Angles orientés Cours maths 1ère S

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1 Angles orientés Cours maths 1ère S Cercle trigonométrique Dans tout ce chapitre le plan est rapporté à un repère orthonormé (O,, ). Définition Le cercle trigonométrique C est le cercle de centre O, de rayon 1, orienté dans le sens direct (appelé sens positif ou sens trigonométrique) qui est le sens contraire de la rotation des aiguilles d une montre. Le sens de rotation des aiguilles d une montre est appelé sens indirect ou sens négatif.

2 Repérage sur le cercle Pour tout nombre réel t, on appelle image sur le cercle C, le point M obtenu en se déplaçant d une longueur t sur C à partir de : dans le sens direct si t est positif, dans le sens indirect si t est négatif. Propriété Tout point du cercle trigonométrique est l image d une infinité de nombres réels. Si t est l un d entre eux, les autres nombres réels sont de la forme où. Associer un point du cercle à un nombre réel, c est-à-dire à un point de la droite, revient à enrouler la droite sur le cercle.

3 Si t et t sont deux nombres réels qui ont la même image sur le cercle, alors l enroulement de la droite sur le cercle de t à t correspond à un nombre entier k de tours du cercle. Le périmètre du cercle étant, k tours du cercle correspondent à et avec k positif si pour aller de t à t on a enroulé la droite dans le sens positif et k négatif si on a enroulé la droite dans le sens négatif. Exemple Le point K est l image de mais aussi de de

4 Angles orientés et mesures Soient et deux vecteurs non nuls M et N les points tels que et M et N les points d intersection des demi-droites [OM) et [ON) avec le cercle trigonométrique C. Définition L angle orienté (, ) est l angle de la rotation r de centre O qui transforme M en N. Soit l image du point par cette rotation. Les mesures de l angle orienté (, ) sont les nombres réels t dont est l image sur C. On admet que cette définition est indépendante du repère choisi.

5 Remarque désigne aussi bien l angle orienté des deux vecteurs et que l une de ses mesures. Attention A ne pas confondre un angle géométrique et un angle orienté. Angles géométriques : Angles orientés :

6 Un angle géométrique est toujours positif. Un angle orienté peut être négatif. Cela dépend de l orientation choisie. Mesure principale d un angle orienté Définition Parmi toutes les mesures d un angle orienté, une seule appartient à l intervalle. On l appelle la mesure principale de l angle orienté. Soit la mesure principale de l angle. Alors, les autres mesures de l angle sont les nombres réels où On note OU On a (en radians) où désigne l angle géométrique de sommet O. Exemple La mesure principale de l angle de est En effet, on a donc avec

7 La mesure principale de l angle est En effet, on a : donc avec Propriétés des angles orientés Soient et deux vecteurs non nuls

8 Si et sont deux nombres réels Si et sont de même signe :

9 ou

10 Si et sont de signes contraires ou

11 Relation de Chasles Vecteurs colinéaires et angles orientés Soient et deux vecteurs non nuls et et sont colinéaires et de même sens si et seulement si sont colinéaires et de sens contraire si et seulement si

12 et sont colinéaires si et seulement si c est-à-dire avec et colinéaires et de même sens. et colinéaires et de sens contraires.