PSI / Plaque de cuivre plongée dans un champ magnétique

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1 PSI / Plaque de cuivre plongée dans un champ magnétique

2 8 TD B2 - Correction

3 PSI /2012 9

4 10 TD B2 - Correction

5 PSI / Eet de peau 1. Le champ électrique est de la forme E = E 0 cos [2πf t + ϕm] Les densités volumiques de courant de conduction et de déplacement sont respectivement de la forme = γ E 0 cos [2πf t + ϕm] E d = ε 0 = 2πf ε 0 E 0 sin [2πf t + ϕm] où l'on a négligé les variations temporelles de E 0 à l'échelle d'une période T = 1/f. Le rapport des amplitudes de ces deux densités volumiques vaut α = d infty = 2πf ε 0 E 0 infty γ E 0 On en déduit la fréquence f 0, obtenue pour α = 10 3 f 0 = 10 3 γ soit f 0 = , πε 0 1 2π 36π.10 9 = 2πf ε 0 γ = f 0 = Hz Cette fréquence est très élevée et correspond aux fréquences optiques. On se placera à des fréquences inférieures à f 0 ce qui permettra de négliger les courants de déplacement et d'utiliser les équations de Maxwell dans l'a.r.q.s.. 2. Utilisons l'équation de Maxwell-Faraday et prenons le rotationnel de cette équation rot E = B rot rot E = B rot = rot B L'équation de Maxwell-Ampère permet d'exprimer le rotationnel de B dans l'a.r.q.s. rot B = µ 0 = µ 0 γ E On en déduit Par ailleurs rot rot E = grad rot rot E = µ 0 γ E div E E avec div E = ρ = 0 ε 0 où l'on a utilisé le fait que, dans l'a.r.q.s., la densité volumique de charge dans un conducteur est nulle : ρ = 0 les charges ne peuvent être que surfaciques. On en déduit l'équation vériée par le champ électrique E µ 0 γ E = 0

6 12 TD B2 - Correction 3. a En multipliant les deux membres de l'équation diérentielle précédente par γ, on obtient l'équation diérentielle vériée par µ 0 γ Le problème étant invariant par translation selon u y et u z, la densité volumique de courant et les champs ne dépendent que de x. D'autre part, les lignes de courant étant parallèles à u y, le vecteur est porté par u y. On pose donc = 0 M, t = jx, t; u y L'équation diérentielle devient, en projection sur u y, d 2 j dx 2 µ 0γ j = 0 L'équation étant linéaire, on peut utiliser les notations complexes en régime sinusoïdal permanent et poser jx, t = Jx e iωt avec ω = 2πf En injectant cette forme dans l'équation diérentielle, on trouve d 2 J dx 2 i µ 0 γ ω J = 0 L'équation caractéristique est de la forme r 2 i µ 0 γ ω = 0 Les racines de cette équation sont soit r 2 = e iπ/2 µ 0 γ ω r ± = ±e iπ/4 µ 0 γ ω soit r ± = 1 + i Les solutions de l'équation diérentielle sont donc de la forme Jx = A 1 e r +x + A 2 e r x où A 1 et A 2 sont des constantes d'intégration complexes. On pose δ = 2 µ 0 γ ω µ 0 γ ω de sorte que Jx = A 1 e 1+ix/δ + A 2 e 1+ix/δ On vérie sur cette expression que δ est bien homogène à une longueur. 2

7 PSI / Conditions aux limites : La densité de courant j = ReJ reste bornée à l'intérieur du conducteur de sorte que lim jx, t = 0 x On en déduit A 1 = 0. D'autre part, on note j 0 l'amplitude réelle de la densité volumique de courant au voisinage de la surface x = 0 du conducteur de sorte que Jx = 0 = j 0 = A 2. On a ainsi Jx = j 0 e 1+ix/δ d'où jx, t = Re [ Jx e iωt] = j 0 e x/δ cos ωt x δ soit x, t = j 0 e x/δ cos 2πf t kx u y avec 2 δ = µ 0 γ 2πf k = 1 δ b La densité volumique de courant à la distance 3δ est atténuée d'un facteur e 3 5% et ne vaut que 5% de sa valeur à l'interface x = 0. Au-delà de cette distance, on peut négliger le courant dans le conducteur. Le courant dans le conducteur n'est présent que sur une épaisseur de quelques δ. C'est pourquoi on appelle δ épaisseur de peau. 4. a Utilisons l'équation de Maxwell-Faraday Avec E = rot E = B On en déduit γ, il vient E = j 0 γ e x/δ cos 2πf t kx u y rot E = u x = j 0 γ e x/δ [ y + j0 u z z γ e x/δ cos 2πf t kx u y [ 1δ ] cos 2πf t kx + k sin 2πf t kx u z x + u y = j 0 γ δ e x/δ [sin 2πf t kx cos 2πf t kx] u z Or sina cosa = 2 sina π/4 de sorte que On en déduit rot E = j 0 2 γ δ e x/δ sin 2πf t kx π 4 u z = B j 0 2 B = γ δ ω e x/δ cos 2πf t kx π u z 4 ]

8 14 TD B2 - Correction b Le vecteur de Poynting vaut, à l'intérieur du conducteur E B B Π = = µ 0 µ 0 γ = j2 0 2 µ 0 γ 2 δ ω e 2x/δ cos 2πf t kx π cos 2πf t kx u y u z 4 Avec cosa π/4 cosa = 1/2 cos2a + π/4 + 1/2 cosπ/4, on trouve Π = j 2 0 µ 0 γ 2 δ ω 2 e 2x/δ La valeur moyenne du vecteur de Poynting vaut donc Π = [ cos 4πf t 2kx π ] π + cos u x 4 4 j µ 0 γ 2 δ ω e 2x/δ u x et la puissance moyenne rayonnée à travers une surface S située dans le plan x = cste vaut Avec on trouve P ray = S Π d 2 S = µ 0 = 2 δ 2 γ ω P ray = j2 0 S δ 4γ 5. La puissance moyenne dissipée par eet Joule est Or On en déduit P J = S j2 0 2γ P J = E d 3 V = S V j 2 0 S 2 µ 0 γ 2 δ ω e 2x/δ e 2x/δ 5δ 0 j2 γ dx j 2 = j 2 0 e 2x/δ cos 2 2πft kx = j 2 = j2 0 2 e 2x/δ 5δ 0 e 2x/δ = S j2 0 2γ D'où, en négligeant e 10 = devant 1 : 6. On constate que [ δ2 e 2x/δ ] 5δ P J = j2 0 S δ 4γ P J = P ray x = 0 0 = S j2 0 δ 4γ 1 e 10 En régime sinusoïdal permanent, il n'y a pas d'accumulation d'énergie électromagnétique dans le conducteur. La puissance électromagnétique qui entre dans le conducteur est, en moyenne, dissipée intégralement par eet Joule.

9 PSI / Eet Meissner dans un matériau supraconducteur 1. Lien entre le champ électrique et la densité de courant a Appliquons le principe fondamental de la dynamique à un électron de masse m et de charge e dans le référentiel du supraconducteur, supposé galiléen, et soumis uniquement à l'action du champ électrique m d v dt = e E b La densité volumique de courant est reliée à la vitesse moyenne des porteurs de charge par = ρ v = n e v où ρ = ne est la densité volumique de charges mobiles et n est la densité volumique des porteurs de charge. On en déduit m ne d dt = e E = E = µ 0 λ 2 d dt c En l'absence de diérence de potentiel électrique L'équation précédente conduit à A A E = grad V = A = µ 0 λ 2 d dt soit avec λ = A = µ0 λ 2 où l'on impose A = 0 pour = 0. d Déterminons la dimension de λ 2 dans un premier temps. Or On en déduit [λ 2 ] = [ µ 0 j [E] [E] ] = [ ] [ ] = [ε 0E] [ct ] 1 ρ v [ρ] ε 0 c 2 t [ ] 1 ρ V P M [E] = 4πε 0 P M 3 = [ρ] L [ε 0 ] [λ] 2 = [ρ] L [ε 0] [ε 0 ] [ρ] [ct ] = L2 = [λ] = L λ est bien homogène à une longueur. e L'application numérique conduit à m µ 0 ne 2 0, λ = 4π , λ = 12, 5 nm

10 16 TD B2 - Correction 2. a Dans l'a.r.q.s., les courants de déplacement sont négligeables. Les équations de Maxwell s'écrivent div E = ρ ε 0 = 0 rot E = B div B = 0 rot B = µ 0 E + µ 0 ε 0 } {{ } 0 = µ 0 b En tenant compte de la relation entre et E, l'équation de Maxwell-Faraday se ré-écrit rot E = µ 0 λ 2 rot = µ 0 λ 2 En utilisant l'équation de Maxwell-Ampère, on trouve On en déduit µ 0 rot = rot rot B [ λ 2 rot rot B + B ] = 0 soit rot = B [ rot rot B + ] B = 0 λ 2 3. En l'absence de champ statique [ rot rot B + ] B = 0 λ 2 Or rot rot B = grad div B B } {{ } 0 où div B = 0 d'après l'équation de Maxwell-ux. On en déduit l'équation pour B dans le supraconducteur B B λ 2 = 0 4. On se place en régime stationnaire avec B = Bz u x. L'équation de London fournit a Les solutions sont de la forme d 2 B dz 2 B λ 2 = 0 Bz = A 1 e z/λ + A 2 e +z/λ où A 1 et A 2 sont des constantes d'intrégation.

11 PSI / b S'il n'y a pas de courants surfaciques, le champ magnétique est nécessairement continu en z = 0. On a donc A 1 + A 2 = B 0 De plus, le champ magnétique ne peut pas diverger à l'intérieur du matériau sinon l'énergie magnétique serait innie. On en déduit c On en déduit lim Bz = 0 d'où A 1 = 0 z A 2 = B 0 et Bz = B 0 e z/λ d Sur une distance de 5λ, l'amplitude du champ est inférieure à 1% du champ à la surface et peut donc être considéré comme nul. La longueur de London λ représente la distance caractéristique d'atténuation du champ dans le matériau. e Compte-tenu de la valeur numérique de λ, le champ magnétique peut être considéré comme nul à l'intérieur du matériau supraconducteur. Les lignes de champ ne peuvent pas pénétrer dans le matériau : c'est l'eet Meissner. 9 - Sonde à eet Hall : mesure de champs magnétiques 1. a Les porteurs de charges sont soumis à la force de Lorentz F = q E + v B Ici E = 0 et q v = n où n est la densité volumique de porteurs de charge exprimée en m 3. Ainsi, q v est dans la direction et le sens du courant, c'est-à-dire suivant + u x. On a donc F = q v B = qvb ux u z = qvb u y Les porteurs de charge subissent une force magnétique orientée suivant u y. La face y = y M se charge négativement tandis que la face y = y N "perd" des électrons et se charge positivement. b Voir gure ci-dessous. 2. En régime permanent, le courant s'écoule suivant I, c'est-à-dire suivant + u x. Les forces suivant u y se compensent. On en déduit f magn + q E H = 0 soit v B + E H = 0

12 18 TD B2 - Correction 3. De la relation précédente, on tire Avec q = e, = I ab E H = v B = nq B u x et B = B u z, on obtient E H = I ne ab u x B u z soit E H = IB u y ne ab 4. La tension de Hall vaut V Hall = V N V M = N M dv = N En utilisant l'expression de E H et avec dl = dy u y, il vient Finalement, on obtient M grad V N dl = E H dl M V Hall = IB u y dy u y = IB dy = [MN] ne ab ne ab [MN] V Hall = V N V M = IB ne b 5. a En régime permanent, la loi d'ohm locale impose = γ E avec = I ab u x où E est le champ électrique le long du courant. On en déduit IB ne ab a E = I ab γ u x C'est ce champ électrique qui permet la circulation du courant dans le circuit. La diérence de potentiel V NP vaut V NP = V N V P = P N E dl Avec dl = dx u x et en utilisant l'expression de E, on trouve V NP = [NP ] I ab γ La diérence de potentiel V P M = V P V M vaut u x dx u x = V NP = Id ab γ Id V P M = V P V M = V P V N + V N V M = V } {{ } Hall ab γ V Hall

13 PSI / b On peut donc écrire Id V P M = V Hall 1 ab γv Hall Avec V Hall = IB neb, on a V P M = V Hall 1 ne d γb a = V Hall 1 ε avec ε = ne d γb a L'incertitude relative sur la mesure de la tension de Hall vaut ε. ε est d'autant plus faible que B est intense; γ est élevé bon conducteur; n est faible semi-conducteur. Il est donc préférable d'utiliser des champ magnétiques intenses. 6. a Si B est suivant u y, on a La tension de Hall vaut alors E H = nq B = IB ne ab V Hall = V N V M = u x u y = IB u z ne ab M N E H dl Avec E H suivant u z et dl = dy u y, on a E H dl, de sorte que V Hall = V N V M = 0 En fait, l'eet Hall est toujours présent et la tension de Hall se mesure entre les faces supérieure et inférieure de la plaquette. b Si B est suivant u x : E H = nq B = 0 car B est colinéaire au courant. On en déduit E H = 0 et V Hall = 0 c La sonde de Hall ne permet de mesurer que des champs magnétiques orientés suivant u z. 7. L'eet Hall permet de mesurer des champs magnétiques sonde à eet Hall dans les teslamètres et de caractériser des matériaux conducteurs ou semi-conducteurs mesure de la densité n de porteurs de charge, détermination du type de porteurs de charge en fonction du signe de q et de V Hall.