PREMIÈRE PARTIE ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (12 POINTS)

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1 Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la présentation (4 points). L usage de la calculatrice est autorisé conformément à la circulaire n du 16 novembre PRMIÈR PRTI CTIVITÉS NUMÉRIQUS (1 POINTS) XRCIC 1 : Calculer et donner sous la forme d une fraction irréductible puis B sous la forme a : = B = XRCIC : 1/ Calculer le PGC des nombres 110 et 88. / Un ouvrier dispose de plaques de métal rectangulaires : L = 110 cm et l = 88 cm ; il doit découper dans chaque plaque des carrés tous identiques : la mesure du côté est un nombre entier de centimètres, le plus grand possible, de façon à ne pas avoir de perte. Quelle sera la mesure du côté de chaque carré? / Combien obtiendra-t-il de carrés avec 15 plaques de métal? XRCIC : On pose = 4x² 5 (x + 5)(x 7). 1/ évelopper et réduire. / a) Factoriser 4x² 5. b) n déduire une factorisation de. / Résoudre l équation (x + 5)( x) = 0. XRCIC 4 : On donne un rectangle STUV dont les dimensions exactes en centimètres sont : ST = et TU = / près avoir arrondi les dimensions de ce rectangle au centimètre près, en faire une figure représentative S T U V à l échelle 1. / Calculer en détaillant et donner les valeurs exactes de : a/ Le périmètre P du rectangle STUV en centimètres. b/ L aire du rectangle STUV en centimètres carrés. c/ La longueur d de la diagonale du rectangle STUV en centimètres. COLLÈG MX BRMRI L FORC Temps alloué : H Coefficient : BRVT BLNC N Épreuve : Mathématiques 5 avril 00 Ce sujet comporte : pages Série collège : 1/ 1/7

2 UXIÈM PRTI CTIVITÉS GÉOMÉTRIQUS (1 POINTS) XRCIC 1 : Soit RN un triangle tel que : N = 9 cm ; RN = 10,8 cm ; NR = 60. La hauteur issue de coupe le côté [RN] en. T est un point du côté [N] tel que NT =,75 cm. (La figure ci-contre n est pas à l échelle) /a/ Refaire la figure sur la copie en vraie grandeur et placer le point T. b/ Prouver que N = 4,5 cm. c/ Calculer et donner la valeur exacte puis la valeur arrondie au dixième de centimètre. N / Les droites (T) et (R) sont-elles parallèles? (Justifier) R XRCIC : J Le repère (O ; I ; J) est orthonormé. Le cercle (C) a pour centre et rayon r = 5. F (C ) O I 1/ Lire et donner les coordonnées des points suivants :, et F. / Calculer, F et F. /a/ Le point est-il sur le cercle (C)? Justifier. b/ La droite (F) est-elle tangente au cercle (C)? Justifier. Ce sujet comporte : pages Série collège : / /7

3 TROISIÈM PRTI QUSTIONS NCHÎNÉS (1 POINTS) Un paysagiste doit planter des arbres. Chaque arbre est placé dans un trou cylindrique. Il est ensuite maintenu au sol à l aide de câbles, comme le montre le dessin ci-dessous. ans tout le problème, l unité de longueur choisie est le décimètre (dm). Toutes les réponses devront être justifiées. Partie : Le triangle rectangle BC est rectangle en avec B = 18 et C = 9. est un point du segment [B] tel que = B. est un point du segment [C]. Les droites (BC) et () sont parallèles. câbles B 1/ Calculer la valeur exacte de. / Calculer la valeur exacte de BC et l écrire sous la forme a 5 où a est un nombre entier. / Prouver que C = puis calculer. 4/ Prouver que = 6 5. C Sol 5/ Calculer la mesure de l angle arrondie au degré. 6/ Une coccinelle parcourt le trajet CBC : combien de millimètres mesure ce trajet? (arrondi à 1 près) Partie B : Le rayon r du trou cylindrique creusé dans le sol, pour loger un arbre mesure 4 dm et la profondeur p de ce trou mesure 7 dm. 1/ Calculer le volume V 1 (exprimé en dm ) de ce trou. onner la réponse sous la forme k π où k est un nombre entier. / Le volume de la terre augmente de 5 % lorsqu on la déplace. Soit V le volume (exprimé en dm ) qu occupera la terre déplacée par ce creusement ; on a calculé que V = 140 π (dm ). vec cette terre déplacée, on forme un cône de révolution dont le volume est V et dont le rayon mesure 6 dm. Calculer la hauteur h de ce cône. On donnera la valeur exacte, puis une valeur approchée au décimètre près. Ce sujet comporte : pages Série collège : / /7

4 XRCIC 1 : = = = SOLUTION L PRMIÈR PRTI : CTIVITÉS NUMÉRIQUS (1 POINTS) = = 1 = 5 1 XRCIC : 1/ J utilise l algorithme de d uclide : 110 = = est le dernier reste non nul, alors PGC(110 ; 88) =. XRCIC : 1/ = 4x² 5 ( x + 5 ) ( x 7 ) = 4x² 5 (6x² 14x + 15x 5) = 4x² 5 6x²+ 14x 15x + 5 = -x² x + 10 B = B = B = 5 5 B = B = -9 / Pour ne pas avoir de perte, il faut que le côté, entier, de chaque carré divise 110 et 88 ; et pour avoir le plus grand côté possible il faut le plus grand diviseur de 110 et 88, c est leur PGC qui est. Le côté de chaque carré mesurera cm. /a/ 4x² 5 = (x)² (5)² 4x² 5 = (x 5)(x + 5) /b/ = (x 5)(x + 5) (x + 5) (x 7) = (x + 5)[(x 5) (x 7)] = (x + 5)(x 5 x + 7) = (x + 5)( x + ) / L aire de 15 plaques vaut : = (cm ) et l aire d un carré vaut : = 484 (cm ) Puisqu il n y a pas de perte, le nombre de carrés sera : = 00. / Un produit de facteurs est nul si et seulement si l un au moins de ses facteurs est nul : x + 5 = 0 ou x + = 0 x = (- 5 ) ou x = Les solutions de cette équation sont (- 5 ) et. XRCIC 4 : 1/ ST = TU = 16 4 ST = 1, TU = 10, ST = (cm à 1près) TU = 10 (cm à 1 près) S T = 1 = 11(cm) T U = 10 1 = 5(cm) S' 5 cm V' /a/ P = [( ) + (16 4 )] P = [ ] P = 64 (cm) /b/ = ( ) (16 4 ) = 16 (4 ) = = 4 (cm ) /c/ Le triangle STU est rectangle en T, le théorème de Pythagore donne : SU = TS + TU d = ( ) + (16 4 ) d = [ (4 ) ]+ [ (4 ) ] d = = 576 t finalement, d = 576 = 4 (cm) 11 cm 4/7 T' U'

5 XRCIC 1 : 1/a/ Voir figure. SOLUTION L UXIÈM PRTI : CTIVITÉS GÉOMÉTRIQUS (1 POINTS) 1/b/ Puisque le triangle N est rectangle : Cos N = N cos 60 soit = N N cos 60 N = = 4,5 (cm) 1 1/c/ e la même façon : Sin N = sin 60 soit = N sin 60 = 1 = 9 sin 60 (cm) (exacte) = 7, (cm) (approchée) = 7,8 (cm) (arrondie à 1/10) / N NR = 4,5 NT et 10,8 N =, ,5 = 10,8,75 = 40,5 onc N NR = NT et alors : N Les points N,, R et N, T, sont alignés dans le même ordre avec N NR = NT donc par la réciproque du théorème de Thalès N (T) // (R). T (vec Pythagore on obtiendrait également : = 60,75 (cm) qui conduit aux mêmes valeurs approchée et arrondie) N 60 R XRCIC : 1/ F a pour coordonnées (-6 ; 1). a pour coordonnées (- ; -1). a pour coordonnées (- ; -). / F = (-6 (-)) + (1 (-1)) = F = 0 = 5. = (- (-)) + (-1 (-)) = = 5. F = (-6 (-)) + (1 (-)) = F = 5 = 5. F (C ) J O I /a/ Le rayon du cercle (C ) vaut 5 cm donc tous les points situés à 5 cm de sont sur ce cercle ; or d après / = 5 cela signifie que le point est situé sur le cercle (C ) de centre et de rayon 5. /b/ Le côté [F] est le plus long. une part on a F = 5. autre part on a F + = = 5. insi F = F + et d après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle F est rectangle en. onc (F) () et la droite (F) est tangente (en ) au cercle (C ) de centre et de rayon []. 5/7

6 SOLUTION L TROISIÈM PRTI : QUSTIONS NCHÎNÉS (1 POINTS) Partie : 1/ = B = 18 = 1 (dm) / ans le triangle BC rectangle en le théorème de Pythagore donne : BC = B + C BC = = = 405BC = 405 BC = 405 (valeur exacte en dm) BC = 81 5 = 81 5 BC = 9 5 (dm). 6/ L(CBC) = CB + B + + C L(CBC) = B C B = (B ) = (18 1) = 6 C = C = (9 6) = L(CBC) = (dm) L(CBC) = 4 54 mm (arrondi à 1 près) Le trajet mesure 4 54 mm. / Puisque les droites (B) et (C) sont sécantes en avec (BC) // () le théorème de Thalès donne : C = B = et nous avons BC B = 1 18 = donc C = et = C = 6 (dm). câbles B 4/ après / nous avons BC = = BC = 6 5 (dm). = 9 5 c est-à-dire : qui donne : 5/ ans le triangle rectangle en on a : tan = = 6 1 = 1 donc à la machine = tan -1 ( 1 ) = 6, (approchée) C Sol = 7 (arrondi à 1 près) Partie B : 1/ V 1 est le volume d un cylindre de révolution ayant un rayon de 4 dm et une hauteur de 7 dm donc V 1 = π 4 7 (dm ) c est-à-dire V 1 = 11 π = 11 π (dm ). π 6 h / n appelant h la hauteur de ce cône, on obtient : V = = 1 π h. Or V = 140 π et alors : 140 π = 1 π h donne h = 140 π 1 π d où h = 5 dm (valeur exacte) h = 11, dm (valeur approchée) h = 1 dm (valeur arrondie à 1 près). Fin 6/7

7 BRM rediscuter pour ce sujet et à préciser éventuellement I II III x 1 : (1,5 pts) x 1 : 1/a/ (0,5 pt) Partie : 1/ (1 pt) B (1,5 pts) 1/b/ (1 pt) / ( pts) x : 1/ (1 pt) / (1 pt) / (1 pt) x : 1/ (1 pt) / (1 pt) / (1 pt) 1/c/ (1,5 pts) / ( pts) x : 1/ (1 pt) / ( pts) /a/ (1 pt) /b/ ( pts) Partie B : / (,5 pts) 4/ (1 pt) 5/ (1,5 pts) 6/ (1 pt) 1/ (1 pt) / ( pts) + présentation = 4 pts x 4 : 1/ (0,5 pt) /a/ (0,5 pt) /b/ (1 pt) /c/ (1 pt) 7/7