MEEF 1 UE Géométrie Espace Planche d'exercices

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1 Exercice 1 : SAB est une pyramide de sommet S et dont la base AB est un carré dont les côtés mesurent 6 cm. Les faces SA et SAB sont des triangles rectangles isocèles en A. I est le milieu du segment [SA]. 1. Quelle est la nature du triangle SA? Justifier. 2. lasser chacune des arêtes de cette pyramide selon leur longueur (on ne demande pas de justifier ce classement). Indiquer la longueur correspondant à chacune de ces classes. 3. Montrer que les triangles S et SB sont rectangles. 4. Représenter la pyramide SAB en perspective cavalière en plaçant la face SA dans le plan frontal. 5. onstruire le patron de la pyramide SAB à l'échelle 1/2 pour lequel les faces triangulaires ont toutes un côté en commun avec la base carrée AB de la pyramide. 6. On veut construire sur la pyramide SAB le plus court chemin allant de I à et traversant l arête [A] ; on appelle M le point où ce chemin coupe l arête [A]. alculer la longueur AM. Exercice 2 : On s'intéresse à la fabrication d'emballages ayant la forme d un parallélépipède rectangle, appelés «bricks». On néglige l épaisseur de la matière utilisée pour ces emballages. 1. Une des faces rectangulaires d un «brick» de un litre de lait a. pour dimensions 19 cm et 9,4 cm. alculer la troisième dimension du «brick» et en donner une. valeur approchée par excès au millimètre près. 2. a. La hauteur d un «brick» à base carrée de un litre de jus d'orange mesure 20 cm. alculer la longueur du côté du carré. En donner une valeur approchée par excès au millimètre près. b. On souhaite modifier la hauteur du brick précédent pour que, en conservant la même base, il contienne 20 % de jus d orange en plus. éterminer la nouvelle hauteur. 3. On considère les «bricks» de volume 1dm3 dont les mesures en centimètre des arêtes sont des entiers supérieurs à 3. éterminer toutes les possibilités. Justifier. 4. essiner deux patrons différents d'un même parallélépipède rectangle, dont les trois dimensions sont distinctes, en indiquant clairement par un codage les côtés de même longueur. Exercice 3 : Un ballon flottait sur un lac lorsque celui-ci gela. Sans rompre la glace, on a ôté le ballon qui a laissé un trou de 24 cm de diamètre et de 8 cm de profondeur. Quel est le rayon du ballon? 1/7

2 Exercice 4 : d après RPE Toulouse 1997 Question I : AB est un triangle équilatéral dont H, I et J sont les pieds des hauteurs issues respectivement des sommets A, B et. es hauteurs se coupent en K. 1. Que représente le point K pour le triangle AB? Préciser en la justifiant la position du point K sur [AH]. 2. Si a est la mesure du côté [AB], démontrer que AK= a 3. Question II : AB est un tétraèdre. Le triangle AB de la question I est l une de ses faces, on admet que (K) est perpendiculaire au plan AB et que A = a. 1. a) émontrer que (K) est perpendiculaire aux droites (AK), (BK) et (K). b) émontrer que K= a 2 3. A alculer B et. Justifier. 2. essiner un patron du tétraèdre AB en prenant a = 6 cm. 3. alculer l aire totale des faces du tétraèdre en fonction de a. 4. émontrer que le volume du tétraèdre est égal à a3 2 cm I J K B H Exercice 5: 'après RPE aen Nous disposons d'un cône dont la base est un disque de rayon 8cm, de hauteur 25cm. alculer son volume en cm 3 (on donnera une valeur approchée au cm 3 près), puis sa capacité en litre. 2. Nous tronquons ce cône à une hauteur A de 20cm à partir de la base. Voici un schéma de ce cône : S S 25 cm 20 cm A B A B alculer le rayon du petit cercle. 3. alculer le volume du tronc de cône restant. e volume est-il proportionnel à la hauteur A du tronc de cône? A B Exercice 7 : d après RPE Limoges 1998 E F 2/7

3 1. omment reconnaître que la figure ci-dessus, composée de quatre triangles, ne peut pas être le patron d'un prisme? 2. On admettra qu un choix judicieux des points E et F sur les segments [B] et [] permet d affirmer qu il s agit alors d un patron d une pyramide et on considérera que ce patron est constitué à partir d un carré AB dont les côtés mesurent 4 cm. a) Où doivent être placés les points E et F? Justifier b) Établir quelle est la nature précise de chacune des quatre faces de la pyramide. 3. Appelons K le sommet du solide où se rejoignent les points B, et du patron. On obtient ainsi une pyramide AEFK. a) Représenter un cube en perspective cavalière et y tracer une représentation de la pyramide. b) Tracer un autre patron de la pyramide à la règle non gradué et au compas sur une feuille blanche non quadrillée. c) alculer le volume de la pyramide (arrondir à 1 cm 3 près). d) On considère que cette pyramide est la maquette d un objet précieux dont chaque longueur est multipliée par 20, quel est le volume exact, en litre, de cet objet précieux? Exercice 8 : d après RPE Aix-Marseille 2004 On considère le cube ABEFGH ci-contre, de côté 4 cm. I, J, K et L sont les milieux respectifs de [B], [EH], [A] et [FG]. On demandera de justifier toutes vos réponses 1) Le point appartient-il au segment [IG]? 2) a) Justifier que A = H = HF = FA. b) Peut-on en déduire que AHF est un losange? 3) émontrer que les quadrilatères AIK, KJG et AIGJ sont des parallélogrammes. 4) émontrer que AIGJ est un losange. 5) Le quadrilatère AIGJ est-il un carré? 6) onstruire, à la règle et au compas, le losange AIGJ en vraie grandeur en laissant visibles tous les traits de construction. La description de la procédure de construction n'est pas demandée. Exercice 9 : Les questions 2 et 3 sont indépendantes. SAB est une pyramide à base rectangulaire telle que: AB = 8 cm, A = 6 cm; 3/7

4 les arêtes latérales ont pour longueur 13 cm; la hauteur coupe la base au point I centre du rectangle AB. 1. a) Faire un schéma en perspective de cette pyramide. b) alculer SI. c) alculer le volume de cette pyramide. 2. On coupe cette pyramide par le plan parallèle à la base et passant par le milieu A' de [SA]. On note A'B''' la section obtenue (B' [BS], ' [S], ' [S]). a) éterminer la nature et les dimensions de la section A'B'''. b) alculer le volume de la pyramide SA'B'''. c) onstruire (règle graduée, équerre, compas) à l'échelle 1 2 ABA'B'''. un patron du tronc de pyramide 3. On admet que les sommets S,A,B,, de la pyramide initiale appartiennent à une sphère dont le centre O est situé sur [SI] et on note r le rayon de cette sphère. a) Exprimer OI en fonction de r. b) émontrer que 12 r 2 =r En déduire r. c) alculer le volume de la sphère et en donner une valeur approchée au cm 3. d) alculer le pourcentage du volume occupé par la pyramide SAB dans cette sphère. Exercice 10 : Questions portant sur les extraits des deux manuels ci-après. 1. omparer les deux façons de présenter aux élèves les différents solides dans les deux extraits (encadré en noir rajouté par nos soins dans les annexes 2 et 3). 2. ans le programme actuellement en vigueur au cycle 3 (progression, janvier 2012), il est écrit à la rubrique ans l'espace : Reconnaître, décrire et nommer : un cube, un pavé droit. Utiliser en situation le vocabulaire : face, arête, sommet omparer les activités proposées dans les deux extraits pour faire acquérir cette connaissance aux élèves. 3. ans ces deux extraits de manuel, il y a deux types de représentations de solides. Quels sont leurs avantages et inconvénients pour donner du sens à certains mots génériques (préciser ces mots)? Question portant sur la page 88 de Pour comprendre les maths (annexe 2) 4. Piste de recherche : «construis la pyramide à l aide de son patron» Le matériel est fourni en page B du manuel. Il s agit du patron ci-contre : La tâche demandée aux élèves vous parait-elle pertinente? Que proposeriez-vous pour aider les élèves à mettre en rapport représentation dans l espace et représentation plane de la pyramide? Question portant sur la question 4 de la page 146 de Euro maths (annexe 3) 5. a) Quels critères développeriez-vous avec les élèves pour définir un «portrait» réussi? b) En référence aux solides numérotés de 1 à 10, donner un exemple de portrait ambigu qui pourrait être proposé par un élève et un exemple de portrait qui permette de trouver la solution? 4/7

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7 Exercice 11 : Matériel : un lot de 8 solides disposés devant chaque groupe d élèves, plus un lot pour l enseignant. Les solides peuvent être de tailles et de couleurs différentes. haque solide est désigné par une lettre écrite dessus. escription : deux élèves sont au tableau, devant eux se trouve un solide qui ne peut être vu par les autres. Les autres élèves sont par groupe de 4. Le solide noté Q est choisi pour le premier tour. onsigne : «vous devez poser des questions aux deux élèves qui sont au tableau pour deviner quel solide est devant eux. e solide se trouve forcément parmi ceux que vous avez sur votre table. Le groupe qui a le solide caché ne peut répondre que par oui ou par non. abord vous devez vous mettre d accord sur les questions que le groupe va poser et les écrire sur la fiche. haque groupe posera ensuite sa question jusqu à ce qu un groupe ait trouvé, à coup sûr, de quel solide il s agit. Il est interdit de poser une question sur la lettre notée sur le solide.» éroulement : chaque groupe pose une question, elle est notée au tableau par l enseignant ainsi que la réponse. A chaque tour, l enseignant demande aux élèves s ils sont certains du solide à trouver. En cas de doute d un ou plusieurs groupes, on refait un tour. Questions: 1. Quelles sont les compétences visées? 2. A quel niveau proposeriez-vous cette activité? Justifier. 3. iter les difficultés envisageables pour les élèves. (du point de vue des «questionneurs» et du point de vue des «répondeurs» 4. Quelles seraient les variables pouvant influencer les situations d apprentissage? 7/7