Épreuve du 9 janvier 2012 Durée : 1 heure 30 Calculatrices et documents de cours seuls autorisés. Exercice 1

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François-Xavier Renaud Barbeau
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1 IAE Gustave Eiffel Master 2 Gestion de Portefeuille Université Paris Est Créteil Mathématiques appliquées à la finance J. Printems Année 20 2 Épreuve du 9 janvier 202 Durée : heure 30 Calculatrices et documents de cours seuls autorisés. Exercice On considère l ensemble des paris du tableau concernant une course de 4 chevaux. Une cote «a contre b» sur le cheval i signifie que a e pariés sur i rapporte b e en cas de victoire de ce dernier.. Quelle est la probabilité risque-neutre de victoire de chacun des chevaux? Remplir la colonne adéquate du tableau. 2. On indique dans la quatrième colonne le montant total parié sur chacun des chevaux. Remplissez la dernière colonne du tableau. Quel est le montant de l arbitrage réalisé par le bookmaker? 3. Le cheval 3 fait défaut avant le début de la course. Expliquer comment le bookmaker doit réajuster ses cotes pour continuer à bénéficier d un arbitrage favorable. 4. Dans le cas où les cotes restent les mêmes, expliquer comment un joueur peut tirer parti de cette situation à son avantage.. Soit a i la cote du cheval i. La probabilité implicite risque-neutre de victoire p i du cheval i est par définition celle qui donne un espérance de gain nul, soit a i p i + ( )( p i ) = 0 (ou ( + a i )p i + 0 ( p i ) = ), soit p i = /( + a i ). 2. Soit m i le montant des paris sur le cheval i =, 2, 3, 4. En cas de victoire du cheval i, le bookmaker doit reverser aux joueurs ce qu ils ont misé plus leur mise fois la cote, soit la somme de m i + m i a i = m i ( + a i ). Le montant total des paris étant de m + m 2 + m 3 + m 4 = e, il réalise un arbitrage de 25 e. 3. Le montant des paris est maintenant de 625 e. S il veut garder un arbitrage de 25 e, il peut essayer d ajuster ses cotes de sorte que le montant à reverser aux joueurs soit de 600 e. Pour le premier cheval, il cherche donc a tel que ( + a ) 000 = 600, soit a = 0.6. Pour les deux autres, on trouve a 2 = 2.2 et a 4 =.8.

Exercice On considère l ensemble des paris du tableau concernant une course de 4 chevaux.

2 Il y a une infinité de solutions possibles. En particulier, il n est pas nécessaire d égaliser les montants à reverser. Une condition suffisante pour qu il y ait arbitrage du coté du bookmaker est p + p 2 + p 4 >, p i = /( + a i). 4. Le joueur peut miser sur tous les chevaux au pro rata des montants pariés sur chacun. Il n est cependant pas nécessaire de connaître ces montants puisque ceux-ci sont reflétés par les cotes. Soit θ > 0, une somme à déterminer par la suite. Il suffit de parier θ/(+a i ), c.-à-d. θp i sur chaque cheval i, soit θ/2 sur le premier, θ/4 sur le deuxième et θ/6 sur le troisième. Gain du joueur en cas de victoire de i : θ/( + a i ) + a i θ/( + a i ), soit θ. Montants à soustraire de ces gains : le total de ce qu il a misé, soit θ(p + p 2 + p 4 ). Bilan net : θ ( p p 2 p 4 ) = θ > 0. Table Une course de chevaux cheval cotes probabilités paris gains des joueurs contre /2 e = contre 3 /4 e = contre 4 /5 e = contre 5 /6 e = Table 2 Réponse à la question 3. cheval cotes probabilités paris gains des joueurs contre e = contre e = contre e = 600 2

Il n est cependant pas nécessaire de connaître ces montants puisque ceux-ci sont reflétés par les cotes. Soit θ > 0, une somme à déterminer par la suite. Il suffit de parier θ/(+a i ), c.-à-d.

3 Exercice 2 On considère un marché action dont le rendement annuel R M (de l indice ou du tracker) est modélisé par une loi gaussienne de moyenne 2.95% et d écart-type 8.30%. On suppose qu au début de l année, un investisseur prédit que le marché sera bull ou bear dans l année qui vient. Dans le cas bull, l investisseur investit tout sur le marché action. Dans le cas bear, il investit dans des bons du trésor (US par exemple) dont le rendement est supposé constant R F = 5%. À la fin de l année, le marché sera considéré comme bull si R M > R F et bear dans le cas contraire. On suppose que l investisseur prédit correctement les marchés bull avec une probabilité de 60% et correctement les marchés bear avec une probabilité de 80%. On souhaite évaluer la performance de cette stratégie par rapport à un investisseur qui n investirait que sur le marché action.. Quelle est la probabilité que le marché soit bull? 2. Soit X et Y deux variables définies comme : X = ou 0 selon que respectivement la prévision bull a été correcte ou non et Y = ou 0 selon que la prévision bear a été correcte ou non. Par quelles variables aléatoires connues peut-on modéliser ici X et Y? Quels sont leurs paramètres? 3. On note R le rendement de cette stratégie sur un an. (a) Dans le cas où le marché est bull, exprimer R en fonction de R M, R F et X. (b) Dans le cas où le marché est bear, exprimer R en fonction de R M, R F et Y. 4. Décrivez en quelques lignes l algorithme de Monte Carlo que vous utiliseriez afin d estimer le rendement moyen E(R) de cette stratégie sur un an.. P({R M > R F }) = P({ Z > R F }) = P({Z > 0.43}) = P({Z < 0.43}) 66%. 2. X et Y suivent des lois de Bernoulli respectivement de paramètres p X = 0.6 et p Y = 0.8. (a) R = R M X + ( X) R F. (b) R = R F Y + ( Y ) R M. 3.. Simulation de M copies indépendantes : Z,..., Z M N (0, ). 2. Calcul des rdts du marché : R M,i = Z i, i =,..., M. 3. On tire U suivant une loi uniforme sur [0, ]. Si R M,i > R F (Bull) alors si U 0.6 alors R i = R M,i sinon R i = R F. Si R M,i < R F (Bear) alors si U 0.8 alors R i = R F sinon R i = R M,i. 4. Estimateur de la performance de la stratégie R = M M i= R i, ŝ 2 = M 3 M i= ( R i R) 2.

Dans le cas bear, il investit dans des bons du trésor (US par exemple) dont le rendement est supposé constant R F = 5%.

4 Intervalle de confiance à 95% : R.96 ŝ E(R) R ŝ M M Exercice 3 On considère un modèle binomial à N = 2 périodes. Les paramètres de l actif risqué sont S 0 = 6 (spot), u = 2 = /d et l actif sans risque évolue avec un taux R = 25%.. Remplir les cases manquantes de la figure. 2. Quelles sont les probabilités risque-neutre du modèle? 3. On considère l option de maturité T = 2 et de payoff H = (S 0 + S + S 2 )/3. (a) Expliquer en quoi l option peut être considérée comme «trajectoire dépendante». (b) Quelles valeurs possibles peut prendre le triplet (S 0, S, S 2 )? Donner également leurs probabilités. (c) En déduire un prix à t = 0 pour une telle option. (d) Donner la stratégie de couverture à t = 0 pour cette option.. Voir figure. 2. On cherche p = P(S = 32) telle que p 32 + ( p) 8 = 6 ( + R) = 20, c.-à-d. telle que E(S ) = ( + R)S 0. Il vient p = 2 24 = 2. (On peut aussi appliquer la formule CRR p = ( + R d)/(u d)). 3. (a) Le payoff de l option de maturité T = 2 ne dépend pas que de la valeur du sous-jacent à la date T mais que de son histoire (S 0, S, S 2 ) en particulier de là où il est passé en T =. (b) Il y a quatre scénarii possibles : (6, 32, 64) avec probabilité p 2 = /4, (6, 32, 6) avec probabilité p( p) = /4, (6, 8, 6) avec probabilité ( p)p = /4 et (6, 8, 4) avec probabilité ( p) 2 = /4. (c) Le juste prix pour une telle option est l espérance actualisée de son payoff sous la probabilité risque-neutre, soit ( ( ) ( ) ( ) ( + R) soit 3.0. (d) On note V 0 = 3.0 le prix de l option. Trouver une stratégie de couverture en t = 0, c est constituer, en t = 0, un portefeuille de réplication de l option de richesse initiale V 0. 4 ( )),

3. On considère l option de maturité T = 2 et de payoff H = (S 0 + S + S 2 )/3. (a) Expliquer en quoi l option peut être considérée comme «trajectoire dépendante».

5 On cherche donc x, la proportion d actif risqué, et y, le montant en liquide, tels que V 0 = xs 0 + y, ET V = xs + y( + R), où V est la valeur de l option en t =. Il reste à calculer les valeurs possibles de V à t =. Par définition, V = +R E(H S ), donc deux valeurs possibles : V = + R E(H S = 32) = + R E((S 0 + S + S 2 )/3 S = 32) ( = + ) + R 3 3 E(S 2 S = 32) = (6 + 40/3) + R V = + R E(H S = 8) = + R E((S 0 + S + S 2 )/3 S = 8) ( = + ) + R 3 3 E(S 2 S = 8) = (8 + 0/3) + R 9.07 Au passage, on retrouve bien numériquement que V 0 = /( + R)E(V ). Les deux équations linéaires que doivent satisfaire x et y sont données par les deux scénarii possibles pour V = xs + y( + R) : 32x + ( + R)y = 23.47, 8x + ( + R)y = Il vient x = = 0.6, y = V 0 xs

Par définition, V = +R E(H S ), donc deux valeurs possibles : V = + R E(H S = 32) = + R E((S 0 + S + S 2 )/3 S = 32) ( 6 + 32 = + ) + R 3 3 E(S 2 S = 32) = (6 + 40/3) + R 23.

6 S 0 S S Figure Modèle binomial à deux périodes (Cf. Exercice 3) 6

7 Table 3 Tabulation de N(x) = P (Z x) où Z N (0, ) pour x [0, 3]. Première colonne = dixièmes ; première ligne = centièmes. Ex : N(0.73) =

590 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.603 0.64 0.3000 0.679 0.627 0.6255 0.6293 0.633 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.657 0.4000 0.6554 0.659 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879 0.

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