Distributivité de la multiplication par rapport à l addition Exercices corrigés

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1 Distributivité de la multiplication par rapport à l addition Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : décrire une expression en utilisant les termes somme, différence, produit et quotient Exercice 2 : reconnaitre une expression factorisée et une expression développée Exercice 3 : utiliser la distributivité de la multiplication par rapport à l addition Exercice 4 : utiliser la distributivité de la multiplication par rapport à l addition Exercice 5 : développer et calculer une expression Exercice 6 : développer et réduire une expression Exercice 7 : repérer un facteur commun dans une expression développée Exercice 8 : factoriser une expression où le facteur commun est mis en évidence Exercice 9 : factoriser et réduire une expression où le facteur commun est mis en évidence Exercice 10 : factoriser une expression en cherchant le facteur commun Exercice 11 : factoriser une expression en cherchant le facteur commun Exercice 12 : développer une expression puis la réduire à l aide de la factorisation Exercice 13 : calculer astucieusement à l aide de la factorisation Exercice 14 : calculer astucieusement à l aide du développement Exercice 15 : calculer mentalement en faisant appel à la distributivité Exercice 16 : utiliser la distributivité pour résoudre un problème Exercice 17 : utiliser la distributivité en géométrie pour calculer l aire d un rectangle Exercice 18 : suivre un programme de calcul et le simplifier en faisant appel à la distributivité Exercice 19 : utiliser la distributivité pour montrer que la somme de deux nombres pairs est paire Exercice 20 : calculer le périmètre et l aire d un carré avant et après agrandissement de ses côtés Exercice 21 : calculer la longueur d un arc de cercle Exercice 22 : effectuer un calcul difficile sans calculatrice grâce à la distributivité Exercice 23 : tester une égalité où apparaît la distributivité Accès direct au site 1

2 Exercice 1 (2 questions) Niveau : facile 1) Dans chacun des six cas suivants, décrire l expression en utilisant à bon escient les mots «somme», «différence», «produit» et «quotient». 2) Effectuer les calculs des différentes expressions ci-dessus en respectant les règles opératoires. Correction de l exercice 1 Rappel : Somme de termes Lorsque l on additionne des nombres, on obtient la somme de ces nombres. Chaque nombre que l on additionne est appelé terme. Autrement dit, une somme est le résultat de l addition de termes. Exemple : Rappel : Différence de deux termes Lorsque l on soustrait deux nombres, on obtient la différence de ces deux nombres. Chaque nombre est appelé terme. Autrement dit, une différence est le résultat de la soustraction d un terme à un autre terme. Exemple : Rappel : Produit de facteurs Lorsque l on multiplie des nombres, on obtient le produit de ces nombres. Chaque nombre que l on multiplie est appelé facteur. Autrement dit, un produit est le résultat de la multiplication de facteurs. Rappel : Quotient de deux nombres Lorsque l on divise un nombre (le dividende) par un nombre non nul (le diviseur), on obtient le quotient de ces deux nombres. Autrement dit, un quotient est le résultat de la division d un diviseur par un dividende. Exemple : Exemple : 1) Décrivons chacune des expressions. Dans l expression, la soustraction entre parenthèses est prioritaire devant la multiplication. Il convient donc de calculer tout d abord la différence des termes 7 et 3, puis de calculer le produit de cette différence par le facteur 4. Par conséquent, la dernière opération à effectuer est la multiplication. Finalement, est le produit de la différence de 7 et de 3 par 4. 2

3 Dans une expression avec des parenthèses, on effectue d abord les calculs situés entre parenthèses. Dans l expression, la multiplication est prioritaire devant l addition. Il convient donc de calculer tout d abord le produit des facteurs 5 et 7, puis de calculer la somme de 3 et de ce produit. Par conséquent, la dernière opération à effectuer est l addition. Finalement, est la somme de 3 et du produit de 5 par 7. Dans un calcul sans parenthèses, on effectue d abord les multiplications et les divisions, qui sont prioritaires devant les additions et les soustractions. Dans l expression, la multiplication et la division sont deux opérations prioritaires. Il convient donc de calculer tout d abord le produit des facteurs 9 et 3 d une part et le quotient du dividende 4 par le diviseur 2 d autre part, puis de calculer la différence de ce produit et de ce quotient. Par conséquent, la dernière opération à effectuer est la soustraction. Finalement, est la différence du produit de 9 par 3 et du quotient de 4 par 2. Dans l expression, la soustraction entre parenthèses et l addition entre parenthèses sont deux opérations prioritaires. Il convient donc de calculer tout d abord la différence des termes 5 et 2 d une part et la somme des termes 4 et 9 d autre part, puis de calculer le produit de cette différence par cette somme. Par conséquent, la dernière opération à effectuer est la multiplication. Finalement, est le produit de la différence de 5 et 2 par la somme de 4 et 9. Dans l expression, l addition entre parenthèses est prioritaire devant la division. Il convient donc de calculer tout d abord la somme des termes 5 et 2, puis de calculer le quotient de cette somme par le diviseur 7. Par conséquent, la dernière opération à effectuer est la division. 3

4 Finalement, est le quotient de la somme de 5 et 2 par 7. Dans l expression, la division est prioritaire devant l addition. Il convient donc de calculer tout d abord le quotient du dividende 6 par le diviseur 2, puis de calculer la somme de 3 et de ce quotient. Par conséquent, la dernière opération à effectuer est l addition. Finalement, est la somme de 3 et du quotient de 6 par 2. 2) Calculons chacune des expressions. 4

5 Exercice 2 (1 question) Niveau : facile Parmi les expressions suivantes, préciser celles qui sont factorisées et celles qui sont développées. Correction de l exercice 2 Rappel : Expression développée Une expression développée est une expression écrite sous forme d une somme (ou d une différence) de deux ou plusieurs termes. Exemples : et sont deux expressions développées. Rappel : Expression factorisée Une expression factorisée est une expression écrite sous forme d un produit de deux ou plusieurs facteurs. Exemples : et sont deux expressions factorisées. Soit l expression. Cette expression est le produit du facteur 2 par le facteur. Il s agit donc d une expression factorisée. Rappel : Simplification d écriture Signe de la multiplication inutile Le signe de la multiplication est inutile : entre un nombre et une lettre (exemple : devant la lettre : ) entre deux lettres (exemple : ) entre un nombre et une parenthèse (exemple : ) entre une lettre et une parenthèse (exemple : ) ) (Attention! Par convention, on place le nombre entre deux groupes mis entre parenthèses (exemple : ) Soit l expression. Or,. L expression est donc le produit du facteur 5,2 par le facteur. Il s agit d une expression factorisée. Soit l expression. Or,. Cette expression est le produit du facteur par le facteur. Il s agit donc d une expression factorisée. Soit l expression. Cette expression est la somme du terme et du terme. Il s agit donc d une expression développée. 5

6 Soit l expression. Cette expression est la différence du terme et du terme. Il s agit donc d une expression développée. Soit l expression. Cette expression est la somme du terme et du terme. Il s agit donc d une expression développée. Soit l expression. Cette expression est le produit du facteur par le facteur. Il s agit d une expression factorisée. Soit l expression. Cette expression est la somme du terme et du terme 3. Il s agit donc d une expression développée. 6

7 Exercice 3 (1 question) Niveau : facile En utilisant la distributivité de la multiplication par rapport à l addition, compléter les tirets par le nombre ou la lettre qui convient. Correction de l exercice 3 Rappel : Distributivité de la multiplication par rapport à l addition Multiplier un nombre par une somme de termes revient à multiplier ce nombre par chaque terme de la somme puis à additionner tous les produits obtenus. Autrement dit,, égalité que l on peut également noter. Remarques : On note l expression plus simplement D après la commutativité de la multiplication, on peut aussi bien noter que Plus généralement, on a. ou ou ou ou ou ou 7

8 Exercice 4 (1 question) Niveau : moyen En faisant appel à la distributivité de la multiplication par rapport à l addition, compléter les tirets comme il convient. ( ) ( ) Correction de l exercice 4 ou ( ) ou ( ) ou ou ou Ou bien encore ( ) ou ( ) ( ) ou ( ) 8

9 Exercice 5 (1 question) Niveau : facile Développer puis calculer les expressions suivantes. Correction de l exercice 5 Rappel : Développement d une expression Développer une expression, c est écrire sous forme d une somme algébrique une expression initialement écrite sous forme d un produit. Autrement dit, le développement d une expression est la transformation d un produit de facteurs en somme (ou différence) de termes :. On dit que l expression est une forme développée de l expression. 1 ère remarque : On peut vérifier ces résultats en utilisant les règles opératoires prioritaires. 2 ème remarque : On verra plus loin dans cette fiche qu il est parfois plus intéressant d utiliser la distributivité que les règles prioritaires de calculs car la distributivité permet dans certains cas de simplifier les calculs et d effectuer des calculs de manière astucieuse. 9

10 Exercice 6 (1 question) Niveau : moyen Développer puis réduire les expressions suivantes. Correction de l exercice 6 (on observe que est le produit du facteur 5 par le facteur ) (le facteur 5 peut donc être distribué à tous les termes de la somme ) (on utilise la distributivité pour développer l expression) (on simplifie l écriture en effectuant les calculs prioritaires : les multiplications) (on continue de simplifier l écriture) (on observe que est le produit de par 3) (on récrit l expression en commutant les facteurs ; mais cette étape n est pas obligatoire) (on utilise la distributivité pour développer l expression) (on simplifie l écriture en effectuant la première multiplication) (on continue de simplifier l écriture) 10

11 Exercice 7 (1 question) Niveau : facile Dans chacune des expressions suivantes, encadrer le facteur commun. Correction de l exercice 7 Rappel : Facteur commun Dans une expression développée, on appelle facteur commun un facteur présent dans tous les termes d une somme (ou d une différence). Exemple : est une expression développée dans laquelle le nombre 2 est un facteur commun à tous les termes de la somme. L expression est la somme de 2 termes : le premier terme est le produit de 9 par 6, le second terme est le produit de 9 par 7. Chacun de ces produits contient donc le facteur 9. Le nombre 9 est le facteur commun recherché. L expression est la somme de 2 termes : le premier terme est le produit de 5 par 2, le second terme est le produit de 7 par 2. Chacun de ces produits contient donc le facteur 2. Le nombre 2 est donc le facteur commun recherché. Attention! Le nombre 7 est en commun seulement une fois dans chaque terme! L expression est la somme de 2 termes : le premier terme est le produit de 7 par 7, le second terme est le produit de 3 par 7. Chacun de ces produits contient donc le nombre 7. Le nombre 7 est donc le facteur commun recherché. L expression est la somme de 2 termes : le premier terme est le produit de 13 par 3, le second terme est le produit de 13 par 1. Chacun de ces produits contient donc le facteur 13. Le nombre 13 est donc le facteur commun recherché. Remarque importante : Pour mettre en évidence un facteur commun, il faut parfois écrire un nombre sous la forme d un produit de ce nombre par 1. Exemples : ; ; ; 11

12 Exercice 8 (1 question) Niveau : facile Factoriser les expressions suivantes. Correction de l exercice 8 Rappel : Factorisation d une expression Factoriser une expression, c est écrire sous forme d un produit une expression initialement écrite sous forme d une somme algébrique. Autrement dit, la factorisation d une expression est la transformation d une somme (ou différence) de termes en produit de facteurs :. On dit que l expression est une forme factorisée de l expression. Remarque : est appelé facteur commun à et à. Ainsi, factoriser une expression revient tout d abord à trouver un facteur commun aux termes d une somme algébrique. (on repère que chaque terme de la somme) est une expression développée et que 17 est un facteur commun à (on utilise la distributivité pour factoriser l expression) (on simplifie l écriture) Remarque : On pourrait simplifier encore cette écriture en effectuant les calculs, mais ce n est pas l objet de la consigne En l occurrence, on aurait. terme de la somme) (on repère que est une expression développée et que est un facteur commun à chaque (on utilise la distributivité pour factoriser l expression) (on simplifie l écriture) On a aussi bien : Remarque : On pourrait réduire en calculant la somme entre parenthèses mais, encore une fois, la consigne impose seulement une factorisation. En l occurrence, on aurait 12

13 Ou bien Remarque : On pourrait réduire en notant que Pour factoriser une expression, il faut : 1) tout d abord repérer un facteur commun à chaque terme de la somme algébrique 2) puis utiliser la distributivité 13

14 Exercice 9 (1 question) Niveau : moyen Factoriser puis réduire les expressions suivantes. Correction de l exercice 9 Remarque importante : Une factorisation n est pas unique On aurait pu en effet factoriser autrement ( ) ( ) Mais, parmi ces 4 autres factorisations, les deux premières ne sont pas les plus réduites et les deux dernières sont plus fastidieuses. ( ) ( ) Remarque : Comme il a déjà été vu, on peut écrire sous la forme du produit pour faire apparaître le facteur commun dans l expression. Puissance entière d un nombre (hors-programme) désigne le produit du nombre par lui-même. Autrement dit,. On dit que est le carré de. désigne le produit du nombre par lui-même et encore par lui-même. Autrement dit,. On dit que est le cube de. 14

15 Exercice 10 (1 question) Niveau : moyen Factoriser les expressions suivantes après avoir mis en évidence le facteur commun. Correction de l exercice 10 (on repère que terme de la somme) est une expression développée mais on ne repère aucun facteur commun à chaque (on décompose le terme 8 en produit de facteurs, à savoir en produit de 4 par 2, pour mettre le facteur commun 4 en évidence) (on utilise la distributivité pour factoriser par 4) (on simplifie l écriture) (on repère que chaque terme de la somme) est une expression développée mais on ne repère aucun facteur commun à (comme, on décompose le terme 2 en produit de facteurs, à savoir en produit de 2 par et encore par, pour mettre le facteur commun en évidence) (on utilise la distributivité pour factoriser par ) (on simplifie l écriture) (on repère que apparaître le facteur commun 6) est la somme de 3 termes ne contenant aucun facteur commun évident) (on décompose chaque terme de la somme en produits, de sorte à faire (on utilise la distributivité pour factoriser par 6) (on simplifie l écriture) (on observe que est la somme de 2 termes semblant contenir comme commun évident) (on utilise l astuce qui permet d écrire le terme sous la forme du produit de par 1 pour mettre en évidence le facteur commun ) (on factorise par en utilisant la distributivité) 15

16 (on simplifie l écriture) Quand l expression développée ne comporte pas de facteur commun évident, pour la factoriser, il faut : 1) décomposer chaque terme de la somme algébrique en un produit comportant chacun le même facteur 2) puis s assurer que ce facteur est un facteur commun à chaque terme de la somme algébrique 3) enfin utiliser la distributivité 16

17 Exercice 11 (1 question) Niveau : difficile Factoriser les expressions suivantes. Correction de l exercice 11 17

18 Exercice 12 (1 question) Niveau : difficile Développer chaque expression ci-après puis, à l aide de la factorisation, réduire l expression obtenue. Correction de l exercice 12 Rappel : Nombres opposés et somme de nombres opposés Deux nombres opposés sont deux nombres ayant la même partie numérique et des signes différents. Autrement dit, deux nombres relatifs qui ne diffèrent que par leur signe sont opposés. Exemples : et sont opposés ; et sont opposés ; et sont opposés. La somme de deux nombres opposés est nulle. Exemples : ; ; 18

19 19

20 Exercice 13 (1 question) Niveau : moyen Calculer chaque expression suivante en n'effectuant qu'une seule multiplication. Correction de l exercice 13 Rappel : Multiplication d un nombre par 10, par 100 ou par Quand on multiplie un nombre entier (sans virgule) par 10, on ajoute un 0 à la fin de ce nombre. Quand on multiplie un nombre décimal (avec virgule) par 10, on décale la virgule de ce nombre d un rang vers la droite. Quand on multiplie un nombre entier (sans virgule) par 100, on ajoute deux 0 à la fin de ce nombre. Quand on multiplie un nombre décimal (avec virgule) par 100, on décale la virgule de ce nombre de deux rangs vers la droite. Quand on multiplie un nombre entier (sans virgule) par 1 000, on ajoute trois 0 à la fin de ce nombre. Quand on multiplie un nombre décimal (avec virgule) par 1 000, on décale la virgule de ce nombre de trois rangs vers la droite. Remarque : On voit que, à l aide de la factorisation, on a pu effectuer facilement le calcul de chaque expression. Les calculs auraient été bien plus fastidieux et difficiles s il avait fallu utiliser les règles prioritaires de calculs. 20

21 Exercice 14 (1 question) Niveau : moyen Sans poser la multiplication, calculer astucieusement chacun des produits suivants. Correction de l exercice 14 (on observe que l expression est le produit de deux facteurs, à savoir 53 et 11) (on décompose le deuxième facteur en somme de termes, en l occurrence 10 et 1, sans oublier de noter cette somme entre parenthèses) (on développe le produit en utilisant la distributivité) (on effectue les multiplications, prioritaires devant l addition) (on effectue le calcul final) (on observe que l expression est le produit du facteur 12 par le facteur 101) (on décompose le facteur 101 en somme de termes, en l occurrence 100 et 1, sans oublier de noter cette somme entre parenthèses) (on développe le produit en utilisant la distributivité) (on effectue les multiplications, prioritaires devant l addition) (on effectue le calcul final) (on observe que l expression est le produit du facteur 202 par le facteur 49) (on décompose le facteur 202 en somme de termes, en l occurrence 200 et 2, sans oublier de noter cette somme entre parenthèses) (on développe le produit en utilisant la distributivité) et on calcule ) (on simplifie l écriture en réécrivant le nombre 200 sous la forme du produit (on simplifie de nouveau l écriture en calculant ) 21

22 Remarque : On pouvait également calculer de la manière suivante : (on observe que l expression est le produit du facteur 202 par le facteur 49) (on décompose le facteur 202 en produit de facteurs, en l occurrence 101 et 2) (on simplifie l écriture en calculant ) (on décompose le facteur 101 en somme de termes, en l occurrence 100 et 1, sans oublier de noter cette somme entre parenthèses) (on développe le produit en utilisant la distributivité) (on effectue les multiplications, prioritaires devant l addition) Rappel : Multiplication d un nombre par 0,1, par 0,01 ou par 0,001 Quand on multiplie un nombre par 0,1, on décale la virgule de ce nombre d un rang vers la gauche. Quand on multiplie un nombre par 0,01, on décale la virgule de ce nombre de deux rangs vers la gauche. Quand on multiplie un nombre par 0,001, on décale la virgule de ce nombre de trois rangs vers la gauche. (on observe que l expression est le produit du facteur 312 par le facteur 4,1) (on décompose le facteur 4,1 en somme de termes, en l occurrence 4 et 0,1, sans oublier de noter cette somme entre parenthèses) (on développe le produit en utilisant la distributivité) (on effectue les multiplications, prioritaires devant l addition) 22

23 Exercice 15 (1 question) Niveau : difficile Calculer mentalement les expressions suivantes. Correction de l exercice 15 Pour expliquer chaque calcul mental, détaillons-en les étapes. (on repère le facteur commun 6,7 dans chacun des termes de la somme) (on factorise par 6,7) (on additionne les termes de la somme) (on décompose 20 sous la forme d un produit de facteurs, en l occurrence 2 et 10) (on utilise l associativité de la multiplication pour effectuer le produit des facteurs 6,7 et 2) (on effectue le calcul final en décalant la virgule du nombre 13,4 d un rang vers la droite) (on repère que cette somme contient 3 termes, dont 2 sont sous forme de produit) produit) (on utilise la commutativité de l addition pour regrouper les termes contenant un (on repère le facteur commun 4 dans les deux premiers termes de la somme) (on factorise par 4, sans oublier de recopier le dernier terme de la somme) (on additionne les termes de la somme 5,3 0,7) (on effectue la multiplication, qui est prioritaire devant l addition) (on effectue le calcul final) Remarque : On pouvait également calculer de la façon suivante : (on repère que cette somme contient 3 termes) (on récrit le deuxième terme de la somme sous forme du produit de 4 par 1, pour faire apparaître le facteur commun 4) 23

24 (on utilise la distributivité pour factoriser par 4) (on additionne les deux premiers de la somme entre parenthèses (on continue de calculer la somme entre parenthèses, ce calcul étant prioritaire devant la multiplication) (on effectue le calcul final) (on repère que le nombre 13 apparait dans chacun des termes de la somme mais que 13 n est pas un facteur commun car, dans le deuxième terme, 13 n est en facteur d aucun nombre) facteur commun) (on écrit le terme 13 sous la forme du produit (on factorise par 13 en utilisant la distributivité) pour faire apparaître 13 comme (on additionne les termes de la somme, le calcul entre parenthèses étant prioritaire devant la multiplication) (on effectue le calcul final) (on observe que l expression facteur entier 305) est le produit d un premier facteur décimal 5,12 par un second (on décompose le deuxième facteur en somme de termes, en l occurrence 300 et 5, sans oublier de noter cette somme entre parenthèses) (on distribue 5,12 sur chaque terme de la somme) (on simplifie l écriture de l expression en réécrivant 300 comme le produit de 3 par 100 et en calculant le produit de 5,12 par 5) (on simplifie l écriture de l expression en calculant le produit de 5,12 par 3) (on effectue la multiplication virgule du nombre 15,36 de deux rangs vers la droite), prioritaire devant l addition, en décalant la (on effectue le calcul final) 24

25 Exercice 16 (2 questions) Niveau : moyen Avant de se rendre au collège, un élève achète quatre stylos à 1,15 euros l unité et quatre surligneurs coûtant chacun 1,85 euros. Calculer de deux façons le montant des achats de cet élève. Correction de l exercice 16 1 ère méthode (expression développée) : Calculons la dépense occasionnée par l achat de quatre stylos puis de quatre surligneurs. L élève achète quatre stylos à 1,15 euros l unité. Il dépense donc achète en outre quatre surligneurs coûtant chacun 1,85 euros. Il dépense donc surligneurs. euros pour ces stylos. Il euros pour ces Au total, ses dépenses s élèvent donc à euros, c est-à-dire à 12 euros. 2 ème méthode (expression factorisée) : Calculons la dépense générée par l achat d un stylo et d un surligneur. Celle-ci s élève à c est-à-dire à 3 euros. euros, Comme l élève achète quatre stylos et quatre surligneurs, il achète en fait quatre lots comprenant chacun un stylo et un surligneur. Sa dépense totale est donc égale à euros, c est-à-dire à 12 euros. Conclusion : On pouvait donc calculer le montant des achats en effectuant l opération (1 ère méthode) ou bien en effectuant l opération (2 ème méthode). Chaque calcul conduisait au résultat suivant : l élève a dépensé 12 euros. 25

26 Exercice 17 (2 questions) Niveau : moyen On a représenté ci-contre un rectangle bleu rectangle vert. et un Calculer de deux façons différentes l aire du rectangle. Correction de l exercice 17 Rappel : Aire d un rectangle Pour calculer l'aire d'un rectangle (ici hachurée en orange), on multiplie sa longueur par sa largeur. Autrement dit, l aire d un rectangle est le produit de sa longueur par sa largeur. On note. largeur Longueur Notons l aire du rectangle, l aire du rectangle et l aire du rectangle. Calculons de deux façons différentes l aire du rectangle. 1) 1 ère méthode : calcul direct de l aire du rectangle On a alors [ ] D où, en remplaçant par les valeurs numériques, 2) 2 e méthode : calcul de l aire du rectangle par décomposition On a aussi D où, en remplaçant par les valeurs numériques, Remarque : la 1 ère méthode conduit à une forme factorisée, tandis que la 2 e méthode conduit à une forme développée. On a précisément. 26

27 Exercice 18 (1 question) Niveau : moyen Voici un programme de calcul : choisis un nombre, multiplie-le par 5, ajoute ensuite 7 au résultat et prends le double du dernier résultat obtenu avant d enlever 14. Comment faire pour trouver rapidement le résultat final? Correction de l exercice 18 Notons le nombre choisi au départ. Multiplions ce nombre par 5 ; on obtient alors, c est-à-dire. Ajoutons ensuite 7 au résultat ; on obtient alors. Prenons le double de ce résultat ; on obtient alors que.. En développant cette expression, on trouve Enlevons finalement 14 à ce résultat ; on obtient alors, c est-à-dire. Par conséquent, pour trouver rapidement le résultat final, il suffit de multiplier par 10 le nombre choisi au départ. Remarque : On peut vérifier la plausibilité de cette affirmation, c est-à-dire vérifier à l aide d un exemple que l affirmation proposée ci-dessus est vraie au moins dans un cas précis. Choisissons par exemple le cas du nombre 5. Multiplions ce nombre par 5 ; on trouve 25. Ajoutons ensuite 7 au résultat ; on trouve 32. Prenons le double de ce résultat ; on obtient alors 64. Enlevons enfin 14 à ce dernier résultat ; on trouve finalement 50. Or, 50 est bien égal à

28 Exercice 19 (1 question) Niveau : difficile En utilisant la distributivité, montrer que la somme de deux nombres pairs est un nombre pair. Correction de l exercice 19 Rappel : Nombre pair Multiple et diviseur Un nombre pair se termine par le chiffre 0, 2, 4, 6 ou 8. Par ailleurs, un nombre pair est un multiple de 2. Autrement dit, un nombre pair est divisible par 2. Tout nombre pair est un multiple de 2 donc tout nombre pair peut s écrire sous la forme (où désigne un nombre (pair ou impair)). Ainsi, on peut noter que est un nombre pair et que (où désigne également un nombre (pair ou impair)) est un autre nombre pair. La somme de ces deux nombres s écrit alors. En factorisant par 2 cette expression, on trouve que. Or, le nombre est un multiple de 2 donc il est pair. En conclusion, la somme de deux nombres pairs est un nombre pair. 28

29 Exercice 20 (4 questions) Niveau : difficile Soit un carré de côté 5 cm. 1) Calculer le périmètre de ce carré. 2) Calculer l aire de ce carré. On augmente chaque côté du carré de cm. 3) Calculer en fonction de le nouveau périmètre du carré obtenu. 4) Montrer que la nouvelle aire du carré obtenu est cm². Correction de l exercice 20 Rappel : Périmètre d un carré et aire d un carré Le périmètre d un carré de côté est :. L aire d un carré de côté est :. 1) Calculons le périmètre du carré de côté 5 cm. D après la formule du périmètre d un carré, cm. 2) Calculons l aire de ce carré. D après la formule de l aire d un carré, cm². On augmente désormais chaque côté du carré de cm. Ainsi, chaque côté mesure cm. 29

30 3) Calculons le nouveau périmètre du carré obtenu. cm. 4) Calculons la nouvelle aire du carré obtenu. (on repère que est le carré du nombre ) (comme est le carré de, on a ) (on utilise la distributivité pour distribuer le premier facteur à chacun des deux termes qui composent la somme du deuxième facteur, à savoir 5 et somme de deux termes) ; on obtient alors la (on utilise de nouveau la distributivité pour développer d une part dans le premier terme et d autre part dans le deuxième terme ; on obtient alors la somme de quatre termes) (on effectue les calculs, notamment les multiplications qui sont prioritaires) (on factorise par ) (on réduit l expression) cm² (on ordonne les termes de la somme, c est-à-dire on écrit d abord le terme contenant, celui contenant et celui ne contenant pas ) 30

31 Exercice 21 (1 question) Niveau : moyen Sur le schéma ci-contre, le demi-cercle rouge a pour rayon et les deux demi-cercles bleus ont pour rayons et tels que. Montrer que la longueur de l arc de cercle rouge est égale à la longueur des deux arcs de cercles bleus. Correction de l exercice 21 Considérons tout d abord l arc de cercle rouge. Son rayon est. Or, le périmètre d un cercle de rayon est. Par conséquent, le périmètre du demi-cercle rouge est égal à. Autrement dit, la longueur de l arc de cercle rouge est égale à. Considérons désormais le petit arc de cercle bleu, de rayon. Comme précédemment, le périmètre du petit demi-cercle bleu est égal à la moitié du périmètre d un cercle de rayon, à savoir. Considérons enfin le grand arc de cercle bleu, de rayon du grand demi-cercle bleu est alors égal à.. Le périmètre Finalement, la longueur des deux arcs de cercles bleus est égale à. Or, à l aide d une factorisation, on montre que. De surcroit, d après l énoncé, donc, en remplaçant par, on obtient. En définitive, on vient de montrer que la longueur de l arc de cercle rouge est égale à la longueur des deux arcs de cercles bleus. 31

32 Exercice 22 (1 question) Niveau : difficile On sait que. Comment utiliser ce résultat pour calculer sans utiliser la calculatrice? Correction de l exercice 22 1 ère méthode : (on décompose le nombre 936 en 9 centaines, 3 dizaines et 6 unités simples) développer) produits les facteurs 900, 30 et 6) (on utilise la distributivité de la multiplication par rapport à l addition pour (on fait apparaître le résultat de l énoncé en décomposant en (on utilise le résultat de l énoncé, à savoir, ainsi que l associativité de la multiplication) devant les additions) (on effectue chaque multiplication puisque les multiplications sont prioritaires (on calcule en ligne l addition finale) 2 ème méthode : (on fait apparaître le résultat de l énoncé en décomposant 936 comme le produit du facteur 3 par le facteur 312) (on utilise le résultat de l énoncé, à savoir ) (on décompose le nombre 102 en 1 centaine et 2 unités simples) développer) additions) (on utilise la distributivité de la multiplication par rapport à l addition pour (on effectue chaque multiplication puisque les multiplications sont prioritaires devant les (on calcule en ligne l addition finale) Remarque : On peut bien entendu vérifier ce résultat à l aide de la calculatrice. Dès lors qu elle est autorisée, la calculatrice constitue un excellent moyen de vérification de nombreux calculs numériques (calculs avec des nombres). 32

33 Exercice 23 (2 questions) Niveau : moyen Tester chacune des deux égalités suivantes, c est-à-dire vérifier si chaque égalité est vraie ou non. Correction de l exercice 23 Rappel : Test d une égalité Tester une égalité, c est préciser si l égalité est vraie ou ne l est pas. Pour vérifier une égalité, on vérifie que le premier membre (membre à gauche du signe ) est égal au second membre (membre à droite du signe ). On dit qu une égalité est vraie lorsque son premier membre est toujours égal à son second membre. Exemples d égalités : ; ; 1) Testons tout d abord l égalité. D une part, dans le premier membre (membre de gauche), on a :. Or, cette expression peut être développée. En effet, D autre part, dans le second membre (membre de droite), on a :. Or, donc l égalité n est pas vraie. 2) Vérifions désormais l égalité. D une part, dans le premier membre, on a :. Or, en développant,. D autre part, dans le second membre, on a :. Le premier membre est bien égal au second membre donc l égalité est vraie. Remarque importante : Pour tester une égalité, il faut vérifier qu elle est toujours vraie. Exemple : L égalité n est pas toujours vraie. En effet, lorsque, le premier membre est égal à et le second membre est égal à. L égalité est donc vraie lorsque. En revanche, lorsque (entre autres exemples), l égalité n est pas vraie puisque le premier membre est égal à et le second membre est égal à. 33