MODULE : RDM DEPARTEMENT DE L ARCHITECTURE

Transcription

1 UNIVERITE DE OTAGANE PROOTION : eme ANNEE FACULTE DE CIENCE ET CIENCE DE L INGENIEUR ODULE : RD DEPARTEENT DE L ARCHITECTURE CHAPITRE II / TRACTION IPLE II 1 : définition On dit qu'une pièce est soumise à un effort de traction, lorsque, au droit d'une section droite de la pièce, l'ensemble des forces etérieures appliquées à gauche de la section, se réduit au seul effort normal. N 0 ; T = 0 ; = 0 ( voir fig. II-1 ) L'epérience de la traction simple a été citée dans le chapitre précédent. II : équation d'équarrissage ds df t df df n G Fig. II-1 *Les trois équations d'équilibre statiques deviennent égales à : N Ae neutre N + σ. ds = 0 ( II-1) τ. ds = 0 ( II- ). σ. ds = 0 ( II-3 ) *selon la loi de HOOKE : σ = Ε. ε τ = G. ε 1 ( ΙΙ 4) ( ΙΙ 5) *selon les hpothèses de NAVIER-BERNOULLI : la section droite de la pièce subit un simple déplacement géométrique, qui est ici une translation parallèle à l'ae ( fig. II- ). chapitre II : Traction simple Année Architecture 008/ Préparé par :.BENOULA

2 Fig. II- ' ' 1 Δ ε = Δ. ( II-6 ) en substituant dans II-4 et II-5, on aura : ε 1 = 0 ( ΙΙ 7 ) Δ. σ = Ε. ( II-8 ) τ = 0 ( II-9 ) à partir de II-1, on a: N +. ds ds σ = 0 N + σ. = 0 N + σ. = 0 à partir de II-, on a: σ = N ( II-10 ) τ. ds = 0 τ.ds = 0 τ = 0 ( II-11 ) à partir de II-3, on a:.. σ ds = 0 σ. ds = 0 la relation est vérifiée oment statique par rapport à l'ae de smétrie de la section et qui passe par son centre de gravité = 0 la relation II-10 σ = N montre que les contraintes sont purement normales et uniformément réparties sur toute la section. Elles sont de signe contraire à l'effort normal, ce qui se conçoit car les forces élastiques correspondantes doivent équilibrer l'effort normal. chapitre II : Traction simple Année Architecture 008/ Préparé par :.BENOULA

3 II 3 : équation de déformation d'après la relation ( II-8 ), on a : σ = Ε. Δ. alors et en substituant par II-10, on a : Δ = E σ. = d'où Δl = Σ N. E. = l N.. E 0 dans le cas où N = cte et = cte alors, Δl = N. l. E N. E. ( II-1 ) ( II-13 ) ( elle confirma la loi de HOOKE) ( II-14 ) II 4 : condition de sécurité Dans la phase élastique, la contrainte normal σ donnée par la relation II-10, devrait vérifier : σ = N σ e ( limite élastique ) Pour une raison de sécurité, on atteint pas la limite élastique mais une valeur qui est inférieure à la limite élastique et qui appelée la contrainte admissible σ. σ = N σ ( II-14 ) chapitre II : Traction simple Année Architecture 008/ Préparé par :.BENOULA

4 UNIVERITE DE OTAGANE PROOTION : eme ANNEE FACULTE DE CIENCE ET CIENCE DE L INGENIEUR ODULE : RD DEPARTEENT DE L ARCHITECTURE CHAPITRE III / COPREION IPLE FLABEENT III 1 : Définition On dit qu'une pièce est soumise à un effort de compression, lorsque, au droit d'une section droite de la pièce, l'ensemble des forces etérieures appliquées à gauche de la section, se réduit au seul effort normal.( de la même manière que la traction simple ). N 0 ; T = 0 ; = 0 Dans ce chapitre, on doit faire la distinction entre les pièces longues ( qui travaillent en compression simple ) et les pièces courtes ( qui risquent de flamber ). III - : Les pièces courtes Les équations dans le cas de la compression simple restent les mêmes trouvées pour la traction simple à savoir : σ = N ( III-1 ) Δl = Σ N. E. = l N.. E 0 ( III- ) σ = N σ ( contrainte admissible à la compression ) ( III-3 ) III 3 : Les pièces longues III 3.1 : le flambement Considérons une pièce longue, d'ae rectiligne, de section constante, et soumettons-la à un effort de compression eactement centré sur l'ae et dirigé suivant l'ae de cette pièce. Tant que l'effort de compression est suffisamment faible, nous observons des phénomènes absolument comparables à ceu de la compression simple des pièces courtes : c'est à dire que la pièce subit un raccourcissement élastique qui est proportionnel à l'effort, l'ae demeure rectiligne. i l'effort de compression augmente, on constate, que pour une certaine valeur de cet effort, la pièce s'incurve brusquement ( fig. III-1 ), et, ou bien elle se brise, ou bien elle prend une forme courbe, d'allure sinusoïdale, inadmissible en construction. chapitre III : Compression simple flambement Année Architecture 008/ Préparé par :.BENOULA

5 La forme de cette courbe dépend des conditions d'attache au etrémités de la pièce. A A Fig. III-1 B B III 3. : L'élancement λ = l f = i l f I min ( III-4 ) avec l f : la longueur de flambement l f = l ( III-5 ) k l : la longueur initiale de la pièce k : coefficient qui dépend de la nature de la liaison au etrémités de la pièce et il est égal au valeurs suivantes : k = 1 ; l k =1 ; l f = l f =.l k = ; l f = l k = ; l f = ( III-6 ) l I min : l'inertie minimale de la section de la pièce. : la section transversale de la pièce. Alors: i λ 50 : la pièce est considérée comme longue, elle risque de flamber. i λ < 50 : la pièce est considérée comme courte, elle travaille en compression simple. III 3.3 : La charge critique selon EULER et RANKINE elon la valeur de λ, on saura si la pièce risque de flambe et alors on aura : chapitre III : Compression simple flambement Année Architecture 008/ Préparé par :.BENOULA

6 i σ c > σ e on arrive à la limite élastique avant la limite critique du au flambement, alors le flambement n'est pas possible i σ c < σ e on arrive dans ce cas à la limite critique du au flambement avant la limite élastique, donc le flambement est possible ( dans ce cas on prend la valeur critique minimale qu'on atteindra, soit celle d'euler ou celle de Rankine). La charge critique selon EULER: N. σ adm =. λ. K ' La charge critique selon RANKINE : N. σ adm = 1+ λ. K ' Avec: σ : la contrainte admissible à la compression : la section transversale de la pièce. L : le coefficient du flambement K' : coefficient qui dépend de la nature du matériau. K' = On donne K' pour quelque materiau : Acier : K' = 10-4 Fer : K' = 0,810-4 Bois : K' = 10-4 ( III-7 ) ( III-8 ) σ e ( III-9 ). E π Par eemple pour le bois: Pour le fer : RAKINE est applicable si 50 < λ 70 Euler est applicable si λ > 70 RAKINE est applicable si 50 < λ 105 Euler est applicable si λ > 105 chapitre III : Compression simple flambement Année Architecture 008/ Préparé par :.BENOULA

7 UNIVERITE DE OTAGANE PROOTION : eme ANNEE FACULTE DE CIENCE ET CIENCE DE L INGENIEUR ODULE : RD DEPARTEENT DE L ARCHITECTURE CHAPITRE IV / CIAILLEENT IPLE VI 1 : Définition On dit qu'une pièce est soumise à un effort de cisaillement, lorsque au droit d'une section droite de la pièce, l'ensemble des forces etérieures appliquées à gauche de la section, se réduit au seul effort tranchant T ( fig. VI-1 ). T 0 ; N = 0 ; = 0 Il convient de remarquer que, s'il est commode d'étudier l'effet de l'effort tranchant agissant isolement, ce cas ne se présente dans la réalité que pour les sections particulières de la pièce. sachant que T = d c'est à dire que si T est constant, le moment eiste. D'une autre manière l'effort tranchant agit donc le plus souvent en même temps que le moment fléchissant. Il en résulte qu'on ne peut effectuer, sur des pièces soumises à un effort de cisaillement, des epériences analogues à celle qu'on a fait au chapitre II concernant la traction simple. Les déformations que l'on observerait seraient dues non seulement à l'action de l'effort tranchant T, mais également au moment fléchissant. VI : Equation d'équarrissage df t df ds df n Ae neutre T G Fig. IV-1 *Les trois équations d'équilibre statiques deviennent égales à : σ. ds = 0 ( IV-1) T + τ. ds = 0 ( IV- ). σ. ds = 0 ( IV-3 ) chapitre VI : Cisaillement simple Année Architecture 008/ Préparé par :.BENOULA

8 *selon la loi de HOOKE : σ = Ε. ε = 0 τ = G. ε 1 ( ΙV 4) ( ΙV 5) *selon les hpothèses de NAVIER-BERNOULLI : la section droite de la pièce au cours de la déformation reste plane, identique à elle même et normale à la fibre moenne déformée, elle subit un simple déplacement géométrique, qui est ici une simple translation de la section droite dans son plan ( fig. IV- ). a G G' a' a' 1 d Fig. IV- ' a'a' 1 = d et d ε 1 = ( IV-6 ) ε = 0 ( ΙV 7 ) à partir de IV-, on a: T + τ. ds = 0 T + τ. ds = 0 τ = T ( IV-8 ) Et les équations IVI-1 et VI-3 sont vérifiées car ε = 0 la relation IV-8 τ = T montre que les contraintes sont purement normales et uniformément réparties sur toute la section. Elles sont de signe contraire à l'effort tranchant, ce qui se conçoit car les forces élastiques correspondantes doivent équilibrer l'effort tranchant. chapitre VI : Cisaillement simple Année Architecture 008/ Préparé par :.BENOULA

9 VI 3 : Equation de déformation d d'après la relation ( IV-6 ), on a : ε 1 = d alors et en substituant par IV-5, on a : ε 1 = = τ G d et en substituant par ( IV-8 ), on aura : = T ( IV-9 ). G il faut noter que lorsque le cisaillement est pure les contraintes tangentielles transversales τ et les contraintes tangentielles longitudinales τ'sont égales ( voir démonstration). C' T' A' C T D' A T B' d D T' B U Face AA'B'B : T = τ. U.d Face CC'D'D : T = τ. U.d Face CC'A'A : T' = τ'. U. Face DD'B'B : T' = τ'. U. / CC' = 0 T. T'.d = 0 τ = τ' (IV-10 ) VI 4 : Condition de sécurité Pour une raison de sécurité, τ = T τ ( IV-11 ) chapitre VI : Cisaillement simple Année Architecture 008/ Préparé par :.BENOULA

10 UNIVERITE DE OTAGANE PROOTION : eme ANNEE FACULTE DE CIENCE ET CIENCE DE L INGENIEUR ODULE : RD DEPARTEENT DE L ARCHITECTURE CHAPITRE V / FLEXION PURE V 1 : Définition On dit qu'une pièce est soumise à un effort de fleion, lorsque, au droit d'une section droite de la pièce, la réduction des forces appliquées à gauche de cette section comporte un moment fléchissant. 0 On distingue trois tpes de fleion : Fleion pure quand 0 ; T = 0 ; = 0 Fleion simple quand 0 ; T 0 ; N = 0 Fleion composée quand 0 ;N 0;(avec cisaillement si T 0 et sans cisaillement si T=0 ) V : Fleion pure( voir fig. V-1 ) On peut voir ce cas, si on s'intéresse à une poutre simplement appuée avec des portes à fau. P P T a R B l R A a +P - P P.a Fig. V-1 chapitre V : Fleion pure Année Architecture 008/ Préparé par :.BENOULA

11 Dans la partie centrale ( entre les appuis ) où le moment est constant et l'effort tranchant est nul, on augmentera la valeur de P, et ainsi la pièce fléchira plus et la fibre moenne prendra une forme circulaire et c'est pour cette raison qu'on appelle la fleion pure aussi la fleion circulaire. V 3 : Equation d'équarrissage df t df ds df n Ae neutre G Fig. V- *Les trois équations d'équilibre statiques deviennent égales à : σ. ds = 0 ( V-1) τ. ds = 0 ( V- ) +. σ. ds = 0 ( V-3 ) *selon la loi de HOOKE : σ = Ε. ε τ = G. ε 1 = 0 ( V 4) ( V 5) *selon les hpothèses de NAVIER-BERNOULLI : la section droite de la pièce subit une rotation. ( fig. V-3 ). ' 1 a O a' a' 1 O' Fig. V-3 ' chapitre V : Fleion pure Année Architecture 008/ Préparé par :.BENOULA

12 La relation V-1 σ. ds = 0, ne peut être vérifier que si il eiste des contraintes positives et des contraintes négatives de telle façon que la somme de l'ensemble soit nul. Donc il eiste des fibres qui sont tendues et des fibres qui sont comprimés, ce qui implique l'eistence d'un ae neutre où le contraintes ne sont ni comprimées ni tendues. ε = a ' a' 1 ( V-6 ) tg ( ) = a ' ' a 1 ( triangle o'a'a' 1 ) ( V 7 ) puisque << 0 ( tg = ) alors on aura : ε = a ' a' 1. = d'où, en substituant le résultat trouvé en V-8 dans V-4, on trouve: σ = E.. on remplace V-9 dans V-1, on aura : ( V-8 ) ( V-9 ) E...d = 0 et puisque E et sont constants, alors on aura : E...d = 0 elle est vérifiée ( V-10 ) oment statique par rapport à l'ae de smétrie de la section et qui passe par son centre de gravité = 0 maintenant, on substitue V-9 dans V-3 et on trouve : +.. σ ds = E..d = 0 ; alors = E.I ZG. ( V-11 ) oment d'inertie par rapport à l'ae Oz et qui passe par le centre de gravité de la section d'après l'epression V-9 on a σ = E.., ce qui donne = d'après l'epression V-11, ona = E.I ZG., cqui donne =. par identification on aura: σ = I ZG σ E. E. I ZG ( V-1 ) (le signe a été enlevé pour conserver la convention de signe de la 1 année) chapitre V : Fleion pure Année Architecture 008/ Préparé par :.BENOULA

13 Les résultats : < 0. < 0 σ < 0 ( traction ) ( ) >0 ( un moment positif tend les fibres inférieures ) Y > 0. > 0 σ > 0 ( compression ) ( + ) < 0. > 0 σ > 0 (compression ) ( + ) <0 ( un moment négatif tend les fibres supérieures ) Y > 0. < 0 σ < 0 (traction ) ( ) V 4 : L'équation de la déformée ( figv. 5-4 ) A ' Fig. V-4 ρ G B B' 1 G' ' 1 A' 1 O D'après V-11, on a : = E. I ZG Dans le triangle OGG4 on a tg = = ρ, ( V-13 ) d'où 1 = ( V-14 ) ρ D'après la géométrie analtique, on sait que ρ 1 = achant que ' tend vers 0, alors on aura = Y'' = E. I ZG ( 1 + ' ) chapitre V : Fleion pure Année Architecture 008/ Préparé par :.BENOULA '' '' ( 1+ ' ) 3 3 = E. I ZG ; alors ( V-15 ) ( V-16 ) C'est l'équation différentielle de la fibre moenne déformée ( équation de la déformée ) V 5 : Force élastique ( fig. V-5 ) On veut déterminer la force élastique de traction F

14 < 0 F' z Z F Fig. V-5. σ. ds = I ZG F = ds =. ds = I ZG I.m z ( force positive) ( V-17 ) ZG Avec m z le moment statique de la partie supérieure de la section. le même travail sera fait pour déterminer la force élastique de compression et qui sera égale à F' = F = m z ( V-18 ) I ZG pour déterminer le bras de levier entre les forces élastiques Z, soit on utilise la méthode directe celle du tiers de la hauteur par rapport à la base du triangle, soit la méthode de calcul suivante : I Zg m z Z = 0, ce qui donne Z = m /F' = 0, on aura I ZG z ( V-19 ) chapitre V : Fleion pure Année Architecture 008/ Préparé par :.BENOULA

15 UNIVERITE DE OTAGANE PROOTION : eme ANNEE FACULTE DE CIENCE ET CIENCE DE L INGENIEUR ODULE : RD DEPARTEENT DE L ARCHITECTURE CHAPITRE VI / FLEXION IPLE V I 1 : Définition On dit qu'une pièce est soumise à un effort de fleion simple lorsque, au droit d'une section droite de la pièce, la réduction des forces appliquées à gauche de cette section comporte un moment fléchissant et un effort tranchant T. 0 et T 0 On utilisant le sstème de superposition, on peut étudier l'effet de et de T indépendamment.. ( VI-1 ) Pour le moment, il a été déjà étudier au chapitre V, on trouve : σ = I ZG pour l'effort tranchant et comme T 0, il a été démontré au chapitre IV qu'il eiste un cisaillement transversal τ = T, mais avec la présence du moment fléchissant, le cisaillement longitudinal est différent du cisaillement transversal. V I : Cisaillement longitudinal ( voir fig. VI-1 ) On peut voir ce cas, si on s'intéresse à une poutre simplement appuée avec des portes à fau. P P T a R B l R A a +P - P P.a Cour R.D. Année Architecture 008/009 Fig. V-1 chapitre V : Fleion pure Préparé par :.BENOULA

16 Dans la partie centrale ( entre les appuis ) où le moment est constant et l'effort tranchant est nul, on augmentera la valeur de P, et ainsi la pièce fléchira plus et la fibre moenne prendra une forme circulaire et c'est pour cette raison qu'on appelle la fleion pure aussi la fleion circulaire. V 3 : Equation d'équarrissage df t df ds df n Ae neutre G Fig. V- *Les trois équations d'équilibre statiques deviennent égales à : σ. ds = 0 ( V-1) τ. ds = 0 ( V- ) +. σ. ds = 0 ( V-3 ) *selon la loi de HOOKE : σ = Ε. ε τ = G. ε 1 = 0 ( V 4) ( V 5) *selon les hpothèses de NAVIER-BERNOULLI : la section droite de la pièce subit une rotation. ( fig. V-3 ). ' 1 a O a' a' 1 O' Fig. V-3 Cour R.D. ' chapitre V : Fleion pure Année Architecture 008/ Préparé par :.BENOULA

17 La relation V-1 σ. ds = 0, ne peut être vérifier que si il eiste des contraintes positives et des contraintes négatives de telle façon que la somme de l'ensemble soit nul. Donc il eiste des fibres qui sont tendues et des fibres qui sont comprimés, ce qui implique l'eistence d'un ae neutre où le contraintes ne sont ni comprimées ni tendues. ε = a ' a' 1 ( V-6 ) tg ( ) = ' a 1 ( triangle o'a'a' 1 ) ( V 7 ) a ' puisque << 0 ( tg = ) alors on aura : ε = a ' a' 1. = d'où, en substituant le résultat trouvé en V-8 dans V-4, on trouve: σ = E.. on remplace V-9 dans V-1, on aura : ( V-8 ) ( V-9 ) E...d = 0 et puisque E et sont constants, alors on aura : E...d = 0 elle est vérifiée ( V-10 ) oment statique par rapport à l'ae de smétrie de la section et qui passe par son centre de gravité = 0 maintenant, on substitue V-9 dans V-3 et on trouve : +.. σ ds = E..d = 0 ; alors = E.I ZG. ( V-11 ) oment d'inertie par rapport à l'ae Oz et qui passe par le centre de gravité de la section d'après l'epression V-9 on a σ = E.., ce qui donne = d'après l'epression V-11, ona = E.I ZG., cqui donne =. par identification on aura: σ = I ZG σ E. E. I ZG ( V-1 ) (le signe a été enlevé pour conserver la convention de signe de la 1 année) Cour R.D. chapitre V : Fleion pure Année Architecture 008/ Préparé par :.BENOULA

18 Les résultats : < 0. < 0 σ < 0 ( traction ) ( ) >0 ( un moment positif tend les fibres inférieures ) Y > 0. > 0 σ > 0 ( compression ) ( + ) < 0. > 0 σ > 0 (compression ) ( + ) <0 ( un moment négatif tend les fibres supérieures ) Y > 0. < 0 σ < 0 (traction ) ( ) V 4 : L'équation de la déformée ( figv. 5-4 ) A ' Fig. V-4 ρ G B B' 1 G' ' 1 A' 1 O D'après V-11, on a : = E. I ZG Dans le triangle OGG4 on a tg = = ρ, ( V-13 ) d'où 1 = ( V-14 ) ρ D'après la géométrie analtique, on sait que ρ 1 = achant que ' tend vers 0, alors on aura = Y'' = E. I ZG '' ( 1+ ' ) '' ( 1+ ' ) 3 3 = E. I ZG ; alors ( V-15 ) ( V-16 ) C'est l'équation différentielle de la fibre moenne déformée ( équation de la déformée ) V 5 : Force élastique ( fig. V-5 ) Cour R.D. chapitre V : Fleion pure Année Architecture 008/ Préparé par :.BENOULA

19 On veut déterminer la force élastique de traction F < 0 F' z Z F Fig. V-5. σ. ds = I ZG F = ds =. ds = I ZG I.m z ( force positive) ( V-17 ) ZG Avec m z le moment statique de la partie supérieure de la section. le même travail sera fait pour déterminer la force élastique de compression et qui sera égale à F' = F = m z ( V-18 ) I ZG pour déterminer le bras de levier entre les forces élastiques Z, soit on utilise la méthode directe celle du tiers de la hauteur par rapport à la base du triangle, soit la méthode de calcul suivante : I Zg m z Z = 0, ce qui donne Z = m /F' = 0, on aura I ZG z ( V-19 ) Cour R.D. chapitre V : Fleion pure Année Architecture 008/ Préparé par :.BENOULA