Décompositions de fractions en fractions Egyptiennes

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1 Atelier Math.en.jeans Sujet : «Les fractions Egyptiennes» Décompositions de fractions en fractions Egyptiennes Existe-t-il un moyen optimal pour décomposer toute fraction en une fraction Egyptienne? = = = = = = = = = = = = Elèves : Octave CURMI - Seconde Amandine GOUMARD, Louciné SARKHANOVA Première S. Marie CHARBONNIER, Adrien CHAIGNE, Pierre DUPUIS, Benoît GOUPILLEAU, Aurore MIGUEL, Vincent PENELLE, Edouard ROSIER, Artak SARKHANOV, Martial TRIGEAUD Terminale S. Enseignants : Florence GABARRA, Cédric JOSSIER. Chercheur : Camille LAURENT-GENGOUX Université de Poitiers Lycée de l image et du son avenue de Navarre 60 ANGOULEME CEDEX Année scolaire

2 Sommaire. I - Introduction. II - Décomposition des nombres entiers. ) Les formules dites des «matching pairs». ) Comment décomposer sous forme d une fraction Egyptienne? 3 3) Tentons d écrire le nombre en une fraction égyptienne. 4 4) Tentons à présent d écrire le nombre entier 3 en fraction égyptienne. 5 III - Utilisation de l algorithme de Fibonacci. 8 ) Principe de l algorithme. 8 ) Trouver n. 9 3) L algorithme. 9 4) Finitude de l algorithme. 0 5) Problèmes. 0 IV - Utilisation du théorème de Bézout. ) Théorème de Bézout et utilisation pour les fractions Egyptiennes. ) Existe t-il plusieurs couples (u ; v) tels que : au + bv =? 3) Existe-t-il un couple (u ;v) tel que 0 < u < b et a < v < 0? 3 4) Mise en place d un nouvel algorithme. 4 V - Propriétés de l algorithme de Bézout. 4 ) Cet algorithme se termine. 4 ) Les dénominateurs sont majorés par b² 5 3) La suite des dénominateurs est décroissante. 5 4) Conclusion. 6 VI - Création de feuilles de calcul. 6 ) Utilisation des congruences. 6 ) Utilisation de l algorithme d Euclide étendu. 7 VII - Conclusion. 9 VIII - Parole d élève. 0 /

3 I - Introduction. L atelier Maths en Jeans de cette année nous proposait de travailler sur les fractions égyptiennes. Les égyptiens n utilisaient que les fractions du type, avec n un entier naturel n non nul et ne connaissaient pas les fractions négatives. On apellera «fraction unitaire» une telle fraction. Par exemple :, 45, sont des fractions 3454 unitaires. Ainsi nous avons tenté d écrire les fractions irréductibles du type a, avec a et b b deux entiers naturels sous la forme d une somme de fractions unitaires toutes différentes. Cette décomposition en somme de fractions unitaires a été appelé «fraction Egyptienne». Nous nous sommes alors posé les questions suivantes : pouvons-nous écrire toutes les fractions du type a b en fraction égyptienne? Existe-t-il plusieurs façons de le faire? Existe-t-il une «meilleure» façon de le faire? Nous avons travaillé sur trois pistes différentes : L utilisation des formules des «matching pairs». L utilisation de l algorithme de Fibonacci. L utilisation du théorème de Bézout. Nous nous sommes partagé le travail en deux groupes, un groupe qui a travaillé sur la décomposition des nombres entiers en fraction Egyptienne et l autre sur la décomposition des fractions plus petites que. II - Décomposition des nombres entiers. ) Les formules dites des «matching pairs». y = y + + y( y + ) = y + y + + y( y + ) Exemples : pour (ici y = 5) 5 5 = (5 + ) = = (Formule ) /

4 ou 5 = (5 + ) = (Formule ) ) Comment décomposer sous forme d une fraction Egyptienne? Principe : On additionne m fois la fraction unitaire m : Exemple : = 5 5 = = y + + y( y + ) + + y y + y( y + ) = ( 5 + ) = = ( 5 + ) (Formule ) = (On utilise deux fois la formule ) 3 = = De la même manière on obtient = 7 7 = /

5 En procédant ainsi, on peut obtenir une infinité de décompositions de : Valeurs de m Dénominateurs des fractions unitaires ) Tentons d écrire le nombre en une fraction égyptienne. On fait la somme des décompositions précédentes : 5 = = Or on retrouve ici fractions unitaires identiques :. Nous allons exploiter le fait que : + = En simplifiant chaque membre de la relation précédente par : = = On obtient une nouvelle décomposition de. Par ailleurs, on a obtenu une autre décomposition de à partir de 7 7 : 7 7 = En procédant de même avec ces deux autres décompositions de un, on obtient : = /

6 = Additionnons : et font = De plus, = 3 ; = 5 et = Or, ici on peut simplifier sans exclure la valeur de : = En utilisant une formule du matching pairs, on trouve : = On parvient ainsi à obtenir une décomposition de. 4) Tentons à présent d écrire le nombre entier 3 en fraction égyptienne. On pense d emblée à faire la somme de 3 décompositions de : Problème : toutes celles que nous avons ont un dénominateur égal à ou /et à 3, ce qui oblige à exclure la valeur de voire de à notre somme de fractions. Tentons alors multiplier 3 à une décomposition de : 3 = = /

7 Problème : nous ne parvenons pas à réécrire la fraction 3 car c est supérieur à. Prenons une décomposition non composée d une fraction ayant au dénominateur : 3 = = = Problème : trop de fractions unitaires identiques Tentons maintenant de multiplier 4 à une décomposition de. Il faut donc une formule générale pour transformer une fraction de type 4 n en une fraction égyptienne : 4 n = n + n on utilise les formules du matching pair : y = y + + y( y + ) = y + y + + y( y + ) 4 n = n + n + + n ( n + ) + n + + n ( n + ) Utilisons une décomposition en fraction égyptienne de comportant que des dénominateurs impairs pour soucis de simplification : 6/

8 soit = = = Problème : Après de multiples simplifications, cette somme est composée de plusieurs fractions, une fraction «3 3», etc. Nous ne parvenons pas à écrire l entier 4 en fraction égyptienne. Tentons de décomposer les entiers à l aide d une autre méthode. Il s agit d abord de diviser par la décomposition de que nous avons, pour obtenir une nouvelle écriture de composée uniquement de dénominateurs pairs : = = On peut donc lui ajouter une décomposition de possédant uniquement des dénominateurs impairs : = Ainsi, si on effectue plusieurs fois de suite ces deux opérations, les dénominateurs pairs augmentent, et on a plus de chances pour qu ils soient 7/

9 différents du plus petits dénominateurs pairs lorsqu on ajoutera la valeur à notre nouvelle décomposition de. Mais après de multiples essais, l application de cette méthode s est révélée très longue et inefficace. III - Utilisation de l algorithme de Fibonacci. ) Principe de l algorithme. On part d une fraction a b inférieure à. On prend la plus grande fraction n inférieure à a b, avec n entier. C est le premier terme de la décomposition de a b. On calcule a b et on recommence l opération avec la fraction obtenue, jusqu à n avoir n que des fractions unitaires. On a alors a/b = n + n + + n k, la décomposition de a en fraction égyptienne. b Exemple : Pour 7 9. La plus grande fraction inférieur à 7 9 est = 5 8 La plus grande fraction supérieure à et inférieure à 5 8 est = 36 (unitaire) Ainsi : 36 = = Donc : 7 9 = /

10 ) Trouver n. On doit avoir : n < a b n n > b a n - Or n et n sont des entiers naturels et b a est un quotient. Donc E b b a = n. Donc n = E a + n est donc le quotient de la division euclidienne de b par a augmenté de. La fraction suivante est a b = a b n = na b. Donc a = na b et b = bn bn 3) L algorithme. On en déduit l algorithme suivant : Demander A ; n accepter que A entier > Demander B ; n accepter que B entier >A Lbl A A D B F Lbl B -(D*E(F/D)-F) C Si C><0 alors D F ; C D ; aller à «Lbl A» ; FinSi A/D A B/D B Si A= alors B List[] ; afficher List ; Stop ; FinSi U Lbl E(B/A)+ C C List[U] AC-B A BC B U+ U A D B F Lbl -(D*E(F/D)-F) G Si G><0 alors D F ; G D ; aller à «Lbl» ; FinSi A/D A B/D B Si A= alors B List[U] ; afficher List ; Stop ; FinSi 9/

11 aller à Lbl Cet algorithme donne les dénominateurs des fractions de la décomposition sous forme de liste. 4) Finitude de l algorithme. Après avoir essayé quelques exemples qui fonctionnaient, nous avons essayé de prouver qu il fonctionnait pour toutes les fractions inférieures à. On a montré que pour une fraction a b, Effectuons la division euclidienne de b par a, alors : b = aq + r avec q = E b a = n (donc n = q + ) et 0 r < a. la fraction suivante dans l algorithme a est telle que b = bn b = b(q + ) et b a = an - b a = aq + a b a = a (b aq) a = a r On peut donc définir la suite (a n ) des numérateurs des fractions restantes à chaque étape par a n+ = a n r n Or r n est le reste de la division euclidienne de b n par a n Donc 0 r n < a n 0 -r n > -a n a n a n+ > 0 (a n ) est une suite d entiers naturels. Si a n+ = a n, r n =0 donc b n est divisible par a n donc la fraction est simplifiable en une fraction unitaire. Donc (a n ) est une suite strictement décroissante, elle converge donc vers. Conclusion : quelle que soit la fraction a b inférieure à, l algorithme de Fibonacci en donnera une décomposition en fraction égyptienne. 5) Problèmes. Cet algorithme présente un problème : les dénominateurs des fractions restantes augmentent très rapidement. En effet, la suite (b n ) est donnée par b n+ = b n (q n + ). Pour des fractions comme 7, on obtient a l aide de l algorithme 9 précédent des décompositions correctes : 7 9 = mais pour des fractions 36 0/

12 comme 6578, on obtient des erreurs avec les algorithmes programmés : = Cet algorithme ne permet donc pas de décomposer toutes les fractions, car les dénominateurs augmentant très rapidement, les machines à calculer font des erreurs. On doit donc trouver un algorithme plus efficace. IV - Utilisation du théorème de Bézout. ) Théorème de Bézout et utilisation pour les fractions Egyptiennes. Théorème : Soit a et b deux entiers relatifs non nuls. a et b sont premiers entre eux si et seulement s il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv =. En partant de la relation initiale au + bv = nous avons : au + bv = au b + v = b au bu + vu = bu a b = bu - v u Nous obtenons alors une première fraction unitaire ( ) pour débuter l écriture bu de a b en fraction égyptienne. Se pose alors un problème, le terme v u semble être négatif. ) Existe t-il plusieurs couples (u ; v) tels que : au + bv =? Lorsque nous avons trouvé «à la main» les premiers couples (u ; v), nous avons remarqué que l on n obtenait pas toujours un u positif et un v négatif, ce qui nous posait problème pour appliquer le théorème de Bézout. Mais nous arrivions à trouver plusieurs couples sur plusieurs exemples. Nous avons donc cherché à démontrer qu il existait plusieurs couples (u ; v). Pour faire cette démonstration nous avons utilisé le théorème suivant : Théorème de Gauss : /

13 Soit e, f, g, p et q des entiers relatifs. Si e divise le produit fg et si e et f sont premier entre eux ; alors e divise g fg = pe PGCD ( e ; f ) = g = qe On a pu déterminer grâce au théorème d Euclide étendu (voir plus loin pour le principe de fonctionnement de cet alogoritme) un premier couple, que l on notera le couple ( u 0 ; v 0 ), tel que : au 0 + bv 0 = Donc : au 0 + bv 0 = au n + bv n b ( v 0 v n ) = a ( u n u 0 ) a et b sont premier entre eux ; donc d après le théorème de Gauss : (k et k sont de entiers relatifs ) -b divise ( u n u 0 ) u n u 0 = k b u n = u 0 + k b -a divise ( v 0 v n ) v 0 v n = k a v n = v 0 k a Un nouveau problème se pose : Comment démontrer que k = k? On a : u n = u 0 + k b v n = v 0 k a De plus, on sait que : au 0 + bv 0 = au n + bv n = En remplaçant u n et v n dans l équation précédente par leur valeur, on a : au 0 + bv 0 = a ( u 0 + k b ) + b ( v 0 k a ) Ce qui donne en développant : au 0 + bv 0 = au 0 + bv 0 + abk abk ab k = ab k Conclusion : k = k On obtient ainsi deux suites : /

14 U n = U 0 + kb V n = V 0 ka Il existe ainsi une infinité de couple (u ; v). Pour éviter les problèmes rencontrés avec la méthode de Fibonacci, c est à dire des dénominateurs qui deviennent de plus en plus grand, nous avons ajouté une condition sur le couple (u ; v) : 0 < u < b -a < v < 0 Mais pouvons nous obtenir un v vérifiant ces conditions lorsque nous avons un u vérifiant ces conditions? 3) Existe-t-il un couple (u ;v) tel que 0 < u < b et a < v < 0? Il existe plusieurs entiers relatifs u et v tels que au + bv =. Démontrons qu il existe un couple (u ; v) d entiers vérifiant cette relation tel que : 0 < u < b et a < v < 0. Supposons a et b premiers entre-eux, d après le théorème de Bézout, il existe un couple (u 0 ; v 0 ) tel que au 0 + bv 0 = Si 0 < u 0 < b, on a trouvé un u adéquat Supposons que u 0 b Alors, il existe q et r tels que : u 0 = qb + u ; 0 u < b Ainsi : comme u 0 a + bv 0 = : alors (qb + u)a + bv 0 = donc : ua + (v 0 + qa)b = Les nouveaux coefficients de BEZOUT sont r et v 0 + qa On procède de la même manière pour le cas où u 0 < 0 On a démontré que l on peut toujours trouver un couple (u ; v) avec 0 < u < b Montrons que dans ce cas a < v < 0 : Supposons que v a alors v -a alors au < ab et b v - ab donc au + bv < 0 C est impossible car au + bv = Ainsi on a 0 < u < b et 0 < v < a 3/

15 4) Mise en place d un nouvel algorithme. Si le terme v u est aussi une fraction unitaire c est-à-dire si v = - alors l écriture sous forme de fraction égyptienne de notre fraction initiale est terminée. Si v u est une nouvelle fraction irréductible alors on recommence l opération précédente en posant v = a et u = b. On recommence avec a et ainsi de suite b jusqu à trouver notre décomposition complète de la fraction initiale en fraction unitaire. Après avoir manipulé cette façon de procéder sur différents exemples nos avons essayé de trouver des moyens de généraliser le problème et de savoir si toutes les nombres compris entre 0 et pouvaient admettre une écriture en fraction égyptienne. V - Propriétés de l algorithme de Bézout. ) Cet algorithme se termine. Lorsqu on décompose une fraction à l aide du théorème de Bézout, on crée deux suites d entiers : au 0 + bv 0 = On recommence pour a = -v 0 et b = u O alors : -v 0 u + u 0 v = et ainsi de suite : Pour tout entier n : -v n u n+ + u n v n+ = On a prouvé de plus que 0 < u 0 < b et a < v 0 < 0 4/

16 On en déduit alors par un raisonnement par récurrence : Pour tout entier naturel n : 0 < u n+ < u n et v n < v n+ < 0 Ainsi u est une suite d entiers positifs décroissante, elle possède donc un nombre fini de termes. De même pour la suite v qui est une suite croissante d entiers négatifs. Il existe donc un entier n tel que v n = - ) Les dénominateurs sont majorés par b² En utilisant la suite précédente, il vient que les dénominateurs de la décomposition sont : b u 0 ; u 0 u ; u u u n u n+ ; u n+ Or, on sait que pour tout n : u n+ < u n < b Donc, pour tout n : u n u n+ < b b Conclusion : les dénominateurs sont majorés par b 3) La suite des dénominateurs est décroissante. On a démontré que pour tout n, 0 < u n+ < u n, si u est la suite des coefficients de Bézout. Les dénominateurs sont alors des termes : w n = u n+ u n alors u n+ < u n+ et u n+ < u n donc u n+ u n+ < u n+ u n Ainsi w n+ < w n Conclusion : la suite des dénominateurs est décroissante. 5/

17 4) Conclusion. Ainsi on optimise l algorithme de Fibonacci : Le nombre au dénominateur reste inférieur à b² et les dénominateurs sont de plus en plus petits. Ainsi les dénominateurs «n explosent» pas comme avec la méthode de Fibonacci. Cet algorithme décompose donc beaucoup plus efficacement des fractions inférieures à même pour des dénominateurs très grands. Les dénominateurs des fractions unitaires étant relativement petits on évite ainsi à l ordinateur de faire des erreurs de calcul en arrondissant les nombres. Cet algorithme peut donc être appliqué par un ordinateur et donne de très bon résultat. C est ce que nous avons fait grâce à un tableur. VI - Création de feuilles de calcul. Voyons comment déterminer systématiquement les couples (u ;v). Deux méthodes ont été utilisées : ) Utilisation des congruences. En utilisant le théorème de Bézout : au + bv = Donc au = bv Il faut trouver u et v tels que b divise au Définition des congruences : a Z, b Z et n ς * a est congru à b modulo n signifie que a et b ont le même reste dans la division euclidienne par n. On note a b (n). Division euclidienne de a par n : a = qn + r avec 0 r < n De plus, r = 0 n + r Donc a et n ont le même reste dans la division euclidienne par n. Ainsi : Si a r (n) avec 0 r < n alors r est le reste de la division euclidienne de a par n. Règles de calcul : Si a b (n), soit c un entier relatif, alors : a + c b + c (n) ac bc (n) 6/

18 b divise au si et seulement si au 0 (b) Différents cas pour u sont possibles : u 0 (b) soit u = 0 + kb u (b) u b (b) On calcule au pour chaque cas. On obtient ainsi un entier x tel que : si u x (b), alors, au 0 (b) Donc il existe deux entiers relatifs k et v tels que : si u = x + kb, au = vb On obtient donc un ensemble de couples d entiers (u;v) avec : ( au) u = x + kb et v = b Exemple : a=7 et b=5 Essayons avec u = 5k, k un entier alors - au = 7 5k = 05k Ceci n est pas divisible par 5, il faut choisir un autre u Essayons avec u = 5k au = 7 (5k + 3) = k 90 et 05 sont des multiples de 5 donc : k = 5k Ceci vérifie : au = bv Ainsi si u = 5k + 3 alors v = (-90 05k) / 5 => ensemble de solutions entières Prenons k = u = = 43 et v = 7 43 = -0 5 on a bien (-0) = = Ceci nous a permis de créer des feuilles de calcul et de déterminer la suite des couples (u ;v) nous donnant la décomposition d une fraction irréductible dont le dénominateur est inférieur à 00 en une fraction Egyptienne. ) Utilisation de l algorithme d Euclide étendu. Trouver un couple (u;v) avec l algorithme d Euclide 7/

19 Il s agit tout d abord de déterminer le plus grand diviseur commun à a et b noté PGCD(a;b) grâce à l algorithme d Euclide : a = bq + r b = r q 3 + r 3 r = r 3 q 4 + r 4 r n- = r n- q n + r n r n- = r n q n+ r n =PGCD(a ;b) Exemple : 9 et 7 9 = = 3 + = + 0 = PGCD(9 ; 7) On a : r = a bq r 3 = b r q 3 r n = r n- r n- q n On a : r 3 = b r q 3 Comme r = a bq r 3 = b (a bq )q 3 r 3 = -q 3 a + ( + q q 3 )b = 9 7 = 7 3 = 7 3 Or = 9 7 = 7 (9 7) 3 = En procédant de même, on peut avoir pour tout n : r n = au n + bv n Expressions de u n et de v n On a donc : r n- = u n- a + v n- b Comme : r n- = u n- a + v n- b r n = r n- r n- q n r n = u n- a + v n- b (u n- a + v n- b)q n r n = (u n- u n- q n )a + (v n- v n- q n )b Donc : u n = u n- u n- q n v n = v n- v n- q n On peut réaliser le tableau suivant qui nous donne le couple (u;v) 8/

20 u n v n r n q n L n 0 a L 0 b q -q r = E a b 0 u n v n r n q n = E q n- q n- L L = L 0 q L L n = L n- q n L n- A chaque étape : u n a + v n b = r n u n v n r n q n L n L 0 (-3) = donc u = -3 et v = E(9/7) = E(7/) = 3 E(/) = L L = L 0 L L 3 = L 3L A partir d une de ces deux méthodes on peut déterminer l ensemble des couples (u ;v) successifs tels que u>0 et v<0 la suite des dénominateurs nous est donné par w n = u n+ u n et on s arrête lorsque u =. On a alors une écriture sous forme de fraction égyptienne de la fraction de départ. Ceci nous a permis de mettre en place des feuilles de calcul pour décomposer toute fraction inférieure à en une fraction Egyptienne. VII - Conclusion. Le projet ici présenté est un travail collectif regroupant plusieurs lycées d'une même région pour un sujet commun. Cette activité amène des élèves d'horizons lointains à se rencontrer en fin d'année scolaire lors d'une exposition à la Cité des Sciences à Paris. Chacun va alors présenter son projet et sa résolution devant les autres. Il s'agit donc d'un véritable échange collectif intra-lycéens. Notre projet concernait les fractions égyptiennes qu'il nous fallait savoir utiliser à partir de fractions comme nous les connaissons aujourd'hui. Cependant par quels outils pouvait-on arriver à nos résultats et dans quelles autres situations pouvait-on recourir aux fractions égyptiennes (décomposition de chiffres,...). Nos recherches nous ont amené à découvrir de nouveaux théorèmes, et à utiliser des connaissances personnelles. Il fallait cependant ne pas perdre de vue notre objectif qui étaient traduire nos chiffres et fractions en fractions égyptiennes donc en somme de fractions unitaires. C'est sans doute cela qui nous 9/

21 a posé le plus de problèmes puisque dans l'exposé de notre projet, il n'y avait pas eu assez d'insistance sur la signification d'une fraction égyptienne. Le travail réalisé a pourtant été conséquent et même un peu trop pour le peu de travail que nous avons pu exposer à Paris. Il a été difficile de clarifier nos idées lors des réunions à Poitiers pour présenter l'évolution du projet. Il a fallu étayer tout cela lors de la préparation pour l'exposition de Paris. Le projet a été allégé de beaucoup par conséquent et ne rendait pas forcément compte du travail fourni pendant l'année. VIII - Parole d élève. Mon travail sur MATH en JEANS a tout d'abord porté sur la compréhension des différents algorithmes, en particulier celui de Fibonacci. Il s'agissait de tester l'algorithme afin de comprendre les outils mis à notre disposition. Après, il a fallu se recentrer sur la problématique. Un autre théorème s'est alors ajouté à nos outils : le théorème de BEZOUT et il m'a fallu le comprendre tout comme les algorithmes. J'ai cependant eu beaucoup de difficultés à comprendre ce que je recherchais écartant alors trop souvent la problématique de mes recherches. Ceci ne m'a pas aidé à mieux cerner la définition d'une fraction égyptienne. C'est donc par les comptes rendus réalisés avant les réunions à Poitiers que le sujet et notre objectif m'ont paru plus définis. Je ne me suis pas pour autant impliquée dans une démonstration particulière d'un des théorèmes utilisés mais plutôt dans l'application de ceux-ci par des exemples comme pour Bézout. A la seconde réunion à Poitiers, j'ai cependant refait la démonstration du théorème de Bézout afin de pouvoir en sortir les conditions qui allaient s'appliquer sur les fractions à traduire (numérateur et dénominateur), les conditions donc auxquelles le théorème allait devoir se soumettre. Les exemples que j'avais trouvé et d'autres ont confirmé les conditions trouvées. Il a fallu rappeler qu'une fraction égyptienne n'est pas une fraction unitaire mais une somme de fractions unitaires différentes les unes des autres. Le reste de mon travail a surtout concerné la présentation orale du travail réalisé ou la préparation de nos panneaux de présentation. J'ai énormément apprécié le travail que nous avons effectué pendant l'année. C'est un excellent moyen de montrer et même faire vivre aux jeunes le métier de chercheur. Le sujet était intéressant et rend compte des avancées physiques et mathématiques que nous avons eu en quelques siècles. 0/

22 Ce qui m'a le plus marqué, c'est l'échange que nous avons pu faire avec d'autres lycées. Chacun a avancé parfois sur une branche similaire mais sans jamais aboutir sur les recherches d'un des autres lycées. Les rencontres faites ont été enrichissantes pour tous et l'exposition de Paris a montré des sujets très intéressants. Le plus appréciables était sans doute que ce projet n'est pas limité aux classes supérieures puisque des cinquièmes voire même des élèves issus des classes primaires y participaient. Enfin, il y avait à la fois une liberté des élèves pour leurs recherches mais les professeurs ont pourtant toujours su s'impliquer dans le projet afin d'aider les élèves sans réaliser le travail à leur place; juste en tant que guides. /

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