Généralités sur les fonctions

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1 Généralités sur les fonctions Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2008/2009 Table des matières 1 Rappels et compléments Fonctions affines Fonctions usuelles La fonction carrée La fonction inverse La fonction racine carrée Exemples d utilisation du sens de variation des fonctions usuelles Fonctions associées Fonctions x f (x) + k et x f (x + k) Fonctions x k f (x) Fonction u Somme et différence de deux fonctions Représentation graphique de f + g et de f g Variations de la fonction somme Composée de deux fonctions Définition Exemples Sens de variation d une fonction composée Ce cours est placé sous licence Creative Commons BY-SA 1

2 TABLE DES FIGURES TABLE DES FIGURES Table des figures 1 Détermination graphique d une fonction affine La fonction carrée La fonction inverse La fonction racine carrée Fonctions associées cas d une translation verticale Fonctions associées cas d une translation horizontale Fonctions associées Cas général Multiplication d une fonction par un nombre Un exemple d utilisation des fonctions associées Fonction u Somme de deux fonctions

3 1 RAPPELS ET COMPLÉMENTS Activités : Test C page 32 1 Test A page 32 2 [Déclic]. 1 Rappels et compléments sur les fonctions usuelles 1.1 Fonctions affines Définition : On appelle fonction affine toute fonction f définie sur R, de la forme : f (x) = mx + p. m est appelé coefficient directeur ; p est appelé ordonnée à l origine. La représentation graphique d une fonction affine est une droite non parallèle à l axe des ordonnées. Détermination graphique d une fonction affine : voir figure 1 Fig. 1 Détermination graphique d une fonction affine Pour déterminer graphiquement le coefficient directeur : on part d un point de la droite (ici A) ; on avance de x unités (horizontalement) et on monte de y unités (verticalement) pour se trouver sur un autre point de la droite (ici B). Le coefficient directeur est alors : m = y différence des ordonnées = x différence des abscisses L ordonnée à l origine p est l ordonnée du point d intersection entre la droite et l axe des ordonnées. Remarque : Cette méthode permet aussi de tracer rapidement la représentation graphique d une fonction affine connue. Propriété : Si m > 0, la fonction affine f est croissante. Si m > 0, la fonction affine f est décroissante. Si m = 0, la fonction affine f est constante. Exercices : 5, 7 page page 46 4 et 8, 9 page 46 5 [Déclic] 1 Lectures graphiques : rappels de Seconde sur les fonctions. 2 Rappels sur les équations de droites. Méthode de l escalier. 3 Détermination graphique de fonctions affines. 4 Détermination de fonctions affines par le calcul. 5 Équations et tableaux de signes. 3

4 1.2 Fonctions usuelles 1 RAPPELS ET COMPLÉMENTS 1.2 Fonctions carrée, inverse et racine carrée Rappel : Une fonction croissante conserve l ordre : si a b alors f (a) f (b). Une fonction décroissante inverse l ordre : si a b alors f (a) f (b) La fonction carrée f : x x 2, définie sur R (figure 2) Sa représentation graphique est une parabole. Fig. 2 La fonction carrée f est décroissante sur ] ; 0] et croissante sur [0 ; + [. Conséquences : Deux nombres positifs et leurs carrés sont rangés dans le même ordre : Si 0 a < b alors 0 a 2 < b 2 Deux nombres négatifs et leurs carrés sont rangés dans l ordreinverse : Si 0 a < b alors a 2 > b 2 0 L équation x 2 = a, avec a > 0, a deux solutions : x = a et x = a La fonction inverse : f : x 1 x, définie sur R \ {0} = ] ; 0[ ]0 ; + [ = R (figure 3) Sa représentation graphique est une hyperbole. f est décroissante sur ] ; 0[ et décroissante sur ]0 ; + [. Remarque : Il est par contre FAUX de dire que cette fonction est décroissante sur R. On peut étudier les variations d une fonction uniquement sur un intervalle. 4

5 1 RAPPELS ET COMPLÉMENTS 1.2 Fonctions usuelles Fig. 3 La fonction inverse 5

6 1.3 Exemples d utilisation du sens de variation des fonctions usuelles 1 RAPPELS ET COMPLÉMENTS Conséquences : Deux nombres strictement positifs et leurs inverses sont rangés dans l ordre inverse : Si 0 < a < b alors 1 a > 1 b Deux nombres strictement négatifs et leurs inverses sont rangés dans l ordre inverse : Si a < b < 0 alors 1 a > 1 b Remarque : Pour ces deux fonctions, on n a aucun résultat si a et b sont de signes contraires La fonction racine carrée : f : x x, définie sur [0 ; + [ = R + (figure 4) Fig. 4 La fonction racine carrée f est croissante sur [0 ; + [ Conséquence : Deux nombres positifs et leurs racines carrées sont rangés dans le même ordre : Si 0 a < b alors 0 a < b Exercices : 13, 14, 15 page , 18 page 47 7 et 23, 25, 26 page 48 8 [Déclic]. 1.3 Exemples d utilisation du sens de variation des fonctions usuelles Exemple 1 : On veut déterminer le sens de variation de la fonction f définie sur ] 3 ; + [ par : f (x) = 1 x + 3 Pour cela, on commence par donner un schéma de montage de la fonction : x x x + 3 On va suivre cette construction pour déterminer si la fonction conserve ou inverse l ordre sur ] 3 ; + [ : 6 Vrai ou Faux et QCM. 7 Équations et inéquations comportant un carré. 8 Lectures graphiques. 3 < a < b (1) 0 < a + 3 < b + 3 (2) 1 > 1 (3) a + 3 b + 3 On aboutit à : f (a) > f (b) (4) 6

7 2 FONCTIONS ASSOCIÉES Ligne 1 : Ligne 2 : Ligne 3 : Ligne 4 : On choisit un ordre pour les deux nombres a et b de ] 3 ; + [. Ajouter 3 à chaque membre ne change pas l ordre. Tous les nombres étant strictement positifs, le passage à l inverse change l ordre. Globalement, par rapport à la ligne 1, l ordre a été inversé. La fonction f est donc décroissantesur ] 3 ; + [. Exemple 2 : On veut encadrer (x + 3) 2 lorsque x [ 5 ; 5] Pour cela, on commence par donner le schéma de montage de la fonction : On va ensuite encadrer x + 3 : Ligne 5 : x [ 5 ; 5] Ligne 6 : x x + 3 (x + 3) 2 Ajouter 3 à chaque membre ne change pas l ordre. 5 x 5 (5) 2 x (6) Pour conclure, il suffit de dresser le tableau de variations de la fonction carrée sur [ 2 ; 8] : X X 2 0 Le minimum est 0 et le maximum 64. On peut donc conclure que : Exercices : 20, 22 page 47 9 [Déclic] Si x [ 5 ; 5] alors 0 (x + 3) Fonctions associées Activité : Activité 1 page [Déclic] 2.1 Fonctions x f (x) + k et x f (x + k) Propriété : Soit f une fonction et k un réel. 1. Soit F la fonction définie par F (x) = f (x) + k. La courbe représentative de F est obtenue à partir de celle de f par une translation verticale de k unités, c est-à-dire une translation de vecteur k j. 2. Soit G la fonction définie par G (x) = f (x + k). La courbe représentative de G est obtenue à partir de celle de f par une translation horizontale de ( k) unités, c est-à-dire une translation de vecteur k i. Remarques : 1. Cette propriété permet de tracer rapidement des courbes mais aussi de déterminer le sens de variations de certaines fonctions (voir exemples). 2. Les translations horizontales ont pour effet de changer l ensemble de définition des fonctions. Les translations verticales, elles, changent les extremums. 9 Utilisation des fonctions usuelles. 10 Parabole et translation. 7

8 2.1 Fonctions x f (x) + k et x f (x + k) 2 FONCTIONS ASSOCIÉES Exemples : 1. Soit F : x x + 3. C F s obtient à partir de la courbe représentative de la fonction racine carrée par une translation de vecteur 3 j (voir figure 5). x 0 + x 0 + Or : x 0, donc, après translation : F (x) 3. Fig. 5 Fonctions associées cas d une translation verticale 2. Soit G : x x + 2. C G s obtient à partir de la courbe représentative de la fonction racine carrée par une translation de vecteur 2 i (voir figure 6). x 0 + x 2 + Or : x 0, donc, après translation : G (x) 0. Fig. 6 Fonctions associées cas d une translation horizontale 3. Soit H : x x C H s obtient à partir de la courbe représentative de la fonction racine carrée par une translation de 8

9 2 FONCTIONS ASSOCIÉES 2.2 Fonctions x k f (x) vecteur 2 i + 3 j (voir figure 7). x 0 + Or :, donc, après translation : x 0 x 2 + G (x) 3. Fig. 7 Fonctions associées Cas général Exercices : 28, 29 page , 32 page 49 et 41 page , 38, 40 page et 42 page [Déclic] Module : Module page [Déclic] 2.2 Fonctions x k f (x) Définition : Soit k un réel et f une fonction. On note kf la fonction qui à x associe k f (x). On obtient aussi les fonctions : 2f, 3f, 1 2 f, 2f, etc... Remarques : 1. L ensemble de définition de kf est le même que celui de f (si k 0) 2. Un cas particulier important lorsque k = 1 : Les représentations graphiques de f et de f sont symétriques par rapport à l axe des abscisses. En particulier, leurs sens de variation sont contraires. Représentation graphique de kf : On note g la fonction définie par donnée par g (x) = k f (x).elle a même ensemble de définition que f. Pour obtenir la courbe représentative de g, on emploie la méthode suivante : pour chaque abscisse, on multiplie par k l ordonnée du point correspondant de C f. (voir figure 8) 11 QCM. 12 Étude graphique. 13 Étude de variations. 14 Problème concret. 15 Fonctions associées à l aide de GEOPLAN. 9

10 2.3 Fonction u 2 FONCTIONS ASSOCIÉES Fig. 8 Multiplication d une fonction par un nombre Propriété : Soit f une fonction et k un réel. Si k > 0, f et kf ont même sens de variations. Si k < 0, f et kf ont un sens de variations contraires. Application : Fonctions homographiques Soit f la fonction définie par : f (x) = 2 x Sa courbe représentative est obtenue à partir de celle de la fonction x 2 x par translation de vecteur ı + 3 j. De plus, comme 2 x = 2 1 x, cette fonction a les mêmes variations que la fonction inverse. Les résultats sont résumés dans les tableaux de variations et sur la figure 9. x x x 1 + f (x) x x Exercices : 45, 46, 47 page , 54, 55 page page et 86 page [Déclic] 2.3 Fonction u Module : Fonction f (sur feuille polycopiée). 16 QCM. 17 Fonctions homographiques. 18 Étude graphique. 19 QCM plus difficile (type BAC). 10

11 2 FONCTIONS ASSOCIÉES 2.3 Fonction u Fig. 9 Un exemple d utilisation des fonctions associées 11

12 3 SOMME ET DIFFÉRENCE DE DEUX FONCTIONS Rappel : Soit X R. Si X 0, X = X Si X < 0, X = X Propriété : Soit u une fonction définie sur un ensemble D. On note C u sa courbe représentative dans un repère orthonormal. La fonction u est définie sur D et : Si u (x) 0, u (x) = u (x) La courbe représentative de u est confondue avec celle de u. Si u (x) < 0, u (x) = u (x) La courbe représentative de u est la symétrique par rapport à l axe des abscisses de celle de u. Remarque : Pour tracer la courbe représentative de u (voir figure 10) : On garde la partie de C u située au-dessus de l axe des abscisses ; Pour la partie de C u située au-dessous de l axe des abscisses, on effectue une symétrie par rapport à l axe des abscisses. Fig. 10 Fonction u Exercices : 47 page 51 et 58 page [Déclic] 3 Somme et différence de deux fonctions Activité : Activité 2 page [Déclic] 3.1 Représentation graphique de f + g et de f g Définition : Si f et g sont deux fonctions, on appelle somme de f et g la fonction x f (x) + g (x). Cette fonction est notée f + g. Remarques : 20 Fonction f. 21 Somme de fonctions. 12

13 3 SOMME ET DIFFÉRENCE DE DEUX FONCTIONS 3.2 Variations de la fonction somme 1. On peut définir de même la fonction différence f g par : x f (x) g (x). 2. La fonction f + g ne peut être définie que sur un ensemble où à la fois f et g sont définies. Représentation graphique de f + g : (voir figure 11) Fig. 11 Somme de deux fonctions Pour une abscisse x, on donne les points suivants : M le point de C f d abscisse x : M (x ; f (x)) N le point de C g d abscisse x : N (x ; g (x)) S le point de C f+g d abscisse x : M (x ; f (x) + g (x)) On a donc : y S = y M + y N. Donc, pour placer le point S, il suffit d ajouter les ordonnées y M et y N. Pour tracer point par point la courbe représentative de la fonction f +g, il suffit de réitérer ce procédé pour plusieurs valeurs de l abscisse x (voir figure 11). Remarques : 1. Il faut faire attention lorsque l une des ordonnées est négative (voir les points M 4, N 4 et S 4 de la figure 11). 2. Pour tracer point par point la courbe représentative de la fonction f g, il suffit cette fois, pour chaque abscisse x, de placer le point S dont l ordonnée est : y s = y M y N. 3.2 Variations de la fonction somme Propriété : Si f et g sont croissantes sur un intervalle I, alors la fonction f + g est croissante sur I. Si f et g sont décroissantes sur un intervalle I, alors la fonction f + g est décroissante sur I. Remarques : 1. Il n y pas de résultat général lorsque f et g sont de sens de variations contraires (voir activité). 2. Pour étudier les variations de f g, on peut remarquer que f g = f + ( g) et étudier d abord les variations de la fonction ( g). Exercices : 61 page 53, 87 page , 63 page et 67, 70 page [Déclic] 22 QCM 23 Variations de fonctions sommes. 24 Tracé de la fonction somme et variations. 13

14 4 COMPOSÉE DE DEUX FONCTIONS 4 Composée de deux fonctions 4.1 Définition Exemples Activité : Activité 3 page [Déclic] Définition : Soit u une fonction définie sur un intervalle I, à valeurs dans un intervalle J. Soit v une fonction définie sur l intervalle J. On appelle composée de u suivie de v la fonction f définie sur l intervalle I par : f (x) = v (u (x)). Ceci peut se résumer par le schéma suivant : f : I J R x y = u (x) v (y) = v (u (x)) Remarque : Pour pouvoir définir la fonction composée de u suivie de v, il faut absolument que la fonction v soit définie sur l ensemble correspondant aux images de u. La fonction composée, elle, a alors même ensemble de définition que la fonction u. Exemples : 1. Soit u (x) = x définie sur [0 ; + [ et v (x) = 3x 2 définie sur R. On a le schéma suivant : x y = u (x) = x v (y) = 3y 2 = 3 x 2 La fonction v étant définie sur R, on peut sans problème définir la fonction f 1, composée de u suivie de v. La composée de u suivie de v est donc la fonction f 1 (x) = 3 x 2, définie sur [0 ; + [. 2. On veut maintenant définir la fonction f 2, composée de v suivie de u. On a alors le schéma suivant : x y = v (x) = 3x 2 v (y) = y = 3x 2 Pour cela, il faut que v (x) [0 ; + [, c est-à-dire que 3x 2 0. On obtient : x 2 3. Il faut donc restreindre l ensemble de définition de v (et donc celui de f) à [ 2 3 ; + [. La composée de v suivie de u est donc la fonction f 2 (x) = 3x 2, définie sur [ 2 3 ; + [. Remarque : De manière générale, la composée de u suivie de v et la composée de v suivie de u sont deux fonctions totalement différentes. Exercices : 71, 72, 73 page page et 75, 76 page [Déclic] 4.2 Sens de variation d une fonction composée Propriété : (admise) Soit u une fonction définie sur un intervalle I, à valeurs dans un intervalle J. Soit v une fonction définie sur l intervalle J. On note f la composée de u suivie de v. Si u et v ont même sens de variations, alors f est croissante sur l intervalle I. Si u et v ont des sens de variations contraires, alors f est décroissante sur l intervalle I. Remarque : Attention! Les variations de u sont à étudier sur l intervalle I et celles de v sur l intervalle J. 25 Montage de fonctions. 26 QCM, Vrai ou Faux. 27 Composée de deux fonctions. 28 Décomposition de fonctions en fonctions «simples». 14

15 RÉFÉRENCES RÉFÉRENCES Exemple : Soit f la fonction définie sur [4 ; + [ par f (x) = 2x 8. On pose u (x) = 2x 8, définie sur [4 ; + [ et v (x) = x. f est alors la composée de u suivie de v (voir exercice 75 page 55 [Déclic]). x 4 + Les variations de u sur [4 ; + [ sont :. u (x) 0 Par suite, si x [4 ; + [, u (x) [0 ; + [. On doit donc étudier les variations de v sur [0 ; + [. Donc : u est croissante sur [4 ; + [, à valeurs dans [0 ; + [ v est croissante sur [0 ; + [ Par suite, f est croissante sur [4 ; + [. Exercices : 78, 79 page 55 et 81 page , 84, 85 page [Déclic] Références [Déclic] Déclic 1re ES, Hachette éducation (édition 2005) 3, 6, 7, 9, 10, 12, 13, 14, Étude de variations à l aide de fonctions composés. 30 Étude de la fonction 1 f. 15