Configurations du plan et repérage

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1 hapitre onfigurations du plan et repérage 1 Triangles 1.1 Théorèmes des milieux Théorème 1 La droite qui joint les milieux de deux côtés d un triangle est parallèle au troisième côté. La droite qui passe par le milieu d un côté d un triangle et est parallèle à un autre côté coupe le troisième côté en son milieu. La longueur du segment qui joint les milieux de deux côtés d un triangle est égale à la moitié de la longueur du troisième côté. 1. roites remarquables Théorème ans un triangle : les 3 hauteurs sont concourantes en un point appelé orthocentre du triangle. les 3 médianes sont concourantes en un point appelé centre de gravité du triangle. e point est situé aux 3 de chaque médiane en partant du sommet. les 3 bissectrices sont concourantes en point équidistant des 3 côtés du triangle. e point est le centre du cercle inscrit dans le triangle. les 3 médiatrices sont concourantes en point équidistant des 3 sommets du triangle. e point est le centre du cercle circonscrit au triangle. H G

2 8 hapitre O Triangle rectangle.1 Théorème de Pythagore et sa réciproque Théorème 3 Soit un triangle. Si est rectangle enalors = +. Si = +, alors est rectangle en. b c a = b + c a. ercle circonscrit Théorème 4 SoitM un triangle. SiM est rectangle enm, alors le centre de son cercle circonscrit est le milieu de l hypoténuse. SiM est sur le cercle de diamètre [] alorsm est rectangle enm. M O.3 Trigonométrie Théorème 5 (Propriété et définition) Soit un triangle rectangle enetαla mesure de l angle. Les rapports, et ne dépendent que des angles du triangle.

3 onfigurations du plan et repérage 9 On définit le cosinus, le sinus et la tangente deαde la façon suivante : cos(α) = sin(α) = tan(α) = c b cos α = c a sinα = b a α a tanα = b c 3 Parallélogrammes éfinition 1 Un quadrilatère est un parallélogramme si [] et [] ont le même milieu. e milieu est appelé centre du parallélogramme. Théorème 6 Les côtés opposés d un parallélogramme sont parallèles et de même mesure. 3.1 Rectangles éfinition Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits. Théorème 7 Un parallélogramme est un rectangle si et seulement si il a un angle droit. Un parallélogramme est un rectangle si et seulement si ses diagonales ont même mesure.

4 10 hapitre 3. Losanges éfinition 3 Un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés ont même mesure. Théorème 8 Un parallélogramme est un losange si et seulement si il a deux côtés consécutifs de même mesure. Un parallélogramme est un losange si et seulement si ses diagonales sont perpendiculaires. 3.3 arrés éfinition 4 Un carré est un quadrilatère qui est à la fois un rectangle et un losange. 4 Repérage 4.1 éfinitions éfinition 5 Soitdune droite. SoientOet deux points distincts de cette droite. SiM est un point ded, on appelle..... dem dans le (O,) le nombre réelx M défini de la façon suivante : SiM [O) alorsx M =..... SiM/ [O) alorsx M =... La droitedmunie du repère (O,) est appelée ou..... Remarque : l abscisse d un point sur une droite ne dépend pas de l unité de longueur mais uniquement de la position relative des points.

5 onfigurations du plan et repérage 11 Exemple : On considère la droite ci-dessous. éterminer l abscisse de dans le repère (O,) puis l abscisse deodans le repère (,). / [O) donc l abscisse dedans (O,) est O O = O [) donc l abscisse deodans (,) est O = 1 3 éfinition 6 Un triplet de points (O,,) est appelé... du plan sio, et Le pointoest appelé..... du repère et les droites (O) et (O) sont les..... du repère. éfinition 7 Soit (O,,) un repère du plan. SoitM un point du plan. On appelle dem le couple (x M ;y M ) défini de la façon suivante : Si on appellen le point d intersection de la parallèle à (O) passant parm et de (O),x M est den sur l axe gradué (O,). Si on appellep le point d intersection de la parallèle à (O) passant parm et de (O),y M est dep sur l axe gradué (O,). x M est appelé dem dans (O,,) ety M est appelé dem dans (O,,). P M N Exemple : éterminer les coordonnées de et dans le repère (O,,) ci-dessous. On trace les parallèles aux axes passant par. Les abscisses des points d intersection sur (O,) et (O,) permettent d écrire : ( 1; 1). On trace les parallèles aux axes passant par. Les abscisses des points d intersection O sur (O,) et (O,) permettent d écrire : (0,5; ). 4. Milieu d un segment Théorème 9 Si(x ;y ),(x ;y ) et est le milieu de [] alors ( ; )

6 1 hapitre Exemple : ans un repère (O,,), on considère les points ( 4; 4) et (; 1). éterminer les coordonnées du milieu de []. On ax = x +x Å donc 1; 5 ã = 4 + = 1 et y = y +y = = istances Repère orthonormal Soit (O,,) un repère du plan. On se donne une unité de longueur. éfinition 8 On dit que (O,,) est orthonormal (ou orthonormé) si : Les axes sont ; O =O =. Exemples : 1 non orthonormal orthonormal non orthonormal 4.4 alcul de distances Soit (O,,) un repère orthonormal. Théorème 10 Si(x ;y ),(x ;y ) alors = Exemple : ans un repère orthonormal, soit(3; 1) et( 1; 5). alculer. =» ( 1 3) + (5 ( 1)) = = 5 = 13.