M33 Analyse numérique

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1 Licence Sciences et Techniques L MATH & MASS M Analyse numérique Recueil d exercices corrigés et aide-mémoire Gloria Faccanoni i Année 4 Dernière mise-à-jour Jeudi 5 juin 4

2 Ce fascicule est un support au cours d analyse numérique en deuxième année d une Licence de Mathématiques Il aborde : la recherche de racines d une fonction réelle de variable réelle, l interpolation polynomiale, l intégration numériques, l intégration d équations différentielles et la résolution de systèmes linéaires Les applications se font avec le langage Python dont la documentation et les sources peuvent être téléchargées à l adresse Les notions supposées connues correspondent au programme des cours de Mathématiques (Analyse mathématique des fonctions réelles d une variable réelle et Algèbre Linéaire) et Informatiques (Initiation à l algorithmique et au langage Python) de la première année de Licence L objet de ce aide-mémoire est de proposer une explication succincte des concepts vu en cours De nombreux livres, parfois très fournis, existent Ici on a cherché, compte tenu des contraintes de volume horaire, des acquis des étudiants à la première année et des exigences pour la suite du cursus, à dégager les points clés permettant de structurer le travail personnel de l étudiant voire de faciliter la lecture d autres ouvrages Ce polycopiée ne dispense pas des séances de cours et de TD ni de prendre des notes complémentaires Il est d ailleurs important de comprendre et apprendre le cours au fur et à mesure Ce polycopié est là pour éviter un travail de copie qui empêche parfois de se concentrer sur les explications données oralement mais ce n est pas un livre auto-suffisant (il est loin d être exhaustif )! De plus, ne vous étonnez pas si vous découvrez des erreurs (merci de me les communiquer) On a inclus dans ce texte nombreux exercices corrigés Ceux-ci, de difficulté variée, répondent à une double nécessitée Il est important de jongler avec les différents concepts introduits en cours et même de faire certaines erreurs une fois pour bien identifier les pièges Les exercices permettent d orienter les raisonnements vers d autres domaines (physique, économie, etc), cela afin d exhiber l intérêt et l omniprésence de l analyse numérique au sens large (modélisation, analyse mathématique, discrétisation, résolution numérique et interprétation des résultats) Cependant, veuillez noter que vous n obtiendrez pas grande chose si vous vous limitez à choisir un exercice, y réfléchir une minute et aller vite voir le début de la correction en passant tout le temps à essayer de comprendre la correction qui va paraitre incompréhensible Pour que la méthode d étude soit vraiment efficace, il faut d abord vraiment essayer de chercher la solution En particulier, il faut avoir un papier brouillon à coté de soi et un crayon La première étape consiste alors à traduire l énoncé (pas le recopier), en particulier s il est constitué de beaucoup de jargon mathématique Ensuite il faut essayer de rapprocher les hypothèses de la conclusion souhaitée, et pour cela faire quelques calculs ou transformer les hypothèses pour appliquer un théorème dont on aura vérifier que les hypothèses sont bien satisfaites C est ici que l intuition joue un grand rôle et il ne faut pas hésiter à remplir des pages pour s apercevoir que l idée qu on a eu n est pas la bonne Elle pourra toujours resservir dans une autre situation Quand finalement on pense tenir le bon bout, il faut rédiger soigneusement en s interrogeant à chaque pas sur la validité (logique, mathématique) de ce qu on a écrit Si l étape précédente ne donne rien, il faut chercher de l aide (voir le début de la correction, en parler à un autre étudiant, etc) Gloria FACCANONI IMATH Bâtiment U-8 T () Université du Sud Toulon-Var Avenue de l université B gloriafaccanoni@univ-tlnfr 8957 LA GARDE - FRANCE i

3 Table des matières Notations 5 Introduction au calcul scientifique 7 Résolution d équations non linéaires Étape : localisation des zéros Étape : construction d une suite convergente Méthodes de dichotomie (ou bissection), de LAGRANGE (ou Regula falsi) Méthode de la sécante 5 Méthodes de point fixe 5 Interpolation 6 Interpolation polynomiale 6 Méthode directe (ou naïve ) 6 Méthode de LAGRANGE 6 Stabilité de l interpolation polynomiale 66 4 Méthode de NEWTON 67 Polynôme d HERMITE ou polynôme osculateur 7 Splines : interpolation par morceaux 74 Interpolation linéaire composite 74 Quadrature 9 Principes généraux 9 Exemples de formules de quadrature interpolatoires 96 Approximation de dérivées 4 Équations différentielles ordinaires 9 4 Généralités 9 4 Position du problème 9 4 Condition initiale 9 4 Représentation graphique 44 Théorème d existence et unicité, intervalle de vie et solution maximale 4 Schémas numériques 4 Schémas numériques classiques 4 Schémas numériques d ADAMS 4 4 Schémas multi-pas de type predictor-corrector 6 4 Conditionnement 6 44 Stabilité 6 44 A-Stabilité 7 5 Systèmes linéaires 6 5 Systèmes mal conditionnés 6 5 Méthode (directe) d élimination de GAUSS et factorisation LU 65 5 Méthodes itératives 69 A Python : guide de survie pour les TP 89 A Obtenir Python et son éditeur IDLE 89 A Utilisation de base d IDLE 89 A Notions de base de Python 9 A Fonctions et Modules 98 A Fonctions 98 A Modules A4 Structure conditionnelle 4 A5 Boucles 5

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5 Ensembles usuels en mathématiques Notations On désigne généralement les ensemble les plus usuels par une lettre à double barre : N l ensemble des entiers naturels N l ensemble des entiers strictement positifs Z l ensemble des entiers relatifs (positifs, négatifs ou nuls) Z l ensemble des entiers Q l ensemble des nombres rationnels R l ensemble des réels R l ensemble des réels autres que C l ensemble des nombres complexes ( p q, p Z, q Z ) R n [x] l espace vectoriel des polynômes en x de degré inférieur ou égal à n Intervalles Inégalité Notation ensembliste Représentations graphique a b a a x b [a,b] a b a a < x < b ]a,b[ a b a a x < b [a,b[ a b a a < x b ]a,b] a a x a [a,+ [ a a x > a ]a,+ [ b x b ],b] b x < b ],b[ a a a x a avec a [ a, a] a a a x < a avec a ] a, a[ a a a x a avec a ], a] [a,+ [ a a a x > a avec a ], a[ ]a,+ [ x R ],+ [ a a x a ], a[ ]a,+ [= R \ a } b b b b b b a a a a Symboles utilisés dans le document définition théorème, corollaire, proposition propriété(s) astuce attention remarque 5

6 Notations Jeudi 5 juin 4 méthode, algorithme, cas particulier exercice de base exercice exemple curiosité égal par définition > strictement supérieur < strictement inférieur supérieur ou égal inférieur ou égal différent } ensemble A \ B tel que ensemble A privé de l ensemble B, ie C A (B) le complémentaire de B dans A ensemble vide appartient n appartient pas pour tout (quantificateur universel) il existe (quantificateur universel) il n existe pas! il existe un et un seul est sous-ensemble (est contenu) union d ensembles intersection d ensembles = si alors ssi ln log a n a i i= n a i i= si et seulement si si et seulement si logarithme de base e logarithme de base a infini symbole d intégrale somme par rapport à l indice i, équivaut à a + a + + a n produit par rapport à l indice i, équivaut à a a a n n! n factoriel, équivaut à n g f f, d f d x D f f puis g symboles de dérivée domaine de définition d une fonction f Conventions pour la présentation du code Pour l écriture du code, on utilise deux présentations : les instructions précédées de chevrons dans une boite grisée sont à saisir dans une session interactive >>> + les instructions sans chevrons dans une boite grisée sont des bouts de code à écrire dans un fichier print( Coucou! ) 6 G Faccanoni

7 Introduction au calcul scientifique On peut définir le CALCUL SCIENTIFIQUE comme la discipline qui permet de reproduire sur un ordinateur un phénomène ou un processus décrit par un modèle mathématique PHÉNOMÈNE PHYSIQUE, ÉCO- NOMIQUE, BIOLOGIQUE Observation expérimentale Modèle conceptuel MODÈLE MATHÉMATIQUE Mise en équations : équations différentielles, intégrales, stochastiques ANALYSE MATHÉMATIQUE Bien posé Bien conditionné Propriétés de la solution (stabilité, ) Solutions analytiques CALCULS PROGRAMMATION Langage de programmation (C, C++, Fortran, Java, Python, Matlab, Scilab, Octave ) Structure des données Implémentation de l algorithme Optimisation ANALYSE NUMÉRIQUE Méthodes de discrétisation Analyse des algorithmes (rapidité, précision, souplesse) Estimation des erreurs POSTPROCESSING Visualisation Analyse des résultats CALCUL SCIENTIFIQUE L ordinateur est aujourd hui un outil incontournable pour simuler et modéliser des systèmes complexes, mais il faut encore savoir exprimer nos problèmes (physiques, économiques, biologiques ) en langage formalisé des mathématiques pures sous la forme d équations mathématiques (différentielles, intégrales ) Nous sommes habitués à résoudre les problèmes de façon analytique, alors que l ordinateur ne travaille que sur des suites de nombres On verra qu il existe souvent plusieurs approches pour résoudre un même problème, ce qui conduit à des algorithmes différents Un des objectifs de ce cours est de fournir des bases rigoureuses pour développer quelques algorithmes utiles dans la résolution de problèmes en mathématique, économie, physique Un algorithme, pour être utile, doit satisfaire un certain nombre de conditions Il doit être : rapide : le nombre d opérations de calcul pour arriver au résultat escompté doit être aussi réduit que possible ; précis : l algorithme doit savoir contenir les effets des erreurs qui sont inhérentes à tout calcul numérique (ces erreurs peuvent être dues à la modélisation, aux données, à la représentation sur ordinateur ou encore à la troncature) ; souple : l algorithme doit être facilement transposable à des problèmes différents Le choix et l optimisation des algorithmes numériques mis en pratique sont absolument cruciaux tant pour les calculs de type industriel souvent très répétitifs et devant donc pouvoir être exécutés en un temps très court, que pour les calculs de référence pour lesquels la seule limite est la patience de celui qui les fait Par exemple, en fluidodynamique, en laissant tourner une station de travail pendant quelques jours, les numériciens résolvent des systèmes frisant le milliard d inconnues L expérience montre qu entre une approche numérique standard et une approche soigneusement réfléchie 7

8 Introduction au calcul scientifique Jeudi 5 juin 4 et optimisée un gain de temps de calcul d un facteur, voire davantage, est souvent observé Il est clair qu on peut passer ainsi, grâce à cet effort, d un calcul totalement déraisonnable à un calcul parfaitement banal : tout l enjeu de l analyse numériques est là! C est dire l importance pour tous scientifique de bien connaître ces méthodes, leurs avantages et leurs limites Exemple Calcul de A Sur ordinateur, l addition de deux entiers peut se faire de façon exacte mais non le calcul d une racine carrée On procède alors par approximations successives jusqu à converger vers la solution souhaitée Il existe pour cela divers algorithmes Le suivant est connu depuis l antiquité (mais ce n est pas celui que les ordinateurs utilisent) Soit A un nombre réel positif dont on cherche la racine carrée Désignons par x la première estimation de cette racine (généralement le plus grand entier dont le carré est inférieur à A ; par exemple, si A = 78, alors x = car = 69 < 78 et 4 = 96 > 78) et par ε l erreur associée : A = x + ε Cherchons une approximation de ε On a A = (x + ε ) = x + x ε + ε Supposons que l erreur soit petite face à x, ce qui permet de négliger le terme en ε : A x + x ε Remplaçons l erreur ε par un ε, qui en est une approximation, de telle sorte que On en déduit que donc la quantité A = x + x ε ε = A x x x x + ε = ( ) A + x x constitue une meilleure approximation de la racine que x (sous réserve que le développement soit convergent) De plus, rien ne nous empêche de recommencer les calculs avec x, puis x, etc, jusqu à ce que la précision de la machine ne permette plus de distinguer le résultat final de la véritable solution On peut donc définir une suite, qui à partir d une estimation initiale x devrait en principe converger vers la solution recherchée Cette suite est x k+ = ( ) A + x x k, x > k L algorithme du calcul de la racine carrée devient donc Démarrer avec une première approximation x > de A À chaque itération k, calculer la nouvelle approximation x k+ = ( Axk + x k) Calculer l erreur associée ε k+ = A x k+ x k+ 4 Tant que l erreur est supérieure à un seuil fixé, recommencer au point Le tableau ci-dessous illustre quelques itérations de cet algorithme pour le cas où A = 5 : k x k ε k On voit que l algorithme converge très rapidement et permet donc d estimer la racine carrée d un nombre moyennant un nombre limité d opérations élémentaires (additions, soustractions, divisions, multiplications) Il reste encore à savoir si cet algorithme converge toujours et à déterminer la rapidité de sa convergence L analyse numérique est une discipline proche des mathématiques appliquées, qui a pour objectif de répondre à ces questions de façon rigoureuse Les erreurs Le simple fait d utiliser un ordinateur pour représenter des nombres réels induit des erreurs Par conséquent, plutôt que de tenter d éliminer les erreurs, il vaut mieux chercher à contrôler leur effet Généralement, on peut identifier plusieurs niveaux d erreur dans l approximation et la résolution d un problème physique 8 G Faccanoni

9 Jeudi 5 juin 4 Au niveau le plus élevé, on trouve l erreur qui provient du fait qu on a réduit la réalité physique à un modèle mathématique De telles erreurs limitent l application du modèle mathématique à certaines situations et ne sont pas dans le champ du contrôle du Calcul Scientifique On ne peut généralement pas donner la solution explicite d un modèle mathématique (qu il soit exprimé par une intégrale, une équation algébrique ou différentielle, un système linéaire ou non linéaire) La résolution par des algorithmes numériques entraîne immanquablement l introduction et la propagation d erreurs d arrondi De plus, il est souvent nécessaire d introduire d autres erreurs liées au fait qu un ordinateur ne peut effectuer que de manière approximative des calculs impliquant un nombre infini d opérations arithmétiques Par exemple, le calcul de la somme d une série ne pourra être accompli qu en procédant à une troncature convenable On doit donc définir un problème numérique, dont la solution diffère de la solution mathématique exacte d une erreur, appelée erreur de troncature La somme des erreurs d arrondis et de troncature constitue l erreur de calcul L erreur de calcul absolue est la différence entre x, la solution exacte du modèle mathématique, et x, la solution obtenue à la fin de la résolution numérique, tandis que (si x ) l erreur de calcul relative est définie par l erreur de calcul absolue divisé par x Le calcul numérique consiste généralement à approcher le modèle mathématique en faisant intervenir un paramètre de discrétisation, que nous noterons h et que nous supposerons positif Si, quand h tend vers, la solution du calcul numérique tend vers celle du modèle mathématique, nous dirons que le calcul numérique est convergent Si de plus, l erreur (absolue ou relative) peut être majorée par une fonction de C h p où C est indépendante de h et où p est un nombre positif, nous dirons que la méthode est convergente d ordre p Quand, en plus d un majorant, on dispose d un minorant C h p (C étant une autre constante ( C ) indépendante de h et p), on peut remplacer le symbole par G Faccanoni 9

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11 Résolution d équations non linéaires Recherche des solutions de l équation non linéaire f (x) = où f est une fonction donnée Un des problèmes classiques en mathématiques appliquées est celui de la recherche des valeurs pour lesquelles une fonction donnée s annule Dans certains cas bien particuliers, comme pour les fonctions x x +, x cos(x) ou encore x x x +, le problème est simple car il existe pour ces fonctions des formules qui donnent les zéros explicitement Toutefois, pour la plupart des fonctions f : R R il n est pas possible de résoudre l équation f (x) = explicitement et il faut recourir à des méthodes numériques Ainsi par exemple une brève étude de la fonction f (x) = cos(x) x montre qu elle possède un zéro à proximité de 7 mais ce zéro ne s exprime pas au moyen de fonctions usuelles et pour en obtenir une valeur approchée il faut recourir à des méthodes numériques Plusieurs méthodes existent et elles différent pas leur vitesse de convergence et par leur robustesse Lorsqu il s agit de calculer les zéros d une seule fonction, la vitesse de la méthode utilisée n est souvent pas cruciale Cependant, dans certains applications il est nécessaire de calculer les zéros de plusieurs milliers de fonctions et la vitesse devient alors un élément stratégique Par exemple, si on veut représenter graphiquement l ensemble de points (x, y) du plan pour lequel x sin(y) + e x+y 7 =, on peut procéder comme suit : pour une valeur donnée de x, on cherche l ensemble des valeurs de y pour lesquelles x sin(y)+e x+y 7 =, ie l ensemble des zéros de la fonction f (y) = x sin(y)+e x+y 7 =, et on représente tous les couples obtenus On choisit une nouvelle valeur pour x et on répète l opération Pour obtenir une courbe suffisamment précise, il faut procéder à la recherche des zéros d un très grand nombre de fonction et il est alors préférable de disposer d une méthode rapide Soit f : R R une fonction continue donnée dont on veut évaluer numériquement un ou plusieurs zéros x, c est-à-dire qu on cherche tous les x tels que f ( x) = Les méthodes numériques pour approcher x consistent à : localiser grossièrement le (ou les) zéro(s) de f en procédant à l étude du graphe de f et/ou à des évaluations qui sont souvent de type graphique ; on note x cette solution grossière ; construire, à partir de x, une suite x, x, x, telle que lim k x k = x où f ( x) = On dit alors que la méthode est convergente Définition Méthode itérative à deux niveaux On appelle méthode itérative à deux niveaux un procédé de calcul de la forme x k+ = G(x k ), k =,,, dans lequel on part d une valeur donnée x pour calculer x, puis à l aide de x on calcul x etc La formule même est dite formule de récurrence Le procédé est appelé convergent si x k tend vers un nombre fini lorsque k tend vers + Il est bien évident qu une méthode itérative n est utile que s il y a convergence vers les valeurs cherchées On peut parfaitement envisager des méthodes itératives multi-niveaux, comme par exemples les schémas à trois niveaux dans lesquels on part de deux valeurs données x et x pour calculer x, puis à l aide de x et x on calcule x etc Définition Ordre de convergence Soit p un entier positif On dit qu une méthode (à deux niveaux) convergente est d ordre p s il existe une constante C telle que x x k+ C x x k p ou encore lim k x k+ x (x k x) p = C Si p = (et C < ) on parle de convergence linéaire, si p = on parle de convergence quadratique

12 Résolution d équations non linéaires Jeudi 5 juin 4 Étape : localisation des zéros Définition Soit f : R R une fonction On dit que x est un zéro de f si f ( x) = Il est dit simple si f ( x), multiple sinon Si f est de classe C p avec p N, on dit que x est un zéro de multiplicité p si f (i ) ( x) = i =,, p f (p) ( x) Pour localiser grossièrement le (ou les) zéro(s) de f on va d abord étudier de la fonction f, puis on va essayer d utiliser un corollaire du théorème des valeurs intermédiaires et le théorème de la bijection afin de trouver un intervalle qui contient un et un seul zéro Théorème des valeurs intermédiaires Soit f une fonction continue sur un intervalle I = [a;b] de R Alors f atteint toutes les valeurs intermédiaires entre f (a) et f (b) Autrement dit : si f (a) f (b) alors pour tout d [f (a), f (b)] il existe c [a;b] tel que f (c) = d ; si f (a) f (b) alors pour tout d [f (b), f (a)] il existe c [a;b] tel que f (c) = d Ce théorème donne alors le corollaire immédiat suivant Corollaire des zéros d une fonction continue Soit une fonction continue f : [a,b] R Si f (a) f (b) <, alors il existe (au moins un) x ]a,b[ tel que f ( x) = Ce théorème garantit juste l existence d un zéro Pour l unicité on essayera d appliquer le théorème de la bijection dont l énoncé est rappelé ci-dessous Théorème de la bijection Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I de R, alors f induit une bijection de I dans f (I ) De plus, sa bijection réciproque est continue sur I, monotone sur I et de même sens de variation que f Étape : construction d une suite convergente Ayant encadré les zéros de f, la construction de suites qui convergent vers ces zéros peut se faire à l aide de plusieurs méthodes numériques Ci-dessous on décrit les méthodes les plus connues et on étudie leurs propriétés (convergence locale vs globale, vitesse de convergence, etc) Méthodes de dichotomie (ou bissection), de Lagrange (ou Regula falsi) Dans les méthodes de dichotomie et de LAGRANGE, à chaque pas d itération on divise en deux un intervalle donné et on choisit le sous-intervalle où f change de signe Concrètement, soit f : [a;b] R une fonction strictement monotone sur un intervalle [a,b] On suppose que l équation f (x) = n a qu une et une seule solution dans cet intervalle On se propose de déterminer cette valeur avec une précision donnée Soit [a,b ] un intervalle dans lequel f (a )f (b ) < et soit c ]a,b [ Si f (a )f (c ) <, alors la racine appartient à l intervalle [a,c ] et on reprend le procédé avec a = a et b = c Sinon, c est-à-dire si f (a )f (c ) on pose a = c et b = b On construit ainsi une suite d intervalles emboîtés [a k,b k ] Les suites a k et b k sont adjacentes et convergent vers x Définition Méthodes de dichotomie et de LAGRANGE Soit deux points a et b (avec a < b ) d images par f de signe contraire (ie f (a ) f (b ) < ) En partant de I = [a,b ], les méthodes de dichotomie et de LAGRANGE produisent une suite de sous-intervalles I k = [a k,b k ], k, avec I k I k pour k et tels que f (a k ) f (b k ) < Dans la méthode de dichotomie, on découpe l intervalle [a k ;b k ] en deux intervalles de même longueur, ie on divise Deux suites (u n ) n N et (v n ) n N sont adjacentes si (u n ) est croissante, (v n ) est décroissante, lim n (u n v n ) = Si deux suites sont adjacentes, elles convergent et ont la même limite G Faccanoni

13 Jeudi 5 juin 4 Résolution d équations non linéaires [a k ;b k ] en [a k ;c k ] et [c k ;b k ] où c k est c k = a k + b k Dans la méthode de LAGRANGE, plutôt que de diviser l intervalle [a k ;b k ] en deux intervalles de même longueur, on découpe [a k ;b k ] en [a k ;c k ] et [c k ;b k ] où c k est l abscisse du point d intersection de la droite passant par (a k, f (a k )) et (b k, f (b k )) et l axe des abscisses, autrement dit c k est solution de l équation qui est f (b k ) f (a k ) b k a k (c b k ) + f (b k ) = b k a k c k = b k f (b k ) f (a k ) f (b k) = a k f (b k ) b k f (a k ) f (b k ) f (a k ) Dans les deux cas, pour l itération suivante, on pose soit [a k+ ;b k+ ] = [a k ;c k ] soit [a k+ ;b k+ ] = [c k ;b k ] de sorte à ce que f (a k+ ) f (b k+ ) < La suite (c k ) k N converge vers x puisque la longueur de ces intervalles tend vers quand k tend vers + Soit ε l erreur maximale qu on peut commettre, les algorithmes s écrivent alors comme suit : DICHOTOMIE : Require: a, b > a, ε, f : [a,b] R k a k a b k b x k a k + b k while b k a k > ε or f (x k ) > ε do if f (a k )f (x k ) < then a k+ a k b k+ x k else a k+ x k b k+ b k end if x k+ a k+ + b k+ k k + end while LAGRANGE : Require: a, b > a, ε, f : [a,b] R k a k a b k b x k a k b k a k f (b k ) f (a k ) f (a k) while b k a k > ε or f (x k ) > ε do if f (a k )f (x k ) < then a k+ a k b k+ x k else a k+ x k b k+ b k end if x k+ a k+ k k + end while b k+ a k+ f (b k+ ) f (a k+ ) f (a k+) On n est pas obligé de stoker tous les intervalles et les itérées, on peut gagner de la mémoire en les écrasant à chaque étape : DICHOTOMIE : Require: a, b > a, ε, f : [a,b] R x a + b while b a > ε or f (x) > ε do if f (a)f (x) < then b x else a x end if x a + b end while LAGRANGE : Require: a, b > a, ε, f : [a,b] R b a x a f (b) f (a) f (a) while b a > ε or f (x) > ε do if f (a)f (x) < then b x else a x end if x a end while b a f (b) f (a) f (a) Remarque Avec la méthode de la dichotomie, les itérations s achèvent à la m-ème étape quand x m x I m < ε, où ε est une tolérance fixée et I m désigne la longueur de l intervalle I m Clairement I k = b a k, donc pour avoir une erreur x m x < ε, G Faccanoni

14 Résolution d équations non linéaires Jeudi 5 juin 4 on doit prendre le plus petit m qui vérifie ( ) b a m log = ε ln(b a) ln() ln() Notons que cette inégalité est générale : elle ne dépend pas du choix de la fonction f Exemple Fond d investissement Un compte d épargne donne un taux T [;] d intérêt par an avec un virement annuel des intérêts sur le compte Cela signifie que si le premier janvier 4 on met v euros sur ce compte, à la fin de la n-ème année (ie au décembre 4 + n) on en retire v( + T ) n euros On décide alors d ajouter au début de chaque année encore v euros Cela signifie que si on verse ces v euros le premier janvier 4 + m avec < m < n, au décembre 4 + n ajoutent v( + T ) n m euros Si à la fin de la n-ème année on en retire un capital de M > v euros, quel est le taux d intérêt annuel de cet investissement? À la fin de la n-ème année, le capital versé au premier janvier 4 est devenu v( + T %) n, celui versé au premier janvier 5 est devenu v( + T %) n par conséquente, le capital final M est relié au taux d intérêt annuel T par la relation n M = v ( + T ) k = v ( + T )n k= ( + T ) = v + T ( ( + T ) n ) T On en déduit que T est racine de l équation algébrique non linéaire f (T ) = où f (T ) = v + T T ( ( + T ) n ) M Étudions la fonction f : f (T ) > pour tout T >, lim T + f (T ) = nv M < (n )v, lim T + f (T ) = +, f (T ) = v ( + ( + T ) n T (T n ) ) > pour tout T > (comparer le graphe de /( + T ) n et de nt ) En étudiant la fonction f on voit que, comme nv < M dès que n >, elle admet un unique zéro dans l intervalle ],+ [ (on peut même prouver qu elle admet un unique zéro dans l intervalle ], M[) Supposons que v = et qu après 5 ans M est égal à 6 En étudiant la fonction f on voit qu elle admet un unique zéro dans l intervalle ],[ Si on applique la méthode de la dichotomie avec ε =, après 7 itérations de la méthode de dichotomie, la méthode converge vers On conclut ainsi que le taux d intérêt T est approximativement égal à 64% Ce résultat a été obtenu en faisant appel à la fonction dichotomie définie à la page 4 comme suit : a = # T=% b = # T=% 4 tol = e- 5 maxiter = 5 6 def f(x): 7 return *(+x)/x*((+x)**5-)-6 8 print dichotomie(f,a,b,tol,maxiter) Exemple Soit f (x) = 9 4x + 9x 5x On cherche a estimer x [;5] tel que f (x) = y DICHOTOMIE f (5) = f (x) = 9 + ( 4 + (9 5x)x)x f () = f (5) = f () = x f () = I = [;] I = [;] I = [;5] I = [;5] 4 G Faccanoni

15 Jeudi 5 juin 4 Résolution d équations non linéaires y LAGRANGE f (5) = f (x) = 9 + ( 4 + (9 5x)x)x f ( ) = f () = 6 5 x f () = I = [; ] I = [; ] I = [;5] La méthode de dichotomie est simple mais elle ne garantit pas une réduction monotone de l erreur d une itération à l autre : tout ce dont on est assuré, c est que la longueur de l intervalle de recherche est divisée par deux à chaque étape Par conséquent, si le seul critère d arrêt est le contrôle de la longueur de I k, on risque de rejeter de bonnes approximations de x En fait, cette méthode ne prend pas suffisamment en compte le comportement réel de f Il est par exemple frappant que la méthode ne converge pas en une seule itération quand f est linéaire (à moins que le zéro x ne soit le milieu de l intervalle de recherche initial) Méthode de la sécante Soit f : R R une fonction continue et soit x [a,b] un zéro de f La méthode de la sécante est une variante de la méthode de LAGRANGE dans laquelle on ne demande plus à ce que le zéro soit entre a k et b k Pour calculer x k+ on prend l intersection de l axe des abscisses avec la droite passant par les points (x k, f (x k )) et (x k, f (x k )), ie on cherche x solution du système linéaire y = f (x k ) f (x k ) x k x k (x x k ) + f (x k ), y =, ce qui donne x = x k x k x k f (x k ) f (x k ) f (x k) Définition Méthode de la Sécante Il s agit d une méthode à trois niveaux : approcher les zéros de f se ramène à calculer la limite de la la suite récurrente x donné, Cette méthode a ordre de convergence + 5 x donné, x k x k x k+ = x k f (x k ) f (x k ) f (x k), Méthodes de point fixe En s amusant avec une calculatrice de poche ou avec le code python ci-dessous import math x = for i in range (,): 4 x = mathcos(x) 5 print("x[}]=}"format(i,x)) on peut vérifier qu en partant de la valeur et en appuyant plusieurs fois de suite sur la touche «cosinus», on obtient cette suite de valeurs : x =, G Faccanoni 5

16 Résolution d équations non linéaires Jeudi 5 juin 4 x = cos(x ) = , x = cos(x ) = , x = cos(x ) = , x 55 = 79857, x = qui tend vers la valeur 7985 En effet, on a par construction x k+ = cos(x k ) pour k =,, (avec x = ) Si cette suite converge, sa limite l satisfait l équation cos(l) = l Pour cette raison, l est appelé point fixe de la fonction cosinus Définition Point fixe Soit ϕ : R R une fonction Si x R est tel que ϕ( x) = x, on dit que x est un point fixe de ϕ (l image de x par ϕ est lui-même) On peut se demander comment exploiter cette procédure pour calculer les zéros d une fonction donnée Remarquons qu on peut voir l comme un point fixe du cosinus, ou encore comme un zéro de la fonction f (x) = x cos(x) La méthode proposée fournit donc un moyen de calculer les zéros de f Précisons ce principe : soit f : [a,b] R la fonction dont on cherche le zéro Il est toujours possible de transformer le problème (Pb-) chercher x tel que f (x) = en un problème équivalent (ie admettant les mêmes solutions) (Pb-) chercher x tel que x ϕ(x) = Pour que les deux problèmes soient équivalent, la fonction auxiliaire ϕ: [a,b] R doit être choisie de manière à ce que ϕ( x) = x si et seulement si f ( x) = dans [a;b] (on dit alors que le problème (Pb-) est consistant avec le problème (Pb-)) Clairement, il existe une infinité de manières pour opérer cette transformation Par exemple, on peut poser ϕ(x) = x f (x) ou plus généralement ϕ(x) = x + γf (x) avec γ R quelconque On peut même remplacer γ par une fonction de x pour autant qu elle ne s annule pas Définition Méthode de point fixe Supposons que x R soit un point fixe de ϕ La méthode de point fixe consiste en la construction d une suite (x k ) k N définie par récurrence comme suit : x donné, x k+ = ϕ(x k ) k N Naturellement une telle suite n est pas forcement convergente Par contre, si elle converge, c est-à-dire si la suite x k a une limite que nous notons l, et si ϕ est continue, alors cette limite est nécessairement un point fixe de ϕ puisque ( ) l = lim x k+ = lim ϕ(x k ) = ϕ lim x k = ϕ(l) k k k On utilise alors l algorithme itératif suivant pour construire la suite (comme l ordinateur ne peux pas construire une infinité de termes, on calcul les premiers termes de la suite et on s arrête dès que la différence entre deux éléments de la suite est inférieure à une tolérance ε > donnée) : Require: x, ε, ϕ: [a,b] R k x x + ε while x k+ x k > ε do x k+ ϕ(x k ) k k + end while On va maintenant s intéresser à la convergence de la suite construite par une méthode de point fixe Théorème Convergence (globale) des itérations de point fixe Considérons une fonction ϕ: [a;b] R On se donne x [a;b] et on considère la suite x k+ = ϕ(x k ) pour k Si les deux conditions suivantes sont satisfaites : condition de stabilité : ϕ(x) [a,b] pour tout x [a,b] 6 G Faccanoni

17 Jeudi 5 juin 4 Résolution d équations non linéaires y y b x 6 5 x 4 x x f b x x x 5 7 x 6 x 4 x f ϕ([a;b]) [a;b] ϕ (x) < convergence x a a x x x x x 4 x 5 b x a a x x x 4 x 6 x 5 x x b x ϕ([a;b]) [a;b] < ϕ (x) convergence FIGURE : Interprétation géométrique du théorème de point fixe condition de contraction stricte : il existe K [;[ tel que ϕ(x) ϕ(y) K x y pour tout x, y [a,b] alors ϕ est continue, ϕ a un et un seul point fixe x dans [a,b], la suite x k+ = ϕ(x k ) converge vers x pour tout choix de x dans [a,b] Démonstration Continuité La condition de contraction stricte implique que ϕ est continue puisque, si on prend une suite (y k ) k N [a,b] qui converge vers un élément x de [a,b], alors nous avons ϕ(x) ϕ(y n ) K x y n et par suite lim k ϕ(y k ) = ϕ(x) Existence Commençons par prouver l existence d un point fixe de ϕ La fonction g (x) = ϕ(x) x est continue dans [a,b] et, grâce à la condition de stabilité, on a g (a) = ϕ(a) a et g (b) = ϕ(b) b En appliquant le théorème des valeurs intermédiaires, on en déduit que g a au moins un zéro dans [a,b], ie ϕ a au moins un point fixe dans [a,b] Unicité L unicité du point fixe découle de la condition de contraction stricte En effet, si on avait deux points fixes distincts x et x, alors x x = ϕ( x ) ϕ( x ) K x x < x x ce qui est impossible Convergence Prouvons à présent que la suite x k converge vers l unique point fixe x quand k tend vers + pour toute donnée initiale x [a;b] On a x k+ x = ϕ(x k ) ϕ( x) K x k x où K < est la constante de contraction En itérant k + fois cette relation on obtient ie, pour tout k x k+ x K k+ x x, x k+ x K k+ x x En passant à la limite quand k tend vers + on obtient x k+ x tend vers zéro Il est important de disposer d un critère pratique assurant qu une fonction ϕ est contractante stricte Pour cela, rappelons quelques définitions Théorème Si ϕ: [a;b] [a;b] est de classe C ([a,b]) et si ϕ (x) < pour tout x [a,b], alors la condition de contraction stricte est satisfaite avec K = max [a;b] ϕ (x) G Faccanoni 7

18 Résolution d équations non linéaires Jeudi 5 juin 4 Démonstration Considérons la fonction affine g qui transforme l intervalle [;] dans l intervalle [x; y] : g : [;] [x; y] t x + t(x y) Alors et donc ϕ(x) ϕ(y) = y ϕ(x) ϕ(y) = (x y) x ϕ (ζ) dζ = ϕ (g (t))g (t) dt = (x y) ϕ (x + t(x y)) dt ϕ (x + t(x y)) dt (x y) ϕ (x + t(x y)) dt K (x y) Le théorème de convergence globale assure la convergence, avec un ordre, de la suite (x k ) k N vers le point fixe x pour tout choix d une valeur initiale x [a;b] Mais en pratique, il est souvent difficile de déterminer à priori l intervalle [a;b] ; dans ce cas, le résultat de convergence locale suivant peut être utile Théorème d OSTROWSKI ou de convergence (locale) des itérations de point fixe Soit [a;b] R et ϕ: [a;b] [a;b] une application de classe C ([a;b]) Soit x [a;b] un point fixe de ϕ On peut distinguer trois cas : Soit ϕ ( x) < Par continuité de ϕ il existe un intervalle [ x ε; x + ε] [a;b] sur lequel ϕ ( x) < K <, donc ϕ est contractante stricte sur cet intervalle On a nécessairement ϕ([ x ε; x +ε]) [ x ε; x +ε] et par conséquent la suite (x k ) k N converge vers x pour tout x [ x ε; x + ε] On dit que x est un point fixe attractif De plus, si < ϕ ( x) < la suite converge de façon monotone, c est-à-dire l erreur x k x garde un signe constant quand k varie ; si < ϕ ( x) < la suite converge de façon oscillante, c est-à-dire l erreur x k x change de signe selon la parité de k Si ϕ ( x) >, alors il n existe aucun intervalle [ x ε; x + ε] [a;b] tel que la suite (x k ) k N converge vers x pour tout x [ x ε; x + ε] à l exception du cas x = x On dit que x est un point fixe répulsif De plus, si ϕ ( x) > la suite diverge de façon monotone, si ϕ ( x) < la suite diverge en oscillant Si ϕ ( x) = on ne peut en général tirer aucune conclusion : selon le problème considéré, il peut y avoir convergence ou divergence Exemple La fonction ϕ(x) = cos(x) vérifie toutes les hypothèses du théorème d OSTROWSKI : elle est de classe C (R) et ϕ ( x) = sin( x) 67 <, donc il existe par continuité un intervalle [c,d] qui contient x tel que ϕ ( x) < pour x [c,d] La fonction ϕ(x) = x possède deux points fixes x = ( + 5)/ et x = ( 5)/ mais ne vérifie l hypothèse du théorème d OSTROWSKI pour aucun d eux puisque ϕ( x, ) = ( ± 5)/ > Les itérations de point fixe ne convergent pas La fonction φ(x) = x x admet x = comme point fixe On a φ ( x) = et x k x pour tout x [ ;] car si x = ± alors x k = x pour tout k, si x ],[ alors on montre que x k ],[ pour tout k De plus, la suite est monotone décroissante si < x <, monotone croissante si < x < donc elle converge vers l [ ;] Les uniques candidats limites sont les solutions de l équation l = φ(l) et par conséquente x k La fonction φ(x) = x + x admet aussi x = comme point fixe À nouveau φ ( x) = mais dans ce cas la suite diverge pour tout choix de x Le théorème d OSTROWSKI dit que, de manière générale, la méthode de point fixe ne converge pas pour des valeurs arbitraires de x, mais seulement pour des valeurs suffisamment proches de x, c est-à-dire appartenant à un certain voisinage de x Au premier abord, cette condition semble inutilisable : elle signifie en effet que pour calculer x (qui est inconnu), on devrait partir d une valeur assez proche de x En pratique, on peut obtenir une valeur initiale x en effectuant quelques itérations de la méthode de dichotomie ou en examinant le graphe de f Si x est convenablement choisi alors la méthode de point fixe converge Proposition Calcul de l ordre de convergence d une méthode de point fixe Soit x un point fixe d une fonction ϕ C p+ pour un entier p dans un intervalle [a;b] contenant x Si ϕ (i ) ( x) = pour i p et ϕ (p+) ( x), alors la méthode de point fixe associée à la fonction d itération ϕ est d ordre p + et lim k + x k+ x (x k x) p+ = ϕ(p+) ( x) (p + )! 8 G Faccanoni

19 Jeudi 5 juin 4 Résolution d équations non linéaires Démonstration Écrivons le développement de TAYLOR avec le reste de LAGRANGE de ϕ en x = x : ϕ(x) = ϕ( x) + p ϕ (i ) ( x) (x x) i + ϕ(p+) (ξ) (x x) p+ i! (p + )! où ξ est entre x et x Comme ϕ( x) = x et ϕ (i ) ( x) = pour i p, cela se simplifie et on a i= ϕ(x) = x + ϕ(p+) (ξ) (x x) p+ (p + )! En évaluant l expression ainsi trouvée en x k et sachant que ϕ(x k ) = x k+, on a alors x k+ x = ϕ(p+) (ξ) (x k x) p+ (p + )! Lorsque k +, x k tend vers x et donc ξ, qui se trouve entre x k et x, tend vers x aussi Alors lim k + x k+ x = lim (x k x) p+ k + ϕ (p+) (ξ) (p + )! = ϕ(p+) ( x) (p + )! Pour un ordre p fixé, la convergence de la suite vers x est d autant plus rapide que ϕ(p+) ( x) (p+)! est petit Méthodes de point fixe particulièrement connues Soit f : [a,b] R une fonction continue (continûment dérivable pour la méthode de la corde et la méthode de NEW- TON) et soit x un zéro de f Supposons que l on connaisse une valeur x proche de x Approcher les zéros de f se ramène au problème de la détermination des points fixes de la fonction ϕ, ce qui se fait en construisant la suite récurrente x donné, x k+ = ϕ(x k ) Pour choisir la fonction ϕ il est nécessaire de prendre en compte les informations données par les valeurs de f et, éventuellement, par sa dérivée f ou par une approximation convenable de celle-ci (si f est différentiable) Écrivons pour cela le développement de TAYLOR de f en x au premier ordre : f ( x) = f (x)+( x x)f (ξ) où ξ est entre x et x Le problème chercher x tel que f ( x) = devient alors chercher x tel que f (x) + ( x x)f (ξ) = Cette équation conduit à la méthode itérative suivante : pour tout k, étant donné x k, déterminer x k+ en résolvant l équation f (x k )+(x k+ x k )q k =, où q k est égal à f (ξ k ) (ou en est une approximation) avec ξ k un point entre x k et x k+ La méthode qu on vient de décrire revient à chercher l intersection entre l axe des x et la droite de pente q k passant par le point (x k, f (x k )), ce qui s écrit sous la forme d une méthode de point fixe avec x k+ = ϕ(x k ) x k f (x k) q k, k Considérons maintenant quatre choix particuliers de q k et donc de ϕ qui définissent des méthodes célèbres : b a Méthode de la Corde : q k = f (b) f (a) = ϕ(x) = x Méthode de la Corde : q k = f (x ) = ϕ(x) = x f (x) f (x ) Méthode de NEWTON : q k = f (x k ) = ϕ(x) = x f (x) f (x) b a f (b) f (a) f (x) Proposition Si la méthode de la corde converge, elle converge à l ordre ; si la méthode de NEWTON converge, elle converge à l ordre si la racine est simple, à l ordre sinon G Faccanoni 9

20 Résolution d équations non linéaires Jeudi 5 juin 4 Démonstration f (b) f (a) Méthodes de la Corde q k = b a (méthode ) ou q k = f (x ) (méthode ) Si f ( x) = alors ϕ ( x) = et on ne peut pas assurer la convergence de la méthode Autrement, la condition ϕ ( x) < revient à demander que < f ( x)/q k < Ainsi la pente de la corde doit avoir le même signe que f ( x) et, pour la méthode, l intervalle de recherche [a;b] doit être tel quel f (b) f (a) b a < f ( x) La méthode de la corde converge en une itération si f est affine, autrement elle converge linéairement, sauf dans le cas (exceptionnel) où f ( x) = alors au moins quadratique) f (b) f (a) b a Méthode de Newton Soit la méthode de NEWTON pour le calcul de x zéro de f : Si f ( x) (ie si x est racine simple), on trouve (méthode ) ou f ( x) = f (x ) (méthode ), ie ϕ ( x) = (la convergence est ϕ(x) = x f (x) f (x) ϕ (x) = (f (x)) f (x)f (x) (f (x)) = f (x)f (x) (f (x)), ϕ ( x) =, ϕ (x) = f (x) f (x) + f (x)f (x) (f (x)) f (x)(f (x)) (f (x)), ϕ ( x) = f ( x) f ( x) La méthode de NEWTON est donc d ordre Si la racine x est de multiplicité m >, alors la méthode n est plus du second ordre En effet, f (x) = (x x) m h(x) où h est une fonction telle que h( x) On a alors ϕ(x) = f (x) f (x) = (x x)h(x) mh(x) + (x x)h (x), ϕ (x) = h(x)( m(m )h(x) + (x x)h (x) + (x x) h (x) ) ( mh(x) + (x x)h (x) ), ϕ ( x) = m Si la valeur de m est connue a priori, on peut retrouver la convergence quadratique en modifiant la méthode de NEWTON comme suit : ϕ(x) = x m f (x) f (x) Attention À noter que même si la méthode de NEWTON permet en général d obtenir une convergence quadratique, un mauvais choix de la valeur initiale peut provoquer la divergence de cette méthode (notamment si la courbe représentative de f présente au point d abscisse x un tangente à peu près horizontale) D où l importance d une étude préalable soignée de la fonction f (cette étude est d ailleurs nécessaire pour toute méthode de point fixe) Remarque Interprétation géométrique de la méthode de NEWTON et des méthodes de la corde Soit f : R R une fonction continûment dérivable et soit x un zéro simple de f, c est-à-dire f ( x) = et f ( x) Supposons que l on connaisse une valeur x k proche de x Pour calculer x k+ on prend l intersection de l axe des abscisses avec la droite tangente au graphe de f passant par le point (x k, f (x k )), ie on cherche x solution du système linéaire y = f (x k )(x x k ) + f (x k ), y = On obtient x = x k f (x k) f (x k ) ce qui correspond à la méthode de NEWTON G Faccanoni

21 Jeudi 5 juin 4 Résolution d équations non linéaires y f y = f (x )(x x ) + f (x ) x x x x x y = f (x )(x x ) + f (x ) Soit f : R R une fonction continue et soit x [a,b] un zéro de f Cette fois-ci, pour calculer x k+ on prend l intersection de l axe des abscisses avec la droite passant par le point (x k, f (x k )) et parallèle à la droite passant par les points (a, f (a)) et (b, f (b)), ie on cherche x solution du système linéaire ce qui donne f (b) f (a) y = b a (x x k ) + f (x k ), y =, x = x k b a f (b) f (a) f (x k) Il s agit de la méthode de la corde Cette méthode permet d éviter qu à chaque itération on ait à évaluer f (x k ) car on f (b) f (a) remplace f (x k ) par b a Une variante de la méthode de la corde consiste à calculer x k+ comme l intersection entre l axe des abscisses et la droite passant par le point (x k, f (x k )) et parallèle à la droite tangente au graphe de f passant par le point (x, f (x )), ie on cherche x solution du système linéaire y = f (x )(x x k ) + f (x k ), y =, ce qui donne Dans cette variante on remplace f (x k ) par f (x ) y f x = x k f (x k) f (x ) y f y = f (x )(x x ) + f (x ) f (b) f (a) y = b a (x x ) + f (x ) f (b) f (a) y = b a (x x ) + f (x ) a x x x x b x x x x x x y = f (x )(x x ) + f (x ) Exemple On se trouve en possession d une calculatrice qui ne sait effectuer que les opérations addition, soustraction et multiplication Lorsque a > est donné, on veut calculer sa valeur réciproque /a Le problème peut être ramené à résoudre l équation x = /a ce qui équivaut à chercher le zéro de la fonction f : R + R x x a Selon la formule de NEWTON on a x k+ = ( + a)x k + x k, G Faccanoni

22 Résolution d équations non linéaires Jeudi 5 juin 4 une récurrence qui ne requiert pas de divisions Pour a = 7 et partant de x = par exemple, on trouve x =,, x =,9,x =,4765, x 4 =,485785, etc Cette suite converge vers /7, Exemple Comparaison des méthodes de NEWTON pour différentes formulation de la fonction initiale Dans R + on veut résoudre l équation x = e /x () En transformant l équation donnée de différentes manières, on arrive à différentes formules de récurrence : L équation () équivaut à chercher le zéro de la fonction f : R + R x x e /x En utilisant la méthode de NEWTON on trouve la formule itérative Si on pose y = /x, alors on a l équivalence x k+ = x k f (x k ) f (x k ) = x k x k e /xk + e/x k x k x = e /x y = e y, donc la solution x de l équation () est la réciproque du zéro de la fonction g : R + R y ye y En utilisant la méthode de NEWTON on trouve la formule itérative et x k = /y k y k+ = y k g (y k ) g (y k ) = y k L équation () est encore équivalente à chercher le zéro de la fonction h : R + R = x k x x k e /x k k x k + e/x k y k e yk ( + y k )e y = y k + e yk y k k + y k x x ln(x) En utilisant la méthode de NEWTON on trouve la formule itérative x k+ = x k h(x k ) h (x k ) = x k + x k ln(x k ) = + x k + ln(x k ) + ln(x k ) La représentation graphique de f montre qu il n existe qu une seule racine Comme f (7) f (9) <, elle se trouve dans l intervalle [7;9] En partant de x = 8 on trouve les suites suivantes : La solution est x,76845 Formule Formule Formule x =, x = x = Critères d arrêt Supposons que (x n ) n N soit une suite qui converge vers x zéro de la fonction f Nous avons le choix entre deux types de critères d arrêt pour interrompre le processus itératif d approximation de x : ceux basés sur le résidu et ceux basés sur l incrément Nous désignerons par ε une tolérance fixée pour le calcul approché de x et par e n = x x n l erreur absolue Nous supposerons de plus f continûment différentiable dans un voisinage de la racine Contrôle du résidu : les itérations s achèvent dès que f (x n ) < ε Il y a des situations pour lesquelles ce test s avère trop restrictif ou, au contraire, trop optimiste si f ( x) alors e n ε : le test donne donc une indication satisfaisante de l erreur ; si f ( x), le test n est pas bien adapté car e n peut être assez grand par rapport à ε (voir la figure à droite) ; si enfin f ( x) alors e n ε et le test est trop restrictif (voir la figure à gauche) Contrôle de l incrément : les itérations s achèvent dès que x n+ x n < ε Soit (x n ) n N la suite produite par la méthode de point fixe x n+ = ϕ(x n ) Comme x = ϕ( x) et x n+ = ϕ(x n ), si on développe au premier ordre on sait qu il existe ξ n I x,xn tel que e n+ = x x n+ = ϕ( x) ϕ(x n ) = ϕ (ξ n )( x x n ) = ϕ (ξ n )e n G Faccanoni

23 Jeudi 5 juin 4 Résolution d équations non linéaires y y f f (x k ) f x e k x k x x e k x k f (x k ) x FIGURE : Deux situations pour lesquelles le résidu e k = x k x est un mauvais estimateur d erreur : f (x) (à gauche), f (x) (à droite), pour x dans un voisinage de x où I x,xn est l intervalle d extrémités x et x k En utilisant l identité e n = ( x x n+ ) + (x n+ x n ) = e n+ + (x n+ x n ) = ϕ (ξ n )e n + (x n+ x n ), on en déduit que e n = x n+ x n ϕ (ξ n ) Par conséquent, ce critère fournit un estimateur d erreur satisfaisant si ϕ (x) dans un voisinage de x C est le cas notamment des méthodes d ordre, dont la méthode de NEWTON Cette estimation devient d autant moins bonne que ϕ s approche de Notons d ailleurs que si la méthode de point fixe converge avec K < et si on considère le critère d arrêt x n+ x n < ε alors e n = x n x ε K ε En effet, il suffit de considérer les inégalités suivantes : e n+ = x n+ x = ϕ(x n ) ϕ( x) K x n x = K e n, e n+ = x n+ x = x n+ x n + x n x x n x x n+ x n = e n x n+ x n > e n ε G Faccanoni

24 Résolution d équations non linéaires Jeudi 5 juin 4 Codes Python dichotomie, lagrange, newton et point_fix sont quatre fonctions (informatiques) qui renvoient la valeur approchée du zéro d une fonction (mathématique) f En paramètre elles reçoivent f, la fonction dont on cherche la racine, a et b sont les extrémités de l intervalle de recherche pour les méthodes de dichotomie et de LAGRANGE, x_init est la donnée initiale pour les méthodes de NEWTON et de point fixe, maxiter est le nombre maximal d itérations et tol est la tolérance #!/usr/bin/python #-*- coding: Utf-8 -*- Méthodes numériques 4 import math, sys 5 6 def dichotomie(f,a,b,tol,maxiter): 7 fa = f(a) 8 if abs(fa)<=tol: 9 return a fb = f(b) if abs(fb)<=tol: return b if fa*fb > : 4 print "La racine n est pas encadree" 5 sysexit() 6 n = int(mathceil(mathlog(abs(b-a)/tol)/mathlog())) 7 for k in range(min(n+,maxiter)): 8 c = (a+b)*5 9 fc = f(c) if fc == : return c if fc*fb < : a = c 4 fa = fc 5 else: 6 b = c 7 fb = fc 8 return (a+b)*5 9 def lagrange(f,a,b,tol,maxiter): fa = f(a) if abs(fa)<=tol: return a 4 fb = f(b) 5 if abs(fb)<=tol: 6 return b 7 if fa*fb > : 8 print "La racine n est pas encadree" 9 sysexit() 4 k = 4 while ( ((abs(b-a)>tol) or (abs(fc)>tol)) and (k<maxiter) ): 4 k += 4 c = a-fa*(b-a)/(fb-fa) 44 fc = f(c) 45 if fc == : 46 return c 47 if fc*fb < : 48 a = c 49 fa = fc 5 else: 5 b = c 5 fb = fc 5 return a-fa*(b-a)/(fb-fa) def newton(f,x_init,tol,maxiter): 56 k = 57 x = x_init 58 fx = f(x) 4 G Faccanoni

25 Jeudi 5 juin 4 Résolution d équations non linéaires 59 h = tol 6 dfx = (f(x+h)-fx)/h # calcul approche de f (x) 6 while ( (abs(fx)>tol) and (k<maxiter) ): 6 x = x - fx/dfx 6 fx = f(x) 64 dfx = (f(x+h)-fx)/h 65 k += 66 if k==maxiter: 67 print "Pas de convergence" 68 else: 69 return x 7 7 def point_fix(f,x_init,tol,maxiter): 7 k = 7 x = x_init 74 while ( (abs(phi(x)-x)>tol) and (k<maxiter) ): 75 x = phi(x) 76 k += 77 if k==maxiter: 78 print "Pas de convergence" 79 else: 8 return x 8 # CHOIX DU CAS TEST 8 exemple = Exemple d utilisation 8 84 # DEFINITION DU CAS TEST 85 if exemple== : 86 tol = e-9 87 maxiter = 88 def f(x): 89 return (x+)*(x-) 9 def phi(x): 9 return x**- 9 elif exemple== : 9 tol = e-9 94 maxiter = 95 def f(x): 96 return x**- 97 def phi(x): 98 return x**+x- 99 else: print "Cas test non defini" sysexit() 4 # CALCUL 5 a = - 6 b = 7 print "A) Zero calcule par la methode de dichotomie dans l intervalle [", a, ",", b,"] : ", dichotomie(f,a,b,tol,maxiter) 8 print "B) Zero calcule par la methode de Lagrange dans l intervalle [", a, ",", b,"] : ", lagrange(f,a,b, tol,maxiter) 9 a = b = print "C) Zero calcule par la methode de dichotomie dans l intervalle [", a, ",", b,"] : ", dichotomie(f,a,b,tol,maxiter) print "D) Zero calcule par la methode de Lagrange dans l intervalle [", a, ",", b,"] : ", lagrange(f,a,b, tol,maxiter) 4 5 x_init = G Faccanoni 5

26 Résolution d équations non linéaires Jeudi 5 juin 4 6 print "E) Zero calcule par la methode de \textscnewton} a partir du point x_ =",x_init," : ", newton(f, x_init,tol,maxiter) 7 print "F) Zero calcule par la methode de point fix a partir du point x_ =",x_init," : ", point_fix(phi, x_init,tol,maxiter) 8 9 x_init = print "G) Zero calcule par la methode de \textscnewton} a partir du point x_ =",x_init," : ", newton(f, x_init,tol,maxiter) print "H) Zero calcule par la methode de point fix a partir du point x_ =",x_init," : ", point_fix(phi, x_init,tol,maxiter) 4 # Dans python il existe un module qui implement deja ces methodes, comparons nos resultats avec ceux du module: 5 from scipyoptimize import fsolve 6 x_init = 7 print "** Zero calcule par le module scipyoptimize a partir du point x_ =",x_init," : ", fsolve(f,x_init ) 8 x_init = 9 print "** Zero calcule par le module scipyoptimize a partir du point x_ =",x_init," : ", fsolve(f,x_init ) 6 G Faccanoni

27 Jeudi 5 juin 4 Résolution d équations non linéaires Exercices Exercice Décrire les méthodes de la dichotomie et de LAGRANGE et les utiliser pour calculer le zéro de la fonction dans l intervalle [;] avec une précision de f (x) = x 4x 895 CORRECTION DE L EXERCICE En partant de I = [a,b], les méthodes de la dichotomie et de LAGRANGE produisent une suite de sous-intervalles I k = [a k,b k ] avec I k I k, k, et tels que f (a k )f (b k ) < Pour cela, soit x k tel que I k = [a k ; x k ] [x k,b k ], alors [ak ; x k ] si f (a k )f (x k ) <, I k+ = [x k,b k ] sinon k a k b k while b k a k > do x k g (a k,b k ) k k + if (a k 4a k 895)(x k 4x k 895) < then a k+ a k b k+ x k else a k+ x k b k+ b k end if end while L unique différence entre les deux méthode réside dans la construction de x k : x k = g (a k,b k ) = ak +b k pour la méthode de la dichotomie, pour la méthode de la LAGRANGE a k f (b k ) b k f (a k ) f (b k ) f (a k ) Dichotomie k a k x k b k signe de f (a k ) signe de f (x k ) signe de f (b k ) LAGRANGE k a k x k b k signe de f (a k ) signe de f (x k ) signe de f (b k ) Exercice Soit f : [; ] R une fonction continue strictement décroissante telle que f () = et f () = Sachant que f () =, déterminer la suite des premiers quatre itérés de la méthode de la dichotomie dans l intervalle [;] pour l approximation du zéro de f On pourra utiliser le tableau ci-dessous : G Faccanoni 7

28 Résolution d équations non linéaires Jeudi 5 juin 4 k a k x k b k signe de f (a k ) signe de f (x k ) signe de f (b k ) + 4 Combien d itérations faut-il effectuer pour approcher le zéro de f à 5 près? CORRECTION DE L EXERCICE On a k a k x k b k signe de f (a k ) signe de f (x k ) signe de f (b k ) donc, après quatre itérations, le zéro de f est approché par 85 ( ) Il faut effectuer au moins log = 5 itérations 5 Exercice Soit f : [; ] R une fonction continue strictement décroissante telle que f () = et f () = Sachant que f (6) =, déterminer la suite des premiers quatre itérés de la méthode de la dichotomie dans l intervalle [;] pour l approximation du zéro de f On pourra utiliser le tableau ci-dessous : k a k x k b k signe de f (a k ) signe de f (x k ) signe de f (b k ) + 4 Combien d itérations faut-il effectuer pour approcher le zéro de f à près? CORRECTION DE L EXERCICE On a k a k x k b k signe de f (a k ) signe de f (x k ) signe de f (b k ) donc, après quatre itérations, le zéro de f est approché par 5975 ( ) Il faut effectuer au moins log = itérations Exercice 4 Déterminer la suite des premiers itérés des méthodes de dichotomie dans l intervalle [,] et de NEWTON avec x = pour l approximation du zéro de la fonction f (x) = x Combien de pas de dichotomie doit-on effectuer pour améliorer d un ordre de grandeur la précision de l approximation de la racine? CORRECTION DE L EXERCICE 4 On cherche les zéros de la fonction f (x) = x : Méthode de la dichotomie : en partant de I = [a,b], la méthode de la dichotomie produit une suite de sous-intervalles I k = [a k,b k ] avec I k+ I k et tels que f (a k )f (b k ) < Plus précisément on pose a = a, b = b, x = a +b, pour k si f (a k )f (x k ) < on pose a k+ = a k, b k+ = x k sinon on pose a k+ = x k, b k+ = b k 8 G Faccanoni

29 Jeudi 5 juin 4 Résolution d équations non linéaires y 7 f (x) y f (x) I I I 4 I I x 7 x (a) Méthode de la dichotomie (b) Méthode de NEWTON FIGURE : Approximation du zéro de la fonction f (x) = x et on pose x k+ = a k++b k+ Voir la figure a Méthode de NEWTON : Voir la figure b Donc on a le tableau suivant x k+ = x k f (x k) f (x k ) = x k x k = x k x k + x k x x x x Dichotomie Newton =,5 5 4 =,5 8 =,75 =,5 7 =, ,4456 On rappelle qu avec la méthode de la dichotomie, les itération s achèvent à la m-ème étape quand x m x I m < ε, où ε est une tolérance fixée et I m désigne la longueur de l intervalle I m Clairement I k = b a, donc pour avoir x k m x < ε on doit prendre ( ) b a m log ε Améliorer d un ordre de grandeur la précision de l approximation de la racine signifie avoir x k x = x j x donc on doit effectuer k j = log (), itérations de dichotomie Exercice 5 Donner la suite définissant la méthode de NEWTON pour la recherche d un zéro de fonction Justifier l expression de la suite Écrire l algorithme pour une convergence à 6 près Déterminer l ordre de convergence minimale de cette suite CORRECTION DE L EXERCICE 5 Supposons f C et f ( x) (c est-à-dire x est une racine simple de f ) La méthode de NEWTON revient à calculer le zéro de f en remplaçant localement f par sa tangente : en partant de l équation de la tangente à la courbe (x, f (x)) au point x k y(x) = f (x k ) + f (x k )(x x k ) G Faccanoni 9

30 Résolution d équations non linéaires Jeudi 5 juin 4 et en faisant comme si x k+ vérifiait y(x k+ ) =, on obtient x k+ = x k f (x k) f (x k ) Étant donné une valeur initiale x (), cette formule permet de construire une suite x k Algorithme pour une convergence à ε = 6 : Require: x, x f (x) while x k+ x k > 6 do x k+ x k f (x k ) f (x k ) end while La relation précédent peut être mise sous la forme d une itération de point fixe x k+ = g (x k ) avec g (x) = x f (x) f (x) Si x est racine simple, c est-à-dire si f ( x), on trouve g ( x) = et g ( x) = f ( x) f : la méthode de NEWTON est donc ( x) d ordre Si la racine x est de multiplicité m >, alors g ( x) = m et la méthode n est que d ordre Si la valeur de m est connue à priori, on peut retrouver la convergence quadratique de la méthode de NEWTON en modifiant la méthode comme suit : x k+ = x k m f (x k) f (x k ) Exercice 6 On veut calculer le zéro de la fonction f (x) = x dans l intervalle [;] On applique la méthode de LAGRANGE : écrire l algorithme et l utiliser pour remplir le tableau (on s arrêtera au plus petit k qui vérifie f (x k ) < 4 ) k a k x k b k signe de f (a k ) f (x k ) signe de f (b k ) x k On applique la méthode de NEWTON : écrire l algorithme et l utiliser pour remplir le tableau (on s arrêtera au plus petit k qui vérifie f (x k ) < 4 ) Le point de départ x est donné k x k f (x k ) x k CORRECTION DE L EXERCICE 6 En partant de I = [a,b], la méthode de LAGRANGE produit une suite de sous-intervalles I k = [a k,b k ], k, avec I k I k, k, et tels que f (a k )f (b k ) < Dans notre cas on a k a k b k x k a k while x > do k x k a k b k + a k +b k if (a k )(x ) < then k a k+ a k b k+ x k else a k+ x k b k+ b k end if G Faccanoni

31 Jeudi 5 juin 4 Résolution d équations non linéaires k k + end while k a k x k b k signe de f (a k ) f (x k ) signe de f (b k ) x k - > > > > > > < + La méthode de NEWTON est une méthode de point fixe avec fonction d itération φ(x) = x f (x) f ce qui donne l algorithme suivant (x) : k x k while x k > 4 do x k+ x k k k + end while + x k k x k f (x k ) x k - > > > < Exercice 7 Évolution d un capital On investit un capital C > Le placement a un taux de 5% par an et des frais de gestion fixes de 5 euros qui sont prélevés chaque année Décrire la suite récurrente qui décrit l évolution du placement Donner les points fixes du système et indiquer s ils sont attractifs ou répulsifs Étudier l évolution du capital au fil des ans selon la valeur de C CORRECTION DE L EXERCICE 7 Notons u n le capital au début de la n-ième année, alors on a u = C, un + = ( + 5%)u n 5 = 5u n 5, n N Il s agit d une suite récurrente définie par u n+ = ϕ(u n ) avec ϕ(x) = 5x 5 On a ϕ(x) = x ssi x = : l unique point fixe du système est x = Comme ϕ () = 5 >, il s agit donc d un point fixe répulsif Évolution du capital au fil des ans selon la valeur de C : si C > alors u n +, si C = alors u n = pour tout n N, si C < alors u n y y = ϕ(x) y = x x x x x x x x x x G Faccanoni

32 Résolution d équations non linéaires Jeudi 5 juin 4 Exercice 8 Détermination des points fixes attractifs et répulsifs On considère des systèmes dynamiques donnés par la loi d évolution x ϕ(x) Dans chaque cas déterminer les points fixes et leur nature (sont-ils attractifs ou répulsifs?) Tracer le graphe de ϕ et quelques points de la suite ϕ: [;] R ϕ: [;] R ϕ: R R x x( x) x x( + x) x x( + x ) CORRECTION DE L EXERCICE 8 ϕ(x) = x( x) = x +x et ϕ (x) = x + Point fixe (dans [;]) : l = Nature : ϕ (l) = ] ;[ donc l est attractif y y = x x x x x y = ϕ(x) ϕ(x) = x( + x) = x +x et ϕ (x) = x + Points fixes (dans [;]) : l = et l = Nature : ϕ (l ) = ] ;[ donc l est attractif, ϕ (l ) = > donc l est répulsif y y = ϕ(x) y = x x x x x x ϕ(x) = x( + x ) = x +x et ϕ (x) = x + Points fixes (dans [;]) : l = et l = Nature : ϕ (l ) = ] ;[ donc l est attractif, ϕ (l ) = > donc l est répulsif y y = ϕ(x) y = x x x x x x Exercice 9 Points fixes où la dérivée vaut On considère les systèmes dynamiques sur [;] donnés par les lois d évolution suivantes : ϕ(x) = x x ϕ(x) = x + x G Faccanoni

33 Jeudi 5 juin 4 Résolution d équations non linéaires ϕ(x) = x + x Dans chacun des cas, montrer que est un point fixe du système et que la dérivée de la loi d évolution en est égale à Dans chacun des cas, tracer le graphe de la loi d évolution et quelques orbites (ie quelques points de la suite) Dans quel cas le point fixe est-il attractif? Répulsif? CORRECTION DE L EXERCICE 9 ϕ(x) = x x = x( x)( + x) et ϕ (x) = x = ( x)( + x) Points fixes (dans [;]) : l = Nature : ϕ (l) = donc on ne peut pas établir directement la nature du point fixe y y = x x x x x y = ϕ(x) x On voit qu il s agit d un point fixe attractif Pour le démontrer il suffit d étudier directement la suite définie par récurrence u [;] u n+ = ϕ(u n ), n N Si la suite converge, elle converge vers l On vérifie facilement que ϕ([;]) [;] ainsi u n [;] pour tout n N u n+ u n = un < pour tout n N donc la suite est monotone décroissante Conclusion : u n ϕ(x) = x + x = x( + x ) et ϕ (x) = + x Points fixes (dans [;]) : l = Nature : ϕ (l) = donc on ne peut pas établir directement la nature du point fixe y y = ϕ(x) y = x x x x x On voit qu il s agit d un point fixe répulsif Pour le démontrer il suffit d étudier directement la suite définie par récurrence suivante (on considère ϕ définie sur R + ) u [;] u n+ = ϕ(u n ), n N Si la suite converge, elle converge vers l On vérifie facilement que ϕ(x) pour tout x R + ainsi u n pour tout n N u n+ u n = un > pour tout n N donc la suite est monotone croissante Conclusion : u n + ϕ(x) = x + x = x( + x) et ϕ (x) = + x Points fixes (dans [;]) : l = Nature : ϕ (l) = donc on ne peut pas établir directement la nature du point fixe G Faccanoni

34 Résolution d équations non linéaires Jeudi 5 juin 4 y y = ϕ(x) y = x x x x x On voit qu il s agit d un point fixe répulsif Pour le démontrer il suffit d étudier directement la suite définie par récurrence suivante (on considère ϕ définie sur R + ) u [;] u n+ = ϕ(u n ), n N Si la suite converge, elle converge vers l On vérifie facilement que ϕ(x) pour tout x R + ainsi u n pour tout n N u n+ u n = u n > pour tout n N donc la suite est monotone croissante Conclusion : u n + Exercice Pour approcher les racines réelles de la fonction f : R R définie par f (x) = (x x + )e x on veut utiliser la méthode de point fixe suivante : x donné, où ϕ(x) = x + x n+ = ϕ(x n ) pour tout n N Montrer qu il existe deux racines réelles l < l de f et les calculer Faire l étude graphique de la convergence de la méthode de point fixe et montrer que si x ] ;[ alors la suite converge vers l, si x = ± alors x n = l pour tout n N, si x < ou x > alors la suite diverge vers + Notons [a;b] l intervalle maximale contenant l pour lequel le théorème de point fixe s applique Calculer a et b et expliquer pourquoi la suite converge vers l même si x ] ;[\[a;b] CORRECTION DE L EXERCICE f (x) = (x )(x )e x donc f admet deux uniques racines réelles l = et l = Comparons ϕ, qui est une parabole convexe de sommet (,/), à l identité : y y = ϕ(x) y = x l = l = x x x x x x x x l 4 x x x l x x x 4 G Faccanoni

35 Jeudi 5 juin 4 Résolution d équations non linéaires L étude graphique montre que la suite converge quel que soit x [ ;] Plus précisément, on voit que si x = alors x = pour tout n N, si x ] ; [ alors x n pour tout n N, si x = alors x n = pour tout n N, si x ] ;[ alors x n pour tout n N, si x = alors x n = pour tout n N, si x ];[ alors x n pour tout n N, si x = alors x = pour tout n N, si x > alors x n + L intervalle maximale pour appliquer le théorème de point fixe est défini comme le plus grand intervalle pour lequel ϕ (x) <, ie l intervalle [ ; ] [ On remarque que ; ] [ ;] Or, si x ] ; /] ou x [/;[, alors x = ϕ(x ) < x ];[ (car ϕ(x) < x lorsque x ];[) et on montre que la suite (x n ) n N est monotone décroissante et minorée par l donc convergente Comme l unique limite possible est l on conclut que x n Exercice Considérons l équation x( + e x ) = e x Montrer que cette équation admet une unique solution réelle l dans [;] Écrire la méthode de NEWTON pour approcher la solution l Proposer une autre itération de point fixe pour approcher l Montrer analytiquement que cette itération converge vers l pour tout x [;] et faire l étude graphique de la convergence CORRECTION DE L EXERCICE Soit f : R R définie par f (x) = x(+e x ) e x f (x) = si et seulement si x est solution de l équation donnée f est de classe C (R), f () = < et f () = > donc, d après le théorème des valeurs intermédiaire, la fonction f admet au moins une racine sur [;] De plus, f est monotone sur [;] (car f (x) = + xe x > pour tout x [;]), donc cette racine est unique Méthode de NEWTON : x [;] x n+ = x n x n (+e xn ) e xn +x n e xn = x n x n+ +x n e xn e x n On considère l itération x [;] x n+ = ϕ(x n ) avec ϕ(x) = e x + e x ϕ est une fonction croissante sur R car ϕ (x) = e x > ; (+e x ) Montrons que ϕ([; ]) [; ] : x [;] ϕ continue et croissante [ ] = ϕ(x) [ϕ();ϕ()] = ; e [;]; + e ϕ est contractante stricte car ϕ (x) < pour tout x R D après le théorème de convergence globale des itérations de point fixe, l itération proposée converge pour tout x [;] De plus, < ϕ (x) < pour tout x R, donc la convergence est monotone et du premier ordre Comparons ϕ à l identité : y y = x y = ϕ(x) x x x x x x x G Faccanoni 5

36 Résolution d équations non linéaires Jeudi 5 juin 4 Exercice Pour calculer les racines de la fonction f (x) = x x + 8x 8 on utilise 4 méthodes de point fixe différentes décrites par les fonctions d itération suivantes : ϕ (x) = x + x 7x + 8, ϕ (x) = 8 x 8 x, ϕ (x) = x + x + 5 x + 4 5, ϕ 4(x) = x x + 8 x x + 8 Montrer que l = est l unique racine réelle de f Étudier la convergence locale des méthodes de point fixe x k+ = ϕ i (x k ) pour i =,,4 CORRECTION DE L EXERCICE Les fonctions ϕ i sont de classe C au voisinage de l De plus, on remarque que f (x) = (x )(x + 8), donc l unique racine réelle de f est l = ϕ (x) = x + x 7 et ϕ () = 8 : la suite diverge en oscillant ; ϕ (x) = x (8 x)+(8 x ) et ϕ 4 (8 x) () = 49 : la suite converge de façon oscillante ; ϕ (x) = x + 5 x + 5 et ϕ () = 4 : la suite converge de façon monotone ; 4 ϕ 4 (x) = (6x x)(x x+8) (x x +8)(6x ) et ϕ (x x+8) 4 () = : la suite converge à l ordre au moins Dans le tableau suivant sont reportées les suites des itérées obtenues par ces quatre méthodes Méthode ϕ Méthode ϕ 4 Méthode ϕ Méthode ϕ x x x x x x x Exercice Pour approcher les racines réelles de la fonction f : R R x x x on utilise trois méthodes de point fixe : où x donné, x n+ = ϕ i (x n ) pour tout n N ϕ (x) = x x + x, ϕ (x) = x +, ϕ (x) = x x + x(x ) Montrer qu il existe une unique racine réelle l de f Montrer que l [;] Étudier la convergence locale des trois méthodes de point fixe et, si elles convergent, donner l ordre de convergence Pour la deuxième méthode, faire l étude graphique de la convergence globale et établir analytiquement pour quelles valeurs de x la suite converge CORRECTION DE L EXERCICE On étudie brièvement f : D f = R et f de classe C (R), lim x ± f (x) = ±, f (x) = x(x ), f croissante pour x < et x > /, décroissante pour < x < /, maximum local en x = et f () = <, minimum local en x = / et f (/) = /7 <, f () =, f () = et f (x) = x(x ) > pour tout x [;] : il existe une unique racine l [;] de f 6 G Faccanoni

37 Jeudi 5 juin 4 Résolution d équations non linéaires y l x Vérifions si on peut appliquer le théorème d OSTROWSKI (attention : il ne s agit pas de vérifier si on peut appliquer le théorème de point fixe sur l intervalle [;] mais de vérifier s il existe un voisinage de l tel que pour tout x assez proche de l la méthode converge) ϕ (x) = x f (x) = : la méthode est consistante Comme ϕ (l) = l l + = l(l ) + > l + >, la suite ne converge pas ϕ (x) = x f (x) = : la méthode est consistante Sachant que l [;] on a ϕ (l) = l < 4 (l +) 4/ < donc la suite converge à l ordre pour x suffisamment proche de l = ϕ (x) = x f (x) = : la méthode est consistante ϕ (l) = (6l l)(l l) (l l +)(6l ) = l(l ) l (l ) l(l ) ϕ (l) 6l l(l ) = l(l ) l(l ) l 6l l(l ) = donc la suite converge au moins à l ordre pour x suffisamment proche de l (Il s agit en effet de la méthode de NEWTON) Pour faire l étude globale de la convergence on essaye d appliquer le théorème de point fixe sur l intervalle [; ] mais ici on peut facilement étendre l étude à R On étudie donc brièvement ϕ pour pouvoir tracer son graphe et le comparer à l identité : D ϕ = R et ϕ de classe C (R), lim x ± ϕ (x) = +, ϕ (x) = x, (x +) ϕ croissante pour x >, décroissante pour x <, minimum locale en x = et ϕ () =, ϕ (x) = x ssi f (x) = donc il existe un unique l [;] tel que ϕ (l) = l, ϕ (x) = (x ) 9, (x +) 5 ϕ convexe pour < x <, ϕ concave pour x < et x > y y = x ϕ l x x x x l x L étude graphique suggère que la suite converge quel que soit x R Mieux encore, on voit que si x > l alors x n l pour tout n N, si < x < l alors x n l pour tout n N, si l < x < alors < x < l et x n l pour tout n N, si x < l alors x > l et x n l pour tout n N Pour prouver analytiquement la convergence pour tout x R on va montrer que ϕ (x) = x < x R (x + ) Comme ϕ est une fonction impaire, il suffit de l étudier sur R + G Faccanoni 7

38 Résolution d équations non linéaires Jeudi 5 juin 4 Soit g : R + R la fonction définie par g (x) = ϕ (x) g (x) pour tout x R +, g est croissante pour < x <, décroissante pour x >, g ( ) = /( ) < donc g (x) < pour tout x R + et alors ϕ (x) < pour tout x R : la méthode converge pour tout choix du point initial x y 4 x Exercice 4 Pour approcher les racines réelles de la fonction f : R R définie par f (x) = x e (+x) on utilise quatre méthodes de point fixe : x donné, où x n+ = ϕ i (x n ) pour tout n N ϕ (x) = e (+x), ϕ (x) = x e (+x), ϕ (x) = ln(x), ϕ 4 (x) = + x + e (+x) Montrer qu il existe une unique racine réelle l de f Montrer que l ] 5 ; [ Montrer que les quatre méthodes de point fixe sont consistantes avec la recherche du zéro de f, ie montrer que pour x ] 5 ; [ on a ϕ i (x) = x f (x) = i =,,,4 Étudier la convergence locale des trois méthodes de point fixe (ie vérifier si on peut appliquer le théorème d OSTROWSKI) et, si elles convergent, donner l ordre de convergence Attention : on ne demande pas la convergence globale, autrement dit on ne demande pas de vérifier si on peut appliquer le théorème de point fixe sur l intervalle ] 5 ; [ mais de vérifier s il existe un voisinage de l tel que pour tout x assez proche de l la méthode converge 4 Pour la première méthode, faire l étude graphique de la convergence pour tout x R et établir analytiquement pour quelles valeurs de x la suite converge (ie trouver des intervalles pour lesquels le théorème de point fixe s applique) CORRECTION DE L EXERCICE 4 On étudie brièvement f : D f = R et f de classe C (R), lim x ± f (x) = ±, f (x) = + e (+x), f croissante pour tout x R, f ( 5 ) = 5 <, f ( e 6/5 ) = >, e / f (x) > pour tout x R : il existe une unique racine l [/5;/] de f y f ( ) 5 l f ( 5 ) x ϕ (x) = x ssi x = e (+x) ssi f (x) = ϕ (x) = x ssi x = x e (+x) ssi x = ou = xe (+x) ssi x = ou ϕ (x) = x ssi x = ou f (x) = ϕ n est définie que pour x > et ϕ (x) = x ssi x = ln(x) ssi ( + x) = ln(x) ssi ϕ (x) = x ssi f (x) = 4 ϕ 4 (x) = x ssi x = +x +e (+x) ssi xe (+x) = ssi ϕ (x) = x ssi f (x) = ϕ (l) = e (+l) = l [/5;/] donc la suite converge à l ordre pour x suffisamment proche de l Sachant que l > /5 on a ϕ (l) = ( + l)le(+l) > 5 e6/5 > donc la suite ne converge pas Sachant que l < / on a ϕ (l) = /l > donc la suite ne converge pas 4 ϕ le(+l) 4 (l) = (+e (+l) ) = ϕ 4(l) +e l = l (+l) +e l = ϕ 4(l) l = l l = donc la suite converge au moins à l ordre (+l) pour x suffisamment proche de l 4 Le graphe de ϕ s obtient à partir de celui de e x en faisant une symétrie par rapport à l axe des ordonnées (ce qui donne le graphe de e x ) suivie de la translation vers la gauche d une unité Si on n a pas observé ce comportement, on peut étudier brièvement ϕ pour pouvoir tracer son graphe et le comparer à l identité : 8 G Faccanoni

39 Jeudi 5 juin 4 Résolution d équations non linéaires D ϕ = R et ϕ de classe C (R), ϕ (x) > pour tout x R, lim x ϕ (x) = +, lim x + ϕ (x) = +, ϕ (x) = ϕ (x) < pour tout x R : ϕ décroissante pour tout x R, ϕ (x) = x ssi f (x) = donc il existe un unique l [;5] tel que ϕ (l) = l, ϕ (x) = ϕ (x) : ϕ convexe pour tout x R y y = x l x x x x l x ϕ L étude graphique suggère que la suite converge quel que soit x R Mieux encore, on voit que x n > pour tout n N Pour prouver cela on vérifie si ϕ (x) <, x R Comme ϕ (x) = ϕ (x), on a ϕ (x) < ssi x > donc la condition de contraction stricte n est pas satisfaite Voyons si on peut appliquer le théorème au moins pour x > On a ϕ (] ;+ [) =];[ ] ;+ [ donc ϕ est stable sur ] ;+ [ et contractante stricte Le théorème de point fixe permet alors de conclure que la méthode de point fixe converge pou tout x ] ;+ [ Que peut-on dire si x? Dans ce cas le théorème de point fixe ne s applique pas Cependant on a x = ϕ (x ) ];+ [ ] ;+ [ et le théorème de point fixe s applique à partir de x On conclut que la méthode converge vers l unique point fixe de ϕ pour tout x R Exercice 5 Entre deux murs (verticaux) parallèles, on place deux échelles en les croisant La première fait m de long, la seconde m On constate qu elles se croisent à une hauteur de m Écrire la méthode de NEWTON pour le calcul approché de la distance entre les deux murs m d CORRECTION DE L EXERCICE 5 En utilisant la similarité des triangles rectangles qui ont hypoténuses respectivement et on a les deux équations : d = b =, +c d = a = +( c) On a alors 9 d =, c = +c 4 d =, = c = +( c) Il reste à résoudre + = 4 d 9 d d 9 d, d 4 d b b m a a d c Posons f (d) = 4 d + 9 d À partir de d donné dans l intervalle ];[, la méthode de NEWTON construit une suite (d k ) k N par la récurrence suivante d k+ = d k f (d k) f (d k ) = d k 4 d + 9 d d (4 d + d ) (9 d ) G Faccanoni 9

40 Résolution d équations non linéaires Jeudi 5 juin 4 ( ) Pour que cette suite converge il faut choisir d dans un intervalle [a;b] ];[ tel que d k f (d k ) f (d k ) < pour tout x [a;b] Exercice 6 Soit f, g : [a;b] R deux fonctions monotones de classe C ([a;b]) On suppose qu il existe un et un seul l [a;b] tel que f (l) = g (l) À partir de x [a;b], on construit une suite (x n ) n N par la relation f (x n+ ) = g (x n ) pour n N Montrer que si g (l) f (l) < alors il existe un intervalle [α;β] [a;b] tel que x n l pour tout x [α;β] Dans le cas où >, proposer une méthode itérative convergente pour calculer l g (l) f (l) CORRECTION DE L EXERCICE 6 La fonction f est inversible donc la méthode donnée correspond à une méthode de point fixe x n+ = ϕ(x n ) où ϕ = f g : [a;b] [a;b] est une fonction de classe C ([a;b]) et ϕ g (x) = (x) f (f (g (x))) Donc ϕ g (l) = (l) f (f (g (l))) = g (l) f (l) Si g (l)/f (l) < alors, pour le théorème d OSTROWSKI, il existe un intervalle [α;β] [a;b] tel que x n l pour tout x [α;β] Si g (l)/f (l) >, il suffit de construire la suite (x n ) n N par la relation f (x n ) = g (x n+ ) pour n N et appliquer le raisonnement du point précédant Exercice 7 L objectif de cet exercice est de déterminer les zéros de la fonction f : [ π ;π] R définie par f (x) = x sin(x) + π 6 Montrer qu il existe deux solutions l < et l + > de l équation f (x) = pour x [ π ;π] Peut-on appliquer la méthode de la bissection pour calculer les deux racines? Pourquoi? Dans le cas où c est possible, estimer le nombre minimal d itérations nécessaires pour calculer le(s) zéro(s) avec une tolérance ε = après avoir choisi un intervalle convenable Écrire la méthode de NEWTON pour la fonction f À l aide du graphe de la fonction f, déduire l ordre de convergence de la méthode pour les deux zéros CORRECTION DE L EXERCICE 7 Étude de la fonction f : f est classe C ([ π ;π]) ; f ( π ) = π 785 <, f () = π <, f (π) = π 84 > ; f (x) = cos(x) ; f est croissante sur [ π ; π ] [ π ;π], décroissante sur [ π ; π ] ; x = π est un maximum local et f ( π ) = ; x = π est un minimum local et f ( π ) < ; f (x) = sin(x) ; f est concave sur [ π ;], convexe sur [;π] y f (x) π π l + l π π x Par conséquence l = π est l unique solution de l équation f (x) = pour x [ π ;] et il existe un et un seul l+ solution de l équation f (x) = pour x [;π] On peut même améliorer l encadrement et conclure que l + [ π ;π] La méthode de dichotomie ne peut pas être utilisée pour approcher l car il est impossible de trouver un intervalle ]a,b[ R sur lequel f (a)f (b) < En ce qui concerne l approximation de l +, en partant de [a,b] = [ π ;π], la méthode ( ) de dichotomie converge en log b a ε 5 itérations vers la valeur G Faccanoni

41 Jeudi 5 juin 4 Résolution d équations non linéaires La méthode de NEWTON est une méthode de point fixe xk+ = φ(x k ), x donné, avec φ l application définie par φ(x) = x f (x) f Ici donc elle s écrit (x) x k+ = x k f (x k) f (x k ) = x k x π k sin(x k ) + cos(x k ) À l aide du graphe de la fonction f, on voit que la méthode converge vers l + quel que soit x [ π/;π/] avec un ordre de convergence quadratique et converge vers l quel que soit x [π/;π] avec un ordre de convergence linéaire (car f (l ) = f (l ) = ) Exercice 8 (Python) Soit la fonction f γ (x) = cosh(x) + cos(x) γ Pour γ =,, trouver (graphiquement) un intervalle qui contient le zéro de f γ Calculer ce dernier par la méthode de dichotomie avec une tolérance de Utiliser ensuite la méthode de NEWTON Pourquoi cette méthode n est-elle pas précise quand γ =? CORRECTION DE L EXERCICE 8 Étude de f γ On se rappelle que cosh(x) = e x +e x et sinh(x) = e x e x donc lim x ± f γ (x) = + f γ (x) = sinh(x) sin(x) et f γ (x) = si et seulement si x = (comparer les graphes de sinh et sin et se rappeler que pour x > on a sinh(x) > x > sin(x) et pour x < on a sinh(x) < x < sin(x)) f γ (x) = cosh(x) cos(x) > pour tout x Par conséquence, pour γ =, la fonction n a pas de zéro réel, pour γ = il n y a que le zéro x = et il est de multiplicité quatre (c est-à-dire f ( x) = f f (IV ) ( x) ), pour γ =, f admet deux zéros distincts, un dans l intervalle ], [ et l autre dans ],[ y y = f(x) a( x) = f ( x) = f ( x) = et y = f(x) y = f(x) x Méthode de la dichotomie Dans le cas γ =, la méthode de dichotomie ne peut pas être utilisée car il est impossible de trouver un intervalle ]a,b[ sur lequel f (a)f (b) < Pour γ =, en partant de [a,b] = [, ], la méthode de dichotomie converge en 4 itérations vers la valeur x = avec f ( x) 6 De même, en prenant [a,b] = [,], la méthode de dichotomie converge en 4 itérations vers la valeur x = avec f ( x) 6877 Méthode de Newton Considérons le cas où γ = En partant de la donnée initiale x =, la méthode de NEWTON converge vers la valeur x = en itérations avec ε = tandis que la racine exacte de f est Cet écart est dû au fait que f est quasiment constante au voisinage de sa racine, donc le problème de recherche du zéro est mal conditionné La méthode converge vers la même solution et avec le même nombre d itérations même si on prend ε égal au zéro machine Considérons le cas γ = La méthode de NEWTON avec ε égal au zéro machine converge vers après 9 itérations en partant de x =, alors que si x =, elle converge après 9 itérations vers Voici les instructions : def f(x): return mathcosh(x)+mathcos(x)-gamma maxiter = 4 5 gamma = G Faccanoni 4

42 Résolution d équations non linéaires Jeudi 5 juin 4 6 tol = e-5 7 a = - 8 b = - 9 x_init = - 4 print "Zero calcule par la methode de dichotomie dans l intervalle [", a, ",", b,"] : ", dichotomie(f,a,b, tol,maxiter) 4 print "Zero calcule par la methode de \textscnewton} a partir du point x_ =",x_init," : ", newton(f, x_init,tol,maxiter) 4 a = 4 b = 44 x_init = 45 print "Zero calcule par la methode de dichotomie dans l intervalle [", a, ",", b,"] : ", dichotomie(f,a,b, tol,maxiter) 46 print "Zero calcule par la methode de \textscnewton} a partir du point x_ =",x_init," : ", newton(f, x_init,tol,maxiter) gamma = 49 tol = e- 5 x_init = - 5 print "Zero calcule par la methode de \textscnewton} a partir du point x_ =",x_init," : ", newton(f, x_init,tol,maxiter) 5 x_init = 5 print "Zero calcule par la methode de \textscnewton} a partir du point x_ =",x_init," : ", newton(f, x_init,tol,maxiter) Exercice 9 Équation d état d un gaz (Python) Nous voulons déterminer le volume V occupé par un gaz dont la température est T et dont la pression est p L équation d état (ie l équation liant p, V et T ) selon le modèle de VAN DER WAALS est donnée par ( p + a ( N V ) ) (V N b) = kn T, où a et b sont deux coefficients qui dépendent du gaz considéré, N est le nombre de molécules contenues dans le volume V et k = 865 JK est la constante de Boltzmann Nous devons donc résoudre une équation non linéaire dont la racine est V Pour le dioxyde de carbone CO, les coefficients a et b prennent les valeurs a = 4Pam et b = 47 6 m Trouver le volume occupé par molécules de CO à la température T = K et la pression p = 5 7 Pa par la méthode de dichotomie, avec une tolérance de CORRECTION DE L EXERCICE 9 On doit calculer les zéros de la fonction f (V ) = pv + an /V abn /V pn b kn T, où N est le nombre de molécules On a lim V + f (V ) = et lim V + f (V ) = + f (V ) = p an /V + abn /V = p + an (bn /V )/V f p (V ) = si et seulement si V V = bn donc pour aucun V > an En traçant le graphe de f, on voit que cette fonction n a qu un zéro simple dans l intervalle ],6[ avec f () < et f (6) > On peut calculer ce zéro en utilisant la méthode de dichotomie comme suit : 54 def f(v): 55 a = 4 56 b = 47e-6 57 N = 58 T = 59 p = 5e7 6 k = 865e- 6 return p*v+a*n**/v-a*b*n**/v**-p*n*b-k*n*t 6 6 tol = e- 64 left = 65 right = print "Zero calcule par la methode de dichotomie dans l intervalle [", left, ",", right,"] : ", dichotomie (f,left,right,tol,maxiter) 4 G Faccanoni

43 Jeudi 5 juin 4 Résolution d équations non linéaires ce qui donne V = m Exercice Soit A est un nombre positif donné et considérons l algorithme suivant : étant donné une valeur x, on calcule x k+ = x k + A x k, k =,,, Montrer que si la suite x k converge, alors sa limite est soit A soit A On considère le cas où A ],4[ Montrer qu il existe ε > tel que, si x A ε alors la suite x k converge vers A Vérifier graphiquement que si x est proche de A mais différent de A, alors la suite x k ne converge pas vers A 4 Vérifier que si x =, alors l algorithme coïncide avec la méthode de la corde pour résoudre x A = 5 Proposer un algorithme plus efficace pour calculer la racine carrée d un nombre positif A CORRECTION DE L EXERCICE Supposons que x k converge vers l En passant à la limite dans la formule de récurrence on obtient c est-à-dire l = A et donc l = ± A l = l + A l, La méthode peut s écrire sous la forme d une méthode de point fixe où la fonction ϕ est définie par ϕ(x) = x + A x Si A ],4[ et l = A, puisque ϕ (x) = x, alors ϕ (l) = A < : on peut appliquer le théorème d OSTROWSKI donc il existe ε > tel que, si x A ε alors la suite x k converge vers A On a représenté dans la figure ci-dessous le graphe de la fonction ϕ lorsque A = / Si on choisit x < A alors la suite diverge vers ; si A < x < A alors la suite converge (de manière monotone croissante) vers A ; si A < x < + A alors la suite converge (de manière monotone croissante après la première itération) vers A ; si x > + A alors la suite diverge vers y y = x A x 5 A x x x x 4 x x x x 4 A + A x x A ϕ 4 Soit f la fonction définie par f (x) = x A La méthode de la corde pour résoudre f (x) = s écrit dans ce cas Si on choisit x =, cette méthode s écrit donc x k+ = x k f (x k) f (x ) = x k x k A, k =,,, x x k+ = x k f (x k) f (x ) = x k x k A, k =,,, Ainsi on conclut que la méthode donnée coïncide avec la méthode de la corde pour résoudre x A = lorsque x = comme point de départ G Faccanoni 4

44 Résolution d équations non linéaires Jeudi 5 juin 4 5 Si on choisit la méthode de NEWTON pour résoudre f (x) = avec f (x) = x A, on a x k+ = x k f (x k) f (x k ) = x k x k A, k =,,, x k Cette méthode est plus efficace que la précédente car elle converge à l ordre pour tout x > Exercice Soit f : R R la fonction définie par f (x) = x On veut approcher le zéro α de f par la méthode de point fixe suivante : x donné, x k+ = g ω (x k ) pour tout k, () avec g ω : R R la fonction définie par ( g ω (x) = ( ω)x + ω ) x + (ω ) + ω x, ω R Pour quelles valeurs du paramètre ω la méthode de point fixe () est-elle consistante (ie α est un point fixe de g ω )? Pour quelles valeurs du paramètre ω la méthode de point fixe () est d ordre? Existe-t-il des valeurs du paramètre ω pour lesquelles la méthode de point fixe () est-elle d ordre? CORRECTION DE L EXERCICE Comme α est le zéro de f, on a α = La méthode de point fixe () est consistante pour tout ω R car ( g ω (α) = ( ω)α + ω ) α+(ω )+ ω ( α = ( ω)(α )+ ω ) α+ ω ωα = α α + ω α = α ω(α ) α = α La méthode de point fixe () est au moins d ordre si g (α) = On a g ω (α) = ( ω)α + ω 4ω α = ( ω)α + ω = ( ω)(α + ) donc la méthode de point fixe () est au moins d ordre si ω = Pour que la méthode de point fixe () soit d ordre il faudrait g (α) = g (α) = Puisque g (α) = si et seulement si ω = et g 4ω (α) =, il n est pas possible d avoir une convergence d ordre supérieur à α 4 Exercice On considère le problème du calcul de l [,π] tel que l = 4 cos(l) Montrer qu on peut utiliser la méthode de la dichotomie pour approcher l Que vaut l approximation de l après itérations? Quel est l erreur maximale qu on obtient après itérations? k [a k,b k ] [,π] l k On considère la méthode de point fixe suivante : π x [,π], x k+ = g (x k ) pour tout k, () avec g : [,π] R la fonction définie par g (x) = 4 cos(x) Étudier graphiquement la convergence de cette méthode Montrer rigoureusement que la méthode converge pour tout x [,π] Montrer que l erreur satisfait l inégalité x k l C k x l Donner une estimation de la constante C et l utiliser pour minorer le nombre d itérations nécessaires pour approcher l à près 4 Montrer que si on utilise le critère d arrêt x k+ x k ε alors x k+ l ε C Quelle valeur de ε faut-il choisir pour approcher l à près? 44 G Faccanoni

45 Jeudi 5 juin 4 Résolution d équations non linéaires CORRECTION DE L EXERCICE Soit f : [,π] R la fonction définie par f (x) = 4 cos(x) x Elle est de classe C, f () = /4 > et f (π) = 5/4 π <, le théorème des valeurs intermédiaires permet de conclure qu il existe au moins un l [,π] tel que f (l) = De plus, comme f (x) = 4 cos(x) <, ce zéro est unique On peut alors utiliser la méthode de la dichotomie pour approcher l et l on a k [ ] [ [a k,b k ] [,π], π π 4, π ] [ π 4, π ] 8 l k π L erreur qu on obtient après itérations est au plus égale à la largeur de l intervalle [a ;b ], c est-à-dire inférieure à b a = π 8 On considère la méthode de point fixe de fonction d itération g Étude graphique de la convergence : π 4 y π π 8 5π 6 g est de classe C, g () = /4, g (π) = 5/4, g (x) = 4 sin(x) [, /4], g est croissante sur [, π] La suite x n est monotone croissante si x < l et monotone décroissante si x > l g x x x x x g ([,π]) = [/4,5/4] [,π] et g (x) /4 < : la méthode de point fixe converge vers l pour tout x [,π] Pour tout k N il existe ξ k compris entre l et x k tel que x k l = g (x k ) g (l) = g (ξ k ) x k l 4 k x l π 4 k Donc, pour approcher l à près, il faut prendre le plus petit k N qui vérifie k log 4 ( π) 59, ie k = 6 4 Pour tout k N on a x k l x k+ x k x k+ x k + x k l = x k+ l C x k l avec C = /4 d où x k+ l C x k+ x k ε C Pour que l erreur soit inférieur à il faut alors choisir ε ( C ) Exercice On considère le problème du calcul de l [,π] tel que l = + sin(l) Montrer qu on peut utiliser la méthode de la dichotomie pour approcher l Que vaut l approximation de l après itérations? On considère la méthode de point fixe suivante : π x x [,π], x k+ = g (x k ) pour tout k, (4) avec g : [,π] R la fonction définie par g (x) = + sin(x) Étudier graphiquement la convergence de cette méthode Montrer rigoureusement que la méthode converge pour tout x [,π] Montrer que l erreur satisfait l inégalité x k l C k x l Donner une estimation de la constante C et l utiliser pour minorer le nombre d itérations nécessaires pour approcher l à près 4 Montrer que si on utilise le critère d arrêt x k+ x k ε alors x k+ l ε C Quelle valeur de ε faut-il choisir pour approcher l à près? (Rappel : a c c b a b a c + c b pour tout a,b,c R) CORRECTION DE L EXERCICE Soit f : [,π] R la fonction définie par f (x) = + sin(x) x Elle est de classe C, f () = > et f (π) = π <, le théorème des valeurs intermédiaires permet de conclure qu il existe au moins un l [,π] tel que f (l) = De plus, comme f (x) = cos(x) <, ce zéro est unique On peut alors utiliser la méthode de la dichotomie pour approcher l et l on a G Faccanoni 45

46 Résolution d équations non linéaires Jeudi 5 juin 4 k [ ] [ [a k,b k ] [,π], π π 4, π ] [ π 8, π ] l k On considère la méthode de point fixe de fonction d itération g Étude graphique de la convergence : π π 4 y π π 8 7π 6 g est de classe C, g () = g (π) =, g (x) = cos(x) [ /,/], g est croissante sur [, π ], décroissante sur [ π,π] et g (π/) = / < π g x x x π g ([,π]) = [,/] [,π] et g (x) / < : la méthode de point fixe converge pour tout x [,π] Pour tout k N il existe ξ k compris entre l et x k tel que x k l = g (x k ) g (l) = g (ξ k ) x k l k x l π k Donc, pour approcher l à près, il faut prendre le plus petit k N qui vérifie k log ( π) 7, ie k = 4 Pour tout k N on a [ x k l x k+ x k x k+ x k + x k l = x k+ l C x k l d où x k+ l C x k+ x k ε C Pour que l erreur soit inférieur à il faut alors choisir ε ( C ) Exercice 4 Le but de cet exercice est de calculer la racine cubique d un nombre positif a Soit g la fonction définie sur R + par π x g (x) = x + a x (a > fixé) Faire l étude complète de la fonction g Comparer g à l identité Soit la suite (x n ) n N définie par x n+ = g (x n ), x > À l aide des graphe de g et de l identité sur R +, dessiner la suite (x n) n N sur l axe des abscisses Observer graphiquement la convergence 4 Justifier mathématiquement la convergence observée graphiquement En particulier, montrer que cette suite est décroissante à partir du rang 5 Calculer l ordre de convergence de la suite 6 Écrire l algorithme défini par la suite (x n ) n N qui permet de déterminer a à une précision de 6 7 Expliciter la méthode de NEWTON pour la recherche du zéro de la fonction f définie par f (x) = x a Que remarque-t-on? CORRECTION DE L EXERCICE 4 Étude de la fonction g : R + R définie par g (x) = x + g (x) > pour tout x R + ; g (x) = lim g (x) = + ; lim x + lim x + x + g (x) x = ( ax ) ; a x : et lim g (x) x + x = donc y = x est un asymptote et l on a g (x) > x pour tout x > ; g (x) = g est croissante sur [ a,+ [, décroissante sur [, a] ; x = a est un minimum absolu et g ( a) = a, g (x) = a > : g est convexe sur R x G Faccanoni

47 Jeudi 5 juin 4 Résolution d équations non linéaires y y i (x) i (x) g (x) y = x g (x) a a a x x x 4 x x x a x (a) Graphe de g comparé au graphe de i (x) = x (b) Étude graphique de la convergence de la méthode de point fixe FIGURE 4: Exercice 4 x a + g (x) + g (x) + a + Graphe de g comparé au graphe de i (x) = x : voir la figure 4a On vérifie analytiquement qu il existe une et une seule intersection entre la courbe d équation y = g (x) et la droite d équation y = x : g (x) = x x + a x = x x = a Étude graphique de la convergence de la méthode de point fixe : voir la figure 4a 4 On en déduit que pour tout x > on a g (x) a Donc, pour tout k >, x k = g (x k ) a Vérifions les hypothèses du théorème de point fixe qui fournit une condition suffisante de convergence de la suite : 4 pour tout x dans [ a,+ [ on a g (x) > a donc g ([ a,+ [) [ a,+ [ (ie l intervalle a,+ [ est stable) ; 4 g C ([ a,+ [) ; 4 pour tout x dans [ a,+ [ on a g (x) = ( a ) x < donc g est contractante Alors la méthode converge vers x point fixe de g De plus, pour tout x [ a,+ [ on a x = g ( x) x = a : la méthode permet donc de calculer de façon itérative la racine cubique de a 5 Étant donné que la méthode de point fixe converge à l ordre 6 Algorithme de point fixe : Require: x > while x k+ x k > 6 do x k+ g (x k ) end while g ( x) =, g ( x) = a x 4 Quelques remarques à propos du critère d arrêt basé sur le contrôle de l incrément Les itérations s achèvent dès que x k+ x k < ε ; on se demande si cela garantît-t-il que l erreur absolue e k+ est elle aussi inférieur à ε L erreur absolue à l itération (k + ) peut être évaluée par un développement de Taylor au premier ordre e k+ = g ( x) g (x k ) = g (z k )e k G Faccanoni 47

48 Résolution d équations non linéaires Jeudi 5 juin 4 avec z k compris entre x et x k Donc Puisque g ( x) =, on a bien x k+ x k e k x k+ x k = e k+ e k = g (z k ) e k g ( x) e k 7 La méthode de NEWTON est une méthode de point fixe avec g (x) = x f (x) f Ici elle s écrit (x) x k+ = x k f (x k) f (x k ) = x k x k a x = x k x k + a x = x k + a x k k k autrement dit la méthode de point fixe assignée est la méthode de NEWTON (qu on sait être d ordre de convergence égale à lorsque la racine est simple) Exercice 5 On veut résoudre l équation e αx = x avec < α < Vérifier que cette équation admet une unique solution, notée l α, dans R Soit g : R R la fonction définie par g (x) = e αx On définit la suite récurrente u R u n+ = g (u n ) (5) On veut montrer que u n converge vers l α Pour cela, comparer d abord le graphe de g à l identité et observer graphiquement la convergence, ensuite justifier mathématiquement la convergence observée graphiquement Écrire la méthode de NEWTON pour résoudre l équation e αx = x avec < α < Parmi la méthode de NEWTON et la méthode de point fixe (5), laquelle faut-il préférer vis-à-vis de la vitesse de convergence? CORRECTION DE L EXERCICE 5 Deux méthodes (équivalentes) possibles : Méthode : La fonction g : x e αx est continue monotone décroissante, lim x e αx = + et lim x + e αx = ; par conséquente elle intersecte la droite d équation y = x une et une seule fois Notons ce point l α Comme la fonction x e αx est positive pour tout x R tandis que la fonction x x est positive si et seulement si x >, on en déduit que l α > De plus, comme g () = e α <, on peut conclure que l α ];[ Méthode : La fonction f : x e αx x est continue monotone décroissante, lim x e αx x = + et lim x + e αx x = ; par le théorème des valeurs intermédiaires on conclut qu il existe un et un seul l α R tel que f (l α ) = Comme f () >, on peut appliquer à nouveau le théorème des valeurs intermédiaires à l intervalle [; [ et en déduire que l α > De plus, comme f () < e <, on peut conclure que l α ];[ Le graphe de la fonction g est celui en figure 5 On en déduit que la suite (u n ) n converge pour tout u R ; g (R) =];+ [ et g (];+ [) =];[ ainsi u ];+ [ et u n ];[ pour tout n > ; la convergence n est pas monotone : la sous-suite des termes d indice pair est monotone croissante tandis que la sous-suite des termes d indice impair est monotone décroissante (ce qui veut dire d une part qu on ne pourra pas utiliser les théorèmes du type «monotone+bornée=convergente» pour prouver la convergence, d autre part on voit aussi que ni l intervalle [l α ;+ [ ni l intervalle [;l α ] sont stables) ; g (x) n est pas bornée pour tout x R (croissance exponentielle à ) Plus particulièrement, g (x) < ssi e αx > α ssi x > ln(α)/α Comme < α <, on conclut que g (x) < pour tout x Cette étude préliminaire suggère d utiliser le théorème de point fixe dans l intervalle ];+ [ On a g C (];+ [), g (];+ [) ];+ [, g (x) < pour tout x ];+ [, on peut alors utiliser le théorème de point fixe pour conclure que la suite (u n ) n N converge vers l α pour tout u ];+ [ Comme g (x) ];+ [ pour tout x R, alors u n ];+ [ pour tout n N, on peut donc conclure que la suite (u n ) n N converge vers l α pour tout u R Soit f (x) = e αx x La méthode de NEWTON (qui s applique à f et non à g ) définit la suite récurrente u R u n+ = u n e αun u n αe αun (6) La méthode de point fixe (5) n est que d ordre car g (l α ) tandis que la méthode de NEWTON, qui est encore une méthode de point fixe, est d ordre (car α est un zéro simple) 48 G Faccanoni

49 Jeudi 5 juin 4 Résolution d équations non linéaires y i (x) y i (x) l α l α l α g (x) x x x x x l α g (x) x (a) Graphe de g comparé au graphe de i (x) = x (b) Étude graphique de la convergence de la méthode de point fixe FIGURE 5: Exercice 5 Exercice 6 Soit f une application de R dans R définie par f (x) = exp(x ) 4x On se propose de trouver les racines réelles de f Situer les 4 racines de f (ie indiquer 4 intervalles disjoints qui contiennent chacun une et une seule racine) Montrer qu il y a une racine x comprise entre et Soit la méthode de point fixe xk+ = φ(x k ), (7) x ],[, exp(x avec φ l application de R dans R définie par φ(x) = ) Examiner la convergence de cette méthode et en préciser l ordre de convergence 4 Écrire la méthode de NEWTON pour la recherche des zéros de la fonction f 5 Entre la méthode de NEWTON et la méthode de point fixe (7), quelle est la plus efficace? Justifier la réponse CORRECTION DE L EXERCICE 6 On cherche les zéros de la fonction f (x) = exp(x ) 4x On remarque que f ( x) = f (x) : la fonction est paire On fait donc une brève étude sur [,+ [ : f () = et lim f (x) = +, x + f (x) = pour x = et x = ln4 et on a f () = et f ( ln4) = 4( ln4) < ; f est croissante pour x > ln4 et décroissante pour < x < ln4 On a une racine dans l intervalle ], ln4[, une racine dans l intervalle ] ln4,[, une racine dans l intervalle ], ln4[, une racine dans l intervalle ] ln4, [ Voir la figure 6a pour le graphe de f sur R Puisque f () = > et f () = e 4 <, pour le théorème des valeurs intermédiaires il existe au moins un x ], [ tel que f ( x) = Puisque f (x) = x exp(x ) 8x = x(exp(x ) ) < x(e 4) < pour tout x ],[, ce x est unique Voir la figure 6b Étude de la convergence de la méthode (7) : pour tout x dans ],[ on a donc φ: ],[ ],[ ; φ C (],[) ; pour tout x dans ],[ on a donc φ est contractante < exp(x ) 4 < e 4 < φ x exp(x ) (x) = = xφ(x) < x < Alors la méthode (7) converge vers x point fixe de φ De plus, pour tout x ],[, x = φ( x) x = exp( x ) 4 x = exp( x ) f ( x) = ; G Faccanoni 49

50 Résolution d équations non linéaires Jeudi 5 juin 4 y y f (x) f (x) ln4 x x x 4( ln4) y (a) Graphe de f (x) = exp(x ) 4x FIGURE 6: Exercice 6 (b) Zoom y x x x x x x FIGURE 7: Exercice 6 : convergence de la méthode de point fixe donc x, point fixe de φ, est un zéro de f Étant donné que φ ( x) = xφ( x) = x, la méthode de point fixe (7) converge seulement à l ordre 4 La méthode de NEWTON est une méthode de point fixe avec φ(x) = x f (x) f Ici donc elle s écrit (x) x k+ = x k f (x k) f (x k ) = x k exp(x k ) 4x k x k exp(x k ) 8x k = x k exp(x k ) 4x k x k (exp(x k ) 4) 5 Puisque x est une racine simple de f, la méthode de NEWTON converge à l ordre tandis que la méthode de point fixe (7) converge seulement à l ordre : la méthode de NEWTON est donc plus efficace Exercice 7 On cherche à évaluer 5 à l aide d un algorithme n autorisant que les opérations élémentaires Soit (x n ) n N la suite définie par récurrence x =, x n+ = x n xn + 5 n N x x 5 G Faccanoni

51 Jeudi 5 juin 4 Résolution d équations non linéaires y 5 i (x) y i (x) 5 g (x) g (x) 5 x x x x x (a) Graphe de g comparé au graphe de i (x) = x (b) Étude graphique de la convergence de la méthode de point fixe x k+ = g (x k ) FIGURE 8: Exercice 7 Montrer que si la suite converge, alors elle converge vers ou 5 Soit la fonction g définie sur [; 5] par g (x) = x Étudier g et la comparer à l identité x +5 Montrer que la suite (x n ) n N est croissante et majorée par 5 Conclure 4 Déterminer l ordre de convergence de cette suite CORRECTION DE L EXERCICE 7 Supposons qu il existe l R tel que x n n + l Par définition de convergence on a l = l l +5 et par conséquent l 5,, 5 } On prouve par récurrence que si x = alors x n = pour tout n N donc l =, si x > alors x n > pour tout n N donc l, si x < alors x n < pour tout n N donc l Comme x = >, alors x n > pour tout n N et l, 5 } Soit la fonction g définie sur [; 5] par g (x) = x On étudie la fonction g : x +5 g (x) > pour tout x [; 5] ; g () = 5, g ( 5) = 5 ; g (x) = x 5 (x +5) ; g est croissante sur [; 5[ et g ( 5) = Graphe de g comparé au graphe de i (x) = x : voir la figure 8a On vérifie analytiquement qu il existe une et une seule intersection entre la courbe d équation y = g (x) et la droite d équation y = x dans [; 5] : g (x) = x x x + 5 = x x = 5 On a g (x) [5/; 5] pour tout x [; 5] et on a vu au point précédent que g est croissante et g ( 5) = 5 De plus, g (x) x car g (x) = par conséquent la suite x k+ = g (x k ) x k est croissante x x + 5 x ( 5) + 5 = x, Comme g (x) ( 5) = 5 alors la suite x k+ = g (x k ) 5 est bornée On a ainsi une suite croissante et borné, ce qui implique qu elle converge Comme au premier point on a montré que si elle converge vers l alors l, 5 }, on conclut que x n 5 Pour l étude graphique de la convergence de la méthode de point fixe voir la figure 8b n + Dans ce cas, on ne peut pas utiliser le théorème de point fixe pour prouver la convergence de la suite sur l intervalle [; 5] En effet g est au moins de classe C ([; 5]) g ([; 5]) = [5/; 5] [; 5] mais g (x) < ssi x [ + 5 5; 5] (et on a > ) G Faccanoni 5

52 Résolution d équations non linéaires Jeudi 5 juin 4 En revanche, on peut utiliser le théorème de point fixe pour prouver la convergence de la suite sur l intervalle [5/; 5] car g est au moins de classe C ([5/; 5]) g ([5/; 5]) [5/; 5] g (x) < pour tout x [5/; 5] 4 Comme g ( 5) = et g ( 5), la méthode de point fixe associée à la fonction d itération g est d ordre Exercice 8 L objectif de cet exercice est de déterminer le zéro d une fonction C (R,R) vérifiant < f (x) < sur R On définit la suite x n } n N de R par la récurrence suivante x n+ = g (x n ) = x n + αf (x n ), où α > et x R sont donnés Montrer que lim f (x) = + et lim f (x) = x x + En déduire qu il existe un unique l élément de R tel que f (l) = Montrer que si < α <, la fonction g définie par g (x) = x + αf (x) vérifie < α < g (x) < α < sur R 4 En déduire la convergence de la suite x n } n N si < α < pour tout x R 5 La suite converge-t-elle pour α = f (l)? 6 Donner l ordre de convergence de la suite x n } n N pour < α < en distinguant le cas α = f (l) 7 Peut-on choisir α = f d un point de vue pratique? (l) 8 On choisit alors d approcher α = f (l) par α n = f (x n ) et la suite x n} n N est définie par x n+ = g (x n ) = x n + α n f (x n ) Quel est le nom de cette méthode itérative? Montrer que la suite x n } n N converge quel que soit x R CORRECTION DE L EXERCICE 8 Puisque f est de classe C (R,R) et f (x) < sur R alors f est monotone décroissante De plus, puisque < f (x) < sur R, on obtient : si x > alors f (x) = x f (x) dx + f () < x si x < alors f (x) = x f (x) dx + f () = donc dx + f () = x + f (), x + x f (x) dx + f () > x lim f (x) = + lim x dx + f () = x + f () x + f (x) = x + NB : seul la condition f (x) < permet de conclure car une fonction peut être monotone décroissante mais avoir une limite finie! Puisque lim f (x) = + > et lim f (x) = <, pour le théorème des valeurs intermédiaires il existe au moins x x + un l R tel que f (l) = Puisque f (x) < pour tout x R, ce l est unique Considérons la fonction g définie par g (x) = x + αf (x) alors g est de classe C (R,R) et g (x) = + αf (x) sur R Puisque f (x) < et < α < on a et puisque f (x) > et < α < alors Autrement dit g (x) < α < sur R g (x) > α > sur R g (x) < sur R 4 Soit < α < On étudie la suite x n+ = g (x n ) et on va vérifier qu il s agit d une méthode de point fixe pour le calcul du zéro l de f 5 G Faccanoni

53 Jeudi 5 juin 4 Résolution d équations non linéaires 4 On vérifie d abord que, si la suite converge vers un point fixe de g, ce point est bien un zéro de f (ici le réciproque est vrai aussi) : soit l R, alors l = g (l) l = l + αf (l) = αf (l) f (l) = ; 4 vérifions maintenant que la suite converge vers un point fixe de g (et donc, grâce à ce qu on a vu au point précédant, elle converge vers l unique zéro de f ) : 4 on a évidemment que g : R R ; 4 on a déjà remarqué que g C (R,R) ; 4 pour tout x dans R on a prouvé que g (x) <, ie que g est contractante Alors la suite x n+ = g (x n ) converge vers l point fixe de g et zéro de f 5 Si α = f (l) alors x n+ = g (x n ) = x n f (x n) f (l), qui converge car < f (l) < ssi < α < et donc on rentre dans le cas de < α < 6 Étant donné que g (l) = + αf (l) la méthode de point fixe converge à l ordre si αf (l) =, la méthode de point fixe converge à l ordre si < αf (l) < mais αf (l), la méthode de point fixe ne converge pas si αf (l) < ou αf (l) > Étant donné que < f (l) < et que < α < on peut conclure que la méthode de point fixe converge à l ordre si α = f (l), la méthode de point fixe converge à l ordre si α f (l) 7 D un point de vue pratique on ne peut pas choisir α = f car on ne connaît pas l (l) 8 Si on choisit d approcher α = f (l) par α n = f (x n ) et on considère la suite x n} n N définie par on obtient la méthode de NEWTON (qui est d ordre ) x n+ = g (x n ) = x n + α n f (x n ), De plus, comme < f (x) < on rentre dans le cas < α < donc la suite x n } n N converge quel que soit x R Exercice 9 L objectif de cet exercice est de déterminer le zéro d une fonction f C (R,R) vérifiant < f (x) < sur R On définit la suite x n } n N de R par la récurrence suivante x n+ = g (x n ), où α > et x R sont donnés et la fonction g : R R est définie par g (x) = x αf (x) Montrer que lim f (x) =, lim f (x) = + et en déduire qu il existe un unique l R tel que f (l) = x x + Montrer que si < α <, la fonction g vérifie g (x) < sur R En déduire la convergence de la suite x n } n N pour tout α ];[ quel que soit x R Donner l ordre de convergence de la suite x n } n N en fonction de α ];[ 4 Comme d un point de vue pratique on ne peut pas choisir α = f (l), on va l approcher par α n = f et on obtient (x n ) la suite x n } n N définie par x n+ = x n α n f (x n ) Quel est le nom de cette méthode itérative? Montrer que la suite x n } n N converge quel que soit x R CORRECTION DE L EXERCICE 9 Puisque f est de classe C (R,R) et f (x) > sur R alors f est monotone croissante De plus, puisque < f (x) <, on obtient : si x > alors f (x) = x f (x) dx > x dx = x +, x + si x < alors f (x) = x f (x) dx = x f (x) dx < x dx = x x donc lim f (x) = lim f (x) = + x x + G Faccanoni 5

54 Résolution d équations non linéaires Jeudi 5 juin 4 NB : seul la condition < f (x) < permet de conclure car une fonction peut être monotone croissante mais avoir une limite finie! Puisque lim x f (x) = < et lim x + un l R tel que f (l) = Puisque f (x) > pour tout x R, ce l est unique g est de classe C (R,R) Puisque < f (x) < et < α < on a f (x) = + >, pour le théorème des valeurs intermédiaires il existe au moins < α < g (x) = αf (x) < α < Autrement dit On étudie alors la suite g (x) < sur R x n+ = g (x n ) et on va vérifier qu il s agit d une méthode de point fixe pour le calcul du zéro l de f On vérifie d abord que, si la suite converge vers un point fixe de g, ce point est bien un zéro de f (ici le réciproque est vrai aussi) : soit l R, alors l = g (l) l = l αf (l) = αf (l) α f (l) = ; vérifions maintenant que la suite converge vers un point fixe de g (et donc, grâce à ce qu on a vu au point précédant, elle converge vers l unique zéro de f ) : g C (R,R) et pour tout x dans R on a prouvé que g (x) <, ie g est contractante, alors la suite x n+ = g (x n ) converge vers l point fixe de g et zéro de f Étant donné que g (l) = αf (l) avec < f (l) < et < α <, on peut conclure que la méthode de point fixe converge à l ordre si α = f (l), la méthode de point fixe converge à l ordre si α f (l) 4 D un point de vue pratique on ne peut pas choisir α = f car on ne connaît pas l Si on choisit d approcher α = (l) f (l) par α n = f (x n ) et on considère la suite x n} n N définie par on obtient la méthode de NEWTON (qui est d ordre ) x n+ = x n α n f (x n ), De plus, comme < f (x) < alors < α n < donc la suite x n } n N converge quel que soit x R Exercice Soit g la fonction définie sur R + par g (x) = x + 4x + x + 8x Faire l étude complète de la fonction g (On admettra que x +4x = admet comme unique solution m,6 et que g (m) = m) Comparer g à l identité Soit la suite (x n ) n N définie par x n+ = g (x n ), x > À l aide des graphe de g et de l identité sur R +, dessiner la suite (x n) n N sur l axe des abscisses Observer graphiquement la convergence En particulier, montrer que cette suite est décroissante à partir du rang 4 Expliciter (sans la vérifier) la condition nécessaire pour la convergence observée graphiquement 5 Écrire l algorithme défini par la suite (x n ) n N qui permet de déterminer le point fixe à une précision de ε 6 Expliciter la méthode de NEWTON pour la recherche du zéro de la fonction f définie par f (x) = x + 4x Que remarque-t-on? 7 Donner l ordre de convergence de la suite 54 G Faccanoni

55 Jeudi 5 juin 4 Résolution d équations non linéaires y y i (x) i (x) g (x) y = x 4 9 g (x) m m x x x 4 x x x x (a) Graphe de g comparé au graphe de i (b) Étude graphique de la convergence de la méthode de point fixe FIGURE 9 CORRECTION DE L EXERCICE Étude de la fonction g : R + R définie par g (x) = x +4x + x +8x g (x) > pour tout x R + ; lim x + lim x + g (x) = lim x + g (x) = + ; g (x) x = et lim g (x) x + x = 4 9 donc y = x 4 9 est un asymptote ; g (x) = (x+4)(x +4x ) x (x+8) ; g est croissante sur [m,+ [, décroissante sur [,m] où m,6 ; x = m est un minimum absolu et g (m) = m x m + : g (x) + g (x) + m + Graphe de g comparé au graphe de i (x) = x : voir la figure 9a On vérifie analytiquement qu il existe une et une seule intersection entre la courbe d équation y = g (x) et la droite d équation y = x : g (x) = x x + 4x + x + 8x = x x + 4x = x = m f (x) = Pour l étude graphique de la convergence de la méthode de point fixe voir la figure 9b 4 On en déduit que pour tout x > on a g (x) m Donc, pour tout k >, x k = g (x k ) m Pour étudier la convergence de la méthode vérifions si on peut appliquer le théorème de point fixe : 4 pour tout x dans [m,+ [ on a g (x) > m donc g ([m,+ [) [m,+ [ ; 4 g C ([m,+ [) ; 4 pour tout x dans [m,+ [, on a g (x) = (6x +8x) g (x)(6x+8) < alors g est contractante x +8x Si les conditions précédentes sont vérifiées alors la méthode converge vers m point fixe de g De plus, pour tout α [m,+ [ : α = g (α) α = m donc le point fixe de g est racine de f 5 Algorithme de point fixe : Require: x >, g : x g (x) G Faccanoni 55

56 Résolution d équations non linéaires Jeudi 5 juin 4 while x k+ x k > ε do x k+ g (x k ) k k + end while 6 La méthode de NEWTON est une méthode de point fixe avec g (x) = x f (x) f Ici donc elle s écrit (x) x k+ = x k f (x k) f (x k ) = x k x k + 4x k x k + 8x = g (x k ) k autrement dit la méthode de point fixe assignée est la méthode de NEWTON 7 Étant donné que la méthode de point fixe donnée est la méthode de NEWTON et que la racine m de f est simple, elle converge à l ordre Quelques remarques à propos du critère d arrêt basé sur le contrôle de l incrément Les itérations s achèvent dès que x k+ x k < ε ; on se demande si cela garantît-t-il que l erreur absolue e k+ est elle aussi inférieur à ε L erreur absolue à l itération (k + ) peut être évaluée par un développement de TAYLOR au premier ordre avec z k compris entre m et x k Donc e k+ = g ( x) g (x k ) = g (z k )e k x k+ x k = e k+ e k = g (z k ) e k g (m) e k Puisque g (x) = x+4 x (x+8) f (x), alors g (m) = donc on a bien x k+ x k e k Exercice On se propose de calculer 4 en trouvant les racines réelles de l application f de R dans R définie par f (x) = x4 Situer les racines de f (ie indiquer intervalles disjoints qui contiennent chacun une et une seule racine) En particulier, montrer qu il y a une racine x comprise entre et Soit g la fonction définie sur [;] par g (x) = x(9x4 + 5) (5x 4 + ) Faire l étude complète de la fonction g et la comparer à l identité Soit la suite (x n ) n N définie par x n+ = g (x n ), x ];[ À l aide des graphe de g et de l identité sur [;], dessiner la suite (x n ) n N sur l axe des abscisses Observer graphiquement la convergence Justifier mathématiquement la convergence observée graphiquement 4 Calculer l ordre de convergence de la suite 5 Écrire l algorithme défini par la suite (x n ) n N qui permet de déterminer 4 à une précision de ε Expliciter la méthode de NEWTON pour la recherche du zéro de la fonction f 4 Entre la méthode de NEWTON et la méthode de point fixe x k+ = g (x k ), quelle est la plus efficace? Justifier la réponse CORRECTION DE L EXERCICE f est paire ; comme f (x) = 4x, f est croissante pour x > et décroissante pour x < ; puisque f () < et f ( ) = f () >, on conclut que il n y a que deux racines réelles distinctes : x ];[ et x ] ;[ On étudie la fonction g (x) = x(9x4 +5) pour x (5x 4 +) g (x) pour tout x et g (x) = ssi x = ; g (x) = 5(9x8 6x 4 +) 4 (5x 4 +) = 5 Enfin, g (x) = concave pour x ]; 4 ( x 4 5x 4 + x 4 x = 5x 4 + (5x 4 +) ) ( donc g (x) pour tout x ];[ et g (x) = ssi x = 4 De plus, g 4 g (x) [, convexe pour x > 4 x = x (x 4 ) (5x 4 +) (5x 4 +) donc g (x) = ssi x = ou x = 4 ) =, g est 56 G Faccanoni

57 Jeudi 5 juin 4 Résolution d équations non linéaires y y i (x) g (x) i (x) g (x) 4 y = 5 x 4 4 x x x x x x 4 4 x (a) Graphe de g comparé au graphe de i (b) Étude graphique de la convergence de la méthode de point fixe FIGURE Pour le graphe de g comparé au graphe de i (x) = x pour x [;] voir la figure a On vérifie analytiquement qu il existe une et une seule intersection entre la courbe d équation y = g (x) et la droite d équation y = x : g (x) = x x(9x4 + 5) (5x 4 + ) = x 9x4 + 5 = (5x 4 + ) x 4 = f (x) = Pour l étude graphique de la convergence de la méthode de point fixe voir la figure b Étudions la convergence de la méthode On remarque que donc la suite récurrente = 9x4 k + 5 x k (5x 4 k + ) > x k < 4 x k+ x ]; 4 [ x k+ = g (x k ) est monotone croissante et majorée par 4 : elle est donc convergente vers l 4 4, on conclut qu elle converge vers 4 De même, la suite récurrente ] [ 4 x ; x k+ = g (x k ) Comme l = g (l) ssi l = est monotone décroissante et minoré par 4 : elle est donc convergente vers l 4 Comme l = g (l) ssi l = 4, on conclut qu elle converge vers 4 Par conséquent, quelque soit le point initiale, la méthode de point fixe donnée converge vers 4 point fixe de g (et racine de f ) Soulignons qu on ne peut pas utiliser le théorème de point fixe pour prouver la convergence de la méthode car g n est pas contractante sur [;] En effet, dans [;] on a g (x) < g (x) < 5(x 4 ) < (5x 4 + ) 5x 8 + x 4 > x 4 > + = 5 (5 x 4 +) 4 4 Si on pose x = 4 alors g ( x) = x, g ( x) =, g ( x) = et g ( x) = x 5 x8 x 4 + suite converge à l ordre 5 Algorithme de point fixe : Require: x >, g : x g (x) 6 5 ];[ : on conclut que la G Faccanoni 57

58 Résolution d équations non linéaires Jeudi 5 juin 4 while x k+ x k > ε do x k+ g (x k ) k k + end while Entre la méthode de NEWTON et la méthode de point fixe x k+ = g (x k ), la plus efficace est la méthode de point fixe x k+ = g (x k ) car elle est d ordre tandis que celle de NEWTON n est que d ordre Exercice (Python) Comparer les méthodes de la dichotomie, de LAGRANGE et de NEWTON pour approcher la racine x de la fonction f (x) = cos (x) x sur l intervalle ],5[ avec une précision de 6 Pour la méthode de NEWTON on prendra x = 75 CORRECTION DE L EXERCICE On modifie les fonctions données à la page 4 pour que les méthodes s arrêtent lorsque le nombre d itérations est égal à maxiter : import math, sys def dichotomie(f,a,b,tol,maxiter): 4 fa = f(a) 5 if abs(fa)<=tol: 6 return a 7 fb = f(b) 8 if abs(fb)<=tol: 9 return b if fa*fb > : print "La racine n est pas encadree" sysexit() n = int(mathceil(mathlog(abs(b-a)/tol)/mathlog())) 4 for k in range(min(n+,maxiter)): 5 c = (a+b)*5 6 fc = f(c) 7 if fc == : 8 return c 9 if fc*fb < : a = c fa = fc else: b = c 4 fb = fc 5 return (a+b)*5 6 7 def lagrange(f,a,b,tol,maxiter): 8 fa = f(a) 9 if abs(fa)<=tol: return a fb = f(b) if abs(fb)<=tol: return b 4 if fa*fb > : 5 print "La racine n est pas encadree" 6 sysexit() 7 k = 8 fc = *tol 9 while ( (abs(b-a)>tol) and (abs(fc)>tol) and (k<maxiter) ): 4 k += 4 c = a-fa*(b-a)/(fb-fa) 4 fc = f(c) 4 if fc == : 44 return c 45 if fc*fb < : 46 a = c 47 fa = fc 48 else: 58 G Faccanoni

59 Jeudi 5 juin 4 Résolution d équations non linéaires 49 b = c 5 fb = fc 5 return a-fa*(b-a)/(fb-fa) 5 5 def newton(f,x_init,tol,maxiter): 54 k = 55 x = x_init 56 fx = f(x) 57 h = tol 58 dfx = df(x) 59 while ( (abs(fx)>tol) and (k<maxiter) ): 6 x = x - fx/dfx 6 fx = f(x) 6 dfx = df(x) 6 k += 64 return x Ensuite on construit une matrice dont la première colonne contient le nombre d itérations, la deuxième colonne l erreur absolue obtenue par la méthode de la dichotomie avec le nombre d itérations indiqué dans la première colonne, la troisième colonne l erreur absolue obtenue par la méthode de LAGRANGE et la dernière par la méthode de NEWTON 65 def f(x): 66 return (mathcos(*x))**-x** 67 def df(x): 68 return -4*mathcos(*x)*mathsin(*x)-*x 69 7 exact = niter = 7 tol = sysfloat_infoepsilon 74 a = 75 b = 5 76 x_init = XXX = [] 8 Dic = [] 8 Lag = [] 8 New = [] 8 84 for i in range(niter): 85 maxiter = i 86 XXXappend(maxITER) 87 Dicappend(abs(exact-dichotomie(f,a,b,tol,maxITER))) 88 Lagappend(abs(exact-lagrange(f,a,b,tol,maxITER))) 89 Newappend(abs(exact-newton(f,x_init,tol,maxITER))) 9 print "%g %57f %57f %57f" % (XXX[i], Dic[i], Lag[i], New[i]) On obtient ainsi le tableau maxiter Dichotomie LAGRANGE NEWTON On affiche enfin les erreurs absolues x x maxiter en fonction du nombre d itérations pour chaque méthode avec une échelle logarithmique pour l axe des ordonnées 9 from matplotlibpylab import * G Faccanoni 59

60 Résolution d équations non linéaires Jeudi 5 juin 4 9 xlabel( Iterations ) 9 ylabel( Absolute error ) 94 axis([,niter,,]) 95 semilogy(xxx,dic,"r-o",xxx,lag,"g-o",xxx,new,"y-o") 96 legend([ Dichotomie, Lagrange, Newton ]) 97 show() Le résultat est le suivant On remarque tout d abord que la décroissance de l erreur avec la méthode de la dichotomie n est pas monotone De plus, on voit que la méthode de NEWTON est d ordre tandis que la méthode de LAGRANGE est d ordre 6 G Faccanoni

61 Interpolation Étant donné n + points (x i, y i ) } n i=, trouver une fonction f : x f (x) telle que f (x i ) = y i Approcher une fonction f consiste à la remplacer par une autre fonction ϕ dont la forme est plus simple et dont on peut se servir à la place de f On verra dans le prochain chapitre qu on utilise fréquemment cette stratégie en intégration numérique quand, au lieu de calculer b a f (x) dx on calcule de manière exacte b a ϕ(x) dx, où ϕ est une fonction simple à intégrer (par exemple polynomiale) Dans d autres contextes, la fonction f peut n être connue que par les valeurs qu elle prend en quelques points particuliers Dans ce cas, on cherche à construire une fonction continue ϕ représentant une loi empirique qui se cacherait derrière les données Interpolation polynomiale Étant donné n + couples (x i, y i ) } n i=, le problème consiste à trouver une fonction ϕ = ϕ(x) telle que ϕ(x i ) = y i ; on dit alors que ϕ interpole l ensemble de valeurs y i } n i= aux nœuds x i } n i= Les quantités y i représentent les valeurs aux nœuds x i d une fonction f connue analytiquement ou des données expérimentales Dans le premier cas, l approximation a pour but de remplacer f par une fonction plus simple en vue d un calcul numérique d intégrale ou de dérivée Dans l autre cas, le but est d avoir une représentation synthétique de données expérimentales (dont le nombre peut être très élevé) On parle d interpolation polynomiale quand ϕ est un polynôme et d interpolation polynomiale par morceaux (ou d interpolation par fonctions splines) si ϕ est polynomiale par morceaux Notons R m [x] l espace vectoriel formé par tous les polynômes de degré inférieur ou égale à m Il est bien connu que R m [x] a dimension m + et que sa base canonique est donnée par, x, x,, x m } Supposons que l on veuille chercher un polynôme P m de degré m qui, pour des valeurs x, x, x,, x m distinctes données (appelés nœuds d interpolation), prenne les valeurs y, y, y,, y m respectivement, c est-à-dire P m (x i ) = y i pour i m () Si un tel polynôme existe, il est appelé polynôme d interpolation ou polynôme interpolant Théorème Interpolation polynomiale Étant donné m + points distincts x,, x m et m + valeurs correspondantes y,, y m, il existe un unique polynôme P m R m [x] tel que P m (x i ) = y i, pour i =,m Méthode directe (ou naïve ) Une manière apparemment simple de résoudre ce problème est d écrire le polynôme dans la base canonique de R m [x] : P m (x) = a + a x + a x + + a m x m, où a, a, a,, a m sont des coefficients qui devront être déterminés Les (m + ) relations () s écrivent alors a + a x + a n x m = y a + a x + a n x m = y a n + a x m + a m xm m = y m 6

62 Interpolation Jeudi 5 juin 4 Puisque les valeurs x i et y i sont connues, ces relations forment un système linéaire de (m + ) équations en les (m + ) inconnues a, a, a,, a m qu on peut mettre sous la forme matricielle x x m x x m x m xm m a a a m = y y y m () Ainsi, le problème consistant à chercher le polynôme P m satisfaisant () peut se réduire à résoudre le système linéaire () Cependant, résoudre une système linéaire de (m + ) équations à (m + ) inconnues n est pas une tache triviale Cette méthode pour trouver le polynôme P m n est donc pas une bonne méthode en pratique Dans la suite on va étudier une méthode plus astucieuse pour construire le polynôme P m Méthode de Lagrange Quand on écrit le polynôme P m dans la base canonique de R m [x], le problème est de déterminer les (m + ) coefficients a, a, a,, a m tels que P m (x) = a + a x + a x + + a m x m On se demande s il existe une autre base L,L,L,,L m } de R m [x] telle que le polynôme P m s écrit P m (x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) + + y m L m (x), autrement dit s il existe une base telle que les coordonnées du polynôme dans cette base ne sont rien d autre que les valeurs connues y, y,, y m Pour trouver une telle base, commençons par imposer le passage du polynômes par les m + points donnés : les (m + ) relations () imposent la condition : L i (x j ) = si i = j sinon pour i, j m, ce qui donne L i (x) = m j = j i x x j = (x x )(x x ) (x x i )(x x i+ ) (x x m ) x i x j (x i x )(x i x ) (x i x i )(x i x i+ ) (x i x m ) Clairement, le numérateur de L i (x) est un produit de m termes (x x j ) avec i j et est donc un polynôme de degré m Le dénominateur est une constante et il est facile de vérifier que L i (x) R m [x], L i (x j ) = si i j, i m, L i (x i ) = De plus, les polynômes L,L,L,,L m sont linéairement indépendants car si l équation m i= α i L i (x) = doit être satisfaite pour tout x R alors m i= α i L i (x j ) = doit être vraie pour tout j =,,,m et puisque m i= α i L i (x j ) = α j, on conclut que tous les α j sont nuls Par conséquent, la famille L,L,L,,L m } forme une base de R m [x] Il est important de remarquer que nous avons construit explicitement une solution du problème () et ceci pour n importe quelles valeurs y, y, y,, y m données Ceci montre que le système linéaire () a toujours une unique solution Théorème Interpolation de LAGRANGE Étant donné m + points distincts x,, x m et m + valeurs correspondantes y,, y m, il existe un unique polynôme P m R m [x] tel que P m (x i ) = y i, pour i =,m qu on peut écrire sous la forme m m x x j P m (x) = y i L i (x) R m [x] où L i (x) = x i x j i= Cette relation est appelée formule d interpolation de LAGRANGE et les polynômes L i sont les polynômes caractéristiques (de LAGRANGE) j = j i x x m x x m La matrice s appelle matrice de VANDERMONDE x m xm 6 G Faccanoni

63 Jeudi 5 juin 4 Interpolation Exemple Pour m = le polynôme de LAGRANGE s écrit (x x )(x x ) P(x) = y (x x )(x x ) + y (x x )(x x ) (x x )(x x ) + y (x x )(x x ) (x x )(x x ) Exemple On cherche le polynôme d interpolation de LAGRANGE qui en vaut 8, en vaut et en vaut 6 On a (x x )(x x ) P(x) = y (x x )(x x ) + y (x x )(x x ) (x x )(x x ) + y (x x )(x x ) (x x )(x x ) x(x ) (x + )(x ) (x + )x = = 4x x + Remarque Si m est petit il est souvent plus simple de calculer directement les coefficients a, a,, a m avec la méthode naïve en résolvant le système linéaire () Soit f : R R une fonction continue donnée et soit x, x, x,, x m, (m+) points distincts donnés Interpoler la fonction f aux points x i, i m signifie chercher un polynôme P m de degré m tel que La solution de ce problème est donc donnée par i= P m (x i ) = f (x i ) pour i m () m m x x j P m (x) = f (x i )L i (x) R m [x] où L i (x) = x i x j et le polynôme P m est appelée interpolant de f de degré m aux points x, x, x,, x m Exemple Soit f : R R la fonction définie par f (x) = e x On cherche l interpolant de f aux points,, On a P(x) = f (x ) (x x )(x x ) (x x )(x x ) + f (x ) (x x )(x x ) (x x )(x x ) + f (x ) (x x )(x x ) (x x )(x x ) ( ( x(x ) (x + )(x ) e = e + (x + )x + e = e e j = j i ) x + La figure ci-dessous montre le graphe de la fonction f et de son interpolant aux points,, y e ) x + f P e e x Proposition Erreur Si y i = f (x i ) pour i =,,,n, f : I R étant une fonction donnée de classe C n+ (I ) où I est le plus petit intervalle G Faccanoni 6

64 Interpolation Jeudi 5 juin 4 contenant les nœuds distincts x i } n, alors il existe ξ I tel que l erreur d interpolation au point x I est donnée par i= où ω n+ (x) m (x x j ) i= E n (x) f (x) P n (x) = f (n+) (ξ) ω n+ (x) (n + )! Démonstration Le résultat est évidemment vrai si x coïncide avec l un des nœuds d interpolation car E n (x i ) = pour i =,,,n Autrement, soit x I fixé, x x i pour i =,,n et définissons la fonction G : I R t E n (t) E n (x) ω n+(t) ω n+ (x) Puisque f C (n+) (I ) et puisque ω n+ est un polynôme, G C (n+) (I ) et possède au moins n + zéros distincts dans I En effet, les zéros de G sont les n + nœuds x i et le point x car G(x i ) = E n (x i ) E n (x) ω n+(x i ) ω n+ (x) =, G(x) = E n (x) E n (x) ω n+(x) ω n+ (x) = i =,,n Ainsi, d après le théorème des valeurs intermédiaires, G admet au moins n + zéros distincts et par récurrence G (j ) a au moins n + j zéros distincts Par conséquent, G (n+) a au moins un zéro, qu on note ξ D autre part, puisque E n (n+) (t) = f (n+) (t) et ω (n+) n+ (x) = (n + )! on a G (n+) (t) = f (n+) (n + )! (t) E n (x) ω n+ (x) ce qui donne, avec t = ξ, l expression voulue pour E n (x) Dans le cas d une distribution uniforme de nœuds, ie quand x i = x i + h avec i =,,,n et h > et x donnés, on a ω n+ (x) n! hn+ 4 et donc max E n(x) max x I f (n+) (x) h n+ x I 4(n + ) Attention Les défauts de l interpolation polynomiale avec nœuds équirépartis Malheureusement, on ne peut pas déduire de cette relation que l erreur tend vers quand n tend vers l infini, bien que h n+ /[4(n + )] tend effectivement vers En fait, il existe des fonctions f pour lesquelles max x I E n (x) + Ce résultat frappant indique qu en augmentant le degré n du polynôme d interpolation, on n obtient pas nécessairement une meilleure reconstruction de f n + Exemple Le contre-exemple de RUNGE Ce phénomène est bien illustré par la fonction de RUNGE : soit la fonction f : [ 5,5] R définie par f (x) = +x La fonction f est infiniment dérivable sur [ 5,5] et f (n) (±5) devient très rapidement grand lorsque n tend vers l infini Si on considère une distribution uniforme des nœuds on voit que l erreur tend vers l infini quand n tend vers l infini Ceci est lié au fait que la quantité hn+ max x [ 5,5] f (n+) (x) tend plus vite vers l infini que 4(n+) tend vers zéro La figure a montre ses polynômes interpolants de degrés, 5 et pour une distribution équirepartie des nœuds Cette absence de convergence est également mise en évidence par les fortes oscillations observées sur le graphe du polynôme d interpolation (absentes sur le graphe de f ), particulièrement au voisinage des extrémités de l intervalle Ce comportement est connu sous le nom de phénomène de RUNGE On peut éviter le phénomène de RUNGE en choisissant correctement la distribution des nœuds d interpolation Sur un intervalle [a, b], on peut par exemple considérer les nœuds de CHEBYSHEV-GAUSS-LOBATTO (voir figure b) x i = a + b b a ( π ) cos n i, pour i =,,n Pour cette distribution particulière de nœuds, il est possible de montrer que, si f est dérivable sur [a,b], alors P n converge vers f quand n + pour tout x [a,b] Les nœuds de CHEBYSHEV-GAUSS-LOBATTO, qui sont les abscisses des nœuds équirépartis sur le demi-cercle unité, se trouvent à l intérieur de [a, b] et sont regroupés près des extrémités de l intervalle Ces figures ont été obtenue 64 G Faccanoni

65 Jeudi 5 juin 4 Interpolation par les instructions suivantes : from matplotlibpylab import * def lagrange(t,x,y): 4 p = 5 n = len(x) 6 L = [ for i in range(n)] 7 for i in range(n): 8 for j in range(n): 9 if j!=i: L[i] *= (t-x[j])/(x[i]-x[j]) p += y[i]*l[i] return p 4 def f(x): 5 return /(+x**) x = linspace(-5,5,) x = linspace(-5,5,5) x = linspace(-5,5,) 4 y = f(x) 5 y = f(x) 6 y = f(x) "Noeuds équirépartis" 7 8 # Calcul des polynomes en plusieurs points d un intervalle pour affichage 9 t = arange(-5,5,) lt = [] lt = [] lt = [] for k in t: 4 ltappend(lagrange(k,x,y)) 5 ltappend(lagrange(k,x,y)) 6 ltappend(lagrange(k,x,y)) 7 8 plot(t,f(t), r-,t,lt, b:,t,lt, m-,t,lt, y-- ) 9 legend([ f, p_, p_5, p_ ],loc= lower center ) axis([-5, 5, -5, ]) show() def Tchebychev(a,b,n): "Noeuds de CHEBYSHEV-GAUSS-LOBATTO" return [5*(a+b)-5*(b-a)*cos(pi*i/(n-)) for i in range(n)] 4 x = Tchebychev(-5,5,) 5 x = Tchebychev(-5,5,5) 6 x = Tchebychev(-5,5,) 7 y = [f(x) for x in x] 8 y = [f(x) for x in x] 9 y = [f(x) for x in x] # Calcul des polynomes en plusieurs points d un intervalle pour affichage t = arange(-5,5,) lt = [] 4 lt = [] 5 lt = [] 6 for k in t: 7 ltappend(lagrange(k,x,y)) 8 ltappend(lagrange(k,x,y)) 9 ltappend(lagrange(k,x,y)) plot(t,f(t), r-,t,lt, b:,t,lt, m-,t,lt, y-- ) legend([ f, p_, p_5, p_ ],loc= lower center ) G Faccanoni 65

66 Interpolation Jeudi 5 juin f p_ p_5 p_ f p_ p_5 p_ 4 4 (a) Distribution équirepartie des nœuds (b) Nœuds de CHEBYSHEV-GAUSS-LOBATTO FIGURE : Interpolation de LAGRANGE, exemple de RUNGE axis([-5, 5, -5, ]) 4 show() Stabilité de l interpolation polynomiale Soit f : I R une fonction de classe C n+ (I ) où I est le plus petit intervalle contenant les nœuds distincts x i } n i= Qu arrive-t-il aux polynômes d interpolation si, au lieu des valeurs exactes f (x i ), on considère des valeurs perturbées f (x i ), i =,,n? Ces perturbations peuvent provenir d erreurs d arrondi ou d incertitudes dans les mesures Soit P n le polynôme exact interpolant les valeurs f (x i ) et P n le polynôme exact interpolant les valeurs f (x i ) En notant x le vecteur dont les composantes sont les nœuds d interpolation, on a où n max P n(x) P n (x) = max (f (x i ) f (x i ))ϕ i (x) Λ n (x) max f (x) f (x) x I x I i= Λ n (x) max x I n ϕ i (x) est appelée constante de LEBESGUE (noter que cette constante dépend des nœuds d interpolation) Des petites perturbations sur les valeurs nodales f (x i ) entraînent des petites variations sur le polynôme d interpolation quand la constante de LEBESGUE est petite La constante de LEBESGUE mesure donc le conditionnement du problème d interpolation Pour l interpolation de LAGRANGE avec des nœuds équirépartis i= n+ Λ n (x) (ln(n) + γ)ne où e 784 (nombre de NEPER) et γ 5477 (constante d EULER) Quand n est grand, l interpolation de LAGRANGE sur des nœuds équirépartis peut donc être instable Exemple Dans la Figure on a tracé la fonction f (x) = sin(πx), le polynôme de LAGRANGE l qui interpole f en nœuds équirépartis sur l intervalle [ ;], c est-à-dire l ensemble xi = + i, y i = f (x i ) } i=, le polynôme de LAGRANGE p qui interpole l ensemble perturbé (x i, ỹ i ) } i= où ỹ i est une perturbation aléatoire des valeurs exactes y i de sorte que max y i ỹ i i=,, On remarque que la différence entre ces deux polynômes est bien plus grande que la perturbation des données Plus précisément i n max x I P n(x) P n (x) 6 66 G Faccanoni

67 Jeudi 5 juin 4 Interpolation FIGURE : Effet de perturbations sur l interpolation de LAGRANGE en des nœuds équirépartis et l écart est particulièrement important aux extrémités de l intervalle Remarquer que dans cet exemple la constante de LEBESGUE est très grande : Λ n (x) 974 Cette figure a été obtenue par les instructions : from matplotlibpylab import * import random 4 def lagrange(t,x,y): 5 p = 6 n = len(x) 7 L = [ for i in range(n)] 8 for i in range(n): 9 for j in range(n): if j!=i: L[i] *= (t-x[j])/(x[i]-x[j]) p += y[i]*l[i] return p 4 5 def f(x): 6 return sin(*mathpi*x) 7 8 x = linspace(-,,) 9 y = f(x) y = [yi+(*randomrandom()-)* for yi in y] # Calcul des polynomes en plusieurs points d un intervalle pour affichage t = arange(-,,) 4 lt = [] 5 lt = [] 6 for k in t: 7 ltappend(lagrange(k,x,y)) 8 ltappend(lagrange(k,x,y)) 9 print max(abs(y-y)) print max([abs(lt[i]-lt[i]) for i in range(len(t))]) plot(t,f(t), r-,t,lt, b:,t,lt, g: ) 4 legend([ f, l_, p_ ],loc= lower center ) 5 axis([-,, -, 4]) 6 show() 4 Méthode de Newton On a vu que calculer le polynôme d interpolation de LAGRANGE dans la base canonique de R n [x] comporte la résolution d un système linéaire d ordre n On a alors introduit une autre base de R n [x], la base des polynômes de LAGRANGE, qui G Faccanoni 67

68 Interpolation Jeudi 5 juin 4 permet de calculer directement le polynôme d interpolation car les coordonnées du polynôme cherché dans cette base ne sont rien d autres que les valeurs y i Cependant, cette méthode n est pas la plus efficace d un point de vue pratique En effet, pour calculer le polynôme d interpolation d un ensemble de n + points on doit calculer les n + polynômes L,L,L,,L n } Si ensuite on ajoute un point d interpolation, on doit calculer les n + polynômes L, L, L,, L n+ } qui diffèrent tous des n + calculés précédemment La méthode de NEWTON est basée sur le choix d une autre base de sort à ce que l ajout d un point comporte juste l ajout d une fonction de base Considérons la famille de polynômes ω,ω,ω,,ω n } où ω (x) =, k ω k (x) = (x x i ) = (x x k )ω k (x), k =,,n i= Il est facile de vérifier que ω k (x) R n [x], la famille ω,ω,ω,,ω n } est génératrice de R n [x] la famille ω,ω,ω,,ω n } est libre Par conséquent, la famille ω,ω,ω,,ω n } forme une base de R n [x] Si on choisit comme base de R n [x] la famille ω,ω,ω,,ω n }, le problème du calcul du polynôme d interpolation p n est alors ramené au calcul des coefficients α,α,α,,α n } tels que p n (x) = n α i ω i (x) i= Si on a calculé les n + coefficients α,α,α,,α n } et on ajoute un point d interpolation, il n y a plus a calculer que le coefficient α n+ car la nouvelle base est déduite de l autre base en ajoutant simplement le polynôme ω n+ Commençons par chercher une formule qui permet de calculer ces coefficients Le polynôme d interpolation dans la base de NEWTON évalué en x donne n p n (x ) = α i ω i (x ) = α donc α = y Le polynôme d interpolation dans la base de NEWTON évalué en x donne p n (x ) = i= n α i ω i (x ) = α + α (x x ) donc α = y y x x Le polynôme d interpolation dans la base de NEWTON évalué en x donne donc p n (x ) = i= n α i ω i (x ) = α + α (x x ) + α (x x )(x x ) i= α = y α α (x x ) (x x )(x x ) = y y y y x x (x x ) = (x x )(x x ) Pour calculer tous les coefficients on va alors introduire la notion de différence divisée : Définition Différences divisées Soit (x i, y i ) } n i= un ensemble de n + points distincts La différence divisée d ordre de x i et x i est y y x x y y x x x x f [x i, x i ] y i y i x i x i La différence divisée d ordre n des n+ points x,, x n est définie par récurrence en utilisant deux différences divisées d ordre n comme suit : f [x,, x n ] f [x,, x n ] f [x,, x n ] x n x Pour expliciter le processus récursif, les différences divisées peuvent être calculées en les disposant de la manière suivante dans un tableau : 68 G Faccanoni

69 Jeudi 5 juin 4 Interpolation i x i y i f [x i, x i ] f [x i, x i, x i ] f [x i, x i, x i, x i ] f [x i 4, x i, x i, x i, x i ] x y x y f [x, x ] x y f [x, x ] f [x, x, x ] x y f [x, x ] f [x, x, x ] f [x, x, x, x ] 4 x 4 y 4 f [x, x 4 ] f [x, x, x 4 ] f [x, x, x, x 4 ] f [x, x, x, x, x 4 ] Théorème Formule de NEWTON Soit (x i, y i ) } n i= un ensemble de n + points distincts Le polynôme d interpolation de LAGRANGE p n sous la forme de NEWTON est donné par n p n (x) = ω i (x)f [x,, x i ] i= Comme le montre la définition des différences divisées, des points supplémentaires peuvent être ajoutés pour créer un nouveau polynôme d interpolation sans recalculer les coefficients De plus, si un point est modifié, il est inutile de recalculer l ensemble des coefficients Autre avantage, si les x i sont équirépartis, le calcul des différences divisées devient nettement plus rapide Par conséquent, l interpolation polynomiale dans une base de NEWTON est privilégiée par rapport à une interpolation dans la base de LAGRANGE pour des raisons pratiques Exemple On veut calculer le polynôme d interpolation de de la fonction f (x) = sin(x) en les points x i = π i avec i =,, On cherche donc p R [x] tel que p (x i ) = sin(x i ) pour i =,, Méthode directe Si on écrit p (x) = α + α x + α x, on cherche α,α,α tels que α π π α 4 = π π α En résolvant ce système linéaire on trouve α =, α = 4 π et α = 4 π Méthode de Lagrange On a p (x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) = x(x π) π ( π π ) = 4 x(x π) π Méthode de Newton On commence par construire le tableau des différences divisées : i x i y i f [x i, x i ] f [x i, x i, x i ] π π π π 4 π On a alors p (x) = ω i (x)f [x,, x i ] i= = ω (x)f [x ] + ω (x)f [x, x ] + ω (x)f [x, x, x ] = π ω (x) 4 π ω (x) = π x 4 ( π x x π ) = 4 x(x π) π Maintenant on veut calculer le polynôme d interpolation de la même fonction en les 4 points x i = π i avec i =,,, ie on a juste ajouté le point x = π/ On cherche donc p R [x] tel que p (x i ) = sin(x i ) pour i =,, G Faccanoni 69

70 Interpolation Jeudi 5 juin 4 Méthode directe Si on écrit p (x) = α + α x + α x + α x, on cherche α,α,α,α tels que α π π π 4 8 π π π α α = π 9π 7π α 4 8 En résolvant ce système linéaire on trouve α =, α = π 6, α = 8 π et α = 8 π Méthode de Lagrange On a ( ) x(x π) x π p (x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) + y L (x) = π ( π π )( ) π π x ( x π ) (x π) ( )( π π π π π) = 4 ( π x(x π) x π ) 4 (x π x π ) (x π) Méthode de Newton Il suffit de calculer une différence divisée en plus, ie ajouter une ligne au tableau : i x i y i f [x i, x i ] f [x i, x i, x i ] f [x i, x i, x i, x i ] π π π π 4 π π π 8 π On a alors p (x) = ω i (x)f [x,, x i ] i= = p (x) + ω (x)f [x, x, x, x ] = 4 8 x(x π) + π π ω (x) = 4 8 x(x π) + (x π π x π = 8 π x(x πx + π ) ) (x π) Méthode des moindres carrés : fitting par une relation affine Lorsqu un chercheur met au point une expérience (parce qu il a quelques raisons de croire que les deux grandeurs x et y sont liées par une fonction f ), il récolte des données sous la forme de points (x i, y i ) } n i= Lorsqu il en fait une représentation graphique il cherche f pour qu elle s ajuste le mieux possible aux points observés Nous avons déjà vu que si n est grand, le polynôme d interpolation de LAGRANGE n est pas toujours une bonne approximation d une fonction donnée/cherchée De plus, si les données sont affectées par des erreurs de mesure, l interpolation peut être instable Ce problème peut être résolu avec l interpolation composite (avec des fonctions linéaires par morceau ou des splines) Néanmoins, aucune de ces méthodes n est adaptée à l extrapolation d informations à partir des données disponibles, c est-à-dire, à la génération de nouvelles valeurs en des points situés à l extérieur de l intervalle contenant les nœuds d interpolation On introduit alors la méthode des moindres carrés : soit d i = y i f (x i ) l écart vertical du point (x i, y i ) par rapport à la fonction f La méthode des moindres carrés est celle qui choisit f de sorte que la somme des carrés de ces déviations soit minimale Supposons que les deux grandeurs x et y sont liées approximativement par une relation affine, c est-à-dire de la forme y = mx + q pour certaines valeurs de m et q (autrement dit, lorsqu on affiche ces points dans un plan cartésien, les points ne sont pas exactement alignés mais cela semble être dû à des erreurs de mesure) On souhaite alors trouver les constantes m et q pour que la droite d équation y = mx + q s ajuste le mieux possible aux points observés Pour cela, introduisons d i y i (mx i + q) l écart vertical du point (x i, y i ) par rapport à la droite 7 G Faccanoni

71 Jeudi 5 juin 4 Interpolation La méthode des moindres carrés est celle qui choisit m et q de sorte que la somme des carrés de ces déviations soit minimale Pour cela, on doit minimiser la fonction E : R R + définie par E (m, q) = n n d i = (y i mx i q) i= Pour minimiser E on cherche d abord les points stationnaires, ie les points (m, q) qui vérifient E m = E q = Puisque alors ( E n (m, q) = (y i (mx i + q))x i ), m i= i= ( ) E n (m, q) = (y i (mx i + q)), q i= E m E q (m, q) = (m, q) = n i= (y i mx i q)x i = ( n i= x i n i= (y i mx i q) = ) ( m + n i= x ) i q = n i= y i x i ( n i= x ) i m + (n + )q = n i= y i ( n i= m = x )( n i i= y ) ( i (n + ) n i= x ) i y i ( n i= x ) ( i (n + ) n ), ( i= x i n i= q = x )( n i i= x ) ( i y i n i= y )( n ) i i= x i ( n i= x ) ( i (n + ) n ) i= x i On a trouvé un seul point stationnaire On établi sa nature en étudiant la matrice Hessienne : n n H E (m, q) = ( i= x i i= x ) i n i= x i (n + ) ( et det(h E (m, q)) = 4 (n + ) n i= x i ( n i= x ) ) i > avec mm E (m, q) = n i= x > donc il s agit d un minimum La i droite d équation y = mx + q ainsi calculée s appelle droite de régression de y par rapport à x Exemple Si on a le points suivantes x 4 5 y on trouve m = 7 et q = y x Polynôme d HERMITE ou polynôme osculateur On peut généraliser l interpolation de LAGRANGE pour prendre en compte, en plus des valeurs nodales, les valeurs de la dérivée du polynôme interpolateur dans ces nœuds Considérons n + triplets (x i, y i, y i ), le problème est de trouver un polynôme Π m(x) = a + a x + a m x m R m [x] tel quel Πm (x i ) = y i, Π m (x i ) = y i, i =,n Il s agit d un système linéaire de (n + ) équations et m + inconnues Si m = n + on a le résultat suivant : Théorème Étant donné n + points distincts x,, x n et n + couples correspondantes (y, y ),,(y n, y n ), il existe un unique G Faccanoni 7

72 Interpolation Jeudi 5 juin 4 polynôme Π n+ R n+ [x] tel que Π n+ (x i ) = y i et Π n+ (x i ) = y, pour i =,n qu on peut écrire sous la forme i Q(x) = n y i A i (x) + y i B i (x) P n+ i= où L i (x) c i = n j = j i = n j = j i x x j x i x, j x i x, j A i (x) = ( (x x i )c i )(L i (x)), B i (x) = (x x i )(L i (x)), ou encore sous la forme n Q(x) = (y i D i (x) + y i (x x i ))(L i (x)) où i= L i (x) c i = n j = j i = n j = j i x x j x i x, j x i x, j D i (x) = (x x i )c i Cette relation est appelée formule d interpolation de HERMITE Exemple Pour n = le polynôme d HERMITE s écrit qu on peut réécrire comme ( ))( ) (x x )(x x ) ( ) Q(x) = y ( (x x ) + + y (x x x x x x (x x )(x x ) (x x )(x x ) ) (x x )(x x ) ( ))( ) (x x )(x x ) ( ) + y ( (x x ) + + y (x x x x x x (x x )(x x ) (x x )(x x ) ) (x x )(x x ) ( ))( ) (x x )(x x ) ( ) + y ( (x x ) + + y (x x x x x x (x x )(x x ) (x x )(x x ) ), (x x )(x x ) ( ( Q(x) = (y (x x ) ( + (y (x x ) ( + (y (x x ) + x x x x ( + x x x x ( + x x x x )) )( + y (x x (x x )(x x ) ) (x x )(x x ) )) + y (x x ) )) + y (x x ) )( (x x )(x x ) ) ) (x x )(x x ) )( ) (x x )(x x ) (x x )(x x ) Remarque Si n est petit on peut calculer directement les coefficients a, a,, a n+ en résolvant le système linéaire de n + équations a + a x + a n+ x n+ = y a + a x + a n+ x n+ = y a n + a x n + a n+ xn n+ = y n a + a x + (n + )a n+ x n+ = y a + a x + (n + )a n+ x n+ = y a n + a x n + (n + )a n+ xn n+ = y n ie x x n+ x x n+ x n xn n+ x (n + )x n+ x (n + )x n+ x n (n + )xn n+ } } (n+) (n+) a a a n+ } } (n+) = y y y n y y y n } } (n+) 7 G Faccanoni

73 Jeudi 5 juin 4 Interpolation Exemple RUNGE On veut voir si avec l interpolation d HERMITE on arrive à mieux approcher la fonction de RUNGE Soit la fonction f : [ 5,5] R définie par f (x) = +x La figure ci-dessous montre les polynômes interpolants de degrés, 5 et pour une distribution équirepartie des nœuds 5 5 f q_ q_5 q_ 4 4 Cette figure a été obtenue par les instructions : from matplotlibpylab import * def hermite(t,x,y,dy): 4 p = 5 n = len(x) 6 L = [ for i in range(n)] 7 c = [ for i in range(n)] 8 for i in range(n): 9 for j in range(len(x)): if j!=i: L[i] *= (t-x[j])/(x[i]-x[j]) c[i] += /(x[i]-x[j]) p += (y[i]*(-*(t-x[i])*c[i])+dy[i]*(t-x[i]))*l[i]** 4 return p 5 6 def f(x): 7 return /(+x**) 8 9 def df(x): return -*x/(+x**)** # INPUT x = linspace(-5,5,) 4 x = linspace(-5,5,5) 5 x = linspace(-5,5,) 6 y = f(x) 7 y = f(x) 8 y = f(x) 9 dy = df(x) dy = df(x) dy = df(x) # Calcul des polynomes en plusieurs points d un intervalle pour affichage 4 t = arange(-5,5,) 5 ht = [] 6 ht = [] 7 ht = [] 8 for k in t: 9 htappend(hermite(k,x,y,dy)) 4 htappend(hermite(k,x,y,dy)) 4 htappend(hermite(k,x,y,dy)) 4 4 plot(t,f(t), r-,t,ht, b:,t,ht, m-,t,ht, y-- ) 44 legend([ f, q_, q_5, q_ ],loc= lower center ) 45 axis([-5, 5, -, ]) 46 show() G Faccanoni 7

74 Interpolation Jeudi 5 juin 4 Même avec l interpolation d HERMITE on voit que l erreur tend vers l infini quand n tend vers l infini pour une distribution uniforme des nœuds Algorithmes LAGRANGE : Require: t, n, (x i, y i ) } n i= p for i = to n do L i for j = to n do if j i then L i t x j L i x i x j end if end for p p + y i L i end for return p HERMITE : Require: t, n, (x i, y i, y i ) } n i= p for i = to n do L i for j = to n do if j i then L i t x j L i x i x j c i x i x j + c i end if end for p p + ( y i ( (t x i ) c i ) + y i (t x i ) ) L i end for return p Splines : interpolation par morceaux On a mis en évidence le fait qu on ne peut pas garantir la convergence uniforme du polynôme interpolatoire de LA- GRANGE vers f quand les nœuds d interpolation sont équirépartis L interpolation de LAGRANGE de bas degré est cependant suffisamment précise quand elle est utilisée sur des intervalles assez petits, y compris avec des nœuds équirépartis (ce qui est commode en pratique) Il est donc naturel d introduire une partition de [a;b] en n sous-intervalles [x i, x i+ ], tels que [a;b] = i n [x i, x i+ ] et d utiliser l interpolation de LAGRANGE sur chaque sous-intervalles [x i, x i+ ] en utilisant m nœuds équirépartis avec m petit (généralement m = ou ) Définition Étant donné n + points distincts x,, x n de [a;b] avec a = x < x < < x n = b, la fonction s k : [a;b] R est une spline de degré k relative aux nœuds x i } si sk (x) [xi ;x i +] R k [x], i =,,,n, s k C k ([a;b]) Évidemment tout polynôme de degré k est une spline, mais en pratique une spline est constituée de polynômes différents sur chaque sous-intervalle Il peut donc y avoir des discontinuités de la dérivée k-ième aux nœuds internes x,, x n Interpolation linéaire composite Étant donné une distribution (non nécessairement uniforme) de nœuds x < x < < x n, on approche f par une fonction continue qui, sur chaque intervalle [x i, x i+ ], est définie par le segment joignant les deux points (x i, f (x i )) et (x i+, f (x i+ )) Cette fonction est appelée interpolation linéaire par morceaux (ou spline linéaire) Définition Splines linéaires Étant donné n + points distincts x,, x n de [a;b] avec a = x < x < < x n = b, la fonction l: [a;b] R est une spline linéaire relative aux nœuds x i } si l(x) [xi ;xi +] R, i =,,,n, l C ([a;b]) Autrement dit, dans chaque sous-intervalle [x i ; x i + ], la fonction l: [x i, x i+ ] R est le segment qui connecte le point (x i, y i ) au point (x i+, y i+ ) ; elle s écrit donc l(x) [xi ;x i +] = y i + y i+ y i x i+ x i (x x i ) 74 G Faccanoni

75 Jeudi 5 juin 4 Interpolation Il est intéressant de noter que la commande plot(x,y), utilisée pour afficher le graphe d une fonction f sur un intervalle donné [a, b], remplace en fait la fonction par une interpolée linéaire par morceaux, les points d interpolation étant les composantes du vecteur x Proposition Erreur Si y i = f (x i ) pour i =,,,n et f : [a;b] R est une fonction donnée de classe C ([a;b]), alors on peut majorer l erreur d interpolation au point x [a; b] par h max f (x) l(x) xı[a;b] 8 max f (x), x [a;b] où h = max i=,,n x i+ x i Par conséquent, pour tout x dans l intervalle [a;b], l(x) tend vers f (x) quand n +, à condition que f soit assez régulière Le principale défaut de cette interpolation par morceaux est que l n est que continue Or, dans des nombreuses applications, il est préférable d utiliser des fonctions ayant au moins une dérivée continue On peut construire pour cela une fonction s comme l interpolation d HERMITE des points (x i, f (x i ), f (x i )) et (x i+, f (x i+ ), f (x i+ )) sur chaque [x i ; x i + ] pour i =,,,n G Faccanoni 75

76 Interpolation Jeudi 5 juin 4 Codes Python Voici les function python des méthodes illustrées dans ce chapitre : t est le point où on veut évaluer le polynôme d interpolation, x est une liste qui contient les abscisses des points d interpolation, y est une liste qui contient les ordonnées des points d interpolation et dy est une liste qui contient la valeur de la dérivée aux points d interpolation Elles renvoient l évaluation du polynôme en t def lagrange(t,x,y): p = n = len(x) 4 L = [ for i in range(n)] 5 for i in range(n): 6 for j in range(n): 7 if j!=i: 8 L[i] *= (t-x[j])/(x[i]-x[j]) 9 p += y[i]*l[i] return p Méthodes numériques def divided_difference(xx,yy): n = len(xx) 4 # Initialisation de la matrice vide 5 A = [] 6 for i in range(n): 7 A+=[[]] # ajoute n fois une sous-liste vide : [[],[],[],[]] 8 for j in range(n): 9 A[i]+=[] # ajoute n lments chacune des n sous-listes vides # On rempli la partie triangulaire inferieure for i in range(n): A[i][]=float(yy[i]) for j in range(,i+): 4 A[i][j]=(float(A[i][j-])-float(A[i-][j-]))/(float(xx[i])-float(xx[i-j])) 5 return [ A[i][i] for i in range(n) ] 6 7 def newton(t,xx,yy): 8 p = 9 n = len(xx) OMEGA = [ for i in range(n+)] DD = divided_difference(xx,yy) for i in range(n): p += DD[i]*OMEGA[i] 4 OMEGA[i+] = OMEGA[i] * float(t-xx[i]) 5 return p 6 7 def hermite(t,x,y,dy): 8 p = 9 n = len(x) 4 L = [ for i in range(n)] 4 c = [ for i in range(n)] 4 for i in range(n): 4 for j in range(len(x)): 44 if j!=i: 45 L[i] *= (t-x[j])/(x[i]-x[j]) 46 c[i] += /(x[i]-x[j]) 47 p += (y[i]*(-*(t-x[i])*c[i])+dy[i]*(t-x[i]))*l[i]** 48 return p et voici un exemple d utilisation de ces fonctions : 49 from matplotlibpylab import * Cas test 5 5 # INPUT 5 x = [,,,4,5] 5 y = [,,,,] 54 dy = [-,,,-,] 76 G Faccanoni

77 Jeudi 5 juin 4 Interpolation # Calcul des polynomes en un point 57 t = 5 58 print "La valeur du polynome de Lagrange en", t, "est", lagrange(t,x,y) 59 print "La valeur du polynome de Newton en", t, "est", newton(t,xx,yy) 6 print "La valeur du polynome d Hermite en", t, "est", hermite(t,x,y,dy) 6 6 # Calcul des polynomes en plusieurs points d un intervalle pour affichage 6 axis([, 6, -, ]) 64 t = arange(,6,) 65 lt = [] 66 nt = [] 67 ht = [] 68 for k in t: 69 ltappend(lagrange(k,x,y)) 7 ntappend(newton(k,x,y)) 7 htappend(hermite(k,x,y,dy)) 7 plot(x,y, ro,t,lt, b,t,nt, g,t,ht, m ) 7 show() G Faccanoni 77

78 Interpolation Jeudi 5 juin 4 Exercices Exercice Construire le polynôme P qui interpole les points (,), (,), (,) et (,) CORRECTION DE L EXERCICE On cherche un polynôme de degré au plus tel que P() =, P() =, P() = et P() = Construire P signifie trouver ses coordonnées dans une base de R [x] On considère trois méthodes qui sont basées sur trois choix différents de bases de R [x] : Méthode directe (naïve) On considère C =, x, x, x } la base canonique de R [x] et on cherche (a, a, a, a ) = coord(p,c ), ie a, a, a, a tels que P(x) = i= a i x i Il s agit de trouver les 4 coefficients a, a, a et a solution du système linéaire p() = a + a + a + a = a p() = a + a + a + a = p() = p() = L L L L L L L 4 L 4 L a + a + a + a = a + a + a + a = L L L L 4 L 4 L a a a L 4 L 4 L = 6 6 donc a =, a =, a = 8 et a = et on trouve P(x) = 8 x + x x Méthode de Lagrange On considère L = L,L,L,L } une base de R [x] telle que coord(p,l ) = (y, y, y, y ), ie P(x) = i= y i L i (x) On a n x x j L i (x) = donc j = j i x i x j (x x )(x x )(x x ) P(x) = y (x x )(x x )(x x ) + y (x x )(x x )(x x ) (x x )(x x )(x x ) (x x )(x x )(x x ) + y (x x )(x x )(x x ) + y (x x )(x x )(x x ) (x x )(x x )(x x ) = (x )(x )(x ) (x )(x )(x ) = + ( )( )( ) ( )( )( ) (x )(x )(x ) (x )(x )(x ) + + ( )( )( ) ( )( )( ) = (x )(x )(x ) x(x )(x ) = + x(x )(x ) x(x )(x ) + = x + x 8 x + y Méthode de Newton On considère N = ω,ω,ω,ω } une base de R [x] telle que coord(p,n ) = (y, f [x, x ], f [x, x, x ], f [x, x, x, x ]), ie P(x) = i= f [x,, x i ]ω i (x) La base de Newton est définie récursivement comme suit : ω (x) = ; ω (x) = x x ; pour k =,,n ω k (x) = ω k (x)(x x k ) Les coordonnées sont les valeurs encadrées dans le tableau des différences divisées ci-dessous : i x i y i f [x i, x i ] f [x i, x i, x i ] f [x i, x i, x i, x i ] P(x) x 78 G Faccanoni

79 Jeudi 5 juin 4 Interpolation On a alors P (x) = f [x,, x i ]ω i (x) i= = y ω (x) + f [x, x ]ω (x) + f [x, x, x ]ω (x) + f [x, x, x, x ]ω (x) = ω (x) ω (x) + ω (x) ω (x) = x + x(x ) x(x )(x ) = x + x 8 x + Exercice Calculer le polynôme d interpolation de la fonction f (x) = cos(x) en les points x i = π i avec i =,, Calculer ensuite le polynôme d interpolation de la même fonction en les 4 points x i = π i avec i =,,, ie en ajoutant le point x = π/ CORRECTION DE L EXERCICE On cherche p R [x] tel que p (x i ) = cos(x i ) pour i =,, On peut choisir l une des quatre méthodes ci-dessous (on préférera la méthode de NEWTON car elle permet de réutiliser les calculs de cette question pour répondre à la question suivante) Méthode directe (naïve) Si on écrit p (x) = α + α x + α x, on cherche α,α,α tels que α π π α 4 = π π α En résolvant ce système linéaire on trouve α =, α = π et α = Méthode astucieuse Le polynôme p s annule en π, ceci signifie qu il existe un polynôme R(x) tel que ( p (x) = R(x) x π ) Puisque p (x) a degré, le polynôme R(x) qu on a mis en facteur a degré, autrement dit R est de la forme ax + b On cherche alors a et b tels que R() = p () ( ) π, ( ) π π R(π) = p (π) b = ( π aπ + b = ), ( ) π π b = π, a = Ainsi ( p (x) = R(x) x π ) = ( x π ) = π π x + Méthode de Lagrange On a ( ) x π (x π) p (x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) = ( ) π (x )( x π ) ( π) (π ) ( π π ) = π x Méthode de Newton On commence par construire le tableau des différences divisées : i x i y i f [x i, x i ] f [x i, x i, x i ] On a alors π π π π p (x) = ω i (x)f [x,, x i ] i= G Faccanoni 79

80 Interpolation Jeudi 5 juin 4 = ω (x)f [x ] + ω (x)f [x, x ] + ω (x)f [x, x, x ] = ω (x) π ω (x) = π x On cherche donc p R [x] tel que p (x i ) = sin(x i ) pour i =,, On peut choisir l une des quatre méthodes ci-dessous (on préférera la méthode de NEWTON car elle permet d utiliser les calculs précédents) Méthode directe Si on écrit p (x) = α + α x + α x + α x, on cherche α,α,α,α tels que π π π 4 8 π π π π 9π 4 7π 8 α α α α = En résolvant ce système linéaire on trouve α =, α = π, α = 4 et α π = 8 π Méthode astucieuse Le polynôme p s annule en π et en π, ceci signifie qu il existe un polynôme R(x) tel que ( p (x) = R(x) x π ) ( x π ) Puisque p (x) a degré, le polynôme R(x) qu on a mis en facteur a degré, autrement dit R est de la forme ax + b On cherche alors a et b tels que Ainsi R() = R(π) = p () ( )( ) π π, p (π) ( )( ) π π π π b = ( π aπ + b = )( ) π, ( π π )( π π ) b = 4 π, a = 8 π ( p (x) = R(x) x π ) ( x π ) ( 8 = π x + 4 ) ( π x π )( x π ) = π x 4 π x + 8 π x Méthode de Lagrange On a ( ) ( ) x π (x π) x π p (x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) + y L (x) = ( ) ( ) (x )( x π )( ) x π π ( π) π (π ) ( π π )( ) π π = 4 (x π π )( x π ) ( x + π + x) = π x 4 π x + 8 π x Méthode de Newton Il suffit de calculer une différence divisée en plus, ie ajouter une ligne au tableau précédant : i x i y i f [x i, x i ] f [x i, x i, x i ] f [x i, x i, x i, x i ] On a alors π π π π π π p (x) = ω i (x)f [x,, x i ] i= 4 π 8 π = p (x) + ω (x)f [x, x, x, x ] = π x + 8 π ω (x) = π x + 8 π x (x π ) (x π) = π x 4 π x + 8 π x 8 G Faccanoni

81 Jeudi 5 juin 4 Interpolation Exercice Trouver le polynôme de l espace vectoriel Vec + x, x 4 } qui interpole les points (,) et (,) CORRECTION DE L EXERCICE Il s agit de trouver un polynôme p(x) qui soit combinaison linéaire des deux polynômes assignés (ie p(x) = α( + x ) + β(x 4 )) et qui interpole les deux points (,) et (,) : y p(x) p() =, p() =, α( + ) + β( 4 ) =, α( + ) + β( 4 ) =, d où α = et β = Le polynôme cherché est donc le polynôme p(x) = + x + x 4 x Exercice 4 Construire le polynôme de LAGRANGE P qui interpole les points (,), (,), (,) et (,) Soit Q le polynôme de LAGRANGE qui interpole les points (,), (,), (,) Montrer qu il existe un réel λ tel que : Q(x) P(x) = λ(x + )x(x ) CORRECTION DE L EXERCICE 4 (x i, y i )} n i= s écrit Ici n = donc on a Le polynôme d interpolation de LAGRANGE de degré n sur l ensemble des n + points i= n n p n (x) = y x x j i x i x j j = j i (x x )(x x )(x x ) P(x) = y (x x )(x x )(x x ) + y (x x )(x x )(x x ) (x x )(x x )(x x ) (x x )(x x )(x x ) + y (x x )(x x )(x x ) + y (x x )(x x )(x x ) (x x )(x x )(x x ) x(x )(x ) (x + )(x )(x ) = + = x + x + x + (x + )x(x ) (x + )x(x ) + = Par construction Q( ) = P( ), Q() = P(), Q() = P(), donc le polynôme Q(x) P(x) s annule en, en et en, ceci signifie qu il existe un polynôme R(x) tel que Q(x) P(x) = R(x)(x + )x(x ) Puisque P(x) a degré et Q(x) a degré, le polynôme Q(x) P(x) a degré, donc le polynôme R(x) qu on a mis en facteur a degré (ie R(x) est une constante) Si on n a pas remarqué ça, on peut tout de même faire tous les calculs : dans ce cas n = donc on a (x x )(x x ) Q(x) = y (x x )(x x ) + y (x x )(x x ) (x x )(x x ) + y (x x )(x x ) (x x )(x x ) = x(x ) (x + )(x ) + (x + )x G Faccanoni 8

82 Interpolation Jeudi 5 juin 4 Ainsi = x + [ (x x )(x x ) Q(x) P(x) = y x x ] (x x )(x x ) x x [ (x x )(x x ) + y x x (x x )(x x ) x x (x x )(x x )(x x ) = y et λ = Sinon directement avec λ = [ (x x )(x x ) + y x x ] (x x )(x x ) x x ] (x x )(x x )(x x ) y (x x )(x x )(x x ) (x x )(x x )(x x ) y (x x )(x x )(x x ) (x x )(x x )(x x ) (x x )(x x )(x x ) y (x x )(x x )(x x ) y (x x )(x x )(x x ) (x x )(x x )(x x ) [ y = (x x )(x x )(x x ) + y (x x )(x x )(x x ) y + (x x )(x x )(x x ) + y (x x )(x x )(x x ) (x + )x(x ) = ] (x x )(x x )(x x ) Q(x) P(x) = x + + x x + x = x + (x + )x(x ) x = = λx(x + )(x ) y Q(x) x x x P(x) x x Exercice 5 Construire le polynôme de LAGRANGE P qui interpole les trois points (,e), (,) et (,e) Sans faire de calculs, donner l expression du polynôme de LAGRANGE Q qui interpole les trois points (, ), (, ) et (, ) Trouver le polynôme de l espace vectoriel Vec, x, x } qui interpole les trois points (, ), (,) et (, ) CORRECTION DE L EXERCICE 5 Le polynôme d interpolation de LAGRANGE de degré n sur l ensemble des n + points (x i, y i )} n i= s écrit Ici n = donc on a n n p n (x) = y x x j i x i x j i= j = j i 8 G Faccanoni

83 Jeudi 5 juin 4 Interpolation y e P(x) (x x )(x x ) P(x) = y (x x )(x x ) + y (x x )(x x ) (x x )(x x ) + y (x x )(x x ) (x x )(x x ) = x(x ) (x + )x = e (x + )(x ) + e = = (e )x + x Il suffit de changer les coefficients y i dans l expression précédente : x(x ) Q(x) = (x + )x = x y Q(x) x Il s agit de trouver un polynôme p(x) qui soit combinaison linéaire des deux polynômes assignés (ie p(x) = α+βx + γx ) et qui interpole les trois points (, ), (,) et (, ) : p( ) =, p() =, p() =, α β + γ =, α =, α + β + γ =, d où α =, β = et γ = Le polynôme cherché est donc le polynôme p(x) = x En fait, il suffisait de remarquer que le polynôme Q Vec, x, x } pour conclure que le polynôme p cherché est Q lui même Exercice 6 Construire le polynôme de LAGRANGE P qui interpole les points (,), (,), (,) et (,) Soit Q le polynôme de LAGRANGE qui interpole les points (,), (,), (,) Montrer qu il existe un réel λ tel que : Q(x) P(x) = λ(x + )x(x ) CORRECTION DE L EXERCICE 6 (x i, y i )} n i= s écrit Ici n = donc on a Par construction Le polynôme d interpolation de LAGRANGE de degré n sur l ensemble des n + points i= n n p n (x) = y x x j i x i x j j = j i (x x )(x x )(x x ) P(x) = y (x x )(x x )(x x ) + y (x x )(x x )(x x ) (x x )(x x )(x x ) (x x )(x x )(x x ) + y (x x )(x x )(x x ) + y (x x )(x x )(x x ) (x x )(x x )(x x ) x(x )(x ) (x + )(x )(x ) = + 6 = 6 x + x + x + Q( ) = P( ), (x + )x(x ) (x + )x(x ) + = G Faccanoni 8

84 Interpolation Jeudi 5 juin 4 Q() = P(), Q() = P(), donc le polynôme Q(x) P(x) s annule en, en et en, ceci signifie qu il existe un polynôme R(x) tel que Q(x) P(x) = R(x)(x + )x(x ) Puisque P(x) a degré et Q(x) a degré, le polynôme Q(x) P(x) a degré, donc le polynôme R(x) qu on a mis en facteur a degré (ie R(x) est une constante) Si on n a pas remarqué ça, on peut tout de même faire tous les calculs : dans ce cas n = donc on a (x x )(x x ) Q(x) = y (x x )(x x ) + y (x x )(x x ) (x x )(x x ) + y (x x )(x x ) (x x )(x x ) x(x ) = (x + )(x ) + (x + )x = x + x + Ainsi [ (x x )(x x ) Q(x) P(x) = y (x x )(x x ) + y (x x )(x x ) (x x )(x x ) x x ] (x x )(x x ) + y x x (x x )(x x ) [ x x x x [ x x ] x x ] (x x )(x x )(x x ) y (x x )(x x )(x x ) (x x )(x x )(x x ) = y (x x )(x x )(x x ) y (x x )(x x )(x x ) (x x )(x x )(x x ) (x x )(x x )(x x ) y (x x )(x x )(x x ) y (x x )(x x )(x x ) (x x )(x x )(x x ) [ y = (x x )(x x )(x x ) + y (x x )(x x )(x x ) y + (x x )(x x )(x x ) + y (x x )(x x )(x x ) (x + )x(x ) = 6 ] (x x )(x x )(x x ) et λ = 6 Sinon directement Q(x) P(x) = x + x x x x = 6 x 6 x = 6 x(x ) = λx(x + )(x ) avec λ = 6 Q(x) y x P(x) x x x x 84 G Faccanoni

85 Jeudi 5 juin 4 Interpolation Exercice 7 Construire le polynôme de LAGRANGE P qui interpole les trois points (,α), (,β) et (,α) où α et β sont des réels Si α = β, donner le degré de P Montrer que P est pair Peut-on avoir P de degré? CORRECTION DE L EXERCICE 7 Construire le polynôme de LAGRANGE P qui interpole les trois points (,α), (,β) et (,α) où α et β sont des réels Le polynôme d interpolation de LAGRANGE de degré n sur l ensemble des n + points (x i, y i )} n i= s écrit i= n n p n (x) = y x x j i x i x j j = j i Ici n = donc on a (x x )(x x ) P(x) = y (x x )(x x ) + y (x x )(x x ) (x x )(x x ) + y (x x )(x x ) (x x )(x x ) + x(x ) (x + )(x ) = α + β (x + )x + α = = α x(x ) β(x + )(x ) + α x(x + ) = (α β)x + β Si α = β, P(x) = α qui est un polynôme de degré P( x) = P(x) donc P est pair Donc P ne peut pas être de degré car un polynôme de degré est de la forme a + a x qui ne peut pas être pair Exercice 8 Soit f : R R la fonction définie par f (x) = + x Calculer le polynôme p qui interpole f au point d abscisse x = Calculer le polynôme p qui interpole f aux points d abscisse x =, x = } Calculer le polynôme p qui interpole f aux points d abscisse x =, x =, x = } 4 Calculer le polynôme p qui interpole f aux points d abscisse x =, x =, x =, x = } 5 Pour n >, calculer les polynômes p n qui interpolent f aux points d abscisse x =, x =,, x n = n } CORRECTION DE L EXERCICE 8 On interpole l ensemble (,) } donc p (x) = On interpole l ensemble (,),(,) } donc p (x) = + x On interpole l ensemble (,),(,),(,9) } donc p (x) = x + x 4 f R [x] et comme il existe un seul polynôme de degré au plus qui interpole quatre points ce polynôme coïncide forcement avec f donc p f 5 f R n [x] pour tout n et comme il existe un seul polynôme de degré au plus qui interpole quatre points ce polynôme coïncide forcement avec f donc p n f pour n Exercice 9 Soit V n la matrice de VANDERMONDE : a a a n a a a n V n = a a a n a n an an n Quel est le lien entre cette matrice et l interpolation polynomiale de l ensemble de points (a i ;b i ) } n i=? G Faccanoni 85

86 Interpolation Jeudi 5 juin 4 CORRECTION DE L EXERCICE 9 Soit p(x) = n i= c i x i le seul polynôme de degré n qui interpole l ensemble de (n + ) points (a i ;b i ) } n i=, ie b i = p(a i ) = n i= c i a i Alors le vecteur c = (c,c,,c n ) T est solution du système linéaire Vc = b Exercice Vérifier que le polynôme d interpolation d HERMITE d une fonction f en un point coïncide avec le polynôme de TAYLOR d ordre de f en ce point CORRECTION DE L EXERCICE Le polynôme d interpolation d HERMITE en un point (x, f (x ), f (x )) est l unique polynôme q R [x] qui vérifie q(x ) = f (x ) et q (x ) = f (x ) On cherche alors a et a tels que q(x) = a + a x : q(x ) = f (x ), q (x ) = f (x ), donc q(x) = f (x ) + (x x )f (x ) a + a x = f (x ), a = f (x ), a = f (x ) x f (x ), a = f (x ), Exercice Soit f une fonction de classe C et x D f le domaine de définition de f Soit l le polynôme d interpolation de LA- GRANGE de f en x et h le polynôme d interpolation d HERMITE en x Calculer h(x) l(x) CORRECTION DE L EXERCICE Le polynôme d interpolation de LAGRANGE de f en x est l unique polynôme l R [x] qui vérifie l(x ) = f (x ), donc l(x) = f (x ) Le polynôme d interpolation d HERMITE de f en x est l unique polynôme h R [x] qui vérifie h(x ) = f (x ) et h (x ) = f (x ) On cherche alors a et a tels que h(x) = a + a x : h(x ) = f (x ), h (x ) = f (x ), a + a x = f (x ), a = f (x ), a = f (x ) x f (x ), a = f (x ), donc h(x) = f (x ) + (x x )f (x ) et h(x) l(x) = f (x ) + (x x )f (x ) f (x ) = (x x )f (x ) Exercice Soit f : R R une fonction de classe C (R) qui s annule au moins une fois et dont la dérivée ne s annule pas Soit x D f donné Pour i N construisons la suite (x i ) i comme suit : x i+ est la racine du polynôme interpolateur d HERMITE de f en x i Quelle méthode reconnait-on? Justifier la réponse CORRECTION DE L EXERCICE Le polynôme d HERMITE d une fonction f en x i a équation q(x) = f (x i )+(x x i )f (x i ) : il s agit de la droite tangente au graphe de f en x i On cherche x i+ tel que f (x i ) + (x x i )f (x i ) =, d où x i+ = x i f (x i ) f (x i ) On a alors la suite définie par récurrence x donnée, x i+ = x i f (x i ) f (x i ), qui correspond à la méthode de NEWTON pour l approximation de la racine de f Exercice Soit f une fonction de classe C ([,]) et p le polynôme interpolateur d HERMITE (de degré ) de f vérifiant Écrire le polynôme p p( ) = f ( ), p ( ) = f ( ), p() = f (), p () = f () CORRECTION DE L EXERCICE On a deux points d interpolation (n = ), on cherche alors un polynôme de R [x] On a deux méthodes pour calculer le polynôme interpolateur d HERMITE : Première méthode : le polynôme interpolateur d HERMITE s écrit n [ p(x) = yi ( (x x i )c i ) + y i i= (x x i ) ] n (x x j ) (x i x j ) j = j i où c i = n x i x j j = j i 86 G Faccanoni

87 Jeudi 5 juin 4 Interpolation Pour n = on a alors ( ))( ) (x x ) ( ) (x p(x) = y ( (x x ) + y x x (x x ) (x x x ) ) (x x ) ( ))( ) (x x ) ( ) (x + y ( (x x ) + y x x (x x ) (x x x ) ) (x x ) Dans notre cas x =, x =, y = f ( ), y = f (), y = f ( ), y = f () donc p(x) = 4 = 4 [ f ( )(x + )(x ) + f ( )(x + )(x ) + f ()( x)(x + ) + f ()(x )(x + ) ] [ ] f ( )(x x + ) + f ( )(x x x + ) + f ()( x + x + ) + f ()(x + x x ) = f ( ) + f ( ) + f () f () 4 + f () f ( ) 4 + f () f ( ) f ( ) f () x 4 x + f ( ) + f ( ) f () + f () x 4 Le polynôme interpolateur d HERMITE est donc le polynôme où α = f ( ) + f () + f ( ) f () 4 γ = f ( ) + f () 4 p(x) = α + βx + γx + δx, β = f ( ) + f () f ( ) f (), 4, δ = f ( ) f () + f ( ) + f () 4 Deuxième méthode : le polynôme interpolateur d HERMITE est un polynôme de degré n + On cherche donc un polynôme p(x) = α + βx + γx + δx tel que c est-à-dire tel que p( ) = f ( ), p ( ) = f ( ), p() = f (), p () = f (), α β + γ δ = f ( ), α + β + γ + δ = f (), β γ + δ = f ( ), β + γ + δ = f () En utilisant la méthode d élimination de GAUSS on obtient : [A b] = f ( ) f () f ( ) f () L L L L L L f ( ) L 4 L 4 L f () f ( ) f ( ) f () f () f ( ) f () f ( ) f ( ) f () f ( ) f ( ) f () f ( ) L 4 L 4 +L f () f ( ) f f () f ( ) ( ) 4 f () + f ( ) f () + f ( ) ainsi α = f ( ) + f () + f ( ) f () 4 γ = f ( ) + f () 4, β = f ( ) + f () f ( ) f (), 4, δ = f ( ) f () + f ( ) + f () 4 G Faccanoni 87

88 Interpolation Jeudi 5 juin 4 Exercice 4 Construire le polynôme de LAGRANGE p qui interpole les points (,), (,), (,) et (,) Construire l ensemble des polynômes de degré 4 qui interpolent les points (,), (,), (,) et (,) Construire le polynôme d HERMITE Q qui interpole les points (,,) et (,, ) CORRECTION DE L EXERCICE 4 Le polynôme d interpolation de LAGRANGE de degré n sur l ensemble des n + points (x i, y i )} n i= s écrit Ici n = et y i = pour i =,,, donc p (x) = i= n n p n (x) = y x x j i x i x j Comme les points donnés appartiennent tous à la droite d équation y =, il s agit de construire les polynômes de degré 4 qui ont 4 racines réelles distinctes x, x, x, x 4 } Ils sont tous de la forme r a (x) = a(x x )(x x )(x x )(x x 4 ) ; ici donc r a (x) = a(x + )x(x )(x ) = a(x 4 x x + x) Étant donné n+ points distincts x,, x n et n+ couples correspondantes (y, y ),,(y n, y n ), le polynôme d HERMITE Q de degré N = n + tel que Q(x i ) = y i et Q (x i ) = y, pour i =,n s écrit i L i (x) = n x x j Q(x) = n y i A i (x) + y i B i (x) R N [x] i= Ici n = et le polynôme d HERMITE s écrit j = j i où c i = n j = j i j = j i x i x j, x i x, j A i (x) = ( (x x i )c i )(L i (x)), B i (x) = (x x i )(L i (x)) Q(x) = y A + y B + y A + y B = B B ( ) x ( ) x x ( ) x x ( x + = (x x ) (x x ) = (x + ) (x ) x x x x = (x ) (x + ) (x )(x + ) (x )(x + ) = = x + x Si on a oublié la formule, il suffit de remarquer qu on cherche un polynôme de degré qui a comme racines et et donc qui s écrit Q(x) = (x + )(x )(ax + b) = ax + ( a + b)x + ( b a)x b ; de plus on sait que Q ( ) = et Q () =, on trouve alors a et b en résolvant le système linéaire ) a( ) + ( a + b)( ) + ( b a) =, a() + ( a + b)() + ( b a) =, a + a b b a =, a 4a + 4b b a =, a =, b = / On obtient le polynôme Q(x) = (x+)(x ) Une autre idée pour calculer le polynôme Q sans utiliser la formule ni la remarque précédente est de calculer directement le polynôme selon la définition : on cherche un polynôme de degré, donc de la forme Q(x) = a +a x +a x + a x, qui vérifie Q( ) =, Q() =, Q ( ) = et Q () = On doit alors résoudre le système linéaire a a +a a x = a +a +4a +8a x = qu on peut réécrire sous la forme Aa = b avec a a +a x = a +4a +a x = a A = 4 8, a = a a et b = 4 a 88 G Faccanoni

89 Jeudi 5 juin 4 Interpolation On utilise la méthode d élimination de GAUSS : (A b) = L L L L L L / L 4 L 4 L / L 4 L 4 +L 9 9 et finalement on obtient a =, a =, a =, a =, d où Q(x) = x + x + y y = x + r a (x) x p (x) Q(x) y = x + Exercice 5 Montrer qu il n existe aucun polynôme p de R [x] tel que p( ) =, p ( ) =, p () =, p() = CORRECTION DE L EXERCICE 5 Si on écrit p(x) = a + a x + a x + a x, on cherche quatre coefficients a, a, a, a solution du système linéaire a a a = 4 8 a Comme rg =, 4 8 rg = 4, 4 8 le système linéaire n admet pas de solutions (On arrive à la même conclusion en utilisant la méthode du pivot de GAUSS) Exercice 6 L espérance de vie dans un pays a évoluée dans le temps selon le tableau suivant : Année Espérance 7,8 74, 75, 76,4 Utiliser l interpolation de LAGRANGE pour estimer l espérance de vie en 977, 98 et 988 La comparer avec une interpolation linéaire par morceaux G Faccanoni 89

90 Interpolation Jeudi 5 juin 4 CORRECTION DE L EXERCICE 6 (x i, y i )} n i= s écrit Le polynôme d interpolation de LAGRANGE de degré n sur l ensemble des n + points i= n n p n (x) = y x x j i x i x j Ici n = et si on choisit de poser x = pour l année 975, x = 5 pour l année 98 etc, on a j = j i (x x )(x x )(x x ) P(x) = y (x x )(x x )(x x ) + y (x x )(x x )(x x ) (x x )(x x )(x x ) (x x )(x x )(x x ) + y (x x )(x x )(x x ) + y (x x )(x x )(x x ) (x x )(x x )(x x ) = On a alors que (x 5)(x )(x 5) (x )(x )(x 5) = 7,8 + 74, ( 5)( )( 5) (5 )(5 )(5 5) (x )(x 5)(x 5) (x )(x 5)(x ) + 75, + 76,4 ( )( 5)( 5) (5 )(5 5)(5 ) = 7,8(x 5)(x )(x 5) + 74,x(x )(x 5) 75,x(x 5)(x 5) + 76,4x(x 5)(x ) = 75 l espérance de vie en 977 correspond à P() = 7,45, l espérance de vie en 98 correspond à P(8) = 74,8, l espérance de vie en 988 correspond à P() = 75,86 Si on considère une interpolation linéaire par morceaux (splines de degré ) ; on obtient que l espérance de vie est sousestimé en 977 et sur-estimé en 988 par rapport à l interpolation précédente car l espérance de vie en 977 correspond à 74, 7,8 5 l espérance de vie en 98 correspond à 75, 74, 5 l espérance de vie en 988 correspond à 76,4 74, 5 75,86 74,8 y 76,4 75, 74, + 7,8 = 7,6 < P(), 8 + 7, = 74,8 P(8), + 7,8 = 75,9 > P() P(x) 7,45 7, x Exercice 7 Pour calculer le zéro d une fonction y = f (x) inversible sur un intervalle [a;b] on peut utiliser l interpolation : après avoir évalué f sur une discrétisation x i de [a;b], on interpole l ensemble (y i, x i ) } n i= et on obtient un polynôme x = p(y) tel que f (x) = x = p() Utiliser cette méthode pour évaluer l unique racine α de la fonction f (x) = e x dans l intervalle [;] avec trois points d interpolation Comparer ensuite le résultat obtenu avec l approximation du zéro de f obtenue par la méthode de Newton en itérations à partir de x = CORRECTION DE L EXERCICE 7 Calculons d abord les valeurs à interpoler i x i y i e e 9 G Faccanoni

91 Jeudi 5 juin 4 Interpolation Le polynôme d interpolation de LAGRANGE de degré n sur l ensemble des n + points (y i, x i )} n i= s écrit Ici n = donc on a i= n n p n (y) = x y y j i y i y j (y y )(y y ) p(y) = x (y y )(y y ) + x (y y )(y y ) (y y )(y y ) + x (y y )(y y ) (y y )(y y ) = (y + )(y e + ) ( e + )( e e + ) + (y + )(y e + ) (e + )(e e + ) Par conséquent une approximation de la racine de f est p() = La méthode de Newton s écrit x =, j = j i e+ ( e +)( e e+) + e+ (e +)(e e+) on obtient ainsi la suite x k+ = x k e x k e x k = x k + e x k, k x k e e e e e Remarque : comme il n y a que trois points d interpolation, on pourrait calculer directement le polynôme interpolateur de f plutôt que de sa fonction réciproque et chercher les zéros de ce polynôme directement car il s agit d un polynôme de degré Cependant cette idée ne peut pas être généralisée au cas de plus de trois points d interpolation car on ne connait pas de formule générale pour le calcul des zéros d un polynôme de degré n Exercice 8 Soit f une fonction continue dont on connait les valeurs uniquement pour t entier, c est-à-dire on suppose connues les valeurs f (κ) pour tout κ Z Si t R \ Z, on définit une approximation p(t) de f (t) en interpolant la fonction f par un polynôme de degré aux quatre points entiers les plus proches de t Calculer p(t) et écrire un algorithme qui fournit p(t) CORRECTION DE L EXERCICE 8 p interpolant les points Soit l = E[t] la partie entière de t Alors t [l;l + ] et il s agit de définir le polynôme ce qui donne Require: f : Z R, t κ E[t] x κ P(t) = (κ, f (κ )), (κ, f (κ)), (κ +, f (κ + )), (κ +, f (κ + )), f (κ + i ) t (κ + j ) (κ + i ) (κ + j ) = f (κ + i ) t κ + j i j i= j = j i f (κ ) = (t κ)(t κ )(t κ ) + f (κ) (t κ + )(t κ )(t κ ) 6 f (κ + ) f (κ + ) (t κ + )(t κ)(t κ ) + (t κ + )(t κ)(t κ ) 6 Pour tout nombre réel x, la partie entière notée E(x) est le plus grand entier relatif inférieur ou égal à x Par exemple, E() =, E( ) = et E( ) = La fonction partie entière est aussi notée [x] (ou x par les anglo-saxons) On a toujours E(x) x < E(x) + avec égalité si et seulement si x est un entier relatif Pour tout entier relatif k et et pour tout nombre réel x, on a E(x + k) = E(x) + k L arrondi à l entier le plus proche d un réel x peut être exprimé par E(x + 5) i= j = j i G Faccanoni 9

92 Interpolation Jeudi 5 juin 4 x κ x κ + x κ + y for i = to do L for j = to do if j i then L t x j x i x j L end if end for y y + f (x i ) L end for return y Exercice 9 Calculer le polynôme p de LAGRANGE qui interpole la fonction f (x) = 4 x aux points d abscisse x =, x = et x = 4 Esquisser les graphes de f et de p pour x [,4] Vérifier que l erreur ε(x) f (x) p(x) prend sa valeur maximale en un unique point x dans l intervalle [,4] Calculer ensuite x à près (on pourra utiliser la méthode de dichotomie) Comparer la fonction ε avec l estimation théorique de l erreur CORRECTION DE L EXERCICE 9 f est une hyperbole et p est la parabole qui passe par les points (,4), (,) et (4,) : p(x) = x 7 x + 7 y 4 p f 4 x On a ε(x) f (x) p(x) = 4 x 7+ 7 x x Comme ε (x) = 7 x 4, il s agit de trouver x tel que ε (x) = Une simple x comparaison des graphes des fonctions u : x 7 4 x et v : x montre que ε (x) = admet une solution dans x l intervalle [,] et une solution dans l intervalle [,4] (en effet, ε () = u() v() = 5 4 <, ε () = u() v() = 5 > et ε (4) = u(4) v(4) < ) On a ε (x) = +8/x : l erreur étant convexe pour x < et concave pour x >, on conclut qu elle prend sa valeur maximale pour x = x [,4] On( cherche ( alors )) x [,4] tel que ε ( x) = par la méthode de dichotomie Pour que l erreur soit inférieur à, il faut E log 4 + = E ( log () + log (5) ) + = 5 étapes : k 4 5 [ ] [ ] [ ] [ [a k,b k ] [,4] [,4], 7, 4, , 5 ] 8 l k 7 4 b k a k > > 5 > 5 > 5 > 65 < L erreur prend sa valeur maximale pour x 99 = 975 et vaut ε( x) Comparons ce résultat avec l estimation théorique de l erreur : n = et f est de classe C ([,4]), donc pour tout x [,] il existe ξ x [,4] tel que ε théorique (x) = f (ξ x ) (x )(x )(x 4) =! ξ 4 (x 7x + 4x 8) x Comme ε(x) = 4 x x x, on obtient ε théorique = ε ssi ξ x = 4 6x G Faccanoni

93 Quadrature Calculer b a f (x) dx où f est une fonction donnée Dans ce chapitre on va étudier des méthodes pour approcher les intégrales de fonctions On sait bien qu il n est pas toujours possible, pour une fonction arbitraire, de trouver la forme explicite d une primitive Par exemple, comment peut-on tracer le graphe de la fonction erf (appelée fonction d erreur de GAUSS) définie comme suit? erf: R R x x e t dt π Mais même quand on la connaît, il est parfois difficile de l utiliser C est par exemple le cas de la fonction f (x) = cos(4x)cos(sin(x)) pour laquelle on a π f (x) dx = π 8 ( 9/4) k 6 k!(k + 4)! ; on voit que le calcul de l intégrale est transformé en un calcul, aussi difficile, de la somme d une série Dans certains cas, la fonction à intégrer n est connue que par les valeurs qu elle prend sur un ensemble fini de points (par exemple, des mesures expérimentales) On se trouve alors dans la même situation que celle abordée au chapitre précédent pour l approximation des fonctions Dans tous ces cas, il faut considérer des méthodes numériques afin d approcher la quantité à laquelle on s intéresse, indépendamment de la difficulté à intégrer la fonction Dans les méthodes d intégration, l intégrale d une fonction f continue sur un intervalle borné [a, b] est remplacée par une somme finie Le choix de la subdivision de l intervalle d intégration et celui des coefficients qui interviennent dans la somme approchant l intégrale sont des critères essentiels pour minimiser l erreur Ces méthodes se répartissent en deux grandes catégories : les méthodes composées dans lesquelles la fonction est remplacée par un polynôme d interpolation sur chaque intervalle élémentaire [x i, x i+ ] de la subdivision de [a,b] (ie [a,b] = i [x i, x i+ ]) et les méthodes de GAUSS fondées sur les polynômes orthogonaux pour lesquelles les points de la subdivision sont imposés k= Principes généraux Soit f une fonction réelle intégrable sur l intervalle [a;b] Le calcul explicite de l intégrale définie I [a;b] (f ) b a f (x)dx peut être difficile, voire impossible On appelle formule de quadrature ou formule d intégration numérique toute formule permettant de calculer une approximation de I [a;b] (f ) Une possibilité consiste à remplacer f par une approximation f et calculer I [a;b] ( f ) au lieu de I [a;b] (f ) En posant Ĩ [a;b] (f ) I [a;b] ( f ), on définit b Ĩ [a;b] (f ) f (x)dx a Si f est de classe C sur [a;b], l erreur de quadrature E [a;b] (f ) Ĩ [a;b] (f ) I [a;b] (f ) satisfait E [a;b] (f ) = b a f (x) f b (x)dx f (x) f (x) dx (b a) max f (x) f (x) x [a;b] a L approximation f doit être facilement intégrable, ce qui est le cas si, par exemple, f est un polynôme Une approche naturelle consiste à prendre f = n i= f (x i )L i (x), le polynôme d interpolation de LAGRANGE de f sur un ensemble de n + nœuds distincts x i } i=n Ainsi on aura i= I [a;b] (f ) Ĩ [a;b] (f ) = n i= ( f (x i ) b a ) L i (x)dx où L i (x) = n x x j x i x j j = j i 9

94 Quadrature Jeudi 5 juin 4 Il s agit d un cas particulier de la formule de quadrature suivante Ĩ [a;b] (f ) = n α i f (x i ) i= qui est une somme pondérée des valeurs de f aux points x i : on dit que ces points sont les nœuds de la formule de quadrature et que les nombres α i R sont les coefficients ou encore les poids La formule de quadrature de LAGRANGE peut être généralisée au cas où on connaît les valeurs de la dérivée de f : ceci conduit à la formule de quadrature d HERMITE Les formules de LAGRANGE et d HERMITE sont toutes les deux des formules de quadrature interpolatoires, car la fonction f est remplacée par son polynôme d interpolation Définition Degré d exactitude On définit le degré de précision (ou d exactitude) d une formule de quadrature comme le plus grand entier r pour lequel la valeur approchée de l intégrale (obtenue avec la formule de quadrature) d un polynôme de degré r est égale à la valeur exacte, ie Ĩ [a;b] (q) = I [a;b] (q) pour tout polynôme q R r [x] Autrement dit, une formule de quadrature est dite d ordre r si elle est exacte sur R r [x] et inexacte pour au moins un polynôme de degré strictement supérieur à r Astuce Pour vérifier qu une formule de quadrature est d ordre r il suffit de vérifier qu elle est exacte sur une base de R r [x] (par exemple la base canonique) et inexacte pour un polynôme de degré r + (par exemple le polynôme x r + ) En effet, si q est un polynôme de R r [x], il existe α,α,,α r tels que q(x) = r k= α k x k Alors I [a;b] (q) = b a q(x) dx = r ( b (α k k= a )) x k dx = r k= ( ) α k I [a;b] (x k ) Pour vérifier qu une formule de quadrature Ĩ [a;b] a degré de précision r il suffit alors de vérifier que Ĩ [a;b] (x k ) = I [a;b] (x k ) pour tout k = r Théorème Toute formule de quadrature interpolatoire utilisant n + nœuds distincts a un degré de précision au moins égale à n En effet, si f R n [x], alors le polynôme d interpolation coïncide avec f La réciproque aussi est vraie : une formule de quadrature utilisant n + nœuds distincts et ayant un degré de précision au moins égale à n est nécessairement de type interpolatoire Le degré de précision peut même atteindre n + dans le cas des formules de quadrature de GAUSS Définition Stabilité Une formule de quadrature Ĩ [a;b] (f ) = n i= α i f (x i ) est dite stable s il existe M R + tel que n i= α i M Théorème Une méthode de quadrature de type interpolation est convergente sur C [a;b] ssi les formules sont stables Définition Formule de quadrature composite On décompose l intervalle d intégration [a;b] en m sous-intervalles [y j ; y j + ] tels que y j = a + j H où H = b a } m pour j =,,,m On utilise alors sur chaque sous-intervalle une formule interpolatoire de nœuds x (j ) n et de poids k } k= n (généralement la même formule sur chaque sous-intervalle) Puisque α (j ) k k= b I [a;b] (f ) = f (x)dx = a m j = y j + y j f (x)dx = m j = I [y j ;y j + ](f ), une formule de quadrature interpolatoire composite est obtenue en remplaçant I [a;b] (f ) par où I [y j ;y j + ](f ) Ĩ (j ) (f ) [y j ;y j + ] m j = Ĩ (j ) m [y j ;y j + ] (f ) = n j = k= α (j ) k f (x(j ) k ) 94 G Faccanoni

95 Jeudi 5 juin 4 Quadrature Souvent on définit d abord une formule de quadrature sur l intervalle [;] ou sur l intervalle [ ;] et puis on la généralise à l intervalle [x i ; x i+ ] par un changement de variable affine Astuce Changement de variable affine Soit x [a;b] et soit y [c;d] On considère une fonction de classe C ([a;b]) g : [a;b] [c;d] x y = g (x) qui envoie l intervalle [a;b] dans l intervalle [c;d], c est-à-dire telle que g (a) = c, g (c) = d On a alors d c b f (y)dy = f (g (x))g (x) dx a Si g (x) est une constante, ie si g est une transformation affine g (x) = mx + q, alors d c b f (y)dy = m f (mx + q)dx a Par conséquent, si b a f (t) dt n i= α i f (t i ) alors b a f (mx + q) dx n i= α i f (mx i + q) Pour déterminer cette transformation affine, on doit résoudre le système linéaire g (a) = c, g (c) = d, ie ma + q = c, mb + q = d On obtient m = d c b a, cb ad q = b a G Faccanoni 95

96 Quadrature Jeudi 5 juin 4 y a d y = mx + q c b x Par conséquent y = d c cb ad x + b a b a d où d f (y)dy = d c b ( ) d c cb ad f x + dx b a a b a b a c Exemple Transformer l intervalle [;] dans l intervalle [x i ; x i+ ] par un changement de variable affine On a y = (x i+ x i )x + x i et f (y)dy = (x i+ x i ) f ((x i+ x i )x + x i )dx x i xi+ Transformer l intervalle [ ;] dans l intervalle [x i ; x i+ ] par un changement de variable affine On a y = x i+ x i x + x i++x i, qu on peut réécrire y = x i + ( + x) x i+ x i et xi+ x i f (y)dy = x i+ x i f ( x i + ( + x) x i+ x ) i dx Exemples de formules de quadrature interpolatoires Définition Formule du rectangle à gauche Formule de base La formule du rectangle à gauche est obtenue en remplaçant f par une constante égale à la valeur de f en la borne gauche de l intervalle [a;b] (polynôme qui interpole f en le point (a, f (a)) et donc de degré ), ce qui donne b I [a;b] (f ) I [a;b] ( f ) = I [a;b] (f (a)) = f (a) dx = (b a)f (a) a Erreur Si f C ([a;b]) alors il existe η ]a;b[ tel que f (x) = f (a) + (x a)f (η) et donc l erreur de quadrature est majorée par E [a;b] (f ) = = b a b a f (x) f b (x) dx = f (x) f (b) dx a (x a)f (η) dx Degré Le degré de précision de la formule du rectangle à gauche est (b a) = f (b a) (η) max f (x) [a;b] Formule composite On décompose l intervalle d intégration [a;b] en m sous-intervalles de largeur H = b a m avec m En introduisant les nœuds de quadrature x k = a+kh pour k =,,,m on obtient la formule composite du rectangle à gauche I m [a;b] ( f m ) = I [xk ;x k+ ]( f m m ) = H f (x k ) = H f (a + kh) Erreur Si f C ([a;b]) alors l erreur de quadrature est majorée par k= E m m [a;b] (f ) = k= k= E [xk ;x k+ ](f ) m H k= max [a;b] f (x) = b a H max [a;b] f (x) 96 G Faccanoni

97 Jeudi 5 juin 4 Quadrature Définition Formule du rectangle à droite Formule de base La formule du rectangle à droite est obtenue en remplaçant f par une constante égale à la valeur de f en la borne droite de l intervalle [a;b] (polynôme qui interpole f en le point (b, f (b)) et donc de degré ), ce qui donne b I [a;b] (f ) I [a;b] ( f ) = I [a;b] (f (b)) = f (b) dx = (b a)f (b) a Erreur Si f C ([a;b]) alors il existe η ]a;b[ tel que f (x) = f (b) + (x b)f (η) et donc l erreur de quadrature est majorée par E [a;b] (f ) = = b a b a f (x) f b (x) dx = f (x) f (b) dx a (x b)f (η) dx Degré Le degré de précision de la formule du rectangle à droite est (b a) = f (b a) (η) max f (x) [a;b] Formule composite On décompose maintenant l intervalle d intégration [a; b] en m sous-intervalles de largeur H = b a m avec m En introduisant les nœuds de quadrature x k = a + (k + )H pour k =,,,m on obtient la formule composite du rectangle à droite I m [a;b] ( f m ) = k= I [xk ;x k+ ]( f m ) = H k= m f (x k+ ) = H Erreur Si f C ([a;b]) alors l erreur de quadrature est majorée par E m m [a;b] (f ) = k= E [xk ;x k+ ](f ) m H k= f (a + (k + )H) max [a;b] f (x) = b a H max [a;b] f (x) Définition Formule du rectangle ou du point milieu Formule de base La formule du rectangle ou du point milieu est obtenue en( remplaçant ( )) f par une constante égale à la valeur de f au milieu de [a;b] (polynôme qui interpole f en le point a+b, f a+b et donc de degré ), ce qui donne I [a;b] (f ) I [a;b] ( f ) = I [a;b] (f ( )) b a+b = Erreur Si f C ([a;b]) alors il existe η ]a;b[ tel que f (x) = f l erreur de quadrature est majorée par E [a;b] (f ) = = b a b a = f (η) f (x) f (x) dx ( ) f (x) f a+b b ( dx = b a ( x a+b a a f ( a+b x a+b Degré Le degré de précision de la formule du point milieu est ( ) a+b dx = (b a)f ( ) ) + x a+b f ( a+b ( ) a+b ( ) + x a+b ) ( ) ( ) f a+b + x a+b f (η) dx ) dx = f (η) (b a) (b a) 4 max f (x) [a;b] ) f (η) et donc Formule composite On décompose maintenant l intervalle d intégration [a; b] en m sous-intervalles de largeur H = b a m avec m En introduisant les nœuds de quadrature x k = a + k H pour k =,,,m (ie chaque sousintervalle [x k ; x k+ ] a largeur H et donc x k+ est sont point milieu), on obtient la formule composite du point milieu I m [a;b] ( f m ) = I [xk ;x k+ ]( f m m ) = (x k+ x k )f (x k+ ) = H f ( a + (k + ) H ) k= Erreur Si f C ([a;b]) alors l erreur de quadrature est majorée par E m m [a;b] (f ) = k= k= E [xk ;x k+ ](f ) m H k= 4 max [a;b] f (x) = b a 4 H max [a;b] f (x) G Faccanoni 97

98 Quadrature Jeudi 5 juin 4 Définition Formule du trapèze Formule de base La formule du trapèze est obtenue en remplaçant f par le segment qui relie (a, f (a)) à (b, f (b)) (polynôme qui interpole f en les points (a, f (a)) et (b, f (b)) et donc de degré ), ce qui donne I [a;b] (f ) I [a;b] ( f ( f (b) f (a) ) = I [a;b] b a ) b (x a) + f (a) = a f (b) f (a) b a (x a) + f (a) dx = b a ( ) f (a) + f (b) Erreur Si f C ([a;b]) alors il existe η ]a;b[ tel que f (x) f (x) = f (η) ω (x) = f (η) (x a)(x b) et donc l erreur de quadrature est majorée par E [a;b] (f ) = b a f (x) f b (x) dx = f (η) b a a (x a)(x b) dx f (η) (x a)(x b) dx = f (η) (b a) 6 (b a) max f (x) [a;b] Degré Le degré de précision de la formule du point milieu est, comme celle du point milieu Formule composite Pour obtenir la formule du trapèze composite, on décompose l intervalle d intégration [a; b] en m sous-intervalles de largeur H = b a m avec m En introduisant les nœuds de quadrature x k = a + kh pour k =,,, m on obtient la formule composite des trapèzes I m [a;b] ( f m ) = k= = H I [xk ;x k+ ]( f ) = m k= m k= ( f (xk ) + f (x k+ ) ) = H x k+ x k ( f (xk ) + f (x k+ ) ) ( Erreur Si f C ([a;b]) alors l erreur de quadrature est majorée par E m m [a;b] (f ) = k= E [xk ;x k+ ](f ) m H m f (a) + f (a + kh) + ) f (b) k= max [a;b] f (x) = b a H max [a;b] f (x) Définition Formule de Cavalieri-Simpson Formule de base La formule de Cavalieri-Simpson est obtenue en remplaçant f par la parabole qui interpole f en a, en b et en a+b (donc un polynôme de degré ), ce qui donne ( ( I [a;b] (f ) I [a;b] ( f ) = I [a;b] ( b = a = b a 6 x a+b ) (x b) a a+b ) (a b) ( x a+b ) (x b) ( a a+b ) (a b) ( f (a) + 4f f (a) + f (a) + ( a + b (x a)(x b) ( )( ) a+b a+b f a b (x a)(x b) ( )( ) a+b a+b f a b ) + f (b) ) ( a+b ( a+b x a+b ) ( (b a) b a+b ( x a+b ) ( (b a) b a+b ( ) + (x a) ) + (x a) ) f (b) ) f (b) dx ) Erreur Si f C 4 ([a;b]) on peut démontrer que l erreur de quadrature est majorée par E [a;b] (f ) Degré Le degré de précision de la formule du point milieu est (b a)5 88 max [a;b] f (IV ) (x) Formule composite On décompose maintenant l intervalle d intégration [a; b] en m sous-intervalles de largeur H = b a m avec m En introduisant les nœuds de quadrature x k = a + k H pour k =,,,m (ie chaque sousintervalle [x k ; x k+ ] a largeur H et donc x k+ est sont point milieu), on obtient la formule composite de Cavalieri- Simpson I m [a;b] ( f m ) = k= I [xk ;x k+ ]( f ) = m k= x k+ x k 6 ( f (xk ) + 4f (x k+ ) + f (x k+ ) ) 98 G Faccanoni

99 Jeudi 5 juin 4 Quadrature = H 6 ( = H 6 ( = H 6 m k= ( f (xk ) + 4f (x k+ ) + f (x k+ ) ) m f (a) + f (b) + k= m f (a) + f (b) + k= m f (x k ) + 4 k= f (x k+ ) m f (a + kh) + 4 Erreur Si f C 4 ([a;b]) alors l erreur de quadrature est majorée par Algorithmes E m m [a;b] (f ) = k= E [xk ;x k+ ](f ) m H 5 k= ) f ( a + ( k + ) H ) ) 88 max [a;b] f (x) = b a 88 H 4 max [a;b] f (x) MÉTHODE DU RECTANGLE À GAUCHE Require: a ; b > a ; m > ; f : [a;b] R H b a m s for k = to m do s s + f (a + kh) end for return I H s MÉTHODE DU POINT MILIEU Require: a ; b > a ; m > ; f : [a;b] R H b a m s for k = to m do s s + f ( a + ( k + ) ) H end for return I H s MÉTHODE DU RECTANGLE À DROITE Require: a ; b > a ; m > ; f : [a;b] R H b a m s for k = to m do s s + f (a + (k + )H) end for return I H s MÉTHODE DES TRAPÈZES Require: a ; b > a ; m > ; f : [a;b] R H b a m f (a)+f (b) s for k = to m do s s + f (a + kh) end for return I H s MÉTHODE DE SIMPSON Require: a ; b > a ; m > ; f : [a;b] R H b a m s f (a) + f (b) + 4f ( a + H ) for k = to m do s s + f (a + kh) + f ( a + ( k + ) ) H end for return I H 6 s G Faccanoni 99

100 Quadrature Jeudi 5 juin 4 a b x (a) Formule du rectangle à gauche x = a x x x x4 = b x (b) Formule du rectangle à gauche composite a b x (c) Formule du rectangle à droite x = a x x x x4 = b x (d) Formule du rectangle à droite composite a a+b b x x x x 5 x 7 x = a x x 4 x 6 x8 = b x (e) Formule du point milieu (f) Formule du point milieu composite a b x (g) Formule du trapèze x = a x x x x4 = b x (h) Formule du trapèze composite a a+b b x x = a x x x x4 = b x (i) Formule de Cavalieri-Simpson (j) Formule de Cavalieri-Simpson composite FIGURE : Exemples de formules de quadrature G Faccanoni

101 Jeudi 5 juin 4 Quadrature Approximation de dérivées Soit f : R R une fonction de classe C (R), x i R et f sa dérivée On sait que Une idée naturelle pour calculer numériquement f (x i ) consiste donc à se donner une valeur de h positive assez petite et à calculer f f (x i + h) f (x i ) (x i ) = lim h h f (x i ) f (x i h) = lim h h f (x i + h/) f (x i h/) = lim h h y f (x i ) δ + h f (x i ) f (x i + h) f (x i ), () h f (x i ) δ h f (x i ) f (x i ) f (x i h), () h f (x i ) δ h f (x i ) f (x i + h) f (x i h), () h f (x i + h) f (x i ) f (x) On les appelles taux d accroissement ou différences finies à droite (ou progressive) δ + h, à gauche (ou rétrograde) δ h, centrée δ h f (x i h) x i h h x i h x i + h x Si f est de classe C, en écrivant le développement de TAYLOR de f en x autour du point x i on obtient f (x i + h) f (x i ) h f (x i ) f (x i h) h f (x i + h) f (x i h) h f (x i ± h) = f (x i ) ± h f (x i ) + h f (x i ) +O(h ), = f (x i ) + h f (x i ) + h f (x i ) +O((h) ) f (x i ) h = f (x i ) f (x i ) + h f (x i ) h f (x i ) +O(h ) h = f (x i ) +O(h), = f (x i ) +O(h), = f (x i ) + h f (x i ) + (h) f (x i ) +O(h ) f (x i ) + h f (x i ) (h) f (x i ) h = f (x i ) +O(h ) Donc, si f est assez régulière, les différences finies convergent vers f (x i ) lorsque h tend vers zéro De plus, pour les différences finies à gauche et à droite la convergence est d ordre alors que la différence finie centrée converge à l ordre Exemple On compare pour différentes valeurs de h les valeurs données par ces trois formules pour la dérivée de la fonction sinus en : from math import * def DFgauche(f,x,h): 4 return (f(x+h)-f(x))/h 5 6 def DFdroite(f,x,h): 7 return (f(x)-f(x-h))/h 8 9 def DFcentree(f,x,h): return (f(x+5*h)-f(x-5*h))/h # TEST def f(x): 4 return sin(x) 5 6 x = 7 for i in range(,): G Faccanoni

102 Quadrature Jeudi 5 juin 4 8 h = **(-i) 9 dfg = DFgauche(f,x,h) dfd = DFdroite(f,x,h) dfc = DFcentree(f,x,h) print "%5e %75f %75f %75f" %(h, dfg, dfd, dfc) On constate qu à partir de h = 8 la valeur donnée est exacte e e e e e e e e-8 9 e-9 e- e- e- Définition Erreur de troncature Les différences f (x i ) δ + h, f (x i ) δ h, sont appelées erreur de troncature Elles sont d ordre h et on dit que les différences finies sont consistantes à l ordre en h De même, l erreur de troncature f (x i ) δ h, est d ordre h et on dit que la différence finie est consistante à l ordre en h Elle est ainsi plus précise que les formules de différences finies progressives et rétrogrades Remarque Erreurs d arrondis Les erreurs de troncature diminuent lorsque h diminue En revanche, les erreurs d arrondis augmentent lorsque h diminue En effet, le calcul de δ ± h se fait avec une précision absolue de l ordre de ε f (x) /h où ε 5 Par ailleurs, d après l inégalité de Taylor-Lagrange, on a f (x i ) δ ± h h max f (x) L inégalité triangulaire entraîne alors f (x i ) flt(δ ± h ) h max f (x) + ε f (x) h fonction possède un minimum absolu sur R + atteint en h = Une étude rapide de la fonction h h max f (x) + ε ε f (x) max f (x) f (x) h montre que cette Pour une fonction suffisamment régulière, il est donc judicieux de choisir une valeur de h qui soit de l ordre de ε, c est-à-dire de l ordre de 8 Exemple Par exemple, en utilisant le code de l exemple précédent pour calculer la dérivée première de la fonction + x en, on obtient e e e e e e e e e e e e e e Cette fois-ci on voit apparaître très nettement la perte de précision lorsque h est trop petit G Faccanoni

103 Jeudi 5 juin 4 Quadrature De manière analogue, la dérivée seconde peut être approchée par et on a l estimation d erreur : f (x i + h) f (x i ) + f (x i h) h f (x i ) f (x i + h) f (x i ) + f (x i h) (h) = f (x i ) + h f (x i ) + (h) f (x i ) +O((h) ) f (x i ) + f (x i ) h f (x i ) + (h) f (x i ) h = f (x i ) +O(h ) G Faccanoni

104 Quadrature Jeudi 5 juin 4 Codes Python Voici cinq function python qui renvoient la valeur approchée d une intégrale par les méthodes (composites à n intervalles équirépartis) du rectangle à gauche, du rectangle à droite, du point de milieu, du trapèze et de SIMPSON En paramètre elles reçoivent f, la fonction (mathématique) à intégrer, a et b sont les extrémités de l intervalle d intégration et n est le nombre de sous-intervalles de l intervalle [a, b] (chaque sous-intervalle a largeur (b a)/n) Elles renvoient la valeur approchée de b a f (x) dx Méthodes #!/usr/bin/python #-*- coding: Utf-8 -*- numériques 4 import math, sys 5 6 def rectangle_gauche_composite(f,a,b,m): 7 H = (b-a)/m 8 s = 9 for k in range(m): s += f(a+k*h) return H*s def rectangle_droite_composite(f,a,b,m): 4 H = (b-a)/m 5 s = 6 for k in range(m): 7 s += f(a+(k+)*h) 8 return H*s 9 def milieu_composite(f,a,b,m): H = (b-a)/m s = for k in range(m): 4 s += f(a+(*k+)*h*5) 5 return H*s 6 7 def trapeze_composite(f,a,b,m): 8 H = (b-a)/m 9 s = (f(a)+f(b))*5 for k in range(,m): s += f(a+k*h) return H*s 4 def simpson_composite(f,a,b,m): 5 H = (b-a)/m 6 s = f(a)+f(b)+f(a+h*5) 7 for k in range(,m): 8 s += f(a+k*h)+f(a+(*k+)*h*5) 9 return H*s/6 et voici quelques exemples d utilisation de ces méthodes 4 # CHOIX DU CAS TEST 4 exemple = 4 4 # DEFINITION DU CAS TEST 44 if exemple==: 45 n = 46 a = 47 b = 48 def f(x): 49 return x** 5 def primitive(x): 5 return x**4/4 5 elif exemple==: 5 n = 54 a = 4 G Faccanoni

105 Jeudi 5 juin 4 Quadrature 55 b = 56 def f(x): 57 return x** 58 def primitive(x): 59 return x**4/4 6 elif exemple==: 6 n = 6 a = - 6 b = 64 def f(x): 65 return mathexp(-x**) 66 def primitive(x): 67 return # on ne connait pas la primitive 68 else: 69 print "Cas test non defini" 7 sysexit() print "** Exacte : ", primitive(b)-primitive(a) 74 print "Formule du rectangle a gauche composite : ", rectangle_gauche_composite(f,a,b,n) 75 print "Formule du rectangle a droite composite : ", rectangle_droite_composite(f,a,b,n) 76 print "Formule du point milieu composite : ", milieu_composite(f,a,b,n) 77 print "Formule des trapezes composite : ", trapeze_composite(f,a,b,n) 78 print "Formule de Simpson composite : ", simpson_composite(f,a,b,n) 79 8 # Dans python il existe un module qui implement deja ces methodes, comparons nos resultats avec ceux du module: 8 from scipy import integrate 8 results = integratequad(f,a,b) 8 print "Avec scipyintegrate l integrale est approchee par ", results[], "avec une erreure de ", results [] G Faccanoni 5

106 Quadrature Jeudi 5 juin 4 Exercices Exercice Estimer 5/ f (x) dx à partir des données en utilisant la méthode des rectangles à gauche composite, la méthode des rectangles à droite composite, la méthode des trapèzes composite CORRECTION DE L EXERCICE x / / 5 / f (x) / On a a =, b = 5 et m = 5 donc h = b a m = Méthode Méthode Méthode Méthode h ( i= b a f (t)d t m h f (a + i h) = ( ) = 49 i= m h f (a + (i + )h) = ( ) = 945 i= ) m f (a) + f (a + i h) + f (b) = ( ) = 4575 Exercice Étant donnée l égalité ( + ( π = 4 e dx) x = 4 e x dx + ɛ), avec < ɛ < 44, utiliser la méthode des trapèzes composite à intervalles pour estimer la valeur de π La méthode des trapèzes composite à m intervalles pour calculer l intégrale d une fonc- CORRECTION DE L EXERCICE tion f sur l intervalle [a,b] s écrit b a ( ) m f (t)d t h f (a) + f (a + i h) + f (b) Ici on a f (x) = e x, a =, b =, m = d où h = et on obtient I + i= i= avec h = b a m e i + e = + e + e 4 + e 9 + e 6 + e 5 + e 6 + e 49 + e 64 + e 8 + e, ainsi en utilisant la fonction trapeze_composite(f,a,b,m) décrite à la page 4 comme suit import math def f(x): 4 return mathexp(-(x**)) 5 6 I = trapeze_composite(f,,,) 7 print (4*I**) on obtient π 4I = Exercice Estimer π sin(x) dx en utilisant la méthode des trapèzes composite avec 8 et puis 6 sous-intervalles en prenant en compte l erreur 6 G Faccanoni

107 Jeudi 5 juin 4 Quadrature La méthode des trapèzes composite à m + points pour calculer l intégrale d une fonc- CORRECTION DE L EXERCICE tion f sur l intervalle [a,b] s écrit et l erreur est donné par b a ( ) m f (t)d t h f (a) + f (a + i h) + f (b) i= E = b a h f (ξ) avec h = b a m avec a < ξ < b Ici on a a =, b = π Avec 8 sous-intervalles on a h = π/8 donc ( ) π sin(x) dx π sin() 7 + sin(iπ/8) + sin(π) et l erreur est i= E = π 768 sin(ξ) pour ξ ];π[ Comme on ne connait pas la valeur de ξ, on ne peut pas connaitre E mais on peut en déterminer les bornes : ainsi E min = π 768 sin() = E max = π π sin(π/) = (974 ) π sin(x) dx ( ) = 46 La valeur exacte est bien évidemment Avec 6 sous-intervalles on a h = π/6 et les nouveaux nœuds se trouvent au milieux des sous-intervalles précédents : x j = π/6 + j π/8 = ( + j )π/6 pour j =,,,7, ainsi π sin(x) dx π 6 7 sin(( + j )π/6) 9958 et le limites de l erreur deviennent (observons que E est divisé par 4 lorsque h est divisé par ) : j = E min = E max 47 4 = 9 ainsi 9958 π sin(x) dx ( ) = 67 Exercice 4 On considère l intégrale Calculer la valeur exacte de I I = x dx Évaluer numériquement cette intégrale par la méthode des trapèzes avec m = sous-intervalles Pourquoi la valeur numérique obtenue à la question précédente est-elle supérieure à ln()? Est-ce vrai quelque soit m? Justifier la réponse (On pourra s aider par un dessin) 4 Quel nombre de sous-intervalles m faut-il choisir pour avoir une erreur inférieure à 4? On rappelle que l erreur de quadrature associée s écrit, si f C ([a;b]), E m = (b a) 4 m f (ξ), ξ ]a;b[ G Faccanoni 7

108 Quadrature Jeudi 5 juin 4 CORRECTION DE L EXERCICE 4 Une primitive de x [ln(x) est F (x) = ln(x) La valeur exacte est alors I = = ln() x= La méthode des trapèzes composite à m + points pour calculer l intégrale d une fonction f sur l intervalle [a, b] s écrit ( ) b m f (t)d t h f (a) + f (a + i h) + f (b) avec h = b a m a Ici on a f (x) = x, a =, b =, m = d où h = et on obtient I ( f () + f ( + /) + f ( + /) + ) f () = ( ) = 4 =,7 i= La valeur numérique obtenue à la question précédente est supérieure à ln() car la fonction f (x) = x est convexe On peut se convaincre à l aide d un dessin que les trapèzes sont au-dessus de la courbe y = /x, l aire sous les trapèzes sera donc supérieure à l aire sous la courbe Pour bien visualiser la construction considérons m = : Cela reste vrai quelque soit le pas h choisi car la fonction est convexe ce qui signifie qu une corde définie par deux points de la courbe y = /x sera toujours au-dessus de la courbe et par le raisonnement précédant l aire sous les trapèzes sera supérieure à l aire exacte 4 L erreur est majorée par ] x= 5 5 (b a)4 E m m sup f (ξ) ξ ]a;b[ Donc ici on a f (x) = /x, f (x) = /x et f (x) = /x, ainsi Pour que E m < 4 il suffit que quadrature est inférieure à 4 Exercice 5 On considère l intégrale 6m E m m max ξ ];[ ξ = 6m < 4, ie m > / 6 4,8 À partir de 4 sous-intervalles, l erreur de I = ln(x) dx Évaluer numériquement cette intégrale par la méthode des trapèzes composite avec m = 4 sous-intervalles et comparer le résultat ainsi obtenu avec la valeur exacte Pourquoi la valeur numérique est-elle inférieure à la valeur exacte? Est-ce vrai quel que soit m? (Justifier la réponse) Quel nombre de sous-intervalles m faut-il choisir pour avoir une erreur E m inférieure à? On rappelle que, pour une fonction f de classe C, l erreur de quadrature E m associée à la méthode des trapèzes composite avec une discrétisation uniforme de pas h = (b a)/m de l intervalle [a,b] en m sous-intervalles vérifie E m = (b a) h f (ξ), ξ ]a;b[ CORRECTION DE L EXERCICE 5 La méthode des trapèzes composite à m + points (m sous-intervalles) pour calculer l intégrale d une fonction f sur l intervalle [a,b] s écrit ( ) b m f (t)d t h f (a) + f (a + i h) + f (b) avec h = b a m a i= 8 G Faccanoni

109 Jeudi 5 juin 4 Quadrature y Ici on a f (x) = ln(x), a =, b =, m = 4 d où h = 4 et on obtient I ( ( ) ( ) ( ) f () + f + f + f + ) 4 4 f () = ( ( ) ( ) ( ) 5 7 ln + ln + ln + ) ln() Une primitive de ln(x) est F (x) = x(ln(x) ) La valeur exacte est alors I = [x(ln(x) )] x= x= = ln() La valeur numérique obtenue est inférieure à celle exacte quelque soit le pas h choisi car la fonction f est concave, ce qui signifie qu une corde définie par deux points de la courbe y = ln(x) sera toujours en-dessous de la courbe, donc l aire sous les trapèzes 5 sera inférieure à l aire exacte Pour bien visualiser la construction considérons m = : y L erreur est majorée par E m x (b a) 5 5 h sup ξ ]a;b[ On a f (x) = ln(x), f (x) = /x et f (x) = /x, ainsi Pour que E m < il suffit que quadrature est inférieure à Exercice 6 Soit f une fonction C (R,R) On considère l approximation E m m max ξ ];[ f (b a) (ξ) = m ξ = m sup ξ ]a;b[ f (ξ) x <, ie m > / 886 À partir de sous-intervalles, l erreur de m f (x) dx ( f ( ) ( ) ( 5 + f 5 + f ) ( 5 + f ) ) 5 Quel est le degré de précision de cette formule de quadrature? On se donne les points x i } i=n i= de subdivision de l intervalle [a;b] : x i = a + i h avec h = b a n À l aide d un changement de variable affine, en déduire une formule de quadrature pour l intégrale xi+ x i f (x)dx En tirer une formule de quadrature composite pour l intégrale b a f (x)dx Écrire l algorithme pour approcher b a f (x)dx CORRECTION DE L EXERCICE 6 On a k p k (x) = x k p k(x)dx (p k( /5) + p k ( /5) + p k (/5) + p k (/5)) Degré d exactitude au moins x au moins x / / au moins x au moins 4 x 4 /5 446/875 La formule est donc exacte de degré G Faccanoni 9

110 Quadrature Jeudi 5 juin 4 Soit x = mt + q, alors xi+ x i f (x)dx = m f (mt + q)dt avec xi = m + q, x i+ = m + q, d où le changement de variable x = x i + (t + ) x i+ x i On déduit la formule de quadrature (exacte sur l espace des polynôme de degré au plus ) xi+ x i f (x)dx = x i+ x i x i+ x i 4 f [ f ( x i + (t + ) x i+ x i ( x i + x i+ x i 5 ) + f ) dt ( x i + x i+ x ) ( i + f x i + x i+ x ) ( i + f x i + 4 x i+ x )] i Soit h = x i+ x i = b a n La formule précédente se réécrit xi+ f (x)dx h [ ( f x i + h ) ( + f x i + h ) ( + f x i + h ) ( + f x i + 4h )] x i et la formule de quadrature composite déduite de cette approximation est b a f (x)dx = n i= xi+ x i f (x)dx h 4 Algorithme d approximation de b a f (x)dx Require: a ; b > a ; n > ; f : [a;b] R h b a n s for i = to n do x a + i h s s + f ( x + h 5 end for return I h 4 s ) + f ( x + h 5 Exercice 7 Soit f une fonction C (R,R) On considère l approximation ) + f ( x + h 5 n i= [ ( f x i + h ) ( + f x i + h ) ( + f x i + h ) ( + f x i + 4h )] ) ( ) + f x + 4h 5 f (x) dx Quel est le degré de précision de cette formule de quadrature? ( f ( ) f () + f ( ) ) On se donne les points x i } i=n i= de subdivision de l intervalle [a;b] : x i = a + i h avec h = b a n À l aide d un changement de variable affine, en déduire une formule de quadrature pour l intégrale xi+ x i f (x)dx En tirer une formule de quadrature composite pour l intégrale b a f (x)dx Écrire l algorithme pour approcher b a f (x)dx CORRECTION DE L EXERCICE 7 On a k p k (x) = x k p k(x)dx (p k( /) p k () + p k (/)) Degré d exactitude au moins x au moins x / / au moins x au moins 4 x 4 /5 /6 La formule est donc exacte de degré G Faccanoni

111 Jeudi 5 juin 4 Quadrature Soit x = mt + q, alors xi+ x i f (x)dx = m f (mt + q)dt avec xi = m + q, x i+ = m + q, d où le changement de variable x = x i + (t + ) x i+ x i On déduit la formule de quadrature (exacte sur l espace des polynôme de degré au plus ) xi+ x i f (x)dx = x i+ x i f [ ( x i + (t + ) x i+ x ) i dt x i+ x i f ( xi + x i++x i Soit h = x i+ x i = b a n La formule précédente se réécrit xi+ f (x)dx h [ ( f x i + h ) ( f x i + h ) ( + f x i + h )] x i 4 4 et la formule de quadrature composite déduite de cette approximation est b a f (x)dx = n i= xi+ Algorithme d approximation de b a f (x)dx Require: a ; b > a ; n > ; f : [a;b] R h b a n s for i = to n do x a + i h s s + f ( x + h 4 end for return I h s ) f ( x + h x i f (x)dx h ) ( ) + f x + h 4 n i= ) ( xi+ + x i f [ ( f x i + h ) ( f x i + h ) ( + f x i + h )] 4 4 ( ) xi+ +x )] i + x i+ + f Exercice 8 Soit f une fonction C (R,R) On se donne les points x i } i=n i= de subdivision de l intervalle [a;b] : x i = a+i h avec h = b a Le but de l exercice est de trouver une formule de quadrature à n points pour approcher l intégrale b a ( ) f (x)ln dx x On désire développer une formule d intégration numérique de la forme ( ) f (x)ln dx αf (β) x Déterminer les valeurs des constantes α et β de telle sorte que le degré d exactitude de cette formule de quadrature soit le plus élevé possible Donner ce degré Rappel : pour m, ( ) x m ln dx = x (m + ) À l aide d un changement de variable affine, en déduire une formule de quadrature pour l intégrale xi+ x i ( ) f (x)ln dx x On subdivise l intervalle [a;b] en n intervalles [x i ; x i+ ] de largeur h En déduire la formule de quadrature composite pour le calcul approché de b ( ) f (x)ln dx x a n G Faccanoni

112 Quadrature Jeudi 5 juin 4 CORRECTION DE L EXERCICE 8 On pose f (x) = x m et on note I m = xm ln ( ) x dx la valeur exacte de l intégrale et Ĩm = αβ m la valeur obtenue par la formule de quadrature On a I = et Ĩ = α : pour que le degré soit au moins il faut choisir α = ; I = 4 et Ĩ = αβ = β : pour que le degré soit au moins il faut choisir x = 4 ; I = 9 et Ĩ = αβ = 6 : le degré d exactitude est au plus Soit le changement de variable affine tel que alors xi+ x i xi = q, x i+ = m + q, ( ) f (x)ln dx = m x m f On trouve la formule de quadrature composite b ( ) f (x)ln dx = x Exercice 9 a n i= x : [;] [x i ; x i+ ] t x = mt + q ie ( f (mt + q)ln (m 4 + q ) = h f xi+ x i m = (xi+ x i ) = h, q = x i = a + i h, ) dt mt + q ( h 4 + x i ( ) n f (x)ln dx h f x ) ( ( = h f a + i + ) ) h 4 i= ( ( a + i + ) ) h 4 Soit f une fonction C (R,R) On se donne les points x i } i=n i= de subdivision de l intervalle [a;b] : x i = a+i h avec h = b a Le but de l exercice est de trouver une formule de quadrature à n points pour approcher l intégrale b a n f (x)dx (4) On propose dans un premier temps (question à 4) de construire la formule de quadrature à deux points suivantes : g (x)dx g ( α) + g (α), (5) où < α < est à déterminer Choisir α pour rendre la formule de quadrature exacte pour des polynômes de degré le plus élevé possible Quel est alors le degré de précision de cette formule de quadrature? À l aide d un changement de variable affine, étendre cette formule de quadrature pour l intégrale suivante : xi+ x i f (x)dx En déduire une formule de quadrature à n points, notée F, pour le calcul approché de (4) Cette formule de quadrature est-elle stable? 4 Écrire l algorithme du calcul de F CORRECTION DE L EXERCICE 9 On a k p k (x) = x k p k(x)dx p k ( α) + p k (α) Degré d exactitude au moins x au moins x / α si α /, au moins si α = / Soit α = / x au moins 4 x 4 /5 /9 Donc la formule de quadrature a degré de précision si α / et degré de précision si α = / G Faccanoni

113 Jeudi 5 juin 4 Quadrature Par le changement de variable y = x i + (x + ) x i+ x i on déduit la formule de quadrature xi+ x i f (y)dy = x i+ x i x i+ x i [ f f ( x i + (x + ) x i+ x i ( x i + ( ) xi+ x i ) dx ) ( ( + f x i + + ) xi+ x i Si h = x i+ x i = b a n (ie si on considère une subdivision de l intervalle [a;b] équirépartie) alors on trouve la formule de quadrature composite (ie sur n sous-intervalles et à n points) b a f (x)dx h n i= [ ( ( f x i + h )) ( ( + f x i + h + ))] = h n i= [ ( ( f a + h i + Cette formule de quadrature est stable puisque tous les coefficients sont positifs 4 Algorithme du calcul de F : Require: a ; b > a ; n > ; f : [a;b] R h b a n ( ) α a + h ( ) α a + + h for i = to n do s s + f (α + i h) + f (α + i h) end for return I h s )] )) ( ( + f a + h i + + ))] Exercice Interpolation et Intégration Soit f une fonction de classe C ([,]) et p le polynôme de LAGRANGE qui interpole f aux points, et Écrire le polynôme p En déduire une méthode de quadrature pour approcher l intégrale f (t)dt Étudier le degré de précision de la formule de quadrature ainsi trouvée 4 À l aide d un changement de variable affine, en déduire une formule de quadrature pour l intégrale xi+ x i f (x)dx 5 Soit h = b a n h et x i = a + i h pour i =,,n On subdivise l intervalle [a;b] en n intervalles [x i ; x i+ ] de largeur a h h b x x i x i+ x i+ x n En déduire la formule de quadrature composite pour le calcul approché de b a 6 Écrire l algorithme associé à cette formule de quadrature f (x)dx CORRECTION DE L EXERCICE On a trois points, donc le polynôme interpolateur de LAGRANGE est un polynôme de R [x] On cherche alors les coefficients α, β et γ du polynôme p(x) = α + βx + γx tels que f ( ) = α β + γ, f () = α, f () = α + β + γ (6a) (6b) (6c) G Faccanoni

114 Quadrature Jeudi 5 juin 4 L équation (6b) donne α = f (), la somme (6c)+(6a) donne γ = donne β = f () f ( ) On en déduit la méthode de quadrature f (t)dt p(t)dt = (α + γ/) = f ()+f ( ) f () et enfin la soustraction (6c) (6a) f ( ) + 4f () + f () Par construction, cette formule de quadrature a degré de précision au moins De plus k p k (x) = x k p p k ( )+4p k ()+p k () k(x)dx Degré d exactitude x au moins 4 x 4 /5 / La formule est exacte pour les polynômes de degré au plus 4 Soit x = mt + q, alors xi+ x i f (x)dx = m f (mt + q)dt avec xi = m + q, x i+ = m + q, ie m = x i+ x i, q = x i++x i, d où le changement de variable x = x i + (t + ) x i+ x i On déduit la formule de quadrature (exacte sur l espace des polynôme de degré au plus ) xi+ x i f (x)dx = x i+ x i f ( x i + (t + ) x i+ x ) i dt x i+ x i [ f (xi ) + 4f (x i+ ) + f (x i+ ) ] 6 5 h = b a n = x i+ x i pour i =,,n On subdivise l intervalle [a;b] en n intervalles [x i ; x i+ ] de largeur h On trouve ainsi la formule de quadrature composite b a f (x)dx = n i= xi+ x i f (x)dx n i= x i+ x i 6 [ f (xi ) + 4f (x i+ ) + f (x i+ ) ] = h n [ f (xi ) + 4f (x i+ ) + f (x i+ ) ] i= [ ] = h n n f (a) + f (b) + f (x i ) + 4 f (x i + h) = h 6 Algorithme du calcul associé à cette formule de quadrature Require: a ; b > a ; n > ; f : [a;b] R h b a n s s s + f (a + h) for i = to n do s s + f (a + i h) s s + f (a + (i + )h) end for return h [ ] f (a) + f (b) + s + 4s Il s agit de la méthode de CAVALIERI-SIMPSON composite [ i= i= n n f (a) + f (b) + f (a + i h) + 4 f (a + (i + )h) i= i= ] Exercice Interpolation et Intégration Soit f une fonction de classe C ([,]) et p le polynôme de LAGRANGE qui interpole f aux points, et Écrire le polynôme p En déduire une méthode de quadrature pour approcher l intégrale f (t)dt 4 G Faccanoni

115 Jeudi 5 juin 4 Quadrature Étudier le degré de précision de la formule de quadrature ainsi trouvée 4 À l aide d un changement de variable affine, en déduire une formule de quadrature pour l intégrale xi+ x i f (x)dx 5 Soit h = b a n h et x i = a + i h pour i =,,n On subdivise l intervalle [a;b] en n intervalles [x i ; x i+ ] de largeur a h h b x x i x i+ x i+ x n En déduire la formule de quadrature composite pour le calcul approché de b a f (x)dx CORRECTION DE L EXERCICE On a trois points, donc le polynôme interpolateur de LAGRANGE est un polynôme de R [x] On cherche alors les coefficients α, β et γ du polynôme p(x) = α + βx + γx tels que f () = α, f () = α + β + γ, f () = α + β + 4γ Donc α = f (), β = f () + f () f () et γ = f () f () + f () On en déduit la méthode de quadrature f (t)dt p(t)dt = α + β + 8 f () + 4f () + f () γ = Par construction, cette formule de quadrature a degré de précision au moins De plus k p k (x) = x k p p k ()+4p k ()+p k () k(x)dx Degré d exactitude x 4 4 au moins 4 x 4 /5 / La formule est exacte pour les polynômes de degré au plus 4 Soit x = mt + q, alors xi+ x i f (x)dx = m f (mt + q)dt avec xi = q, x i+ = m + q, ie m = x i+ x i, q = x i, d où le changement de variable x = x i+ x i t + x i On déduit la formule de quadrature (exacte sur l espace des polynôme de degré au plus ) xi+ x i f (x)dx = x i+ x i ( xi+ x i f ) t + x i dt x i+ x i [ f (xi ) + 4f (x i+ ) + f (x i+ ) ] 6 5 h = b a n = x i+ x i pour i =,,n On subdivise l intervalle [a;b] en n intervalles [x i ; x i+ ] de largeur h On trouve ainsi la formule de quadrature composite b a f (x)dx = n i= xi+ x i f (x)dx n i= x i+ x i 6 [ f (xi ) + 4f (x i+ ) + f (x i+ ) ] = h n [ f (xi ) + 4f (x i+ ) + f (x i+ ) ] i= [ ] = h n n f (a) + f (b) + f (x i ) + 4 f (x i + h) = h Il s agit de la méthode de CAVALIERI-SIMPSON composite [ i= i= n n f (a) + f (b) + f (a + i h) + 4 f (a + (i + )h) i= i= ] G Faccanoni 5

116 Quadrature Jeudi 5 juin 4 Exercice Interpolation et Intégration Soit f une fonction de classe C ([,4]) et p le polynôme de LAGRANGE qui interpole f aux points, et Écrire le polynôme p En déduire une méthode de quadrature pour approcher l intégrale 4 f (t)dt Étudier le degré de précision de la formule de quadrature ainsi trouvée 4 À l aide d un changement de variable affine, en déduire une formule de quadrature pour l intégrale x4i+4 x 4i f (x)dx 5 Soit h = b a 4n 4h et x i = a + i h pour i =,,4n On subdivise l intervalle [a;b] en n intervalles [x 4i ; x 4i+4 ] de largeur a h h h h b x x 4i x 4i+ x 4i+ x 4i+ x 4i+4 x 4n En déduire la formule de quadrature composite pour le calcul approché de b a f (x)dx CORRECTION DE L EXERCICE On a trois points, donc le polynôme interpolateur de LAGRANGE est un polynôme de R [x] On cherche alors les coefficients α, β et γ du polynôme p(x) = α + βx + γx tels que f () = α + β + γ, f () = α + β + 4γ, f () = α + β + 9γ Donc α = f () f () + f (), β = 5 f () + 4f () f () et γ = f () f () + f () On en déduit la méthode de quadrature 4 f (t)dt 4 p(t)dt = 4α + 8β + 64 γ = 4 (f () f () + f ()) Par construction, cette formule de quadrature a degré de précision au moins De plus, 4 x dx = 64 et 4 ( + = 64 donc la formule est exacte pour les polynômes de degré au moins Enfin, 4 x4 dx = 59 et tandis que 8 ()4 4 () 4 +8 () 4 = 4 donc la formule est exacte pour les polynômes de degré au plus 4 Soit le changement de variable affine x : [;4] [x 4i ; x 4i+4 ] t x = mt + q tel que x4i = q, x 4i+4 = 4m + q, ie m = x 4i+4 x 4i 4 = h, q = x 4i = a + 4i h, alors x4i+4 x 4i f (x)dx = m 4 = x 4i+4 x 4i f (mt + q)dt 4 m( f (m + q) f (m + q) + f (m + q) ) [ f (x4i+ ) f (x 4i+ ) + f (x 4i+ ) ] = 4 h [ f (a + (4i + )h) f (a + (4i + )h) + f (a + (4i + )h) ] 6 G Faccanoni

117 Jeudi 5 juin 4 Quadrature 5 h = b a 4n = x j + x j pour j =,,4n On subdivise l intervalle [a;b] en n intervalles [x 4i ; x 4i+4 ] de largeur 4h On trouve ainsi la formule de quadrature composite b a f (x)dx = n i= x4i+4 x 4i f (x)dx 4h n i= [ f (a + (4i + )h) f (a + (4i + )h) + f (a + (4i + )h) ] Exercice Soit f une fonction C (R,R) On se donne les points x i } i=n i= de subdivision de l intervalle [a;b] : x i = a+i h avec h = b a n Le but de l exercice est de trouver une formule de quadrature à n + points basée sur la formule de SIMPSON pour approcher b a f (x)dx (7) On propose dans un premier temps (question à ) de construire la formule de quadrature à points de Simpson : g (x)dx αg ( ) + βg () + αg (), (8) où les réels α et β sont à déterminer Déterminer α et β pour que la formule de quadrature (8) ait degré de précision maximale À l aide d un changement de variable affine, en déduire une formule de quadrature exacte sur l espace des polynôme de degré au plus pour l intégrale suivante : xi+ x i f (x)dx En déduire une formule de quadrature à n points, notée F, pour le calcul approché de (7) Cette formule de quadrature est-elle stable? 4 Écrire l algorithme du calcul de F 5 Soit x un élément de [x i ; x i+ ] Écrire une formule de TAYLOR f (x) = P i (x) + R i (x) à l ordre pour f en x, avec P i P Majorer R i sur [x i ; x i+ ] en fonction de h 6 En déduire une estimation d erreur entre (7) et F CORRECTION DE L EXERCICE On a k p k (x) = x k p k(x)dx αp k ( ) + βp k () + αp k () Degré d exactitude α + β même pas si β ( α), au moins si β = ( α) Soit β = ( α) x au moins x / α si α /, au moins si α = / Soit α = / x au moins 4 x 4 /5 / Si β ( α) la formule de quadrature n est même pas exacte pour une constante, si β = ( α) mais α /, elle est exacte pour les polynômes de degré au plus, si α = / et β = 4/ la formule est exacte pour les polynômes de degré au plus Soit x = mt + q, alors xi+ x i f (x)dx = m f (mt + q)dt avec xi = m + q, x i+ = m + q, d où le changement de variable x = x i + (t + ) x i+ x i On déduit la formule de quadrature (exacte sur l espace des polynôme de degré au plus ) xi+ x i f (x)dx = x i+ x i f ( x i + (t + ) x i+ x ) i dt x i+ x i [ f (xi ) + 4f (x i+ ) + f (x i+ ) ] 6 G Faccanoni 7

118 Quadrature Jeudi 5 juin 4 On trouve ainsi la formule de quadrature composite (ie sur n sous-intervalles) b a f (x)dx = n i= xi+ x i f (x)dx n i= x i+ x i 6 [ f (xi ) + 4f (x i+ ) + f (x i+ ) ] Si h = x i+ x i = b a n (ie si on considère une subdivision de l intervalle [a;b] équirépartie) alors on a [ b a n f (x)dx h [ f (xi ) + 4f (x i+ ) + f (x i+ ) ] = h i= [ = h n f (a) + f (b) + i= n f (a) + f (b) + i= n f (x i ) + 4 i= n f (a + i h) + 4 Cette formule de quadrature est stable puisque tous les coefficients sont positifs et on a 4 Algorithme du calcul de F : [ h + + n i= n + 4 i= ] = b a 6n f (x i + h) i= b a [ + (n ) + 4n] = 6n = (b a) 6n Require: f : [a,b] R, a, b > a, n > H b a n s s s + f (a + H/) for i = to n do s s + f (a + i H) s s + f (a + (i + )H/) end for return I H [ ] 6 f (a) + f (b) + s + 4s 5 Soit x un élément de [x i ; x i+ ] Une formule de TAYLOR à l ordre pour f en x s écrit f (x) = P i (x) + R i (x), ] f (a + (i + )h) ] avec et le reste de LAGRANGE P i (x) = f (x i ) + (x x i )f (x i ) + (x x i ) f (x i ) + (x x i ) f (x i ) 6 R i (x) = (x x i ) 4 f IV (ξ) 4 On peut majorer R i sur [x i ; x i+ ] en fonction de H = x i+ x i : avec ξ ]x i ; x i+ [ P R i (x) H 4 4 max f IV (ξ) = b a n 6 On en déduit l estimation d erreur entre (7) et F suivante b a H 4 max f IV (ξ) n f (x)dx F xi+ n P i (x)dx F i= x i + xi+ R i (x)dx i= x i n xi+ nh R i (x i+ ) + R i (x)dx H i= x i nh b a n 4 max f IV (ξ) + nh b a n = (b a) H 4 sup f IV (ξ) H 4 max f IV (ξ) NB : le polynôme P i n est pas le polynôme d interpolation en x i, x i+ et (x i + x i+ )/ donc x i+ x i P i (x)dx F 8 G Faccanoni

119 Jeudi 5 juin 4 Quadrature Exercice 4 Soit f une fonction C (R,R) On se donne les points x i } i=n i= de subdivision de l intervalle [a;b] : x i = a+i h avec h = b a Le but de l exercice est de trouver une formule de quadrature à n points pour approcher l intégrale b a n f (x)dx (9) On propose dans un premier temps de construire la formule de quadrature à trois points suivantes : g (x)dx ( g ( α) + g () + g (α) ), () où le réel < α < sera à déterminer par la suite Déterminer α pour que la formule de quadrature () ait degré de précision maximale Quel est alors le degré de précision de cette formule de quadrature? À l aide d un changement de variable affine, étendre cette formule de quadrature pour l intégrale suivante : xi+ x i f (x)dx En déduire une formule de quadrature à n points, notée F, pour le calcul approché de (9) Cette formule de quadrature est-elle stable? CORRECTION DE L EXERCICE 4 On a k p k (x) = x k p k(x)dx (p k( α) + βp k () + p k (α)) Degré d exactitude au moins x au moins x / α / si α /, au moins si α = / Soit α = / x au moins 4 x 4 /5 / Si α / la formule de quadrature est exacte pour les polynômes de degré au plus, si α = / la formule est exacte pour les polynômes de degré au plus Par le changement de variable y = x i + (x + ) x i+ x i on déduit la formule de quadrature xi+ x i f (y)dy = x i+ x i x i+ x i [ f f ( x i + (x + ) x i+ x i ( x i + ( ) xi+ x i ) dx ) ( + f x i + x i+ x ) ( ( i + f x i + + ) xi+ x i Si H = x i+ x i = b a n (ie si on considère une subdivision de l intervalle [a;b] équirépartie) alors on trouve la formule de quadrature composite (ie sur n sous-intervalles et à n points) b a f (x)dx H = H n i= i= [ ( )) f x i + H ( + f ( x i + H ) ( ))] + f x i + H ( + n [ ( )) f a + H (i + + f ( x i + H ) ( ))] + f a + H (i + + Cette formule de quadrature est stable puisque tous les coefficients sont positifs )] Exercice 5 Soit f une fonction C (R,R) On se donne les points x i } i=n i= de subdivision de l intervalle [a;b] : x i = a+i h avec h = b a Le but de l exercice est de trouver une formule de quadrature à n points pour approcher l intégrale définie n b a f (x)dx () G Faccanoni 9

120 Quadrature Jeudi 5 juin 4 On propose dans un premier temps (question à ) de construire la formule de quadrature à deux points : g (x)dx 4 ( g w ) + g (w), () où < w est à déterminer Déterminer w pour que la formule de quadrature () soit exacte pour toute fonction g polynomiale de degré m > et donner la plus grande valeur de m À l aide d un changement de variable affine, en déduire une formule de quadrature pour l intégrale suivante : xi+ x i f (x)dx En déduire une formule de quadrature à n points, notée F, pour le calcul approché de () Cette formule de quadrature est-elle stable? 4 Écrire l algorithme du calcul de F CORRECTION DE L EXERCICE 5 On a k p k (x) = x k p ( ( ) k(x)dx pk w + pk (w) ) Degré d exactitude au moins x au moins x / w si w /, au moins si w = / Soit w = / x w / Si w / la formule de quadrature est exacte pour les polynômes de degré au plus, si w = / la formule est exacte pour les polynômes de degré au plus Par le changement de variable y = x i + (x + ) x i+ x i on déduit la formule de quadrature xi+ x i f (y)dy = x i+ x i x i+ x i [ f f ( x i + (x + ) x i+ x i ( x i + ( + ) x i+ x i ) dx ) ( + f x i + ( 6 ) x )] i+ x i Si H = x i+ x i = b a n (ie si on considère une subdivision de l intervalle [a;b] équirépartie) alors on trouve la formule de quadrature composite (ie sur n sous-intervalles et à n points) b a f (x)dx H = H n i= n i= [ ( ( f x i + H + )) ( ( + f x i + H 6 ))] [ ( ( )) ( ( ))] f a + H i f a + H i + 6 Cette formule de quadrature est stable puisque tous les coefficients sont positifs 4 Algorithme du calcul de F : Require: a ; b > a ; n > ; f : [a;b] R H b a n α a + H( + /) α a + H( /6) for i = to n do s s + f (α + i H) + f (α + i H) end for return I H s Exercice 6 Soit < α un nombre réel donné et soit ω,ω,ω trois nombres réels Considérons la formule de quadrature g (t)dt ω g ( α) + ω g () + ω g (α) G Faccanoni

121 Jeudi 5 juin 4 Quadrature Calculer α, ω,ω,ω pour que le degré de précision de la formule de quadrature soit de 5 À l aide d un changement de variable affine, en déduire une formule de quadrature pour l intégrale xi+ x i f (x)dx Soit h = b a n et x i = a +i h pour i =,,n On subdivise l intervalle [a;b] en n intervalles [x i ; x i+ ] de largeur h En déduire la formule de quadrature composite pour le calcul approché de b a 4 Écrire l algorithme associé à cette formule de quadrature f (x)dx CORRECTION DE L EXERCICE 6 On a k p k (x) = x k p k(x)dx ω p k ( α) + ω p k () + ω p k (α) ω + ω + ω Soit ω = ω ω x αω + αω Soit ω = ω et donc ω = ω x α ω Soit ω = α et donc ω = α et ω = α x 4 x 4 5 Soit α = α 5 et donc ω = ω = 5 9 et ω = x 5 6 x 6 7 Si α = 5, ω = ω = 5 9 et ω = 8 9 alors la formule est exacte pour les polynômes de degré au plus 5 (il s agit de la formule de GAUSS-LEGENDRE à points) Remarquons que si on choisit α = on retrouve la formule de SIMPSON Soit x = mt + q, alors xi+ x i f (x)dx = m f (mt + q)dt avec 6 5 xi = m + q, x i+ = m + q, d où le changement de variable x = x i + (t + ) x i+ x i On déduit la formule de quadrature (exacte sur l espace des polynôme de degré au plus 5) xi+ x i f (x)dx = x i+ x i x i+ x i 8 [ 5f f ( ( x i + (t + ) x i+ x i ( x i + 5 ) dt ) x i+ x i ) ( xi+ + x i + 8f ( ( ) + 5f x i ) )] x i+ x i h = b a n = x i+ x i pour i =,,n On subdivise l intervalle [a;b] en n intervalles [x i ; x i+ ] de largeur h On trouve ainsi la formule de quadrature composite b a f (x)dx = n i= xi+ x i f (x)dx G Faccanoni

122 Quadrature Jeudi 5 juin 4 [ ( ( n x i+ x i 5f x i + i= 8 5 [ ( ( = h ) ) n 5f x i + h + 8f 8 i= 5 [ ( ( = h ) ) n 5f a + i + h + 8f 8 5 i= ) x i+ x i 4 Algorithme du calcul associé à cette formule de quadrature Require: a ; b > a ; n > ; f : [a;b] R h b a n c a + ( /5 ) h c a + h c a + ( + /5 ) h s for i = to n do s s + 5f (c + i h) + 8f (c + i h) + 5f (c + i h) end for return h 8 s ) ( xi+ + x i + 8f ( x i + h ) ( ( ) )] + 5f x i + + h 5 ( ( a + i + ) ) ( ( h + 5f a + i + + ( ( ) + 5f x i ) )] h 5 ) )] x i+ x i Exercice 7 Interpolation et quadratures Soit f une fonction C (R,R) On se donne les points x i } i=n de subdivision uniforme de l intervalle [a;b] définis par i= x i = a + i h avec h = b a n Le but de l exercice est de trouver une formule de quadrature composite pour approcher l intégrale b Écrire le polynôme p qui interpole f aux points et a f (x)dx En déduire une formule de quadrature basée sur l approximation f (x)dx et étudier le degré de précision de cette formule de quadrature p(x) dx À l aide d un changement de variable affine, en déduire une formule de quadrature pour l intégrale xi+ x i f (x)dx 4 En utilisant le résultat au point précédent, proposer une formule de quadrature composite pour le calcul approché de l intégrale Quelle méthode de quadrature reconnait-on? CORRECTION DE L EXERCICE 7 b a f (x)dx On a deux points d interpolation, donc le polynôme d interpolation est un polynôme de R [x] On cherche alors les coefficients α et β du polynôme p(x) = α + βx tels que f () = p() = α, On obtient α = f () et β = f () f () On en déduit la méthode de quadrature f (t)dt f () = p() = α + β p(t)dt = α + βt dt = α + β f () + f () = Par construction, cette formule de quadrature a degré de précision au moins Soit f (x) = x, alors f (x)dx = / f ()+f () tandis que = / : la formule est exacte pour les polynômes de degré au plus G Faccanoni

123 Jeudi 5 juin 4 Quadrature Soit x = mt + q, alors xi+ x i f (x)dx = m f (mt + q)dt avec xi = q, x i+ = m + q, d où le changement de variable x = x i + (x i+ x i )t On en déduit la formule de quadrature (exacte sur l espace des polynôme de degré au plus ) xi+ x i f (x)dx = (x i+ x i ) f x i + (x i+ x i )t dt (x i+ x i ) f (x i ) + f (x i+ ) 4 On subdivise l intervalle [a;b] en n intervalles [x i ; x i+ ] de largeur h = b a n la formule de quadrature composite b a f (x)dx = n i= xi+ x i n f (x)dx (x i+ x i ) f (x i ) + f (x i+ ) i= Il s agit de la méthode des trapèzes composite = h [ = h n i= n f (a) + f (b) + f (x i ) i= = x i+ x i pour i =,,n On trouve ainsi [ f (xi ) + f (x i+ ) ] ] [ ] = h n f (a) + f (b) + f (a + i h) i= Exercice 8 Interpolation de LAGRANGE et quadratures Soit f une fonction C (R,R) On se donne les points x i } i=n de subdivision uniforme de l intervalle [a;b] définis par i= x i = a + i h avec h = b a n Le but de l exercice est de trouver une formule de quadrature composite pour approcher l intégrale b a f (x)dx Soit p le polynôme de LAGRANGE qui interpole f aux points et Écrire le polynôme p, en déduire une formule de quadrature basée sur l approximation f (x)dx p(x) dx et étudier le degré de précision de cette formule de quadrature À l aide d un changement de variable affine, en déduire une formule de quadrature pour l intégrale xi+ x i f (x)dx En utilisant le résultat au point précédent, proposer une formule de quadrature composite pour le calcul approché de l intégrale Quelle méthode de quadrature reconnait-on? CORRECTION DE L EXERCICE 8 b a f (x)dx On a deux points d interpolation, donc le polynôme interpolateur de LAGRANGE est un polynôme de R [x] On cherche alors les coefficients α et β du polynôme p(x) = α + βx tels que f ( ) = p( ) = α β, (a) f () = p() = α + β (b) f ()+f ( ) La somme des équations (b)+(a) donne α = et la soustraction des équations (b) (a) donne f () f ( ) β = On en déduit la méthode de quadrature f (t)dt p(t)dt = α + βt dt = α = f ( ) + f () Par construction, cette formule de quadrature a degré de précision au moins Soit f (x) = x, alors f (x)dx = / tandis que f ( ) + f () = : la formule est exacte pour les polynômes de degré au plus G Faccanoni

124 Quadrature Jeudi 5 juin 4 Soit x = mt + q, alors xi+ x i f (x)dx = m f (mt + q)dt avec xi = m + q, x i+ = m + q, d où le changement de variable x = x i + (t + ) x i+ x i On en déduit la formule de quadrature (exacte sur l espace des polynôme de degré au plus ) xi+ x i f (x)dx = x i+ x i f ( x i + (t + ) x i+ x ) i dt x i+ x i [ f (xi ) + f (x i+ ) ] On subdivise l intervalle [a;b] en n intervalles [x i ; x i+ ] de largeur h = b a n = x i+ x i pour i =,,n On trouve ainsi la formule de quadrature composite b a f (x)dx = n i= xi+ x i f (x)dx n i= x i+ x i Il s agit de la méthode des trapèzes composite n [ f (xi ) + f (x i+ ) ] = h [ f (xi ) + f (x i+ ) ] i= [ ] [ = h n f (a) + f (b) + f (x i ) = h i= n f (a) + f (b) + Exercice 9 Interpolation d HERMITE et quadratures Soit f une fonction de classe C ([,]) et p le polynôme interpolateur d HERMITE (de degré ) de f vérifiant Écrire le polynôme p p( ) = f ( ), p ( ) = f ( ), p() = f (), p () = f () En déduire la méthode d intégration numérique élémentaire f (s)ds f ( ) + f () + ( f ( ) f () ) i= f (a + i h) Connaissant la formule sur [ ; ], en déduire la formule de quadrature des trapèzes-hermite sur l intervalle [a; b] par exemple grâce au changement de variable y = a + (x + ) b a CORRECTION DE L EXERCICE 9 Cf exercice En intégrant le polynôme ainsi trouvé on en déduit [ p(x)dx = αx + β x + γ x + δ ] 4 x4 = α + γ = f ( ) + f () + f ( ) f () + f ( ) + f () 6 = 6f ( ) + 6f () + f ( ) f () f ( ) + f () 6 = f ( ) + f () + (f ( ) f ()) Remarque : la formule est au moins exacte de degré par construction Elle n est pas exacte de degré supérieure à car si f (x) = x 4 alors [ ] f (x)dx = 5 x5 = 5 = 6 5 f ( ) + f () + (f ( ) f ()) = + + (4 + 4) = 4 = 7 5 Connaissant la formule sur [ ;], on en déduit la formule sur un intervalle [a;b] quelconque par le changement de variable y = a + (x + ) b a qui donne b a f (y)dy = b a Rappel : si y = a + (x + ) b a alors dy = b a dx et f (y) = b a f (x) f ( a + (x + ) b a ) dx ] 4 G Faccanoni

125 Jeudi 5 juin 4 Quadrature = b a = b a [ f (a) + f (b) + b a ] 6 (f (a) f (b)) (b a) (f (a) + f (b)) + (f (a) f (b)) Exercice Soit f une fonction C ([;],R) On se donne les points x i } i=n i= de subdivision de l intervalle [;] : x i = i h avec h = n Le but de l exercice est de trouver une formule de quadrature pour approcher f (x)dx (4) Soit i un entier fixé ( i n ) Trouver m i un point du segment [x i ; x i+ ] et a, b et c trois coefficients réels tels que la formule de quadrature suivante, sur l intervalle [x i ; x i+ ], soit exacte pour p un polynôme de degré le plus haut possible : xi+ x i p(x) dx = ap(x i ) + bp(m i ) + cp(x i+ ) En déduire en fonction de a, b et c la formule de quadrature Q(f ) Q(f ) = n i= n α i f (x i ) + β i f (m i ) pour le calcul approché de 4 construite sur la formule de quadrature précédente pour chaque intervalle du type [x i ; x i+ ] Cette formule de quadrature est-elle stable? On rappelle que si p interpole f en k points y < y < < y k, on a l estimation d erreur i= x [y ; y k ], f (x) p(x) sup ξ [y ;y k ] f (k) (ξ) k! k (x y j ) j = En déduire une estimation de l erreur de quadrature entre (4) et Q E(h) = f (x) dx Q(f ) La dépendance en h dans cette estimation d erreur est-elle optimale? 4 Écrire l algorithme qui calcule Q(f ) CORRECTION DE L EXERCICE Pour simplifier le calcul, on se ramène à l intervalle [;] Soit x un élément de l intervalle [x i ; x i+ ] et y un élément de l intervalle [;] On transforme l intervalle [x i ; x i+ ] dans l intervalle [;] par le changement de variable affine y = x i+ x x x i i x i+ x On note h = x i i+ x i Alors y = x x i h et on a f (y) dy = xi+ h x i f ( x x i h )d x Comme x i+ x i f (t) dt a f (x i )+b f (m i )+c f (x i+ ), alors f (y) dy = xi+ h x i f ( x x i h ) dx ( m h a f () + b f ( i x i h ) + c f () ) On note alors A = a h, B = b h, C = c h, M = m i x i h d où m i = ( M)x i + M x i+ Rechercher a, b, c et m i revient à chercher A, B, C et M avec m i = ( M)x i + M x i+, a = Ah, tels que b = Bh, c = C h p(x) dx = Ap() + B p(m) +C p(), où p(x) est un polynôme Si p P (ie si p(x) = d + d x + d x + d x ) on a G Faccanoni 5

126 Quadrature Jeudi 5 juin 4 p(x)dx = Ap() + B p(m) +C p() [ d x + d x + d x + d 4 x 4] Ad + Bd +C d d + d + d + d 4 (A + B +C )d + (B M +C )d + (B M +C )d + (B M +C )d Par conséquent, pour que la formule soit exacte de degré au moins il faut que A + B +C = B M +C = B M +C = B M +C = 4 A + B +C = B M = C ( C )M = C ( C )M = 4 C La méthode f (x) dx = 6 f () + ( ) f + 6 f (), est exacte pour tout polynôme de degré au moins Soit maintenant f (x) = x 4 On a mais 6 f () + f donc la formule de quadrature est exacte de degré Si on revient aux variables initiales, on trouve L intégrale ( [ x 5 f (x)dx = 5 ] ) + 6 f () = 6 + = 5 m i = x i + x i+, a = 6 h, b = h, c = 6 h f (x)dx = n i= xi+ x i ( f (x) dx A = 6, B =, C = 6, M = ) = 5 4, peut être calculée numériquement en utilisant la formule précédente pour approcher chaque intégrale On obtient ainsi f (x)dx = n i= xi+ x i n h 6 i= = h 6 [ = h 6 = n i= [ n i= xi+ x i f (x) dx h 6 f (x) dx [ f (x i ) + 4f n f (x i ) + i= n f (a) + f (b) + [ f (x i ) + 4f ( xi + x i+ ( xi + x ) ] i+ + f (x i+ ) n ( xi + x ) ] i+ f (x i+ ) + 4 f i= n ( xi + x ) ] i+ f (x i ) + 4 f i= i= ) ] + f (x i+ ) n α i f (x i ) + β i f (m i ) = Q(f ) avec β i = h, α i = i= h si i =,,n, h 6 sinon 6 G Faccanoni

127 Jeudi 5 juin 4 Quadrature Cette formule de quadrature est stable puisque tous les coefficients α i et β i sont positifs et on a n i= n α i + i= β i = h n 6 + i= h + h n 6 + i= h = n ( n i= 6 + On reconnait la formule de Cavalieri-Simpson : remarquons alors que Q(f ) = n i= x i p(x)dx avec p le polynôme qui interpole (x i, f (x i )), (m i, f (m i )) et (x i+, f (x i+ )) Par conséquent l erreur de quadrature entre (4) et Q est 4 Algorithme Require: x f Require: n > a 6n b n c 6n I a f () for i = to n do I I + (a + c)f ( i n end for E(h) = f (x) dx Q(f ) n xi+ = f (x) dx ) + b f ( ( return I I + c f () + b f i n n n i= x i n xi+ i= x i n xi+ i= Dh 4 ) ) n i= f (x) p(x) dx xi+ x i p(x)dx n i= xi+ sup ξ [xi ;x f i+] (ξ) (x x i )(x m i )(x x i+ )dx x i 6 ) = G Faccanoni 7

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129 4 Équations différentielles ordinaires Calculer la fonction t y(t) qui vérifie l EDO y (t) = ϕ(t, y(t)) et la condition y(t ) = y Les équations différentielles décrivent l évolution de nombreux phénomènes dans des domaines variés Une équation différentielle est une équation impliquant une ou plusieurs dérivées d une fonction inconnue Si toutes les dérivées sont prises par rapport à une seule variable, on parle d équation différentielle ordinaire Une équation mettant en jeu des dérivées partielles est appelée équation aux dérivées partielles 4 Généralités Une équation différentielle (EDO) est une équation exprimée sous la forme d une relation F (y, y, y,, y (n) ) = g (t) dont l inconnue est une fonction y : I R R définie sur un intervalle I (à déterminer) dans laquelle cohabitent à la fois y et ses dérivées y, y,,y (p) (p est appelé l ordre de l équation) Si la fonction g, appelée «second membre» de l équation, est nulle, on dit que l équation en question est homogène Nous pouvons nous limiter aux équations différentielles du premier ordre, car une équation d ordre p > peut toujours se ramener à un système de p équations d ordre 4 Position du problème Résoudre une équation c est chercher toutes les valeurs de l inconnue qui satisfont l égalité Dans les équations rencontrées jusqu à présent, les inconnues étaient des nombres Par exemple, résoudre l équation x + 4 = signifie chercher toutes les valeurs de x R telles que x + 4 = Dans les équations différentielles, les inconnues sont des fonctions Résoudre une équation différentielle, c est chercher toutes les fonctions, définies sur un intervalle I R, qui satisfont l équation (on dit aussi intégrer l équation différentielle) Exemple Résoudre l équation différentielle y (t) = y(t) signifie chercher toutes les fonctions y : I R R t y = f (t) telles que f (t) = f (t) pour tout t I On peut vérifier que y(t) = pour tout t R est une solution de l EDO mais aussi y(t) = ce ct pour tout t R (où c est constante réelle quelconque) 4 Condition initiale Une EDO admet généralement une infinité de solutions Pour en sélectionner quelques unes (parfois juste une), on doit imposer une condition supplémentaire qui correspond à la valeur prise par la solution en un point de l intervalle d intégration Définition Condition initiale Une condition initiale (CI) est une relation du type y(t ) = y qui impose en t la valeur y de la fonction inconnue En pratique, se donner une CI revient à se donner le point (t, y ) par lequel doit passer le graphe de la fonction solution Exemple Évolution d une population- Soit N le nombre d individu d une population à l instant t La population N a un taux de naissance saisonnier ; le taux de décès est proportionnel au nombre d individu au carré (par surpopulation, dus par exemple au manque de nourriture) On considère enfin un terme indépendant de la taille et du temps (par exemple, si cette EDO modélise l élevage de saumons, ce terme représente les 9

130 4 Équations différentielles ordinaires Jeudi 5 juin 4 saumons péchés) On a alors l équation différentielle N = ( cos(t))n N On aura donc deux types de questions : trouver toutes les solutions de l EDO ; trouver la ou les solutions qui vérifient une CI 4 Représentation graphique On va expliquer comment tracer l allure des solutions d une EDO du type y = ϕ(t, y) Soit y = f (t) la fonction inconnue solution de cette EDO Si (t, y) est un point du graphe de f, cette égalité dit que la tangente au graphe de f au point (t, y) a pour pente ϕ(t, y) Dessinons alors, en (presque) chaque point (t, y) du plan un vecteur V t,y de pente ϕ(t, y) : le graphe de f est tangent en chaque point (t, y) au vecteur V t,y Remarquer qu on n a pas besoin d avoir résolu l équation (analytiquement) pour pouvoir dessiner le champ de tangentes, et ceci permet parfois d avoir une idée du comportement des solutions Exemple Évolution d une population- Considérons à nouveau l exemple de l évolution d une population traçons l allure des solutions Si on démarre l élevage avec 6 saumons, on voit qu une et une seule courbe passe par le point (,6) et si on suit cette solution on peut prédire par exemple le nombre d individu de la population dans dix ans : la courbe tracée en jaune donne N () N(t) t 44 Théorème d existence et unicité, intervalle de vie et solution maximale Le couple EDO-CI porte le nom de problème de CAUCHY : Définition Problème de CAUCHY Soit ϕ: R R R une fonction donnée et y la dérivée de y par rapport à t On appelle problème de CAUCHY le problème trouver une fonction y : I R R définie sur un intervalle I telle que y (t) = ϕ(t, y(t)), t I, y(t ) = y, (4) avec t un point de I et y une valeur donnée Exemple Existence et unicité sur R de la solution d un problème de CAUCHY On se donne ϕ(t, y(t)) = t y(t) et y = α (un nombre quelconque) On cherche une fonction y : t R + y(t) R qui satisfait y (t) = t y(t), t >, y() = α Sa solution, définie sur R, est donnée par y(t) = (α + /)e t + t / En effet on a bien y() = (α + /)e + / = α, y (t) = (α + /)e t + = (α + /)e t + t + t = y(t) + t G Faccanoni

131 Jeudi 5 juin 4 4 Équations différentielles ordinaires Cet exemple montre le cas où il existe une et une seule solution du problème de CAUCHY définie sur R Les choses ne se passent pas toujours si bien Les exemples ci-dessous montrent que l étude mathématique de l existence et de l unicité des solutions d un problème de CAUCHY peut être une affaire délicate Exemple Existence et unicité sur I R (mais non existence sur R) de la solution d un problème de CAUCHY On se donne ϕ(t, y(t)) = (y(t)) et y = On cherche une fonction y : t R + y(t) R qui satisfait On vérifie que la solution y est donnée par y(t) = y (t) = (y(t)), t >, y() = t qui n est définie que pour t [;/[ Cet exemple montre qu un problème de CAUCHY n a pas toujours une solution pour tout t [;+ [ puisqu ici la solution explose lorsque t tend vars la valeur / (en effet, nous avons lim y(t) = + ) : le graphe de la solution a une asymptote verticale en t = / On parle d explosion de la solution en t (/) temps fini ou encore de barrière On verra que ceci est un phénomène général : pour une solution d une EDO, la seule façon de ne pas être définie sur R est d avoir un asymptote verticale Exemple Non unicité de la solution d un problème de CAUCHY On se donne ϕ(t, y(t)) = y(t) et y = On cherche une fonction y : t R + y(t) R qui satisfait y (t) = y(t), t >, y() = On vérifie que les fonctions y (t) = et y, (t) = ± 8t /7, pour tout t, sont toutes les trois solution du problème de CAUCHY donné Cet exemple montre qu un problème de CAUCHY n a pas nécessairement de solution unique Il y a un résultat qui garantit que, sous certaines hypothèses très générales, deux graphes de fonctions qui sont des solutions de la même EDO ne se rencontrent jamais Le théorème garantit aussi l existence des solutions ; pour donner un énoncé précis, il faut d abord définir la notion de solution maximale De façon générale, lorsqu on se donne une équation différentielle et une condition initiale y(t ) = y, on cherche un intervalle I, contenant t, sur lequel une solution existe, et qui soit «le plus grand possible» : il n existe pas d intervalle plus grand sur lequel l équation différentielle ait une solution Cet intervalle s appelle intervalle de vie de la solution Une solution définie sur cet intervalle le plus grand possible s appelle solution maximale Définition Solution maximale On se donne une équation différentielle y (t) = ϕ(t, y(t)) avec une condition initiale y(t ) = y Une solution maximale pour ce problème est une fonction y = f (t), définie sur un intervalle I appelé intervalle de vie, telle que f est solution de l équation différentielle et vérifie la condition initiale ; il n existe pas de solution f de la même équation, vérifiant la même condition initiale et définie sur un intervalle J contenant I et plus grand que I Dans ce chapitre, nous nous contentons de rappeler un résultat d existence et d unicité global, au sens où on peut intégrer le problème de CAUCHY jusqu à t = Théorème de CAUCHY-LIPSCHITZ, Existence et unicité des solutions Considérons une fonction (x, y) ϕ(x, y) définie pour tout t dans un intervalle I et pour tout y dans un intervalle J de classe C alors pour toute CI y(t ) = y avec t I et y J il existe une unique solution maximale y = y(t) de l EDO y (t) = ϕ(t, y(t)) Attention La fonction ϕ est une fonction de deux variables donc vérifier que ϕ, t ϕ et y ϕ sont continues signifie utiliser la notion de limite en deux variables Les limites unilatérales (ie de la gauche et de la droite) perdent leur sens et sont remplacées par les nombreuses limites directionnelles possibles En effet, dès que le domaine se situe dans un espace à deux dimensions au moins, les chemins qui mènent à un point donné peuvent suivre divers axes Ainsi, l ensemble des points en lesquels une limite peut être considérée, doit être défini en tenant compte de toutes les possibilités d accès Les fonctions continues de plusieurs variables jouissent des mêmes propriétés que les fonctions continues d une seule variable Les fonctions élémentaires telles que les polynômes, les fonctions exponentielles, logarithmiques et trigonométriques sont continues dans leurs domaines de définition respectifs La continuité des autres fonctions s établit, le cas échéant, en tant que somme, produit, composée, le quotient (lorsque le dénominateur ne s annule pas) etc, de fonctions G Faccanoni

132 4 Équations différentielles ordinaires Jeudi 5 juin 4 continues Voici quelques exemples : ϕ(x, y) = x + y x y + y est continue dans R (polynôme du second degré à deux variables) ϕ(x, y, z) = e y + x y est continue dans R (somme d une exponentielle et d un polynôme) ϕ(x, y) = ln(x + y ) est continue dans (x, y) R x + y > } comme somme du logarithme d un polynôme (fonction composée) et d une constante Théorème Soit y = f (t) une solution maximale définie sur un intervalle de vie I =]a;b[ Si b + alors lim t b y(t) =, ie le graphe de la solution a une asymptote verticale en t = b Même chose si a On utilise souvent le théorème sous forme contraposée : si les solutions ne peuvent pas «exploser», alors elles sont définies sur R Remarque Applications du théorème de CAUCHY-LIPSCHITZ D un point de vue pratique, cet énoncé nous aidera à faire des dessins, en garantissant que les graphes des solutions ne se rencontrent jamais On peut en déduire quelques remarques plus subtiles : si l EDO admet comme solution la solution nulle mais y, alors la solution du problème de CAUCHY est du signe de y pour tout t I ; si l EDO admet deux solutions constantes y(t) = κ et y(t) = κ pour tout t I et y ]κ ;κ [, alors la solution du problème de CAUCHY vérifie y(t) ]κ ;κ [ pour tout t R 4 Schémas numériques En pratique, on ne peut expliciter les solutions que pour des équations différentielles ordinaires très particulières Dans certains cas, on ne peut exprimer la solution que sous forme implicite Dans d autres cas, on ne parvient même pas à représenter la solution sous forme implicite Pour ces raisons, on cherche des méthodes numériques capables d approcher la solution de toutes les équations différentielles qui admettent une solution Considérons le problème de CAUCHY (4) et supposons que l on ait montré l existence d une solution y Le principe des méthodes numériques est de subdiviser l intervalle I = [t,t ], avec T < +, en N h intervalles de longueur h = (T t )/N h = t n+ t n ; h est appelé le pas de discrétisation Si nous intégrons l EDO y (t) = ϕ(t, y(t)) entre t n et t n+ nous obtenons tn+ y(t n+ ) y(t n ) = ϕ(t, y(t))d t t n Pour chaque nœud t n = t + nh ( n N h ) on cherche la valeur inconnue u n qui approche y(t n ) L ensemble des valeurs u = y,u,,u Nh } représente la solution numérique 4 Schémas numériques classiques On peut construire différentes schémas selon la formule de quadrature utilisée pour approcher le membre de droite Les schémas qu on va construire permettent de calculer u n+ à partir de u n et il est donc possible de calculer successivement u, u,, en partant de u par une formule de récurrence de la forme u = y, u n+ = ϕ(u n ), n N Si on utilise la formule de quadrature du rectangle à gauche, ie tn+ ϕ(t, y(t))d t hϕ(t n, y(t n )) t n on obtient le schéma d EULER progressif u = y(t ) = y, u n+ = u n + hϕ(t n,u n ) n =,,, N h Il s agit d un schéma explicite car il permet d expliciter u n+ en fonction de u n G Faccanoni

133 Jeudi 5 juin 4 4 Équations différentielles ordinaires Si on utilise la formule de quadrature du rectangle à droite, ie on obtient le schéma d EULER rétrograde tn+ t n ϕ(t, y(t))d t hϕ(t n+, y(t n+ )) u = y(t ) = y, u n+ hϕ(t n+,u n+ ) = u n n =,,, N h Il s agit d un schéma implicite car il ne permet pas d expliciter directement u n+ en fonction de u n lorsque la fonction f n est pas triviale Si on utilise la formule de quadrature du point du milieu, ie on obtient un nouveau schéma : tn+ t n ϕ(t, y(t))d t hϕ (t n + h (, y t n + h )) u = y(t ) = y, u n+ = u n + hϕ ( ) t n + h,u n+/ n =,,, N h où u n+/ est une approximation de y(t n + h/) Nous pouvons utiliser une prédiction d EULER progressive pour approcher le u n+/ dans le terme ϕ(t n + h/,u n+/ ) par ũ n+/ = u n + (h/)ϕ(t n,u n ) Nous avons construit ainsi un nouveau schéma appelé schéma d EULER modifié qui s écrit u = y(t ) = y, ũ n+/ = u n + (h/)ϕ(t n,u n ), ( ) u n+ = u n + hϕ t n + h,ũ n+/ n =,,, N h Il s agit d un schéma explicite car il permet d expliciter u n+ en fonction de u n Si on utilise la formule de quadrature du point milieu sur l intervalle [t n ; t n+ ], ie tn+ t n ϕ(t, y(t))d t hϕ ( t n+, y(t n+ ) ) on obtient u = y(t ) = y, u = ỹ(t ) u n+ = u n + hϕ(t n,u n ) n =,, N h où u est une approximation de y(t ) Nous pouvons utiliser une prédiction d EULER progressive pour approcher u Nous avons construit ainsi un nouveau schéma appelé schéma du point milieu qui s écrit u = y(t ) = y, u = u + hϕ(t,u ), u n+ = u n + hϕ(t n,u n ) n =,, N h Il s agit d un schéma explicite car il permet d expliciter u n+ en fonction de u n et de u n Si on utilise la formule du trapèze, ie tn+ t n ϕ(t, y(t))d t h on obtient le schéma du trapèze ou de CRANK-NICOLSON u = y(t ) = y, ( ϕ(tn, y(t n )) + ϕ(t n+, y(t n+ )) ) u n+ h ϕ(t n+,u n+ ) = u n + h ϕ(t n,u n ) n =,,, N h Il s agit à nouveau d un schéma implicite car il ne permet pas d expliciter directement u n+ en fonction de u n lorsque la fonction f n est pas triviale En fait, ce schéma fait la moyenne des schémas d EULER progressif et rétrograde G Faccanoni

134 4 Équations différentielles ordinaires Jeudi 5 juin 4 Pour éviter le calcul implicite de u n+ dans le schéma du trapèze, nous pouvons utiliser une prédiction d EULER progressive et remplacer le u n+ dans le terme ϕ(t n+,u n+ ) par ũ n+ = u n + hϕ(t n,u n ) Nous avons construit ainsi un nouveau schéma appelé schéma de HEUN Plus précisément, la méthode de HEUN s écrit u = y(t ) = y, ũ n+ = u n + hϕ(t n,u n ), u n+ = u n + h ( ϕ(tn,u n ) + ϕ(t n+,ũ n+ ) ) n =,,, N h Remarque Considérons le schéma d EULER rétrograde Si nous voulons calculer u n+, nous définissons la fonction g (x) = x hϕ(t n+, x) u n et nous cherchons un zéro de g (x) en prenant par exemple la méthode de NEWTON Ainsi nous pouvons poser x = u et x m+ = x m g (x m )/g (x m ), m =,, Puisque g (x) = h x ϕ(t n+, x), nous obtenons donc dans ce cas le schéma x = u n, x m+ = x m x m hϕ(t n+,x) u n h x ϕ(t n+,x) m =,,, et u n+ = lim m x m pour autant que f soit suffisamment régulière et que x soit suffisamment proche de u n+, ce qui est le cas si le pas h est suffisamment petit 4 Schémas numériques d Adams Les schémas d ADAM approchent l intégrale t n+ t n ϕ(t, y(t))d t par l intégrale d un polynôme p interpolant f en des points donnés On peut construire différentes schémas selon les points d interpolation choisis Ils se divisent en deux familles : les méthodes d ADAMS-BASHFORTH qui sont explicites et les méthodes d ADAMS-MOULTON qui sont implicites Voici quelques exemples : Méthodes d Adams-Bashforth : il s agit de méthodes explicites à j pas notées AB j Le polynôme p interpole f en les points t n, t n,, t n j + } où j est fixé Elles permettent de calculer un+ à partir de l ensemble u n,u n,,u n j + } et il est donc possible de calculer successivement u j, u j +,, en partant de u,u,,u j (qui doivent donc être initialisés par des approximations adéquates car seul u est donné) j = On a tn+ p(t) = ϕ(t n, y(t n )) t n p(t) dt = hϕ(t n, y(t n )) et on obtient le schéma u = y(t ) = y, u n+ = u n + hϕ(t n,u n ) n =,, N La méthode AB coïncide avec la méthode d EULER progressive j = On a p(t) = ϕ(t n, y(t n )) ϕ(t n, y(t n )) (t t n ) + ϕ(t n, y(t n )) h tn+ p(t) dt = h ( ϕ(tn, y(t n )) ϕ(t n, y(t n )) ) t n et on obtient le schéma u = y(t ) = y, u = u + hϕ(t,u ) y(t ) u n+ = u n + h ( ϕ(tn,u n ) ϕ(t n,u n ) ) n =,, N où u est une approximation de y(t ) obtenue en utilisant une prédiction AB 4 G Faccanoni

135 Jeudi 5 juin 4 4 Équations différentielles ordinaires j = On a p(t) = ϕ(t n, y(t n )) h (t t n )(t t n ) ϕ(t n, y(t n )) h (t t n )(t t n ) + ϕ(t n, y(t n )) h (t t n )(t t n ) tn+ ( ϕ(tn, y(t n )) 6ϕ(t n, y(t n )) + 5ϕ(t n, y(t n )) ) t n p(t) dt = h et on obtient le schéma u = y(t ) = y, u = u + hϕ(t,u ) y(t ) u = u + h ( ϕ(t,u ) ϕ(t,u ) ) y(t ) u n+ = u n + h ( ϕ(tn,u n ) 6ϕ(t n,u n + 5ϕ(t n,u n ) ) n =,, N où u est une approximation de y(t ) obtenue en utilisant une prédiction AB et u est une approximation de y(t ) obtenue en utilisant la méthode AB Méthode d Adams-Moulton : il s agit de méthodes implicites à j pas notées AM j + Le polynôme p interpole f en les points t n+, t n, t n,, t n j + } où j est fixé Elles permettent de calculer un+ de façon implicite à partir de l ensemble u n,u n,,u n j + } et il est donc possible de calculer successivement u j, u j +,, en partant de u,u,,u j (qui doivent donc être initialisés par des approximations adéquates car seul u est donné) j = On a tn+ p(t) = ϕ(t n+, y(t n+ )) t n p(t) dt = hϕ(t n+, y(t n+ )) et on obtient le schéma u = y(t ) = y, u n+ = u n + hϕ(t n+,u n+ ) n =,, N La méthode AM coïncide avec la méthode d EULER régressive j = On a p(t) = ϕ(t n+, y(t n+ )) ϕ(t n, y(t n )) (t t n ) + ϕ(t n, y(t n )) h tn+ p(t) dt = h ( ϕ(tn, y(t n )) + ϕ(t n+, y(t n+ )) ) t n et on obtient le schéma u = y(t ) = y, u n+ = u n + h ( ϕ(tn,u n ) + ϕ(t n+,u n+ ) ) n =,, N La méthode AM coïncide avec la méthode de CRANK-NICOLSON j = On a p(t) = ϕ(t n, y(t n )) h (t t n )(t t n+ ) ϕ(t n, y(t n )) h (t t n )(t t n+ ) + ϕ(t n+, y(t n+ )) h (t t n )(t t n ) tn+ p(t) dt = h ( 5ϕ(tn+, y(t n+ )) + 8ϕ(t n, y(t n )) ϕ(t n, y(t n )) ) t n et on obtient le schéma u = y(t ) = y, u = u + hϕ(t,u ) y(t ) u n+ = u n + h ( ) 5ϕ(tn+,u n+ ) + 8ϕ(t n,u n ) ϕ(t n,u n n =,, N où u est une approximation de y(t ) obtenue en utilisant une prédiction AB G Faccanoni 5

136 4 Équations différentielles ordinaires Jeudi 5 juin 4 4 Schémas multi-pas de type predictor-corrector Lorsqu on utilise une méthode implicite, pour calculer u n+ on doit résoudre une équation non-linéaire, par exemple avec la méthode de NEWTON Une approche différente qui permet de s affranchir de cette étape est donnée par les méthodes predictor-corrector Une méthode predictor-corrector est une méthode qui permet de calculer u n+ de façon explicite à partir d une méthode implicite comme suit : predictor : on calcule ũ n+ une approximation de u n+ par une méthode explicite ; corrector : on écrit une méthode implicite et on approche ϕ(t n+,u n+ ) par ϕ(t n+,ũ n+ ) Exemple : on a déjà rencontré une méthode de type predictor-corrector lorsqu on a construit les schémas classiques : la méthode de HEUN u = y ũ n+ = u n + hϕ(t n,u n ) n =,, N u n+ = u n + h ( ϕ(tn,u n ) + ϕ(t n+,ũ n+ ) ) n =,, N est construite par les deux étapes suivantes : predictor : méthode d EULER explicite (ou AB ) ũ n+ = u n + hϕ(t n,u n ) corrector : méthode de CRANK-NICOLSON (ou AM ) ũ n+ = u n + h ( ϕ(tn,u n ) + ϕ(t n+,u n+ ) ) Exemple : des méthodes de type predictor-corrector sont souvent construites en utilisant une prédiction d ADAMS-BASHFORTH suivie d une correction d ADAMS-MOULTON Par exemple, si on considère les deux étapes suivantes predictor : méthode AB ũ n+ = u n + h ( ϕ(tn,u n ) ϕ(t n,u n ) ) corrector : méthode AM ũ n+ = u n + h ( ) 5ϕ(tn+,u n+ ) + 8ϕ(t n,u n ) ϕ(t n,u n on obtient la méthode AB -AM : u = y u = u + hϕ(t,u ), ũ n+ = u n + h ( ϕ(t n,u n ) ϕ(t n,u n ) ) n =,, N u n+ = u n + h ( ) 5ϕ(tn+,ũ n+ ) + 8ϕ(t n,u n ) ϕ(t n,u n n =,, N 4 Conditionnement En générale, il ne suffit pas qu un schéma numérique soit convergent pour qu il donne des bons résultats sur n importe quelle équation différentielle Encore faut-il que le problème soit mathématiquement bien posé (existence et unicité de la solution), qu il soit numériquement bien posé (continuité suffisamment bonne par rapport aux conditions initiales) et qu il soit bien conditionné Voyons dans l exemple suivant ce que cela signifie Exemple Problème de CAUCHY numériquement mal posé Une fois calculée la solution numérique u n } N h n=, il est légitime de chercher à savoir dans quelle mesure l erreur y(t n) u n est petite pour n =,, Nous essayons de répondre à cette question en reprenant le premier exemple du chapitre On se donne ϕ(t, y) = t y et y = α (un nombre quelconque) On cherche une fonction y : t R + y(t) R qui satisfait y (t) = t y(t), t >, y() = α Nous avons vu que sa solution est donnée par y(t) = (α /)e t +t +/ Si nous cherchons à résoudre le problème de CAUCHY jusqu à t = avec α = /, nous obtenons y() = + / = / Par contre, si nous faisons le calcul avec l approximation α = au lieu de /, nous avons y() = ( /)e ++/ = e /+/ ce qui représente une différence avec la précédente valeur de e / 7 / Cet exemple nous apprend qu une petite erreur sur la condition initiale (erreur relative d ordre 6 ) peut provoquer une très grande erreur sur y() (erreur relative d ordre 6 ) Ainsi, si le calculateur mis à notre disposition ne calcul qu avec 6 chiffres significatifs (en virgule flottante), alors α = / devient α = et il est inutile d essayer d inventer une méthode numérique pour calculer y() En effet, la seule erreur sur la condition initiale provoque déjà une erreur inadmissible sur la solution Nous sommes en présence ici d un problème numériquement mal posé, appelé aussi problème mal conditionné 44 Stabilité Considérons le problème de CAUCHY (4) et supposons que l on ait montré l existence d une solution y Le principe des méthodes numériques est de subdiviser l intervalle I = [t,t ] en N h intervalles de longueur h = (T t )/N h > où h est le pas de discrétisation Alors, pour chaque nœud t n (h) = t +nh ( n N h ) on cherche la valeur inconnue u n (h) qui approche y(t n (h) ) L ensemble des valeurs u (h) = y,u (h),,u(h) représente la solution numérique N h } 6 G Faccanoni

137 Jeudi 5 juin 4 4 Équations différentielles ordinaires Deux questions naturelles se posent : que se passe-t-il lorsqu on fait tendre le pas h vers? Que se passe-t-il lorsqu on fixe le pas h > mais on fait tendre T vers l infini? Dans les deux cas le nombre de nœuds tend vers l infini mais dans le premier cas on s intéresse à l erreur en chaque point, dans le deuxième cas il s agit du comportement asymptotique de la solution et de son approximation : Zéro-stabilité : soit T fixé et considérons la limite h (ainsi N h + ) On note e (h) n l erreur au point t +nh Il s agit d estimer le comportement de e (h) n est zéro-stable si e (h) n pour tout n N h y(t n (h) ) u n (h) = y(t + nh) u n (h) en tout point, ie pour tout n N h La méthode Cette notion est très importante car le théorème de LAX-RICHTMYER (ou théorème d équivalence) affirme que une méthode consistante et zéro-stable est convergente A-stabilité : on considère un problème de CAUCHY (4) dont la solution exacte vérifie y(t) Soit h fixé et consi- t + dérons la limite T + (ainsi N h + ) On dit que la méthode est A-stable si u (h) n 44 A-Stabilité n + Dans la section précédente, on a considéré la résolution du problème de CAUCHY sur des intervalles bornés Dans ce cadre, le nombre N h de sous-intervalles ne tend vers l infini que quand h tend vers zéro Il existe cependant de nombreuses situations dans lesquelles le problème de CAUCHY doit être intégré sur des intervalles en temps très grands ou même infini Dans ce cas, même pour h fixé, N h tend vers l infini On s intéresse donc à des méthodes capables d approcher la solution pour des intervalles en temps arbitrairement grands, même pour des pas de temps h «assez grands» Définition Soit β > un nombre réel positif et considérons le problème de CAUCHY y (t) = βy(t), pour t >, y() = y où y est une valeur donnée Sa solution est y(t) = y e βt et lim t + y(t) = Soit h > un pas de temps donné, t n = nh pour n N et notons u n y(t n ) une approximation de la solution y au temps t n Si, sous d éventuelles conditions sur h, on a lim n + u n =, alors on dit que le schéma est A-stable On peut tirer des conclusions analogues quand β est un complexe ou une fonction positive de t D autre part, en général il n y a aucune raison d exiger qu une méthode numérique soit absolument stable quand on l applique à un autre problème Cependant, on peut montrer que quand une méthode absolument stable sur le problème modèle est utilisée pour un problème modèle généralisé, l erreur de perturbation (qui est la valeur absolue de la différence entre la solution perturbée et la solution non perturbée) est bornée uniformément (par rapport à h) En bref, on peut dire que les méthodes absolument stables permettent de contrôler les perturbations Étudions la A-stabilité des schémas classiques introduits ci-dessus Le schéma d EULER progressif devient u n+ = ( βh)u n, n =,,, et par suite u n = ( βh) n u, n =,,, Par conséquente, lim u n = si et seulement si n + ce qui a pour effet de limiter h à βh <, h β Cette condition de A-stabilité limite le pas h d avance en t lorsqu on utilise le schéma d EULER progressif Notons que si βh > alors u n tend vers + lorsque t tend vers l infini et si βh < alors u n tend vers l infini en alternant de signe lorsque t tend vers l infini Nous dirons dans ces cas que le schéma d EULER progressif est instable Le schéma d EULER rétrograde devient dans le cadre de notre exemple ( + βh)u n+ = u n, n =,,, G Faccanoni 7

138 4 Équations différentielles ordinaires Jeudi 5 juin 4 et par suite u n = ( + βh) n u, n =,,, Dans ce cas nous voyons que pour tout h > nous avons lim n u n =, le schéma d EULER rétrograde est donc toujours stable, sans limitations sur h Le schéma de CRANK-NICOLSON appliqué à notre exemple s écrit et par suite Par conséquent, lim u n = si et seulement si n + ( + β h ) ( u n+ = β h ) u n ( ) βh n u n = u, n =,,, + βh βh + βh < Notons x le produit βh > et q la fonction q(x) = x +x = x x +x Nous avons < +x < pour tout x R +, donc q(x) < pour tout x R + La relation lim u n = est donc satisfaite pour tout h > : le schéma de CRANK-NICOLSON n + est donc toujours stable, sans limitations sur h Le schéma de HEUN pour notre exemple devient Par induction on obtient Par conséquent, lim u n = si et seulement si n + ) u n+ = ( βh + (βh) u n ) n u n = ( βh + (βh) u (h) βh + β < Notons x le produit βh et q le polynôme q(x) = x x + dont le graphe est représenté en figure q x = βh Nous avons q(x) < si et seulement si < x < La relation lim u n = est donc satisfaite si et seulement si n + h < β Cette condition de stabilité limite le pas h d avance en t lorsqu on utilise le schéma de HEUN A première vue, il semble que le schéma d EULER progressif et le schéma de HEUN soient préférable au schéma d EULER rétrograde et de CRANK-NICOLSON puisque ces derniers ne sont pas explicites Cependant, les méthodes d EULER implicite et de CRANK-NICOLSON sont inconditionnellement A-stables C est aussi le cas de nombreuses autres méthodes implicites Cette propriété rend les méthodes implicites attractives, bien qu elles soient plus coûteuses que les méthodes explicites 8 G Faccanoni

139 Jeudi 5 juin 4 4 Équations différentielles ordinaires Codes Python Voici les function python des méthodes illustrées dans ce chapitre #!/usr/bin/python #-*- coding: Utf-8 -*- 4 import math 5 import sys 6 import matplotlibpyplot as plt 7 8 def euler_progressif(f,tt,n): 9 yy = [y] for i in range(n): yyappend(yy[i]+h*f(tt[i],yy[i])) return yy 4 def euler_modifie(f,tt,n): 5 yy = [y] 6 for i in range(n): 7 yyappend(yy[i]+h*f(tt[i]+h*5,yy[i]+h*5*f(tt[i],yy[i]))) 8 return yy 9 def heun(f,tt,n): yy = [y] for i in range(n): yyappend(yy[i]+h*(f(tt[i],yy[i])+f(tt[i+],yy[i]+h*f(tt[i],yy[i])))) 4 return yy et voici un exemple 5 # INITIALISATION 6 N = 7 exemple = if exemple== : t = y = tfinal = def f(t,y): 4 return y 5 def sol_exacte(t): 6 return mathexp(t) 7 elif exemple== : 8 t = 9 y = 4 tfinal = 4 def f(t,y): 4 return t 4 def sol_exacte(t): 44 return +5*t** 45 elif exemple== : 46 t = 47 y = 48 tfinal = 49 def f(t,y): 5 return mathcos(*y) 5 def sol_exacte(t): 5 return 5*mathasin((mathexp(4*t)-)/(mathexp(4*t)+)) 5 else : 54 print "Exemple non defini" 55 sysexit() # CALCUL 58 h = (tfinal-t)/n 59 tt = [ t+i*h for i in range(n+) ] 6 yy_exacte = [sol_exacte(t) for t in tt] 6 yy_euler_progressif = euler_progressif(f,tt,n) G Faccanoni 9

140 4 Équations différentielles ordinaires Jeudi 5 juin 4 6 yy_euler_modifie = euler_modifie(f,tt,n) 6 yy_heun = euler_modifie(f,tt,n) # AFFICHAGE 66 pltaxis([t, tfinal, min(yy_euler_progressif), max(yy_euler_progressif)]) 67 pltplot(tt,yy_exacte, m,tt,yy_euler_progressif, go,tt,yy_euler_modifie, cs,tt,yy_heun, r^ ) 68 pltshow() 4 G Faccanoni

141 Jeudi 5 juin 4 4 Équations différentielles ordinaires Exercices Exercice 4 Considérons le problème de CAUCHY : trouver y : [t,t ] R R tel que y (t) = ϕ(t, y(t)), t [t,t ], y(t ) = y Supposons que l on ait montré l existence d une unique solution y Le principe des méthodes numériques est de subdiviser l intervalle [t,t ] en N intervalles de longueur h = (T t )/N = t n+ t n Pour chaque nœud t n = t + nh ( n N ) on cherche la valeur inconnue u n qui approche y(t n ) L ensemble des valeurs u = y,u,,u N } représente la solution numérique Dans cette exercice on va construire des nouveaux schémas numériques basés sur l intégration de l EDO y (t) = ϕ(t, y(t)) entre t n et t n+ : y(t n+ ) = y(t n ) + tn+ t n ϕ(t, y(t)) dt En utilisant la formule de quadrature du point milieu pour approcher le membre de droite écrire un schéma numérique explicite permettant de calculer u n+ à partir de u n+ et u n Notons que ce schéma a besoin de deux valeurs initiales ; on posera alors u = y et u sera approché par une prédiction d EULER progressive En utilisant la formule de quadrature de CAVALIERI-SIMPSON pour approcher le membre de droite écrire un schéma numérique implicite permettant de calculer u n+ à partir de u n+ et u n Notons que ce schéma a besoin de deux valeurs initiales ; on posera alors u = y et u sera approché par une prédiction d EULER progressive Proposer une modification du schéma au point précédent pour qu il devient explicite CORRECTION DE L EXERCICE 4 Si on utilise la formule de quadrature du point milieu sur l intervalle [t n ; t n+ ], ie tn+ t n ϕ(t, y(t)) dt hϕ ( t n+, y(t n+ ) ) on obtient u = y(t ) = y, u y(t ) u n+ = u n + hϕ(t n+,u n+ ) n =,, N où u est une approximation de y(t ) Nous pouvons utiliser une prédiction d EULER progressive pour approcher u Nous avons construit ainsi un nouveau schéma explicite à trois pas : u = y(t ) = y, u = u + hϕ(t,u ), u n+ = u n + hϕ(t n+,u n+ ) n =,, N Il s agit d un schéma explicite car il permet d expliciter u n+ en fonction de u n et de u n+ Si on utilise la formule de quadrature de CAVALIERI-SIMPSON sur l intervalle [t n ; t n+ ], ie tn+ t n ϕ(t, y(t)) dt h ( ϕ(tn, y(t n )) + 4ϕ(t n+, y(t n+ )) + ϕ(t n+, y(t n+ )) ), et une prédiction d EULER progressive pour approcher u, nous obtenons un nouveau schéma implicite à trois pas : u = y(t ) = y, u = u + hϕ(t,u ), u n+ = u n + h ( ϕ(tn,u n ) + 4ϕ(t n+,u n+ ) + ϕ(t n+,u n+ ) ) n =,, N Pour éviter le calcul implicite de u n+, nous pouvons utiliser une prédiction d EULER progressive et remplacer le u n+ dans le terme ϕ(t n+,u n+ ) par ũ n+ = u n+ +hϕ(t n+,u n+ ) Nous avons construit ainsi un nouveau schéma explicite à trois pas : u = y(t ) = y, u = u + hϕ(t,u ), u n+ = u n + h ( ϕ(tn,u n ) + 4ϕ(t n+,u n+ ) + ϕ(t n+,u n+ + hϕ(t n+,u n+ ) ) n =,, N G Faccanoni 4

142 4 Équations différentielles ordinaires Jeudi 5 juin 4 Exercice 4 Méthodes d ADAMS-BASHFORTH Considérons le problème de CAUCHY suivant dont on suppose qu il existe une et une seule solution : trouver y : [t,t ] R R tel que y (t) = ϕ(t, y(t)), t [t,t ], y(t ) = y Le principe des méthodes numériques pour approcher la fonction y est de subdiviser l intervalle [t,t ] en N intervalles de longueur h = (T t )/N > Pour chaque nœud t n = t + nh ( n N ) on cherche la valeur inconnue u n qui approche y(t n ) L ensemble des valeurs u = y,u,,u N } représente la solution numérique Dans cette exercice on va construire des nouveaux schémas numériques basés sur l intégration approchée de l EDO y (t) = ϕ(t, y(t)) entre t n et t n+ car l on a y(t n+ ) = y(t n ) + tn+ t n ϕ(t, y(t)) dt Les schémas d ADAM approchent l intégrale précédent par l intégrale d un polynôme interpolant f en des points donnés Écrire le schéma explicite obtenu en choisissant comme unique point à interpoler le point t n Écrire le schéma explicite obtenu en choisissant comme points à interpoler les points t n, t n } en proposant une adéquate initialisation de la suite (Attention : on intègre f sur l intervalle [t n, t n+ ] mais on interpole f en t n et t n ) CORRECTION DE L EXERCICE 4 On a tn+ p(t) = ϕ(t n, y(t n )) t n p(t) dt = hϕ(t n, y(t n )) et on obtient le schéma u = y(t ) = y, u n+ = u n + hϕ(t n,u n ) n =,, N Il s agit d un schéma explicite appelé schéma d ADAMS-BASHFORTH à un pas (qui coïncide avec la méthode d EULER progressive) On a p(t) = ϕ(t n, y(t n )) ϕ(t n, y(t n )) (t t n ) + ϕ(t n, y(t n )) h tn+ ( ϕ(tn, y(t n )) ϕ(t n, y(t n )) ) t n p(t) dt = h et on obtient le schéma u = y(t ) = y, u y(t ) u n+ = u n + h ( ϕ(tn,u n ) ϕ(t n,u n ) ) n =,, N où u est une approximation de y(t ) Nous pouvons utiliser une prédiction d EULER progressive pour approcher u Nous avons construit ainsi un nouveau schéma explicite à deux pas : u = y(t ) = y, u = u + hϕ(t,u ), u n+ = u n + h ( ϕ(tn,u n ) ϕ(t n,u n ) ) n =,, N Il s agit d un schéma explicite appelé schéma d ADAMS-BASHFORTH à deux pas 4 G Faccanoni

143 Jeudi 5 juin 4 4 Équations différentielles ordinaires Exercice 4 Méthodes d ADAMS-MOULTON Considérons le problème de CAUCHY suivant dont on suppose qu il existe une et une seule solution : trouver y : [t,t ] R R tel que y (t) = f (t, y(t)), t [t,t ], y(t ) = y Le principe des méthodes numériques pour approcher la fonction y est de subdiviser l intervalle [t,t ] en N intervalles de longueur h = (T t )/N > Pour chaque nœud t n = t + nh ( n N ) on cherche la valeur inconnue u n qui approche y(t n ) à partir de u = y L ensemble des valeurs u,u,,u N } représente la solution numérique Dans cette exercice on va construire des schémas numériques basés sur l intégration approchée de l EDO y (t) = f (t, y(t)) entre t n et t n+ à partir de la relation tn+ y(t n+ ) = y(t n ) + f (t, y(t)) dt t n Les schémas d ADAM approchent l intégrale précédente par l intégrale d un polynôme interpolant f en des points donnés Écrire le schéma implicite obtenu en choisissant comme points à interpoler le point t n } Quel schéma reconnaiton? Écrire le schéma implicite obtenu en choisissant comme points à interpoler les points t n, t n+ } Quel schéma reconnait-on? Écrire le schéma implicite obtenu en choisissant comme points à interpoler les points t n, t n, t n+ } en proposant une adéquate initialisation de la suite (Attention : on intègre f sur l intervalle [t n, t n+ ] mais on interpole f en t n+, t n et t n ) CORRECTION DE L EXERCICE 4 On a tn+ p(t) = f (t n+, y(t n+ )) t n p(t) dt = h f (t n+, y(t n+ )) et on obtient le schéma u = y(t ) = y, u n+ = u n + h f (t n+,u n+ ) n =,, N Il s agit d un schéma implicite appelé schéma d ADAMS-MOULTON à un pas (qui coïncide avec la méthode d EULER régressive) On a p(t) = f (t n+, y(t n+ )) f (t n, y(t n )) (t t n ) + f (t n, y(t n )) h tn+ ( f (tn, y(t n )) + f (t n+, y(t n+ )) ) t n p(t) dt = h et on obtient le schéma u = y(t ) = y, u n+ = u n + h ( f (tn,u n ) + f (t n+,u n+ ) ) n =,, N Il s agit d un schéma implicite appelé schéma d ADAMS-MOULTON à deux pas qui coïncide avec le schéma de CRANK- NICOLSON On a p(t) = f (t n, y(t n )) h (t t n )(t t n+ ) f (t n, y(t n )) h (t t n )(t t n+ ) + f (t n+, y(t n+ )) h (t t n )(t t n ) tn+ ( 5f (tn+, y(t n+ )) + 8f (t n, y(t n )) f (t n, y(t n )) ) t n p(t) dt = h G Faccanoni 4

144 4 Équations différentielles ordinaires Jeudi 5 juin 4 et on obtient le schéma u = y(t ) = y, u = u + h f (t,u ) y(t ) u n+ = u n + h ( ) 5f (tn+,u n+ ) + 8f (t n,u n ) f (t n,u n n =,, N où u est une approximation de y(t ) obtenue en utilisant une prédiction d EULER progressive Exercice 44 A-stabilité de la méthode d EULER explicite en fonction du pas On considère le problème de CAUCHY y (t) = y(t), y() =, sur l intervalle [;] Calculer la solution exacte du problème de CAUCHY Soit h le pas temporel Écrire la méthode d EULER explicite pour cette équation différentielle ordinaire (EDO) En déduire une forme du type u n+ = g (h,n) avec g (h,n) à préciser (autrement dit, l itérée en t n ne dépend que de h et n et ne dépend pas de u n ) 4 Utiliser la formulation ainsi obtenue pour tracer les solutions exacte, obtenue avec la méthode d EULER avec h = 5, obtenue avec la méthode d EULER avec h = 5, obtenue avec la méthode d EULER avec h = 5 5 Que peut-on en déduire sur la A-stabilité de la méthode? CORRECTION DE L EXERCICE 44 Il s agit d une EDO à variables séparables L unique solution constante de l EDO est la fonction y(t), toutes les autres solutions sont du type y(t) = Ce t Donc l unique solution du problème de CAUCHY est la fonction y(t) = e t définie pour tout t R La méthode d EULER est une méthode d intégration numérique d EDO du premier ordre de la forme y (t) = F (t, y(t)) C est une méthode itérative : la valeur y à l instant t +h se déduisant de la valeur de y à l instant t par l approximation linéaire y(t + h) y(t) + y (t)h = y(t) + F (t, y(t))h En choisissant un pas de discrétisation h, nous obtenons une suite de valeurs (t n,u n ) qui peuvent être une excellente approximation de la fonction y(t) avec tn = t + nh, u n = u n + F (t n,u n )h La méthode d EULER explicite pour cette EDO s écrit donc En procédant par récurrence sur n, on obtient u n+ = ( h)u n u n+ = ( h) n+ 4 On a donc ( si h = 5 alors u n = ) n tandis que y(t n ) = e 5n/, ( si h = 5 alors u n = ) n tandis que y(t n ) = e n/, ( ) n si h = 5 alors u n = tandis que y(t n ) = e n/ 44 G Faccanoni

145 Jeudi 5 juin 4 4 Équations différentielles ordinaires u n t n = nh h = 5 h = 5 h = Ci-dessous sont tracées sur l intervalle [; ], les courbes représentatives de la solution exacte et de la solution calculée par la méthode d EULER explicite En faisant varier le pas h nous pouvons constater que si h = 5 l erreur commise entre la solution exacte et la solution calculée est amplifiée d un pas à l autre y t Exacte h = 5 h = 5 h = 5 NB : les trois premières itérées ont la même pente (se rappeler de la construction géométrique de la méthode d EULER) 5 De la formule u n+ = ( h) n+ on déduit que si < h < alors la solution numérique est stable et convergente, si < h < alors la solution numérique oscille mais est encore convergente, si h > alors la solution numérique oscille et divergente En effet, on sait que la méthode est A-stable si et seulement si h < Remarque : la suite obtenue est une suite géométrique de raison q = h On sait qu une telle suite diverge si q > ou q =, est stationnaire si q =, converge vers q < G Faccanoni 45

146 4 Équations différentielles ordinaires Jeudi 5 juin 4 Exercice 45 L évolution de la concentration de certaines réactions chimiques au cours du temps peut être décrite par l équation différentielle y (t) = + t y(t) Sachant qu à l instant t = la concentration est y() = 5, déterminer la concentration à t = à l aide de la méthode d EULER implicite avec un pas h = 5 CORRECTION DE L EXERCICE 45 La méthode d EULER implicite est une méthode d intégration numérique d EDO du premier ordre de la forme y (t) = F (t, y(t)) C est une méthode itérative : en choisissant un pas de discrétisation h, la valeur y à l instant t + h se déduit de la valeur de y à l instant t par l approximation linéaire y(t + h) y(t) + hy (t + h) = y(t) + hf (t + h, y(t + h)) On pose alors t n = t + nh, n N En résolvant l équation non-linéaire u n+ = u n + hf (t n+,u n+ ), on obtient une suite (u n ) n N qui approche les valeurs de la fonction y en t n Dans notre cas, l équation non-linéaire s écrit Elle peut être résolue algébriquement et cela donne la suite h u n+ = u n + tn+ u n+ u n+ = u n + h +tn+ Si à l instant t = la concentration est y() = 5, et si h = /, alors t n = n/ et On obtient donc u n+ = 4 + (n + ) 6 + (n + ) u n n t n u n = = = = = 7 = = = 5 5 La concentration à t = est d environ 5 qu on peut comparer avec le calcul exact y() = 5e arctan() y 5 4 Exacte EULER implicite t 46 G Faccanoni

147 Jeudi 5 juin 4 4 Équations différentielles ordinaires Exercice 46 Soit β > un nombre réel positif et considérons le problème de CAUCHY y (t) = βy(t), pour t >, y() = y, (4) où y est une valeur donnée Soit h > un pas de temps donné, t n = nh pour n N (ainsi t = ) et u n une approximation de y(t n ) Écrire le schéma du trapèze (appelé aussi de CRANK-NICOLSON) permettant de calculer u n+ à partir de u n Sous quelle condition sur h le schéma du trapèze est-il A-stable? Autrement dit, pour quelles valeurs de h la relation lim n + u n = a-t-elle lieu? À partir du schéma du trapèze, en déduire le schéma de HEUN Sous quelle condition sur h le schéma de HEUN est-il A-stable? CORRECTION DE L EXERCICE 46 Le problème (4) est un problème de CAUCHY de la forme (4) avec ϕ(t, y) = βy Le principe des méthodes d approximation est de subdiviser l intervalle I en sous-intervalles de longueur h et, pour chaque nœud t n = t +nh (avec n N), on cherche la valeur inconnue u n qui approche y(t n ) L ensemble de valeurs u,u, } représente la solution numérique Les schémas numériques permettent de calculer u n+ à partir de u n et il est donc possible de calculer successivement u, u, en partant de u Si nous intégrons l EDO y (t) = ϕ(t, y(t)) entre t n et t n+ nous obtenons y(t n+ ) y(t n ) = tn+ t n ϕ(t, y(t)) dt Soit u n une approximation de u(t n ) et u n+ une approximation de y(t n+ ) Si on utilise la formule du trapèze, ie tn+ t n ϕ(t, y(t)) dt h on obtient le schéma du trapèze ou de CRANK-NICOLSON u = y(t ), ( ϕ(tn, y(t n )) + ϕ(t n+, y(t n+ )) ) u n+ h ϕ(t n+,u n+ ) = u n + h ϕ(t n,u n ), pour n =,,, Il s agit d un schéma implicite car il ne permet pas d écrire directement u n+ en fonction de u n lorsque la fonction ϕ n est pas triviale En appliquant le schéma du trapèze au problème (4) on obtient la suite définie par récurrence suivante u = y(t ), ) ) ( + h β u n+ = ( h β u n Par induction on obtient Par conséquent, lim u n = si et seulement si n + ( ) βh n u n = y + βh βh + βh < Notons x le produit βh > et q la fonction q(x) = x +x = x x +x Nous avons < +x < pour tout x R +, donc q(x) < pour tout x R + La relation lim u n = est donc satisfaite pour tout h > n + Pour éviter le calcul implicite de u n+ dans le schéma du trapèze, nous pouvons utiliser une prédiction d EULER progressive et remplacer le u n+ dans le terme ϕ(t n+,u n+ ) par ũ n+ = u n +hϕ(t n,u n ) Nous avons construit ainsi le schéma de HEUN Plus précisément, cette méthode s écrit u = y(t ), u n+ = u n + h ( ϕ(tn,u n ) + ϕ ( )) t n+,u n + hϕ(t n,u n, pour n =,,, En appliquant le schéma de HEUN au problème (4) on obtient la suite définie par récurrence suivante u = y(t ), ) u n+ = ( βh + (βh) u n G Faccanoni 47

148 4 Équations différentielles ordinaires Jeudi 5 juin 4 Par induction on obtient ) n u n = ( βh + (βh) y Par conséquent, lim u n = si et seulement si n + (h) βh + β < Notons x le produit βh et q le polynôme q(x) = x x + dont le graphe est représenté en figure q x = βh Nous avons q(x) < si et seulement si < x < La relation lim u n = est donc satisfaite si et seulement si n + h < β Exercice 47 On considère le problème de CAUCHY y (t) = (y(t)) m + cos(t), pour t >, y() =, (4) où m est un entier impair Montrer que le problème (4) possède une solution unique locale Soit h > un pas de temps donné, soit t n = nh pour n N et u n une approximation de y(t n ) Écrire le schéma d EULER rétrograde permettant de calculer u n+ à partir de u n À partir du schéma obtenu au point précédent, écrire un seul pas de la méthode de NEWTON pour calculer une nouvelle approximation de u n+ En déduire ainsi un nouveau schéma explicite CORRECTION DE L EXERCICE 47 Le problème (4) est un problème du type trouver y : I R + R tel que y (t) = ϕ(t, y(t)), t I, y(t ) = y, Si la fonction ϕ(t, y) est de classe C par rapport à ses deux variables alors la solution y = y(t) du problème de CAUCHY existe, est unique et appartient à C (I ) Dans notre cas, ϕ(t, y) = (y m )+cos(t), donc t ϕ(t, y) = sin(t) et y ϕ(t, y) = m(y m ) qui sont de classe C, donc le problème (4) possède une solution unique Le problème (4) est un problème du type trouver y : I R + R tel que y (t) = ϕ(t, y(t)), t I, y(t ) = y Le principe des méthodes d approximation est de subdiviser l intervalle I en sous-intervalles de longueur h et, pour chaque nœud t n = t + nh (n ), on cherche la valeur inconnue u n qui approche y(t n ) L ensemble de valeurs u,u, } représente la solution numérique Le schéma de EULER rétrograde établit une relation entre u n et u n+ et il est donc possible de calculer successivement u, u,, en partant de u 48 G Faccanoni

149 Jeudi 5 juin 4 4 Équations différentielles ordinaires Si nous intégrons l EDO y (t) = ϕ(t, y(t)) entre t n et t n+ nous obtenons y(t n+ ) y(t n ) = tn+ t n ϕ(t, y(t)) dt Soit u n une approximation de y(t n ) et u n+ une approximation de y(t n+ ) Si on utilise la formule du rectangle à droite, ie tn+ t n ϕ(t, y(t)) dt hϕ(t n+, y(t n+ )) on obtient le schéma d EULER rétrograde : y =, u n+ = u n + h ( (u n+ ) m + cos(t n+ )) Ce schéma est implicite car il ne permet pas de calculer u n+ directement à partir de u n Il s agit de trouver u n+ tel que u n+ = u n + h ( u m n+ + cos(t n+) ) Pour déterminer u n+ nous devons chercher le zéro de la fonction g n définie par g n (x) = x + hx m (h cos(t n+ ) + u n ) La méthode de NEWTON pour approcher le zéro de g n construit une suite (x k ) k N qui converge vers u n+ à partir d un x bien choisit selon la définition par récurrence suivante : Le premier pas de la méthode de NEWTON s écrit donc x k+ = x k g n(x k ) g n(x k ) = x k x k + hxm k (h cos(t n+) + u n ) + mhx m k x = x x + hx m (h cos(t n+) + u n ) + mhx m Choisissons x = u n comme valeur de départ (un autre choix pourrait être x = u n +hϕ(t n,u n )) Nous pouvons utiliser x comme approximation de u n+ et on obtient le schéma u =, u n+ = u n + hun m (h cos(t n+) + u n ) + mhu m n Exercice 48 Soit le problème de CAUCHY : y (t) + y(t) =, t R, y() = y > (44) Montrer qu il existe une unique solution globale y C (R,R) que vous préciserez explicitement Soit le schéma numérique de CRANK-NICOLSON défini par la suite (u n ) n N vérifiant pour h > fixé u n+ u n h + 5(u n+ + u n ) =, n N, Montrer que la suite (u n ) n N est une suite géométrique dont on précisera la raison Montrer que la raison r de la suite vérifie r < pour tout h > Ce schéma est-il inconditionnellement A-stable? 4 Sous quelle condition sur h > le schéma génère-t-il une suite positive? 5 Donner l expression de u n en fonction de n 6 Soit T > fixé, soit n tel que T h < n h T (donc n dépend de h) Montrer que lim u n = y e T h G Faccanoni 49

150 4 Équations différentielles ordinaires Jeudi 5 juin 4 7 Soit (v n ) n N la suite définissant le schéma d EULER explicite pour l équation différentielle (44) Montrer que lim v n = y e T h Montrer que u n converge plus vite que v n vers y(t n ) = y e T lorsque h CORRECTION DE L EXERCICE 48 C est un problème de CAUCHY du type y (t) = ϕ(t, y(t)), t R, y() = y >, (45) avec ϕ(t, y) = g (y) = y On montre d abord qu il existe une et une seule solution locale (ie sur [ T ;T ]) de classe C ([ T,T ],R) On montre ensuite que cette solution est de classe C ([ T,T ],R) On montre enfin que la solution admet un prolongement sur R Comme g C (R,R), d après le théorème de CAUCHY-LIPSCHITZ il existe T > et une unique solution y C ([ T,T ],R) Par récurrence, en exploitant l EDO et la régularité de g, on grimpe en régularité sur y ainsi y C ([ T,T ],R) La fonctionne nulle est solution de l EDO (mais non du problème de CAUCHY donné) Par l unicité de la solution du problème de CAUCHY on en déduit que soit y(t) > pour tout t [ T,T ] (ie lorsque y > ) soit y(t) < pour tout t [ T,T ] (ie lorsque y > ) De plus, y est décroissante si y > et croissante si y < On en déduit par le théorème des extrémités que la solution u admet un prolongement sur R solution de l EDO Pour en calculer la solution, on remarque qu il s agit d une EDO à variables séparables L unique solution constante est y(t), toutes les autres solutions sont du type y(t) = Ce t En prenant en compte la condition initiale on conclut que l unique solution du problème de CAUCHY est y(t) = y e t définie pour tout t R y t Soit le schéma numérique de CRANK-NICOLSON défini par la suite (u n ) n N vérifiant u n+ u n h + 5(u n+ + u n ) =, n N, pour h > fixé On obtient une formule de récurrence rendue explicite par un calcul élémentaire : d où Il s agit d une suite géométrique de raison Pour tout h > on a et u n+ = 5hu n+ 5hu n + u n u n+ = 5h + 5h u n r = 5h + 5h r = 5h + 5h = h + 5h < h + 5h < Ce schéma est donc inconditionnellement A-stable car u n+ = r n+ u u 5 G Faccanoni

151 Jeudi 5 juin 4 4 Équations différentielles ordinaires 4 Le schéma génère une suite positive ssi ie ssi h + 5h > h < 5 5 Par récurrence on obtient ( ) 5h n u n = u + 5h 6 Soit T > fixé et considérons n (dépendant de h) tel que T h < n h T En se rappelant que ln( + αx) lim = x αx et en observant que ( ) T 5h h +5h ln( 5h) ln(+5h) (T h) e h 5ln( 5h) 5ln(+5h) (T h) e 5h ( ) n 5h +5h ( ) T 5h h +5h e T ln( 5h) ln(+5h) h e T 5ln( 5h) 5ln(+5h) 5h on conclut que e T ( 5h lim u n = u lim h h + 5h ) n = u e T 7 La suite définissant le schéma d EULER explicite pour l EDO assignée s écrit v n+ v n h e T = ϕ(t n, v n ) = v n+ = v n hv n = ( h)v n = ( h) n+ v Il s agit à nouveau d une suite géométrique de raison r e = h qui converge si et seulement si r e <, ie si et seulement si h <, (le schéma d EULER pour cette EDO est conditionnellement stable) Soit T > fixé et considérons n (dépendant de h) tel que T h < n h T Alors d où ( h) T h ( h) n ( h) T h ln( h) (T h) e h ln( h) (T h) e h e T lim v n = u lim ( h) T h = u e T h h e T ln( h) h ln( h) T e h De plus, on sait (cf cours) que la suite (u n ) n N converge à l ordre tandis que la suite (v n ) n N converge à l ordre Exercice 49 Soit le problème de CAUCHY : y(t) y (t) + =, t R +, y() = u > e T G Faccanoni 5

152 4 Équations différentielles ordinaires Jeudi 5 juin 4 Soit le schéma numérique défini par la suite (u n ) n N suivante u n+ u n h + u n+ u n =, n N, pour h > fixé Expliciter l expression de u n+ en fonction de u n Montrer que la suite (u n ) n N est une suite positive, décroissante et convergente vers CORRECTION DE L EXERCICE 49 C est un problème de CAUCHY du type y (t) = ϕ(t, y(t)), t R, y avec ϕ(t, y) = g (y) = y() = y >, Pour h > fixé on obtient une formule de récurrence rendue explicite par un calcul élémentaire : u n+ = u n + h u n = (u n ) /, n N u n + h On étudie la suite u >, pour h > fixé u n+ = (u n ) /, n N, u n +h Par récurrence on montre que si u > alors u n > pour tout n N De plus, u n+ u n = + h un < pour tout n N : la suite est monotone décroissante On a alors une suite décroissante et bornée par zéro, donc elle converge Soit l la limite de cette suite, alors l et l = l/ donc l = l+h Exercice 4 Soit le problème de CAUCHY : y (t) + y 5 (t) =, t R +, y() = y > (46) Montrer qu il existe une unique solution globale y C (R +,R + ) Soit le schéma numérique défini par la suite (u n ) n N suivante u n+ u n h + u n+ un 4 =, n N, pour h > fixé Expliciter l expression de u n+ en fonction de u n Montrer que la suite (u n ) n N est une suite décroissante et convergente vers pour tout h > fixé CORRECTION DE L EXERCICE 4 C est un problème de CAUCHY du type y (t) = ϕ(t, y(t)), t R, y() = y >, (47) avec ϕ(t, y) = g (y) = y 5 On montre d abord qu il existe une et une seule solution locale (ie sur [ T ;T ]) de classe C ([,T ],R) On montre ensuite que cette solution est de classe C ([,T ],R) On montre enfin que la solution admet un prolongement sur R + Comme g C (R +,R + ), d après le théorème de CAUCHY-LIPSCHITZ il existe T > et une unique solution y C ([,T ],R) Par récurrence, en exploitant l EDO et la régularité de g, on grimpe en régularité sur y ainsi y C ([,T ],R) La fonctionne nulle est solution de l EDO (mais non du problème de CAUCHY donné) Comme y >, par l unicité de la solution du problème de CAUCHY on a y(t) > pour tout t [,T ] (car deux trajectoires ne peuvent pas se croiser) De plus, y est décroissante, ainsi la solution est bornée (y(t) ], y [) On en déduit par le théorème des extrémités que la solution y admet un prolongement sur R + solution de l EDO On peut montrer que l unique solution du problème (46) est la fonction y : [,T ] R définie par y(t) = y (4t y 4 + ) /4 5 G Faccanoni

153 Jeudi 5 juin 4 4 Équations différentielles ordinaires Pour h > fixé on obtient une formule de récurrence rendue explicite par un calcul élémentaire : u n+ = u n + unh 4, n N On étudie la suite u = y >, u n+ = u n, n N, +un 4 h pour h > fixé Par récurrence on montre que si u > alors u n > pour tout n N De plus, u n+ u n = < pour tout n N : la +un 4 h suite est monotone décroissante On a alors une suite décroissante et bornée par zéro, donc elle converge Soit l la limite de cette suite, alors l et l = l +l 4 h donc l = Ce schéma est donc inconditionnellement A-stable Exercice 4 Soit le problème de CAUCHY : y (t) + sin(y(t)) =, t R, y() = y > (48) Montrer qu il existe une unique solution globale y C (R,R) Écrire le schéma le schéma d EULER explicite pour ce problème de CAUCHY en explicitant vos notations Montrer que la suite (u n ) n N construite par ce schéma vérifie u n+ u n + h, n N, où h > est le pas de la suite 4 En déduire que u n u + nh, n N CORRECTION DE L EXERCICE 4 C est un problème de CAUCHY du type avec ϕ(t, y) = g (y) = sin(y) y (t) = ϕ(t, y(t)), t R, y() = y >, Comme g C (R,R), d après CAUCHY-LIPSCHITZ, il existe T > et une unique solution y C ([ T,T ],R) Par récurrence, en exploitant l EDO et la régularité de g, on grimpe en régularité sur y et y C ([ T,T ],R) Toutes les fonctions constante y(t) = kπ pour k Z sont solutions de l équation différentielle car g (kπ) = Pour y donné, soit k Z tel que y [ kπ;( k+)π] ; par l unicité de la solution du problème de CAUCHY on a y(t) [ kπ;( k+)π] pour tout t [ T,T ] (car deux trajectoires ne peuvent pas se croiser), ie la solution est bornée On en déduit par le théorème des extrémités que la solution y admet un prolongement sur R solution de l EDO Soit h > fixé et t n = nh pour tout n Z Le schéma d EULER explicite pour l EDO donnée construit la suite u n+ = u n h sin(u n ), n N Comme a + b a + b et comme sin(x) pour tout x R, on conclut que pour h > fixé u n+ = u n h sin(u n ) u n + h sin(u n ) u n + h 4 Par récurrence : u n+ u n + h u n + h u + (n + )h (49) Exercice 4 Loi de NEWTON K Considérons une tasse de café à la température de 75 C dans une salle à 5 C On suppose que la température du café suit la loi de Newton, c est-à-dire que la vitesse de refroidissement du café est proportionnelle à la différence des températures En formule cela signifie qu il existe une constante K < telle que la température vérifie l équation différentielle G Faccanoni 5

154 4 Équations différentielles ordinaires Jeudi 5 juin 4 ordinaire (EDO) du premier ordre La condition initiale (CI) est donc simplement T (t) = K (T (t) 5) T () = 75 Pour calculer la température à chaque instant on a besoin de connaître la constante K Cette valeur peut être déduite en constatant qu après 5 minutes le café est à 5 C, c est-à-dire T (5) = 5 Calculer la solution exacte de ce problème de CAUCHY et la comparer avec la solution approchée obtenue par la méthode d EULER explicite CORRECTION DE L EXERCICE 4 Solution exacte On commence par calculer toutes les solutions de l EDO Étant une équation différentielle du premier ordre, la famille de solutions dépendra d une constante qu on fixera en utilisant la CI Il s agit d une EDO à variables séparables donc formellement on a T T (t) (t) = K (T (t) 5) = (T (t) 5) = K = dt (T 5) = K d t = (T 5) dt = K d t = ln(t 5) = K t + c = T 5 = De K t = T (t) = 5 + De K t La valeur numérique de la constante d intégration D est obtenue grâce à la CI : 75 = T () = 5 + De K = D = 5 = T (t) = 5 + 5e K t Il ne reste qu à établir la valeur numérique de la constante de refroidissement K grâce à l «indice» : 5 = T (5) = 5 + 5e K t = K = ln() 5 On peut donc conclure que la température du café évolue selon la fonction T 75 T (t) = 5 + 5e ln() 5 t 4 = T (t) = 5 + 5e ln() 5 t t Solution approchée par la méthode d Euler progressive Supposons de connaître K mais de ne pas vouloir/pouvoir calculer la fonction T (t) Grâce à la méthode d EULER on peut estimer la température à différentes instantes t i en faisant une discrétisation temporelle du futur (ie on construit une suite de valeurs t i = + i t} i ) et en construisant une suite de valeurs T i } i où chaque T i est une approximation de T (t i ) Si on utilise la méthode d EULER, cette suite de température est ainsi construite : Ti+ = T i ln() 5 t (T i 5), T = 75, qu on peut réécrire comme Ti+ = ( ln() 5 t)t i + 5ln() t, T = G Faccanoni

155 Jeudi 5 juin 4 4 Équations différentielles ordinaires Exemple avec t = 5 : T t t i T (t i ) T i T (t i ) T i Exemple avec t = : T t t i T (t i ) T i T (t i ) T i Exercice 4 «Les experts - Toulon» La loi de Newton affirme que la vitesse de refroidissement d un corps est proportionnelle à la différence entre la température du corps et la température externe, autrement dit qu il existe une constante K < telle que la température du G Faccanoni 55

156 4 Équations différentielles ordinaires Jeudi 5 juin 4 corps suit l équation différentielle T (t) = K (T (t) T ext ), T () = T Soit t le pas temporel Écrire le schéma d EULER implicite pour approcher la solution de cette équation différentielle Soit T ext = C En déduire une forme du type T n+ = g ( t,n,t ) avec g ( t,n,t ) à préciser (autrement dit, l itéré en t n ne dépend que de t, de n et de T ) Que peut-on en déduire sur la convergence de la méthode? Problème Un homicide a été commis On veut établir l heure du crime sachant que pour un corps humaine on peut approcher K (l échelle du temps est en minutes et la température en Celsius), le corps de la victime a été trouvé sur le lieu du crime à H du matin, à l heure du décès la température du corps était de 7 C, à l heure de la découverte la température du corps est de C, la température externe est T ext = C Approcher l heure de l homicide en utilisant le schéma d EULER implicite avec t = minutes 4 Pour cette équation différentielle, il est possible de calculer analytiquement ses solutions Comparer alors la solution exacte avec la solution approchée obtenue au point précédent CORRECTION DE L EXERCICE 4 La méthode d EULER implicite (ou régressive) est une méthode d intégration numérique d EDO du premier ordre de la forme T (t) = F (t,t (t)) En choisissant un pas de discrétisation t, nous obtenons une suite de valeurs (t n,t n ) qui peuvent être une excellente approximation de la fonction T (t) avec tn = t + n t, T n+ = T n + F (t n+,t n+ ) t La méthode d EULER implicite pour cette EDO s écrit donc T n+ = T n + K t(t n+ T ext ) Si T ext = C, en procédant par récurrence sur n on obtient T n+ = g ( t,n) = K t T n = ( K t) n+ T, autrement dit, l itérée en t n ne dépend que de t et de n mais ne dépend pas de T n Comme < K t < pour tout t >, la suite est positive décroissante ce qui assure que la solution numérique est stable et convergente On cherche combien de minutes se sont écoulés entre le crime et la découverte du corps, autrement dit on cherche n tel que = ( K t) n+ 7 = ( K t)n+ = 7 ( ) 7 = n + = log ( K t) = ln( ) 7 = n 8 ln( K t) Comme t n = t + n t, si t n = H alors t = t n n t = H H = H 4 Calcule analytique de toutes les solutions de l équation différentielle : On cherche d abord les solutions constantes, ie les solutions du type T (t) c R quelque soit t On a = K (c T ext ) d où l unique solution constante T (t) T ext Soit T (t) T ext quelque soit t Puisqu il s agit d une EDO à variables séparables on peut calculer la solution comme suit : T T (t) dt (t) = K (T (t) T ext ) = = K = = K dt = T (t) T ext T T ext dt = K dt = ln(t T ext ) = K t + c = T T ext = De K t = T (t) = T ext + De K t T T ext 56 G Faccanoni

157 Jeudi 5 juin 4 4 Équations différentielles ordinaires La valeur numérique de la constante d intégration D est obtenue grâce à la CI : T = T () = De K = D = T = T (t) = T e K t Ici T = 7 C donc la température du cadavre suit la loi T (t) = 7e K t Pour déterminer l heure du meurtre il faut alors résoudre l équation d où t = K = 7e K t ln 7 8,7759 minutes, c est-à-dire 8 minutes avant H : le crime a été commit à H57 T [ C] H H H H H4 H5 H H H t Exercice 44 Un modèle pour la diffusion d une épidémie se base sur l hypothèse que sa vitesse de propagation est proportionnelle au nombre d individus infectés et au nombre d individus sains Si on note I (t) le nombre d individus infectés à l instant t et A > le nombre d individus total, il existe une constante k R + telle que I (t) = ki (t)(a I (t)) Montrer qu il existe T > et une unique solution I C ([,T ]) au problème de CAUCHY : I (t) = ki (t)(a I (t)), I () = I > Montrer que si < I < A alors < I (t) < A pour tout t > Montrer que si < I < A alors I (t) est croissante sur R + 4 Soit < I < A On considère le schéma semi-implicite I n+ I n t = ki n (A I n+ ) Montrer que I n A lorsque n + indépendamment du pas h > fixé CORRECTION DE L EXERCICE 44 C est un problème de CAUCHY du type I (t) = ϕ(t, I (t)), t R +, I () = I >, (4) avec ϕ(t, I (t)) = g (I (t)) = ki (t)(a I (t)) Comme g C (R,R), d après CAUCHY-LIPSCHITZ, il existe T > et une unique I C ([,T ],R) solution du problème de CAUCHY Par récurrence, en exploitant l EDO et la régularité de g, on grimpe en régularité sur I et I C ([,T ],R) Puisque la fonction nulle et la fonction constante I (t) = A sont solutions de l équation différentielle, si < I < A alors < I (t) < A pour tout t [,T ] (car, par l unicité de la solution du problème de CAUCHY, deux trajectoires ne peuvent pas se croiser) Puisque I (t) = ki (t)(a I (t)), si < I < A alors I est croissante pour tout t [,T ] On en déduit par le théorème des extrémités que la solution I admet un prolongement sur R + solution de l EDO et que I est croissante pour tout t R + G Faccanoni 57

158 4 Équations différentielles ordinaires Jeudi 5 juin 4 4 Soit < I < A On considère le schéma semi-implicite I n+ I n t = ki n (A I n+ ) pour t > fixé On obtient une formule de récurrence rendue explicite par un calcul élémentaire : Si < I < A alors I n > quelque soit n ; I n est majorée par A car I n+ = + k A t + ki n t I n I n+ A ( + k A t)i n ( + ki n t)a I n A donc par récurrence I n+ A quelque soit n ; +k A t si I n l alors l = +kl t l donc l = ou l = A ; I n est une suite monotone croissante (encore par récurrence on montre que I n+ I n I ) ; donc I n A lorsque n + indépendamment du pas h > choisi Calcul analytique de toutes les solutions : On a déjà observé qu il y a deux solutions constantes de l EDO : la fonction I (t) et la fonction I (t) A Pour chercher toutes les solutions non constantes on remarque qu il s agit d une EDO à variables séparables donc on a A I (t) = De Akt + La valeur numérique de la constante d intégration D est obtenue grâce à la CI : Exemple avec A = 5, I = 6, k = ln(6/8) 5 et t = : I D = A I I A Exacte Approchée avec t = I t Exercice 45 Considérons une population de bactéries Soit p(t) le nombre d individus ( ) à l instant t Un modèle qui décrit l évolution de cette population est l «équation de la logistique» : soit k et h deux constantes positives, alors p(t) vérifie l équation différentielle ordinaire (EDO) du premier ordre p (t) = kp(t) hp (t) On veut calculer p(t) à partir d un nombre initiale d individus donné p() = p 58 G Faccanoni

159 Jeudi 5 juin 4 4 Équations différentielles ordinaires CORRECTION DE L EXERCICE 45 Solution exacte On commence par calculer toutes les solutions de l EDO Étant une équation différentielle du premier ordre, la famille de solutions dépendra d une constante qu on fixera en utilisant la CI Il s agit d une EDO à variables séparables On cherche d abord les solutions constantes, c est-à-dire les solutions du type p(t) c pour tout t R + : On a donc deux solutions constantes : = kc hc p(t) et p(t) k h Étant donné que deux solutions d une EDO ne s intersectent jamais, dorénavant on supposera p(t) et p(t) k h pour tout t R+, ainsi p (t) kp(t) hp (t) = Formellement on a dp = dt = kp hp k p dp h k k hp dp = dt = ( ) p ln = kt + kc = k hp k p(t) = De + h kt La valeur numérique de la constante d intégration D est obtenue grâce à la CI : p = p() = On peut donc conclure que la population évolue selon la fonction Une simple étude de la fonction p montre que kd p + hde k = D = k hp si p =, k p(t) = h si p = k h, k k hp sinon +h p ekt si p ];k/h[ alors p (t) > et lim t + p(t) = k/h, si p ]k/h;+ [ alors p (t) < et lim t + p(t) = k/h p 5 p(k hp) dp = dt = k ln(p) ln(k hp) = t + c k = p k hp = Dekt = 4 Exemple avec k =, h = et différentes valeurs de p t G Faccanoni 59

160 4 Équations différentielles ordinaires Jeudi 5 juin 4 Solution approchée Supposons de ne pas vouloir/pouvoir calculer la fonction p(t) Grâce à la méthode d EULER on peut estimer le nombre d indivus à différentes instantes t i en faisant une discrétisation temporelle du futur (ie on construit une suite de valeurs t i = + i t} i ) et en construisant une suite de valeurs p i } i où chaque p i est une approximation de p(t i ) Si on utilise la méthode d EULER, cette suite est ainsi construite : pi+ = p i + t p i (k hp i ), p donné, qu on peut réécrire comme pi+ = ( + k t h t p i )p i, p donné On veut appliquer cette méthode au cas de la figure précédente, ie avec k =, h = et les valeurs initiales p = 5 et p = Si on choisit comme pas temporelle t =,5, on obtient les figures suivantes : t i p(t i ) p i p(t i ) p i p 5 4 t t i p(t i ) p i p(t i ) p i p 5 4 t Exercice 46 Méthode de TAYLOR La méthode de TAYLOR est basé sur la relation y(x + h) y(x) + y (x)h +! y (x)h +! y (x)h + + m! y (m) (x)h m Cette relation prédit y(x + h) à partir de y(x), ainsi elle permet d écrire une formule d intégration numérique Le dernier terme indique l ordre de la méthode et l erreur de troncature, due aux termes omis, est E = (m + )! y (m+) (ξ)h m+ pour x < ξ < x + h, que l on peut approcher par Considérons le problème de CAUCHY E hm ( y (m) (x + h) y (m) (x) ) (m + )! y (x) + 4y(x) = x, y() = 6 G Faccanoni

161 Jeudi 5 juin 4 4 Équations différentielles ordinaires Estimer y() par la méthode de TAYLOR d ordre 4 avec un seul pas d intégration CORRECTION DE L EXERCICE 46 Le développement de TAYLOR en jusqu à l ordre 4 est y(h) y() + y ()h +! y ()h +! y ()h + 4! y IV ()h 4 En dérivant l EDO on trouve y() =, y (x) = 4y(x) + x, y () = 4, y (x) = 4y (x) + x, y () = 6, y (x) = 4y (x) +, y () = 6, y IV (x) = 4y (x), y IV () = 48 donc, pour x = et h =, on obtient et comme y() = 677 y IV (x + h) = 4y (x) = 4 ( 4y (x) + ) = ( 4 ( 4y (x) + x ) + ) = ( 4 ( 4 ( 4y(x) + x ) + x ) + ) alors y IV () ( 4 ( 4 ( () ) + ) + ) = 6659 et on obtient l estimation de l erreur E 48 ( y IV () y IV () ) = 48 ( ) = G Faccanoni 6

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163 5 Systèmes linéaires Résoudre l ensemble d équations linéaires Ax = b Définition Définition : système linéaire Soit n, p, des entiers Un SYSTÈME LINÉAIRE n p est un ensemble de n équations linéaires à p inconnues de la forme (S) a x + + a p x p = b, a n x + + a np x p = b n Les COEFFICIENTS a i j et les SECONDES MEMBRES b i sont des éléments donnés de R Les INCONNUES x, x,, x p sont à chercher dans R Le SYSTÈME HOMOGÈNE associé à (S) est le système obtenu en remplaçant les b i par Une SOLUTION de (S) est un p-uplet (x, x,, x p ) qui vérifie simultanément les n équations de (S) Résoudre (S) signifie chercher toutes les solutions Un système est IMPOSSIBLE, ou incompatible, s il n admet pas de solution Un système est POSSIBLE, ou compatible, s il admet une ou plusieurs solutions Deux systèmes sont ÉQUIVALENTS s ils admettent les mêmes solutions Écriture matricielle Si on note x b a a p x = b = A = x p b n a n a np le système (S) est équivalent à l écriture matricielle Ax = b Dans ce chapitre, nous ne traiterons que des systèmes linéaires carrés d ordre n à coefficients réels, autrement dit A = (a i,j ) R n n et b = (b i ) R n Dans ce cas, on est assuré de l existence et de l unicité de la solution si une des conditions équivalentes suivantes est remplie : A est inversible (ie det(a) ) ; le système homogène Ax = admet seulement la solution nulle La solution du système peut alors être calculée par la formule de CRAMER Cependant cette formule est d une utilité pratique limitée à cause du calcul des déterminants qui est très couteux Pour cette raison, des méthodes numériques alternatives aux formules de CRAMER ont été développées Elles sont dites directes si elles fournissent la solution du système en un nombre fini d étapes, itératives si elles nécessitent (théoriquement) un nombre infini d étapes Notons dès à présent que le choix entre une méthode directe et une méthode itérative pour la résolution d un système dépend non seulement de l efficacité théorique des algorithmes, mais aussi du type de matrice, des capacités de stockage en mémoire et enfin de l architecture de l ordinateur 5 Systèmes mal conditionnés Considérons le système de deux équations à deux inconnues suivant : 86x x = 5465, 459x + 479x = Ce système et non singulier et sa solution est donnée par x = x = Considérons maintenant un système d équations voisin (le carré indique un changement de décimale) : 86 x x = 5465, x + 479x =

164 5 Systèmes linéaires Jeudi 5 juin 4 Ce système et non singulier et sa solution est donnée par x = 5, x = 5 On voit donc que, bien que ces deux systèmes soient voisins, leurs solutions sont très différentes On parle dans ce cas de systèmes mal conditionnés Résoudre un système mal conditionné avec un ordinateur peut être une affaire délicate si l ordinateur calcule avec trop peu de chiffres significatifs Dans l exemple précédent nous observons que, si l ordinateur ne retient que 6 chiffres significatifs, il est complètement inespéré d obtenir une solution raisonnablement proche de la solution Définition Conditionnement d une matrice Le conditionnement d une matrice A R n n non singulière est défini par K (A) = A A ( ), où est une norme matricielle subordonnée En général, K (A) dépend du choix de la norme ; ceci est signalé en introduisant un indice dans la notation Par exemple, on a les deux normes matricielles suivantes : A = max j =,,n i= n a i j, A = max i=,,n j = n a i j Remarque Cas particulier Si A est symétrique et définie positive a, K (A) = A A = λ max λ min où λ max (resp λ min ) est la plus grande (resp petite) valeur propre de A a A R n n est symétrique si a i j = a j i pour tout i, j =,,n, définie positive si pour tout vecteurs x R n avec x, x T Ax > Considérons un système non singulier Ax = b Si δb est une perturbation de b et si on résout Ay = b + δb, on obtient par linéarité y = x + δx avec Aδx = δb La question est de savoir s il est possible de majorer l erreur relative δx / x sur la solution du système en fonction de l erreur relative δb / b commise sur le second membre Il est possible de démontrer que δx δb K (A) x b où K (A) est le nombre de conditionnement de la matrice A On voit alors que plus le conditionnement de la matrice est grand, plus la solution du système linéaire est sensible aux perturbations des données Cependant, le fait qu un système linéaire soit bien conditionné n implique pas nécessairement que sa solution soit calculée avec précision Il faut en plus utiliser des algorithmes stables Inversement, le fait d avoir une matrice avec un grand conditionnement n empêche pas nécessairement le système global d être bien conditionné pour des choix particuliers du second membre Si δb / b est de l ordre de la précision relative η = p du calculateur, alors δx / x pourrait, au pire, être égal à K (A)η = log (K (A)) p = log (K (A) p) Si on calcul la solution du système linéaire avec un ordinateur à p chiffres significatifs en valeur décimale, on ne pourra pas garantir à priori plus de E(p log (K (A))) chiffres significatifs sur la solution Si on applique cette règle au système linéaire de l exemple, il est facile de vérifier que K (A) 7, par conséquent nous pouvons perdre jusqu à 7 chiffres significatifs lors de sa résolution Il faut donc un ordinateur calculant avec chiffres significatifs pour être sûr d obtenir les premiers chiffres de la solution Exemple Un exemple bien connu de matrice mal conditionnée est la matrice de HILBERT d ordre n définie par a i j = /(i + j ) pour i, j n Attention Un système linéaire ne change pas de solution si on change l ordre des équations Cependant, l ordre des équations peut changer totalement la solution donnée par une méthode numérique! 64 G Faccanoni

165 Jeudi 5 juin 4 5 Systèmes linéaires 5 Méthode (directe) d élimination de GAUSS et factorisation LU Définition Matrices et systèmes triangulaires On dit qu une matrice carrée A = (a i j ) i,j n est TRIANGULAIRE SUPÉRIEURE (respectivement triangulaire INFÉRIEURE) si i > j = a i j = (resp si i < j = a i j = ) Si la matrice est triangulaire supérieure (resp triangulaire inférieure), on dira que le système linéaire est un système triangulaire supérieur (resp triangulaire inférieur) Pour résoudre le système triangulaire Ax = b, si A est une matrice triangulaire inférieure, on a x = b a et on déduit les inconnues x, x, x n grâce à la relation ( x i = a i i ) b i i a i j x j ; j = si A est une matrice triangulaire supérieure on a x n = b n a nn et on déduit les inconnues x n, x n, x grâce à la relation ( x i = a i i b i n j =i+ a i j x j ) Propriété Le déterminant d une matrice triangulaire est égal au produit des éléments diagonaux La méthode du pivot de GAUSS transforme le système Ax = b en un système équivalent (c est-à-dire ayant la même solution) de la forme Ux = y, où U est une matrice triangulaire supérieure et y est un second membre convenablement modifié Enfin on résout le système triangulaire Ux = y Définition Méthode du pivot de GAUSS Soit A = (a i j ) i n la matrice des coefficients du système Ax = b j p Étape k : en permutant éventuellement deux lignes du système, on peut supposer a kk (appelé pivot de l étape k) On transforme toutes les lignes L i avec i > k comme suit : = l i k L i L i a i k a kk L k En réitérant le procédé pour k de à n, on aboutit à un système triangulaire supérieur Exemple Soit le système linéaire x +x +x +4x 4 =, x +x +4x +x 4 =, x +4x +x +x 4 =, 4x +x +x +x 4 = 4 Résolution par la méthode du pivot de GAUSS : x +x +x +4x 4 = x +x +4x +x 4 = x +4x +x +x 4 = 4x +x +x +x 4 = 4 L L L x L L L +x +x +4x 4 = L 4 L 4 4L x x 7x 4 = x 8x x 4 = 7x x x 4 = x L L L +x +x +4x 4 = L 4 L 4 7L x x 7x 4 = 4x +4x 4 = 4x +6x 4 = x +x +x +4x 4 = L 4 L 4 +L x x 7x 4 = 4x +4x 4 = 4x 4 = donc x 4 =, x =, x = et x = Résolution par la méthode du pivot de GAUSS en écriture matricielle : [A b] = L L L L L L L 4 L 4 4L G Faccanoni 65

166 5 Systèmes linéaires Jeudi 5 juin 4 L L L L 4 L 4 7L L 4 L 4 +L donc x 4 =, x =, x = et x = Si on a plusieurs systèmes dont seul le second membre change, il peut être utile de factoriser une fois pour toute la matrice A et résoudre ensuite des systèmes triangulaires Algorithme de factorisation LU sans pivot Soit le système linéaire Ax = b Factorisation On commence par factoriser la matrice A R n n sous la forme d un produit de deux matrices A = LU Les termes non nuls de U et les termes non nuls en-dessous de la diagonale principale de L sont mémorisés encore dans la matrice A et sont ainsi calculées : for k = to n do for i = k + to n do a i k a i k a kk Il s agit de l i k mémorisé dans a i k } for j = k + to n do a i j a i j a i k a k j Il s agit de u i j mémorisé dans a i j } end for end for end for Résolution Résoudre le système linéaire revient maintenant à résoudre successivement le système triangulaire inférieur Ly = b : les éléments non nuls de la matrice triangulaire inférieure L sont donné par l i j = a i j pour i =,,n et j =,,i et l i i = pour tout i =,,n, donc l algorithme s écrit y b for i = to n do s i for j = to i do s i s i + a i j y j end for y i b i s i end for le système triangulaire supérieure Ux = y : les éléments non nuls de la matrice triangulaire supérieure U sont donné par u i j = a i j pour i =,,n et j = i,,n, donc l algorithme s écrit x n y n a nn for i = n to by do s i for j = to i do s i s i + a i j y j end for x i y i s i a i i end for Attention Pour une matrice quelconque A R n n, la factorisation LU existe et est unique si et seulement si les sous-matrices principales A i de A d ordre i =,,n (celles que l on obtient en restreignant A à ses i premières lignes et colonnes) ne sont pas singulières (autrement dit si les mineurs principaux, ie les déterminants des sous-matrices principales, sont non nuls) On peut identifier des classes de matrices particulières pour lesquelles les hypothèses de cette proposition sont satisfaites : Proposition Si la matrice A R n n est symétrique et définie positive ou si est à diagonale dominante a alors la factorisation LU existe et est unique a A R n n est symétrique si a i j = a j i pour tout i, j =,,n, définie positive si pour tout vecteurs x R n avec x, x T Ax >, 66 G Faccanoni

167 Jeudi 5 juin 4 5 Systèmes linéaires à diagonale dominante par lignes si a i i n a j = i j, pour i =,,n (à diagonale dominante stricte par lignes si l inégalité est stricte), j i à diagonale dominante par colonnes si a i i n a j = j i, pour i =,,n (à diagonale dominante stricte par colonnes si l inégalité est stricte), j i Une technique qui permet d effectuer la factorisation LU pour toute matrice A inversible, même quand les hypothèses de cette proposition ne sont pas vérifiées, est la méthode du pivot par ligne : il suffit d effectuer une permutation convenable des lignes de la matrice originale A à chaque étape k où un terme diagonal a kk s annule Définition Algorithme de GAUSS avec pivot Dans la méthode d élimination de GAUSS les pivot a (k) doivent être différents de zéro Si la matrice est inversible mais un kk pivot est zéro (ou numériquement proche de zéro), on peut permuter deux lignes avant de poursuivre la factorisation Concrètement, à chaque étape on cherche à avoir le pivot de valeur absolue la plus grande possible L algorithme modifié s écrit alors for k = to n do for i = k + to n do Chercher r tel que a (k) r k = max r =k,,n a (k) et échanger la ligne k avec la ligne r l i k a(k) i k a (k+) i j a (k) kk for j = k + to n do a (k) i j l (k) i k a(k) k j r k end for end for end for Une fois calculées les matrices L et U et la matrice des permutations P (ie la matrice telle que PA = LU), résoudre le système linéaire consiste simplement à résoudre successivement le système triangulaire inférieur Ly = Pb puis le système triangulaire supérieure Ux = y Propriété Déterminant La factorisation LU permet de calculer le déterminant de A en O(n ) car det(a) = det(l)det(u) = n k= u kk Propriété Inverse d une matrice Le calcul explicite de l inverse d une matrice peut être effectué en utilisant la factorisation LU comme suit En notant X l inverse d une matrice régulière A R n n, les vecteurs colonnes de X sont les solutions des systèmes linéaires Ax i = e i, pour i =,,n En supposant que PA = LU, où P est la matrice de changement de pivot partiel, on doit résoudre n systèmes triangulaires de la forme Ly i = Pe i, Ux i = y i, pour i =,,n c est-à-dire une suite de systèmes linéaires ayant la même matrice mais des seconds membres différents Exemple Soit les systèmes linéaires 4 x 4 x 4 x = 4 x 4 4 et 4 x 4 x 4 x = 4 x 4 Résoudre les systèmes linéaires par la méthode du pivot de GAUSS Factoriser la matrice A (sans utiliser la technique du pivot) et résoudre les systèmes linéaires Calculer le déterminant de A 4 Calculer A Résolution par la méthode du pivot de GAUSS du premier système [A b] = L L L L L L L 4 L 4 4L L L L L 4 L 4 7L G Faccanoni 67

168 5 Systèmes linéaires Jeudi 5 juin 4 L 4 L 4 +L donc x 4 =, x =, x =, x = Résolution par la méthode du pivot de GAUSS du second système (A b) = L L L L L L L 4 L 4 4L L 4 L 4 +L L L L L 4 L 4 7L donc x + x + x + 4x 4 = x x 7x 4 = 4x + 4x 4 = 4x 4 = 4 = x 4 =, x =, x =, x = Factorisation de la matrice A : 4 L L L 4 L L L L L L 4 L 4 L 4 4L 4 7 L 4 L 4 7L L 4 L 4 +L donc 4 L = U = Pour résoudre le premier système linéaire on résout les systèmes triangulaires Ly = b y y y = = y =, y =, y =, y 4 = 4 7 y 4 4 et Ux = y 4 x 7 x 4 4 x = = x 4 =, x =, x =, x = 4 x 4 Pour résoudre le second système linéaire on résout les systèmes triangulaires Ly = b y y y = = y =, y =, y =, y 4 = y 4 et Ux = y 4 x 7 x 4 4 x = = x 4 =, x =, x =, x = 4 x 4 4 Le déterminant de A est u u u u 44 = ( ) ( 4) 4 = 6 68 G Faccanoni

169 Jeudi 5 juin 4 5 Systèmes linéaires 4 Pour calculer A on résout les quatre systèmes linéaires 4 x y 4 x 4 x 4 x = ie y y = = puis 7 x 4 4 x = = 4 x y 4 4 x 4 4 x y 4 x 4 x 4 x = ie y y = = puis 7 x 4 4 x = = 4 x y x x y 4 x 4 x 4 x = ie y y = = puis 7 x 4 4 x = = 4 x y 4 4 x 4 4 x y 4 x 4 x 4 x = ie y = = puis 7 x 4 4 = = 4 x y y 4 x x 4 9 /4 /4 /4 /4 /4 /4 /4 9 /4 /4 /4 9 /4 /4 /4 9 /4 /4 /4 et finalement A = 9 /4 /4 /4 /4 /4 /4 /4 9 /4 /4 /4 9 /4 /4 /4 9 /4 /4 /4 9 = Méthodes itératives Une méthode itérative pour le calcul de la solution d un système linéaire Ax = b avec A R n n est une méthode qui construit une suite de vecteurs x (k) = (x (k), x(k),, x(k) n ) T R n convergent vers le vecteur solution exacte x = (x, x,, x n ) T pour tout vecteur initiale x () = (x (), x(),, x() n ) T R n lorsque k tend vers + Dans ces notes on ne verra que deux méthodes itératives : la méthode de JACOBI, la méthode de GAUSS-SEIDEL Définition Méthode de JACOBI Soit x = (x, x,, x n ) un vecteur donné La méthode de JACOBI définit la composante xk+ du vecteur x k+ à partir des i composantes x k du vecteur x k pour j i de la manière suivante : j x (k) = x k+ i = x (k) x (k) x (k) i x (k) i x (k) i+ x (k) n b i n a i j x k j j = j i a i i, i =,,n x (k+) = x (k+) x (k+) x (k+) i x (k+) i x (k+) i+ x (k+) n Proposition Si la matrice A est à diagonale dominante stricte, la méthode de JACOBI converge G Faccanoni 69

170 5 Systèmes linéaires Jeudi 5 juin 4 La méthode de GAUSS-SIDEL est une amélioration de la méthode de JACOBI dans laquelle les valeurs calculées sont utilisées au fur et à mesure du calcul et non à l issue d une itération comme dans la méthode de JACOBI Définition Méthode de GAUSS-SIDEL Soit x = (x, x,, x n ) un vecteur donné La méthode de GAUSS-SIDEL définit la composante xk+ du vecteur x k+ à i partir des composantes x k+ du vecteur x k+ pour j < i et des composantes x k du vecteur x k pour j i de la manière j j suivante : x k+ i = x (k) = b i i j = x (k) x (k) x (k) i x (k) i x (k) i+ x (k) n a i j x k+ n a j i j x k j j =i+ a i i, i =,,n x (k+) = Proposition Si la matrice A est à diagonale dominante stricte ou si elle est symétrique et définie positive, la méthode de GAUSS-SEIDEL converge x (k+) x (k+) x (k+) i x (k+) i x (k+) i+ x (k+) n Algorithmes Ces algorithmes tentent de résoudre le système d équations linéaires Ax = b d inconnue x La matrice A, de taille n n, doit être inversible et le second membre b doit être de longueur n Les itérations s arrêtent quand le rapport entre la norme du k-ème residu est inférieure ou égale à TOLL, le nombre d itérations effectuées est alors renvoyé dans iter MaxITER est le nombre maximum d itérations JACOBI Require: A = (a i j ) i,j n, b = (b i ) i n, x, MaxITER, TOLL iter r b Ax while (r >TOLL & iter<maxiter) do iter iter + y x for i from to n do s for j from to i do s s + a i j y j end for for j from i + to n do s s + a i j y j end for x i (b i s)/a i i end for r b Ax end while GAUSS-SEIDEL Require: A = (a i j ) i,j n, b = (b i ) i n, x, MaxITER, TOLL iter r b Ax while (r >TOLL & iter<maxiter) do iter iter + y x for i from to n do s for j from to i do s s + a i j x j end for for j from i + to n do s s + a i j y j end for x i (b i s)/a i i end for r b Ax end while Il n y a pas de résultat général établissant que la méthode de GAUSS-SEIDEL converge toujours plus vite que celle de JACOBI On peut cependant l affirmer dans certains cas, comme le montre la proposition suivante Proposition Soit A une matrice tridiagonale de taille n n inversible dont les coefficients diagonaux sont tous non nuls Alors les méthodes de JACOBI et de GAUSS-SEIDEL sont soit toutes les deux convergentes soit toutes les deux divergentes En cas 7 G Faccanoni

171 Jeudi 5 juin 4 5 Systèmes linéaires de convergence, la méthode de GAUSS-SEIDEL est plus rapide que celle de JACOBI Exemple Considérons le système linéaire mis sous la forme 4 x 4 y = 4 z 9 x = y 4 z, y = + x, z = 9 4 x y 4 Soit x () = (,,) le vecteur initial En calculant les itérées avec la méthode de JACOBI on trouve x () 4 = + =, x () = 9 4 /4 /6 / = /, x () / 4 = + /6 9 9 /4 4 4 = 9 / 4 4 /6 / 4 La suite x (k) converge vers (,,) la solution du système En calculant les itérées avec la méthode de GAUSS-SEIDEL on trouve x () 4 / = + = /, x () /8 4 = + / 9 4 = / 9 /8 4 4 / 6 /64 4 La suite x (k) converge vers (,,) la solution du système / 6 /64 57 /56 /8 / 6 / /, x (4) 6 / 4 = + /8 = /, x () 6 /64 4 = + 9 /4 = /4 47 / /8 / 4 9 /4 47 / /89, 5 /8 5 /6 65 /8 G Faccanoni 7

172 5 Systèmes linéaires Jeudi 5 juin 4 Exercices Exercice 5 Soit le système linéaire 6 x 4 x = 6 x 6 Approcher la solution avec la méthode de JACOBI avec itérations à partir de x () = (,,) Approcher la solution avec la méthode de GAUSS-SEIDEL avec itérations à partir de x () = (,,) Résoudre les systèmes linéaires par la méthode d élimination de GAUSS 4 Factoriser la matrice A (sans utiliser la technique du pivot) et résoudre les systèmes linéaires CORRECTION DE L EXERCICE 5 Méthode de JACOBI : ( + ) x () =, x () 6 ( + ) = 4 = 6 ( + ) 6 ainsi Méthode de GAUSS-SEIDEL : x () =, x () = 4 ainsi ( + ) 6 ( 4 + ) 6 ( 4 + ) 6 = Méthode d élimination de GAUSS : donc (A b) = / 4 /, x () =, x () = ( ( )+ ) 6 ( 4 + ) 4 6 ( 4 + ( )) 6 96 x 8 86 ( + ) 6 ( ) 4 6 ( ) x = = /6 / /9 5 /8 5 /6, x () =, x () = ( + 9 ) 6 ( ) 4 6 ( 6 + ) 6 = ( ) 6 ( ) 4 6 ( ) 6 L L 6 L 6 L L 6 L L L 6 L x + x + x =, x x = 4 6x = 6 = x =, x =, x = 4 Factorisation de la matrice A : L L 6 6 L 6 L 4 L 6 L L L 6 6 L donc L = U = 6 6 Pour résoudre le système linéaire on résout les systèmes triangulaires Ly = b 6 y y y 5 6 = = y =, y = 4, y = = 5 /7 / /6 4 /6 4 /4 7 G Faccanoni

173 Jeudi 5 juin 4 5 Systèmes linéaires et Ux = y 6 x x = 4 = x =, x =, x = 6 x 6 Exercice 5 Soit A une matrice, A M n,n (R) Rappeler les conditions nécessaires et suffisantes pour l existence d une factorisation LU de la matrice A et préciser les définitions de L et U On suppose L et U construites (ie on dispose de tous les coefficients l i,j et u i,j de L et U), écrire l algorithme de résolution de Ax = b, avec b M n, (R) donné Soit la matrice A suivante : Construire à la main les matrices L et U de la factorisation LU CORRECTION DE L EXERCICE 5 Pour une matrice quelconque A M n,n (R), la factorisation LU (sans pivot) existe et est unique ssi les sous-matrices principales A i de A d ordre i =,,n (celles que l on obtient en restreignant A à ses i premières lignes et colonnes) ne sont pas singulières (autrement dit si les mineurs principaux, ie les déterminants des sous-matrices principales, sont non nuls) On peut identifier des classes de matrices particulières pour lesquelles les hypothèses de cette proposition sont satisfaites Mentionnons par exemple : les matrices à diagonale strictement dominante, les matrices réelles symétriques définies positives Une technique qui permet d effectuer la factorisation LU pour toute matrice A inversible, même quand les hypothèses de cette proposition ne sont pas vérifiées, est la méthode du pivot par ligne : il suffit d effectuer une permutation convenable des lignes de la matrice originale A à chaque étape k où un terme diagonal a kk s annule Une fois calculées les matrices L et U, résoudre le système linéaire Ax = b, avec b M n, (R) donné consiste simplement à résoudre successivement le système triangulaire inférieur Ly = b par l algorithme y = b, i y i = b i l i j y j, j = i =,,n le système triangulaire supérieure Ux = y par l algorithme ( x n = y n, x i = y i u nn u i i n j =i+ u i j x j ), j = n,, Factorisation : Par conséquent L L L L L L 8 / 4 / L L 4 / 8 L / 8 / 4 / 4 8 / / L = / et U = 8 / 4 / / / Exercice 5 Calculer, lorsqu il est possible, la factorisation LU des matrices suivantes : A = 4 5, B = Comment peut-on modifier l algorithme de factorisation pour pouvoir toujours aboutir à une factorisation LU lorsque la matrice est inversible? G Faccanoni 7

174 5 Systèmes linéaires Jeudi 5 juin 4 CORRECTION DE L EXERCICE 5 Pour une matrice quelconque A M n,n (R), la factorisation LU (sans pivot) existe et est unique ssi les sous-matrices principales A i de A d ordre i =,,n (celles que l on obtient en restreignant A à ses i premières lignes et colonnes) ne sont pas singulières (autrement dit si les mineurs principaux, ie les déterminants des sous-matrices principales, sont non nuls) Matrice A : comme det(a), la matrice A est bien inversible Puisque det(a ) = a = mais det(a ) = a a aa =, on ne peut pas factoriser A sans utiliser la technique du pivot En effet, L L L L A = 4 5 L 7 L La factorisation LU ne peut pas être calculée car à la prochaine étape il faudrait effectuer le changement L L 6 L Matrice B : L L 7 L L A = L L La factorisation LU de la matrice B est donc L = 7, U = 6 Lorsqu un pivot est nul, la méthode de GAUSS pour calculer la factorisation LU de la matrice A n est plus applicable De plus, si le pivot n est pas nul mais très petit, l algorithme conduit à des erreurs d arrondi importantes C est pourquoi des algorithmes qui échangent les éléments de façon à avoir le pivot le plus grand possible ont été développés Les programmes optimisés intervertissent les lignes à chaque étape de façon à placer en pivot le terme de coefficient le plus élevé : c est la méthode du pivot partiel Pour la matrice A cela aurait donné L L 7 L A = 4 5 L L L L L Bien évidemment, il faut garder trace de cet échange de lignes pour qu il puisse être répercuté sur le terme source et sur l inconnue lors de la résolution du système linéaire ; ceci est réalisé en introduisant une nouvelle matrice P, dite matrice pivotale, telle que PA = LU : la résolution du système linéaire Ax = b est donc ramené à la résolution des deux systèmes triangulaires Ly = Pb et Ux = y Dans notre exemple cela donne P = Exercice 54 Soit α un paramètre réel et soient les matrices A α, P et le vecteur b définis par 4 A α = α, P =, b = / À quelle condition sur α, la matrice A α est inversible? À quelle condition sur α, la matrice A α admet-elle une décomposition LU (sans pivot)? Soit α = Calculer, si elle existe, la décomposition LU de la matrice M = PA α 4 Soit α = Résoudre le système linéaire Ax = b en résolvant le système linéaire Mx = Pb CORRECTION DE L EXERCICE 54 La matrice A α est inversible si et seulement si det(a) Comme 4 det(a) = det α 74 G Faccanoni

175 Jeudi 5 juin 4 5 Systèmes linéaires = ( ( ) ) + (4 ( ) ) + ( α ) ( ( ) ) (4 α ) ( ( ) ) = ( 8) + ( 8) + (α) ( 6) (8α) ( 4) = 6 5α, la matrice A α est inversible si et seulement si α 6 5 Pour une matrice A carrée d ordre n quelconque, la factorisation de GAUSS existe et est unique si et seulement si les sous-matrices principales A i de A d ordre i =,,n (celles que l on obtient en restreignant A à ses i premières lignes et colonnes) ne sont pas singulières (autrement dit si les mineurs principaux, ie les déterminants des sousmatrices principales, sont non nuls) Pour la matrice A α on a les sous-matrices principales suivantes : A = ( ), det(a ) = ; ( ) 4 A =, α det(a ) = 4( + α) Par conséquent, la matrice A α admet une décomposition LU (sans pivot) si et seulement si α Si α = la matrice A α n admet pas de décomposition LU sans pivot La matrice P échange les lignes et de la matrice A et on obtient la matrice 4 4 PA = = La matrice M admet une décomposition LU (sans pivot) et l on a L 4 L L 4 L L L Par conséquent, on obtient la décomposition LU suivante de la matrice M : 4 L =, U = 4 Pour résoudre le système linéaire Mx = Pb il suffit de résoudre les deux systèmes triangulaires suivantes : Ly = Pb : Ux = y : y =, y = y =, y = + y = ; x = ( ) =, x = ( x )/( ) = 4, x = ( x 4x )/ = 9 Exercice 55 Considérons les deux matrices carrées d ordre n > : α β α β α A = β β α β β β β β α β α β α B = α β α α α β β β β avec α et β réels non nuls Vérifier que la factorisation LU de la matrice B ne peut pas être calculée sans utiliser la technique du pivot Calculer analytiquement le nombre d opérations nécessaires pour calculer la factorisation LU de la matrice A G Faccanoni 75

176 5 Systèmes linéaires Jeudi 5 juin 4 Exprimer le déterminant de la matrice A sous forme récursive en fonction des coefficients de la matrice et de sa dimension n 4 Sous quelles conditions sur α et β la matrice A est définie positive? Dans ce cas, exprimer le conditionnement de la matrice en fonction des coefficients et de la dimension n CORRECTION DE L EXERCICE 55 La factorisation LU de la matrice B ne peut pas être calculée sans utiliser la technique du pivot car l élément pivotale au deuxième pas est nul Par exemple, si n = 4, on obtient : L L L β α L L L β α B () = β α L 4 L 4 α β L β α B () α α = α α α β β β β β β α β La matrice A est une matrice «en flèche» : pour en calculer la factorisation LU il suffit de transformer la dernière ligne, ce qui requiert le calcul de l unique multiplicateur l nk = β/α et l exécution de n produits et sommes Le coût globale est donc de l ordre de n Le déterminant δ n de la matrice A de dimension n coïncide avec le déterminant de la matrice U Comme u i i = α pour tout i < n et u nn = α (n )β /α, on conclut que δ n = n i= n u i i = u nn u i i = i= (α (n ) β α ) α n = α n (n )α n β 4 Les valeurs propres de la matrice A sont les racines du déterminant de la matrice A λi Suivant le même raisonnement du point précédant, ce déterminant s écrit (α λ) n (n )(α λ) n β dont les racines sont λ, = α ± (n )β, λ = = λ n = α Par conséquent, pour que la matrice A soit définie positive il faut que les valeurs propres soient tous positifs, ce qui impose α α >, β < n Dans ce cas, le conditionnement de la matrice en norme est K (A) = α+β n α β n α β n α+β n si β, sinon Exercice 56 Donner une condition suffisante sur le coefficient α pour avoir convergence des méthodes de JACOBI et GAUSS-SEIDEL pour la résolution d un système linéaire associé à la matrice α A = α α CORRECTION DE L EXERCICE 56 Une condition suffisante pour la convergence des méthodes de JACOBI et de GAUSS- SEIDEL est que A est à diagonale strictement dominante, ie i= a i j < a i i pour j =,, La matrice A vérifie cette i j condition si et seulement si α > 76 G Faccanoni

177 Jeudi 5 juin 4 5 Systèmes linéaires Exercice 57 Considérons le système linéaire Ax = b avec α γ A = α β δ α avec α, β, γ et δ des paramètres réels Donner des conditions suffisantes sur les coefficients pour avoir convergence de la méthode de JACOBI convergence de la méthode de GAUSS-SEIDEL CORRECTION DE L EXERCICE 57 Une condition suffisante pour que la méthode de JACOBI converge est que la matrice soit à dominance diagonale stricte, ce qui équivaut à imposer α > γ, α > β, α > δ, c est-à-dire α > max β, γ, δ } La condition précédente est aussi suffisante pour la convergence de la méthode de GAUSS-SEIDEL Une autre condition suffisante pour la convergence de cette méthode est que la matrice soit symétrique définie positive Pour la symétrie il faut que γ =, on obtient ainsi la matrice β = δ, α A = α β β α Elle est définie positive si ses valeurs propres sont positifs On a donc il faut que α > β λ = α, λ = α β, λ = α + β, On note que dans ce cas, lorsque A est symétrique définie positive alors elle est aussi à dominance diagonale stricte Exercice 58 Écrire les formules de la méthode d élimination de GAUSS pour une matrice de la forme a, a, a, a, a, A = a n,n a n,n a n, a n, a n,n a n,n Quelle est la forme finale de la matrice U = A (n)? Étant donné la forme particulière de la matrice A, indiquer le nombre minimal d opérations nécessaire pour calculer U ainsi que celui pour la résolution des systèmes triangulaires finaux Comme la matrice a une seule sur-diagonale non nulle, les formules de la méthode d éli- CORRECTION DE L EXERCICE 58 mination de GAUSS deviennent a (k+) i j = a (k) + l i j i k a (k) k,j, i, j = k +, l i k = a(k) i k a (k) kk, i = k + La coût est donc de l ordre de n et la matrice U est bidiagonale supérieure G Faccanoni 77

178 5 Systèmes linéaires Jeudi 5 juin 4 Exercice 59 Soit α R et considérons les matrices carrées de dimension n α α A = α α α α α Calculer γ et β pour que B soit l inverse de A β α γ α γ α γ, B = α β α γ α γ α γ γ α α Calculer le conditionnement K (A) en fonction de n et en calculer la limite pour n qui tend vers l infini CORRECTION DE L EXERCICE 59 Par définition, B est la matrice inverse de A si AB = BA = I Comme β + γ AB =, β + γ β + (n )γ β + (n )γ (n )γ il faut que β + γ = β + (n )γ = (n )γ = ce qui donne On trouve immédiatement A = n α tandis que β = n n, γ = n A = α max n, On conclut que le conditionnement K (A) en fonction de n est La matrice est donc mal conditionnée pour n grand n n K (A) = n α α = n } = α Exercice 5 On suppose que le nombre réel ε > est assez petit pour que l ordinateur arrondisse + ε en et + (/ε) en /ε (ε est plus petit que l erreur machine (relative), par exemple, ε = en format bits) Simuler la résolution par l ordinateur des deux systèmes suivants : εa + b = a + b = et a + b = εa + b = On appliquera pour cela la méthode du pivot de GAUSS et on donnera les décompositions LU des deux matrices associées à ces systèmes On fournira également la solution exacte de ces systèmes Commenter CORRECTION DE L EXERCICE 5 Premier système : Factorisation LU : ( ) ( ) ε L L ε L ε ε ( ε )( a b ) = ( ) ( ) donc L = ε ( ) ε, U = ε 78 G Faccanoni

179 Jeudi 5 juin 4 5 Systèmes linéaires Pour résoudre le système linéaire on résout les systèmes triangulaires Ly = b et Ux = y : ( ε ( ε ε )( y y ) ( ) = )( ) ( ) a = b ε = y =, y = ε ; = b = ε ( ), a = ε + ε ( ) ε ε Mais avec l ordinateur, comme + ε et + (/ε) /ε, on obtient ( ) L = ε ( ) ε Ũ = ε Pour résoudre ce système linéaire approché on résout les systèmes triangulaires Ly = b et Ũx = y : ( ε ( ε ε )( y y )( a b ) ( = ) = ) ( ) ε = y =, y = ε ; = b =, a = Second système : Factorisation LU : ( ) ( ) L L ε L ε ε ( ε )( a b ) = ( ) ( ) donc L = ε ( ), U = ε Pour résoudre le système linéaire on résout les systèmes triangulaires Ly = b et Ux = y : ( ε ( ε )( y y ) ( ) = )( ) ( ) a = b = y =, y = ; = b = ε ( ), a = ε + ε ( ) ε ε Mais avec l ordinateur, comme + ε et + (/ε) /ε, on obtient ( ) L = ε ( ) Ũ = ε Pour résoudre ce système linéaire approché on résout les systèmes triangulaires Ly = b et Ũx = y : ( ε ( ε )( y y )( a b ) ( = ) = ) ( ) = y =, y = ; = b = ε, a = ε 4 Exercice 5 Rappeler l algorithme vu en cours pour calculer la décomposition LU d une matrice A et la solution du système Ax = b où le vecteur colonne b est donné On appliquera ces algorithmes pour les cas suivants : x x = 4 x et 4 x 5 7 x 5 x = x 4 et x 4 x x = x 4 G Faccanoni 79

180 5 Systèmes linéaires Jeudi 5 juin 4 CORRECTION DE L EXERCICE 5 Premier système : donc 4 L L L L L L Il ne reste à résoudre que le système triangulaire x + x + x = x + x = x = Deuxième système : L L L L L L L 4 L 4 L L L 5 9 L L 4 L 4 9 L L L 5 L L = U = 5 = x =, x =, x = L 4 L 4 56/9 77/9 L donc 4 L = 5 9 U = Il ne reste à résoudre que le système triangulaire x + x + x + 4x 4 = Troisième système : donc x + x 7x 4 = 77 9 x 8 9 x 4 = 9 x 4 = L L L L L L L 4 L 4 L L L ( )L L 4 L 4 L Il ne reste à résoudre que le système triangulaire x + x + x + x 4 = x + x + x 4 = = x 4 =, x = 9, x = 9 9, x = L 4 L 4 5/ 7 L L = U = 7 7x + x 4 = 8 x 4 = 5 8 = x 4 =, x =, x =, x = G Faccanoni

181 Jeudi 5 juin 4 5 Systèmes linéaires Exercice 5 Écrire les méthodes itératives de GAUSS, JACOBI et GAUSS-SEIDEL pour les systèmes suivants : a + b = a + b = et a + b = a + b = Pour chacun de ces méthodes et systèmes, on illustrera les résultats théoriques de convergence/non-convergence en calculant les premières itérés en prenant comme point de départ le vecteur (a,b) = (,) CORRECTION DE L EXERCICE 5 Gauss Premier système : ( ) ( L L L ) a + b = = 49 5 b = 49 5 = a = b = Second système : ( ) ( L L L ) a + b = = 49b = 49 = a = b = Jacobi Premier système : a + b = a + b = a = b b = a La matrice étant à diagonale dominante stricte, la méthode converge et on a x () = ( ) ( ), x () = = ( / / ), x () = = ( 49 /5 49 /5 ), x () = = ( 5 /5 5 /5 ) Second système : a + b = a + b = a = b b = a La méthode ne converge pas, en effet on a x () = ( ) ( ), x () = = Gauss-Seidel Premier système : ( ) ( 6 ), x () = = 6 a + b = a + b = ( ) ( 49, x () ( 49) ) = = 49 ( 49) a = b b = a La matrice étant à diagonale dominante stricte, la méthode converge et on a x () = ( ) (, x () = ) = ( / 49 /5 ), x () = = ( 5 /5 499 /5 ), x () = = ( ) 5 5 ( 5 /5 499 /5 ) Second système : a + b = a + b = a = b b = a La méthode ne converge pas, en effet on a x () = ( ) (, x () ) ( ) ( = 6 ( 49) ) ( ) ( =, x () = 5 =, x () ( 499) ) ( ) = 5 = (5) 4999 G Faccanoni 8

182 5 Systèmes linéaires Jeudi 5 juin 4 Exercice 5 Résoudre les systèmes linéaires suivants : x 5y 7z = x y 8z = x 7y 6z = et x 5y 7z = 6 x y 8z = x 7y 6z = et x 5y 7z = x y 8z = x 7y 6z = 6 CORRECTION DE L EXERCICE x 8 y = 7 6 z Le trois systèmes s écrivent sous forme matricielle et 5 7 x 6 8 y = 7 6 z et 5 7 x 8 y = 7 6 z 6 On remarque que seul le terme source change On calcul d abord la décomposition LU de la matrice A : 5 7 L L L L 8 L L 4 L L 4L donc 5 7 L = U = 4 4 Pour résoudre chaque système linéaire on résout les systèmes triangulaires Ly = b et Ux = y Pour le premier système on a Pour le seconde système on a Pour le dernier système on a y y y x x x y y y x x x = = y =, y =, y = 6; = = x = 6, x = 7, x = 6 6 = = y = 6, y =, y = 7; 6 = = x = 7, x =, x = 5 y y y x x x 7 = = y =, y =, y = 6; 6 6 = = x = 6, x = 7, x = 7 7 Exercice 54 Soit A une matrice, A M n,n (R) Rappeler la méthode de JACOBI pour la résolution du système Ax = b, avec b M n, (R) donné 8 G Faccanoni

183 Jeudi 5 juin 4 5 Systèmes linéaires Soit la matrice A suivante : 4 4 La méthode de JACOBI est-elle convergente pour cette matrice? Construire à la main les matrices L et U de la factorisation LU pour la matrice ci-dessus CORRECTION DE L EXERCICE 54 La méthode de JACOBI est une méthode itérative pour le calcul de la solution d un système linéaire qui construit une suite de vecteurs x (k) R n convergent vers la solution exacte x pour tout vecteur initiale x () R n : x k+ i = b i n a i j x k j j = j i a i i, i =,,n Comme 4 > +, > + et 4 > +, la matrice A est à diagonale dominante stricte donc la méthode de JACOBI converge Factorisation : Par conséquent L L 4 4 L L L 4 L 4 /4 5 /4 L L 5 /4 L 4 /4 /4 5 / /4 /4 / Exercice 55 Soit la matrice A R n n, n, dont les éléments vérifient a i j = si i = j ou i = n, a i j = si i < j, a i j = sinon Calculer la factorisation LU de A 4 L = /4 et U = /4 5 /4 /4 5 / 5 / CORRECTION DE L EXERCICE 55 Factorisation LU de la matrice A : L n L n L L n L n L [] L n L n n L n n On obtient les matrices L = 4 n et U = n G Faccanoni 8

184 5 Systèmes linéaires Jeudi 5 juin 4 c est-à-dire l i i = pour i =,,n, l i j = si i < n et i j, l n j = j si j < n ; u i j = a i j pour i=,,n-, j=,,n, u n j = si j < n, u nn = n Exercice 56 Considérons une matrice A R n n (avec n ) dont les éléments vérifient a i j = si i = j ou j = n, a i j = si i > j, a i j = sinon Calculer la factorisation LU de A CORRECTION DE L EXERCICE 56 Factorisation LU de la matrice A : L L +L L L +L L n L n +L L n L n +L [] L n L n +L n n n On obtient les matrices L = et U = n n ie l i i = pour i =,,n,, l i j = si i > j l i j = sinon ; u i i = pour i =,,n, u i n = i pour i =,,n, u i j = sinon Exercice 57 On considère la matrice tridiagonale inversible A R n n a c b a c A = b a bn a n c n b n a n 84 G Faccanoni

185 Jeudi 5 juin 4 5 Systèmes linéaires Montrer que les matrices L et U de la factorisation LU de A sont bidiagonales, ie si a i j = pour i j > alors l i j = pour i > + j (et pour i < j car triangulaire inférieure) et u i j = pour i < j (et pour i > j car triangulaire supérieure) Soit A (k), k =,,n la matrice obtenue à l étape k de la méthode de GAUSS, avec A () = A et A (n ) = U On montrera par récurrence sur k que A (k) est tridiagonale pour tout k =,,n, ie a (k) i j = pour i j > Initialisation : pour k =, A () = A est une matrice tridiagonale Hérédité : soit A (k) une matrice tridiagonale (ie a (k) = pour i j > ) et montrons que A (k+) l est aussi i j Si i k, que valent-ils les coefficients a (k+)? i j Si i > k alors on va considérer séparément les cas suivants : si j k, que valent-ils les coefficients a (k+) i j? si j > k et j < i, que valent-ils les coefficients a (k) i k a (k+)? i j si j > k et j > i +, que valent-ils les coefficients a (k) k j a (k+)? i j NB : Justifier succinctement chaque réponse! et l(k) i k? Que peut-on déduire sur les coefficients et l (k)? Que peut-on déduire sur les coefficients i k On a montré au point précédent que les matrices L et U de la factorisation LU de A sont bidiagonales, écrivons-les sous la forme α γ β α γ L = β, U = βn αn γ n β n α n Calculer (α,α,,α n ), (β,β,,β n ) et (γ,γ,,γ n ) en fonction de (a, a,, a n ), (b,b,,b n ) et (c,c,,c n ) En déduire un algorithme de factorisation À l aide des formules trouvées au point précédent, écrire l algorithme pour résoudre le système linéaire Ax = f où f = (f, f,, f n ) T R n CORRECTION DE L EXERCICE 57 Soit A (k), k =,,n la matrice obtenue à l étape k de la méthode de GAUSS, avec A () = A et A (n ) = U On montrera par récurrence sur k que A (k) est tridiagonale, ie a (k) i j = pour i j > Initialisation : pour k =, A () = A qui est une matrice tridiagonale Hérédité : soit A (k) une matrice tridiagonale (ie a (k) = pour i j > ) et montrons que A (k+) l est aussi i j Si i k alors a (k+) = a (k) = (les lignes L i j i j,,l k de la matrice A (k) ne sont pas modifiées à l étape k) Soit i > k, alors les lignes L k+,,l n de la matrice A (k) vont être modifiées selon la relation) a (k+) i j = a (k) i j a(k) i k Pour chaque ligne i > k, considérons séparément les colonnes j k et les colonnes j > k : si j k, a (k+) = (zéros qu on fait apparaitre avec la méthode de GAUSS pour une matrice quelconque), i j soit j > k : si j < i, comme i, j > k alors a (k) = et i > j + > k +, c est-à-dire i k > et donc a (k) = et l(k) i j i k i k = Donc a (k+) = i j si j > i +, comme i, j > k alors a (k) = et j > i + > k +, c est-à-dire j k > et donc a (k) = Donc i j k j a (k+) = i j a (k) kk a (k) k j Les coefficients (α,α,,α n ), (β,β,,β n ) et (γ,γ,,γ n ) se calculent en imposant l égalité LU = A L algorithme se déduit en parcourant les étapes de la méthode de GAUSS : G Faccanoni 85

186 5 Systèmes linéaires Jeudi 5 juin 4 a c α = a γ = c b a c α = a β c γ = c A () = b a L L β L A () = b a β = b a bn a n c n bn a n c n b n a n b n a n α = a γ = c α = a β c γ = c L L β L A () = α = a β c L 4 L 4 β 4 L β = b α [ ] β 4 = b 4 α bn a n c n b n a n α = a γ = c α = a β c γ = c [ ] L n L n β n L n A (n ) = α = a β c β n = bn αn αn = a n β n c n γ n = c n α n = a n β n c n Donc γ i = c i pour i =,,n, α = a et on définie par récurrence βi = b i α i α i = a i β i c i pour i =,,n La résolution du système linéaire Ax = f se ramène à la résolution des deux systèmes linéaires Ly = f et Ux = y, pour lesquels on obtient les formules suivantes : y = f, y i = f i β i y i, pour i =,,n, xn = y n α n, x i = y i γ i x i+ α i, pour i = n,,, ie ie y = f, b y i = f i i a i β i c y i i, pour i =,,n; x n = y n α n, x i = y i c i x i+ a i β i c, pour i = n,,, i x = y i c i x a Exercice 58 Soit les systèmes linéaires 4x + x + x = x + 4x + x = x + x + 4x = 4x + x + x = 6 x + 4x + x = 6 x + x + 4x = 6 Rappeler une condition suffisante de convergence pour les méthodes de JACOBI et de GAUSS-SEIDEL Rappeler une autre condition suffisante de convergence pour la méthode de GAUSS-SEIDEL (mais non pour la méthode de JACOBI) Les systèmes (5) et (5) vérifient-ils ces conditions? Écrire les méthodes de JACOBI et de GAUSS-SEIDEL pour ces deux systèmes linéaires On illustrera les résultats théoriques de convergence/non-convergence de ces deux schémas en prenant comme point de départ le vecteur (x, x, x ) = (,,) et en calculant les premiers itérés : avec la méthode de JACOBI pour le système (5), (5) (5) 86 G Faccanoni

187 Jeudi 5 juin 4 5 Systèmes linéaires avec la méthode de GAUSS-SEIDEL pour le système (5), avec la méthode de JACOBI pour le système (5), 4 avec la méthode de GAUSS-SEIDEL pour le système (5) 4 On comparera le résultat obtenu avec la solution exacte (qu on calculera à l aide de la méthode d élimination de GAUSS) CORRECTION DE L EXERCICE 58 Écrivons les deux systèmes sous forme matricielle Ax = b : 4 x 4 x 6 4 x = et 4 x = 6 } 4 } x } 4 } x 6 A A Rappelons deux propriétés de convergence : Si la matrice A est à diagonale dominante stricte, les méthodes de JACOBI et de GAUSS-SEIDEL convergent Si la matrice A est symétrique et définie positive, la méthode de GAUSS-SEIDEL converge Comme 4 > +, la matrice A est à diagonale dominante stricte : les méthodes de JACOBI et de GAUSS-SEIDEL convergent Comme 4 < +, la matrice A n est pas à diagonale dominante stricte : les méthodes de JACOBI et de GAUSS-SEIDEL peuvent ne pas converger Cependant elle est symétrique et définie positive (car les valeurs propres sont λ = λ = et λ = ) : la méthode de GAUSS-SEIDEL converge Pour les systèmes donnés les méthodes de JACOBI et GAUSS-SEIDEL s écrivent JACOBI Gauss-SEIDEL x (k+) x (k+) x (k+) x (k+) x (k+) x (k+) = 4 A x = b x (k) x (k) x (k) x (k) x (k) x (k) x (k) x (k) x (k+) x (k) x (k+) x (k+) = 4 x (k+) x (k+) x (k+) x (k+) x (k+) x (k+) = 4 A x = b 6 x (k) x (k) 6 x (k) x (k) 6 x (k) x (k) 6 x (k) x (k) 6 x (k+) x (k) 6 x (k+) x (k+) = 4 On obtient les suites suivantes JACOBI pour le système (5) : x x x () = = x x x GAUSS-SEIDEL pour le système (5) : x x x () = = x x x () 5 = 4 = 5 5 () x = x = = x 5 5 () 5 = 4 5 = = x x x () = = x x x () = = = = x x x () = det A (λ) = (4 λ) (4 λ) 9(4 λ) 9(4 λ) = 64 48λ + λ λ λ = λ + λ λ + Une racine évidente est λ = et on obtient det A (λ) = (λ )( λ + λ ) = (λ ) (λ ) G Faccanoni 87

188 5 Systèmes linéaires Jeudi 5 juin 4 JACOBI pour le système (5) : x x x () = = x x x 4 GAUSS-SEIDEL pour le système (5) : x x x = x x () = = 6 () x = x = = 4 = x 6 4 () () x = = x = x () x = = = 4 Calcul de la solution exacte à l aide de la méthode d élimination de GAUSS : Système (5) : x x x () = 4 x x x () = = = L L 4 L L L 4 L 4 7 /4 /4 5 / /4 7 /4 5 / L L /4 7/4 L /4 /4 / /7 /7 = x = Système (5) : L L 4 L L L 4 L /4 /4 9 / /4 5 /4 9 / L L /4 5/4 L /4 /4 / 8 /5 8 /5 = x = 88 G Faccanoni

189 A Python : guide de survie pour les TP Le but de ce chapitre est de fournir suffisamment d informations pour pouvoir tester les méthodes numériques vues dans ce polycopié Il n est ni un manuel de Python ni une initiation à la programmation On suppose que vous avez déjà des notions de programmation et de manipulation de fichier Python est un langage développé dans les années 98 (le nom est dérivé de la série télévisée britannique des Monty Python s Flying Circus) Il est disponible pour tous les principaux systèmes d exploitation (Linux, Unix, Windows, Mac OS, etc) Un programme écrit sur un système fonctionne sans modification sur tous les systèmes Les programmes Python ne sont pas compilés en code machine, mais sont gérés par un interpréteur Le grand avantage d un langage interprété est que les programmes peuvent être testés et mis au point rapidement, ce qui permet à l utilisateur de se concentrer davantage sur les principes sous-jacents du programme et moins sur la programmation elle-même Cependant, un programme Python peut être exécuté uniquement sur les ordinateurs qui ont installé l interpréteur Python A Obtenir Python et son éditeur IDLE Pour installer Python il suffit de télécharger la version 6 qui correspond au système d exploitation (Windows ou Mac) à l adresse wwwpythonorg Pour ceux qui est des systèmes Linux, il est très probable que Python est déjà installé Si on n a jamais programmé, le plus simple pour exécuter les instructions Python est d utiliser des environnements spécialisés comme IDLE ou IDLEX (ou encore SPYDER) Ces environnements se composent d une fenêtre appelée indifféremment console, shell ou terminal Python A Utilisation de base d Idle Pour commencer on va démarrer Python en lançant IDLE : sous Windows : menu «Démarrer» programme «Python» «IDLE» sous Ubuntu : menu «Applications» menu «Programmation» «IDLE» sous Mac/Linux : ouvrir un terminal/console et taper idle-python6 Une nouvelle fenêtre va s ouvrir, c est la fenêtre principale d IDLE appelée la fenêtre de l INTERPRÉTEUR : L INTERPRÉTEUR permet d entrer directement des commandes et dès qu on écrit une commande, Python l exécute et renvoie instantanément le résultat L invite de commande se compose de trois chevrons (>>>) et représente le prompt : cette marque visuelle indique que Python est prêt à lire une commande Il suffit de saisir à la suite une instruction puis d appuyer sur la touche «Entrée» Pour commencer, comme le veux la tradition informatique, on va demander à Python d afficher les fameux mots «Hello world» : 89

190 A Python : guide de survie pour les TP Jeudi 5 juin 4 La console Python fonctionne comme une simple calculatrice : on peut saisir une expression dont la valeur est renvoyée dès qu on presse la touche «Entrée» Si on observe l image suivante, on voit le résultat affiché après l entrée de commandes supplémentaires Pour naviguer dans l historique des instructions saisies dans l INTERPRÉTEUR on peut utiliser les raccourcis Alt+p (p comme previous) et Alt+n (n comme next) Si on ferme Python et qu on le relance, comment faire en sorte que l ordinateur se souvienne de ce que nous avons tapé? On ne peut pas sauvegarder directement ce qui se trouve dans la fenêtre de l interpréteur, parce que cela comprendrait à la fois les commandes tapées et les réponses du système Il faut alors avoir un fichier avec uniquement les commandes qu on a tapées et sauver le tout comme un document Ainsi plus tard on pourra ouvrir ce fichier et lancer Python sans avoir à retaper toutes les commandes Tout d abord, commençons par un support propre en ouvrant une nouvelle fenêtre Voici ce que cela donne : Il ne s agit pas, pour l instant, de s occuper des règles exactes de programmation, mais seulement d expérimenter le fait d entrer des commandes dans Python 9 G Faccanoni

191 Jeudi 5 juin 4 A Python : guide de survie pour les TP On voit qu il n y a rien dans cette nouvelle fenêtre (pas d en-tête comme dans l INTERPRÉTEUR) Ce qui veut dire que ce fichier est uniquement pour les commandes : Python n interviendra pas avec ses réponses lorsque on écrira le programme et ce tant que on ne le lui demandera pas On appellera cela la fenêtre de PROGRAMME, pour la différencier de la fenêtre de l INTERPRÉTEUR En fait, ce qu on veut faire, c était de sauver les quelques instructions qu on a essayées dans l interpréteur Alors faisons-le soit en tapant soit en copiant-collant ces commandes dans la fenêtre PROGRAMME : On note qu on s est débarrassés du prompt de Python (>>>) Sauvons maintenant le fichier : la commande «Save» (Sauver) se trouve dans le menu «File» (Fichier) ou utiliser le raccourcis Ctrl+S : Ayant sauvé le programme, pour le faire tourner et afficher les résultats dans la fenêtre de l INTERPRÉTEUR il suffit d utiliser la commande «Run script» (lancer le script) dans le menu «Run» de la fenêtre PROGRAMME ou appuyer sur la touche «F5» Si on a fait une faute de frappe, Python le remarque et demande de corriger Il est souvent assez pertinent pour diriger vers le problème et dans le cas ci-dessous il dit qu on a oublié quelque chose à la fin de la ligne : il faut remplacer " par Cette faute de frappe étant corrigée, on fait tourner le programme et on regarde le résultat dans l INTERPRÉTEUR : G Faccanoni 9