget afin d avoir la plus grande parcelle possible il vous revient de l aider à déterminer les dimensions CD et DA sa parcelle 1. lancer le logiciel geogebra B C A D 2. créer un point A avec, nouveau point, puis cliquez dans la fenêtre 3. créer le point B en entrant dans la barre de saisie la commande suivante : B = (0,y(A)) 4. créer le point C en entrant dans la barre de saisie la commande suivante : C = (0,0). créer le point D en entrant la commande suivante ( à compléter) : construire les segment [AB], [BC], [CD] et [DA] dans cet ordre (menu ( puis ( puis cliquer sur les points) 7. afficher les longueurs a et d des segments [AB] et [DA] dans cet ordre ( puis puis cliquer sur les segments) 8. capturer le point A et le placer tel que AB = a = 3 et AD = d = 4 (a) calculer le périmètre du champ :... (b) en déduire le pri de la cloture :... (c) calculer l aire du champ :... (d) en déduire le pri du terrain :... (e) en déduire le coût total de l achat :... (f) ce terrain permet-il de dépenser tout le budget? : entrer dans la barre de saisie la commande perimetre = 2 a + 2 d le résultat affiché dans la barre d algèbre est-il cohérent avec le calcul ci dessus? : compléter la commande à entrer pour afficher le pri de la clôture? : priclot = compléter la commande à entrer pour afficher l aire du terrain? : aire = compléter la commande à entrer pour afficher le pri du terrain? : priter = compléter la commande à entrer pour afficher le pri total : pritotal =... (entrer les commandes précédentes ) 14. le résultat affiché pour "pritotal" dans la barre d algèbre est-il cohérent avec le calcul ci dessus? : activer la trace pour le point A (clic droit sur A et cocher "Trace activée") et déplacer le point A jusqu à l aes des abscisses puis jusqu à l ae des ordonnées en essayant de garder un coût total de 90 écus. Les points obtenus sont-ils sur une droite? :...

50 16. l ensemble des point M(; y) qui correspondent à un coût total de 90 ont des coordonnées et y qui vérifient l équation : 3(2+2y)+4y = 90 montrer ci dessous que l on a alors : y = entrer dans la barre de saisie la commande : f() = (90 6)/(6 + 4) que donne cette commande? : déplacer le point A sur la courbe précédente, que donne alors le pri total? : créer un point E sur la courbe précédente avec, nouveau point, puis cliquez dans la courbe 20. créer les points F et G en entrant dans la barre de saisie les commandes suivantes dans cet ordre : F = (0,y(E)) et G = ((E),0) 21. construire les segment [EF] et [EG] dans cet ordre 22. afficher les longueurs g et h des segments [EF] et [EG] dans cet ordre 23. quelle commande entrer dans la barre de saisie pour avoir le coût total d achat du rectangle EFCG? : pritotal2 =... quelle valeur prend "pritotal2" quand on déplace le point E? : entrer dans la barre de saisie la commande : aire2 = g h 2. construire le point M avec la commande M = (g, aire2) 26. activer la trace du point M et déplacer le point E pour déterminer la position de E qui maimise "aire2" donner une valeur approchée de la valeur maimale de "aire2" :... donner les dimensions approimatives du rectangle "idéal" EFCG longueur :... largeur : on cherche maintenant des valeurs plus précise des dimensions du rectangle "idéal" (a) en utilisant une feuille de calcul d un Tableur 28. conclusions i. obtenir le tableau de valeurs de la fonction g() = pour compris entre 3 et 4 avec un pas de 0,01 pour cela : entrer 3 dans A1 puis 3.01 dans A2 puis sélectionner ces deu cellules et tirer vers le bas jusqu à obtenir la valeur 4 dans une cellule entrer la formule qu il faut dans la cellule B1 et tirer vers le bas en vis à vis de la colonne prédédente : B1 =... ii. en déduire la valeur du maimum de la fonction ainsi que la valeur de associée à 0,01 près... maimum... (a) le rectangle "idéal" a pour dimensions : longueur :... largeur :... aire :... (b) quelle semble être la nature de ce rectangle? :...

51 8 évaluations 8.1 devoir maison devoir maison 1. eercice 1 : (13.a. page 97) résoudre l équation suivante : 1 = eercice 2 : (1.a. page 97) résoudre graphiquement l inéquation suivante : eercice 3 : (18.d. page 98) résoudre l équation suivante : 2+3 = eercice 4 : (22.b. page 99) résoudre l inéquation suivante : eercice : (78 page 108) A. Dans une entreprise vendant des céréales une campagne de publicité est faite pour la promotion du produit le pourcentage de personnes connaissant le nom du produit après semaines de publicité est donné par p() = i. calculerp(4) et en déduire le pourcentage de personne ignorant le nom du produit aprèssemainres de publicité ii. l écriture de p() est-elle compatible avec les affirmations suivantes? A. avant la campagne, personne ne connaissait le produit B. après 1 semaines, tout le monde connaît le produit B. l entreprise envisage une campagne de 10 semaines de publicité la courbe de la fonction p() = 80 est représentée ci dessous pour [0;10] +1 y i. déterminer graphiquement la durée nécessaire pour que p() dépasse 60% ii. déterminer graphiquement combien de semaines supplémentaires sont nécessaires pour que le pourcentage p() dépasse 70% iii. la campagne de publicité sera efficace durant les trois premières semaines puis moins efficace ensuite! au vu du graphique, cette affirmation est-elle justifiée?

52 8.2 corrigé devoir maison corrigé devoir maison

53 8.3 évaluation

54 évaluation nom :... eercice 1 : (bonne réponse : 1, réponse fausse :-0,, "sans réponse" : 0 )(O.P.P.S. signifie : "on ne peut pas savoir") ( /7) Question A B C l inverse de 0, 0 est 0, l inverse de 4 6 est , la fonction inverse : 1 est définie sur ] ;+ [ ] ;0[ ]0;+ [ [0;+ [ si un nombre est négatif strict alors son inverse est positif négatif O.P.P.S. si > 0 et croît alors 1 si < 0 et se rapproche de 0 alors 1 si > 0 et tend vers + alors 1 croît décroît O.P.P.S. tend vers tend vers 0 tend vers+ tend vers 0 tend vers tend vers+ eercice 2 : ( /9) On cherche tous les nombres dont les inverses sont compris entre 4 et 9 1. justifier par calcul pourquoi l inverse de n est pas compris entre 4 et 9 2. trouver deu nombres dont les inverses sont compris entre 4 et 9 en justifiant par calcul 3. résoudre algébriquement les équations suivantes : a. 1 = 4 b. 1 = 9 4. résoudre graphiquement les inéquations suivantes : a. 1 4 b. 1 9 (dessiner à main levée sur la copie, la courbe de la fonction inverse et donner les ensembles de solutions avec la notation d intervalles). donner l ensemble de tous les nombres dont les inverses sont compris entre 4 et 9 eercice 3 : ( /4) Soit le nombre A = ( 1 a )2 1 b 2 (b a)(b+a) a 2 b 2 où a et b sont deu nombres non nuls 1. poser le calcul sur la copie et effectuer le calcul à la calculatrice dans le cas où a = 1000 et b = 1001, que donne la calculatrice pour valeur de A? 2. démontrer algébriquement par simplification de l écriture de A que A = 0 3. les résultats précédents sont-ils cohérents? eercice 4 : ( /6) Une entreprise est composée de 400 hommes et de 600 femmes Chaque jour, un des 1000 noms d employés est choisit pour donner son avis sur le menu du jour à la cantine 1. quelle est la probabilité p de tomber sur un homme si on choisit un employé de l entreprise au hasard? 2. Le chef d entreprise dit que pour chacun des 180 jours des 6 derniers mois, "le nom de l employé a été choisit au hasard" Il a ainsi été obtenu 0 hommes et 130 femmes (a) calculer la fréquence f d hommes obtenue (b) quelles hypothèses sont réunies pour déterminer l intervalle de fluctuations pour f? (c) déterminer l intervalle de fluctuations pour la fréquence f (d) le chef d entreprise dit que pour l avis sur le menu du jour, "le nom de l employé a été choisit au hasard" pensez vous que cela ait de grandes chances d être vrai? (préciser)

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