Généralités sur les fonctions

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Généralités sur les fonctions"

Transcription

1 Généralités sur les fonctions Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2008/2009 Table des matières 1 Rappels et compléments Fonctions affines Fonctions usuelles La fonction carrée La fonction inverse La fonction racine carrée Exemples d utilisation du sens de variation des fonctions usuelles Fonctions associées Fonctions x f (x) + k et x f (x + k) Fonctions x k f (x) Fonction u Somme et différence de deux fonctions Représentation graphique de f + g et de f g Variations de la fonction somme Composée de deux fonctions Définition Exemples Sens de variation d une fonction composée Ce cours est placé sous licence Creative Commons BY-SA 1

2 TABLE DES FIGURES TABLE DES FIGURES Table des figures 1 Détermination graphique d une fonction affine La fonction carrée La fonction inverse La fonction racine carrée Fonctions associées cas d une translation verticale Fonctions associées cas d une translation horizontale Fonctions associées Cas général Multiplication d une fonction par un nombre Un exemple d utilisation des fonctions associées Fonction u Somme de deux fonctions

3 1 RAPPELS ET COMPLÉMENTS Activités : Test C page 32 1 Test A page 32 2 [Déclic]. 1 Rappels et compléments sur les fonctions usuelles 1.1 Fonctions affines Définition : On appelle fonction affine toute fonction f définie sur R, de la forme : f (x) = mx + p. m est appelé coefficient directeur ; p est appelé ordonnée à l origine. La représentation graphique d une fonction affine est une droite non parallèle à l axe des ordonnées. Détermination graphique d une fonction affine : voir figure 1 Fig. 1 Détermination graphique d une fonction affine Pour déterminer graphiquement le coefficient directeur : on part d un point de la droite (ici A) ; on avance de x unités (horizontalement) et on monte de y unités (verticalement) pour se trouver sur un autre point de la droite (ici B). Le coefficient directeur est alors : m = y différence des ordonnées = x différence des abscisses L ordonnée à l origine p est l ordonnée du point d intersection entre la droite et l axe des ordonnées. Remarque : Cette méthode permet aussi de tracer rapidement la représentation graphique d une fonction affine connue. Propriété : Si m > 0, la fonction affine f est croissante. Si m > 0, la fonction affine f est décroissante. Si m = 0, la fonction affine f est constante. Exercices : 5, 7 page page 46 4 et 8, 9 page 46 5 [Déclic] 1 Lectures graphiques : rappels de Seconde sur les fonctions. 2 Rappels sur les équations de droites. Méthode de l escalier. 3 Détermination graphique de fonctions affines. 4 Détermination de fonctions affines par le calcul. 5 Équations et tableaux de signes. 3

4 1.2 Fonctions usuelles 1 RAPPELS ET COMPLÉMENTS 1.2 Fonctions carrée, inverse et racine carrée Rappel : Une fonction croissante conserve l ordre : si a b alors f (a) f (b). Une fonction décroissante inverse l ordre : si a b alors f (a) f (b) La fonction carrée f : x x 2, définie sur R (figure 2) Sa représentation graphique est une parabole. Fig. 2 La fonction carrée f est décroissante sur ] ; 0] et croissante sur [0 ; + [. Conséquences : Deux nombres positifs et leurs carrés sont rangés dans le même ordre : Si 0 a < b alors 0 a 2 < b 2 Deux nombres négatifs et leurs carrés sont rangés dans l ordreinverse : Si 0 a < b alors a 2 > b 2 0 L équation x 2 = a, avec a > 0, a deux solutions : x = a et x = a La fonction inverse : f : x 1 x, définie sur R \ {0} = ] ; 0[ ]0 ; + [ = R (figure 3) Sa représentation graphique est une hyperbole. f est décroissante sur ] ; 0[ et décroissante sur ]0 ; + [. Remarque : Il est par contre FAUX de dire que cette fonction est décroissante sur R. On peut étudier les variations d une fonction uniquement sur un intervalle. 4

5 1 RAPPELS ET COMPLÉMENTS 1.2 Fonctions usuelles Fig. 3 La fonction inverse 5

6 1.3 Exemples d utilisation du sens de variation des fonctions usuelles 1 RAPPELS ET COMPLÉMENTS Conséquences : Deux nombres strictement positifs et leurs inverses sont rangés dans l ordre inverse : Si 0 < a < b alors 1 a > 1 b Deux nombres strictement négatifs et leurs inverses sont rangés dans l ordre inverse : Si a < b < 0 alors 1 a > 1 b Remarque : Pour ces deux fonctions, on n a aucun résultat si a et b sont de signes contraires La fonction racine carrée : f : x x, définie sur [0 ; + [ = R + (figure 4) Fig. 4 La fonction racine carrée f est croissante sur [0 ; + [ Conséquence : Deux nombres positifs et leurs racines carrées sont rangés dans le même ordre : Si 0 a < b alors 0 a < b Exercices : 13, 14, 15 page , 18 page 47 7 et 23, 25, 26 page 48 8 [Déclic]. 1.3 Exemples d utilisation du sens de variation des fonctions usuelles Exemple 1 : On veut déterminer le sens de variation de la fonction f définie sur ] 3 ; + [ par : f (x) = 1 x + 3 Pour cela, on commence par donner un schéma de montage de la fonction : x x x + 3 On va suivre cette construction pour déterminer si la fonction conserve ou inverse l ordre sur ] 3 ; + [ : 6 Vrai ou Faux et QCM. 7 Équations et inéquations comportant un carré. 8 Lectures graphiques. 3 < a < b (1) 0 < a + 3 < b + 3 (2) 1 > 1 (3) a + 3 b + 3 On aboutit à : f (a) > f (b) (4) 6

7 2 FONCTIONS ASSOCIÉES Ligne 1 : Ligne 2 : Ligne 3 : Ligne 4 : On choisit un ordre pour les deux nombres a et b de ] 3 ; + [. Ajouter 3 à chaque membre ne change pas l ordre. Tous les nombres étant strictement positifs, le passage à l inverse change l ordre. Globalement, par rapport à la ligne 1, l ordre a été inversé. La fonction f est donc décroissantesur ] 3 ; + [. Exemple 2 : On veut encadrer (x + 3) 2 lorsque x [ 5 ; 5] Pour cela, on commence par donner le schéma de montage de la fonction : On va ensuite encadrer x + 3 : Ligne 5 : x [ 5 ; 5] Ligne 6 : x x + 3 (x + 3) 2 Ajouter 3 à chaque membre ne change pas l ordre. 5 x 5 (5) 2 x (6) Pour conclure, il suffit de dresser le tableau de variations de la fonction carrée sur [ 2 ; 8] : X X 2 0 Le minimum est 0 et le maximum 64. On peut donc conclure que : Exercices : 20, 22 page 47 9 [Déclic] Si x [ 5 ; 5] alors 0 (x + 3) Fonctions associées Activité : Activité 1 page [Déclic] 2.1 Fonctions x f (x) + k et x f (x + k) Propriété : Soit f une fonction et k un réel. 1. Soit F la fonction définie par F (x) = f (x) + k. La courbe représentative de F est obtenue à partir de celle de f par une translation verticale de k unités, c est-à-dire une translation de vecteur k j. 2. Soit G la fonction définie par G (x) = f (x + k). La courbe représentative de G est obtenue à partir de celle de f par une translation horizontale de ( k) unités, c est-à-dire une translation de vecteur k i. Remarques : 1. Cette propriété permet de tracer rapidement des courbes mais aussi de déterminer le sens de variations de certaines fonctions (voir exemples). 2. Les translations horizontales ont pour effet de changer l ensemble de définition des fonctions. Les translations verticales, elles, changent les extremums. 9 Utilisation des fonctions usuelles. 10 Parabole et translation. 7

8 2.1 Fonctions x f (x) + k et x f (x + k) 2 FONCTIONS ASSOCIÉES Exemples : 1. Soit F : x x + 3. C F s obtient à partir de la courbe représentative de la fonction racine carrée par une translation de vecteur 3 j (voir figure 5). x 0 + x 0 + Or : x 0, donc, après translation : F (x) 3. Fig. 5 Fonctions associées cas d une translation verticale 2. Soit G : x x + 2. C G s obtient à partir de la courbe représentative de la fonction racine carrée par une translation de vecteur 2 i (voir figure 6). x 0 + x 2 + Or : x 0, donc, après translation : G (x) 0. Fig. 6 Fonctions associées cas d une translation horizontale 3. Soit H : x x C H s obtient à partir de la courbe représentative de la fonction racine carrée par une translation de 8

9 2 FONCTIONS ASSOCIÉES 2.2 Fonctions x k f (x) vecteur 2 i + 3 j (voir figure 7). x 0 + Or :, donc, après translation : x 0 x 2 + G (x) 3. Fig. 7 Fonctions associées Cas général Exercices : 28, 29 page , 32 page 49 et 41 page , 38, 40 page et 42 page [Déclic] Module : Module page [Déclic] 2.2 Fonctions x k f (x) Définition : Soit k un réel et f une fonction. On note kf la fonction qui à x associe k f (x). On obtient aussi les fonctions : 2f, 3f, 1 2 f, 2f, etc... Remarques : 1. L ensemble de définition de kf est le même que celui de f (si k 0) 2. Un cas particulier important lorsque k = 1 : Les représentations graphiques de f et de f sont symétriques par rapport à l axe des abscisses. En particulier, leurs sens de variation sont contraires. Représentation graphique de kf : On note g la fonction définie par donnée par g (x) = k f (x).elle a même ensemble de définition que f. Pour obtenir la courbe représentative de g, on emploie la méthode suivante : pour chaque abscisse, on multiplie par k l ordonnée du point correspondant de C f. (voir figure 8) 11 QCM. 12 Étude graphique. 13 Étude de variations. 14 Problème concret. 15 Fonctions associées à l aide de GEOPLAN. 9

10 2.3 Fonction u 2 FONCTIONS ASSOCIÉES Fig. 8 Multiplication d une fonction par un nombre Propriété : Soit f une fonction et k un réel. Si k > 0, f et kf ont même sens de variations. Si k < 0, f et kf ont un sens de variations contraires. Application : Fonctions homographiques Soit f la fonction définie par : f (x) = 2 x Sa courbe représentative est obtenue à partir de celle de la fonction x 2 x par translation de vecteur ı + 3 j. De plus, comme 2 x = 2 1 x, cette fonction a les mêmes variations que la fonction inverse. Les résultats sont résumés dans les tableaux de variations et sur la figure 9. x x x 1 + f (x) x x Exercices : 45, 46, 47 page , 54, 55 page page et 86 page [Déclic] 2.3 Fonction u Module : Fonction f (sur feuille polycopiée). 16 QCM. 17 Fonctions homographiques. 18 Étude graphique. 19 QCM plus difficile (type BAC). 10

11 2 FONCTIONS ASSOCIÉES 2.3 Fonction u Fig. 9 Un exemple d utilisation des fonctions associées 11

12 3 SOMME ET DIFFÉRENCE DE DEUX FONCTIONS Rappel : Soit X R. Si X 0, X = X Si X < 0, X = X Propriété : Soit u une fonction définie sur un ensemble D. On note C u sa courbe représentative dans un repère orthonormal. La fonction u est définie sur D et : Si u (x) 0, u (x) = u (x) La courbe représentative de u est confondue avec celle de u. Si u (x) < 0, u (x) = u (x) La courbe représentative de u est la symétrique par rapport à l axe des abscisses de celle de u. Remarque : Pour tracer la courbe représentative de u (voir figure 10) : On garde la partie de C u située au-dessus de l axe des abscisses ; Pour la partie de C u située au-dessous de l axe des abscisses, on effectue une symétrie par rapport à l axe des abscisses. Fig. 10 Fonction u Exercices : 47 page 51 et 58 page [Déclic] 3 Somme et différence de deux fonctions Activité : Activité 2 page [Déclic] 3.1 Représentation graphique de f + g et de f g Définition : Si f et g sont deux fonctions, on appelle somme de f et g la fonction x f (x) + g (x). Cette fonction est notée f + g. Remarques : 20 Fonction f. 21 Somme de fonctions. 12

13 3 SOMME ET DIFFÉRENCE DE DEUX FONCTIONS 3.2 Variations de la fonction somme 1. On peut définir de même la fonction différence f g par : x f (x) g (x). 2. La fonction f + g ne peut être définie que sur un ensemble où à la fois f et g sont définies. Représentation graphique de f + g : (voir figure 11) Fig. 11 Somme de deux fonctions Pour une abscisse x, on donne les points suivants : M le point de C f d abscisse x : M (x ; f (x)) N le point de C g d abscisse x : N (x ; g (x)) S le point de C f+g d abscisse x : M (x ; f (x) + g (x)) On a donc : y S = y M + y N. Donc, pour placer le point S, il suffit d ajouter les ordonnées y M et y N. Pour tracer point par point la courbe représentative de la fonction f +g, il suffit de réitérer ce procédé pour plusieurs valeurs de l abscisse x (voir figure 11). Remarques : 1. Il faut faire attention lorsque l une des ordonnées est négative (voir les points M 4, N 4 et S 4 de la figure 11). 2. Pour tracer point par point la courbe représentative de la fonction f g, il suffit cette fois, pour chaque abscisse x, de placer le point S dont l ordonnée est : y s = y M y N. 3.2 Variations de la fonction somme Propriété : Si f et g sont croissantes sur un intervalle I, alors la fonction f + g est croissante sur I. Si f et g sont décroissantes sur un intervalle I, alors la fonction f + g est décroissante sur I. Remarques : 1. Il n y pas de résultat général lorsque f et g sont de sens de variations contraires (voir activité). 2. Pour étudier les variations de f g, on peut remarquer que f g = f + ( g) et étudier d abord les variations de la fonction ( g). Exercices : 61 page 53, 87 page , 63 page et 67, 70 page [Déclic] 22 QCM 23 Variations de fonctions sommes. 24 Tracé de la fonction somme et variations. 13

14 4 COMPOSÉE DE DEUX FONCTIONS 4 Composée de deux fonctions 4.1 Définition Exemples Activité : Activité 3 page [Déclic] Définition : Soit u une fonction définie sur un intervalle I, à valeurs dans un intervalle J. Soit v une fonction définie sur l intervalle J. On appelle composée de u suivie de v la fonction f définie sur l intervalle I par : f (x) = v (u (x)). Ceci peut se résumer par le schéma suivant : f : I J R x y = u (x) v (y) = v (u (x)) Remarque : Pour pouvoir définir la fonction composée de u suivie de v, il faut absolument que la fonction v soit définie sur l ensemble correspondant aux images de u. La fonction composée, elle, a alors même ensemble de définition que la fonction u. Exemples : 1. Soit u (x) = x définie sur [0 ; + [ et v (x) = 3x 2 définie sur R. On a le schéma suivant : x y = u (x) = x v (y) = 3y 2 = 3 x 2 La fonction v étant définie sur R, on peut sans problème définir la fonction f 1, composée de u suivie de v. La composée de u suivie de v est donc la fonction f 1 (x) = 3 x 2, définie sur [0 ; + [. 2. On veut maintenant définir la fonction f 2, composée de v suivie de u. On a alors le schéma suivant : x y = v (x) = 3x 2 v (y) = y = 3x 2 Pour cela, il faut que v (x) [0 ; + [, c est-à-dire que 3x 2 0. On obtient : x 2 3. Il faut donc restreindre l ensemble de définition de v (et donc celui de f) à [ 2 3 ; + [. La composée de v suivie de u est donc la fonction f 2 (x) = 3x 2, définie sur [ 2 3 ; + [. Remarque : De manière générale, la composée de u suivie de v et la composée de v suivie de u sont deux fonctions totalement différentes. Exercices : 71, 72, 73 page page et 75, 76 page [Déclic] 4.2 Sens de variation d une fonction composée Propriété : (admise) Soit u une fonction définie sur un intervalle I, à valeurs dans un intervalle J. Soit v une fonction définie sur l intervalle J. On note f la composée de u suivie de v. Si u et v ont même sens de variations, alors f est croissante sur l intervalle I. Si u et v ont des sens de variations contraires, alors f est décroissante sur l intervalle I. Remarque : Attention! Les variations de u sont à étudier sur l intervalle I et celles de v sur l intervalle J. 25 Montage de fonctions. 26 QCM, Vrai ou Faux. 27 Composée de deux fonctions. 28 Décomposition de fonctions en fonctions «simples». 14

15 RÉFÉRENCES RÉFÉRENCES Exemple : Soit f la fonction définie sur [4 ; + [ par f (x) = 2x 8. On pose u (x) = 2x 8, définie sur [4 ; + [ et v (x) = x. f est alors la composée de u suivie de v (voir exercice 75 page 55 [Déclic]). x 4 + Les variations de u sur [4 ; + [ sont :. u (x) 0 Par suite, si x [4 ; + [, u (x) [0 ; + [. On doit donc étudier les variations de v sur [0 ; + [. Donc : u est croissante sur [4 ; + [, à valeurs dans [0 ; + [ v est croissante sur [0 ; + [ Par suite, f est croissante sur [4 ; + [. Exercices : 78, 79 page 55 et 81 page , 84, 85 page [Déclic] Références [Déclic] Déclic 1re ES, Hachette éducation (édition 2005) 3, 6, 7, 9, 10, 12, 13, 14, Étude de variations à l aide de fonctions composés. 30 Étude de la fonction 1 f. 15

FONCTIONS. I Généralités sur les fonctions. Définitions. Remarque. Exercice 01. Remarque

FONCTIONS. I Généralités sur les fonctions. Définitions. Remarque. Exercice 01. Remarque FNCTINS I Généralités sur les fonctions Définitions Soit D une partie de l'ensemble IR. n définit une fonction f de D dans IR, en associant à chaque réel de D, un réel et un seul noté f() et que l'on appelle

Plus en détail

Fonctions homographiques

Fonctions homographiques Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 0 Fonctions homographiques Introduction Voir le TP Géogébra. La fonction inverse. Définition Considérons la fonction f définie par f() =. Alors :. f est définie

Plus en détail

Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)

Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Eercice 1 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Le tableau suivant donne l évolution du chiffre

Plus en détail

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet

Plus en détail

LIMITES EXERCICES CORRIGES

LIMITES EXERCICES CORRIGES ours et eercices de mathématiques LIMITES EXERIES ORRIGES M UAZ, http://mathscyrreer Eercice n Déterminer la ite éventuelle en de chacune des onctions suivantes : ) ) ) 4 ( ) Déterminer la ite éventuelle

Plus en détail

FctsAffines.nb 1. Mathématiques, 1-ère année Edition 2007-2008. Fonctions affines

FctsAffines.nb 1. Mathématiques, 1-ère année Edition 2007-2008. Fonctions affines FctsAffines.nb 1 Mathématiques, 1-ère année Edition 2007-2008 Fonctions affines Supports de cours de mathématiques de degré secondaire II, lien hpertete vers la page mère http://www.deleze.name/marcel/sec2/inde.html

Plus en détail

Fonction inverse Fonctions homographiques

Fonction inverse Fonctions homographiques Fonction inverse Fonctions homographiques Année scolaire 203/204 Table des matières Fonction inverse 2. Définition Parité............................................ 2.2 Variations Courbe représentative...................................

Plus en détail

Loi binomiale Lois normales

Loi binomiale Lois normales Loi binomiale Lois normales Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 204/205 Table des matières Rappels sur la loi binomiale 2. Loi de Bernoulli............................................ 2.2 Schéma de Bernoulli

Plus en détail

Représentation d une distribution

Représentation d une distribution 5 Représentation d une distribution VARIABLE DISCRÈTE : FRÉQUENCES RELATIVES DES CLASSES Si dans un graphique représentant une distribution, on place en ordonnées le rapport des effectifs n i de chaque

Plus en détail

DÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation )

DÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation ) DÉRIVÉES I Nombre dérivé - Tangente Eercice 0 ( voir animation ) On considère la fonction f définie par f() = - 2 + 6 pour [-4 ; 4]. ) Tracer la représentation graphique (C) de f dans un repère d'unité

Plus en détail

Dérivation CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES

Dérivation CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Capitre 4 Dérivation Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Dérivation Nombre dérivé d une fonction en un point. Tangente à la courbe représentative d une fonction dérivable

Plus en détail

Exercices Alternatifs. Une fonction continue mais dérivable nulle part

Exercices Alternatifs. Une fonction continue mais dérivable nulle part Eercices Alternatifs Une fonction continue mais dérivable nulle part c 22 Frédéric Le Rou (copleft LDL : Licence pour Documents Libres). Sources et figures: applications-continues-non-derivables/. Version

Plus en détail

Exercices Alternatifs. Une fonction continue mais dérivable nulle part

Exercices Alternatifs. Une fonction continue mais dérivable nulle part Eercices Alternatifs Une fonction continue mais dérivable nulle part c 22 Frédéric Le Rou (copyleft LDL : Licence pour Documents Libres). Sources et figures: applications-continues-non-derivables/. Version

Plus en détail

Pourcentages et évolutions

Pourcentages et évolutions Pourcentages et évolutions Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2008/2009 Table des matières 1 Part en pourcentage 2 1.1 Ensemble de référence.......................................... 2 1.2 Addition et

Plus en détail

Complément d information concernant la fiche de concordance

Complément d information concernant la fiche de concordance Sommaire SAMEDI 0 DÉCEMBRE 20 Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : La fiche de concordance pour le DAEU ; Page 2 Un rappel de cours

Plus en détail

O, i, ) ln x. (ln x)2

O, i, ) ln x. (ln x)2 EXERCICE 5 points Commun à tous les candidats Le plan complee est muni d un repère orthonormal O, i, j Étude d une fonction f On considère la fonction f définie sur l intervalle ]0; + [ par : f = ln On

Plus en détail

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10 PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?

Plus en détail

Continuité et dérivabilité d une fonction

Continuité et dérivabilité d une fonction DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité

Plus en détail

Comment tracer une droite représentative d'une fonction et méthode de calcul de l'équation d'une droite.

Comment tracer une droite représentative d'une fonction et méthode de calcul de l'équation d'une droite. Comment tracer une droite représentative d'une fonction et méthode de calcul de l'équation d'une droite. Introduction : Avant de commencer, il est nécessaire de prendre connaissance des trois types de

Plus en détail

Partie 1 - Séquence 3 Original d une fonction

Partie 1 - Séquence 3 Original d une fonction Partie - Séquence 3 Original d une fonction Lycée Victor Hugo - Besançon - STS 2 I. Généralités I. Généralités Définition Si F(p) = L [f(t)u (t)](p), alors on dit que f est l original de F. On note f(t)

Plus en détail

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy

Plus en détail

Quadrature n 74 (2009) 10 22. Online Material

Quadrature n 74 (2009) 10 22. Online Material Quadrature n 74 (009) 10 Online Material E. Brugallé, Online Material Un peu de géométrie tropicale Solutions des exercices Erwan Brugallé Université Pierre et Marie Curie, Paris 6, 175 rue du Chevaleret,

Plus en détail

Cours Fonctions de deux variables

Cours Fonctions de deux variables Cours Fonctions de deux variables par Pierre Veuillez 1 Support théorique 1.1 Représentation Plan et espace : Grâce à un repère cartésien ( ) O, i, j du plan, les couples (x, y) de R 2 peuvent être représenté

Plus en détail

OA = 1 f. OA = 1 f Relation de grandissement : γ = A B OA. AB = OA

OA = 1 f. OA = 1 f Relation de grandissement : γ = A B OA. AB = OA Lentille f = 0 cm Lentille f = 20 cm 5,0 20,0 25,0 30,0 25,0 30,0 35,0 40,0 (cm ) 0,0667 0,0500 0,0400 0,0333 (cm ) 0,0400 0,0333 0,0286 0,0250 30,0 20,0 6,7 5,0 00,0 60,0 47,0 40,0 (cm ) 0,0333 0,0500

Plus en détail

Calculs de probabilités avec la loi normale

Calculs de probabilités avec la loi normale Calculs de probabilités avec la loi normale Olivier Torrès 20 janvier 2012 Rappels pour la licence EMO/IIES Ce document au format PDF est conçu pour être visualisé en mode présentation. Sélectionnez ce

Plus en détail

CALCULATRICE AUTORISEE

CALCULATRICE AUTORISEE Lycée F. MISTRAL AVIGNON BAC BLANC 2012 Epreuve de MATHEMATIQUES Série S CALCULATRICE AUTORISEE DUREE : 4 heures Dès que le sujet vous est remis, assurez-vous qu il est complet Ce sujet comporte 3 pages

Plus en détail

Seconde Généralités sur les fonctions Exercices. Notion de fonction.

Seconde Généralités sur les fonctions Exercices. Notion de fonction. Seconde Généralités sur les fonctions Exercices Notion de fonction. Exercice. Une fonction définie par une formule. On considère la fonction f définie sur R par = x + x. a) Calculer les images de, 0 et

Plus en détail

Fonctions linéaires et affines. 1 Fonctions linéaires. 1.1 Vocabulaire. 1.2 Représentation graphique. 3eme

Fonctions linéaires et affines. 1 Fonctions linéaires. 1.1 Vocabulaire. 1.2 Représentation graphique. 3eme Fonctions linéaires et affines 3eme 1 Fonctions linéaires 1.1 Vocabulaire Définition 1 Soit a un nombre quelconque «fixe». Une fonction linéaire associe à un nombre x quelconque le nombre a x. a s appelle

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette

Plus en détail

Cours de Techniques Quantitatives Appliquées

Cours de Techniques Quantitatives Appliquées Université de Nice Faculté de Droit et Sciences Économiques AES - L1 Cours de Techniques Quantitatives Appliquées Analyse Premier et Deuxième Semestre Stéphane Descombes Année 2009-2010 Table des matières

Plus en détail

Mathématiques I. Recueil d exercices #2. Analyse II

Mathématiques I. Recueil d exercices #2. Analyse II FACULTE DES SCIENCES ECONOMIQUES ET SOCIALES Sections des sciences économiques et des hautes études commerciales Mathématiques I Cours du professeur D. Royer Recueil d exercices #2 Analyse II Semestre

Plus en détail

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Équations différentielles d ordre 2

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Équations différentielles d ordre 2 BTS Mécanique et Automatismes Industriels Équations différentielles d ordre, Année scolaire 005 006 . Définition Notation Dans tout ce paragraphe, y désigne une fonction de la variable réelle x. On suppose

Plus en détail

PETIT MANUEL DE SURVIE EN MATHÉMATIQUES À L USAGE DES TERMINALES STI2D (OU CE QU ON DOIT APPRENDRE ET CE QU ON PEUT RETROUVER SI ON EST MALIN) par M.

PETIT MANUEL DE SURVIE EN MATHÉMATIQUES À L USAGE DES TERMINALES STI2D (OU CE QU ON DOIT APPRENDRE ET CE QU ON PEUT RETROUVER SI ON EST MALIN) par M. PETIT MANUEL DE SURVIE EN MATHÉMATIQUES À L USAGE DES TERMINALES STI2D (OU CE QU ON DOIT APPRENDRE ET CE QU ON PEUT RETROUVER SI ON EST MALIN) par M. Vienney 2 M. VIENNEY Vous trouverez dans ce document

Plus en détail

MATHS Rappels Suites, Fonctions, Développements limités

MATHS Rappels Suites, Fonctions, Développements limités INSTITUT NATIONAL POLYTECHNIQUE DE TOULOUSE MATHS Rappels Suites, Fonctions, Développements limités Pascal Floquet Xuân Meyer Première Année à Distance Septembre 006 Jean-Claude Satge Table des matières

Plus en détail

Lentilles Détermination de distances focales

Lentilles Détermination de distances focales Lentilles Détermination de distances focales Résumé Les lentilles sont capables de faire converger ou diverger un faisceau lumineux. La distance focale f d une lentille caractérise cette convergence ou

Plus en détail

Notion de fonction. Résolution graphique. Fonction affine.

Notion de fonction. Résolution graphique. Fonction affine. TABLE DES MATIÈRES 1 Notion de fonction. Résolution graphique. Fonction affine. Paul Milan LMA Seconde le 12 décembre 2011 Table des matières 1 Fonction numérique 2 1.1 Introduction.................................

Plus en détail

Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables

Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables PC*2 2 septembre 2009 Avant-propos À part le théorème de Fubini qui sera démontré dans le cours sur les intégrales à paramètres et qui ne semble pas explicitement

Plus en détail

LOGICIELS De Géométrie

LOGICIELS De Géométrie LOGICIELS De Géométrie Gratuits Tous les logiciels proposés ci-dessous sont gratuits -freeware- ou libres de droit -GPL- pour l'usage personnel ou collectif. Il est par exemple autorisé de les installer

Plus en détail

EXERCICES. Exercice 3 : Soit f la fonction définie sur ]0; + [ par f (x) = 1 5 ln(x). 1. Déterminer les limites suivantes : lim f (x) et lim f (x)

EXERCICES. Exercice 3 : Soit f la fonction définie sur ]0; + [ par f (x) = 1 5 ln(x). 1. Déterminer les limites suivantes : lim f (x) et lim f (x) EXERCICES LN Eercice : Soit f la fonction définie sur ]0;+ [ par f ()=+ ln(). On note C sa courbe représentative dans un repère orthogonal.. a. Calculer f () b. Déterminer l équation de la tangente T à

Plus en détail

Soit la fonction affine qui, pour représentant le nombre de mois écoulés, renvoie la somme économisée.

Soit la fonction affine qui, pour représentant le nombre de mois écoulés, renvoie la somme économisée. ANALYSE 5 points Exercice 1 : Léonie souhaite acheter un lecteur MP3. Le prix affiché (49 ) dépasse largement la somme dont elle dispose. Elle décide donc d économiser régulièrement. Elle a relevé qu elle

Plus en détail

Exercices. Sirius 1 re S - Livre du professeur Chapitre 1. Œil, lentilles minces et images. Exercices d application. 5 minutes chrono!

Exercices. Sirius 1 re S - Livre du professeur Chapitre 1. Œil, lentilles minces et images. Exercices d application. 5 minutes chrono! Exercices Exercices d application 5 minutes chrono!. Mots manquants a. transparents ; rétine b. le centre optique c. à l'axe optique d. le foyer objet e. OF ' f. l'ensemble des milieux transparents; la

Plus en détail

- Module M2 - Fondamentaux d analyse

- Module M2 - Fondamentaux d analyse - Module M - Fondamentau d analyse Cléo BARAS, cleo.baras@ujf-grenoble.fr IUT - Grenoble Département Réseau et Télécommunications DUT - ère année Année universitaire 9- Web : http ://iut-tice.ujf-grenoble.fr/gtr/mathm/inde.asp

Plus en détail

Dérivation : Résumé de cours et méthodes

Dérivation : Résumé de cours et méthodes Dérivation : Résumé de cours et métodes Nombre dérivé - Fonction dérivée : DÉFINITION (a + ) (a) Etant donné est une onction déinie sur un intervalle I contenant le réel a, est dérivable en a si tend vers

Plus en détail

Circuits RL et RC. Chapitre 5. 5.1 Inductance

Circuits RL et RC. Chapitre 5. 5.1 Inductance Chapitre 5 Circuits RL et RC Ce chapitre présente les deux autres éléments linéaires des circuits électriques : l inductance et la capacitance. On verra le comportement de ces deux éléments, et ensuite

Plus en détail

Dérivation : cours. Dérivation dans R

Dérivation : cours. Dérivation dans R TS Dérivation dans R Dans tout le capitre, f désigne une fonction définie sur un intervalle I de R (non vide et non réduit à un élément) et à valeurs dans R. Petits rappels de première Téorème-définition

Plus en détail

LIVRET DE MATHEMATIQUES ENTREE EN PREMIERE S Institut Notre-Dame (Saint Germain en Laye) Année 2015-2016

LIVRET DE MATHEMATIQUES ENTREE EN PREMIERE S Institut Notre-Dame (Saint Germain en Laye) Année 2015-2016 LIVRET DE MATHEMATIQUES ENTREE EN PREMIERE S Institut Notre-Dame (Saint Germain en Laye) Année 015-016 Pourquoi ce livret? Afin de mieux préparer cette rentrée, ce livret reprend un ensemble de notions

Plus en détail

Feuille d exercices 2 : Espaces probabilisés

Feuille d exercices 2 : Espaces probabilisés Feuille d exercices 2 : Espaces probabilisés Cours de Licence 2 Année 07/08 1 Espaces de probabilité Exercice 1.1 (Une inégalité). Montrer que P (A B) min(p (A), P (B)) Exercice 1.2 (Alphabet). On a un

Plus en détail

Exprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 %

Exprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 % 23 CALCUL DE L INTÉRÊT Tau d intérêt Paul et Rémi ont reçu pour Noël, respectivement, 20 et 80. Ils placent cet argent dans une banque, au même tau. Au bout d une année, ce placement leur rapportera une

Plus en détail

212 année 2013/2014 DM de synthèse 2

212 année 2013/2014 DM de synthèse 2 22 année 20/204 DM de synthèse 2 Exercice Soit f la fonction représentée cicontre.. Donner l'ensemble de définition de la fonction f. 2. Donner l'image de 4 par f.. a. Donner un nombre qui n'a qu'un seul

Plus en détail

Aire sous une courbe et calcul de primitives

Aire sous une courbe et calcul de primitives Aire sous une courbe et calcul de primitives Le calcul de primitives d une fonction et celui de l aire de la surface bordée par le graphique de cette fonction sont intimement liés. Les exemples qui suivent

Plus en détail

Utilisation du logiciel Cabri 3D de géométrie dans l espace (*)

Utilisation du logiciel Cabri 3D de géométrie dans l espace (*) Dans nos classes 645 Utilisation du logiciel Cabri 3D de géométrie dans l espace (*) Jean-Jacques Dahan(**) Historiquement, la géométrie dynamique plane trouve ses racines chez les grands géomètres de

Plus en détail

Chp. 4. Minimisation d une fonction d une variable

Chp. 4. Minimisation d une fonction d une variable Chp. 4. Minimisation d une fonction d une variable Avertissement! Dans tout ce chapître, I désigne un intervalle de IR. 4.1 Fonctions convexes d une variable Définition 9 Une fonction ϕ, partout définie

Plus en détail

Calcul Matriciel. Chapitre 10. 10.1 Qu est-ce qu une matrice? 10.2 Indexation des coefficients. 10.3 Exemples de matrices carrées.

Calcul Matriciel. Chapitre 10. 10.1 Qu est-ce qu une matrice? 10.2 Indexation des coefficients. 10.3 Exemples de matrices carrées. Chapitre 10 Calcul Matriciel 101 Qu est-ce qu une matrice? Définition : Soit K un ensemble de nombres exemples, K = N, Z, Q, R, C, n, p N On appelle matrice à n lignes et p colonnes la données de np nombres

Plus en détail

Devoir commun de seconde, mars 2006

Devoir commun de seconde, mars 2006 Devoir commun de seconde, mars 006 calculatrices autorisées On rappelle que le soin et la qualité de rédaction entrent pour une part non négligeable dans l appréciation de la copie. Eercice (7 points).

Plus en détail

3LESLENTILLESMINCES. http://femto-physique.fr/optique_geometrique/opt_c3.php

3LESLENTILLESMINCES. http://femto-physique.fr/optique_geometrique/opt_c3.php 3LESLENTILLESMINCES Cette fiche de cours porte sur les lentilles minces. L approche est essentiellement descriptive et repose sur la maîtrise de la construction des rayons lumineux. Ce chapitre est accessible

Plus en détail

Orbites et coniques : Constructions à la ficelle

Orbites et coniques : Constructions à la ficelle Orbites et coniques : Constructions à la ficelle Yves A. Delhaye 10 mai 2015 15 :21 Résumé Le lien entre les orbites des astres dans le système solaire et les coniques est établi. La définition des coniques

Plus en détail

Baccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé.

Baccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé. Baccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé. L usage d une calculatrice est autorisé Durée : 3heures Deux annexes sont à rendre avec la copie. Exercice 1 5 points 1_ Soit f la

Plus en détail

Eléments de correction du Bac Blanc n 2 de Mathématiquesdu Lundi 8 Avril2013. Calculatrice autorisée - Aucun document n'est autorisé.

Eléments de correction du Bac Blanc n 2 de Mathématiquesdu Lundi 8 Avril2013. Calculatrice autorisée - Aucun document n'est autorisé. TES Spé Maths Eléments de correction du Bac Blanc n 2 de Mathématiquesdu Lundi 8 Avril2013 Calculatrice autorisée - Aucun document n'est autorisé. Vous apporterez un grand soin à la présentation et à la

Plus en détail

Terminale STMG Lycée Jean Vilar 2013/2014. Terminale STMG. O. Lader

Terminale STMG Lycée Jean Vilar 2013/2014. Terminale STMG. O. Lader Terminale STMG O. Lader Table des matières 1 Information chiffrée (4s) 4 1.1 Taux d évolution....................................... 6 1.2 indices............................................. 6 1.3 Racine

Plus en détail

La lumière est une onde électromagnétique transversale visible par l être humain.

La lumière est une onde électromagnétique transversale visible par l être humain. 3 LES ONDES LUMINEUSES La lumière est une onde électromagnétique transversale visible par l être humain. Caractéristiques : les ondes lumineuses se propagent en ligne droite; lorsqu elles rencontrent un

Plus en détail

Instructions de montage et d utilisation

Instructions de montage et d utilisation Instructions de montage et d utilisation TOUR ESCALIERS - 2 - SOMMAIRE SOMMAIRE...- 3 - TOUR ESCALIERS : CONFIGURATION 6 M...- 4-1. CARACTERISTIQUES GENERALES :...- 4 - Caractéristiques dimensionnelles

Plus en détail

a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b

a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b I Définition d une fonction affine Faire l activité 1 «une nouvelle fonction» 1. définition générale a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe

Plus en détail

Mathématiques en Terminale ES. David ROBERT

Mathématiques en Terminale ES. David ROBERT Mathématiques en Terminale ES David ROBERT 0 0 Sommaire Suites. Activités........................................................... Suites géométriques Rappels..............................................

Plus en détail

TP Cours FOCOME TRIE & VISEUR

TP Cours FOCOME TRIE & VISEUR TP Cours FCME TRIE & VISEUR bjectifs de ce TP : De terminer la nature (convergente CV ou divergente DV) d une lentille mince. De terminer par diffe rentes me thodes la distance focale image d une lentille

Plus en détail

TRAITEMENTS DE L IMAGE NUMÉRIQUE. Auteur : JC. DESMONTS

TRAITEMENTS DE L IMAGE NUMÉRIQUE. Auteur : JC. DESMONTS TRAITEMENTS DE L IMAGE NUMÉRIQUE REDIMENSIONNEMENT D UNE IMAGE Redimensionnement d une image Nombre de pixels Plus nombre de pixels d une image est élevé, meilleure sera sa finesse A l inverse, un trop

Plus en détail

Chargement blocs de 3 rangées. Transfert

Chargement blocs de 3 rangées. Transfert I- DESCRIPTION: Le système d encaissage permet de remplir, par du produit en boîtes, des caisses en carton qui seront transférées vers un magasin de stockage à l aide d un monte-charge. Il comporte : -

Plus en détail

COURS DE MATHÉMATIQUES

COURS DE MATHÉMATIQUES COURS DE MATHÉMATIQUES Première S Valère BONNET valere.bonnet@gmail.com 0 juin 009 Lycée PONTUS DE TYARD 3 rue des Gaillardons 700 CHALON SUR SAÔNE Tél. : 33 03 85 46 85 40 Fax : 33 03 85 46 85 59 FRANCE

Plus en détail

Développements limités, équivalents et calculs de limites

Développements limités, équivalents et calculs de limites Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(

Plus en détail

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité

Plus en détail

ACTIVITÉ PRATIQUE LA REPRESENTATION DU REEL. Modélisation d un Smartphone

ACTIVITÉ PRATIQUE LA REPRESENTATION DU REEL. Modélisation d un Smartphone NOM : Prénom : Classe : ACTIVITÉ PRATIQUE LA REPRESENTATION DU REEL ITEC Rotation des spécialités Modélisation d un Smartphone Objectif : découvrir les fonctions de base pour la création d une pièce sous

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

A l'intention des collègues dont les élèves vont tester le sujet "prospectif" de bac ES.

A l'intention des collègues dont les élèves vont tester le sujet prospectif de bac ES. A l'intention des collègues dont les élèves vont tester le sujet "prospectif" de bac ES. Le sujet proposé s'inscrit dans le cadre du texte d'orientation ci-joint. L'exercice I est du type "compréhension

Plus en détail

Courbes paramétrées. 1 ère étude

Courbes paramétrées. 1 ère étude Courbes paramétrées. ère étude Dans le programme de maths sup, l étude des courbes paramétrées est prévue en début d année à un moment où l on manque d outils en analyse. Le présent chapitre se place dans

Plus en détail

Aide - mémoire gnuplot 4.0

Aide - mémoire gnuplot 4.0 Aide - mémoire gnuplot 4.0 Nicolas Kielbasiewicz 20 juin 2008 L objet de cet aide-mémoire est de présenter les commandes de base pour faire rapidement de très jolis graphiques et courbes à l aide du logiciel

Plus en détail

Manuel de l utilisateur

Manuel de l utilisateur Manuel de l utilisateur Traduit par Arnaud Collet Pour en savoir plus sur les graphes de fonctions, le tracé des tableaux de valeurs, la résolution des équations, les transformations, et plus encore! Si

Plus en détail

Correction du BAC BLANC TECHNOLOGIQUE - Epreuve E4 MATHEMATIQUES ET TECHNOLOGIES INFORMATIQUES ET MULTIMEDIA

Correction du BAC BLANC TECHNOLOGIQUE - Epreuve E4 MATHEMATIQUES ET TECHNOLOGIES INFORMATIQUES ET MULTIMEDIA Correction du BAC BLANC TECHNOLOGIQUE - Epreuve E4 MATHEMATIQUES ET TECHNOLOGIES INFORMATIQUES ET MULTIMEDIA Exercice 1 (4 points) Dans une classe de terminale STAV de 5 élèves, chaque élève possède une

Plus en détail

5. Étude de fonctions

5. Étude de fonctions ÉTUDE DE FONCTIONS 33 5. Étude de fonctions 5.1. Asymptotes Asymptote verticale La droite = a est dite asymptote verticale (A. V.) de la fonction f si l'une au moins des conditions suivantes est vérifiée

Plus en détail

ITCharts Advanced. Manuel

ITCharts Advanced. Manuel ITCharts Advanced Manuel Sommaire Introduction...2 Exemples de personnalisation...2 Outils de dessin...11 Mode Curseur (Mode par défaut)...11 Créer une Alerte...11 Zoomer dans le graphique...11 Tracer

Plus en détail

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et

Plus en détail

1 Savoirs fondamentaux

1 Savoirs fondamentaux Révisions sur l oscillogramme, la puissance et l énergie électrique 1 Savoirs fondamentaux Exercice 1 : choix multiples 1. Quelle est l unité de la puissance dans le système international? Volt Watt Ampère

Plus en détail

Ressources pour le lycée technologique

Ressources pour le lycée technologique éduscol Enseignement de mathématiques Classe de première STMG Ressources pour le lycée technologique Dérivation : Approximation affine et applications aux évolutions successives Contexte pédagogique Objectifs

Plus en détail

SESSION 2011 BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE. Sciences et Technologies de la Gestion. Communication et Gestion des Ressources Humaines MATHÉMATIQUES

SESSION 2011 BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE. Sciences et Technologies de la Gestion. Communication et Gestion des Ressources Humaines MATHÉMATIQUES SESSION 2011 BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE Sciences et Technologies de la Gestion Communication et Gestion des Ressources Humaines MATHÉMATIQUES Durée de l épreuve : 2 heures Coefficient : 2 Dès que le sujet

Plus en détail

Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui :

Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : Sommaire SAMEDI 7 JANVIER 202 Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : Un rappel de cours sur les suites ; Page 2 Deu eercices intitulés

Plus en détail

Amplificateur et commande

Amplificateur et commande CAPTEURS Bibliographie : [1]. G.Asch Les capteurs en instrumentation industrielle [2]. R Duffait, JP Lievre Expériences d électronique (chap ) [3]. Collection Durandeau 1èreS option Sciences expérimentales

Plus en détail

obs.1 Lentilles activité

obs.1 Lentilles activité obs.1 Lentilles activité (Lentille mince convergente) 1) première partie : étude qualitative Dans cette manipulation, on va utiliser un banc d optique. On va positionner la lentille de distance focale

Plus en détail

Pour l entreprise et le particulier

Pour l entreprise et le particulier En paysage 1 ligne 12 colonnes 3 lignes 4 colonnes 3 lignes 4 colonnes Montage vertical sur pignon de bâtiment 64 panneaux 9 lignes 8 colonnes Kit 2 de 15,3 m2 Puissance 2,16 Kwc 9 panneaux 2 lignes 4-5

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle La fonction exponentielle L expression «croissance exponentielle» est passée dans le langage courant et désigne sans distinction toute variation «hyper rapide» d un phénomène. Ce vocabulaire est cependant

Plus en détail

Excel XP formation niveau 1

Excel XP formation niveau 1 Excel XP formation niveau 1 L objectif général de cette formation est de repérer les différents éléments de la fenêtre Excel, de réaliser et de mettre en forme un tableau simple en utilisant quelques formules

Plus en détail

Second degré : Résumé de cours et méthodes

Second degré : Résumé de cours et méthodes Second degré : Résumé de cours et méthodes 1 Définitions : DÉFINITIN n appelle trinôme du second degré toute fonction f définie sur R par f () = a + b + c (a,b et c réels avec a 0). Remarque : Par abus

Plus en détail

Lecture graphique. Table des matières

Lecture graphique. Table des matières Lecture graphique Table des matières 1 Lecture d une courbe 2 1.1 Définition d une fonction.......................... 2 1.2 Exemple d une courbe........................... 2 1.3 Coût, recette et bénéfice...........................

Plus en détail

Mathématiques pour l Informatique Relations binaires Jérôme Gensel

Mathématiques pour l Informatique Relations binaires Jérôme Gensel Master ICA Spécialité IHS Année 2007/2008 Mathématiques pour l Informatique Relations binaires Jérôme Gensel I) Relations binaires 1. Généralités Définition 1 : Une relation binaire d un ensemble E vers

Plus en détail

Programme de mathématiques TSI1

Programme de mathématiques TSI1 Programme de mathématiques TSI1 1. PROGRAMME DE DÉBUT D ANNÉE I. Nombres complexes et géométrie élémentaire 1. Nombres complexes 1 2. Géométrie élémentaire du plan 3 3. Géométrie élémentaire de l espace

Plus en détail

Résumé de cours: Espaces vectoriels (Généralités) 1 Vocabulaire : 1.3 Régles de calcul : 1.1 Loi de composition interne :

Résumé de cours: Espaces vectoriels (Généralités) 1 Vocabulaire : 1.3 Régles de calcul : 1.1 Loi de composition interne : Résumé de cours : Espaces vectoriels Partie I : Généralités. : Source disponible sur : c Dans tout le chapitre K désigne un sous corps de C, et en général sauf mention du contraire, Q ou R ou bien C et

Plus en détail

Barre Supplémentaire 85x85 Barre Supplémentaire 85x30

Barre Supplémentaire 85x85 Barre Supplémentaire 85x30 Système de Pergola de Base Fixé au Sol Système de Pergola de Base Fixé au Sol Module Additionnel Système de Pergola de Base Amoviblé, avec Plaque de Pose Système de Pergola de Base Amoviblé, avec Plaque

Plus en détail

Tableur Généralités. Définition Utilité. Feuille de calcul - Cellules

Tableur Généralités. Définition Utilité. Feuille de calcul - Cellules Tableur Généralités Définition Utilité Un tableur * est un logiciel qui permet de construire et de visualiser des tableaux, contenant des données et surtout des formules de calcul. On peut utiliser un

Plus en détail

C f tracée ci- contre est la représentation graphique d une

C f tracée ci- contre est la représentation graphique d une TLES1 DEVOIR A LA MAISON N 7 La courbe C f tracée ci- contre est la représentation graphique d une fonction f définie et dérivable sur R. On note f ' la fonction dérivée de f. La tangente T à la courbe

Plus en détail

Mathématiques. Résumé du cours en fiches. MPsi MP. Daniel Fredon. Ancien maître de conférences à l université de Limoges

Mathématiques. Résumé du cours en fiches. MPsi MP. Daniel Fredon. Ancien maître de conférences à l université de Limoges Mathématiques Résumé du cours en fiches MPsi MP Daniel Fredon Ancien maître de conférences à l université de Limoges Dunod, Paris, 2010. ISBN 978-2-10-055590-1 Table des matières Partie 1 Analyse dans

Plus en détail

Baccalauréat CGRH Antilles Guyane 13 septembre 2013 Correction

Baccalauréat CGRH Antilles Guyane 13 septembre 2013 Correction Durée : 2 heures Baccalauréat CRH Antilles uyane 3 septembre 203 Correction EXERCICE 7 points Un concessionnaire automobile s est spécialisé dans la vente de deux types de véhicules uniquement : les coupés

Plus en détail