Matrices. Une matrice (n,p) est un tableau rectangulaire qui a n lignes et p colonnes représenté sous la forme suivante : (a 11...

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1 I Généralités Matrices Une matrice n,p est un tableau rectangulaire qui a n lignes et p colonnes représenté sous la forme suivante : A= a 11 a 1p a n1 a np où le terme a ij R On peut aussi écrire la matrice A sous la forme [a ij ] i 1, n j 1, p se trouve à l'intersection de la i ième ligne et de la j ième colonne ou plus simplement [a ij On appelle le couple n,p la dimension de la matrice Une matrice de dimension n,1 est une matrice colonne, une matrice de dimension 1,p est une matrice ligne La matrice nulle est la matrice dont tout les coefficients sont nuls et on la note 0 L'ensemble des matrices n,p se note M n, p R On a vu que dans un espace vectoriel de dimension finie muni d'une base B = b 1,,b n, on peut a 1 p représenter le vecteur x = a i b i sous la forme de la matrice colonne n ou du vecteur i=1 a ligne a 1,,a n Soit A = u [a ij ne matrice n,p La matrice colonne a 1j est le a nj jième n vecteur colonne de A, c'est une vecteur de R La matrice ligne a i1 a ip est le i ième vecteur ligne de A, c'est une vecteur de R p Dans la matrice le 2éme vecteur colonne est le vecteur 11 2 et le 3éme vecteur ligne est le vecteur

2 II Opérations sur les matrices a Addition de deux matrices Soient deux matrices n,p A = [a ij et B = [a ij La matrice A+B est la matrice n,p définie par [a ij +b ij La matrice -A est la matrice n,p définie par [ a ij Soient A= 6 11 et B= , Calculer A+B Propriétés: Soient A, B et C trois matrices n,p et 0 la matrice n,p dont tout les éléments sont égaux à 0 i A+B+C=A+B+C l'addition des matrices est associative ii A+0=A la matrice nulle est l'élément neutre de l'addition iiia+-a=0 tout élément a un opposé iva+b =B+A commutativité On peut dire plus simplement que groupe commutatif M n, p R muni de l'addition définie précédemment est un b Multiplication d'une matrice par un scalaire Définition: Soient A= [a ij une matrice n,p et λ R La matrice λa est la matrice n,p définie par [λ a ij Soit A= Calculer 2A -1A=-A et 0A=0 la matrice nulle Propriétés : Soient A et B deux matrices n,p et λ,μ R i λa+b= λa+ λb ii λ + μ A = λa + μ A iii 1A=A L'ensemble vectoriel M n, p R muni de l'addition et la multiplication par un scalaire est un espace Soient A= et Calculer 2A + 2B et 2A+B 17

3 c Transposition a 11 a 1p Soit A = une matrice n,p, la matrice p,n B = a n1 a np a11 an1 a 1p a pn obtenue en écrivant les lignes de A en colonnes s'appelle la matrice transposée de A on on la note t A Soit A= Calculer t A Propriétés: Soient A une matrice n,p, B une matrice n,p et C une matrice p,q et soit λ R : i t A+B= t A+ t B ii t t A=A iii t λa= λ t A Exemple 1 : Soit A= et B= Calculer t A, t t A, t A+B et t A+ t B d Multiplication de deux matrices Soient A= [ a ij ] i 1, n une matrice n,p et B= [b ij ] i 1, p matrices p,q j 1, p j 1, q La produit de deux matrices AB est une matrice n,q C= [c ij ] i 1, n définie par : i 1, n j 1, q p c ij = a ik b kj k =1 j 1, p Le produit AB de deux matrices A et B n'est possible que si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B A= M 2,3R B= M 3,2R, AB est une matrice 2,2 et : AB= = Avec les matrices précédentes, il est clair que le produit BA n'est pas défini, donc la multiplication de matrices n'est pas commutatif 18

4 Propriétés: Soient A une matrice n,p, B une matrice p,q, C une matrice q,s, D une matrice p,q et E une matrice q,n : i ABC=ABC ii AB+D=AB+AD iiib+de=be+de iv t CA= t A t C Soit A= B= Calculer t AC et t C t A III Application aux espaces vectoriels a 1j Soit A= [ a ij ] i 1, n Notons v j le vecteur colonne et soit X= j 1, p a nj x 1 p alors : x a x 1 AX= p x 1a11+x 1a12++x p a1p = = x x x 1 a n1 +x 2 a n2 ++x p a np 1a11 2a12 na1n a n1+x a n2++x ce qui montre que AX est une combinaison linéaire de v 1,,v n 11 a 1p a n1 a np Etudier une famille de vecteurs v 1,,v n revient donc à étudier la matrice A dont les vecteurs colonnes sont v 1,,v n que nous noterons [v 1,, v n ] On a donc AX=b si et seulement si b Vect v 1,,v n, donc les coordonnées de X sont les coefficients de la combinaison linéaire des vecteurs v 1,,v n qui donne le vecteur b On peut alors interpréter toute matrice comme une famille de vecteurs, on peut parler du rang d'une matrice, et pour A= [v 1,, v n ] on auras rg A = rg v 1,,v n a Multiplication matricielle et produit scalaire On peut interpréter la multiplication matricielle avec des produits scalaires, en effet : Soient A= a 11 a 1l, B= a n1 a nl a nn b11 b1p et posons u b l1 b lp i =a 1,, a l et v i =v1, v l 19

5 on a alors A= [u 1,,u n ], B= [v 1, ] et v n AB= u1 v1 u1 v p 1 u n v 1 u 1 v b Calcul du rang d une famille de vecteurs par le pivot de Gauss Soit B = e 1,,e n la base canonique de l'espace vectoriel R n On cherche rg v 1,, v p On écrit la matrice M = [ v 1,, v p ] : j 1, p 1j v j =v donc v v nj j = k =1 n v kj e k et M = v 11 v 1p v n1 v np On utilise alors la méthode du pivot de Gauss sur les lignes de M pour obtenir une matrice triangulaire Le rang de [ v 1,, v p ] est le nombre de pivot non nuls Dans R 3, on considère les vecteurs v 1 = 1 2 on cherche rg v 1, v 2, v 3,v 4, on écrit la matrice : 1, v 2 = on remplace : L2=L2-2L1 et L3=L3+L on remplace alors L3 = L3 + L , v 3 = on a deux pivots non nuls donc le rang est , v 5 = 4 1 6, et 5 IV Matrices carrées et matrices élémentaires a Matrices carrées Une matrice carrée est une matrice dont le nombre de ligne est égal au nombre de colonnes On dit qu'une matrice carrée n,n est un matrice carrée d'ordre n 20

6 Soient A= et B= deux matrices d'ordre Vérifiez AB et BA sont des matrices d'ordre 3 Comparez AB et BA On sait déjà que si le produit AB est définit, le produit BA n'est pas forcement définit Dans le cas des matrices carrée, les produit AB et BA sont tout les deux définis mais ce produit n'est pas commutatif en général Dans l'exemple précédent on voit que AB BA b Matrices diagonales On appelle diagonal ou diagonale principale d'une matrice carrée d'ordre n A= [ a ij ] i 1, n j 1, n éléments a 11,, a nn de cette matrice les Les éléments de la diagonale de sont les nombres 1, -4 et 7 Une matrice diagonale D= [ d ij ] i 1, n est une matrice dont tout les éléments qui ne sont pas j 1, n diagonaux sont nuls On note une telle matrice D= diag d 11,, d nn où les scalaires de d ii peuvent être nuls Remarque: Si tout les éléments diagonaux sont nuls, alors D est la matrice nulle D= c Matrice identité Une matrice carrée d'ordre n qui ne comporte que des 1 sur la diagonale principale et des 0 partout ailleurs est appelée matrice unité ou matrice identité et on la note I n Remarque: Si tout les éléments diagonaux sont nuls, alors D est la matrice nulle 21

7 I 3 = I 2 = d Matrices triangulaire Une matrice triangulaire est une matrice carrée dont les éléments au-dessus ou au-dessous de la diagonale principale sont tous nuls Exemples : Matrice triangulaire supérieure : e Matrices inversibles Matrice triangulaire inférieure : Une matrice carrée A d'ordre n est dite inversible s'il existe une matrice carrée B de même ordre telle que AB=BA=I n La matrice B s'appelle la matrice inverse de A, elle est unique et se note A -1 - La relation suivante est symétrique, c'est à dire que si B est l'inverse de A, alors A est l'inverse de B - Une matrice carrée n'est pas toujours inversible Soient A= et B= Calculer AB et BA et en déduire A -1 f Calcul de l inverse d une matrice la méthode de Gauss Jordan Pour calculer l inverse d une matrice, on procède comme suit : on accole à la matrice A la matrice identité In on échelonne et on réduit la matrice A en répercutant toutes les opérations nécessaires sur la matrice In qui lui est accolée Une fois A échelonnée et réduite, à l emplacement initial de la matrice identité, on retrouve la matrice inverse A 1 22

8 Soit à inverser la matrice suivante : A = On forme : : : : 0 0 et on échelonne : : : L2=L2-2L : L2=-L : L3=L3-3L : 3 0 L3=L3-L : 5 1 puis on réduit : L1=L1-L : L2=L2-2L : : L inverse de A est donc : L1=L1-L : : : Exercice : Déterminer l inverse des matrices suivantes : A= B= Si, dans un calcul d inverse, on n arrive pas à échelonner une matrice par exemple, si on trouver moins de pivots que nécessaire, qu en conclut-on? 23