Vecteurs du plan. Chapitre 3. Introduction. Les translations du plan. Vous pouvez consulter ces deux sites : http ://epvf.net/

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1 Chapitre Vecteurs du plan. I Introduction. Vous pouvez consulter ces deux sites : http ://epvf.net/ http :// On voit, pour expliquer le vol d un avion, la présence d un symbole matérialisé par des flèches. Ce sont les vecteurs que l on utilise en physique pour modéliser la notion de force. Pour le cours de mathématiques de seconde, nous n aurons pas l ambition de décrire le vol d un avion, mais de définir et d utiliser les vecteurs dans quelques cas simples issus de la géométrie du plan. II Les translations du plan. On sait déjà, trois points, B et étant donnés, tracer le point C tel que BC soit un parallélogramme, éventuellement aplati. 9

2 0 CHPITRE. VECTEURS U PLN. B B On remarque que, quand on déplace le point, le point C suit un déplacement identique. On obtient ainsi deux figures identiques. On constate que, par ce moyen, on associe à tout point du plan un point C. On définit ainsi une transformation du plan. On l appelle translation. Bien sûr, peut parcourir un segment, ou un cercle, il en sera de même pour le point C. On constate que, par ce moyen, on associe à tout point du plan un point C. On définit ainsi une transformation du plan. On l appelle translation. éfinition et B sont des points du plan. L image d un point par la translation qui envoie sur B est le point C tel que le quadrilatèrebc est un parallélogramme, éventuellement aplati.

3 III. LES VECTEURS U PLN. Exercice. Tracer ci-dessous l image du point, puis l image du point M, par la translation qui envoie le point sur le point B. B M III Les vecteurs du plan. éfinition des vecteurs du plan. On convient de représenter le déplacement du point vers le point B, du point vers le point C par une flèche. Les flèches sont dirigées deversb, de versc. Remarque On constate que la flèche qui va de vers B et celle qui va de vers C ont de nombreuses propriétés en commun. Les longueurs des flèches sont parce que BC est un parallélogramme. Les flèches ont pour support des droites toujours parce que BC est un parallélogramme. Enfin, les flèches ont le même, parce que un parallélogramme est un quadrilatère qui n est pas croisé. On note alors : B = C

4 CHPITRE. VECTEURS U PLN. Ceci fourni une idée visuelle de la notion de vecteur. Propriété Quand on écrit B = C, ceci est équivalent à : Le quadrilatèrebc est un Les segments [C] et [B] ont Vocabulaire : B Exercice. M N RS est un parallélogramme. Quelles sont les égalités de vecteurs que l on peut écrire?. Compléter l égalité de vecteurs suivante. Exercice. On considère deux parallélogrammes BC et BEF ces deux parallélogrammes ont donc le côté [B] en commun. B = =. Quelle est la nature du quadrilatère CEF? émontrez votre résultat en utilisant la notion de vecteur de la question précédente Quelles nouvelles égalités de vecteurs peut-on en déduire? Remarque = On voit, dans l égalité B = C = FE, que l écriture d un vecteur à l aide de points n est pas une écriture unique. On utilise souvent des noms de lettres en minuscule pour désigner les vecteurs. On peut par exemple écrire u = B = C = FE.

5 IV. VECTEURS U PLN ET COORONNÉES. B u u C Exercice. Sur le dessin ci-dessous, tracer le point N qui vérifie l égalité MN = u et le point S qui vérifie l égalité RS = v. u v R M Le vecteur nul. éfinition Si est un point quelconque du plan, le vecteur est le vecteur nul. On le note 0. Vecteurs opposés. éfinition et B sont des points du plan. On dit que les vecteurs B et B sont des vecteurs opposés. Exercices du livre : page 9, n 9, n 0, n et n. IV Vecteurs du plan et coordonnées. ans tout ce paragraphe, le plan est muni d une repèreo, I, J.

6 CHPITRE. VECTEURS U PLN. Lectures graphiques. Considérons deux points du plan et B donnés par leurs coordonnées dans un repère. Comment peut-on caractériser le vecteur B en utilisant le repère et donc la grille? B B B B C 6 On peut, pour utiliser la grille, passer par le pointc qui a la même abscisse queb et la même ordonnée que. Pour se déplacer sur la grille de versb, en passant parc, on se déplace de carreaux horizontalement et de carreaux verticalement. On dit alors que les coordonnées du vecteur B sont : B ; Exercice.. Lire sur de graphique ci-dessous les coordonnées des vecteurs qui sont tracés. E u G GH H B w v F 6 C B ; ; C ; ; EF ; ; GH ;

7 IV. VECTEURS U PLN ET COORONNÉES.. Lire sur de graphique ci-dessous les coordonnées des vecteurs qui sont tracés. u z w u ; v ; w ; v z ; 6. Tracer sur dans le repère ci dessous des représentants des vecteurs t;, a0; et b;. Une formule. Il s agit maintenant de calculer les coordonnées du vecteur B en fonction des coordonnées des pointsetb. On reprend le premier dessin mais en faisant apparaître ces coordonnées. B B6,, C 6 7

8 6 CHPITRE. VECTEURS U PLN. On peut deviner, en utilisant le point C comment calculer les coordonnées du vecteur B en fonctions de celles des points et B : x B = = ; y B = = Indication : on peut penser, pour trouver comment faire, à la formule qui donne la distance de deux points. onner alors la formule à utiliser : Si, dans un repère, on donne deux points et B par leurs coordonnées, x ;y etbx B ;y B, alors : B ; Exercice 6. ans un repèreo, I, J on donne les points : ; ; B; ; C; Calculer les coordonnées des vecteurs B, CI, B, OC, C et CC. B ; B ; B ; B ; C ; C ; CI ; CI ; OC ; OC ; CC ; CC ; Remarque Quelles sont les coordonnées du vecteur nul? 0 = es vecteurs égaux ont bien sûr des coordonnées égales. Par exemple, considérons les points ;, B;, C; et ;. B C Pour montrer que BC est un parallélogramme, il suffit de calculer les coordonnées des vecteurs B et C :

9 IV. VECTEURS U PLN ET COORONNÉES. 7 B ; B ; C ; C ; On a donc. On peut alors conclure,bc est un parallélogramme. Exercice 7. ans un repèreo, I, J on donne les points : et B;. On donne aussi les vecteurs u; et v;. éterminer les coordonnées des points suivants :. K tel que K = u ;. L tel que BL = v ;. M tel que MB = u. 6 Exercice 8. On donne trois points R ;,S; et T;. Calculer, en utilisant des vecteurs, les coordonnées du point P tel que RSTP soit un parallélogramme. Que peut-on dire de plus sur ce parallélogramme? Exercices sur le livre : page 96, exercices n et n 6 ; page 98, n 70 exercice de synthèse.