Chapitre 3 : Les Vecteurs du plan

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1 Lycée Jean Durand lasse de Seconde hapitre 3 : Les Vecteurs du plan D. Zancanaro. upérin Télécharger c est tuer l industrie, tuons les tous Thurston Moore Dernière modification : 28 novembre

2 Table des matières 1 Les vecteurs du plan aractérisation et normes des vecteurs Égalité de deux vecteurs et opposé Translations de vecteurs u Définition Propriétés Opérations sur les vecteurs jouter deux vecteurs Soustraire deux vecteurs Multiplication d un vecteur par un nombre réel Définition Règles de calcul

3 ours : Les Vecteurs du plan Le mot vecteur vient du latin «vector», dérivé du verbe «vehere», qui signifie transporter. Un vector désigne donc un véhicule, par exemple un chariot. Son point de départ n a pas d importance sur sa nature. 1 Les vecteurs du plan 1.1 aractérisation et normes des vecteurs Définition 1. Un vecteur est représenté par un segment orienté (une flèche) ayant pour extrémités un point de départ et un point d arrivée. L emplacement dans le plan ou l espace n a pas d importance, deux déplacements de deux points d originie distincts peuvent correspondre au même vecteur, seuls comptent sa longueur, sa direction et son sens. Il est donc possible de le faire glisser librement dans le plan, parallèlement à lui-même. i-contre sont représentés dans le plan P quatre vecteurs u, v, w et k. Les vecteurs u et v sont différents car leur direction est différente (elle est portée par deux droites sécantes), les vecteurs v et k sont différents car leur sens n est pas le même. Les vecteurs v et w sont identiques car ils ont en commun sens, longueur et direction. On dit qu ils représentent le même vecteur et on peut écrire v = w k v u w aractérisation d un vecteur : Un vecteur non nul du plan est caractérisé par : Sa direction Son sens Sa longueur Remarques : Un vecteur désigne un déplacement rectiligne, il est indépendant de son point de départ (de son origine) Si les vecteurs etd son égaux, on peut leur donner un même nom, par exemple u. On dit que et D sont des représentants du vecteur u Définition 2. Il existe un vecteur qui n a ni direction, ni sens, dont la longueur vaut 0. On l appelle le vecteur nul et on le note 0. 1

4 hapitre 2 Les vecteurs dans le plan Définition 3. La longueur d un vecteur u est aussi appelée norme. est un donc nombre positif ou nul. On le note u. En particulier : = Exercice 1.1. i-contre sont représentés deux vecteurs. 1. alculer la longueur du vecteur D 2. alculer la longeur du vecteur j D 3. Placer le pointf tel que F = D i 4. omparer le vecteur D et le vecteur D 5. omparer i et j 1.2 Égalité de deux vecteurs et opposé Propriété 1. Soient,, et D quatre points avec et distincts. Les vecteurs etd sont égaux si et seulement sid est un parallĺogramme. D 2

5 Définition 4. Deux vecteurs sont dits opposés lorsqu ils ont : La même direction La même norme Mais des sens opposés On note u l opposé du vecteur u. insi l opposé de est = u - u Exemple : Sur le dessin on a représenté six vecteurs. D H G F E 1. Donner les vecteurs égaux, puis les vecteurs opposés. 2. Reproduire chacun des vecteurs avec pour origine le point F 3

6 2 Translations de vecteurs u 2.1 Définition Définition 5. L image d un pointpar la translation de vecteur u est le point tel que = u u 2.2 Propriétés Propriété 2. Par une translation l image de trois points alignés est trois points alignés Démonstration : Soit, et trois points alignés et u un vecteur. Notonst u () =,t u () = ett u () = les images de, et par la translation de vecteur u. ut : Montrer que, et sont alignés. ommet u () = ett u () = on a : = u et = u u final = et donc est un parallélogramme. Pour des raisons identiques, est un parallélogramme. Par conséquent ()//( ) et ()//( ) et donc puisque () = () on a ( )//( ), ce qui prouve que, et sont alignés. Propriété 3. Par une translation les distances sont conservés Démonstration : 4

7 Soitetdeux points quelconques du plan, u un vecteur, ett u () = ett u () = les images par la translation de vecteurs u de ces deux points. Montrons que = ommet u () = ett u () = on a : = u et = u u final = et donc est un parallélogramme. Par conséquent = Propriété 4. L image par une translation d une droite est une droite parallèle (éventuellement confondue). Démonstration : Soit une droite (). Montrons que l image de cette droite par la translation de vecteur u est une droite parallèle à (). Notonst u () = ett u () = les images par la translation de vecteurs u deet. Soit un point sur (), puisque la translation conserve l alignement ( ). De plus on a qui est un parallélogramme, et donc ()//( ). On vient de montrer que : ()//( ) Tout point de la droite () a son image par la translation de vecteur u sur ( ) Pour conclure il faut encore montrer que tout point de la droite ( ) est l image d un point de la droite (). SoitD ( ) etdle point du plan tel que DD = u. omme DD = u on a :t u (D) =D et DD =, donc D D est un parallélogramme. De la même manière D D est un parallélogramme. Par conséquent (D)//( D ) et (D)//( D ). Or ( D ) et ( D ) sont les mêmes droites ce qui prouvent donc que (D)//(D) i.e que etdsont alignés i.e : D () Propriété 5. L image par une translation d un segment est un segment de même longueur et parallèle. Démonstration : 5

8 On considère un segment [] ainsi qu un vecteur u. Notonst u () = ett u () = les images par la translation de vecteurs u deet. Montrons quet u ([]) = [ ] puis que []//[ ]. ommet u () = ett u () = on a = u = donc est un parallélogramme, ce qui prouve en particulier que []//[ ]. Il ne reste plus qu à prouver que l image du segment [] est le segment [ ]. onsidérons un point [] et =t u () son image par la translation de vecteur u. De nouveau est un parallélogramme contenu dans le parallélogramme donc [ ]. Réciproquement sid [ ] montrons alors qued [] oùd vérifiet u (D) =D DD = u. De nouveau, D D est un parallélogramme contenu dans le parallélogramme et doncd [] Propriété 6. L image par une translation d un cercle est un cercle de même rayon. Démonstration : Soit un cercle de centreoet de rayonr. SoitO =t u (O). Montrons que l image de est un cercle de centreo et de rayonr. Soit et =t u (), comme la translation conserve les distance on ao =O =r et donc où est le cercle de centreo et de rayonr, autrement dit on vient de montrer que tout point du cercle a son image sur le cercle. Montrons enfin que tout point du cercle «provient»bien d un point du cercle Dans ce cas, considérons alorso =r, soitle point vérifiantt u () = = u. Le quadrilatèreoo est un parallélogramme et donco =O =r ce qui prouve que Propriété 7. Par une translation, on conserve les angles. Démonstration : On considére un triangle et un vecteur u. On notet u () =,t u () = ett u () = les images par la translation de vecteur u des points, et. omme la translation conserve les longueurs et comme l image d un segment est un segment parallèle, l image du triangle est le triangle et les deux triangles sont superposables et chacun des angles des deux triangles sont identiques. Exercice onstruire l image du triangle par la translation de vecteur I 6

9 hapitre 2 Les vecteurs dans le plan I 2.G est le centre de gravité du triangle. onstruire l image de ce triangle par la translation de vecteur G. J G K I Exercice 2.2.D est un parallélogramme de centreo, etd sont les images de etdpar la translation de vecteur. 1. onstruire les points etd 2. Démontrer que le quadrilatèredd est un parallélogramme 3. Démontrer que (DD ) = 2 (D) 7

10 hapitre 2 Les vecteurs dans le plan 3 Opérations sur les vecteurs 3.1 jouter deux vecteurs Définition 6. La somme de deux vecteurs u et v est le vecteur noté u + v défini ainsi : étant un point quelconque, on place tel que = u, puis le point tel que = v ; alors u + v = Relation de hasles : On a pour tous points, et : + = Exemples : 1. onstruire w tel que w = u + v sur le schéma ci-dessous : 3. onstruiree sur le schéma ci-dessous tel que E = + D v u D 2. Montrer que pour tous points,, et D on a : + D + + ( D) = 0 4. Placer sur le même schéma le pointm vérifiant M = + D 3.2 Soustraire deux vecteurs Définition 7. La différence de deux vecteurs u et v est le vecteur noté u v = u + ( v). On l obtient en ajoutant à u l opposé de v. Exemples : 1. onstruire w tel que w = u v sur le schéma ci-dessous : 3. onstruire E sur le schéma cidessous tel que E = D v u D 2. Montrer que pour tous points,, et D on a : + D + D) = 0 4. Placer sur le même schéma le pointm vérifiant M = D D 8

11 3.3 Multiplication d un vecteur par un nombre réel Définition ctivité 3 Soient deux pointset distincts. On pose = i. 1. Placer le symétrique depar rapport à etdle symétrique de par rapport à. Proposer une expression du vecteur en fonction du vecteur i Exprimer le vecteur D en fonction du vecteur i. 2. Placer les pointsm 1 etm 2 de la droite () vérifiantm 1 =M 2 = 1 2 Proposer une expression des vecteursm 1 etm 2 en fonction du vecteur i. 3. Placer le pointe tel que le trianglee soit rectangle isocèle en. Exprimer la distancee en fonction de la distance 4. PlacerF etgles points distincts de la droite () tels quef =G =E etf [). Écrire les vecteurs F et G en fonction de i. Peut-on faire de même avec le vecteur E 5. Placer les pointsh etk tels que EH = 2 i et EK = 3 2 i Définition 8. Soit u un vecteur non nul etk un réel non nul. Le produit du vecteur u par le nombrek est le vecteur noték u défini ainsi : k u et u ont la même direction. Sik> 0 alorsk u et u ont le même sens ; sik<0 alorsk u et u sont de sens opposés Sik> 0 alors k u =k u ; sik< 0 alors k u = k u, autrement dit k u = k u Par convention : 0 u = 0 etk 0 = 0. Remarque : Soient et deux points distincts etk un réel donné. Il existe un unique pointm tel que M =k. qui se situe sur la droite (). Plus précisément : (sik< 0 ; si 0<k<1 ; sik>1) M si k<0 M si 0<k<1 M si k>0 Exemples : E D 9

12 1. ompléter les égalité vectoriels suivantes : D =... ; = Placer les pointsm,n etk vérifiant M = 4, N = 1 ED et K = Règles de calcul ctivité 4 O u v 1 O = 3 2. (a) onstruire les pointsx,y etz tels que 2 OX = u 2 v, OY = O + OX etoz = 3 u Que constate-t-on? (b) onstruire les pointse etf tels que OE = 2.5( u + v) etof = 2.5 u v 1. onstruire les points, et tels que O = 1 3 u, Que constate-t-on? (c) onstruire les pointsgeth tels que OG = 2(3 v) etoh = 6 v Que constate-t-on? u + 2 v et O = 1 3 u 2 v Propriété 8. Pour tous vecteurs u et v, pour tous nombres réelsaetb, on a : a(b u) =ab u (a +b) u =a u +b u a( u + v) =a u +a v a. u = 0 a=0 ou u = 0 Exemples : u+5.1 u = 6.1 u 3( u+ v) = 3 u+3 v 2(5 u) = 10 u (4 u) = ( 4) u = 4 u v = 4 u u = 1 4 v pplication 1. Rappel : Le centre de gravité d un triangle est situé aux deux tiers de la médiane en partant du sommet. Démontrer la propriété suivante : 10

13 Propriété 9. Soit un triangle. lors le centre de gravitégde ce triangle est l unique point tel que : G + G + G = 0 Preuve : Existence : On a G = 2 où est le milieu du côté []. lors 3 G + G + G = G + G + + G + = 3G + + SoitDle point tel qued soit un parallèlogramme. lors D = et D = 2. Donc G+ 2 G + G = 3G + + = D = 2 + D = 2 +2 = 0 3 Donc le pointgvérifie bien la relation. Unicité : SoitM un autre point tel que M + M + M = 0 lors on a M + M + M = MG + G + MG + G + MG + G = 3MG + G + G + G = 3MG + 0 cargest le centre de gravité du triangle. De plus on sait que M + M + M = 0, donc on a 3 MG = 0 MG = 0 M =G. Donc le pointgest unique. 11