= 2 A est bien un nombre entier.

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1 3 ème Correction du Contrôle n /0/3 Sujet A I_. Déterminer le PGCD de 35 et 504. Transformer 35 en fraction irréductible A = Montrer que A est un nombre entier. 8. Déterminons le PGCD de 35 et 504 par l'algorithme d'euclide = = < 35 6 < = = < 6 0 < 63 Le PGCD de 35 et 504 est le dernier reste non nul de l'algorithme. Donc PGCD(35 ; 504) = Simplifions par PGCD(35 ; 504) soit 63 pour la rendre irréductible = = A = = = 6 8 = A est bien un nombre entier. II_ Phil veut ranger toutes ses cravates sur des cintres pouvant en porter Sachant qu'il a 57 cravates, combien de cintres doit-il utiliser au minimum? Combien de cravates lui manquera-t-il pour compléter le dernier cintre? Justifier = < 5 = 7 Phil va avoir besoin de cintres pour ranger toutes ses cravates. cintres seront complets et il manquera 7 cravates pour compléter le dernier cintre.

2 III_ La recette pour fabriquer une boisson sucrée demande de mélanger 3 doses de sirop avec 5 doses d'eau. Quelle quantité de sirop, exprimée en litre, faut-il pour obtenir 6 litres de cette boisson? Volume de boisson en litres = 8 6 Volume de sirop en litres 3 x 8 x = 3 6 = 8 x = 8 8 =,5 Il faut,5 litres de sirop pour obtenir 6 litres de boisson. IV_ C est un cercle dont un diamètre [NP] mesure 0 cm. A est un point de C situé à 3 cm de P... Faire une figure. Déterminer la nature du triangle NPA. 3. Déterminer NA à mm près. Nous savons que : - Le triangle NPA est inscrit dans le cercle C. - [NP] est un diamètre du cercle C. Utilisons la propriété : Si un triangle est inscrit dans un cercle et qu'un de ses côtés est un diamètre du cercle, alors ce triangle est rectangle. En conclusion : Le triangle NPA est rectangle en A. 3. Nous savons que : NPA est un triangle rectangle en A. Utilisons le théorème de Pythagore. En conclusion : NP = AP + AN 0 = 3 + AN AN = 0 3 = AN = 00 9 = 9 AN = 9 9,5 La longueur du segment [AN] est de 9 cm soit 9,5 cm à mm près.

3 V_ Clara a installé une étagère dans sa chambre et elle a pris les mesures indiquées sur le dessin ci-contre.. Le mur de la chambre de Clara est-il vertical? L'étagère apposée au mur est-elle horizontale?. Le triangle RUS a pour plus grand côté [SU] Comparons SU et RU + RS SU = 45 = 05 RU + RS = = = 05 Donc SU = RU + RS D'après le théorème réciproque de Pythagore, le triangle RUS est rectangle en R. Le mur de la chambre de Clara est donc bien vertical. Le triangle UME a pour plus grand côté [EU] Comparons EU et MU + ME EU = 9 = 84 MU + ME = + 4 = = 70 Donc EU MU + ME D'après la forme négative du théorème de Pythagore, le triangle UME n'est pas rectangle. L'étagère apposée au mur de la chambre de Clara n'est donc pas horizontale. VI_ On considère la figure ci-dessous représentant la tour de Pise : Le plus petit côté [SE] de la tour sortant de terre mesure 54,5 m. Un théodolite placé au point T permet la mesure des angles à partir de l'horizon. On vise le sommet S et on mesure un angle de 53,6 pour une longueur TH de 40 m.. Déterminer la longueur SH à cm près. Déterminer l'angle ŜEH d'inclinaison de la tour à près.. SHT est un triangle rectangle en H. Côté opposé à l ' angle STH tan STH = Côté adjacent à l ' angle STH tan STH SH = d'où tan 53,6 = SH HT 40 SH = 40 tan53,6 54,3 La longueur du segment [SH] est de 54,5 m à cm près. SHE est un triangle rectangle en H. Utilisons la définition: sin SEH Côté opposé à l 'angle SEH = Hypoténuse du triangle SEH sin SEH = SH d'où sin SEH 54,5 54,5 SE SEH 84,5 L'angle SEH d'inclinaison de la tour à près est de 85.

4 Bonus «Je suis un nombre entier compris entre 00 et 400. Je suis pair. Je suis divisible par. J'ai aussi 3 et 5 comme diviseurs. Qui suis-je?» Expliquer la démarche. Le nombre est un multiple de, 3 et 5 ; c'est donc un multiple de 3 5 soit = < 65 < = < 330 < = 495 > 400 Les seuls multiples de 65 compris entre 00 et 400 sont 65 et est un nombre impair et 330 est bien un nombre pair. Le nombre cherché est donc 330.

5 3 ème Correction du Contrôle n /0/3 Sujet B I_. Déterminer le PGCD de 80 et 39 Transformer 80 en fraction irréductible A = Montrer que A est un nombre entier. 7. Déterminons le PGCD de 80 et 39 par l'algorithme d'euclide = = + 56 = < < 0 < 56 Le PGCD de 80 et 39 est le dernier reste non nul de l'algorithme. Donc PGCD(80 ; 39) = 56 Simplifions par PGCD(80 ; 39) soit 56 pour la rendre irréductible = = A = = = 7 = 3 A est bien un nombre entier. II_ Phil veut ranger toutes ses cravates sur des cintres pouvant en porter Sachant qu'il a 84 cravates, combien de cintres doit-il utiliser au minimum? Combien de cravates lui manquera-t-il pour compléter le dernier cintre? Justifier = < 8 = 4 Phil va avoir besoin de 4 cintres pour ranger toutes ses cravates. 3 cintres seront complets et il manquera 4 cravates pour compléter le dernier cintre. III_ La recette pour fabriquer une boisson sucrée demande de mélanger 3 doses de sirop avec 5 doses d'eau. Quelle quantité de sirop, exprimée en litre, faut-il pour obtenir 6 litres de cette boisson? Volume de boisson en litres = 8 6 Volume de sirop en litres 3 x 8 x = 3 6 = 8 x = 8 8 =,5 Il faut,5 litres de sirop pour obtenir 6 litres de boisson.

6 IV_ C est un cercle dont un diamètre [KL] mesure 0 cm. E est un point de C situé à 3 cm de K... Faire une figure. Déterminer la nature du triangle KLE. 3. Déterminer LE à mm près. Nous savons que : - Le triangle KLE est inscrit dans le cercle C. - [KL] est un diamètre du cercle C. Utilisons la propriété : Si un triangle est inscrit dans un cercle et qu'un de ses côtés est un diamètre du cercle, alors ce triangle est rectangle. En conclusion : Le triangle KLE est rectangle en E. 3. Déterminer LE à mm près. Nous savons que: KLE est un triangle rectangle en E. Utilisons le théorème de Pythagore. En conclusion: KL = EK + EL 0 = 3 + EL EL = 0 3 = EL = 00 9 = 9 EL = 9 9,5 La longueur du segment [EL] est de 9 cm soit 9,5 cm à mm près.

7 V_ Clara a installé une étagère dans sa chambre et elle a pris les mesures indiquées sur le dessin ci-contre.. Le mur de la chambre de Clara est-il vertical? L'étagère apposée au mur est-elle horizontale?. Le triangle RUS a pour plus grand côté [SU] Comparons SU et RU + RS SU = 45 = 05 RU + RS = = = 05 Donc SU = RU + RS D'après le théorème réciproque de Pythagore, le triangle RUS est rectangle en R. Le mur de la chambre de Clara est donc bien vertical. Le triangle UME a pour plus grand côté [EU] Comparons EU et MU + ME EU = 9 = 84 MU + ME = + 4 = = 70 Donc EU MU + ME D'après la forme négative du théorème de Pythagore, le triangle UME n'est pas rectangle. L'étagère apposée au mur de la chambre de Clara n'est donc pas horizontale. VI_ On considère la figure ci-dessous représentant la tour de Pise : Le plus petit côté [SE] de la tour sortant de terre mesure 54,5 m. Un théodolite placé au point T permet la mesure des angles à partir de l'horizon. On vise le sommet S et on mesure un angle de 53,6 pour une longueur TH de 40 m.. Déterminer la longueur SH à cm près. Déterminer l'angle SEH d'inclinaison de la tour à près.. SHT est un triangle rectangle en H. Côté opposé à l ' angle STH tan STH = Côté adjacent à l ' angle STH tan STH SH = d'où tan 53,6 = SH HT 40 SH = 40 tan53,6 54,3 La longueur du segment [SH] est de 54,5 m à cm près. SHE est un triangle rectangle en H. Utilisons la définition: sin SEH Côté opposé à l 'angle SEH = Hypoténuse du triangle SEH sin SEH SH = d'où sin SEH 54,5 54,5 SE SEH 84,5 L'angle SEH d'inclinaison de la tour à près est de 85.

8 Bonus «Je suis un nombre entier compris entre 00 et 400. Je suis pair. Je suis divisible par. J'ai aussi 3 et 5 comme diviseurs. Qui suis-je?» Expliquer la démarche. Le nombre est un multiple de, 3 et 5 ; c'est donc un multiple de 3 5 soit = < 65 < = < 330 < = 495 > 400 Les seuls multiples de 65 compris entre 00 et 400 sont 65 et est un nombre impair et 330 est bien un nombre pair. Le nombre cherché est donc 330.