Vecteurs du plan. Seconde /2011 L.F.B. Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

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1 Vecteurs du plan Seconde 5 L.F.B. 2010/2011 Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

2 Définitions Translation Définition 1 Étant donnés trois points du plan A, B et M, on dit que M est l image de M par la si les segments [AM ] et [BM] ont le (autrement dit si ABM M est un éventuellement aplati). B M M B A M A M Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

3 Définitions Translation Définition 1 Étant donnés trois points du plan A, B et M, on dit que M est l image de M par la translation qui transforme A en B si les segments [AM ] et [BM] ont le (autrement dit si ABM M est un éventuellement aplati). A M B M A M B M Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

4 Définitions Translation Définition 1 Étant donnés trois points du plan A, B et M, on dit que M est l image de M par la translation qui transforme A en B si les segments [AM ] et [BM] ont le même milieu (autrement dit si ABM M est un éventuellement aplati). A M B M A M B M Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

5 Définitions Translation Définition 1 Étant donnés trois points du plan A, B et M, on dit que M est l image de M par la translation qui transforme A en B si les segments [AM ] et [BM] ont le même milieu (autrement dit si ABM M est un parallélogramme éventuellement aplati). A M B M A M B M Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

6 Définitions Translation Définition 2 La translation qui transforme A en B est appelée translation de. Remarque : Si une translation transforme A en B et C en D, c est la translation de vecteur AB # mais c est aussi la translation de vecteur CD. # Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

7 Définitions Translation Définition 2 La translation qui transforme A en B est appelée translation de vecteur. Remarque : Si une translation transforme A en B et C en D, c est la translation de vecteur AB # mais c est aussi la translation de vecteur CD. # Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

8 Définitions Translation Définition 2 # AB. La translation qui transforme A en B est appelée translation de vecteur Remarque : Si une translation transforme A en B et C en D, c est la translation de vecteur AB # mais c est aussi la translation de vecteur CD. # Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

9 Définitions Vecteur Définition 3 Un vecteur est un objet mathématique entièrement carctérisé par : une, un, une (ou ). Remarque : Un vecteur n est pas un ensemble de points. On ne peut donc dessiner que des représentants du vecteur que l on symbolise par des flèches. Exemple : Les deux flèches ci-contre sont deux représentants du même vecteur. Définition 4 Si # AB est un représentant du vecteur # u, alors : la direction du vecteur est celle de ; le sens du vecteur est le sens de ; la norme du vecteur est la. Remarques : La norme d un vecteur # u se note # u. On a donc AB # =. # u = AA # = BB # =... est appelé le et est noté. Il n a ni direction, ni sens. Étant donné un vecteur # u, on appelle opposé de # u le vecteur qui a même direction et même norme que # u mais qui est de. On le note # u. Le vecteur est l opposé du vecteur # AB. Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

10 Définitions Vecteur Définition 3 Un vecteur est un objet mathématique entièrement carctérisé par : une direction, un, une (ou ). Remarque : Un vecteur n est pas un ensemble de points. On ne peut donc dessiner que des représentants du vecteur que l on symbolise par des flèches. Exemple : Les deux flèches ci-contre sont deux représentants du même vecteur. Définition 4 Si # AB est un représentant du vecteur # u, alors : la direction du vecteur est celle de ; le sens du vecteur est le sens de ; la norme du vecteur est la. Remarques : La norme d un vecteur # u se note # u. On a donc AB # =. # u = AA # = BB # =... est appelé le et est noté. Il n a ni direction, ni sens. Étant donné un vecteur # u, on appelle opposé de # u le vecteur qui a même direction et même norme que # u mais qui est de. On le note # u. Le vecteur est l opposé du vecteur # AB. Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

11 Définitions Vecteur Définition 3 Un vecteur est un objet mathématique entièrement carctérisé par : une direction, un sens, une (ou ). Remarque : Un vecteur n est pas un ensemble de points. On ne peut donc dessiner que des représentants du vecteur que l on symbolise par des flèches. Exemple : Les deux flèches ci-contre sont deux représentants du même vecteur. Définition 4 Si # AB est un représentant du vecteur # u, alors : la direction du vecteur est celle de ; le sens du vecteur est le sens de ; la norme du vecteur est la. Remarques : La norme d un vecteur # u se note # u. On a donc AB # =. # u = AA # = BB # =... est appelé le et est noté. Il n a ni direction, ni sens. Étant donné un vecteur # u, on appelle opposé de # u le vecteur qui a même direction et même norme que # u mais qui est de. On le note # u. Le vecteur est l opposé du vecteur # AB. Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

12 Définitions Vecteur Définition 3 Un vecteur est un objet mathématique entièrement carctérisé par : une direction, un sens, une longueur (ou ). Remarque : Un vecteur n est pas un ensemble de points. On ne peut donc dessiner que des représentants du vecteur que l on symbolise par des flèches. Exemple : Les deux flèches ci-contre sont deux représentants du même vecteur. Définition 4 Si # AB est un représentant du vecteur # u, alors : la direction du vecteur est celle de ; le sens du vecteur est le sens de ; la norme du vecteur est la. Remarques : La norme d un vecteur # u se note # u. On a donc AB # =. # u = AA # = BB # =... est appelé le et est noté. Il n a ni direction, ni sens. Étant donné un vecteur # u, on appelle opposé de # u le vecteur qui a même direction et même norme que # u mais qui est de. On le note # u. Le vecteur est l opposé du vecteur # AB. Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

13 Définitions Vecteur Définition 3 Un vecteur est un objet mathématique entièrement carctérisé par : une direction, un sens, une longueur (ou norme). Remarque : Un vecteur n est pas un ensemble de points. On ne peut donc dessiner que des représentants du vecteur que l on symbolise par des flèches. Exemple : Les deux flèches ci-contre sont deux représentants du même vecteur. Définition 4 Si # AB est un représentant du vecteur # u, alors : la direction du vecteur est celle de ; le sens du vecteur est le sens de ; la norme du vecteur est la. Remarques : La norme d un vecteur # u se note # u. On a donc AB # =. # u = AA # = BB # =... est appelé le et est noté. Il n a ni direction, ni sens. Étant donné un vecteur # u, on appelle opposé de # u le vecteur qui a même direction et même norme que # u mais qui est de. On le note # u. Le vecteur est l opposé du vecteur # AB. Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

14 Définitions Vecteur Définition 3 Un vecteur est un objet mathématique entièrement carctérisé par : une direction, un sens, une longueur (ou norme). Remarque : Un vecteur n est pas un ensemble de points. On ne peut donc dessiner que des représentants du vecteur que l on symbolise par des flèches. Exemple : Les deux flèches ci-contre sont deux représentants du même vecteur. Définition 4 Si # AB est un représentant du vecteur # u, alors : la direction du vecteur est celle de la droite (AB) ; le sens du vecteur est le sens de ; la norme du vecteur est la. Remarques : La norme d un vecteur # u se note # u. On a donc AB # =. # u = AA # = BB # =... est appelé le et est noté. Il n a ni direction, ni sens. Étant donné un vecteur # u, on appelle opposé de # u le vecteur qui a même direction et même norme que # u mais qui est de. On le note # u. Le vecteur est l opposé du vecteur # AB. Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

15 Définitions Vecteur Définition 3 Un vecteur est un objet mathématique entièrement carctérisé par : une direction, un sens, une longueur (ou norme). Remarque : Un vecteur n est pas un ensemble de points. On ne peut donc dessiner que des représentants du vecteur que l on symbolise par des flèches. Exemple : Les deux flèches ci-contre sont deux représentants du même vecteur. Définition 4 Si # AB est un représentant du vecteur # u, alors : la direction du vecteur est celle de la droite (AB) ; le sens du vecteur est le sens de A vers B ; la norme du vecteur est la. Remarques : La norme d un vecteur # u se note # u. On a donc AB # =. # u = AA # = BB # =... est appelé le et est noté. Il n a ni direction, ni sens. Étant donné un vecteur # u, on appelle opposé de # u le vecteur qui a même direction et même norme que # u mais qui est de. On le note # u. Le vecteur est l opposé du vecteur # AB. Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

16 Définitions Vecteur Définition 3 Un vecteur est un objet mathématique entièrement carctérisé par : une direction, un sens, une longueur (ou norme). Remarque : Un vecteur n est pas un ensemble de points. On ne peut donc dessiner que des représentants du vecteur que l on symbolise par des flèches. Exemple : Les deux flèches ci-contre sont deux représentants du même vecteur. Définition 4 Si # AB est un représentant du vecteur # u, alors : la direction du vecteur est celle de la droite (AB) ; le sens du vecteur est le sens de A vers B ; la norme du vecteur est la longueur AB du segment [AB]. Remarques : La norme d un vecteur # u se note # u. On a donc AB # =. # u = AA # = BB # =... est appelé le et est noté. Il n a ni direction, ni sens. Étant donné un vecteur # u, on appelle opposé de # u le vecteur qui a même direction et même norme que # u mais qui est de. On le note # u. Le vecteur est l opposé du vecteur # AB. Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

17 Définitions Vecteur Définition 3 Un vecteur est un objet mathématique entièrement carctérisé par : une direction, un sens, une longueur (ou norme). Remarque : Un vecteur n est pas un ensemble de points. On ne peut donc dessiner que des représentants du vecteur que l on symbolise par des flèches. Exemple : Les deux flèches ci-contre sont deux représentants du même vecteur. Définition 4 Si # AB est un représentant du vecteur # u, alors : la direction du vecteur est celle de la droite (AB) ; le sens du vecteur est le sens de A vers B ; la norme du vecteur est la longueur AB du segment [AB]. Remarques : La norme d un vecteur # u se note # u. On a donc AB # = AB. # u = AA # = BB # =... est appelé le et est noté. Il n a ni direction, ni sens. Étant donné un vecteur # u, on appelle opposé de # u le vecteur qui a même direction et même norme que # u mais qui est de. On le note # u. Le vecteur est l opposé du vecteur # AB. Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

18 Définitions Vecteur Définition 3 Un vecteur est un objet mathématique entièrement carctérisé par : une direction, un sens, une longueur (ou norme). Remarque : Un vecteur n est pas un ensemble de points. On ne peut donc dessiner que des représentants du vecteur que l on symbolise par des flèches. Exemple : Les deux flèches ci-contre sont deux représentants du même vecteur. Définition 4 Si # AB est un représentant du vecteur # u, alors : la direction du vecteur est celle de la droite (AB) ; le sens du vecteur est le sens de A vers B ; la norme du vecteur est la longueur AB du segment [AB]. Remarques : La norme d un vecteur # u se note # u. On a donc AB # = AB. # u = AA # = BB # =... est appelé le vecteur nul et est noté. Il n a ni direction, ni sens. Étant donné un vecteur # u, on appelle opposé de # u le vecteur qui a même direction et même norme que # u mais qui est de. On le note # u. Le vecteur est l opposé du vecteur # AB. Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

19 Définitions Vecteur Définition 3 Un vecteur est un objet mathématique entièrement carctérisé par : une direction, un sens, une longueur (ou norme). Remarque : Un vecteur n est pas un ensemble de points. On ne peut donc dessiner que des représentants du vecteur que l on symbolise par des flèches. Exemple : Les deux flèches ci-contre sont deux représentants du même vecteur. Définition 4 Si # AB est un représentant du vecteur # u, alors : la direction du vecteur est celle de la droite (AB) ; le sens du vecteur est le sens de A vers B ; la norme du vecteur est la longueur AB du segment [AB]. Remarques : La norme d un vecteur # u se note # u. On a donc AB # = AB. # u = AA # = BB # =... est appelé le vecteur nul # et est noté 0. Il n a ni direction, ni sens. Étant donné un vecteur # u, on appelle opposé de # u le vecteur qui a même direction et même norme que # u mais qui est de. On le note # u. Le vecteur est l opposé du vecteur # AB. Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

20 Définitions Vecteur Définition 3 Un vecteur est un objet mathématique entièrement carctérisé par : une direction, un sens, une longueur (ou norme). Remarque : Un vecteur n est pas un ensemble de points. On ne peut donc dessiner que des représentants du vecteur que l on symbolise par des flèches. Exemple : Les deux flèches ci-contre sont deux représentants du même vecteur. Définition 4 Si # AB est un représentant du vecteur # u, alors : la direction du vecteur est celle de la droite (AB) ; le sens du vecteur est le sens de A vers B ; la norme du vecteur est la longueur AB du segment [AB]. Remarques : La norme d un vecteur # u se note # u. On a donc AB # = AB. # u = AA # = BB # =... est appelé le vecteur nul # et est noté 0. Il n a ni direction, ni sens. Étant donné un vecteur # u, on appelle opposé de # u le vecteur qui a même direction et même norme que # u mais qui est de sens opposé. On le note # u. Le vecteur l opposé du vecteur AB. # Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21 est

21 Définitions Vecteur Définition 3 Un vecteur est un objet mathématique entièrement carctérisé par : une direction, un sens, une longueur (ou norme). Remarque : Un vecteur n est pas un ensemble de points. On ne peut donc dessiner que des représentants du vecteur que l on symbolise par des flèches. Exemple : Les deux flèches ci-contre sont deux représentants du même vecteur. Définition 4 Si # AB est un représentant du vecteur # u, alors : la direction du vecteur est celle de la droite (AB) ; le sens du vecteur est le sens de A vers B ; la norme du vecteur est la longueur AB du segment [AB]. Remarques : La norme d un vecteur # u se note # u. On a donc AB # = AB. # u = AA # = BB # =... est appelé le vecteur nul # et est noté 0. Il n a ni direction, ni sens. Étant donné un vecteur # u, on appelle opposé de # u le vecteur qui a même direction et même norme que # u mais qui est de sens opposé. On le note # # u. Le vecteur BA est l opposé du vecteur AB. # Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

22 Propriétés Théorème 1 Si AB # = DC # alors ABCD est (éventuellement aplati). B B Si A C alors A C D D Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

23 Propriétés Théorème 1 Si AB # = DC # alors ABCD est un parallélogramme (éventuellement aplati). B B Si A C alors A C D D Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

24 Propriétés Théorème 2 Si ABCD est un parallélogramme (éventuellement aplati) alors et B B Si A C alors A C D D Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

25 Propriétés Théorème 2 Si ABCD est un parallélogramme (éventuellement aplati) alors # AB = # DC et B B Si A C alors A C D D Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

26 Propriétés Théorème 2 # Si ABCD est un parallélogramme (éventuellement aplati) alors AB = DC # # et AD = BC # B B Si A C alors A C D D Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

27 Propriétés Théorème 3 Si AB # = BC # alors. Si alors. Si A B C alors A B C Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

28 Propriétés Théorème 3 Si AB # = BC # alors B est le milieu de [AC]. Si alors. Si A B C alors A B C Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

29 Propriétés Théorème 3 Si AB # = BC # alors B est le milieu de [AC]. Si B est le milieu de [AC] alors. Si A B C alors A B C Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

30 Propriétés Théorème 3 Si AB # = BC # alors B est le milieu de [AC]. Si B est le milieu de [AC] # alors AB = # BC. Si A B C alors A B C Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

31 Somme de vecteurs Définition Définition 5 A, B et C étant trois points du plan, la translation de vecteur AB # suivie de la translation de vecteur BC # est. On écrit alors : AB+ # BC # = AC # (relation de ) et on dit que AC # est la de AB # et # BC. Construction de la somme de deux vecteurs : # v # u # w # v # w Relation de Chasles # u Règle du parallélogramme Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

32 Somme de vecteurs Définition Définition 5 A, B et C étant trois points du plan, la translation de vecteur AB # suivie de la translation de vecteur BC # est la translation de vecteur # AC. On écrit alors : AB+ # BC # = AC # (relation de ) et on dit que AC # est la de AB # et # BC. Construction de la somme de deux vecteurs : # v # u # w # v # w Relation de Chasles # u Règle du parallélogramme Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

33 Somme de vecteurs Définition Définition 5 A, B et C étant trois points du plan, la translation de vecteur AB # suivie de la translation de vecteur BC # est la translation de vecteur # AC. On écrit alors : AB+ # BC # = AC # (relation de Chasles) et on dit que AC # est la de AB # et # BC. Construction de la somme de deux vecteurs : # v # u # w # v # w Relation de Chasles # u Règle du parallélogramme Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

34 Somme de vecteurs Définition Définition 5 A, B et C étant trois points du plan, la translation de vecteur AB # suivie de la translation de vecteur BC # est la translation de vecteur # AC. On écrit alors : AB+ # BC # = AC # (relation de Chasles) et on dit que AC # est la somme de AB # et # BC. Construction de la somme de deux vecteurs : # v # u # w # v # w Relation de Chasles # u Règle du parallélogramme Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

35 Somme de vecteurs Propriétés Théorème 4 Quels que soient # u, # v et # w : # u + # v = (Commutativité) ( # u + # v ) + # w = (Associativité) # u + # 0 = (Élément neutre) # u + ( # u ) = (Opposé) Remarque : # u + ( # v ) se note # u # v. Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

36 Somme de vecteurs Propriétés Théorème 4 Quels que soient # u, # v et # w : # u + # v = # v + # u (Commutativité) ( # u + # v ) + # w = (Associativité) # u + # 0 = (Élément neutre) # u + ( # u ) = (Opposé) Remarque : # u + ( # v ) se note # u # v. Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

37 Somme de vecteurs Propriétés Théorème 4 Quels que soient # u, # v et # w : # u + # v = # v + # u (Commutativité) ( # u + # v ) + # w = # u + ( # v + # w) (Associativité) # u + # 0 = (Élément neutre) # u + ( # u ) = (Opposé) Remarque : # u + ( # v ) se note # u # v. Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

38 Somme de vecteurs Propriétés Théorème 4 Quels que soient # u, # v et # w : # u + # v = # v + # u (Commutativité) ( # u + # v ) + # w = # u + ( # v + # w) (Associativité) # u + # 0 = # u (Élément neutre) # u + ( # u ) = (Opposé) Remarque : # u + ( # v ) se note # u # v. Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

39 Somme de vecteurs Propriétés Théorème 4 Quels que soient # u, # v et # w : # u + # v = # v + # u (Commutativité) ( # u + # v ) + # w = # u + ( # v + # w) (Associativité) # u + # 0 = # u (Élément neutre) # u + ( # u ) = # 0 (Opposé) Remarque : # u + ( # v ) se note # u # v. Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

40 Somme de vecteurs Somme et milieu Théorème 5 Si BA # + BC # = # 0 alors. Si alors. Si A B C alors A B C Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

41 Somme de vecteurs Somme et milieu Théorème 5 Si BA # + BC # = # 0 alors B est le milieu de [AC]. Si alors. Si A B C alors A B C Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

42 Somme de vecteurs Somme et milieu Théorème 5 Si BA # + BC # = # 0 alors B est le milieu de [AC]. Si B est le milieu de [AC] alors. Si A B C alors A B C Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

43 Somme de vecteurs Somme et milieu Théorème 5 Si BA # + BC # = # 0 alors B est le milieu de [AC]. Si B est le milieu de [AC] # alors BA + BC # = # 0. Si A B C alors A B C Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

44 Produit d un vecteur par un réel Définition Soit # u un vecteur et k un nombre réel. On définit le vecteur k # u de la façon suivante : Définition 6 Si k = 0 ou # u = # 0 alors k # u = # 0 Si k 0 et # u # 0 alors k # u a la que # u, k # u est de même sens que # u si et de sens contraire si, k # u = # u # u 3 # u # 3 v # v 2 Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

45 Produit d un vecteur par un réel Définition Soit # u un vecteur et k un nombre réel. On définit le vecteur k # u de la façon suivante : Définition 6 Si k = 0 ou # u = # 0 alors k # u = # 0 Si k 0 et # u # 0 alors k # u a la même direction que # u, k # u est de même sens que # u si et de sens contraire si, k # u = # u # u 3 # u # 3 v # v 2 Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

46 Produit d un vecteur par un réel Définition Soit # u un vecteur et k un nombre réel. On définit le vecteur k # u de la façon suivante : Définition 6 Si k = 0 ou # u = # 0 alors k # u = # 0 Si k 0 et # u # 0 alors k # u a la même direction que # u, k # u est de même sens que # u si k > 0 et de sens contraire si, k # u = # u # u 3 # u # 3 v # v 2 Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

47 Produit d un vecteur par un réel Définition Soit # u un vecteur et k un nombre réel. On définit le vecteur k # u de la façon suivante : Définition 6 Si k = 0 ou # u = # 0 alors k # u = # 0 Si k 0 et # u # 0 alors k # u a la même direction que # u, k # u est de même sens que # u si k > 0 et de sens contraire si k < 0, k # u = # u # u 3 # u # 3 v # v 2 Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

48 Produit d un vecteur par un réel Définition Soit # u un vecteur et k un nombre réel. On définit le vecteur k # u de la façon suivante : Définition 6 Si k = 0 ou # u = # 0 alors k # u = # 0 Si k 0 et # u # 0 alors k # u a la même direction que # u, k # u est de même sens que # u si k > 0 et de sens contraire si k < 0, k # u = k # u # u 3 # u # 3 v # v 2 Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

49 Produit d un vecteur par un réel Colinéarité Définition 7 Deux vecteurs sont dits colinéaires s ils ont la même. Par convention, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur. Théorème 6 Deux vecteurs # u et # v sont colinéaires si et seulement s il existe un réel k tel que ou tel que. Exemple : # v # u # ı # j # u = 2 # v donc # u et # v. # ı et # j. Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

50 Produit d un vecteur par un réel Colinéarité Définition 7 Deux vecteurs sont dits colinéaires s ils ont la même direction. Par convention, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur. Théorème 6 Deux vecteurs # u et # v sont colinéaires si et seulement s il existe un réel k tel que ou tel que. Exemple : # v # u # ı # j # u = 2 # v donc # u et # v. # ı et # j. Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

51 Produit d un vecteur par un réel Colinéarité Définition 7 Deux vecteurs sont dits colinéaires s ils ont la même direction. Par convention, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur. Théorème 6 Deux vecteurs # u et # v sont colinéaires si et seulement s il existe un réel k tel que # u = k # v ou tel que. Exemple : # v # u # ı # j # u = 2 # v donc # u et # v. # ı et # j. Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

52 Produit d un vecteur par un réel Colinéarité Définition 7 Deux vecteurs sont dits colinéaires s ils ont la même direction. Par convention, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur. Théorème 6 Deux vecteurs # u et # v sont colinéaires si et seulement s il existe un réel k tel que # u = k # v ou tel que # v = k # u. Exemple : # v # u # ı # j # u = 2 # v donc # u et # v. # ı et # j. Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

53 Produit d un vecteur par un réel Colinéarité Définition 7 Deux vecteurs sont dits colinéaires s ils ont la même direction. Par convention, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur. Théorème 6 Deux vecteurs # u et # v sont colinéaires si et seulement s il existe un réel k tel que # u = k # v ou tel que # v = k # u. Exemple : # v # u # ı # j # u = 2 # v donc # u et # v sont colinéaires. # ı et # j. Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

54 Produit d un vecteur par un réel Colinéarité Définition 7 Deux vecteurs sont dits colinéaires s ils ont la même direction. Par convention, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur. Théorème 6 Deux vecteurs # u et # v sont colinéaires si et seulement s il existe un réel k tel que # u = k # v ou tel que # v = k # u. Exemple : # v # u # ı # j # u = 2 # v donc # u et # v sont colinéaires. # ı et # j ne sont pas colinéaires. Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

55 Produit d un vecteur par un réel Propriétés Théorème 7 Quels que soient les vecteurs # u et # v et les réels a et b : a( # u + # v ) = (a + b) # u = a(b # u ) = 1 # u = Exemples : Simplifier l écriture des vecteurs # u + 5 # u 3 # u et 2(3 # u 5 # v ) Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

56 Produit d un vecteur par un réel Propriétés Théorème 7 Quels que soient les vecteurs # u et # v et les réels a et b : a( # u + # v ) = a # u + a # v (a + b) # u = a(b # u ) = 1 # u = Exemples : Simplifier l écriture des vecteurs # u + 5 # u 3 # u et 2(3 # u 5 # v ) Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

57 Produit d un vecteur par un réel Propriétés Théorème 7 Quels que soient les vecteurs # u et # v et les réels a et b : a( # u + # v ) = a # u + a # v (a + b) # u = a # u + b # u a(b # u ) = 1 # u = Exemples : Simplifier l écriture des vecteurs # u + 5 # u 3 # u et 2(3 # u 5 # v ) Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

58 Produit d un vecteur par un réel Propriétés Théorème 7 Quels que soient les vecteurs # u et # v et les réels a et b : a( # u + # v ) = a # u + a # v (a + b) # u = a # u + b # u a(b # u ) = (ab) # u 1 # u = Exemples : Simplifier l écriture des vecteurs # u + 5 # u 3 # u et 2(3 # u 5 # v ) Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

59 Produit d un vecteur par un réel Propriétés Théorème 7 Quels que soient les vecteurs # u et # v et les réels a et b : a( # u + # v ) = a # u + a # v (a + b) # u = a # u + b # u a(b # u ) = (ab) # u 1 # u = # u Exemples : Simplifier l écriture des vecteurs # u + 5 # u 3 # u et 2(3 # u 5 # v ) Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

60 Produit d un vecteur par un réel Propriétés Théorème 7 Quels que soient les vecteurs # u et # v et les réels a et b : a( # u + # v ) = a # u + a # v (a + b) # u = a # u + b # u a(b # u ) = (ab) # u 1 # u = # u Exemples : Simplifier l écriture des vecteurs # u + 5 # u 3 # u et 2(3 # u 5 # v ) # u + 5 # u 3 # u = Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

61 Produit d un vecteur par un réel Propriétés Théorème 7 Quels que soient les vecteurs # u et # v et les réels a et b : a( # u + # v ) = a # u + a # v (a + b) # u = a # u + b # u a(b # u ) = (ab) # u 1 # u = # u Exemples : Simplifier l écriture des vecteurs # u + 5 # u 3 # u et 2(3 # u 5 # v ) # u + 5 # u 3 # u = ( ) # u = Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

62 Produit d un vecteur par un réel Propriétés Théorème 7 Quels que soient les vecteurs # u et # v et les réels a et b : a( # u + # v ) = a # u + a # v (a + b) # u = a # u + b # u a(b # u ) = (ab) # u 1 # u = # u Exemples : Simplifier l écriture des vecteurs # u + 5 # u 3 # u et 2(3 # u 5 # v ) # u + 5 # u 3 # u = ( ) # u = 3 # u Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

63 Produit d un vecteur par un réel Propriétés Théorème 7 Quels que soient les vecteurs # u et # v et les réels a et b : a( # u + # v ) = a # u + a # v (a + b) # u = a # u + b # u a(b # u ) = (ab) # u 1 # u = # u Exemples : Simplifier l écriture des vecteurs # u + 5 # u 3 # u et 2(3 # u 5 # v ) # u + 5 # u 3 # u = ( ) # u = 3 # u 2(3 # u 5 # v ) = Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

64 Produit d un vecteur par un réel Propriétés Théorème 7 Quels que soient les vecteurs # u et # v et les réels a et b : a( # u + # v ) = a # u + a # v (a + b) # u = a # u + b # u a(b # u ) = (ab) # u 1 # u = # u Exemples : Simplifier l écriture des vecteurs # u + 5 # u 3 # u et 2(3 # u 5 # v ) # u + 5 # u 3 # u = ( ) # u = 3 # u 2(3 # u 5 # v ) = 2(3 # u ) 2( 5 # v ) = Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

65 Produit d un vecteur par un réel Propriétés Théorème 7 Quels que soient les vecteurs # u et # v et les réels a et b : a( # u + # v ) = a # u + a # v (a + b) # u = a # u + b # u a(b # u ) = (ab) # u 1 # u = # u Exemples : Simplifier l écriture des vecteurs # u + 5 # u 3 # u et 2(3 # u 5 # v ) # u + 5 # u 3 # u = ( ) # u = 3 # u 2(3 # u 5 # v ) = 2(3 # u ) 2( 5 # v ) = 6 # u + 10 # v Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

66 Produit d un vecteur par un réel Milieu et produit Théorème 8 B est le milieu de [AC] si et seulement si. A B C si et seulement si A B C Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

67 Produit d un vecteur par un réel Milieu et produit Théorème 8 B est le milieu de [AC] si et seulement si # AC = 2 # AB. A B C si et seulement si A B C Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

68 Bases et repères Définition Soient O, I et J trois points non alignés du plan. On pose # ı = OI # et # j = OJ # Définition 8 On dit que le couple ( # ı ; # j ) est une du plan. On dit que ( O; # ı, # j ) est un du plan. Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

69 Bases et repères Définition Soient O, I et J trois points non alignés du plan. On pose # ı = OI # et # j = OJ # Définition 8 On dit que le couple ( # ı ; # j ) est une base du plan. On dit que ( O; # ı, # j ) est un du plan. Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

70 Bases et repères Définition Soient O, I et J trois points non alignés du plan. On pose # ı = OI # et # j = OJ # Définition 8 On dit que le couple ( # ı ; # j ) est une base du plan. On dit que ( O; # ı, # j ) est un repère du plan. Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

71 Bases et repères Coordonnées dans une base Étant donnée une base ( # ı ; # j ) : Définition 9 (Propriété et définition) Tout vecteur # u s écrit de façon unique en fonction de # ı et # j : # u = x # ı + y # j Le couple ( x ;y ) est le couple de de # u. x est de # u et y est de # u. On note # u ( x ;y ) ou # ( ) x u. y Exemple : # j 3 2 # # u j # u = 2 # ı # ı # j donc # u ( ) # ı Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

72 Bases et repères Coordonnées dans une base Étant donnée une base ( # ı ; # j ) : Définition 9 (Propriété et définition) Tout vecteur # u s écrit de façon unique en fonction de # ı et # j : # u = x # ı + y # j Le couple ( x ;y ) est le couple de coordonnées de # u. x est de # u. On note # u ( x ;y ) ou # ( ) x u. y de # u et y est Exemple : # j 3 2 # # u j # u = 2 # ı # ı # j donc # u ( ) # ı Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

73 Bases et repères Coordonnées dans une base Étant donnée une base ( # ı ; # j ) : Définition 9 (Propriété et définition) Tout vecteur # u s écrit de façon unique en fonction de # ı et # j : # u = x # ı + y # j Le couple ( x ;y ) est le couple de coordonnées de # u. x est l abscisse de # u et y est de # u. On note # u ( x ;y ) ou # ( ) x u. y Exemple : # j 3 2 # # u j # u = 2 # ı # ı # j donc # u ( ) # ı Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

74 Bases et repères Coordonnées dans une base Étant donnée une base ( # ı ; # j ) : Définition 9 (Propriété et définition) Tout vecteur # u s écrit de façon unique en fonction de # ı et # j : # u = x # ı + y # j Le couple ( x ;y ) est le couple de coordonnées de # u. x est l abscisse de # u et y est l ordonnée de # u. On note # u ( x ;y ) ou # ( ) x u. y Exemple : # j 3 2 # # u j # u = 2 # ı # ı # j donc # u ( ) # ı Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

75 Bases et repères Coordonnées dans une base Théorème 9 Quels que soient les vecteurs # u et # v et le réel k : Si # ( ) x u et # ( x ) v y y alors # u + # ( ) v et k # ( ) u Exemple : Dans une base ( # ı ; # j ), on considère les deux vecteurs # u Déterminer les coordonnées de # u + # v, de 3 # v. ( ) 2 et # v 5 ( ) 4. 1 Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

76 Bases et repères Coordonnées dans une base Théorème 9 Quels que soient les vecteurs # u et # v et le réel k : Si # ( ) x u et # ( x ) v y y alors # u + # ( x + x ) v et k # ( ) u Exemple : Dans une base ( # ı ; # j ), on considère les deux vecteurs # u Déterminer les coordonnées de # u + # v, de 3 # v. ( ) 2 et # v 5 ( ) 4. 1 Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

77 Bases et repères Coordonnées dans une base Théorème 9 Quels que soient les vecteurs # u et # v et le réel k : Si # ( ) x u et # ( x ) v y y alors # u + # ( x + x ) v y + y et k # ( ) u Exemple : Dans une base ( # ı ; # j ), on considère les deux vecteurs # u Déterminer les coordonnées de # u + # v, de 3 # v. ( ) 2 et # v 5 ( ) 4. 1 Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

78 Bases et repères Coordonnées dans une base Théorème 9 Quels que soient les vecteurs # u et # v et le réel k : Si # ( ) x u et # ( x ) v y y alors # u + # ( x + x ) v y + y et k # ( ) kx u Exemple : Dans une base ( # ı ; # j ), on considère les deux vecteurs # u Déterminer les coordonnées de # u + # v, de 3 # v. ( ) 2 et # v 5 ( ) 4. 1 Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

79 Bases et repères Coordonnées dans une base Théorème 9 Quels que soient les vecteurs # u et # v et le réel k : Si # ( ) x u et # ( x ) v y y alors # u + # ( x + x ) v y + y et k # ( ) kx u ky Exemple : Dans une base ( # ı ; # j ), on considère les deux vecteurs # u Déterminer les coordonnées de # u + # v, de 3 # v. ( ) 2 et # v 5 ( ) 4. 1 Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

80 Bases et repères Coordonnées dans une base Théorème 9 Quels que soient les vecteurs # u et # v et le réel k : Si # ( ) x u et # ( x ) v y y alors # u + # ( x + x ) v y + y et k # ( ) kx u ky Exemple : Dans une base ( # ı ; # j ), on considère les deux vecteurs # u Déterminer les coordonnées de # u + # v, de 3 # v. ( ) # u + # v 5 + ( 1) donc ( ) 2 et # v 5 ( ) 4. 1 Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

81 Bases et repères Coordonnées dans une base Théorème 9 Quels que soient les vecteurs # u et # v et le réel k : Si # ( ) x u et # ( x ) v y y alors # u + # ( x + x ) v y + y et k # ( ) kx u ky Exemple : Dans une base ( # ı ; # j ), on considère les deux vecteurs # u Déterminer les coordonnées de # u + # v, de 3 # v. ( ) # u + # v 5 + ( 1) donc # u + # v ( ) 6 4 ( ) 2 et # v 5 ( ) 4. 1 Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

82 Bases et repères Coordonnées dans une base Théorème 9 Quels que soient les vecteurs # u et # v et le réel k : Si # ( ) x u et # ( x ) v y y alors # u + # ( x + x ) v y + y et k # ( ) kx u ky Exemple : Dans une base ( # ı ; # j ), on considère les deux vecteurs # u Déterminer les coordonnées de # u + # v, de 3 # v. ( ) # u + # v 5 + ( 1) 3 # v donc # u + # v ( ) 3 4 donc 3 ( 1) ( ) 6 4 ( ) 2 et # v 5 ( ) 4. 1 Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

83 Bases et repères Coordonnées dans une base Théorème 9 Quels que soient les vecteurs # u et # v et le réel k : Si # ( ) x u et # ( x ) v y y alors # u + # ( x + x ) v y + y et k # ( ) kx u ky Exemple : Dans une base ( # ı ; # j ), on considère les deux vecteurs # u Déterminer les coordonnées de # u + # v, de 3 # v. ( ) # u + # v 5 + ( 1) 3 # v donc # u + # v ( ) 3 4 donc 3 # v 3 ( 1) ( ) 6 4 ( ) 12 3 ( ) 2 et # v 5 ( ) 4. 1 Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

84 Bases et repères Coordonnées dans un repère Étant donné un repère ( O; # ı, # j ) : Théorème 10 Si A ( ( ) ) ( ) # x A ;y A, B xb ;y B alors AB. Exemple : Dans un repère ( O; # ı, # j ), on considère les points A(3; 2) et B( 1;2). Déterminer les coordonnées du vecteur # AB. Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

85 Bases et repères Coordonnées dans un repère Étant donné un repère ( O; # ı, # j ) : Théorème 10 Si A ( ( ) ) ( ) # xb x x A ;y A, B xb ;y B alors AB A. Exemple : Dans un repère ( O; # ı, # j ), on considère les points A(3; 2) et B( 1;2). Déterminer les coordonnées du vecteur # AB. Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

86 Bases et repères Coordonnées dans un repère Étant donné un repère ( O; # ı, # j ) : Théorème 10 Si A ( ( ) ) ( ) # xb x x A ;y A, B xb ;y B alors AB A. y B y A Exemple : Dans un repère ( O; # ı, # j ), on considère les points A(3; 2) et B( 1;2). Déterminer les coordonnées du vecteur # AB. Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

87 Bases et repères Coordonnées dans un repère Étant donné un repère ( O; # ı, # j ) : Théorème 10 Si A ( ( ) ) ( ) # xb x x A ;y A, B xb ;y B alors AB A. y B y A Exemple : Dans un repère ( O; # ı, # j ), on considère les points A(3; 2) et B( 1;2). Déterminer les coordonnées du vecteur # AB. # AB ( ) ( 2) Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

88 Bases et repères Coordonnées dans un repère Étant donné un repère ( O; # ı, # j ) : Théorème 10 Si A ( ( ) ) ( ) # xb x x A ;y A, B xb ;y B alors AB A. y B y A Exemple : Dans un repère ( O; # ı, # j ), on considère les points A(3; 2) et B( 1;2). Déterminer les coordonnées du vecteur # AB. # AB ( ) ( 2) donc # AB ( ) 4 4 Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

89 Colinéarité Caractérisation de la colinéarité Soit ( # ı ; # j ) une base du plan. Théorème 11 Deux vecteurs # u et # v sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont. Théorème ( ) 12 # x u et # ( x ) v y y sont colinéaires si et seulement si. Remarque : La quantité xy x y est appelée det( # u ; # v ). Exemple : Les vecteurs # u ( ) 6 et # v 9 ( ) 8 sont-ils colinéaires? 12 des vecteurs # u et # v. On le note Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

90 Colinéarité Caractérisation de la colinéarité Soit ( # ı ; # j ) une base du plan. Théorème 11 Deux vecteurs # u et # v sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles. Théorème ( ) 12 # x u et # ( x ) v y y sont colinéaires si et seulement si. Remarque : La quantité xy x y est appelée det( # u ; # v ). Exemple : Les vecteurs # u ( ) 6 et # v 9 ( ) 8 sont-ils colinéaires? 12 des vecteurs # u et # v. On le note Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

91 Colinéarité Caractérisation de la colinéarité Soit ( # ı ; # j ) une base du plan. Théorème 11 Deux vecteurs # u et # v sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles. Théorème ( ) 12 # x u et # ( x ) v y y sont colinéaires si et seulement si xy x y = 0. Remarque : La quantité xy x y est appelée det( # u ; # v ). Exemple : Les vecteurs # u ( ) 6 et # v 9 ( ) 8 sont-ils colinéaires? 12 des vecteurs # u et # v. On le note Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

92 Colinéarité Caractérisation de la colinéarité Soit ( # ı ; # j ) une base du plan. Théorème 11 Deux vecteurs # u et # v sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles. Théorème ( ) 12 # x u et # ( x ) v y y sont colinéaires si et seulement si xy x y = 0. Remarque : La quantité xy x y est appelée déterminant des vecteurs # u et # v. On le note det( # u ; # v ). Exemple : Les vecteurs # u ( ) 6 et # v 9 ( ) 8 sont-ils colinéaires? 12 Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

93 Colinéarité Caractérisation de la colinéarité Soit ( # ı ; # j ) une base du plan. Théorème 11 Deux vecteurs # u et # v sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles. Théorème ( ) 12 # x u et # ( x ) v y y sont colinéaires si et seulement si xy x y = 0. Remarque : La quantité xy x y est appelée déterminant des vecteurs # u et # v. On le note det( # u ; # v ). Exemple : Les vecteurs # u ( ) 6 et # v 9 det( # u ; # v ) = ( ) 8 sont-ils colinéaires? 12 Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

94 Colinéarité Caractérisation de la colinéarité Soit ( # ı ; # j ) une base du plan. Théorème 11 Deux vecteurs # u et # v sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles. Théorème ( ) 12 # x u et # ( x ) v y y sont colinéaires si et seulement si xy x y = 0. Remarque : La quantité xy x y est appelée déterminant des vecteurs # u et # v. On le note det( # u ; # v ). Exemple : Les vecteurs # u ( ) 6 et # v 9 ( ) 8 sont-ils colinéaires? 12 det( # u ; # v ) = 6 12 ( 9) ( 8) = Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

95 Colinéarité Caractérisation de la colinéarité Soit ( # ı ; # j ) une base du plan. Théorème 11 Deux vecteurs # u et # v sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles. Théorème ( ) 12 # x u et # ( x ) v y y sont colinéaires si et seulement si xy x y = 0. Remarque : La quantité xy x y est appelée déterminant des vecteurs # u et # v. On le note det( # u ; # v ). Exemple : Les vecteurs # u ( ) 6 et # v 9 ( ) 8 sont-ils colinéaires? 12 det( # u ; # v ) = 6 12 ( 9) ( 8) = = 0 Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

96 Colinéarité Caractérisation de la colinéarité Soit ( # ı ; # j ) une base du plan. Théorème 11 Deux vecteurs # u et # v sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles. Théorème ( ) 12 # x u et # ( x ) v y y sont colinéaires si et seulement si xy x y = 0. Remarque : La quantité xy x y est appelée déterminant des vecteurs # u et # v. On le note det( # u ; # v ). Exemple : Les vecteurs # u ( ) 6 et # v 9 ( ) 8 sont-ils colinéaires? 12 det( # u ; # v ) = 6 12 ( 9) ( 8) = = 0 Les vecteurs # u et # v sont donc colinéaires. Les vecteurs # w ( ) 2 et # z 6 ( ) 3 sont-ils colinéaires? 7 Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

97 Colinéarité Caractérisation de la colinéarité Soit ( # ı ; # j ) une base du plan. Théorème 11 Deux vecteurs # u et # v sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles. Théorème ( ) 12 # x u et # ( x ) v y y sont colinéaires si et seulement si xy x y = 0. Remarque : La quantité xy x y est appelée déterminant des vecteurs # u et # v. On le note det( # u ; # v ). Exemple : Les vecteurs # u ( ) 6 et # v 9 ( ) 8 sont-ils colinéaires? 12 det( # u ; # v ) = 6 12 ( 9) ( 8) = = 0 Les vecteurs # u et # v sont donc colinéaires. Les vecteurs # w ( ) 2 et # z 6 det( # w; # z ) = ( ) 3 sont-ils colinéaires? 7 Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

98 Colinéarité Caractérisation de la colinéarité Soit ( # ı ; # j ) une base du plan. Théorème 11 Deux vecteurs # u et # v sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles. Théorème ( ) 12 # x u et # ( x ) v y y sont colinéaires si et seulement si xy x y = 0. Remarque : La quantité xy x y est appelée déterminant des vecteurs # u et # v. On le note det( # u ; # v ). Exemple : Les vecteurs # u ( ) 6 et # v 9 ( ) 8 sont-ils colinéaires? 12 det( # u ; # v ) = 6 12 ( 9) ( 8) = = 0 Les vecteurs # u et # v sont donc colinéaires. Les vecteurs # w ( ) 2 et # z 6 ( ) 3 sont-ils colinéaires? 7 det( # w; # z ) = 2 7 ( 6) ( 3) = Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

99 Colinéarité Caractérisation de la colinéarité Soit ( # ı ; # j ) une base du plan. Théorème 11 Deux vecteurs # u et # v sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles. Théorème ( ) 12 # x u et # ( x ) v y y sont colinéaires si et seulement si xy x y = 0. Remarque : La quantité xy x y est appelée déterminant des vecteurs # u et # v. On le note det( # u ; # v ). Exemple : Les vecteurs # u ( ) 6 et # v 9 ( ) 8 sont-ils colinéaires? 12 det( # u ; # v ) = 6 12 ( 9) ( 8) = = 0 Les vecteurs # u et # v sont donc colinéaires. Les vecteurs # w ( ) 2 et # z 6 ( ) 3 sont-ils colinéaires? 7 det( # w; # z ) = 2 7 ( 6) ( 3) = = 4 0 Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

100 Colinéarité Caractérisation de la colinéarité Soit ( # ı ; # j ) une base du plan. Théorème 11 Deux vecteurs # u et # v sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles. Théorème ( ) 12 # x u et # ( x ) v y y sont colinéaires si et seulement si xy x y = 0. Remarque : La quantité xy x y est appelée déterminant des vecteurs # u et # v. On le note det( # u ; # v ). Exemple : Les vecteurs # u ( ) 6 et # v 9 ( ) 8 sont-ils colinéaires? 12 det( # u ; # v ) = 6 12 ( 9) ( 8) = = 0 Les vecteurs # u et # v sont donc colinéaires. Les vecteurs # w ( ) 2 et # z 6 ( ) 3 sont-ils colinéaires? 7 det( # w; # z ) = 2 7 ( 6) ( 3) = = 4 0 Les vecteurs # w et # z ne sont donc pas colinéaires. Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

101 Colinéarité Applications Théorème 13 Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB # et CD # sont. Exemple : Dans un repère ( O; # ı, # j ), on a A(4;2), ( B 3; 7 ) (, C 1; 5 ) ( et D 1; 1 ) Démontrer que ABCD est un trapèze. C B A O # j # ı D Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

102 Colinéarité Applications Théorème 13 Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB # et CD # sont colinéaires. Exemple : Dans un repère ( O; # ı, # j ), on a A(4;2), ( B 3; 7 ) (, C 1; 5 ) ( et D 1; 1 ) Démontrer que ABCD est un trapèze. C B A O # j # ı D Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

103 Colinéarité Applications Théorème 13 Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB # et CD # sont colinéaires. Exemple : Dans un repère ( O; # ı, # j ), on a A(4;2), ( B 3; 7 ) (, C 1; 5 ) ( et D 1; 1 ) Démontrer que ABCD est un trapèze. C B A ( ) # 1 4 AD O # j # ı D Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

104 Colinéarité Applications Théorème 13 Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB # et CD # sont colinéaires. Exemple : Dans un repère ( O; # ı, # j ), on a A(4;2), ( B 3; 7 ) (, C 1; 5 ) ( et D 1; 1 ) Démontrer que ABCD est un trapèze. C B A ( ) ( ) # 1 4 AD donc AD # O # j # ı D Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

105 Colinéarité Applications Théorème 13 Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB # et CD # sont colinéaires. Exemple : Dans un repère ( O; # ı, # j ), on a A(4;2), ( B 3; 7 ) (, C 1; 5 ) ( et D 1; 1 ) Démontrer que ABCD est un trapèze. C B A ( ) ( # 1 4 AD donc AD # ) et # BC ( # j O ) # ı D Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

106 Colinéarité Applications Théorème 13 Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB # et CD # sont colinéaires. Exemple : Dans un repère ( O; # ı, # j ), on a A(4;2), ( B 3; 7 ) (, C 1; 5 ) ( et D 1; 1 ) Démontrer que ABCD est un trapèze. C B A ( ) ( # 1 4 AD donc AD # ) et # BC ( # j O ) # ı D donc # BC ( ) 2 1 Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

107 Colinéarité Applications Théorème 13 Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB # et CD # sont colinéaires. Exemple : Dans un repère ( O; # ı, # j ), on a A(4;2), ( B 3; 7 ) (, C 1; 5 ) ( et D 1; 1 ) Démontrer que ABCD est un trapèze. C B A ( ) ( # 1 4 AD donc AD # det( AD; # BC) # = ) et # BC ( # j O ) # ı D donc # BC ( ) 2 1 Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

108 Colinéarité Applications Théorème 13 Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB # et CD # sont colinéaires. Exemple : Dans un repère ( O; # ı, # j ), on a A(4;2), ( B 3; 7 ) (, C 1; 5 ) ( et D 1; 1 ) Démontrer que ABCD est un trapèze. C B A ( ) ( # 1 4 AD donc AD # ) et # BC det( # AD; # BC) = 3 ( 1) ( 2) ( ( # j O ) ) = # ı D donc # BC ( ) 2 1 Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

109 Colinéarité Applications Théorème 13 Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB # et CD # sont colinéaires. Exemple : Dans un repère ( O; # ı, # j ), on a A(4;2), ( B 3; 7 ) (, C 1; 5 ) ( et D 1; 1 ) Démontrer que ABCD est un trapèze. C B A ( ) ( # 1 4 AD donc AD # ) et # BC det( # AD; # BC) = 3 ( 1) ( 2) ( ( # j O ) # ı D donc # BC ) = 3 3 = 0. ( ) 2 1 Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

110 Colinéarité Applications Théorème 13 Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB # et CD # sont colinéaires. Exemple : Dans un repère ( O; # ı, # j ), on a A(4;2), ( B 3; 7 ) (, C 1; 5 ) ( et D 1; 1 ) Démontrer que ABCD est un trapèze. C B A ( ) ( # 1 4 AD donc AD # ) et # BC det( # AD; # BC) = 3 ( 1) ( 2) ( ( # j O ) # ı D donc # BC ) = 3 3 = 0. Les vecteurs # AD et # BC sont donc colinéaires. ( ) 2 1 Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

111 Colinéarité Applications Théorème 13 Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB # et CD # sont colinéaires. Exemple : Dans un repère ( O; # ı, # j ), on a A(4;2), ( B 3; 7 ) (, C 1; 5 ) ( et D 1; 1 ) Démontrer que ABCD est un trapèze. C B A ( ) ( ) # 1 4 AD donc AD # 3 3 et BC # 2 det( AD; # BC) # = 3 ( 1) ( 2) Les vecteurs AD # et # ( # j O ) # ı D donc # BC 2 7 ( BC sont donc colinéaires. Ainsi les droites (AD) et (BC) sont parallèles ) = 3 3 = 0. ( ) 2 1 Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21

112 Colinéarité Applications Théorème 13 Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB # et CD # sont colinéaires. Exemple : Dans un repère ( O; # ı, # j ), on a A(4;2), ( B 3; 7 ) (, C 1; 5 ) ( et D 1; 1 ) Démontrer que ABCD est un trapèze. C B A ( ) ( ) # 1 4 AD donc AD # 3 3 et BC # 2 det( AD; # BC) # = 3 ( 1) ( 2) Les vecteurs AD # et # ( # j O ) # ı D donc # BC 2 7 ( BC sont donc colinéaires. ) = 3 3 = 0. ( ) 2 1 Ainsi les droites (AD) et (BC) sont parallèles donc ABCD est un trapèze. Seconde 5 (L.F.B.) Vecteurs du plan 2010/ / 21