par : Bx: 10* 1 lnx /x 10* x x Bx = 0,x

Transcription

1 Métropole Juin 20 Série ES Eercice Dans une entreprise, le résultat mensuel, eprimé en milliers d euros, réalisé en vendant centaines d objets fabriqués est modélisé par la fonction B définie et dérivable sur l intervalle 0,;0 par : B + ln = 0 Si B( ) est positif il s agit d un bénéfice ; s il est négatif, il s agit d une perte.. Caroline utilise un logiciel de calcul formel. A plusieurs reprises, elle entre une commande, et le logiciel renvoie une réponse. Elle obtient l écran suivant : ( ) (Commande) = + (Réponse ) B: 0* ln / (Commande) dériver ( B, ) (Réponse 2) + ln > 0* ( + ) ( ) 0 0* ln * B = 0, (Commande) résoudre (Réponse 3) ep( ) (Commande) résoudre ( B > 0,) (Réponse 4) > ep( ) (Commande) maimum B,0,;0 (Réponse 5) 0 a. Traduire sur le graphique donné en annee, illustrant la courbe représentative de la fonction B, les réponses 3, 4 et 5 renvoyées par le logiciel de calcul formel. b. Justifier la réponse 3 renvoyée par le logiciel de calcul formel. Interpréter cette valeur en termes de résultat mensuel pour l entreprise. 2. a. Démontrer qu une primitive de la fonction B sur l intervalle 0,;0 est la fonction F définie sur 0,;0 par : = 5ln ( ln + 2) F PanaMaths [ - 6 ] Avril 202

2 ,5 b. Calculer B d 3 puis en donner une valeur approchée à 0 près. 0,5 Ce nombre représente le bénéfice mensuel moyen en milliers d euros lorsque l entreprise produit et vend chaque mois un nombre d objets compris entre 50 et 50. c. Pour quel nombre d objets le bénéfice mensuel B est-il maimal? Justifier la réponse par un calcul. Annee à rendre avec la copie PanaMaths [ 2-6 ] Avril 202

3 Analyse Ca y est! L informatique «débarque» très clairement dans un eercice de baccalauréat! Evidemment, ceci est en accord avec l introduction de l algorithmique dans les nouveau programmes Pour autant, l énoncé de l eercice proposé reste très «lisible» et aucune difficulté substantielle n apparaît vraiment au-delà d éventuelles notations liées à l écriture informatique (par eemple : symbole «*» utilisé à la place du classique de la multiplication). Autre remarque (et autre message!) : l eercice n est pas purement mathématique puisque le cadre en est l étude du bénéfice lié à la production d une entreprise. Ainsi, on retrouve ce qui a toute chance d être désormais une «trilogie classique» dans les sujets de mathématiques de la série ES : cadre économique/modélisation mathématique/eploitation du modèle mathématique via l outil informatique. On insiste donc davantage sur l utilisation effective des mathématiques via l outil informatique. Elle revêtent ainsi une dimension nettement plus opérationnelle Pourquoi pas? Résolution Question.a. Dans sa troisième demande, Caroline recherche les solutions de l équation B( ) = 0. Le logiciel lui renvoie la valeur e = qui est donc l abscisse du point d intersection de la e courbe représentative de la fonction B et de l ae des abscisses. Dans sa quatrième demande, Caroline recherche les solutions de l inéquation B( ) > 0. Le logiciel lui renvoie l intervalle e ; + = ; + e. Les points correspondants de la courbe représentative de la fonction B sont situés au-dessus de l ae des abscisses. Dans sa cinquième demande, Caroline recherche la valeur maimale prise par la fonction B 0,;0. Le logiciel lui renvoie la valeur 0 : c est l ordonnée du point sur l intervalle [ ] maimum de la courbe représentative de la fonction B sur l intervalle [ 0,;0 ]. Sur la figure de la page suivante, nous avons illustré ces trois résultats : matérialisation du point d intersection de la courbe représentative de la fonction B avec l ae des abscisses (point d abscisse e ), matérialisation du sommet S d ordonnée 0, valeur maimale de la fonction B sur l intervalle [ 0,;0 ] et, enfin, matérialisation (en bleu) de la partie de l ae des abscisses correspondants au points d abscisses strictement supérieures à e. PanaMaths [ 3-6 ] Avril 202

4 Question.b. On s intéresse ici à l équation B( ) = 0 sur l intervalle [ 0,;0 ]. On a : B = 0 + ln 0 = 0 + ln = 0 ln = = e Comme e [ 0,; 0], il s agit bien de la solution de l équation 0 B = sur cet intervalle. Comme e 2 = 0,37 (valeur arrondie à 0 et il s agit d une valeur arrondie par ecès) on e en déduit que pour une production de 37 objets, le bénéfice réalisé est pratiquement nul. La fonction B s annule sur l intervalle [ 0,;0 ] pour = e. Pour une production de 37 objets, le bénéfice réalisé est pratiquement nul. PanaMaths [ 4-6 ] Avril 202

5 Question 2.a. On considère la fonction F définie sur [ 0,;0 ] par F: 5ln ( ln + 2). Elle est dérivable sur [ 0,;0 ] comme produit de fonctions définie et dérivables sur cet intervalle. Pour tout réel dans [ 0,;0 ], on a : F' ( ) = 5ln ( ln + 2) = 5 ( ln + 2) + ln ln ln 2 ln + 2 ln + = 5 = 5 = 0 = B La fonction F est bien une primitive de la fonction B sur l intervalle [ 0,;0 ]. La fonction F définie sur l intervalle [ 0,;0 ] par F : 5ln ( ln + 2) est une primitive de la fonction B sur cet intervalle. Question 2.b. 0,;0, on peut utiliser la primitive de B obtenue à la question précédente et il vient : Comme l intervalle [ 0,5 ;,5] est inclus dans l intervalle [ ] = 5ln ( ln + 2) 0,5 = 5ln,5 ( ln,5 + 2) 5ln 0,5( ln 0,5 + 2) 2 2 = 5{ ( ln,5 ) ( ln 0,5) + 2( ln,5 ln 0,5 )} = 5 ( ln,5 ln 0,5)( ln,5 + ln 0,5) + 2( ln,5 ln 0,5) = 5( ln,5 ln0,5)( ln,5 + ln0,5+ 2),5,5 0,5 B d, 5 3 = 5ln ln + ln + 2 0,5 2 2 = 5ln 3 ln 3 2ln , 406,5 B d= 5ln 3 ln 3 2ln , 406 0,5 Le bénéfice mensuel moyen réalisé par l entreprise pour une production comprise entre 50 et 50 unités est égal à environ euros. PanaMaths [ 5-6 ] Avril 202

6 Question 2.c. La fonction B est dérivable sur [ 0,;0 ] comme rapport de deu fonctions dérivables sur cet intervalle et on a, pour tout réel dans [ 0,;0 ] : ( ln + ) ln ln ' 0 B = = 0 = Remarque : l epression renvoyée par le logiciel de calcul formel diffère substantiellement mais on a : ln + ln ln + = 0 = 0 = B ' Le logiciel de calcul formel considère en fait la fonction B sous la forme : Il dérive ensuite un produit : = + 0 ( ln ) B ( ) ( ) ln B' ( ) = ( + ln) = Revenons à l étude du signe de B '( ). 0 Comme 2 du signe de ln. On a donc immédiatement : est strictement négatif sur l intervalle [ 0,;0 ], le signe de B ' Pour tout réel de l intervalle [ 0,; [, on a ln < 0 et B ' = 0. Pour tout réel de l intervalle ] ;0 ], on a ln > 0 et B' > 0. B' < 0. est l opposé La fonction B est donc strictement croissante sur l intervalle [ 0,; ] et strictement décroissante sur l intervalle [ ;0 ]. Elle admet donc un maimum pour = et ce maimum + ln vaut : B() = 0 = 0. Remarque : ce résultat est en accord avec la 5 ème réponse renvoyée par le logiciel de calcul formel. Le bénéfice réalisé par l entreprise pour une production comprise entre 0 et 000 objets sera maimal lorsque cette production sera de 00 objets. La valeur du bénéfice est alors de euros. PanaMaths [ 6-6 ] Avril 202