Devoir commun de seconde Mathématiques

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1 Nom : Prénom : Classe : Durée : h Mardi 9 mars 4 Devoir commun de seconde Mathématiques La clarté du raisonnement et de la rédaction comptera pour une part importante dans la note finale. Eercice 1 (6 points) ACD est un trapèze rectangle en A tel que (A) // (DC), A = 8, AD = 6, DC =. M est un point du segment [AD]. On découpe le trapèze en triangles, T 1 est le triangle AM ; T est le triangle DCM et T est le triangle CM. On pose AM= et on note f, f, f les fonctions qui associent à les 1 aires respectives de T 1, de T et de T. 1 ) a) Déterminer l intervalle de définition des fonctions f, f et f. 1 b) Calculer f () et f (). 1 c) Montrer que : f () = 4. D M C ) Tracer sur une même figure les courbes représentatives des fonctions f 1, f, f sur l intervalle [ ; 6 ]. A ) a) Les aires des triangles T 1 et T peuvent-elles être égales? b) Les aires des triangles T et T peuvent-elles être égales? c) Montrer qu il eiste une position du point M pour laquelle l aire de T est égale à la somme des aires des triangles T 1 et T. Préciser cette position.

2 Eercice (6 points) On considère la fonction f définie sur RI par : f( ) = ( ) + ( forme 1). 1 ) Montrer que : f() = + 1 (forme ). ) Factoriser f(). Ce résultat sera la forme. ) En utilisant la forme la plus adaptée, répondre au questions suivantes: a) Calculer l'image de par f. b) Déterminer les antécédents éventuels de par f. c) Résoudre l'inéquation : f (). d) Montrer que est le maimum de f sur RI. 4 ) On considère ci-dessous la représentation graphique de f, notée C f, dans un repère orthogonal ( O; I; J ). R e p r é s e n t a t i o n d e f 1 1 C f a) Résoudre graphiquement : f () = 9. b) Résoudre graphiquement : f () < 16. c) Déterminer, grâce au graphique, le tableau de variation de f.

3 Eercice ( points) AC est un triangle quelconque ; ζ est son cercle circonscrit de centre O ; I est le milieu de [C] et ( A I ) est la médiane issue de A. Elle coupe ζ en E. P est le projeté orthogonal de sur (AI) et Q est le projeté orthogonal de C sur (AI). C O I E A 1 ) Compléter la figure. ) a) Montrer que les triangles IP et CIQ sont isométriques. b) En déduire : P = CQ. ) Montrer que les triangles AI et ICE sont semblables. On désigne par k le rapport CE A. 4 ) On suppose dans cette question que k = 1. a) Montrer que les triangles AI et ICE sont isométriques. b) Montrer alors que le point I est confondu avec le point O. En déduire la nature de AC. ) On suppose que le triangle AC est équilatéral. a) Calculer k. b) Montrer que aire(ac) = 6 aire(eic)

4 Nom : Prénom : Classe : Durée : h Mardi 9 mars 4 Eercice 4 ( points) Une entreprise leader sur le marché du disque dur informatique teste aléatoirement la durée de vie de ses disques durs en prenant au hasard sur les chaînes de montage 1 disques en une semaine. Les résultats obtenus ci-dessous indiquent le nombre de centaines d heures d utilisation. On considère que la répartition est régulière dans chaque classe. Centaines d heures [ ; 1[ [ 1 ; [ [ ; [ [ ; 7 [ [ 7 ; 1 [ Effectif 4 4 Fréquence Fréquence cumulée croissante 1 ) a) Quelle est la population étudiée? Quelle est la variable ( ou le caractère) étudiée? Quelle est la nature de cette variable? b) Compléter le tableau ci-dessus. ) a) Indiquer l étendue et la classe modale de cette série statistique. b) Calculer le nombre moen d heures de vie des disques et donner la classe contenant la médiane de cette série. ) Peut-on affirmer qu au moins % des disques ont une durée de vie en centaines d heure comprise entre et 7?

5 Eercice 1 (6 points) ACD est un trapèze rectangle en A tel que (A) // (DC), A = 8, AD = 6, DC =.M est un point du segment [AD]. On découpe le trapèze en triangles, T 1 est le triangle AM ; T est le triangle DCM et T est le triangle CM. On pose AM= et on note f, f, f les fonctions qui associent à les aires respectives de T 1, de T et de T. 1 1 ) a) Déterminer l intervalle de définition des fonctions f, f et f. D C 1 D 1 = D = D = [, 6 ] b) Calculer f 1 () et f (). f 1 () = 1 AM A = 4 f () = 1 DC CM = 6 M c) Montrer que : f () = 4 A '(ACD) = 1 (DC + A) AD = A f () = A (ACD) A (AM) A (DCM) = 4 (6 ) = 4. ) Tracer sur une même figure les courbes représentatives des fonctions f, f, f sur l intervalle [ ; 6]. 1 ) a) Les aires des triangles T 1 et T peuvent-elles être égales? C 1 et C sont secantes. L'abscisse de leur point d'intersection correspond à la valeur de AM tel que les aires de T 1 et T sont égales. b) Les aires des triangles T et T peuvent-elles être égales? C et C ne sont pas secantes donc les aires de T et T ne sont jamais égales. d) Montrer qu il eiste une position du point M pour laquelle l aire de T est égale à la somme des aires des triangles T 1 et T. Préciser cette position. f () = f 1 () + f () 4 = = 6 =. M est alors au milieu de [AD] Eercice (6 points) On considère la fonction f définie sur RI par : f() = ( ) + ( forme 1). 1 ) Montrer que : f() = + 1 (forme ). ( ) + = ( 1 + ) + = = + 1 = f() cqfd ) Factoriser f(). Ce résultat sera la forme. f() = + 1 = (1 ) ) En utilisant la forme la plus adaptée, répondre au questions suivantes: a) Calculer l'image de par f. f( ) = ( ) + 1 = + 1. L'image de par f est + 1 b) Déterminer les antécédents éventuels de par f. f() = (1 ) = = ou = 1. Les antécédent de par f sont et 1. c) Résoudre l'inéquation : f (). 1 + d) Montrer que est le maimum de f sur RI. + + f() = ( ) car pour tout réel, ( ). f() = donc est bien le maimum de f sur IR. 1 f() ) On considère ci-dessous la représentation graphique de f, notée C f, dans un repère orthogonal ( O; I; J ). a) Résoudre graphiquement : f () = 9. b) Résoudre graphiquement : f () < C C 1 C C f 1 C f Les antécédents de 9 par f sont 1 et 9. S = ], 8 [ Déterminer, grâce au graphique, le tableau de variation de f f

6 Eercice ( points) AC est un triangle quelconque ; ζ est son cercle circonscrit de centre O ; I est le milieu de [C] et ( A I ) est la médiane issue de A. Elle coupe ζ en E. P est le projeté orthogonal de sur (AI) et Q est le projeté orthogonal de C sur (AI). 1 ) Compléter la figure. ) a) Montrer que les triangles IP et CIQ sont isométriques. C les angles IP et CIQ sont opposés par le sommet donc de même mesure. O les angles PI et CQI sont droits donc de même mesure. I E A dans les triangles PI et CQI on peut donc dire que IP = ICQ I est le milieu de [C] donc I = IC IP = ICQ on a donc IP = CIQ les triangles IP I = IC CIQ ont en commun la longueur d'un côté et les mesures des angles qui et C sont homologues lui sont adjacents ils sont donc isométriques et I et I sont homologues P et Q sont homologues b) En déduire : P = CQ. les triangles IP CIQ sont isométriques donc les longueurs de leurs côtés sont égales donc P = CQ. ) Montrer que les triangles AI et ICE sont semblables. On désigne par k le rapport CE A. dans le cercles ζ les angles inscrit AE et CE interceptent le même arc E ils sont donc de même mesure et AI = CE dans le cercles ζ les angles inscrit AC et AEC interceptent le même arc AC ils sont donc de même mesure et AI = CEI les triangles AI CEI ont en commun les mesures de deu angles ils sont donc semblables et A et C sont homologues I et I sont homologues k = CI et E sont homologues AI = CE A = IE I 4 ) On suppose dans cette question que k = 1. a) Montrer que les triangles AI et ICE sont isométriques. Si k = 1 alors CI = AI et CE = A et IE = I et donc les triangles AI CEI A et C sont homologues trois côtés ils sont donc isométriques et I et I sont homologues et E sont homologues ont en commun les longueurs de leurs b) Montrer alors que le point I est confondu avec le point O. En déduire la nature de AC. On a : IA = IC et comme I est le milieu de [C] IC = I donc IA = I = IC donc I est le centre du cerclecirconscrit à A, et c c'est à dire le cercles ζ. On a bien I = O et AC est alors rectangle en A. ([C) est un diamétredu cercles ζ ) ) On suppose que le triangle AC est équilatéral. a) Calculer k. Si AC est équilatéral alors AI = = b) Montrer que aire(ac) = 6 aire(eic) aire(eic) aire (AI) = k = 1 donc aire (AI) = aire (EIC). C A et CI = = A CI et alors on a : k = AI = aire (AC) = 1 C AH = 1 I AH où H est le projeté orthogonal de A sur C). Donc aire (AC) = aire AI = 6 aire (EIC). A A = A A = 1

7 Eercice 4 ( points) Une entreprise leader sur le marché du disque dur informatique teste aléatoirement la durée de vie de ses disques durs en prenant au hasard sur les chaînes de montage 1 disques en une semaine. Les résultats obtenus cidessous indiquent le nombre de centaines d heures d utilisation. On considère que la répartition est régulière dans chaque classe. Centaines d heures [ ; 1[ [ 1 ; [ [ ; [ [ ; 7 [ [ 7 ; 1 [ Effectif 4 4 Fréquence,,,,4,4 Fréquence cumulée croissante,,8,, ) a) Quelle est la population étudiée? Les disques durs fabriqués qur une chaine de montage. Quelle est la variable ( ou le caractère) étudiée? La duirée de vie de ces disques durs. Quelle est la nature de cette variable? Quantitatif discret c) Compléter le tableau ci-dessus. ) a) Indiquer l étendue et la classe modale de cette série statistique. Etendue : 1 = 1 Classe modale : [, 7 [ b) Calculer le nombre moen d heures de vie des disques et donner la classe contenant la médiane de cette série., +, + 4, + 6,4 + 8,4 =,, <, <,76 donc la classe médiane est [, 7] ) Peut-on affirmer qu au moins % des disques ont une durée de vie en centaines d heure comprise entre et 7? Justifier votre réponse + 4 = 48 disques ont une durée de vie comprise entre et 7 heures et 48 =,48 >, on peut 1 donc dire que plus de % de disques ont une durée de vie comprise netre et 7 haures..