Mathématiques approfondies (parcours MID) Semestre Ensembles et applications

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1 Université Paris XII Licence Économie-Gestion Mathématiques approfondies (parcours MID) Semestre 2 1. Ensembles et applications Exercice 1 On considère l ensemble F des fruits, l ensemble R des fruits ronds et l ensemble O des oranges. Sur l ensemble F, on considère les propriétés P : être rond et Q : être une orange. On rappelle que les oranges, les melons et les pamplemousses sont des fruits ronds. 1. Écrire l assertion (qui est vraie) ( ) si ce fruit est une orange, alors il est rond en termes des propriétés P et Q. d ensembles? Comment se traduit-elle en termes 2. Énoncer la contraposée de ( ). L écrire en termes des propriétés P et Q. Est-elle vraie? Comment se traduit-elle en termes d ensembles? 3. Mêmes questions pour la réciproque de ( ). 4. Mêmes questions pour la réciproque de la contraposée de ( ). 5. Mêmes questions pour la contraposée de la réciproque de ( ). Exercice 2 On considère sur l ensemble Z les propriétés P : être impair et Q : ne pas être divisible par Parmi les implications suivantes, déterminer lesquelles sont vraies et lesquelles sont fausses. P Q (non P ) Q P (non Q) (non P ) (non Q) 2. Écrire les contraposées des implications précédentes et déterminer lesquelles sont vraies et lesquelles sont fausses. 3. Mêmes questions pour les réciproques des implications de la question (1). Exercice 3 ensemble Ω. On considère l opération (différence symétrique) sur un 1. La différence symétrique est elle commutative? Associative? 2. Existe-t-il un élément neutre pour, c est-à-dire une partie X Ω telle que X A = A pour tout A Ω? 1

2 3. Existe-t-il un élément absorbant pour, c est-à-dire une partie Y Ω telle que Y A = Y pour tout A Ω? 4. L union est-elle distributive par rapport à la différence symétrique? L intersection est-elle distributive par rapport à la différence symétrique? 5. La différence symétrique est elle distributive par rapport à l union? Par rapport à l intersection? Exercice 4 Soit une fonction f : R R. 1. Écrire la négation de l assertion suivante : A R, B R, x B, f(x) A. (Remarque : l assertion ci-dessus signifie par définition que f(x) tend vers + quand x tend vers +.) 2. Écrire la négation de l assertion suivante : M R, x R, f(x) M. (Remarque : l assertion ci-dessus signifie par définition que la fonction f est majorée.) 3. Écrire la négation de l assertion suivante : M R, m R, x R, m f(x) M. (Remarque : l assertion ci-dessus signifie par définition que la fonction f est bornée.) Exercice 5 Soit Ω un ensemble. Pour tout A X on note 1 A la fonction indicatrice de A, c est-à-dire l application de X dans {0, 1} définie par 1 A (x) = 1 si x A, 1 A (x) = 0 si x / A. 1. Soit A et B deux parties de Ω. Exprimer 1 A B, 1 A B, 1 A B, 1 Ā et 1 A\B en fonction de 1 A et 1 B. 2. En utilisant les fonction indicatrices, montrer que si A, B et C sont des parties de Ω, alors A B C = A (A \ B) (A \ C). 3. Soit A, B et C sont des parties de Ω. Exprimer 1 (A B) (B C) (A C) en fonction de 1 A, 1 B et 1 C. 2

3 4. Soit A et B deux parties de Ω. Montrer que 1 A 1 B si et seulement si A B. Exercice 6 Soit f : A B une application entre deux ensembles A et B. On consière l application Φ : P(A) P(A) définie par pour tout X P(A). Φ(X) = f 1 (f(x)) 1. Montrer que pour tout X A on a X Φ(X). 2. Montrer que f est injective si et seulement si X = Φ(X) pour tout X A. Indication : on pourra montrer chacune des implications par contraposition. 3. Montrer que les trois assertions suivantes sont équivalentes : (a) f est injective, (b) Φ est injective, (c) Φ est surjective. Indication : on pourra montrer que (a) équivaut à (b) et que (a) équivaut à (c) ; on pourra notamment utiliser la question précédente. 4. Montrer que Φ Φ = Φ. Exercice 7 Soit f : A B une application entre deux ensembles A et B. Montrer que pour tout Y B on a f(f 1 (Y )) Y. Montrer sur des exemples que cette inclusion peut être stricte. Exercice 8 Soit A et B deux ensembles, g : A B et f : B A deux applications telles que f g = id A. Montrer que g est injective et que f est surjective. Exercice 9 Soit un ensemble A et une application f : A P(A). 1. Montrer que l ensemble X = {x A x / f(x)} n a pas d antécédent par f. Indication : on pourra raisonner par l absurde. S il existe un x 0 A tel que X = f(x 0 ), on pourra montrer que les hypothèses x 0 f(x 0 ) et x 0 / f(x 0 ) aboutissent chacune à une contradiction. 2. En déduire que A et P(A) ne sont pas équipotents. Exercice 10 Soit un ensemble E et une application f : P(E) P(E) qui est croissante pour l inclusion, c està-dire que A B implique que f(a) f(b). Soit V l intersection des parties Z de E telles que f(z) Z, et soit W la réunion des parties Z de E telles que Z f(z). 3

4 1. Montrer que f(v ) = V et que f(w ) = W. 2. Montrer que pour toute partie Z de E telle que f(z) = Z on a V Z W. Exercice 11 Parmi les relations =,,, <, > et être divisible par, lesquelles sont réflexives? Transitives? Symétriques? Antisymétriques? Exercice 12 Soit un ensemble X. Sur P(X), quelles sont les propriétés de la relation d inclusion? Exercice 13 Soit un ensemble E. On rappelle qu une partition de E est une famille (E i ) i I de parties de E deux à deux disjointes et telles que E = i I E i. 1. Soit une relation d équivalence sur E. Montrer que l ensemble des classes d équivalence pour forment une partition de E. 2. Réciproquement, montrer qu une partition de E définit une relation d équivalence sur E. 4

5 Université Paris XII Licence Économie-Gestion Mathématiques approfondies (parcours MID) Semestre 2 2. Dénombrabilité, récurrence et propriétés de R Exercice 14 Notation : n a k = a 0 + a a n. k=0 Montrer par récurrence les énoncés suivants. Exercice 15 n N, n N, n k=0 n N, n k = k=0 n k 2 = k=0 x k = 1 xn+1 1 x n(n + 1) 2 n(n + 1)(2n + 1) 6 (x 1 étant fixé) 1- Soient a, b R, montrer qu il existe n N tel que a + 1 n < b. Soit n 0 = [na] + 1 montrer que n0 n Q. En déduire que tout intervalle de R contient au moins un rationel. 2- Soient q, q Q tels que a < q < q < b. Les réels x = 1 2 (q q) et y = r + x sont-ils rationels? Montrer que a < y < b et en déduire que tout intervalle de R contient au moins un irrationnel. 3- Montrer que dans tout intervalle de R, il y a une infinité de rationels (on pourra construire cette suite par un procédé récurrent). 4- Montrer de même que dans tout intervalle de R, il y a une infinité d irrationnels. Exercice 16 Soit A et B deux parties non vides et majorées de R. 1- Montrer que si A B, alors supa supb. 2- Montrer que A B est majorée et déterminer sup(a B). 3- Soit C = {z R, x A, y B, z = x + y}. Montrer que C est majorée et calculer supc. 4- Soit D = {z R, x A, y B, z = x + y}. Montrer que D est majorée et calculer /rmsupd. Exercice 17 On rappelle qu un entier 2 est dit premier s il n est divisible par aucun entier autre que lui-même et 1. On admettra que tout entier 2 est divisible par au moins un nombre premier. 5

6 1. Énumérer les dix premiers nombres premiers. 2. On se propose de montrer que l ensemble des nombres premiers est infini. On raisonne par l absurde en supposant qu il n existe qu un nombre fini de nombres premiers. On les notera p 1,..., p n. On pose q = 1 + n p k = 1 + p 1 p 2... p n. k=1 Montrer que q est un nombre premier. Conclure. Exercice 18 On dit que a R est un point adhérentà la partie A R si ε > 0, ]a ε, a + ε[ A. On note A l ensemble des points adhérents à la partie A. 1- Déterminer Q, R \ Q, ]a, b], B pour B = {1/n, n N }. 2- Montrer que A B A B, y-a-t il égalité? Montrer que A B = A B. Exercice 19 On dit que a R est un point intérieur de A R si εx U, ]x ε, x + ε[ A. 1- Montrer que si A R et si A c est sont complémentaire, alors les points intérieurs à A c sont exactement les points du complémentaire de A. 2- Déterminer les points intérieurs de Q, R \ Q, [a, b[ et B = {1/n, n N }. 3- Que peut-on dire de l ensemble des points intérieurs de A B et A B? 6

7 Université Paris XII Licence Économie-Gestion Mathématiques approfondies (parcours MID) Semestre 2 3. Suites numériques Exercice 20 Soit (u n ) la suite de réels définie par n N, u n = 3n 1 2n Montrer que cette suite est croissante et majorée. 2. Montrer en utilisant la définition de la limite que lim n + u n = 3 2. Exercice 21 x R. On veut étudier la convergence de la suite u n = x n pour 1. Soit a R +, montrer par récurrence sur n que En déduire la limite de (1 + a) n. n N, (1 + a) n > 1 + na. 2. On suppose 0 < x < 1, montrer que lim n + x n = Etudier les cas x = 1 et x 0 et conclure. 4. Etudier la suite u n = an b n a n +b n pour a b. Exercice Soit (u n ) une suite de nombres réels. On suppose qu il existe k > 1 et n 0 N tel que u n0 > 0 et n n 0, u n+1 ku n. Démontrer que lim u n = +. n + 2. Soit (v n ) une suite de nombre réels. On suppose qu il existe un nombre réel k et un entier n 0 tels que 0 < k < 1 et Montrer que lim u n = 0. n + n n 0, v n+1 k v n. Exercice 23 Indiquer avec une brève justification si chacun des énoncés suivants est vrai pour deux suites de réels (u n ) n N et (v n ) n N. 7

8 1. Si (u n ) est croissante et convergente, alors elle est majorée. 2. Si (u n ) est majorée et convergente, alors elle est croissante. 3. Si (u n ) est décroissante et positive, alors elle converge. 4. Si (u n ) est croissante et non majorée, alors elle diverge. 5. Si (u n ) et (v n ) sont divergentes, alors (u n + v n ) est divergente. 6. Si (u n ) est convergente et (v n ) divergente, alors (u n + v n ) est divergente. 7. Si (u n ) est convergente et (v n ) divergente, alors (u n v n ) est divergente. 8. Si (u n ) tend vers 0, alors (u n v n ) tend vers 0. Exercice 24 Soit θ R. Calculer (en fonction de θ) la limite quand n + des suites suivantes. 1. u n = n θ e n 2. u n = nθ log n 3. u n = ne θn Exercice 25 Irrationalité du nombre e. On considère les deux suites de nombres réels (u n ) n N et (v n ) n N définies par u n = ! n!, v n = u n + 1 nn!. 1. Montrer que la suite (u n ) n N est croissante et la suite (v n ) n N décroissante. 2. Montrer que pour tout n 1 on a u n v n. 3. Montrer que lim n + (v n u n ) = En déduire que les suites (u n ) n N et (v n ) n N sont convergentes et de même limite. On admettra que cette limite est le nombre réel e. 5. Montrer que pour tout entier n > 0 il existe un unique nombre réel θ n tel que 0 < θ n < 1 et ( ) e = ! n! + θ n nn!. 6. On se propose de montrer que e est irrationnel. Pour cela, on raisonne par l absurde en supposant que e = p q avec p et q dans N. (a) Écrire la formule ( ) avec n = q et multiplier les deux membres de l égalité par qq!. 8

9 (b) Obtenir une contradiction et conclure. Exercice 26 Moyenne arithmétique et moyenne harmonique. On considère les suites (u n ) n N et (v n ) n N définies par u 0, v 0 (avec 0 < u 0 < v 0 ) et les relations de récurrence u n+1 = u n + v n, v n+1 = 2u nv n. 2 u n + v n (On dit que u n+1 est la moyenne arithmétique de u n et v n et que v n+1 est la moyenne ( harmonique de u n et v n ; v n+1 peut être aussi défini par la relation 1 v n+1 = u n + 1 v n ).) 1. Montrer que pour tout n N on a 0 < u n < v n. Indication : on pourra procéder par récurrence. 2. Montrer que (u n ) est croissante et (v n ) décroissante. Indication : on pourra procéder par récurrence. 3. Montrer que le produit u n v n est constant. 4. Montrer que les suites (u n ) n N et (v n ) n N convergent vers une même limite l R que l on calculera en fonction de u 0 et v 0. Exercice 27 Notation : si par exemple u n 0, v n + et u n v n 0, on notera symbo-liquement 0 = 0. Donner des suites illustrant les possibilités suivantes = = l (avec l R \ {0}) 3. 0 = ± 4. = l (avec l R) 5. = ± = = l (avec l R \ {0}) = = l (avec l ]0, 1[) = = l (avec l ]1, + [) = + 9

10 Exercice 28 suites suivantes. (A faire plus tard) Calculer la limite quand n + des ) n 1. u n = ( n 2. u n = n sin ( ) 1 n 3. u n = n ( 2 cos ( 1 n 4. u n = n 2 tan ( ) 1 n 2 5. u n = n log ( 1+n n ) 1 ) ) 10

11 Université Paris XII Licence Économie-Gestion Mathématiques approfondies (parcours MID) Semestre 2 4. Fonctions Exercice 29 Calculer les limites suivantes: 1 x x + 1 x x 1. x n + x + 1 x m + x lim x 0 2. lim x + (on distinguera suivant les valeurs de m et n.) Exercice 30 Soit f une fonction réelle définie sur R périodique de période T. On suppose que f admet une limite l en +, montrer que f est la fonction constante de valeur l. Exercice 31 Soit f la fonction définie sur R par f(x) = xe [ 1 x]. Montrer que lim f(x) = 1 (on pourra dissocier l étude de la limite à gauche et de la limite x 0 à droite). Exercice 32 Montrer que l équation x 5 3x 1 = 0 admet au moins une solution entre 1 et 2. Exercice 33 Soit a R et f une fonction réelle définie et continue sur R telle que f(1) = a et vérifiant x, x R, f(x + x ) = f(x) + f(x ). 1. Montrer que : n N, f(n) = na. 2. Montrer que : q N, f(1/q) = a/q. En déduire f(r) = ra pour tout rationnel r. 3. En utilisant que tout nombre réel est limite d une suite de rationnels, montrer que f(x) = ax pour tout x R. Exercice 34 Soit f une fonction réelle définie et continue sur R. On suppose lim f(x) = + et lim f(x) =. x + x 1. Démontrer qu il exists y R et z R tels que f(y) 0 et f(z) 0. En déduire que l équation f(x) = 0 a au moins une solution. 2. Montrer que tout polynôme de degré impair à coefficients réels admet au moins une racine réelle. 11

12 Exercice 35 Soit f une fonction définie, continue sur R et périodique de période T. Montrer que f est bornée sur R. Exercice 36 Soit une fonction continue f : [a, b] [a, b]. Montrer que f admet un point fixe, c est-à-dire qu il existe un réel y [a, b] tel que f(y) = y. Indication : on pourra appliquer le théorème des valeurs intermédiaires à la fonction g : x f(x) x. Exercice 37 Un exemple de fonction dérivable sur R mais qui n est pas de classe C 1 sur R. On considère la fonction f : R R définie par ( ) 1 f(x) = x 2 sin si x 0, f(0) = 0. x 1. Montrer que la fonction f est continue sur R. 2. Montrer que f est dérivable sur ]0, + [ et ], 0[ et calculer f sur ces intervalles. 3. Montrer que f est dérivable en 0 et calculer f (0). ( ) 4. Calculer f 1 π 2 +2nπ pour tout entier n. En déduire que f n est pas continue en 0. Exercice 38 Calculer, sur des ensembles à préciser, les dérivées des fonctions suivantes. ( 1. x arctan ( 2. x log x+5 x 2 ) ) 1 x x 3. x log(x + x 2 + 1) 4. x x + x + x 5. x e x2 Exercice 39 Calculer, sur des ensembles à préciser, la dérivée de la fonction ( ) 1 f : x arctan(x) + arctan. x Que peut-on en déduire? Exercice 40 Soit f une fonction définie au voisinage du nombre réel x 0 R. On considère la fonction g : h f(x 0 + h) f(x 0 h). 2h 12

13 1. On suppose f dérivable en 0, calculer lim h 0 g(h). 2. On suppose que f a une dérivée à droite et une dérivée à gauche en 0, calculer lim h 0 g(h). 3. On suppose f(x) = x sin ( 1 x) et x0 = 0. La fonction f est-elle dérivable en 0? Montrer que lim h 0 g(h) existe. Exercice 41 Soit k R et f la fonction réelle définie sur R par ( ) 1 f(x) = x 2 sin si x 0 et f(0) = 0. x 1. Montrer que f est dérivable en tout point de R. 2. On suppose 0 < k < 1, montrer que pour tout α > 0 la fonction f change de signe sur ] α, α[. La fonction f est-elle continue sur R? Exercice 42 Soit a R + et (u n ) la suite de nombres réels définie par u 0 = a et ( n N, u n+1 = 1 + u n ). 1. Montrer qu il existe un unique réel l tel que l = 1 + l. Montrer que l = On suppose a l, montrer que 3. On suppose a l, montrer que n N, 0 u 0 u n u n+1 l. n N, u 0 u n u n+1 l. 4. Montrer que pour tout a R +, la suite u n converge l. 13