Glossaire de propriétés pour la démonstration

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1 Glossaire de propriétés pour la démonstration non exhaustif niveau sixième niveau cinquième niveau quatrième niveau troisième Démontrer qu'un point appartient à la médiatrice d'un segment ❶ propriété : si un point est équidistant des extrémités d'un segment alors il appartient à la médiatrice de ce segment Démontrer qu'un point est le milieu d'un segment ❶ Définition : le milieu d'un segment est le point de ce segment qui est équidistant de ses extrémités. ❷ définition : deux points A et B sont symétriques par rapport à un point O si et seulement si O est le milieu du segment [AB] ❸ Définition : la médiatrice d'un segment est la perpendiculaire à ce segment en son milieu. ❹ définition : dans un triangle, une médiane est un droite qui passe par un sommet et le milieu du côté opposé. ❺ propriété : un parallélogramme est un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu. ❻ propriété : si un segment est un diamètre du cercle alors le centre du cercle est le milieu de ce segment. ❼ propriété : dans un triangle rectangle, le centre du cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse. ❽ théorème : dans un triangle, si une droite passe par le milieu d'un côté et est parallèle à un second alors elle passe par le milieu du troisième côté. Démontrer que trois points sont alignés. ❶ propriété : si trois points A, B, C forment un angle ABC plat alors B appartient à [AC]. ❷ propriété : si trois points A, B, C forment un angle ABC nul alors C appartient à [BC). ❸ propriété : si deux droites parallèles ont un point commun alors elles sont confondues. ❹ définition : un point est le milieu d'un segment s'il appartient à ce segment et qu'il est situé à égale distance des extrémités. ❺ propriété : (inégalité triangulaire) soient A, B, C trois points. Si AB + BC = AC alors B appartient à [AC] ❻ propriété : la symétrie axiale conserve l'alignement ❼ propriété : la symétrie centrale conserve l'alignement Démontrer que deux droites sont perpendiculaires ❶ propriété : si deux droites sont parallèles alors toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre. ❷ définition : la médiatrice d'un segment est la perpendiculaire à ce segment en son milieu. ❸ définition : dans un triangle, une hauteur est une droite qui passe par un sommet et qui est

2 perpendiculaire au côté opposé. ❹ définition : un triangle rectangle est un triangle qui a deux côtés perpendiculaires. ❺ définition : un rectangle est un quadrilatère dont les côtés consécutifs sont perpendiculaires. ❻ propriété : un losange est un quadrilatère dont les diagonales sont perpendiculaires en leur milieu. ❼ définition : la tangente en H à un cercle de centre O est la perpendiculaire à (OH) passant par H. Démontrer que deux droites sont parallèles ❶ propriété : si deux droites sont parallèles alors toute parallèle à l'une est parallèle à l'autre. ❷ propriété : si deux droites sont perpendiculaires à la même droite alors elles sont parallèles. ❸ propriété : si deux droites sont coupées par une sécante en formant des angles alternes internes de même mesure alors elles sont parallèles. ❹ propriété : si deux droites sont coupées par une sécante en formant des angles correspondants de même mesure alors elles sont parallèles. ❺ définition : un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles. ❻ définition : si deux droites sont symétriques par rapport à un point alors elles sont parallèles. ❼ propriété : la symétrie centrale conserve le parallélisme. ❽ propriété : la symétrie axiale conserve le parallélisme. ❾ théorème : (droite des milieux) dans un triangle, si une droites passent par les milieux de deux côtés alors elle est parallèle au troisième côté. ❿ théorème : (réciproque du théorème de Thalès) soient deux droites (d) et (d') sécantes en A; soient B et M deux points de (d) distincts de A; soient C et N deux points de (d') distincts de A. Si les points A, B, M et AM A, C, N sont alignés dans le même ordre et si AB = AN alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles. AC Démontrer qu'une droite est la médiatrice d'un segment. ❶ définition : la médiatrice d'un segment est la perpendiculaire à un segment en son milieu. ❷ définition : deux points A, B sont symétriques par rapport à une droite (d) si et seulement si (d) est la médiatrice de [AB] ❸ propriété : dans un triangle, si une droite passe par le centre du cercle circonscrit et est perpendiculaire à un côté alors c'est la médiatrice de ce côté. ❹ propriété : dans un triangle, si une droite passe par le milieu d'un côté et centre du cercle circonscrit au triangle alors c'est la médiatrice de ce côté. ❺ propriété : dans un triangle isocèle, la hauteur/médiane/bissectrice issue du sommet principal est aussi médiatrice. ❻ propriété : si un point est équidistant des extrémités d'un segment alors il appartient à la médiatrice de ce segment.

3 Démontrer qu'une droite est une bissectrice ❶ définition : la bissectrice d'un angle est la demi droite qui partage cet angle en deux angles de même mesure. ❷ propriété : dans un triangle isocèle, la hauteur/médiane/bissectrice issue du sommet principal est aussi médiatrice. ❸ propriété : dans un triangle, si une droite passe par un sommet et centre du cercle inscrit du triangle alors c'est la bissectrice issue de ce sommet. Démontrer que trois droites sont concourantes ❶ propriété : dans un triangle, les trois médiatrices sont concourantes en un point appelé centre du cercle circonscrit. ❷ propriété : dans un triangle, les trois médianes sont concourantes en un point appelé centre de gravité. ❸ propriété : dans un triangle, les trois hauteurs sont concourantes en un point appelé orthocentre. ❹ propriété : dans un triangle, les trois bissectrices sont concourantes en un point appelé centre du cercle inscrit. Démontrer qu'un triangle est isocèle ❶ définition : un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés de la même longueur. ❷ propriété : si un triangle a deux angles de même mesure alors c'est un triangle isocèle. ❸ propriété : si un triangle a un axe de symétrie alors c'est un triangle isocèle. ❹ propriété : si un triangle a une de ses droites remarquables qui est médiatrice/hauteur (ou médiane/hauteur ou bissectrice/hauteur ou médiane/médiatrice ou bissectrice/médiatrice ou médiane/bissectrice) alors c'est un triangle isocèle. Démontrer qu'un triangle est équilatéral ❶ définition : un triangle équilatéral est un triangle qui a ses trois côtés de la même longueur. ❷ propriété : si un triangle a ses trois angles de même mesure alors c'est un triangle équilatéral. ❸ propriété : si un triangle est isocèle en deux de ses sommets alors c'est un triangle équilatéral. ❹ propriété : si un triangle a deux axes de symétrie alors c'est un triangle équilatéral. Démontrer qu'un triangle est rectangle ❶ définition : un triangle qui admet un angle droit est un triangle rectangle. ❷ propriété : si un triangle a deux angles complémentaires alors c'est un triangle rectangle. ❸ théorème :(théorème de Pythagore) : si le carré de la longueur d'un côté est égale à la somme des carrés des deux autres côtés alors c'est un triangle rectangle. ❹ propriété : si un triangle est inscrit dans un cercle qui admet pour diamètre l'un de ses côtés alors ce triangle est rectangle et son hypoténuse est ce côté. ❺ propriété : si le centre du cercle circonscrit d'un triangle appartient à l'un de ses côtés alors ce triangle est rectangle.

4 ❻ propriété : dans un triangle, si la médiane relative à un côté mesure la moitié de ce côté alors ce triangle est rectangle et son hypoténuse est ce côté. Démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme ❶ définition : un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles. ❷ propriété : si les diagonales d'un quadrilatère ont le même milieu alors c'est un parallélogramme. ❸ propriété : si les côtés opposés d'un quadrilatère non croisé ont la même longueur alors c'est un parallélogramme. ❹ propriété : si un quadrilatère non croisé admet une paire de côtés opposés parallèles et de même longueur alors c'est un parallélogramme. ❺ propriété : si un quadrilatère non croisé admet un centre de symétrie alors c'est un parallélogramme. ❻ propriété : si un quadrilatère a ses angles opposés de même mesure alors c'est un parallélogramme. ❼ propriété : si un quadrilatère a ses angles consécutifs supplémentaires alors c'est un parallélogramme. Démontrer qu'un quadrilatère est un rectangle ❶ propriété : si un quadrilatère a trois angles droits alors c'est un rectangle. ❷ propriété : si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur alors c'est un rectangle. ❸ propriété : si un parallélogramme a un angle droit alors c'est un rectangle. ❹ propriété : un carré est un rectangle. Démontrer qu'un quadrilatère est un losange ❶ définition : un losange est un quadrilatère qui a ses côtés de la même longueur. ❷ propriété : si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires alors c'est un losange ❸ propriété : si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur alors c'est un losange ❹ propriété : un carré est un losange. Démontrer qu'un quadrilatère est un carré. ❶ définition : un carré est un quadrilatère qui est à la fois un rectangle et un losange. Démontrer que deux segments ont la même longueur. ❶ propriété : si un point est le milieu d'un segment alors il est équidistant des extrémités du segment. ❷ propriété : si deux points appartiennent à un même cercle alors ils sont équidistants des du centre du cercle. ❸ définition : un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés de la même longueur. ❹ définition : un triangle équilatéral est un triangle qui a ses trois côtés de la même longueur. ❺ propriété : si un point appartient à la médiatrice d'un segment alors il est équidistant des extrémités du segment.

5 ❻ définition : un losange est un quadrilatère qui a ses côtés de la même longueur. ❼ propriété : un parallélogramme a ses côtés opposés de même longueur. ❽ propriété : un rectangle a ses diagonales de même longueur. ❾ propriété : si deux segments sont symétriques par rapport à une droite alors ils sont de même longueur. ❿ propriété : si deux segments sont symétriques par rapport à un point alors ils sont de même longueur. 11 propriété : dans un triangle rectangle la médiane relative à l'hypoténuse mesure la moitié de l'hypoténuse. Déterminer la longueur d'un segment ❶ théorème : (théorème de Pythagore) si un triangle est rectangle, alors le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. ❷ théorème : (théorème de Thalès) Soit ABC un triangle. M appartient à [AB], N appartient à [AC]. Si (MN) est parallèle à (BC) alors AM AB = AN AC = MN BC ❸ théorème : (théorème de Thalès) soient deux droites d et d' sécantes en A. Soient B et M deux points de d distincts de A. Soient C et N deux points de d' distincts de A. Si d et d' sont parallèles alors on a : AM AB = AN AC = MN BC ❹ théorème : (Droite des milieux)dans un triangle, la longueur du segment joignant les milieux de deux côtés est égale à la moitié de la longueur du troisième côté. ❺ définition : dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est égal au quotient de la longueur du côté adjacent à cet angle par la longueur de l'hypoténuse. ❻ définition : dans un triangle rectangle, le sinus d'un angle aigu est égal au quotient de la longueur du côté opposé à cet angle par la longueur de l'hypoténuse. ❼ définition : dans un triangle rectangle, la tangente d'un angle aigu est égal au quotient de la longueur du côté opposé à cet angle par la longueur du côté adjacent à cet angle. Démontrer que des angles ont la même mesure. ❶ définition : la bissectrice d'un angle est la demi droite qui partage cet angle en deux angles de même mesure. ❷ propriété : si un triangle est isocèle alors les angles à la base sont de même mesure. ❸ propriété : si un triangle est équilatéral alors ses angles mesurent tous 60. ❹ propriété : si deux angles sont opposés par le sommet alors ils sont de même mesure. ❺ propriété : si deux parallèles sont coupées par une sécante alors les angles alternes internes qu'elles déterminent sont de même mesure. ❻ propriété : si deux parallèles sont coupées par une sécante alors les angles correspondants qu'elles déterminent sont de même mesure. ❼ propriété : dans un parallélogramme,les angles opposés ont la même mesure.

6 ❽ propriété : la symétrie axiale conserve les angles ❾ propriété : la symétrie centrale conserve les angles. ❿ propriété : si deux angles inscrits dans un cercle interceptent le même arc alors ils sont de même mesure. Déterminer la mesure d'un angle ❶ propriété : la somme des mesures des angles d'un triangle est égale à 180. ❷ propriété : dans un triangle rectangle les angles aigus sont complémentaires. ❸ propriété : dans un parallélogramme, les angles consécutifs sont supplémentaires. ❹ propriété : dans un cercle, si un angle au centre et un angle inscrit intercepte le même arc alors la mesure de l'angle inscrit est la moitié de la mesure de l'angle au centre. ❺ définition : dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est égal au quotient de la longueur du côté adjacent à cet angle par la longueur de l'hypoténuse. ❻ définition : dans un triangle rectangle, le sinus d'un angle aigu est égal au quotient de la longueur du côté opposé à cet angle par la longueur de l'hypoténuse. ❼ définition : dans un triangle rectangle, la tangente d'un angle aigu est égal au quotient de la longueur du côté opposé à cet angle par la longueur du côté adjacent à cet angle. A suivre...

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