Seconde 2 DST2 vecteurs Sujet 1 BF. AD? BC. 1) Placer les points A(4 ;-2) B(-1 ;3,5) I (3 ;2) dans un repère orthonormé.

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1 Seconde 2 DST2 vecteurs Sujet 1 Exercice 1 : (4 points) ABCDEF est un hexagone régulier de centre O. Répondre aux questions suivantes en utilisant uniquement les points de la figure. 1) Trouver tous les vecteurs égaux au vecteur AF. 2) Trouver un vecteur égal au vecteur BF. 3) Peut-on trouver un vecteur égal au vecteur AD? 4) Citer tous les vecteurs opposés à BC. Exercice 2 : déterminer les coordonnées d un point (6 points) 1) Placer les points A(4 ;-2) B(-1 ;3,5) I (3 ;2) dans un repère orthonormé. 2) Construire les points C et D tels que ABCD soit un parallélogramme de centre I. 3) Calculer les coordonnées de C et D. Exercice 3 : (5 points) 1) Soit A(-2 ;-1), B(2 ;0), C(-1 ;3) et D(3 ;4) 2) Démontrer que AB + AC = AD 3) Quelle est la nature du quadrilatère ABDC? Le justifier. Exercice 4 : (5 points) Soit (O ; i, j) un repère orthonormé du plan. Soit A(3 ;-5), B(-1 ;3) et C(1 ;1). 1) Déterminer les coordonnées du point M(x ;y) appartenant à l axe des ordonnées et tel que les droites (AB) et (CM) soient parallèles. 2) Déterminer les coordonnées du point P(x ;y ) appartenant à l axe des abscisses et tel que les points C, B et P soient alignés.

2 Seconde 2 DST2 vecteurs Sujet 2 Exercice 1 : (4 points) ABCDEF est un hexagone régulier de centre O. Répondre aux questions suivantes en utilisant uniquement les points de la figure. 1) Trouver tous les vecteurs égaux au vecteur DE. 2) Trouver un vecteur égal au vecteur EC. 3) Peut-on trouver un vecteur égal au vecteur CF? 4) Citer tous les vecteurs opposés à CD. Exercice 2 : déterminer les coordonnées d un point (6 points) 1) Placer les points A(-4 ;-2) B(-7 ;0,5) I (-3 ;2) dans un repère orthonormé. 2) Construire les points C et D tels que ABCD soit un parallélogramme de centre I. 3) Calculer les coordonnées de C et D. Exercice 3 : (5 points) 1) Soit A(-1 ;1), B(3 ;2), C(4 ;6) et D(0 ;5) 2) Démontrer que DA + DC = DB 3) Quelle est la nature du quadrilatère DABC? Le justifier. Exercice 4 : (5 points) Soit (O ; i, j) un repère orthonormé du plan. Soit A(3 ;-5), B(-1 ;3) et C(1 ;1). 1) Déterminer les coordonnées du point M(x ;y) appartenant à l axe des abscisses et tel que les droites (AB) et (CM) soient parallèles. 2) Déterminer les coordonnées du point P(x ;y ) appartenant à l axe des ordonnées et tel que les points C, B et P soient alignés.

3 Seconde 2 DST2 vecteurs Sujet 1 Exercice 1 : (4 points) ABCDEF est un hexagone régulier de centre O. Répondre aux questions suivantes en utilisant uniquement les points de la figure. 1) Trouver tous les vecteurs égaux au vecteur AF. 2) Trouver un vecteur égal au vecteur BF. 3) Peut-on trouver un vecteur égal au vecteur AD? 4) Citer tous les vecteurs opposés à BC. 1) AF = BO = OE = CD 2) BF = CE 3) Non 4) CB, DO ; OA ; EF Exercice 2 : déterminer les coordonnées d un point (6 points) 1) Placer les points A(4 ;-2) B(-1 ;3,5) I(3 ;2) dans un repère orthonormé. 2) Construire les points C et D tels que ABCD soit un parallélogramme de centre I. 3) Calculer les coordonnées de C et D. 1) 2) 3

4 Seconde 2 DST2 vecteurs Sujet 1 On construit les points D et C symétriques des points A et B par rapport à I. Alors, les diagonales du quadrilatère ABCD se coupent en I et donc ABCD est un paralléogramme de centre I. On lit les coordonnées de C(2 ;6) et de D(7 ;0,5). 3) Si ABCD est un parallélogramme alors AC = 2 AI Soit x C x A y = 2 x I x A C - y A y I y A Soit x C 4 = 2(3 4) y C (-2) =2(2 (-2)) Soit x C =4-2 = 2 y C = = 6 Si ABCD est un parallélogramme alors BD = 2 BI Soit x D x B y = 2 x I x B D - y B y I y B Soit x D (-1) = 2(3 (-1)) y D (3,5) =2(2 3,5) Soit x D = = 7 y D = 3,5-3 = 0,5 Exercice 3 : (5 points) Soit A(-2 ;-1), B(2 ;0), C(-1 ;3) et D(3 ;4) 1) Démontrer que AB + AC = AD 2) Quelle est la nature du quadrilatère ABDC? Le justifier. 1) AB + AC = x B x A y + x C x A B y A y = 2 (-2) C y A 0 (-1) + -1 (-2) 3 (-1) = = = 5 5 AD = x D x A y = 3 (-2) D y A 4 (-1) = 5 5 On a bien AB + AC = AD 2) L égalité AB + AC = AD caractérise le parallélogramme ABDC. Autre justification : L égalité AB + AC = AD AB = AD - AB = AC CD AB = CD caractérise aussi le parallélogramme ABDC. AB = CA + AD 4

5 Seconde 2 DST2 vecteurs Sujet 1 Exercice 4 : (5 points) Soit (O ; i, j) un repère orthonormé du plan. Soit A(3 ;-5), B(-1 ;3) et C(1 ;1). 1) Déterminer les coordonnées du point M(x ;y) appartenant à l axe des ordonnées et tel que les droites (AB) et (CM) soient parallèles. 2) Déterminer les coordonnées du point P(x ;y ) appartenant à l axe des abscisses et tel que les points C, B et P soient alignés. 1) Si M appartient à l axe des ordonnées alors x = 0. Si les droites (AB) et (CM) sont parallèles alors les vecteurs AB et CM sont colinéaires. AB x B x A y = -1 3 B - y A 3 (-5) = -4 8 CM x M x C y = 0 1 M - y C y - 1 = 1 y - 1 AB et CM colinéaires -4 (y - 1) - 8 ( 1) = 0-4y = 0 4y = 12 y = 3 Le point M a pour coordonnées (0 ;3). 2) Si P appartient à l axe des abscisses alors y = 0. Si les points C, B et P sont alignés alors les vecteurs BC et BP sont colinéaires. BC x C x B y = 1 (-1) C - y B 1 3 = 2-2 BP x P x B y = x' (-1) P - y B 0-3 = x' BC et BP colinéaires 2 ( 3) (-2) (x + 1) = x + 2 = 0 2x = 4 x = 2 Le point P a pour coordonnées (2 ;0). Vérification graphique : 5

6 Seconde 2 DST2 vecteurs Sujet 2 Exercice 1 : (4 points) ABCDEF est un hexagone régulier de centre O. Répondre aux questions suivantes en utilisant uniquement les points de la figure. 1) Trouver tous les vecteurs égaux au vecteur DE. 2) Trouver un vecteur égal au vecteur EC. 3) Peut-on trouver un vecteur égal au vecteur CF? 4) Citer tous les vecteurs opposés à CD. 1) DE = CO = OF = BA 2) EC = FB 3) Non 4) DC, EO ; OB ; FA Exercice 2 : déterminer les coordonnées d un point (6 points) 1) Placer les points A(-4 ;-2) B(-7 ;0,5) I (-3 ;2) dans un repère orthonormé. 2) Construire les points C et D tels que ABCD soit un parallélogramme de centre I. 3) Calculer les coordonnées de C et D. 1) 2) On construit les points C et D symétriques des points A et B par rapport à I. 6

7 Seconde 2 DST2 vecteurs Sujet 2 Alors, les diagonales du quadrilatère ABCD se coupent en I et donc ABCD est un paralléogramme de centre I. On lit les coordonnées de C(-2 ;6) et de D(1 ;3,5). 3) Si ABCD est un parallélogramme alors AC = 2 AI Soit x C x A y = 2 x I x A C - y A y I y A Soit x C (-4) = 2(-3 (-4)) y C (-2) =2(2 (-2)) Soit x C = = -2 y C = = 6 Si ABCD est un parallélogramme alors BD = 2 BI Soit x D x B y = 2 x I x B D - y B y I y B Soit x D (-7) = 2(-3 (-7)) y D 0,5 =2(2 0,5) Soit x D = = 1 y D = 0,5 + 3 = 3,5 Exercice 3 : (5 points) 1) Soit A(-1 ;1), B(3 ;2), C(4 ;6) et D(0 ;5) 2) Démontrer que DA + DC = DB 3) Quelle est la nature du quadrilatère DABC? Le justifier. 1) DA + DC = x A x D y + x C x D A y D y = -1 0 C y D = = = 3-3 DB = x B x D y = 3 0 B y D 2 5 = 3-3 On a bien DA + DC = DB 2) L égalité DA + DC = DB caractérise le parallélogramme DABC. Autre justification : DA + DC = DB DA = DB - DC CD DA = CB L égalité DA = CB caractérise aussi le parallélogramme DABC. DA = DB + 7

8 Seconde 2 DST2 vecteurs Sujet 2 Exercice 4 : (5 points) Soit (O ; i, j) un repère orthonormé du plan. Soit A(3 ;-5), B(-1 ;3) et C(1 ;1). 1) Déterminer les coordonnées du point M(x ;y) appartenant à l axe des abscisses et tel que les droites (AB) et (CM) soient parallèles. 2) Déterminer les coordonnées du point P(x ;y ) appartenant à l axe des ordonnées et tel que les points C, B et P soient alignés. 1) Si M appartient à l axe des abscisses alors y = 0. Si les droites (AB) et (CM) sont parallèles alors les vecteurs AB et CM sont colinéaires. AB x B x A y = -1 3 B - y A 3 (-5) = -4 8 CM x M x C y = x 1 M - y C 0-1 = x 1-1 AB et CM colinéaires -4 (-1) - 8 (x 1) = 0 4 8x + 8 = 0 8x = 12 x = 12 8 = 3 2 = 1,5 Le point M a pour coordonnées (1,5 ;0). 2) Si P appartient à l axe des ordonnées alors x = 0. Si les points C, B et P sont alignés alors les vecteurs BC et BP sont colinéaires. BC x C x B y = 1 (-1) C - y B 1 3 = 2-2 BP x P x B y = 0 (-1) P - y B y' - 3 = 1 y' - 3 BC et BP colinéaires 2 (y 3) (-2) 1 = 0 2y = 0 2y = 4 y = 2 Le point P a pour coordonnées (0 ;2). Vérification graphique : 8

1) Construire un parallélogramme et le point, symétrique du point par rapport au point. 2) Démontrer que est un parallélogramme.

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