Réducteurs de vitesse à engrenages

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1 Réducteurs de vitesse à engrenages par Robert LE BORZEC Professeur de Construction mécanique à l École Nationale Supérieure des Arts et Métiers de Lille 1. Rôle d un réducteur de vitesse... B Réducteurs élémentaires Réducteur à engrenage cylindrique extérieur Réducteur à engrenage cylindrique intérieur Réducteur à engrenage conique Réducteur à engrenage spatial Réducteurs élémentaires dérivés Réducteur à roue intermédiaire (ou à roue parasite) Réducteur coaxial à arbre intermédiaire Réducteur épicycloïdal plan élémentaire Réducteur épicycloïdal sphérique élémentaire Discussion et analyse des caractéristiques des engrenages cylindriques Groupement en série de réducteurs élémentaires Groupement en parallèle de réducteurs élémentaires Groupements composés mixtes Trains épicycloïdaux en série Trains épicycloïdaux généralisés Groupements imbriqués Réducteurs à grand rapport de réduction Conclusion Pour en savoir plus... Doc. B 5 64 D ans cet article, les unités des dimensions linéaires ne sont pas indiquées mais, sauf mention contraire, sont en millimètres. Le lecteur se reportera utilement à l article Engrenages. Éléments pratiques de définition, de dessin et de calcul [B 636] dans ce traité. Techniques de l Ingénieur, traité Génie mécanique B

2 RÉDUCTEURS DE VITESSE À ENGRENAGES Notations et Symboles Symbole Définition Symbole Définition B 0 Bâti référentiel d V 1m, d V m Diamètres primitifs de l engrenage cylindrique C m, C s Couples côté moteur et côté sortie équivalent au conique C 1, C Couples exercés sur le pignon(1), sur la roue () i m, i r Rapport global de multiplication ou de réduction C r Coefficient de rapport de transmission k Rapport intermédiaire de transmission en cylindrique m n, m n0 Modules réels de fonctionnement et de fabrication C* r Coefficient de rapport en cylindrique équivalent m t, m t0 Modules apparents de fonctionnement au conique et de fabrication E a Module d élasticité longitudinal de l acier m, m 0 Modules de fonctionnement et de fabrication F n, F t, F a, F r Actions mécaniques entre dentures (normale, en denture droite tangentielle, axiale, radiale) r b Rayon du cylindre de base F tm Composante tangentielle entre dentures u Rapport de multiplication ou de réduction au diamètre moyen en conique d un engrenage GV Grande vitesse v t Vitesse linéaire tangentielle H h, H Durée probable du mécanisme v 1 Vitesse de glissement de (1) sur () K B Coefficient de service x 1, x, x 3 Coefficients de déport de denture K GF, K GH Coefficient général de calcul en flexion x ij Axe coïncidant entre les pièces i et j et en pression superficielle α n, α n0 Angles de pression réels en fonctionnement K Li Coefficient d encombrement linéaire et au taillage K S Coefficient spécial de calcul α t, α t0 Angles de pression apparents en fonctionnement K Vi Coefficient de volume et au taillage N m0, N s0 Vitesses angulaires de moteur et de sortie α, α 0 Angles de pression en fonctionnement et au taillage (en tr/min) en denture droite O ij Point coïncidant entre les pièces i et j β, β 0 Angles d hélice aux primitifs de fonctionnement PV Petite vitesse et de taillage P Puissance transmise β b Angle d hélice sur le cylindre de base R 0 Longueur de génératrice d un engrenage conique δ 1, δ Angles primitifs de cônes S lat Surface latérale d une roue dentée ε α Rapport de conduite apparente V ol Volume matière de l engrenage ε β Rapport de recouvrement ou de conduite axiale Z 1, Z, Z 3 Nombres de dents des roues (1), (), (3) η Rendement d un mécanisme Z 1év Nombre de dents évalué du pignon λ Rapport de base d un train épicycloïdal Z * 1, Z * Nombres de dents fictifs de l engrenage cylindrique ρ 1, ρ, ρ eq Rayons de courbure sur (1), sur () et équivalent à denture droite équivalent au cylindrique hélicoïdal en modèle de Hertz et au conique à denture droite ou spirale Σ 0 Angle des axes a 0 Entraxe d un engrenage σ 0 Critère de résistance à la racine b Longueur de denture σ F lim Contrainte limite en fatigue à la flexion d 1, d, d 3 Diamètres primitifs de fonctionnement σ H lim Contrainte limite en fatigue à la pression d 01, d 0, d 03 Diamètres primitifs de taillage superficielle d a Diamètre de tête σ H Contrainte maximale en pression superficielle, d b Diamètre de base modèle de Hertz d f Diamètre de pied ψ Coefficient de longueur d un pignon d 1m, d m Diamètres primitifs moyens en coniques ω m0, ω s0 Vitesses angulaires de moteur et de sortie Ω 0 Critère de résistance superficielle B Techniques de l Ingénieur, traité Génie mécanique

3 RÉDUCTEURS DE VITESSE À ENGRENAGES 1. Rôle d un réducteur de vitesse Une transmission de puissance est installée entre un moteur et une machine à commander. Un moteur à vitesse de fonctionnement unique et à couple nominal unique est utilisé, dans la majorité des cas, qu il soit électrique, thermique, hydraulique ou pneumatique, car c est la solution économiquement acceptable. Ces deux caractéristiques évoluent entre deux valeurs voisines : vitesse en charge (N m0 ± N m0 ), couple en charge (C m ± C m ), les variations acceptées se situant entre % et 10 % suivant le type de moteur et le rendement énergétique souhaité. La machine à commander fonctionne en général à vitesse et à couple uniques dits caractéristiques d utilisation : (N s0 ± N s0 ), (C s ± C s ), avec des variations de l ordre de % à 0 %. Il est donc nécessaire d adapter les caractéristiques du moteur à celles de la machine et pour cela l élément d adaptation entre moteur et machine est un réducteur de vitesse ou un multiplicateur de vitesse de rapport i constant. Il se nomme aussi réducteur de couple ou multiplicateur de couple de rapport constant i avec, si l on admet un rendement unité : réducteur i r = N m0 / N s0 = C s / C m = Cte i r > 1 multiplicateur i m = N s0 / N m0 = C m / C s = Cte i m > 1 Le réducteur et le multiplicateur étant deux mécanismes réciproques, seul le réducteur sera étudié par la suite. Différents types de transmissions existent : mécaniques, hydrauliques, pneumatiques, électriques, etc. Parmi les transmissions mécaniques, on rencontre les roues de friction, les poulies et courroies, les roues dentées et chaînes et les engrenages, utilisables suivant les critères de fonctionnement imposés (articles spécialisés dans ce traité). L engrenage est la solution la plus répandue : il assure une sécurité cinématique, car il ne peut pas se produire de glissement ; la résistance aux efforts est très importante avec une très bonne fiabilité ; la puissance transmise par unité de masse est la plus forte obtenue parmi toutes les solutions : avec plus de précision, en engrenage réalisé avec des aciers de cémentation, trempe et rectification, il est possible d évaluer le rapport du couple de sortie (petite vitesse PV) en réducteur de vitesse à la masse de l ensemble à des valeurs de l ordre de 15 à 40 N m/ kg ; l encombrement est très réduit ; le rendement mécanique est très voisin de l unité dans le cas d une bonne fabrication (η = 0,96 à 0,99) ; le prix est très variable suivant la précision demandée, il est en général élevé. Le cahier des charges d un réducteur doit être établi avec précision, la puissance à transmettre n étant qu un élément parmi les autres. Le rapport de transmission apparaît soit cinématiquement avec la vitesse d entrée et la vitesse de sortie, soit statiquement avec le couple d entrée et le couple de sortie et le rendement espéré. La géométrie imposée est à décrire : axes parallèles, axes concourants perpendiculaires ou d angle quelconque, axes orthogonaux, axes concentriques ou position quelconque. L environnement est à caractériser tant au point de vue chimique qu au point de vue physique. Fiabilité, sécurité, maintenance sont à préciser. Le maintien de l appareil est à définir : maintien rigide par semelle liée au bâti, liée au moteur ou montée articulée ou flottante sur l axe du moteur ou l axe lié au bâti. De nombreux constructeurs proposent leurs gammes de fabrication assorties des conditions de montage, de réglage et d entretien [Doc. 5 64]. Si l on ne trouve pas cependant en catalogue la transmission souhaitée, une étude particulière s impose dont les principaux éléments sont proposés dans cet article. Dans une première partie, les réducteurs élémentaires seront étudiés en détail. Le réducteur élémentaire ou train d engrenage est l ensemble de base nommé engrenage composé d un pignon (petite roue), d une roue (grande roue dentée) et d un carter ou bâti. Suivant la géométrie des axes, il s agit : de l engrenage cylindrique extérieur en géométrie de parallélisme ; de l engrenage cylindrique intérieur en géométrie de parallélisme ; de l engrenage conique en géométrie de concourance des axes ; de l engrenage spatial (cylindrique, roue et vis, hypoïde, etc.) en géométrie quelconque. Ensuite seront présentés les réducteurs élémentaires dérivés : une ou plusieurs roues dentées intermédiaires ou un arbre intermédiaire interviennent pour compléter les réducteurs élémentaires dans le but d obtenir une géométrie particulière (entraxe important en géométrie parallèle, géométrie de concentricité, etc.) ou une cinématique choisie (rapport entier, sens de rotation, etc.) : utilisation d une roue intermédiaire ou roue parasite en cylindrique extérieur ; utilisation d une ou plusieurs roues intermédiaires en cylindrique intérieur ; utilisation d un arbre intermédiaire en réducteur coaxial ; utilisation de roues et arbres intermédiaires en train épicycloïdal cylindrique ou conique. Enfin, les solutions précédentes ne permettant pas de dépasser des rapports de transmission de 8 à 0 et imposant des encombrements importants et des masses très élevées, des groupements de réducteurs élémentaires interviendront : groupement en série pour obtenir des rapports importants (jusqu à à 8 000) ; groupement en parallèle pour réduire l encombrement, le volume et la masse ; groupement composé associant l obtention de rapports importants et une réduction des dimensions et des volumes. Le tableau 1 regroupe l ensemble des caractéristiques principales de ces différentes familles. (0) Techniques de l Ingénieur, traité Génie mécanique B

4 RÉDUCTEURS DE VITESSE À ENGRENAGES Tableau 1 Réducteurs et multiplicateurs de vitesse caractéristiques Réducteurs élémentaires Engrenage extérieur : Engrenage intérieur : Engrenage conique : Engrenage spatial : vitesses de sens contraire vitesses de même sens u 6 à 8 v t 100 à 150 m/s u 6 à 8 v t 10 à 5 m/s u 6 à 8 v t 10 à 5 m/s u jusqu à 100 à 00 η réduit = 0,95 à 0,5 η = 0,98 à 0,96 η = 0,98 à 0,96 η = 0,98 à 0,95 Réducteurs élémentaires dérivés Engrenages extérieurs avec roue Arbre intermédiaire d axe x i : Train épicycloïdal cylindrique : Train épicycloïdal sphérique : intermédiaire : a 0 peut être important géométrie de concentricité axe x i intermédiaire avec à engrenages coniques et vitesses de même sens satellite (s) à axe(s) x i intermédiaire(s) Groupements en série Groupements de réducteurs élémentaires Géométrie de parallélisme Groupement en parallèle Géométrie de concentricité i 8 à 1 η = 0,96 à 0,98 Groupements composés Géométrie d angularité Géométrie de concentricité Géométrie de concentricité i à nombre de trains n = à 5 η = 0,98 à 0,9 Géométrie d angularité et de concentricité Géométrie de perpendicularité et de concentricité i à rapport i à nombre de trains n = à 5 nombre de trains n de à 6 η = 0,98 à 0,90 rendement η = 0,96 à 0,90 B Techniques de l Ingénieur, traité Génie mécanique

5 RÉDUCTEURS DE VITESSE À ENGRENAGES. Réducteurs élémentaires Les réducteurs élémentaires sont les éléments de base les plus simples formés d un engrenage unique (pignon et roue) avec les guidages et le maintien de contact assurés par un carter ; ils sont caractérisés par leur géométrie et leur cinématique (figure 1) : ( O 10, x 10 ), ( O 0, x 0 ) = ( a 0, Σ 0 ) avec a 0 entraxe linéaire, Σ 0 position angulaire, l indice 0 signifiant simplement : par rapport au référentiel : ω 10 = ω 10 x 10 ω 0 = ω 0 x 0 rapport i = ω 10 /ω 0.1 Réducteur à engrenage cylindrique extérieur Étude générale des caractéristiques principales du réducteur. Le réducteur à engrenage cylindrique extérieur (figure ) convient à une géométrie de parallélisme entre l arbre d entrée et l arbre de sortie : Σ 0 = 0 et a 0 = Cte Les sens des rotations N m0 et N s0 sont opposés. Les surfaces primitives ou axoïdes sont des cylindres de révolution de diamètres d 1 et d tangents extérieurement. La denture est normalisée, profil ISO en hélicoïdes développables, de section apparente en développante de cercle (article Engrenages [B 636]), denture droite ou denture hélicoïdale. Les caractéristiques de définitions de l engrenage sont le module m n0, l angle d hélice β 0, les nombres de dents Z 1 et Z, les coefficients de déports de dentures x 1 et x, la longueur de roues b, et l entraxe a 0. Ces éléments sont à déterminer en fonction du cahier des charges comprenant essentiellement la puissance à transmettre P (kw) ou le couple de sortie en petite vitesse (PV) : C s (N m), les vitesses nominales (N m0 ) et (N s0 ± N s0 ), le coefficient de service K B et la durée espérée de fonctionnement H (h). Le comportement, en résistance des matériaux, est géré par les deux relations ISO pour la résistance en pression superficielle, définie dans l étude dynamique de l article Engrenages [B 636] : Z H Z E Z ε Z β F t bd u + 1 u K A K V K Hβ K Hα 1/ σ H lim Z N Z L Z R Z V Z W et pour la résistance à la rupture à la racine, définies dans l étude dynamique de l article Engrenages [B 636] : F t bm n0 Y Fa Y Sa Y ε Y β K A K V K Fβ K Fα ( ) σ F lim Y ST Y NT Y δ rel T Y R rel T Y X Ces relations, trop complexes en avant-projet, peuvent s écrire sous forme simplifiée : F t Ω 0 bd u P V u + 1 K αβ K V K B (1) avec ( σ Ω H lim ) 0 = Z E Z H Z ε Z β () et 1 F t σ 0 bm n K αβ K V K B (3) avec σ σ F lim Y ST Y 0 = Y Sa Y Fa Y ε Y β (4) Y = Y δ rel T Y R rel T Y X avec F t (N) composante tangentielle transmise, b (mm) longueur de roues dentées, m n0 (mm) module normal de taillage, d 1 (mm) diamètre primitif de fonctionnement du pignon, u rapport de réduction : u = N 10 /N 0 = d /d 1, K V facteur dynamique de vitesse, K B facteur de service correspondant à ( K A /Z N ) ou à (K A /Y NT ), K αβ facteur de répartition des charges sur les dents, correspondant à (K H β K Hα ) ou (K F β K Fα ), Z V facteur de film d huile, Z P facteur de rugosité correspondant à (Z L Z R Z W ), les différents facteurs Z E, Z H, Z ε, Z β et Y ST, Y δ relt, Y RrelT, Y X, Y Sa, Y Fa, Y ε, Y β étant tous définis dans l article Engrenages [B 636]. Figure Réducteur à engrenage cylindrique extérieur Figure 1 Réducteur élémentaire : géométrie et cinématique Techniques de l Ingénieur, traité Génie mécanique B

6 RÉDUCTEURS DE VITESSE À ENGRENAGES Il faut remarquer que les deux équations de résistance (1) et (3) font intervenir les dimensions b, d 1 et m n0 ainsi que le nombre de dents du pignon Z 1 tel que d 1 = mz 1. L équation (3) caractérise le risque de ruine par cassure de dents et l équation (1) caractérise un risque d écaillage superficiel ou de piqûres. Dans le but d éviter des dommages importants dus à une cassure de dents, il est préférable d obtenir un écaillage superficiel générateur de bruit avant d atteindre la cassure à la racine, ce qui permet d écrire : u Z Ω 0 bd P Z V < σ u + 1 K αβ K V K 0 bm n B K αβ K V K B aboutissant à : Z σ 0 u < ou Z Ω 0 u 1 < Z 1 max Z P Z V Cette inéquation limitera le choix du nombre de dents à envisager pour le pignon. Il ne reste plus, en prédétermination, que l inéquation (1) de résistance à la pression superficielle dans laquelle la composante tangentielle F t peut être remplacée par C 1 /d 1 avec C 1 (en N mm) couple sur le pignon et d 1 diamètre primitif du pignon : Deux dimensions interviennent ici : d 1 et b. Il est donc possible de calculer b si l on connaît d 1 ou de déterminer d 1 si b est connu. Dans le cas général d un avant-projet, aucune des deux dimensions n est connue mais, comme elles correspondent à un seul élément, le pignon, il est possible d adopter un rapport de proportions entre b et d 1 ; ce sera le coefficient de longueur tel que : b = ψd 1. Ainsi, une seule inconnue est conservée, le diamètre du pignon d 1, déterminé par l inéquation : ψ est de l ordre de 1, variant entre 0, et 1,5 suivant les matériaux utilisés et le type de construction adoptée (0, à 0,4 en boîtes de vitesses, matériaux de haute résistance, et 1, à 1,5 en réducteurs, matériaux de faible résistance). Ainsi, à partir des relations (5) et (7), l avant-projet peut se dérouler normalement. Un choix de matériaux avec traitements à cœur et en surface, une décision sur la précision à adopter et sur la forme de la denture (droite ou oblique) permettent d évaluer les deux critères de résistance Ω 0 et σ 0. Les valeurs des contraintes limites σ H lim en pression superficielle et σ F lim en flexion à la racine sont données dans les figures de l article Engrenages [B 636] donnant les facteurs C 5 et C B6, avec : L évaluation de 0 fait intervenir, d après la relation () : 0,35E Z a 0, E = = = N/mm Z E étant le facteur d élasticité ; cos β b Z H = sin α t cos α t u Z C 1 Ω 0 d 1b P Z V u + 1 K αβ K V K B d 1 C 1 K αβ K V K 1/3 B Ω 0 ψ u u + 1 Z Z P V σ H lim C 5 = Z E et C B6 = σ F lim Y ST (5) (6) (7) Z H étant le facteur géométrique (article Engrenages [B 636]) ; il est possible d évaluer β b # β 0, angle d hélice défini à partir du choix du rapport de recouvrement : ε β = 1 ou ou 3 (entier si possible) : avec b = ψd 1 et d 1 = m t Z 1 soit tan β 0 = ε β π /ψ Z 1. Il faut s imposer une valeur de ψ (voisin de 1) et une valeur de Z 1 (0 à 40). α t l angle apparent de fonctionnement est, en général, supérieur à 0 o : 1 à o en denture droite et 1 à 5 o en denture hélicoïdale ; 4 ε Z ε = α 3 en denture droite ; Z ε = 1/ε α en denture hélicoïdale, pour des dentures très chargées (contraintes proches de la limite admise) et de bonne précision (supérieure à IT 9), sinon Z ε = 1 ; il faut choisir un rapport de conduite apparente (ε α = 1,4 à 1,8) ; Z β = cos β avec β 0 déjà évalué précédemment (β 0 # β). L évaluation de 0 fait intervenir, d après la relation (4) : Y ST =,1 facteur de concentration de contrainte de l engrenage de référence en essais ; Y facteur fonction de la dimension, de la rugosité, de la sensibilité à l entaille correspondant au facteur C B 7 = Y = Y δ relt Y R relt Y X (article Engrenages [B 636]) ; Y Sa et Y Fa facteurs de concentration de contrainte et de coefficient de forme ISO correspondant au facteur C B4 = 1/Y Fa Y Sa (article Engrenages [B 636]) ; Y ε = 0,5 + (0,75 /ε α ) facteur de conduite avec les valeurs de la conduite apparente évaluées précédemment ; Y β = 1 (ε β β 0 /10) facteur d inclinaison pour β 0 30 o avec Y β 0,75. le diamètre du pignon d 1 par la relation (7) avec C 1 (N mm) couple sur l arbre du pignon : C 1 = P /ω 10, K V pas apparent πm t tan β 0 = ε β = ε b β b Z 1év 0,8 à 0,9Z 1 max ( év pour évalué) Deux évaluations rapides s avèrent possibles : le nombre maximal de dents du pignon Z 1 max par la relation (5) dans laquelle σ 0, Ω 0, u sont connus. Z P est choisi suivant le type de finition de la denture Z P = Z L Z R Z W d où la correspondance avec le facteur C 6 = (Z L Z R Z W ) (article Engrenages [B 636]). Z V est évalué suivant la vitesse du pignon, avec la correspondance C 3 = Z V /KV (article Engrenages [B 636]) ; on prend Z V = 1 à ce stade. Par sécurité, le nombre de dents sera de l ordre de : inverse du facteur C B3, Kαβ inverse du facteur C B 5 et Z V cor- respondant au facteur C 3 = Z V /KV, ces trois facteurs étant définis dans l étude dynamique de l article Engrenages [B 636]. ψ est choisi entre 0,7 et 1,, valeurs inversement proportionnelles à la résistance superficielle σ H lim. Un bouclage sur les valeurs de K αβ, Z V et K V est souhaitable pour définir d 1 év (d 1 évalué). B Techniques de l Ingénieur, traité Génie mécanique

7 RÉDUCTEURS DE VITESSE À ENGRENAGES Quelques décisions interviennent. Si aucune obligation de fabrication n impose l angle d hélice β 0, Z 1 étant connu, la relation vue précédemment est à utiliser : tan β 0 = ε β π /ψz 1 ; β 0 est arrondi à l unité ou au 1/10 supérieur, d où le choix de β 0. La valeur du module normal m n0 de l outil est issue de la relation : d 1 = m n0 Z 1 /cos β 0 soit m n0 # d 1 év cos β 0 /Z 1 év m n0 est à choisir dans les séries normalisées ISO (article Engrenages [B 636]). La décision sur le nombre de dents Z 1 est issue de : Z 1 # d 1 év cos β 0 /m n0 Z 1 étant nécessairement un entier inférieur à Z 1max. Enfin, le nombre de dents de la roue Z est donné par : Z = Z 1 N 10 /(N 0 ± N 0 ) Ce choix est assorti de plusieurs conditions : Z est un entier, premier avec Z 1 pour assurer un bon rodage et réduire le risque de vibrations. On évitera un nombre premier absolu s il est supérieur à une certaine limite dépendant du matériel de fabrication ; généralement, cette limite est de l ordre de 100 dents pour un matériel économique classique. Si l entraxe a 0 n est pas imposé, ce qui représente le cas général, deux solutions se présentent quant au choix de cet entraxe et cela dans l optique du renforcement des dents : un entraxe arrondi au millimètre est décidé ; il se situe dans la fourchette suivante : a 0 = [m n0 (Z 1 + Z )/ cos β 0 ] + (0 à m n0 ) (8) et les coefficients de déports de dentures x 1 et x seront adaptés par la suite ; des déports sont choisis, de coefficients x 1 et x, à partir des éléments définis dans l article Engrenages [B 636] et l entraxe sera adapté avec précision (en général x 1 > 0 et x > 0). Les déports de dentures caractérisés par les coefficients x 1 et x sont choisis, d une part, pour assurer un engrènement sans jeu pour un entraxe donné a 0 et, d autre part, pour équilibrer la denture soit en glissements relatifs (article Engrenages [B 636] ), soit en produits d usure, soit en rapport de glissement aux extrémités du segment de conduite apparente. Les éléments d analyse (article Engrenages [B 636]) sont issus de la fabrication : m n0, β 0, α n0 = 0 o l entraxe a 0 étant fixé : m n0 = m t0 cos β 0 tan α n0 = tan α t0 cos β 0 tan β b = tan β 0 cos α t0 a 0 m t = ( Z 1 + Z ) et m cos α = m t t t0 cos α t0 d où α t ( Z 1 + Z ) ( x 1 + x ) = ( invα t invα t0 ) tan α n0 (9) On rappelle que inv α = tan α α. L équilibrage des produits d usure (σ H v 1 ) A = (σ H v 1 ) B aux extrémités du segment de conduite apparente se simplifie aisément car la vitesse de glissement est proportionnelle à la position du point de contact par rapport au centre instantané de rotation I (article Engrenages [B 636]) : (v 1 ) A = ω 1 IA (v 1 ) B = ω 1 IB La pression superficielle est proportionnelle à l inverse du rayon équivalent (1/ρ eq ) 1/, ce rayon équivalent en relation de Hertz étant défini par : 1 1 cos β ( ρ eq ) M b cos β b ( T T 1 M T M 1 M + T M) cos β = = b ( T 1 M) ( T M) ( T 1 T ) cos β = b ( T 1 M) ( T M) (article Engrenages [B 636]) qui, exprimé en A ou en B, devient : ( T ( ρ eq ) 1 A) ( T A) ( T A = et ( ρ (10) ( T 1 T ) cos β eq ) 1 B) ( T B) B = b ( T 1 T ) cos β b Il est souhaitable que l on obtienne les deux tests t égaux (ce qui correspond à égaliser les glissements relatifs maximaux) : 1/ 1/ t A = IA/ ( ρ eq ) A et t B = IB/ ( ρ eq ) B à moins de 5 % près Ce calcul impose l analyse de la conduite apparente pour x 1 et x fixés, donc un bouclage ou un calcul itératif, le calcul direct de x 1 et x, n étant pas possible. Il ne reste plus qu à adapter la longueur de roues dentées b à toutes les autres caractéristiques. Le diamètre de fonctionnement est calculable : d 1 = m t Z 1, et la composante tangentielle vaut F t = C 1 /d 1. Le critère de résistance superficielle Ω 0 peut être actualisé puisque α t et β b sont connus, ainsi que ε α et β de fonctionnement (tan β b = tan β cos α t ). Il est alors possible de déterminer, à partir de la relation (1) : b F t K V K B (11) K αβ Ω 0 d 1 [ Z /( Z 1 + Z )]Z P Z V Un bouclage sur K αβ (inverse de C B5 ) est possible et permet de choisir la longueur b ; une vérification s impose quant au rapport de recouvrement ε β 1. Exemple numérique d un réducteur transmettant une puissance de 100 kw avec une vitesse motrice N 10 = 100 tr/min, une vitesse de sortie N 0 = 500 tr/min ± 3 %, un coefficient de service K B = 1,4 et une durée H = h (la durée étant très importante, les coefficients Z N et Y NT ont la valeur asymptotique de la courbe de Wöhler égale à 1). Un acier allié de cémentation 0 MC 5 est choisi, il a pour caractéristiques : σ H lim = N/mm, σ F lim = 400 N/mm qualité ISO 6. L évaluation des critères de résistance permet d obtenir, avec une denture hélicoïdale : ( 1 400) Ω 0 = = ,44 0,65 0,98 16 N/mm π avec tan β 0 = ,8 0 soit β 0 = 1 o pour ψ = 0,8, Z 1 = 0 et ε β = 1 α t évalué à 3 o et ε α év = 1,6 400,1 1 σ 0 = = 4,14 0,7 0,9 310 N/mm avec Y = 1, et (Y Sa Y Fa ) correspondant, a priori, à Z 0 = 30 et x 0 = + 0,4 [1] β 0 = 1 o et ε α = 1,6. Techniques de l Ingénieur, traité Génie mécanique B

8 RÉDUCTEURS DE VITESSE À ENGRENAGES Le rapport de réduction vaut u = 100/500 = 4, et le coefficient de rapport C r = u /(u + 1) = 0,81 : Z P = 1 (rectification du pignon et de la roue) et Z V = d où Z 1max = = 16 0, avec une sécurité de 10 à 0 %, Z 1év = 19 à. Avec une vitesse d entrée ω 10 = 0 rd/s, un couple moteur C 1 = 455 N m, l évaluation du diamètre du pignon est telle que : d 3 1,5 1, 1,4 1 = ,8 0, d où d 1 = 57, avec le choix de K αβ = 1,5 ; Z V = 1 et K V = 1,. Le bouclage est possible puisque v t = 6,3 m/s, b # 45 et Z 1 # 18, ce qui permet d obtenir : K αβ = 1/0,8 = 1,5 d où d 1 = 56. Les décisions suivantes interviennent à partir de Z 1 év = 19 à et d 1év = 56 : β 0 = 13 o (avec ψ = 0,8, Z 1 choisi = 19 et ε β = 1) m n0 = 3, Z 1 = 18, Z = 77 et N s0 = /77 = 491 tr/min (inclus dans 500 ± 15) a 0 = 150 mm L étude de l adaptation permet de calculer : α t0 = 0,483 m t0 = 3,078 9 m t = 3,157 9 α t = 4,08 6 x 1 + x = 1,357 β b = 1,04 β = 13,3 avec x 1 = 0,600 et x = 0,757, les dentures sont équilibrées avec ε α = 1,46. Il ne reste plus que le calcul de la longueur b, avec : d 1 = 56,84 F t = N C 3 = Z V /K V = 0,88 Ω 0 = 15,4 N/mm b ,4 et = 36 K αβ 15,4 56,84 0,81 1 0,88 si K αβ = 1,3, b 45, ce qui permet d assurer ε β =1. Les caractéristiques de fabrication du réducteur sont alors : module m n0 = 3 angle d hélice β 0 = 13 o pignon : Z 1 = 18, x 1 = + 0,6 roue : Z = 77, x = + 0,757 entraxe a 0 = 150 mm longueur de denture b = 45. Réducteur à engrenage cylindrique intérieur [1] Z H = 5,6 Z ε = 0,68 Z β = 0,97 Figure 3 Réducteur à engrenage cylindrique intérieur Le même type de denture normalisée ISO est utilisé mais les surfaces primitives sont des cylindres de révolution de diamètre d 1 et d tangents intérieurement. L encombrement général est réduit par rapport à la solution précédente mais le pignon, en général, est en porte à faux, ce qui interviendra sur le coefficient de portée des dentures sous forme, par exemple, d un coefficient spécial K S = 0,9. Les éléments nouveaux, différents de ceux vus précédemment, sont : la relation d entraxe : a 0 = (d d 1 )/ = m t (Z Z 1 )/ connaissant les caractéristiques β 0, m n0, Z 1, Z, x 1, x, a 0 ; le coefficient de rapport : C r = u /(u 1) avec u = d /d 1 = Z /Z 1 = N 10 /N 0 car le contact entre dentures est de nature convexo-concave ; la relation définissant les coefficients de déports sous la forme : ( x x 1 ) = ( inv α t inv α t0 )( Z Z 1 )/tan α n0 avec α n0 = 0 o m a n0 ( Z Z 1 ) 0 = ( 0 à m cos β n0 ) 0 a m 0 t = ( Z Z 1 ) m t cos α t = m t0 cos α t0 (1) Les caractéristiques dimensionnelles de la roue à denture intérieure sont définies dans l article Engrenages [B 636]. La conduite s analyse sous une forme analogue à celle utilisée en engrenage extérieur mais T 1 T = IT IT 1 et les relations relatives aux rayons de courbure équivalents prennent la forme : 1 1 cos β ( ρ eq ) M cos b β b cos β T 1 M T M b ( T T ) = = ( T 1 M) ( T M) La géométrie est encore de parallélisme entre l arbre d entrée et l arbre de sortie : Σ 0 = 0 et a 0 = Cte (figure 3). Les sens de rotation sont les mêmes. B Techniques de l Ingénieur, traité Génie mécanique

9 RÉDUCTEURS DE VITESSE À ENGRENAGES ceci devenant, en A et en B : ( T ( ρ eq ) 1 A) ( T A) ( T A = et ( ρ ( T 1 T ) cos β eq ) 1 B) ( T B) B = b ( T 1 T ) cos β b (13) Exemple numérique : un réducteur de mêmes caractéristiques que précédemment peut être étudié : puissance 100 kw, vitesse d entrée N 10 = 100 tr/min, vitesse de sortie N 0 = 500 tr/min ± 3 %, coefficient de service K B = 1,4, durée probable H = h. Le même type de matériau ne peut pas être choisi pour la roue à denture intérieure car la rectification n est pas possible, d où le choix d un acier trempé dans la masse 35 NCD 1 (HV 10 = 360) avec σ H lim = 900 N/mm et, pour le pignon, un acier 4 CD 4 cémenté et rectifié avec σ F lim = 340 N/mm, Z P (ou C 6 ) = 0,87, qualité ISO 7. De même que précédemment, avec ψ = 0,8, Z 1 = 5, β 0 = 9 o, ε β = 1, α t = 3 o et ε α = 1,5 : ( 900) Ω 0 = = ,5 0,67 0,99 6 N/mm 340,1 1 σ 0 = = 4,14 0,75 0,93 50 N/mm Avec C r = u /(u 1) = 4,/3, = 1,31 : et Z 1 év = 8 à 3 Avec C 3 = Z V /KV = 0,85 et C B5 = 1/1,4, v t = 8,3 m/s, C 3 = 0,86, b = 60, C B5 = 0,7 = 1/1,43 (ISO 7) et d 1 = 75 mm. Les premières décisions imposent : = 9 o 0, m n0 = 3, Z 1 = 5, Z = 106 N s0 = 495,3 tr/min et a 0 = 16 mm L adaptation suit : m t0 = 3, α t0 = 0,9 m t = 16/81 = 3, α t = 3,640 β b = 8,453 et x x 1 = 1,078 et l étude d équilibrage de l usure en extrémités de segment de conduite permet d obtenir : x 1 = + 0,590, x = + 1,668 avec ε α = 1,44. Il reste le calcul de la longueur de roues : et b = 60 pour que ε β = Z 1max = = 6 1,31 0, d 3 1,4 1,4 1 = ,8 1,31 0,87 0,87 0,9 d où d = 75 1 d 1 = 77,78 F t = N Ω 0 = 6 N/mm b , = 40,3 et b 58 K αβ 6 77,78 1,31 0,87 0,85 0,9.3 Réducteur à engrenage conique Un réducteur à engrenage conique (figure 4) est un mécanisme sphérique utilisé dans le cas d une géométrie de concourance des axes : ( O, x 10 ), ( O, x 0 ) = ( 0, Σ 0 ) Figure 4 Réducteur à engrenage conique Les surfaces primitives sont des cônes de révolution de même sommet, tangents extérieurement (article Engrenages [B 636]) et le rapport de réduction u vaut : u = N 10 /N 0 = d /d 1 = R 0 sin δ /R 0 sin δ 1 donc u = sin δ /sin δ 1 et δ 1 + δ = Σ 0 d où l on tire tan δ 1 = sin Σ 0 /(u + cos Σ 0 ) (14) Seules les dentures extérieures peuvent être taillées en roues coniques, avec pour limite la roue plate : δ π/. Les relations de résistance de la denture adoptent toujours la même forme en assimilant l engrenage conique à l engrenage cylindrique équivalent défini sur les diamètres moyens (article Engrenages [B 636]) : d V1m = d 1 / cos δ 1 d V m = d /cos δ Les relations complètes sont données dans l étude dynamique de l article Engrenages [B 636] ; elles peuvent, là encore, s écrire sous une forme simplifiée : avec avec Z P Z V ( R F t Ω 0 bd 1 C* r b) K αβ K V K B R 0 ( σ Ω H lim ) 0 = Z E Z H Z ε Z β 1 ( R F t σ 0 bm n b) K αβ K V K B R 0 ( σ σ F lim )Y ST Y 0 = Y Sa Y Fa Y ε Y β (15) (16) Ces relations correspondent à celles vues en engrenage cylindrique (1) et (3), les éléments différents étant le coefficient d homothétie de l engrenage conique : (R 0 b)/r 0 et le coefficient de rapport C* r qui correspond à C r = u /(u + 1) de l engrenage cylindrique devenant : C* r = u /(u cos δ 1 + cos δ ) (17) Techniques de l Ingénieur, traité Génie mécanique B

10 RÉDUCTEURS DE VITESSE À ENGRENAGES Le facteur de répartition des charges K αβ est différent ; il est donné dans l étude dynamique de l article Engrenages [B 636]. Enfin, pour que le rayon de raccord constant en pied de dent ne soit pas trop important par rapport à la hauteur de dent, la longueur b ne doit pas dépasser R 0 /3. L avant-projet suit un déroulement analogue à celui décrit pour l engrenage cylindrique avec, comme différences : le choix du coefficient de longueur b, utilisé dans l équation (7) : b = ψd 1, devient en conique : donc une étude cinématique est nécessaire pour évaluer δ 1 et δ, angles intervenant dans la valeur de ψ et dans celle de C* r ; le coefficient (R 0 b )/R 0 peut être estimé au minimum à /3 ; le coefficient Z P ou C 6 est défini dans l étude dynamique de l article Engrenages [B 636], le rodage remplaçant la rectification en finition de denture. Ainsi, nous obtenons les deux relations d évaluation : (18) (19) Puis les décisions sont à prendre : β 0, m n0, Z 1, Z, δ 1, δ, x 1 et x. Il est habituel de choisir x 1 + x = 0, les coefficients de déports x 1 et x assurant l égalité des produits d usure ou des glissements relatifs aux extrémités du segment de conduite dans l étude de l engrenage cylindrique équivalent : Z V 1 = Z 1 /cos δ 1 Z V = Z /cos δ avec δ 1 = arctan [Z 1 sin Σ 0 /(Z + Z 1 cos Σ 0 )] et δ = Σ 0 δ 1. Le dernier calcul est celui de b mais, ici, ce calcul aboutit à résoudre une équation du second degré puisque b apparaît en (15) comme longueur b et dans le coefficient [(R 0 b )/R 0 ] : devenant : d 1év = b R 0 /3 et d 1 #R 0 sin δ 1 ψ 1/ ( 6 sin δ 1 ) σ 0 Z 1év = ( 0,8 à 0,9) Ω 0 C * r Z P Z V C 1 K αβ K V K /3 B Ω 0 ψc * r Z P Z V ( R 0 b)/r 0 Z P Z V ( F t Ω 0 d 1 C * r b R 0 b) = K αβ K V K B R 0 b F R 0 b + K = 0 avec K t R 0 K αβ K V K = B (0) Ω 0 d 1 C * r Z P Z V L équation a deux racines positives et la longueur à adopter en sécurité se situe entre ces deux valeurs, la plus petite devant être inférieure à R 0 /3. Une explication rapide s impose car il peut paraître paradoxal d obtenir deux valeurs, et de choisir la plus petite. La relation utilise F t en I tel que F t = C 1 /d 1 mais, en réalité, une partie du coefficient (R 0 b )/R 0 fait intervenir F tm au diamètre moyen, une autre partie caractérise d 1m, diamètre moyen correspondant (figure 5). À la valeur b, la plus faible, correspondent F t = C 1 /d 1m faible et d 1m fort alors qu à la valeur b, la plus grande, correspondent F t = C 1 /d 1m important et d 1m plus faible. Exemple numérique : l exemple le plus classique correspond à un engrenage conique à denture droite car la normalisation est assez précise et souvent respectée. Soit les données suivantes : P = 80 kw, N 10 = tr/min, N 0 = 500 tr/min ± 3 %, K B = 1, et Σ 0 = 80 o. L étude cinématique utilise u = 1 460/500 =,9 et Σ 0 = 80 o : tan δ 1 = sin 80/(,9 + cos 80) soit δ 1 = 17,7 et δ = 6,3 puis ψ = 1/(6 sin 17,7) = 0,55 et C* r =,9/(,9 cos 17,7 + cos 6,3) = 0,9 Un acier de nitruration est choisi : 31 CDV 9, avec rodage, précision ISO 6 : σ H lim = 1 90 N/mm D où σ F lim = 45 N/mm et Z P = 1 possible ( 1 90) Ω 0 = = , 0,75 9,7 N/mm 45,1 1 σ 0 = = 4,1 0,68 30 N/mm Le calcul des éléments évalués donne, avec ω 10 = 15,9 rd/s et C 1 = 53 N m : et : d où d 1 = 90 Avec v t = 6,9 m/s, b = 50, C 3 = Z V /KV = 0,93 et K αβ = 1,4, le bouclage permet d obtenir d 1 = 86, d où le choix : m n0 = 3 Z 1 = 31 Z = 91 (N s0 = 497 tr/min) δ 1 = 17,575 δ = 6,45 Z V 1 = 3,5 Z V = 196,58 x 1 = + 0,7 x = 0,7 avec ε α = 1,73 d 1 = 93 F t = N Ω 0 = 9,6 N/mm et R 0 = 154 b 154b = 0 b = 35 < 51 Si une denture spirale est utilisée pour réduire le bruit et améliorer la résistance, le projet est beaucoup plus délicat, chaque type de denture spirale ayant sa définition propre donc assujettie à un calcul particulier des dimensions (article Engrenages [B 636]). Un acier de cémentation est choisi 0 MC 5 avec rodage et précision ISO 6 : et 30 Z 1év = ( 9,7 0,9 0,8 à 0,9 ) = 9 à 33 d 1év / 3 1,45 1, 1,5 3 = ,7 0,55 0,9 1 1 σ H lim = N/mm et σ F lim = 480 N/mm Avec β 0 = 30 o, ε α = 1, (denture hélicoïdale), α t = o : ( 1 400) Ω 0 = = ,83 0,87 14,8 N/mm 400,1 σ 0 = = 4,1 0,88 0, N/mm 310 Z 1év = ( 14,8 0,9 0,8 à 0,9 ) = 19 à d 3 1,4 1, 1,5 3 1év = d où d 14,8 0,55 0, = 77 B Techniques de l Ingénieur, traité Génie mécanique

11 RÉDUCTEURS DE VITESSE À ENGRENAGES Avec v t = 5,9 m/s, b = 4, C 3 = Z V /KV = 0,93 et K αβ = 1,41, on obtient : d 1 = 74, d où les décisions : β 0 = 30 o (article Engrenages [B 636]) pour un rapport de recouvrement élevé : ε β > 1 et m n0 = 4 Z 1 = 17 Z = 50 N s0 = 496,4 tr/min δ 1 = 17,545 δ = 6,455 x 1 = + 0,3 x = 0,3 et ε α = 1,3.4 Réducteur à engrenage spatial C est ici le cas d une géométrie quelconque dans laquelle les axes ne sont ni parallèles ni concourants. La seule particularité possible dans la position : ( O 10, x 10 ), ( O 0, x 0 ) = ( a 0, Σ 0 ) est celle de l orthogonalité pour laquelle Σ 0 = π/. Plusieurs solutions sont utilisées : l engrenage gauche hélicoïdal (article Engrenages [B 636]) ; l engrenage globique dans lequel des surfaces toriques s enveloppent mutuellement et la denture est de profil très spécial [] [3] ; l engrenage à vis sans fin utilisant des profils très variés (article Engrenages [B 636]) ; l engrenage hypoïde dont les surfaces pseudo-primitives sont des cônes de révolution n ayant pas le même sommet et dont les profils sont particuliers [] [3]. Dans tous ces cas, le rapport u = Z /Z 1 peut être très varié mais les éléments de résistance des matériaux sont très délicats à établir et à gérer, le contact étant en général ponctuel et quelquefois linéique. Le rendement est aussi, dans de nombreux cas, très inférieur à celui obtenu en engrenage cylindrique et en engrenage conique. La fabrication est aussi très délicate et ne peut être gérée que par quelques spécialistes peu nombreux, dans le cas d une transmission de puissance. 3. Réducteurs élémentaires dérivés Sans en arriver aux groupements d engrenages simples, il est possible de constituer des réducteurs de base formés de plus de deux roues dentées. 3.1 Réducteur à roue intermédiaire (ou à roue parasite) Le pignon (1) de diamètre d 1 n est pas en contact avec la roue () de diamètre d (figure 6), l entraxe étant supérieur à la demi-somme des diamètres de têtes : a 0 > (d a1 + d a )/ Une roue intermédiaire (3) de diamètre d 3 engrène avec le pignon (1) en A et avec la roue () en B par adaptation des deux entraxes a 13 et a 3. L engrènement impose, en denture normalisée : le même module m n0, le même angle d hélice β 0 puisque α n0 = 0 o. Chaque contact extérieur en A et B change le sens de rotation. On obtient donc, ainsi, un réducteur élémentaire formé de roues à dentures extérieures dont les vitesses sont de même sens. Le prix est réduit par rapport à une denture intérieure et la précision est plus grande. Si les nombres de dents sont Z 1, Z, Z 3, le rapport de vitesse vaut : N u 10 N N Z Z 3 Z = = = = N 0 N 30 N 0 Z 1 Z 3 Z 1 ce rapport est indépendant de Z 3, d où le nom de roue parasite pour la roue (3). Le choix des caractéristiques de la roue (3) : Z 3, d 3 paraît aléatoire. Il n en est rien car la roue (3) étant montée libre sur son axe, les composantes tangentielles en A et en B sont de même valeur : F na = F nb = C 1 /d b1 Figure 5 Réducteur à engrenage conique : choix de la longueur b Figure 6 Réducteur à roue intermédiaire (ou roue parasite) Techniques de l Ingénieur, traité Génie mécanique B

12 RÉDUCTEURS DE VITESSE À ENGRENAGES Le diamètre d 1 étant le plus petit vis-à-vis de d 3 et de d, le point faible est en A entre (1) et (3). L évaluation de d 1 correspond à la relation : 3 k C 1 = Ω 0 ψd (1) k + 1 K GH Z avec k = Z 3 /Z 1 et K P Z V GH = K αβ K V K B Le diamètre du pignon d 1, pour une transmission de caractéristiques définies, varie en fonction du rapport k sous la forme de [(k + 1)/k ] 1/3. Si l on souhaite optimiser la transmission, il faut rechercher la masse minimale ou le volume minimal. Ce volume des trois roues a pour expression : avec b = ψd 1 ; d 3 = kd 1 et d = ud 1 Ce volume varie sous la forme de : puisque ψ est constant. πd V 1b πd b πd b = πψ 3 V = d 4 1 ( 1 + k + u ) f( k) ( k + 1) = ( 1 + k k + u ) Le rapport u étant défini, donc invariant, le choix de la variable k correspond au minimum de la fonction f (k ), soit df (k )/dk = 0 ou encore l équation à résoudre est : k 3 + k (1 + u ) = 0 () La valeur de k nous ramène au projet classique (.1) et aboutit au choix de : β 0, m n0, Z 1, Z, Z 3, puis de l entraxe a 13, des coefficients de déports x 1 et x 3, et de la longueur de roue b. Quant au choix de x et de a 3, bien des solutions sont possibles : une simple adaptation puisque les contraintes sont plus faibles (d 3 > d 1 ), ou bien une adaptation sérieuse : x et a 3 équilibrant les produits d usure et un matériau moins cher pouvant être utilisé pour la roue () ou une longueur b plus faible étant prévue. Il est à remarquer que, si les caractéristiques de taillage (m n0, α n0, β 0 ) sont les mêmes pour les trois roues (1), () et (3), les caractéristiques de fonctionnement sont très différentes car : en A, engrènement entre (1) et (3) : m t = a 13 /(Z 1 + Z 3 ) cos α t = (m t0 cos α t0 )/m t ( d 3 ) A = m t Z 3 = d* 3 d où x 1 + x 3 = (inv α t inv α t0 )(Z 1 + Z 3 )/ tan 0 o (3) en B, engrènement entre (3) et () : m* t = a 3 /( Z 3 + Z ) cos α * t = ( m t0 cos α t0 )/m* t ( ) B = m* t Z 3 = d** d 3 d où x 3 + x = ( inv α* t inv α t0 )( Z + Z 3 )/ tan 0 o (4) d* 3 et d** 3 sont les deux diamètres primitifs de fonctionnement de la roue (3), respectivement côté (1) et côté (). 3 Exemple numérique : si l on reprend l exemple du paragraphe.1, u = 4, permet le calcul de k = 1,95 ; un même choix de matériau définit Z 1év = ; d 1év = 60 ; d où les décisions : β 0 = 11 o m n0 =,5 Z 1 = 3 Z = 97 Z 3 = 45 N s0 = 498 tr/min a 13 = 90 avec x 1 = + 0,7 x 3 = + 0,837 et b = 46 et par approximations successives : a 3 = 185,5 et x = + 1,197 Il reste à définir l entraxe a 1 = 163 avec a 1 ( d a1 + d a )/. Une longueur b = 5 suffirait sur la roue () constituée du même matériau. Il est à remarquer que, si le pignon moteur fonctionne toujours dans le même sens, la position de la roue intermédiaire doit être telle que l action sur les guidages soit de la plus faible intensité (analyse de F na + F nb + F O 30 = 0). 3. Réducteur coaxial à arbre intermédiaire Ce type de réducteur (figure 7a) permet d assurer une géométrie de coaxialité économique, puisqu il n y a que des roues à dentures extérieures et, de plus, il est possible d éviter les porte-à-faux : ( O 10, x 10 ), ( O 0, x 0 ) = ( a 0 = 0, Σ 0 = 0) Par contre, deux engrenages sont nécessaires ainsi qu un arbre intermédiaire parallèle aux deux autres. Chaque engrenage a un rapport de valeur : u 1 = d 1 /d 11 = N 10 /N i0 et u = d /d 1 = N i0 /N 0 soit u = N 10 /N 0 = u 1 u et l entraxe est le même pour les deux engrenages : a 0 = (d 11 + d 1 ) = (d 1 + d ) Si, par souci d homogénéité, en plus d un même matériau, on adopte un même coefficient de longueur ψ = b 1 /d 11 = b /d 1, il sera possible de déterminer u 1 et u pour u imposé. Les calculs d évaluation du diamètre des pignons sont de la forme : 3 u 1 C m = Ω 0 ψd K 11 u GH1 pour le premier engrenage 3 u C i = u 1 C m = Ω 0 ψd K 1 u + 1 pour le second engrenage GH 3 u ( u soit d 11 proportionnel à )u et d u 1 proportionnel à u en admettant K GH1 # K GH. Les relations d entraxe s écrivent : a 0 = d 11 (1 + u 1 ) = d 1 (1 + u ) 3 devenant d 11 ( 1 + u 1 ) 3 3 = d 1 ( 1 + u ) 3 ( u ou encore 1 + 1) 4 ( u + 1) = avec u (5) u u 1 u = u 1 Ce système d équations se résout aisément par itération. Il ne reste plus qu à traiter un projet classique sur l engrenage de rapport u 1, puis à adapter le deuxième engrenage à l entraxe a 0 et au rapport u fixés. B Techniques de l Ingénieur, traité Génie mécanique

13 RÉDUCTEURS DE VITESSE À ENGRENAGES Exemple numérique : étudions un réducteur coaxial de caractéristiques imposées : P = 100 kw ; N m0 = 100 tr/min ; N s0 = 140 tr/ min ± 3 % ; K B = 1,4 et l acier 0 MC 5 choisi comme au paragraphe.1. L étude initiale et particulière consiste à résoudre : avec u 1 u = 15 ; on obtient u 1 = 5,85 et u =,56. L avant-projet se traite sur le premier engrenage : u 1 = 5,85 C r = 0,85 ω 10 = 0 rd/s C 1 = 455 N m Ω 0 = 16 N/mm σ 0 = 90 N/mm ψ = 0,8 on obtient Z 1év = 17 et d 11 = 55 d où les décisions : ( u 1 + 1) 4 /u 1 = ( u + 1) 4 /u ( β 0 ) 1 = 14 o (m n0 ) 1 = 3 Z 11 = 17 Z 1 = 100 et a 0 = 184 Les déports de dentures sont à adapter, la longueur b 1 est à calculer. Le second engrenage est à adapter à partir de trois conditions : l entraxe : d 1 + d = a 0 = 368 ; le rapport u réévalué à partir de u et de u 1 = Z 1 /Z 11 devient : u = d /d 1 ; le nombre de dents du pignon est à évaluer avec C r = u /(u + 1) = 0,7 ; Z 1 év = 1. Le choix de β 0 est classique de même que celui de m n0 ; par contre, les décisions sur les valeurs de Z 1 et de Z sont plus délicates car il est nécessaire d assurer un rapport correct, un renforcement des dents et les particularités sur les nombres Z 1 et Z : Z 1 = 0 et Z = 51 conviennent ; N s0 = 140 tr/min et les déports et longueur de denture se calculent aisément : (β 0 ) = 1 o et (m n0 ) = 5. Il est à remarquer que les hélices devront être de même sens sur les roues dentées de l arbre intermédiaire pour que les composantes axiales des efforts supportés soient en opposition. Pour des raisons très particulières, il est possible d utiliser l engrenage intérieur, ce qui, à la limite, conduit à proposer trois solutions supplémentaires (figure 8). Une étude, avec les mêmes hypothèses que précédemment, aboutit aux deux relations : Figure 7 Réducteur coaxial à arbre intermédiaire : engrenage extérieur u 1 u = u et ( u 1 ± 1) 4 /u 1 = ( u ± 1) 4 /u (6) avec le signe (+) dans le cas de l engrenage extérieur et le signe ( ) dans le cas de l engrenage intérieur. Enfin, dans la solution classique (figure 7a) n utilisant que des roues à dentures extérieures, il est possible de placer une roue parasite sur l un des deux engrenages de rapport u 1 ou u, et cela pour obtenir des vitesses N m0 et N s0 de sens contraires (figure 7b). 3.3 Réducteur épicycloïdal plan élémentaire C est un groupement particulier de roues dentées (figure 9) permettant d assurer une transmission de puissance entre deux arbres coaxiaux avec des combinaisons d utilisations multiples correspondant à des rapports de réduction ou de multiplication très variables. Il comprend quatre pièces mobiles par rapport à un bâti fixe B 0 ; trois pièces sont guidées par assemblages rotoïdes d axe unique ( O, x 0 ) : le planétaire solaire (1), le planétaire couronne (3) et le porte-satellite (4) ; la pièce intermédiaire (), ou satellite, est guidée par assemblage rotoïde d axe ( O 4, x 4 ). Une étude cinématique aboutit à la relation de Willis citée dans l article Engrenages [B 636]. Elle se traite en analysant le mouvement relatif des différentes pièces par rapport au porte-satellite (4) pour Figure 8 Réducteur coaxial à arbre intermédiaire : engrenage intérieur Techniques de l Ingénieur, traité Génie mécanique B

14 RÉDUCTEURS DE VITESSE À ENGRENAGES Figure 9 Réducteur épicycloïdal plan élémentaire que l on se retrouve dans le cas d un engrenage classique à axes fixes et à roue intermédiaire () entre roues à dentures extérieures (contact en A) et roues intérieures (contact en B) : (N 14 /N 34 ) = (N 10 N 40 )/(N 30 N 40 ) = λ = Z 3 /Z 1 (7) dans laquelle les vitesses sont exprimées en valeurs algébriques ; le rapport λ dit «rapport de base» est indépendant de Z et il est négatif puisque le contact en A change le sens de la rotation et le contact en B conserve le sens. L équation caractéristique peut aussi s écrire sous la forme : N 10 λn 30 + (λ 1)N 40 = 0 (8) Cette équation montre que le degré de mobilité du mécanisme est de deux puisque deux vitesses de valeurs indépendantes doivent être fixées pour que tous les mouvements soient définis, entre autres la troisième vitesse parmi N 10, N 30, N 40. L analyse directe du mécanisme confirme que le degré de mobilité est de deux, ceci sans hyperstatisme, puisque quatre pièces sont en mouvement spatial ; il faut donc déterminer 6 4 = 4 paramètres cinématiques (trois composantes de rotation et trois composantes de translation pour chaque pièce) ; chaque assemblage définit des degrés d obstacles ou «relations d obstacles» entre les composantes cinématiques : cinq pour un assemblage rotoïde (ou pivot), il y a quatre pivots ici ; une pour un assemblage ponctuel du type contact entre dentures bombées, en A et en B. Il y a donc (5 4) + ( 1) = équations ou relations d obstacles [4]. Dans le cas général, un système d équations linéaires comprenant 4 inconnues et relations est indéterminé d ordre, ce qui ici consiste à choisir arbitrairement des valeurs indépendantes pour deux inconnues dans le but de définir toutes les autres. Pour ramener ce mécanisme à un seul degré de mobilité, la solution générale consiste à choisir un élément moteur, un élément asservi et un élément récepteur parmi les pièces (1), (4), (3). L élément asservi peut l être de trois façons différentes : un second moteur, indépendant du premier, entraîne cet élément à vitesse constante ; un variateur entraîne l élément asservi, ainsi la vitesse de sortie est variable ; elle peut même, dans certains cas, s annuler et changer de sens ; l élément asservi est immobilisé (vitesse nulle) par blocage permanent sur le bâti B 0, c est la solution la plus courante en réducteurs épicycloïdaux. Le tableau résume les six cas possibles lorsque les fonctions de (1), (4), (3) sont permutées entre élément moteur, récepteur ou freiné. On obtient six courbes exprimant le rapport u i = N m0 /N s0 en fonction de λ dans le cas général. Les zones utilisables, en transmission élémentaire, sont celle qui correspond à λ < 1 dans laquelle Z 3 > Z 1 et celle qui correspond à λ > 1 dans laquelle il y a deux roues parasites pour que λ soit positif. Si u i > 1 l appareil est un réducteur de même sens. Si 1 > u i > 0 l appareil est un multiplicateur de même sens. Si 0 > u i > 1 l appareil est un multiplicateur de sens contraire. Si 1 > u i l appareil est un réducteur de sens contraire. (0) L étude statique dans le but de connaître les efforts transmis est aisée dans le cas du frottement négligé et d une denture droite ; elle consiste à analyser l équilibre du satellite () (figure 10) : les actions mécaniques de contact ponctuel entre dentures à profils en développantes de cercles sont tangentes au cercle de base des développantes du cercle de base de () de diamètre d b = m 0 Z cos α 0 avec l angle de taillage α 0 = 0 o et le module de taillage normalisé m 0. Par contre, suivant le choix des coefficients de déports de dentures (x 1, x, x 3 ), les angles de fonctionnement : α (en A) et α* (en B) sont fréquemment différents et autres que 0 o ; l action mécanique de contact au guidage de l axe en O 4 est F n4. Nous sommes en statique plane, donc : F n3 = F n1 et F n4 + F n3 + F n1 = 0 l étude statique des autres pièces en découle rapidement si l on recherche la valeur des couples transmis puisque F n1 est généré par le couple C 1 transmis par le solaire (1) : C 1 = F n1 ( d b1 /) F n3 est généré par le couple C 3 transmis par la couronne (3) : C 3 = F n3 ( d b3 /) et F n4 est généré par le couple C 4 transmis par le porte-satellite (4). L équilibre de l ensemble correspond à : C 1 + C 3 + C 4 = 0 (figure 10) ; C 1 et C 3 sont de même sens et C 4 est de sens opposé. Les relations sont simples à établir, car F n3 = F n1 amène : C 3 = C 1 (d b3 /d b1 ) avec d b3 /d b1 = Z 3 /Z 1 = λ soit C 3 = λc 1 et, enfin C 4 = C 1 C 3 = C 1 ( λ 1) (9) Il est à remarquer que le théorème des puissances virtuelles s écrit : C 1 ω 10 + C 3 ω 30 + C 4 ω 40 = 0 et remplaçant C 3 et C 4 par leur valeur en fonction de C 1, on a : C 1 ω 10 C 1 λ ω 30 + C 1 ( λ 1) ω 40 = 0 nous retrouvons ainsi la relation cinématique de base (8). B Techniques de l Ingénieur, traité Génie mécanique

15 RÉDUCTEURS DE VITESSE À ENGRENAGES Tableau Différentes solutions pour ramener le mécanisme à un seul degré de mobilité Moteur Récepteur Freiné Relation Rapport u i N m0 = (1 λ)n s0 u 1 = (1 λ) N m0 = λn s0 u = (λ) N m0 (λ 1) = λn s0 u 3 = λ/(λ 1) N m0 (λ 1) = N s0 u 4 = 1/(1 λ) N m0 λ = N s0 u 5 = 1/λ N m0 λ = (λ 1)N s0 u 6 = (λ 1)/λ Représentation symbolique Parmi les six solutions générales, les deux les plus utilisées correspondent au train à couronne fixe et au train à porte-satellite fixe. Étude d un train à couronne fixe et à satellite unique (figure 11) : les trois roues dentées (1), () et (3) sont taillées au même module et au même angle de pression. Si, dans une première évaluation, nous négligeons les déports de dentures, les diamètres primitifs imposent : d 3 = d 1 + d et la relation de Willis devient : (ω m0 ω s0 )/(0 ω s0 ) = Z 3 /Z 1 ou ω m0 /ω s0 = (Z 3 /Z 1 ) + 1 et Z 3 /Z 1 = u 1 (30) Figure 10 Réducteur épicycloïdal plan élémentaire : efforts transmis Le point faible de la transmission est en A car, si les actions normales transmises sont égales F n1 = F n3, les rayons équivalents en relation de Hertz [1] [3] sont très différents. Pour un élément commun (), le satellite, il y a contact convexo-convexe en A avec une petite roue de diamètre d 1 et contact convexo-concave en B avec une grande couronne de diamètre d 3. Le coefficient de rapport est de la forme : C r = k /(k + 1) avec k = Z /Z 1 (31) dans l utilisation des équations d avant-projet. Techniques de l Ingénieur, traité Génie mécanique B

16 RÉDUCTEURS DE VITESSE À ENGRENAGES Avec les données habituelles : P (kw), N m0 (tr/min), N s0 ± N s0 (tr/min), K B et un choix de matériaux précis permettent d évaluer Ω 0 (N/mm ) et σ 0 (N/mm ). L étude cinématique définit : u = N m0 /N s0 Z 3 /Z 1 = u 1 et comme Z 3 = Z 1 + Z ou Z 3 /Z 1 = 1 + Z /Z 1 : et C r = k /(k + 1) et Les deux équations sont de la forme : k = Z /Z 1 = (u )/ (3) Z 1év # ( 0,7 à 0,9) σ 0 ( k + 1) Ω 0 k Z P Z V d 1év # C 1 K αβ K V K B Ω 0 ψ [ k /( k + 1) ] Z P Z V 1/3 vues en (5) et (7) et cela avec deux particularités : Z V et K V (ou les coefficients C 3 et C B3 ) dépendent de la vitesse tangentielle en A : (v t ) A = (ω m0 ω s0 )d 1 / dans ce cas ; le coefficient de proportion ψ doit correspondre à la plus petite roue (1) ou () : si k > 1, le solaire (1) est le plus petit et b = ψd 1 ; ψ est choisi normalement et u 4, si k < 1, le satellite () est le plus petit et b = ψd = ψ (d d 1 )/d 1 = (ψk )d 1, l inconnue dimensionnelle étant d 1, un coefficient fictif de proportion ψ* (ψ* = ψk ) sera utilisé et u 4. Les décisions découlent ensuite, toujours en denture droite : m 0 normalisé, voisin de (d 1év /Z 1év ), puis Z 1 entier voisin de (d 1év /m 0 ), puis Z 3 = Z 1 (u 1) ; Z 3 est un entier non premier absolu s il est supérieur à 100. Le choix de Z est aussi particulier car, si Z # (Z 3 Z 1 )/, il est intéressant que Z soit premier avec Z 1 et premier avec Z 3 ; fréquemment, il sera choisi inférieur à (Z 3 Z 1 )/, tout en demeurant voisin. Le choix de la valeur de l entraxe a 0 est beaucoup plus délicat qu au paragraphe 3.1 car cet entraxe est commun aux deux engrenages (1)/() extérieur et ()/(3) intérieur. Utilisant la méthode classique : a 0 = [m 0 (Z 1 + Z )/] + (0 à m 0 ) (8) (1) (33) a 0 = [m 0 (Z 3 Z )/] + (0 à m 0 ) une valeur est choisie dans l intersection des deux intervalles. Il reste à appliquer les relations correspondantes avec α 0 = 0 o : m = a 0 /(Z 1 + Z ) et cos α = (m 0 cos α 0 )/m (9) x 1 + x = (inv α inv α 0 )(Z 1 + Z )/ tan α 0 m* = a 0 /(Z 3 Z ) d où α* (1) (34) x 3 x = (inv α* inv α 0 )(Z 3 Z )/ tan α 0 Dans ce cas, le point faible étant en A entre (1) et (), un équilibrage des produits d usure peut s effectuer comme au paragraphe.1, ce qui fixe x 1 et x ; ensuite, x 3 se déduit de l étude de () et (3) mais les produits d usure ne seront pas équilibrés en B, ce qui n est pas gênant en général, les dentures étant beaucoup plus résistantes du côté de la couronne. Si, par contre, il est souhaité d équilibrer les produits d usure en A et en B, il faut travailler sur les relations (33) et (34), puis sur les relations vues aux paragraphes.1 et.. Les bouclages sont multiples, basés sur la valeur correcte de a 0 et les tests d usure en A et en B. Une application est traitée au paragraphe 6. Étude d un train à porte-satellite fixe (figure 1) : ce train est souvent utilisé pour les grandes vitesses (3 000 à tr/min) car il est plus facile à équilibrer dynamiquement que le train vu précédemment ; le porte-satellite de formes complexes est fixe ; de plus, un carter en deux parties séparées par un joint parallèle à la semelle et passant par l axe général x 0 permet une surveillance et une maintenance plus faciles. La relation cinématique est simple : N m0 /N s0 = λ = u = Z 3 /Z 1 Géométriquement, on utilise encore : d 3 = d 1 + d. Le déroulement du projet est aussi de la même forme à deux différences près : k = Z /Z 1 = (u 1)/ et le choix de ψ est normal si k 1 ou u 3 et ψ* = kψ si k < 1 ou u < 3. Le tableau montre les deux combinaisons possibles de telle sorte qu en plaçant un seul satellite () entre (1) et (3), avec deux contacts A et B, on obtient λ < 1 ( ω 14 et ω 34 ne sont pas de même sens) ; par contre, en plaçant deux satellites en série ( 1 ) et ( ), il y a trois contacts A, B et C et l on obtient λ > + 1( ω 14 et ω 34 sont de même sens) ; le satellite ( ) complémentaire doit être plus grand que la plus petite des deux roues (1) ou ( 1 ) pour que l engrènement en A reste le plus faible, donc utilisé pour les calculs. Une application est traitée au paragraphe 6. Figure 11 Train à couronne fixe et satellite unique Figure 1 Train à porte-satellite fixe B Techniques de l Ingénieur, traité Génie mécanique

17 RÉDUCTEURS DE VITESSE À ENGRENAGES 3.4 Réducteur épicycloïdal sphérique élémentaire Ainsi qu en réducteur épicycloïdal plan, un groupement de roues dentées est utilisé mais ce sont des coniques (figure 13). Par contre, il y a toujours coaxialité d axe ( O, x 0 ) entre l entrée et la sortie. Trois pièces sont guidées en rotoïdes d axe ( O, x 0 ) : le planétairesolaire (1), le planétaire-couronne (3) et le porte-satellite (4) ; le satellite () est guidé en rotoïde d axe ( O, x 4 ). Il y a contacts ponctuels entre les dentures en A et B. La relation de Willis a la même forme : (N 10 N 40 )/(N 30 N 40 ) = λ = Z 3 /Z 1 (7) et cela avec les mêmes discussions et les mêmes utilisations. Il y a aussi deux degrés de mobilité lorsque le bâti B 0 est distinct des autres pièces. L analyse statique est toujours basée sur l isolement du satellite, analyse simplifiée par les déports de dentures utilisés (mêmes cônes primitifs de taillage et de fonctionnement) ; on obtient, par analogie : La géométrie de coaxialité et de tangence des cônes primitifs impose : δ 1 + δ + δ 3 = π Le module est le même pour toutes les roues : d 1 = m 0 Z 1, d = m 0 Z, d 3 = m 0 Z 3 et le roulement sans glissement des cônes primitifs peut s écrire : soit F t1 = F t3 C 3 = λc 1 C 4 = ( λ 1) C 1 ω 14 sin δ 1 = ω 4 sinδ = ω 34 sinδ 3 Si l on introduit l angle Σ 0 du porte-satellite tel que : l équation (14) a deux écritures : ω 14 Z 1 = ω 4 Z = ω 34 Z 3 Σ 0 = δ 1 + δ = π (δ + δ 3 ) tan δ = sin Σ 0 /(u 1 + cos Σ 0 ) avec u 1 = Z 1 /Z = ω 4 /ω 14 = sin δ 1 /sin δ tan δ = sin (π Σ 0 ) [u + cos (π Σ 0 )] avec u = Z 3 /Z = ω 4 /ω 34 = sin δ 3 /sin δ δ et Σ 0 sont invariants donc u 1 + cos Σ 0 = u cos Σ 0 soit cos Σ 0 = (u u 1 )/ = (Z 3 Z 1 )/Z (35) Figure 13 Réducteur épicycloïdal sphérique élémentaire Une décision étant prise sur Z 1, λ étant imposé, Z 3 est déterminé pour la cinématique générale. Z n intervient pas dans le rapport λ cinématique mais, dans ce cas, il a cependant une influence double : une première influence sur les caractéristiques géométriques : δ 1, δ, δ 3, Σ 0 sont calculables et, pour que le taillage soit possible, δ i π/ ; une seconde influence sur les dimensions, car le choix de Z et les valeurs des angles interviennent sur l encombrement et sur le volume général d engrenage. Le cas particulier d utilisation d un tel réducteur, en général beaucoup plus cher que le réducteur plan, est d être capable d assurer λ = 1 avec Σ 0 = π/ et Z 1 = Z 3 beaucoup plus simple qu en engrenage cylindrique (tableau 3). (0) Tableau 3 Différentes dispositions en fonction de et 0 Σ 0 π/ Σ 0 = π/ Axes fixes λ < 1 Couronne fixe λ < 1 Axes fixes λ = 1 Couronne fixe λ = 1 Techniques de l Ingénieur, traité Génie mécanique B

18 RÉDUCTEURS DE VITESSE À ENGRENAGES 4. Discussion et analyse des caractéristiques des engrenages cylindriques Dans le cas d un cahier des charges habituel sont précisées les valeurs suivantes : puissance transmise P (kw), vitesse motrice N m0, vitesse de sortie N s0 ± N s0, coefficient de service K B et durée H (h) ; deux relations permettent d évaluer : le nombre de dents du pignon : σ 0 K GF Z 1év = ( 0,7 à 0,9) Ω 0 C r K GH (0,7 à 0,9 étant le facteur de sécurité) ; le diamètre primitif du pignon : C 1 = Ω 0 ψ (d 1 év ) 3 C r K GH le coefficient de rapport C r dépendant du type d engrenage élémentaire choisi. Que choisir comme nature de matériaux? Que choisir comme rapport de proportion ψ? Y a-t-il une limite au rapport u = N 10 /N 0 imposé? Une première analyse se traite dans le cas d un rapport u fixé constant et de coefficients de fonctionnement constants. Ainsi, l analyse dimensionnelle du diamètre du pignon correspond à : 1/3 1/3 d 1év C 1 Ω 0 ψ 1/3 avec d év = ud 1év et (a 0 ) év = (u + 1) d 1év (36) et signifiant «correspond à». Ces caractéristiques dimensionnelles interviennent dans la capacité de taillage des outillages de fabrication (taillage, rectification, contrôle, traitement à cœur, traitement en surface, etc.), elles interviennent aussi en encombrement (sur site et en transport). Une deuxième analyse permet d évaluer la surface de taillage, la finition et les traitements, l aire intervenant dans le prix de fabrication : ΣS lat = πd 1 b + πd b = πψd 1 ( 1 + u) ΣS lat ψd 1 /3 /3 ou ΣS lat C 1 Ω 0 ψ 1/3 (37) Une troisième analyse définit un coefficient de volume en supposant, a priori, des roues pleines : 3 ΣV ol = ( πd 1b/4) + ( πd b/4) = ( π/4)ψd 1 ( 1 + u ) 1 soit ΣV ol C 1 Ω 0 (38) Le dernier élément à étudier est l intensité de la composante tangentielle F t car elle conditionne tous les organes auxiliaires de l engrenage : arbres en flexion et roulements en capacité radiale (ou coussinets en résistance) : /3 1/3 1/3 F t = C 1 /d 1 soit F t C 1 Ω 0 ψ (39) Si l on dresse un premier bilan, il nous faut retenir que : lorsque le couple sur le pignon C 1 augmente, le volume matière est directement proportionnel à ce couple ; l aire de la surface usinée et l intensité de la composante tangentielle augmentent aussi, mais un peu moins, ainsi que la dimension des roues dentées et l encombrement général, ces derniers beaucoup plus faiblement ; le choix d un matériau à haute résistance superficielle Ω 0 est en général bénéfique, car il réduit considérablement le volume de matière utilisé, il réduit aussi l aire de la surface latérale usinée donc le prix de fabrication ; il réduit un peu moins les dimensions et l encombrement ; par contre, la composante tangentielle augmente avec les conséquences sur les arbres et les guidages ; le choix d un rapport de proportion ψ = b /d 1 n intervient pas sur le volume et sur la masse de l engrenage, ce qui est important en mécanique générale ; il permet de réduire les dimensions donc l adaptation aux moyens de fabrication (capacité des machinesoutils et des fours de traitement) ; il accroît, par contre, l aire de la surface usinée, donc le prix de la réalisation (important en ce qui concerne les très grandes séries avec couple assez faible, du type séries véhicules automobiles) ; il accroît aussi l intensité de la composante tangentielle donc les dimensions des éléments de guidage. Remarque : un matériau à haute résistance superficielle conduit à un nombre de dents du pignon assez réduit (Z 1 = 15 à 5), à un rapport de conduite apparente réduit (ε α = 1,4 à 1,6), à des produits d usure importants aux grandes vitesses. Les matériels de traitement superficiel et de finition limitent les dimensions à des diamètres de l ordre de 1 à 1,5 m. La transmission doit ensuite s adapter au rapport de transmission général : N m0 /N s0 = i et au couple supporté en petite vitesse C s0 en réducteur de vitesse : un rapport i important risque d imposer une dimension inacceptable pour la roue et pour le carter ; un groupement en série de réducteurs élémentaires (figure 14a) est à envisager ( 5) ; un couple important C s en petite vitesse conduit à une dimension de roue et de carter trop importante ; un groupement en parallèle (figure 14b), divisant les puissances, permet de réduire les dimensions ( 6) ; si, enfin, le rapport i et le couple C s augmentent simultanément, un groupement mixte ou composé (figure 14c) s avère nécessaire pour réaliser une transmission de dimensions acceptables ( 7). cela intervient sur le prix du matériau, sur l inertie et sur la masse avec les problèmes de transport et de manutention. B Techniques de l Ingénieur, traité Génie mécanique

19 RÉDUCTEURS DE VITESSE À ENGRENAGES Figure 14 Différents types de groupements de réducteurs élémentaires : série, parallèle et composé 5. Groupement en série de réducteurs élémentaires Ce type de groupement a surtout pour but de permettre la réalisation de rapports de réduction très importants en optimisant l encombrement et la masse. Le schéma de structure (figure 15) s applique aussi bien à un réducteur qu à un multiplicateur de vitesse avec : N m0 /N s0 = i r ou N s0 /N m0 = i m avec i > 1 Si chaque réducteur élémentaire a un rapport de transmission de valeur u i (i 1,,..., n), la loi cinématique s écrit : i = u 1 u u 3... u n (40) le rapport global est égal au produit des rapports élémentaires. Si, en étude dynamique, on admet un rendement de η i = 1 : P m = C m ω m0 = P s = C s ω s0 = P i = C i ω i0 Chaque élément de base (figure 15) a une loi de comportement : en réducteur de vitesse : ω (i + 1)0 = ω i 0 /u i et C i + 1 = C i u i en multiplicateur de vitesse : ω (i + 1)0 = ω i 0 u i et C i + 1 = C i /u i Si, par contre, il est tenu compte d un rendement η i correspondant à l engrenage élémentaire de rang i, la loi cinématique reste valable s il n y a pas arc-boutement ; la loi dynamique est assez simple : P s = P m (η 1 η η 3... η i... η n ), et la loi de comportement de l élément de base de rang i devient : en réducteur : Figure 15 Groupement en série de réducteurs élémentaires en multiplicateur : ω (i + 1)0 = ω i 0 u i et C i + 1 = (C i η i )/u i L étude a pour but de déterminer le nombre n d éléments de base à placer en série, puis de préciser la forme d agencement souhaitable en ce qui concerne les valeurs des rapports intermédiaires u i. Analyse préliminaire : c est la comparaison, dans le cas d un réducteur de vitesse, entre une solution A n utilisant qu un seul engrenage élémentaire cylindrique extérieur et une solution B utilisant deux engrenages cylindriques extérieurs placés en série. Le rapport de réduction i = ω m0 /ω s0, la nature des matériaux, la puissance à transmettre, les vitesses et les conditions générales d utilisation sont les mêmes dans les deux cas (figure 16). La solution A est très classique : u = ω m0 /ω s0 = d /d 1 = Z /Z 1 et ψ = b/d 1 avec C 1 = P/ω m0 la relation de prédétermination, vue au paragraphe.1, s écrit : 3 3 C 1 = Ω 0 ψd 1 [ u /( u + 1) ]KGH et, en simplifiant, d 1 ( u + 1)/u ω (i + 1)0 = ω i0 /u i et C i + 1 = C i u i η i Techniques de l Ingénieur, traité Génie mécanique B

20 RÉDUCTEURS DE VITESSE À ENGRENAGES car u est la seule variable, ce qui nous permet d exprimer les variations des différentes caractéristiques : dimensions linéaires (encombrement, capacité des machines, transport, etc.) : et l entraxe devient : d 1 (u + 1) 1/3 u 1/3 d = ud 1 (u + 1) 1/3 u /3 a 0 = d 1 (u + 1) (u + 1) 4/3 u 1/3 aire des surfaces latérales (prix de l usinage, finition, traitement de surface, etc.) : Une optimisation du volume en solution B consiste à annuler la dérivée dk V /du 1, ce qui revient à résoudre l équation : 3 u 1 ( i + 1) + u 1i = i ( i + 1)/ soit u 1 # 7,5 pour i = 30 (K V1 = 931, K V = 4) u 1 #,80 pour i = 8 (K V1 = 73, K V = 47) (4) volume général en considérant les roues pleines (prix de la matière, inertie, masse, etc.) : La solution B est tout aussi classique avec les particularités : ψ = b 1 /d 11 = b /d 1 u 1 = ω m0 /ω i0 = d 1 /d 11 u = ω i0 /ω s0 = d /d 1 i = u 1 u et, si le rendement est très voisin de 1 : ce qui nous donne : et : S = πψd 1 ( u + 1) Slat ( u + 1) 5/3 u /3 3 V = ( π/4)ψd 1 ( u + 1) V ol ( u + 1) ( u + 1)/u P 1 = C m ω m0 = C i ω i0 = C s ω s0 3 3 C m = Ω 0 ψd 11 [ u 1 /( u 1 + 1) ]K GH d où d 11 ( u 1 + 1)/u C i = u 1 C 1 = u 1 Ω 0 ψd 1 [ u /( u + 1) ]K GH et d 1 u 1 ( u + 1)/u La comparaison principale porte sur le volume car, en mécanique générale, il conditionne le prix de la matière : en solution A, le coefficient de volume correspond à : K V1 ( u + 1) u = ( + 1)/u et u = i = ω m0 /ω s0 en solution B : K V = [( u 1 + 1) ( u 1 + 1)/u 1 ] + [ u 1 ( u + 1) ( u + 1)/u ] et u 1 u = i d où les deux graphes de la figure 17. (41) Figure 16 Comparaison entre deux groupements en série : solutions A et B Figure 17 Coefficient de volume en fonction du rapport u pour les deux solutions A et B B Techniques de l Ingénieur, traité Génie mécanique

21 RÉDUCTEURS DE VITESSE À ENGRENAGES Une optimisation sur l encombrement général peut aussi être recherchée : en solution A, elle correspond à K L1 = (u + 1) 4/3 u 1/3 (avec l entraxe a 0 étudié ci-dessus) ; en solution B, il est possible d estimer l encombrement à (a 0 + a 01 ) en bonne approximation, ce qui correspond, en fonction des rapports intermédiaires u 1 et u, avec u 1 u = i : ( i + u 1 ) 4/3 i 1/3 /3 u 1 ( u 1 + 1) 4/3 1/3 + u 1 / = KL et, pour dk L /du 1 = 0 : ainsi, par exemple : ( i u ) 1 ( u1 + 1 )iu 1 ( 3u 1 1) /3 = ( i+ u 1 ) u 1 # 8 pour i = 30 (K L1 = 31,3, K L = 15) u 1 # 3,3 pour i = 8 (K L1 = 9,4, K L = 8,1) (43) Les solutions aboutissant sur les valeurs de u 1 au volume minimal et à l encombrement minimal correspondent bien. Si l on souhaite obtenir des surfaces usinées d aire minimale, les solutions sont différentes et donc à étudier. Pour des valeurs i plus nombreuses et si, au prix de la matière et au prix de l usinage des roues dentées, on ajoute le prix des éléments auxiliaires tels que les arbres et les guidages en rotation dont le nombre augmente lorsqu on passe de la solution A à la solution B, il est possible de tirer quelques conclusions pratiques d utilisation. En engrenage cylindrique, le train élémentaire (ou engrenage élémentaire) a un rapport qui ne doit pas dépasser u 0 # 6 à 7. Pour réaliser une réduction ou une multiplication de rapport supérieur à cette valeur u 0 (i > u 0 ), il est nécessaire d utiliser n engrenages élémentaires groupés en série, le nombre n de trains placés en série ayant une valeur minimale respectant la relation : plan qui est utilisé comme plan de joint entre les deux parties du carter, ce qui permet un montage et un démontage aisés par sous-ensembles, ainsi qu une maintenance facile. Lorsque le réducteur est de petites dimensions, dans le but de réduire l encombrement, l ensemble peut s enrouler autour de l axe PV (figure 18c) ou autour de l axe GV ; le joint assurant le montage des sous-ensembles est perpendiculaire aux axes (il peut même y avoir plusieurs joints perpendiculaires aux axes). Les catalogues des constructeurs offrent l éventail suivant : n = pour i = (6 ou 8) à (5 ou 30) n = 3 pour i = (0 ou 30) à (100 ou 160) n = 4 pour i = (100 ou 15) à (500 ou 800) n = 5 pour i = 560 à 500 n = 6 (cas très particulier) permet d aboutir à i ( n 1) n u 0 < i < u 0 (44) L agencement ou l organisation des différents rapports à adopter doit permettre d assurer une optimisation en encombrement, en volume et en prix. En général, la solution consiste à prévoir des rapports importants en grande vitesse (GV) et des rapports plus faibles en petite vitesse (PV), soit : u GV = u 1 > u > u 3 >... > u n = u PV (45) en évitant de dépasser la valeur maximale 7 en GV. L étude mathématique a été traitée (solution B) avec deux engrenages en série et avec des roues pleines. L étude est un peu plus délicate pour n = 3 ou 4 (généralement, on ne dépasse pas n = 5), mais elle peut être traitée de proche en proche, en fonction de l optimisation souhaitée. L étude peut aussi être organisée avec des pignons pleins et des roues évidées lorsque le rapport élémentaire dépasse 3 à 3,5 dans certains cas de couples élevés ; l épaisseur de la jante mise sous la forme e = km 0 avec k = 5 à 8, le volume de la roue ne sera plus : πd b/4 3 = ( πψ/4)d 1u 3 mais πd bkm 0 = ( πψ)d 1 ( uk /Z1 ) (46) cela est aussi valable dans le cas, peu fréquent, d une roue à denture intérieure. Solutions en géométrie de parallélisme : cette analyse, traitée pour l engrenage cylindrique utilisé en série, correspond aux schémas des figures 18a et b. Dans la plupart des réducteurs, surtout pour ceux de grandes dimensions, les axes sont dans un même Figure 18 Réducteurs cylindriques : solutions en géométrie de parallélisme Techniques de l Ingénieur, traité Génie mécanique B

22 RÉDUCTEURS DE VITESSE À ENGRENAGES Solutions en géométrie d angularité : dans le cas d une géométrie d angularité imposée : ( x m0, x s0 ) = Σ 0 avec très souvent un angle de 90 o, trois contraintes s imposent : à caractéristiques dynamiques égales, en engrenages élémentaires de même rapport, un réducteur conique est plus encombrant qu un réducteur cylindrique (rapport de l ordre de 1,5 à ) ; à dimensions égales des roues et des pignons, un réducteur conique est beaucoup plus cher qu un réducteur cylindrique (rapport de l ordre de à 3) ; la précision obtenue est plus sérieuse en engrenage cylindrique qu en engrenage conique (rectification possible en cylindrique, rodage dans le cas des coniques) ; ainsi, la vitesse tangentielle peut atteindre 50 à 100 m/s en engrenage cylindrique (et quelquefois 150 m/s) ; elle ne dépasse pas 10 à 1 m/s en engrenage conique à denture droite et 15 à 0 m/s en engrenage conique à denture spirale (un peu plus dans certains cas particuliers de finition et de graissage). Lorsque le rapport de transmission i devient important, un groupement en série s impose et les conclusions pratiques établies précédemment en groupement d engrenages cylindriques sont appliquées dans le cas de la transmission à axes de géométrie angulaire, d autant plus qu un seul engrenage conique est prévu, tous les autres étant des engrenages cylindriques (pour des raisons de prix) : le rapport à ne pas dépasser en engrenage élémentaire est toujours de 6 à 7 ; les rapports du côté GV sont plus importants que les rapports du côté PV. L originalité, ici, consiste à placer l engrenage conique du côté où les couples sont les plus faibles (côté GV) et cela sans que la vitesse tangentielle dépasse la valeur limite tolérée (10 à 0 m/s suivant le type de denture). Ainsi, quelques agencements classiques sont schématisés (figure 19), précisant la position de l engrenage conique et les relations d ordre entre les rapports des différents trains. Très fréquemment, tous les axes sont dans un même plan, le plan horizontal assurant un montage et une maintenance aisés, le plan vertical étant intéressant si l arbre de sortie est vertical. Des solutions avec arbres enroulés sont utilisées, en majorité, en faible puissance et arbres horizontaux (figure 0) et, plus rarement, en forte puissance et arbre de sortie vertical. L éventail offert correspond à celui qui a été vu avec les arbres parallèles : n = pour i = (6 ou 8) à (16 ou 5) n = 3 pour i = 5 à 160 n = 4 pour i = 100 à (400 ou 500) n = 5 pour i = 500 La figure 1 montre quelques exemples de réducteurs avec groupement en série. Un exemple peut être précisé dans le cas d un réducteur cylindroconique à trois engrenages en série, permettant d assurer un rapport i de 5 à 160 avec i = u GV u i u PV : l engrenage conique est placé en GV si v t v lim et u GV # u i ; u i > u PV ; l engrenage conique est placé en inter si la vitesse tangentielle en GV est supérieure à la vitesse limite et si v t inter v t lim, puis u GV > u i conique ; u i # u PV ; l engrenage conique est placé en PV si v t inter > v t lim avec u GV > u i > u PV, en général, en petite vitesse : v t < v t lim. Deux particularités, enfin, sont à noter : la transmission entre deux arbres quelconques telle que précisée sur la figure 1 ( ) est toujours réalisable en réducteur cylindroconique : ( O 10 x 10 ), ( O 0 x 0 ) = ( a 0, Σ 0 ) en utilisant, en série, un engrenage conique et un ou plusieurs engrenages cylindriques, solution ayant un rendement supérieur à celui obtenu par Figure 19 Réducteurs cylindroconiques : solutions classiques en géométrie d angularité Figure 0 Réducteur cylindroconique avec arbres enroulés utilisation de l engrenage roue et vis ; seul l encombrement risque d être un peu plus important pour les transmissions de rapport i très élevé (figure 0) ; dans certains cas, très peu fréquents, deux engrenages coniques placés en série peuvent être utilisés (figure ) lorsque l entraxe a 0 a une très grande valeur vis-à-vis de la dimension des engrenages. Solution en géométrie de coaxialité : il reste à assurer la géométrie de coaxialité : ( O m0 x m0 ), ( O s0 x s0 ) = ( 0, 0), les arbres d entrée et de sortie sont coaxiaux. Deux éléments de base interviennent : le réducteur coaxial à arbre intermédiaire ( 3., figure 7) et le réducteur épicycloïdal plan élémentaire [( 3.3), figures 11 et 1]. Seul le réducteur coaxial à arbre intermédiaire peut être utilisé en groupement série et les cas sont peu fréquents, si ce n est en boîtes de vitesses (figure 3). Compte tenu des relations établies ( u 1 + 1) 4 /u 1 = ( u + 1) 4 /u (5) et u 0 = 6 à 7, le réducteur coaxial ne permet d obtenir qu une réduction limite u c0 # 0 (avec u 1 = 7 et u = 3). On ne dépasse pas n = dans ce cas de groupement. Les trains épicycloïdaux plans groupés en série (figure 4) sont surtout utilisés en groupements complexes, que nous aborderons au paragraphe 7.1. Notons, enfin, qu un groupement mixte peut être envisagé, faisant intervenir engrenage cylindrique, engrenage conique et engrenage coaxial à arbre intermédiaire (figure 5). B Techniques de l Ingénieur, traité Génie mécanique

23 RÉDUCTEURS DE VITESSE À ENGRENAGES Figure Deux engrenages coniques en série avec un entraxe important Figure 3 Deux réducteurs coaxiaux à arbre intermédiaire en série Figure 4 Deux trains épicycloïdaux plans en série Prenons l exemple d un engrenage cylindrique en GV si la vitesse tangentielle est assez élevée (v t > 10 à 0 m/s et u GV = 7), un engrenage conique en intermédiaire si v t 10 à 0 m/s suivant le type de denture (u i = 5) et un engrenage cylindrique coaxial en PV tel que u PV = 8 (u PV1 = 4 et u PV = ) pour réduire l encombrement ; le rapport ainsi obtenu est de i = 80 correspondant bien à un groupement de n = 4 trains en série. Figure 1 Réducteurs avec groupement en série Techniques de l Ingénieur, traité Génie mécanique B

24 RÉDUCTEURS DE VITESSE À ENGRENAGES Figure 6 Groupement en parallèle de réducteurs élémentaires Figure 5 Groupement mixte d engrenages cylindrique, conique et coaxial à arbre intermédiaire 6. Groupement en parallèle de réducteurs élémentaires Si le groupement en série permet d obtenir des rapports i importants, l encombrement, même optimisé, est assez grand et la forme des carters est très dissymétrique surtout lorsque le couple en PV augmente. Le groupement en parallèle essaye de partager puissance et couple dans le but de réduire les dimensions et d aboutir à des ensembles plus compacts. Le schéma de structure obtenu prend la forme de la figure 6. La première loi, d ordre cinématique, est simple mais précise : i = N m0 /N s0 = u 1 = u =... = u n en réducteur de vitesse (47) Tous les rapports intermédiaires sont parfaitement égaux. La seconde loi, d ordre dynamique, est plus complexe : si les rendements intermédiaires η 1, η,..., η n sont voisins de 1, si l on nomme P 1, P,..., P n les puissances transmises par les réducteurs élémentaires 1,,..., n, il est évident que : P m = P 1 + P + P P n = P s en valeurs algébriques par contre, rien ne permet, a priori, de connaître la valeur de chaque puissance élémentaire qui peut être positive, négative ou nulle ; si l on tient compte des rendements intermédiaires, les puissances d entrée étant P 1, P, P 3,..., P i,...p n, on a : la perte de puissance s écrit : et l on obtient : i = n P m = P 1 + P + P P n = P i i = 1 i = n P = P i η i i = 1 i = n P s = P m P i η i i = 1 (48) (49) Chaque puissance P i dans la relation (48) est en valeur algébrique (positive ou négative) ; par contre, la perte de puissance ne peut qu être positive, d où la valeur absolue P i utilisée dans la relation (49). Il est à remarquer que si, par une organisation interne du réducteur bien étudiée, toutes les puissances intermédiaires P i sont positives, il y a division de puissance et le rendement global η G = P s / P m est correct (proche de 1). Par contre, si certaines puissances sont positives et d autres sont négatives parmi les P i, P s restant positive, il y a circulation de puissance et la somme des pertes P devient importante ; le rendement global est beaucoup plus faible que dans i = n le cas précédent (à la limite, P m = P i η i, toute la puissance est i = 1 transformée en chaleur!). Une analyse préliminaire s impose pour rechercher les méthodes permettant de diviser la puissance et même, si possible, égaliser toutes les puissances intermédiaires car, si P 1 = P =... = P i =... = P n, chaque réducteur élémentaire transmettra P i = P m /n, assurant ainsi une réduction des dimensions par rapport au réducteur simple transmettant P m. Une première famille de solutions utilise des limiteurs de couple permanents dont les plus habituels sont à friction ou à billes maintenues par ressort dans des rainures. Si les réducteurs élémentaires (i ) sont du type coaxiaux (figure 7a ) avec arbre intermédiaire de rapport i = u i = u 1i /u i, il est possible de prévoir n arbres intermédiaires avec les mêmes roues dentées de (Z 1 ) i et (Z 1 ) i dents. Chaque roue, telle que celle de (Z 1 ) i dents, est reliée par coupleur à l arbre intermédiaire. Cette solution n équilibre pas les puissances transmises P i pour toutes les valeurs de P m, elle les limite seulement, ce qui peut être suffisant quant à la sécurité. Le couple limite (ou de décrochage ou encore glissement) doit être assez précis, ce qui n est pas aisé à réaliser. Une deuxième famille utilise les déformations élastiques des pièces sous les efforts appliqués. Une structure de réducteur, comparable à la précédente quant aux rapports u i et aux caractéristiques des roues dentées, est pratiquée (figure 7b ). Les roues dentées (Z 1 ) i et (Z 1 ) i sont guidées par des paliers individuels (supportant charges radiales et charges axiales) et la transmission du couple est assurée par un arbre de torsion. Les n arbres de torsion ont les mêmes caractéristiques de flexibilité et le calage initial est réalisé sans précontrainte. Les puissances P i transmises sont très voisines, selon la précision dimensionnelle et les caractéristiques de déformation. Les puissances intermédiaires sont bien réparties mais le mécanisme doit être protégé des chocs, les arbres de torsion travaillant très près de leur limite de résistance à la rupture (comme pour tous les ressorts). Une troisième famille assure l équilibrage des poussées axiales sur les arbres intermédiaires dans le cas exclusif d utilisation de dentures hélicoïdales (figure 7c ). Les obliquités sont choisies de sens contraire sur les deux roues dentées (Z 1 ) i et (Z 1 ) i d un même arbre intermédiaire i pour que les poussées axiales s ajoutent, ou choisies de même sens pour que ces poussées se déduisent sans surtout s équilibrer. Dans chaque cas, la poussée axiale résultante sur l arbre i est proportionnelle au couple transmis par cet arbre. Si des ressorts tarés sont placés aux extrémités des arbres, un équilibrage élastique s établit par déplacement axial (les composantes tangentielles étant proportionnelles aux composantes axiales). Ces ressorts peuvent être remplacés par des pistons, l huile B Techniques de l Ingénieur, traité Génie mécanique

25 RÉDUCTEURS DE VITESSE À ENGRENAGES effectuant un équilibrage hydrostatique. Des leviers, installés en palonniers pour n = ou n = 4, peuvent aussi équilibrer les poussées. Une quatrième famille de solutions est basée sur la réalisation de l isostatisme de la construction du réducteur. Elle consiste à organiser l ensemble des pièces et des assemblages de telle façon qu à l équilibre de toutes les pièces corresponde une égale répartition des puissances intermédiaires dans tous les réducteurs élémentaires. Reprenons le train épicycloïdal plan élémentaire ( 3.3), denture droite et frottement négligé, avec isolement de chaque élément, représenté dans le plan (y, z ) perpendiculaire à l axe général de rotation x 0 (figure 8) ; deux solutions se présentent. a ) Dans le cas d utilisation d un seul satellite, les actions transmises par les contacts entre dentures correspondent à celles vues au paragraphe 3.3 et les couples supportés par les arbres sont les mêmes. L étude de l équilibre, en statique plane, de chaque élément fait intervenir, en plus des actions précédentes, les actions Y, Z de contact aux guidages : (Y 1, Z 1 ) en O 10 sur (1) (Y 4, Z 4 ) en O 40 sur (4) (Y 3, Z 3 ) en O 30 sur (3) (Y 4, Z 4 ) en O 4 sur () avec réciprocité sur (4) Si, par exemple, le couple C 1 est connu, l équilibre statique plan de chaque pièce est caractérisé par trois équations et M t/x 0 F z = 0 = et, de proche en proche, il est aisé de déterminer les trois inconnues : F 1, Y 1, Z 1 sur (1) C 3, Z 3, Y 3 sur (3) F 3, Y 4, Z 4 sur () C 4, Z 4, Y 4 sur (4) toutes les inconnues étant calculables par la statique. Le système mécanique est dit alors isostatique, et cela est valable quel que soit le couple défini au départ C 1, C 3 ou C 4. b ) La réalisation d un groupement en parallèle impose n satellites et, compte tenu de la place entre les deux planétaires (1) et (3), rien ne s oppose à prévoir plusieurs satellites ; seuls les problèmes d isostatisme et d interférances entre satellites sont à résoudre. Une forme de solution simple consiste à modifier certains assemblages (figure 9) : si le solaire (1) est monté flottant (libre en translations suivant y et z ), trois satellites peuvent être placés [inconnues (F 1 ) 1, (F 1 ) et (F 1 ) 3 déterminées à partir des trois équations de statique plane]. Si, de plus, le calage des trois satellites est à π/3, on obtient : (F n1 ) 1 = (F n1 ) = (F n1 ) 3 d où la division uniforme de puissance. F y = 0, Figure 7 Méthodes permettant de diviser la puissance Figure 8 Solution isostatique : étude des efforts dans le cas d un seul satellite Techniques de l Ingénieur, traité Génie mécanique B

26 RÉDUCTEURS DE VITESSE À ENGRENAGES Mais la solution du solaire flottant n est pas unique car il y aura isostatisme et égale répartition de puissance s il y a trois satellites calés à 10 o, pourvu que l un, et un seul, des trois éléments (1), (3) ou (4) soit monté flottant (solaire, couronne ou porte-satellites). La nature du joint assurant la mobilité du solaire (1), par exemple, tout en transmettant un couple important est aisée à caractériser puisque ce joint doit permettre au centre O 10 du pignon (1) deux translations indépendantes de faible amplitude suivant Oy et suivant Oz : un joint de Oldham convient mais il est délicat à dimensionner en transmission de couple important et le frottement est de grande valeur ; un joint de cardan de centre éloigné de O 10 convient aussi puisque les dentures sont, en général, bombées ; un joint tripode convient aussi ; un joint à cannelures bombées est aussi utilisable, car il a une grande capacité de charge s il y a une faible angularité ; un double cardan, un double tripode, un double accouplement à dentures cannelées sont utilisables si les dentures des roues dentées sont très faiblement bombées et ont une longueur importante vis-à-vis du module (b > 5 m 0 ). Pour plus de détails sur ces différents joints, le lecteur se reportera utilement aux articles [B 5 800] [B 5 805] [B 5 810] [B 5 815] [B 5 816] [B 5 818] de la rubrique Accouplements d arbres dans ce traité. En denture hélicoïdale, le problème, bien que spatial, aboutit aux mêmes solutions, des poussées axiales intervenant en plus. Une justification, basée sur la théorie des mécanismes, est intéressante ; elle généralise ce qui a été évoqué au paragraphe 3.3 et permet d analyser cette solution ainsi que toute autre proposée [4]. La loi globale concernant les mécanismes est de la forme : a 6p L ij = d h 1 (50) avec p nombre de pièces autres que le bâti ou référentiel, 6 nombre d équations d équilibre en statique ou nombre de composantes du torseur des vitesses absolues correspondant à une pièce, a nombre d assemblages entre les différentes pièces et le bâti, L ij caractérisant le degré d obstacle ou nombre d inconnues statiques indépendantes dans le torseur d action de contact, ou nombre de zéros dans le torseur cinématique distributeur des vitesses relatives [4], et cela pour un assemblage entre la pièce i et la pièce j parmi les a assemblages ; 1 L ij 5 ; L ij est un entier, d degré de mobilité, h degré d hyperstatisme. Le train épicycloïdal plan à couronne fixe (figure 9), par exemple, comporte six pièces (p = 6) : 6p = 36. Il y a douze assemblages (a = 1) dont cinq pivots ou rotoïdes (L ij = 5), six contacts ponctuels (L ij = 1), un joint à deux mobilités (L ij = 4), donc : 36 (5 5) (6 1) (4) = 1 = d h Avec d = 1 et h = 0, le système peut fonctionner exprimant ω s0 = f (ω m0 ) ou C s = f (C m ). Si l on retient la solution du train épicycloïdal isostatique à trois satellites et un élément monté flottant, en multiplicateur ou réducteur de vitesse, deux formes générales sont utilisées en mobilité de degré d = 1 : le train épicycloïdal à couronne fixe (figure 30) ; le train épicycloïdal à axes fixes ou porte-satellites fixe (figure 31), plus facile à équilibrer aux grandes vitesses. La relation de Willis (7) est toujours de la forme : (ω 10 ω 40 )/(ω 30 ω 40 ) = λ elle devient : si la couronne est fixe (ω 10 ω 40 )/( ω 40 ) = λ soit (ω 10 )/(ω 40 ) = (1 λ) si les axes sont fixes (ω 10 )/(ω 30 ) = λ Figure 9 Solution générale d isostatisme Figure 30 Solution du train épicycloïdal à couronne fixe isostatique Il faut préciser que, si la denture est très faiblement bombée, on admettra un contact linéaire entre dentures ; le joint du type Oldham convient toujours mais chaque satellite sera guidé par une rotule sur le porte-satellites (L 4 = 3 ; L 1 = ; L 3 = ), et : 36 ( 5) (3 3) (6 ) 4 = 1 Figure 31 Solution du train épicycloïdal à axes fixes isostatique B Techniques de l Ingénieur, traité Génie mécanique

27 RÉDUCTEURS DE VITESSE À ENGRENAGES La forme d avant-projet correspond à celle rencontrée au paragraphe 3.3 avec quelques particularités : le couple C 1 est appliqué sur (1), il y a trois contacts à 10 o entre dentures : F t = C 1 /3d 1 le rapport, au contact le plus sollicité entre (1) et (), vaut k = Z /Z 1 ; ainsi les relations deviennent : (51) avec un choix de valeurs de ψ réduites, de l ordre de 0,5 à 0,8 puisque les dentures sont bombées et que le joint possède deux mobilités d adaptation. Deux éléments relatifs à ces trains interviennent aussi (figure 3) : une relation entre les nombres de dents permet le calage à 10 o ; une limite du rapport λ pour éviter l interférence entre deux satellites voisins. Pour établir une relation simple entre les nombres de dents permettant le calage à 10 o, il suffit de considérer le contour continu, sur les roues, en respectant les engrènements (sinon, il faut raisonner à partir de la relation de Willis) : sur la figure 3a, le contour (A 1 A B B 1 A 1 ) devient : Z 1 /3 + Z / + Z 3 /3 + Z / = entier donc il est nécessaire que : (Z 1 + Z 3 ) soit un multiple de 3 (5) sur la figure 3b, le contour (A 1 A C B B 1 C 1 A 1 ) conduit à : Z 1 /3 + Z 3 /3 + Z + Z = entier donc il faut que : (Z 3 Z 1 ) soit multiple de 3 (53) La limite du rapport λ est déterminée à la limite des tangences entre les satellites () voisins dans les deux cas car, en général, ( ) est simplement plus grand que (1) pour ne pas affaiblir la transmission (sauf si k < 1) : et σ 0 ( k + 1) Z 1év # ( 0,7 à 0,9) Ω 0 kz P Z V C 1 K αβ K V K 1/3 B d 1év # Ω 0 ψ [ k /( k + 1) ]Z P Z V O 1 O = a 0 3/ = ( d 1 + d ) 3/ O 1 O > d a [ tête roues ( ) ] donc avec d a # d : ( d 1 + d ) 3/ > d et k = d /d 1 < 3/ ( 3) soit Z 3 /Z 1 < 1 à 13 (54) Exemples numériques de réducteurs assez classiques Données : puissance P = 100 kw, vitesse motrice N m0 = 100 tr/min, vitesse de sortie N s0 = 350 tr/min ± 3 %, coefficient de service K B = 1,4, acier 0 MC 5 cémenté, trempé et rectifié (σ H lim = N/mm et σ F lim = 400 N/mm, qualité ISO 6) et durée H = h. Dans le cas d un réducteur épicycloïdal à couronne fixe et à trois satellites simples (figures 9 et 3a), avec équilibrage par joint mobile sur solaire, sur porte-satellites ou sur couronne : i = N m0 /N s0 = (Z 3 /Z 1 ) + 1 = 6 donc Z 3 /Z 1 = 5 géométriquement : Z 3 # Z 1 + Z ou Z 3 /Z 1 # 1 + Z /Z 1 avec Z /Z 1 = k, k = et C r = k /(k + 1) = 0,67 Évaluation de : Ω 0 = 15,8 N/mm σ 0 = 310 N/mm en adoptant ψ = 0,6 ; ε β = 1 ; β 0 = 15 o ; α t = 4 o et ε α = 1,5 Avec C 1 = 454,7 N m et ω m0 = 0 rd/s, on obtient : Z 1 év = 0 à 6 et d 1 év = 44 Il est possible d adopter : β 0 = 13 o ; m n0 = ; Z 1 = puis Z 3 = 110 (Z 3 + Z 1 = multiple de 3) ; Z = 43 premier avec Z 1 et avec Z 3 et voisin, mais inférieur à (Z 3 Z 1 )/ : N s0 = 350 tr/min ; choix d entraxe a 0 = 69 Les déports de dentures sont calculables avec m t0 =,05 61 et α t0 = 0,48 9 : pour l engrenage Z 1 -Z : x 1 + x = 1,7 pour l engrenage Z -Z 3 : x 3 x = 0,10 Un équilibrage en usure entre (1) et () conduit au choix de : x 1 = + 0,61 et x = + 0,660 avec ε α = 1,46 donc, on obtient entre () et (3) x 3 = + 0,780, l usure n étant pas équilibrée ici. Il est, par contre, nécessaire de vérifier une «non-interférence» de fonctionnement entre la tête de la couronne à denture intérieure et le point limite sur la développante réelle des satellites, ce qui est le cas ici. Il ne reste plus qu à déterminer la longueur b, en actualisant certaines valeurs : d 1 = m t Z 1 = 46,708 F t = C 1 /3d 1 = N Ω 0 = 15,8 N/mm d où b = 8 (en vérifiant ε β = 1) Dans le cas d un réducteur épicycloïdal à axes fixes et à trois satellites doubles (figures 31 et 3b ) avec équilibrage des actions transmises : i = N m0 /N s0 = Z 3 /Z 1 = 6 géométriquement, Z 3 > Z 1 + Z, de telle façon que la roue () soit aussi grande que possible sans que ses dents interfèrent avec celles de la couronne (3) et : k = Z /Z 1 < [(Z 3 /Z 1 ) 1]/ d où k <,5 et C k # 0,71 Avec les mêmes évaluations sur Ω 0 et sur σ 0 et le même couple moteur C 1 = 454,7 N m, on obtient : Z 1 év = 19 à 5 et d 1 év = 46 On adopte : β 0 = 14 o ; m n0 = ; Z 1 = et Z 3 = 133 (car Z 3 Z 1 est un multiple de 3) : N s0 = 347,4 tr/min ; Z = 51 ; Z = 5 (Z > Z 1 pour être plus résistant ; de plus ( ) ne doit pas interférer avec le second satellite voisin ; limite maximale Z # 31). Entraxes : a 01 = 78 ; a 0 = 81 ; a 0 3 = 113. Il est difficile d équilibrer tous les produits d usure aux trois points d engrènement ; il est nécessaire de réaliser cet équilibrage entre (1) et () par les méthodes habituelles, de l approcher entre () et ( ) si ( ) est assez petit (économie), puis entre ( ) et (3), en contact convexoconcave, donc très résistant ; il reste à vérifier la non-interférence de fonctionnement. Il est aisé de vérifier qu un choix de coefficients de déports tels que : x 1 = + 0,700 ; x = + 0,845 ; x = + 0,638 ; x 3 = + 1,58 convient. Un dernier calcul de longueur b = 6 assure une bonne résistance de l engrenage et un rapport de recouvrement supérieur à l unité. Techniques de l Ingénieur, traité Génie mécanique B

28 RÉDUCTEURS DE VITESSE À ENGRENAGES Figure 3 Calage des satellites à 10 o 7. Groupements composés mixtes Le groupement en série s impose lorsque le rapport de transmission devient important. Le groupement en parallèle est intéressant lorsque le couple en petite vitesse augmente et que l on souhaite réduire les dimensions. Il est donc possible d imaginer des groupements mixtes tels que ceux schématisés sur la figure 33 : sur la figure 33a, un réducteur élémentaire coaxial à arbre intermédiaire suivi de deux trains épicycloïdaux à couronnes fixes et à trois satellites assure un rapport limite de réduction de l ordre de 1 000, et cela avec des arbres coaxiaux ; sur la figure 33b, un réducteur conique et un réducteur élémentaire coaxial à arbre intermédiaire sont montés en série et, à la suite, un train épicycloïdal ; il est ainsi possible d obtenir une réduction de l ordre de avec un axe de sortie perpendiculaire à l axe d entrée. Dans ces groupements mixtes, les réducteurs élémentaires sont placés du côté de la grande vitesse et sont organisés en série, puis, en petite vitesse, interviennent les réducteurs groupés en parallèle car les couples deviennent très importants. 7.1 Trains épicycloïdaux en série Le premier type de groupement composé consiste à monter en série des éléments groupés en parallèle (figure 34). La forme générale est un groupement en série de trains épicycloïdaux à trois satellites. La loi cinématique est simple : Figure 33 Groupements composés mixtes : différentes combinaisons i = N m0 /N s0 = u 1 u...u n L organisation de la structure est comparable à celle du paragraphe 5 avec un rapport limite optimal de valeur u 0 = 8 à 10, avec un nombre de trains égal ou supérieur à n tel que : ( n 1) n u 0 < i < u 0 et un agencement correspondant à des rapports plus importants en GV qu en PV : u GV > u > u 3 >... > u PV Le problème particulier, dans ce cas de groupement, consiste à réaliser les conditions d isostatisme. Si l on groupe, par exemple, deux trains épicycloïdaux en série, une solution évidente s impose : réaliser l isostaticité de chaque train élémentaire par montage flottant d un élément (1), (3) ou (4) (figure 35a ) par deux joints J I et J II à deux degrés de mobilité. L étude correspond à ce qui a été vu au paragraphe 6 avec la relation (50). L ensemble comprend Figure 34 Trains épicycloïdaux en série : groupement en série de trains groupés en parallèle 11 pièces, 9 assemblages rotoïdes, 1 contacts ponctuels et joints à deux degrés de mobilité, d où : (6 11) (5 9) (1 1) ( 4) = 1 l isostatisme peut donc être réalisé avec un accroissement de prix dû aux deux joints. B Techniques de l Ingénieur, traité Génie mécanique

29 RÉDUCTEURS DE VITESSE À ENGRENAGES Figure 35 Isostatisme avec plus de deux trains en série Une solution particulière, beaucoup plus économique, est réalisable en supprimant le guidage de la pièce intermédiaire de jonction entre les deux trains épicycloïdaux (figure 35b) ne laissant subsister qu une immobilisation axiale par contact ponctuel bilatéral. En effet, les joints ayant disparu, il n y a plus que 9 pièces et 8 rotoïdes, les 1 ponctuels ne changent pas et, en plus, il y a un ponctuel axial, bilatéral : (6 9) (5 8) (1 1) (1) = 1 Cette solution a l avantage d être beaucoup plus économique que la précédente car elle économise deux joints articulés et un guidage rotoïde. D autres solutions intermédiaires existent ou peuvent être envisagées. Si le nombre de trains épicycloïdaux placés en série dépasse deux, la solution générale (figure 9) peut être adoptée : chaque train est équilibré grâce à un joint à deux degrés de mobilité. Effectivement, si à un mécanisme isostatique de degré de mobilité d = 1, on ajoute un sous-ensemble comprenant p * = 5 pièces, 4 assemblages rotoïdes, 6 assemblages ponctuels et 1 joint à deux degrés de mobilité : 6p* Σ L* ij = ( 6 5) ( 5 4) ( 1 6) ( 4) = 0 donc le degré de mobilité de l ensemble est conservé : d = 1, et d isostaticité est possible. Si l on essaie de simplifier (figure 35b ), un train épicycloïdal supplémentaire introduit 4 pièces seulement, 3 assemblages rotoïdes, 6 contacts ponctuels et 1 assemblage de degré d obstacle x pour la pièce intermédiaire de jonction, l élément de sortie restant guidé en rotoïde ; le sous-ensemble ajouté doit être de degré nul : (6 4) (5 3) (1 6) (x ) = 0 donc x = 3, une rotule est possible ; une étude détaillée montre que la rotule convient bien (figure 35c ). Cela est encore vrai pour tout autre train épicycloïdal supplémentaire mais, en utilisation habituelle, on ne dépasse guère quatre trains en série (réduction de rapport i = 5 000). La figure 36 montre un exemple de réducteur composé mixte. Figure 36 Réducteur adoptant un groupement composé de trois trains épicycloïdaux (groupements en parallèle placés en série) (doc. Weco) 7. Trains épicycloïdaux généralisés Le second type de groupement composé consiste à monter en parallèle des trains groupés en série (figure 37). C est le train épicycloïdal généralisé (figure 38). Il comportera, en général, pour des raisons d isostatisme simple, trois séries de satellites (ou de trains de satellites) calés à 10 o. Chaque train de satellites Figure 37 Trains épicycloïdaux généralisés : groupement en parallèle de trains groupés en série est un véritable réducteur en série monté sur l élément tournant ou porte-satellites. Ainsi qu en train élémentaire on trouve un pignon solaire (1) d axe x 0 x 0, une couronne (3) d axe x 0 x 0, un Techniques de l Ingénieur, traité Génie mécanique B

30 RÉDUCTEURS DE VITESSE À ENGRENAGES porte-satellites (4) d axe x 0 x 0, et, liés au porte-satellites, trois réducteurs (groupement en série) de rapport i * montés en parallèle avec des roues de Z 1 dents en entrée et des pignons de Z 13 dents en sortie de ces réducteurs mobiles ; la relation de Willis devient alors : (ω 10 ω 40 )/(ω 30 ω 40 ) = λ avec λ = i * ( Z 1 /Z 1 )(Z 3 /Z 13 ) (55) Il faut remarquer qu à l intérieur de ces réducteurs mobiles de rapport i* c est l engrenage cylindrique qui est surtout utilisé ; dans certains cas, l engrenage conique peut intervenir. Les réducteurs épicycloïdaux les plus utilisés sont simplement des groupements de deux réducteurs en série, formés d engrenages cylindriques extérieurs et d engrenages cylindriques intérieurs dont les structures sont schématisées (tableau 4). La première solution (a ) est la plus intéressante en transmission de puissance car, la couronne étant fixe, le rapport obtenu vaut : ω m0 /ω s0 = 1 + (Z 1 Z /Z 11 Z 1 ) = i Appliquant la relation (6) dans 3., on détermine aisément Z 1 /Z 11 = u 1 et Z /Z 1 = u puisque u 1 u = i 1 ; ce type de réducteur permet, à la limite, une réduction de l ordre de 30, car u 1 est limité à 6 pour éviter les interférences entre les trois satellites [relation (54) dans 6]. Figure 38 Étude cinématique d un train épicycloïdal généralisé La seconde solution (b ), nommée train de Pecqueur, est intéressante, d une part, parce qu elle ne comporte que des dentures extérieures (la réduction limite optimale n atteignant que i 0 = 15) et, d autre part, parce qu il est possible d obtenir des rapports de base λ voisins de l unité (au-delà ou en-deçà), ce qui permet de conserver ou de changer le sens de rotation de l arbre de sortie, le porte- satellites étant très souvent moteur ; de plus, dans ce cas, la vitesse de sortie peut être très faible, voisine de zéro. Les deux dernières possibilités (c ) et (d ) n ont pas d intérêt évident, plaçant en série multiplicateur et réducteur élémentaires ; (néanmoins, la solution (c) sera étudiée au paragraphe 7.4). Quelques problèmes sont à résoudre : assurer l isostatisme du mécanisme ; assurer un calage correct à 10 o des trois ensembles de satellites groupés en série, les interférences entre roues ayant été vues. L isostatisme peut être traité comme dans le cas du train épicycloïdal à trois satellites simples (le réducteur en série, monté en parallèle, ne posant pas de problèmes particuliers), donc ainsi qu il a déjà été étudié au paragraphe 6 (figure 30 et 31). Le calage, par contre, dans le cas de réalisation en série et dans le cas de standardisation assurant fabrication et maintenance aisées est à étudier sérieusement, tout en se limitant au cas de groupement de deux réducteurs en série. Le problème se traite avec la même logique s il y a plus de deux engrenages en série et le cas de la poulie Redex n est qu un appariement très spécial et intéressant dans certains cas. Soit le train épicycloïdal du type (a ) (tableau 4) comprenant un solaire (1) de Z 1 dents engrenant avec la roue dentée de Z 1 dents du satellite (), l autre roue dentée de Z 13 dents du même satellite () engrène avec la couronne (3) de Z 3 dents, le porte-satellites (4) assure le groupement en parallèle des trois ensembles à 10 o et les satellites doubles () ont même calage relatif entre la roue de Z 1 dents (A) et la roue de Z 13 dents (B), comme schématisé sur la figure 39. Le montage du premier satellite () est aisé, une dent de (1) et une entre-dent de (3) sont placées en symétrie par rapport à l axe ( O 0 z 0 ), ce qui correspond à un calage uniforme des satellites () : entre-dent en A de Z 1 et dent en B de Z 13 sur un même axe et opposées par rapport à O 4. Le montage du et même des satellites suivants peut s effectuer selon deux méthodes différentes : le solaire (1) est immobilisé, le porte-satellites tourne d un angle θ 40 entraînant (3) dans sa rotation et le satellite suivant peut être monté avec son calage uniforme ; la couronne (3) est bloquée, le porte-satellites tourne d un angle θ 40 entraînant (1) dans sa rotation, le satellite suivant peut aussi être monté avec toujours le même calage. (0) Tableau 4 Différents types de réducteurs épicycloïdaux B Techniques de l Ingénieur, traité Génie mécanique

31 RÉDUCTEURS DE VITESSE À ENGRENAGES Figure 39 Calage des satellites doubles à 10 o Dans le premier cas : (θ 30 θ 40 )/(0 θ 40 ) = 1/λ = (Z 1 Z 13 )/(Z 1 Z 3 ) et θ 30 = θ 40 (Z 1 Z 3 + Z 1 Z 13 )/(Z 1 Z 3 ) θ 40 correspond à n/ 3 tours, n étant un entier non multiple de 3 pour laisser la place à un satellite suivant sur l axe ( O 0 z 0 ) et θ 30 correspondant à m/z 3 tours avec m entier soit : Dans le second cas : m = n (Z 1 Z 3 + Z 1 Z 13 )/3Z 1 (56) (θ 10 θ 40 )/(0 θ 40 ) = λ = (Z 1 Z 3 )/(Z 1 Z 13 ) et θ 10 = θ 40 (Z 1 Z 13 + Z 1 Z 3 )/(Z 1 Z 13 ) Avec les mêmes conséquences sur θ 40 et sur θ 10 = m /Z 1, avec m entier, on a : m = n (Z 1 Z 13 + Z 1 Z 3 )/3Z 13 (57) Les conclusions sont précises : (Z 1 Z 3 + Z 1 Z 13 ) doit être multiple de 3 et Z 1 ou Z 13 non multiple de 3 avec, si possible, Z 1 et Z 1 premiers entre eux et Z 3 et Z 13 premiers entre eux aussi. Dans le cas du train de Pecqueur (type (b ), tableau 4 et figure 40), il y a changement de signe sur λ et l on obtient les deux relations : m = n (Z 1 Z 3 Z 1 Z 13 )/3Z 1 ou m = n (Z 1 Z 13 Z 1 Z 3 )/3Z 13 Enfin, revenant au calage du train épicycloïdal simple (figure 3 dans 6) si Z 13 = Z 1 = Z, on retrouve les relations simples (5) et (53). 7.3 Groupements imbriqués Le groupement en série de deux trains épicycloïdaux élémentaires peut être traité de deux façons différentes, lorsque le but est d obtenir un réducteur de vitesse, par exemple. En effet, le train épicycloïdal élémentaire ( 6) a une mobilité de degré d = donc, deux trains placés vis-à-vis, sans autre particularité, ont un degré de mobilité d = 4 (figure 41a ). Adoptons la représentation symbolique déjà employée au tableau, trois points représentant des éléments mobiles autour de l axe ( x 0 x 0 ) : (1), (4) et (3) sont reliés par un trait vertical, symbolisant le train épicycloïdal de base : solaire (1), porte-satellites (4) et couronne (3) ; les satellites () n apparaissent pas puisqu ils ne sont pas liés à l extérieur et qu ils n interviennent que dans le signe de λ, rapport de base. Figure 40 Train de Pecqueur Figure 41 Groupements imbriqués : différentes formes Il doit y avoir transmission de puissance, d une part, donc assemblage rigide entre élément du train I et élément du train II et appui, d autre part, donc, en réducteur ou multiplicateur de vitesse, freinage sur un élément du train I ou du train II. Deux grandes familles de solutions se définissent pour obtenir une mobilité de degré d = 1 : une jonction interne entre les deux trains et deux blocages sur l extérieur (figure 41b), ainsi : d = 4 1 = 1 deux jonctions internes entre les deux trains et un seul blocage sur l extérieur (figure 41c), ainsi : d = 4 1 = 1 La solution (figure 41b ) correspond simplement à un groupement en série de deux trains groupés en parallèle ( 7.1). Si l on procède à une étude combinatoire basée sur une jonction unique entre un élément du train I, de rapport λ I, et un élément du train II, de rapport λ II (figure 4), on aboutit à neuf familles de solutions internes. Si, ensuite, on imagine un élément moteur de vitesse N m0 et un élément freiné sur le train I, puis un élément de sortie de vitesse N s0 et un élément freiné sur le train II, on découvre quatre familles de solutions externes ; soit 36 solutions, a priori, dont l efficacité et l utilité sont à analyser. Le groupement en série peut dépasser n = dans ce cas (nous avons vu jusqu à n = 4 à 5). La solution (figure 41c ) correspond à ce que l on nomme groupement imbriqué : il y a deux jonctions entre éléments du train I et éléments du train II (figure 43) ; l étude combinatoire permet de découvrir 18 familles de solutions internes. En combinaisons externes, seul l élément de sortie de vitesse N s0 ouvre deux possibilités, l élément moteur et l élément freiné ayant une position imposée. Là encore, nous découvrons 36 solutions, a priori, à étudier. Techniques de l Ingénieur, traité Génie mécanique B

32 RÉDUCTEURS DE VITESSE À ENGRENAGES Figure 4 Groupements imbriqués à une jonction interne Figure 44 Groupement imbriqué de l exemple de la figure 41 Figure 43 Groupements imbriqués à deux jonctions internes L étude cinématique est aisée, elle consiste à appliquer deux fois la relation de Willis. Si le train (figure 44) est à analyser pour déterminer i = N m0 /N s0, il suffit d éliminer N i0 vitesse intermédiaire de l élément non couplé à la sortie : train I : λ I = Z 3I /Z 1I Figure 45 Isolement du train à satellite unique ( <0 ) : étude dynamique (N m0 N i0 )/(N s0 N i0 ) = λ I N m0 = λ I N s0 + (1 λ I ) N i0 train II : λ II = Z 3II /Z 1II (N i0 N s0 )/(0 N s0 ) = λ II d où N i0 = N s0 (1 λ II ) N m0 = N s0 (λ I λ II + 1 λ II ) ou i = λ I λ II + 1 λ II (58) Cette relation (58) est très générale et s applique quel que soit le signe du rapport de base λ. Si, par exemple, λ I = 5 et λ II = 4, on obtient pour : λ I et λ II négatifs, i = 5 λ I et λ II positifs, i = 17 λ I positif et λ II négatif, i = 15 λ I négatif et λ II positif, i = 3 L analyse dynamique permet d évaluer couples et puissances transmis par chaque élément soit par isolements modélisés d un satellite considéré comme unique, soit par utilisation du théorème des puissances virtuelles ( 3.3). L isolement modélisé du «satellite unique» (figure 45a ) définit, dans un plan perpendiculaire à l axe général x 0, les actions normales (si la denture est droite) ou la projection des actions normales sur ce plan perpendiculaire à x 0. Ainsi, apparaissent F n1, F n3, Y 4, Z 4 et F n3 = F n1, avec M t ( O 4, x 4 ) = 0, ce qui peut être remplacé par les causes de ces actions (figure 45b ) : C 1, C 3 et C 4 couples appliqués par l extérieur sur les éléments (1), (3) et (4) avec : F n1 = C 1 /r b1 = F n3 = C 3 /r b3 r b1 et r b3 étant les rayons des cylindres de base. C 1 et C 3 sont de même sens alors que λ = Z 3 /Z 1 = r b3 /r b1 est négatif : C 3 = λ C 1 (59) Enfin, il y a équilibre de moments d axe x 0 donc : C 4 + C 3 + C 1 = 0 ou C 4 = C 1 C 3 ou C 4 = ( λ 1) C 1 (60) Dans le cas où il y a satellites doubles, pour que λ = + Z 3 /Z 1 = r b3 /r b1 soit positif, la figure 46 permet de retrouver les mêmes résultats : F n1 = F n = F n = F n3 et C 3 est de sens différent de C 1 les relations (59) et (60) conviennent encore. Si l on applique le théorème des puissances virtuelles avec les deux relations fondamentales du paragraphe 3.3 : ω * 10 λω* 30 + ( λ 1)ω * 40 = 0 et C * 1 ω* 10 + C * 3 ω * 30 + C * 4 ω * 40 = 0 si ω * = 0, ce qui ne modifie pas les actions internes : 40 ω * 10 = λω * 30 et C * 3 ω * 30 = C * 1 ω * 10 donc C 3 = λ C 1 si ω * = 0, ce qui ne modifie toujours pas les actions internes : 30 ω * 10 = ( λ 1)ω * 40 et C * 4 ω * 40 = C * 1 ω * 10 donc C 4 = ( λ 1) C 1 Dès que l on étudie un train imbriqué, deux isolements modélisés sont à réaliser avec une relation entre les deux trains correspondant à l équilibre de l élément intermédiaire. Si, d une part, λ I = 5 (négatif) et λ II = 4 (négatif), nous avons un rapport de réduction i = 5. Les isolements (figure 47) B Techniques de l Ingénieur, traité Génie mécanique

33 RÉDUCTEURS DE VITESSE À ENGRENAGES caractérisent, sur le premier train I : C m, C s1 de même sens et C i de sens opposé. Passant au second train II, C i change de sens sur le solaire et C f et C s s en déduisent. Enfin, l arbre de sortie doit s équilibrer sous les effets des couples C s, C s1, C s : λ I = 5 C s1 = 5 C m C i = 6 C m λ II = 4 C f = 4 C i = 4 C m C s = 30 C m et C s = 5 C m on retrouve bien : C m ω m0 = C s ω s0 si le coefficient de frottement est égal à zéro. Il faut néanmoins remarquer que, puisque : ω i0 = ω s0 (1 λ II ) = 5ω s0 = ω m0 /5 C i ω i0 = 6 C m ω m0 / 5 ou P i = 6 P m /5 et C s1 ω s0 = 5 C m ω m0 /5 ou P s1 = P m /5 Il y a un phénomène de circulation de puissance à l intérieur du réducteur. Si, d autre part, λ I = 5 (négatif) et λ II = + 4 (positif ) donc i = 3, les isolements (figure 48) définissent sur le premier train les mêmes éléments que précédemment ; par contre, sur le second train, si C i change de sens sur le solaire, C f et C s s en déduisent avec λ II positif : λ I = 5 C s1 = 5 C m C i = 6 C m λ II = 4 C f = 4 C i = 4 C m C s = 30 C m et C s = 3 C m nous retrouvons encore : C m ω m0 = C s ω s0 mais ω i0 = 3ω s0 = 3ω m0 /3 C i ω i0 = (18/3) C m ω m0 ou P i = (18/3) P m et C s1 ω s0 = 5 C m ω m0 /3 ou P s1 = (5/3) P m Figure 46 Isolement du train à satellites doubles ( > 0 ) : étude dynamique Figure 47 Trains imbriqués à satellite simple Figure 48 Trains imbriqués dont l un est à satellites doubles Techniques de l Ingénieur, traité Génie mécanique B

34 RÉDUCTEURS DE VITESSE À ENGRENAGES Il y a, dans ce cas, un phénomène de division de puissance à l intérieur du réducteur. Rappelons qu un réducteur à division de puissance a un meilleur rendement qu un réducteur à circulation de puissance. 7.4 Réducteurs à grand rapport de réduction Les réducteurs, dans le cas de couple de sortie très important et de rendement sérieux (entre 0,9 et 1), sont réalisés par des groupements en série de trains élémentaires classiques ( 5) ou de trains épicycloïdaux ( 7.1). Dans certains cas, lorsque l encombrement et le poids sont à réduire, en dépit du rendement (< 0,9), deux solutions de trains épicycloïdaux particuliers peuvent être employées pour des rapports supérieurs à 100. Un train épicycloïdal du type (c ) (tableau 4) peut être utilisé (figure 49). Il est composé d un solaire (1) à denture intérieure de Z 1 dents, d un satellité double () de Z 1 et Z 3 dents, d une couronne fixe (3) liée au carter de Z 3 dents et d un porte-satellites (4) d entraxe a 0 très faible. Les nombres de dents Z 1, Z 3 et Z 1, Z 3 sont choisis très voisins. La relation de Willis devient : pour des engrenages intérieurs : ω 10 ω Z 3 Z 1 = ω 40 Z 1 Z 3 ω 10 Z 1 Z 3 ω ou u 40 Z Z = = = ω 40 Z 1 Z 3 ω 10 Z 1 Z 3 Z 1 Z 3 car, en général, c est l élément (4) qui est moteur. Un premier choix, tel que (Z 3 Z 3 ) = (Z 1 Z 1 ), permet d adopter un entraxe a 0 sans problème ; par contre, une faible valeur est souhaitée pour que le rapport soit important et il y a un risque d interférences secondaires (article Engrenages [B 636]) à éviter par un choix judicieux de l angle de fonctionnement et de la saillie unitaire. Par exemple : avec Z 3 = 64, Z 1 = 6, Z 3 = 57, Z 1 = 55, on obtient u = + 5,4 avec Z 3 = 6, Z 1 = 64, Z 3 = 55, Z 1 = 57, on obtient u = 51,4 et le rendement est de l ordre de 0,8 (il serait de 0,95 avec trois trains épicycloïdaux en série). Un second choix, plus intéressant, consiste à utiliser (Z 3 Z 3 ) voisin de (Z 1 Z 1 ), cela étant compensé par les déports de dentures en adoptant un entraxe a 0 unique pour les deux engrenages. Par exemple : avec Z 3 = 10, Z 1 = 99, Z 3 = 41, Z 1 = 40, on a : u = 193,3 avec Z 3 = 99, Z 1 = 10, Z 3 = 40, Z 1 = 41, on a : u = + 194,3 Ainsi, des dentures normales conviennent et il est possible d utiliser trois doubles satellites puisque Z 3 et Z 1 sont des multiples de trois et Z 3 > Z 3. La puissance peut être divisée et le rapport puissance/masse devient intéressant. Dans le premier choix, avec satellite unique, un équilibrage peut être obtenu par l utilisation d un contrepoids sur le porte-satellite. Dans les deux choix, des actions de sens opposés et de valeurs importantes s exercent en A et en B, ce qui provoque une flexion de l axe des satellites et impose des roulements de forte capacité. Un train épicycloïdal imbriqué complexe correspond au schéma de la figure 50a. Un solaire unique de Z 1 dents entraîne en A trois satellites triples de Z, Z 3, Z 4 dents guidés sur un porte-satellites de vitesse ω i0. En B, il y a contact sur la couronne fixe de Z 5 dents et en C contact sur la couronne de sortie de Z 6 dents. L entraxe a 0 sur le porte-satellites est unique (symbolisation figure 50b ). Le premier train I est de rapport de base : λ I = (Z Z 5 )/(Z 1 Z 3 ) et le second train de rapport de base : λ II = Z Z 6 /Z 1 Z 4, ce qui permet d écrire : soit ω m0 ω i0 = λ 0 ω I d où ω m = 1 λ i0 ω I i0 ω m0 ω i0 = λ ω s0 ω II d où ω m0 + ω i0 ( λ II 1) = ω s0 λ II i0 ω m0 1 ( λ II 1) ω ω ( 1 λ I ) s0 λ II et i m0 ( 1 λ I ) = = = λ ω II s0 ( λ II λ I ) Z soit i 6 ( Z 1 Z 3 + Z Z 5 ) = (61) Z 1 ( Z 6 Z 3 Z 5 Z 4 ) S il y a trois satellites triples, pour réaliser le calage à 10 o, une solution simple consiste à choisir Z 1, Z 5 et Z 6 multiples de trois (d autres solutions pouvant également convenir). Exemple : avec le choix suivant : Z 1 = 18 ; Z = 83 ; Z 5 = 13 ; Z 3 = 31 ; Z 6 = 19 ; Z 4 = 8, on obtient i = 7,3 avec un bon rendement et sans problème d entraxe a 0. Figure 49 Réducteur à grand rapport, à satellites doubles Figure 50 Train épicycloïdal imbriqué complexe à grand rapport B Techniques de l Ingénieur, traité Génie mécanique

35 RÉDUCTEURS DE VITESSE À ENGRENAGES Une première simplification consiste à réduire les satellites à deux roues dentées seulement, le solaire intervenant sur la première roue du satellite (figure 51a ) : λ Z 3 I λ Z II Z Z 5 Z i Z 5 ( Z 1 + Z 3 ) = = = Z 1 Z 4 Z 1 ( Z Z 5 Z 3 Z 4 ) Exemple : avec le choix suivant : Z 1 = 18, Z = 57, Z 3 = 13, Z 4 = 54, Z 5 = 19, valeurs ne posant pas de problèmes de calage puisque Z 1 +Z = Z 3 Z = Z 5 Z 4, on obtient i = 7,3. Si l on envisage des adaptations d entraxe par déports de dentures, il est possible d utiliser des nombres de dents tels que : (Z 1 + Z ) (Z 3 Z ) (Z 5 Z 4 ) avec, néanmoins, Z 1, Z 3 et Z 5 multiples de trois. Par exemple : Z 1 = 18, Z = 55, Z 3 = 19, Z 4 = 59, Z 5 = 13, i = 168,9 en respectant les conditions de bon rodage avec Z 1, Z puis Z, Z 3, enfin Z 4, Z 5 ; ce sont des nombres premiers entre eux. Une seconde simplification intervient en utilisant des satellites uniques. Ces satellites aisés à tailler sont en contact avec le solaire et avec les deux couronnes, l une fixe et l autre mobile liée à l arbre de sortie (figure 51b ). Les rapports de base ont pour valeurs : λ I = Z 3 /Z 1 λ II = Z 4 /Z 1 et le rapport de réduction réalisé a pour valeur : ω i m0 ( 1 λ I ) Z λ ω II ( Z 3 + Z 1 ) = = = s0 ( λ II λ I ) Z 1 ( Z 4 Z 3 ) (6) Exemple : avec le choix suivant : Z 1 = 18, Z = 37, Z 3 = 90, Z 4 = 93, on obtient i = 186. Le schéma est trompeur car, si chaque satellite a un cylindre primitif de taillage unique, il y a trois cylindres primitifs de fonctionnements différents, l un avec le solaire, un autre avec la couronne fixe, le dernier avec la couronne mobile pour réaliser le rapport de réduction. Il sera nécessaire de jouer sur des déports de dentures non négligeables : par exemple, si m 0 = 4 ; a 0 = 111 ; x 1 + x = 0,58 ; x 3 x = 1,443 ; x 4 x = 0,41 dans le cas d une denture droite. Là encore, les efforts en B et C sont très importants et opposés ; les solutions constructives d équilibrage sont très délicates à réaliser. 8. Conclusion Figure 51 Réducteurs simplifiés à grand rapport, à satellites triples Cette étude des réducteurs et multiplicateurs de vitesse a permis d analyser dans le détail les différents types de réalisations. Qu il s agisse d un choix sur catalogue ou d une réalisation particulière, quelques points forts sont à bien préciser. À puissance fixée et rapport constant ne dépassant pas 8, le prix évolue suivant la géométrie, la nature des matériaux et la finition des dentures, le rapport d évolution pouvant atteindre 3 à 5. L engrenage cylindrique extérieur est le plus compétitif, volume et masse s orientant vers un minimum avec les aciers de cémentation et une rectification, le prix de l unité de masse augmente par contre avec la qualité. L engrenage conique est de prix élevé et de vitesse tangentielle limitée avec un encombrement important et des réglages assez délicats. Le train épicycloïdal, dernier venu, évolue depuis une vingtaine d années pour aboutir à des ensembles très compacts, l isostatisme assuré ne conduisant pas à un accroissement de prix. Les groupements s imposent dès que le rapport dépasse 8. Longtemps, le groupement en série a été le seul utilisé. Actuellement, le groupement composé mixte intervient le plus souvent, la réduction des dimensions s accompagnant d un esthétisme plus agréable sans que le prix augmente, le rendement restant très intéressant. Techniques de l Ingénieur, traité Génie mécanique B

36 Réducteurs de vitesse à engrenages P O U R Références [1] HENRIOT (G.). Traité théorique des engrenages, Dunod (1979). [] DOBROVOLSKI (V.). Éléments de machines, Éd. MIR, Moscou (1971). [3] ARTOBOLEVSKI. Éléments de machines, Éd. MIR, Moscou (1975). [4] LE BORZEC (R.) et LOTTERIE (J.). Principes de la théorie des mécanismes. Éd. Dunod (1975). [5] DUDITA (F.) et DIACONESCU (D.V.). Transmissi mecanice moderne, Éd. Tehnica. Bucuresti (1980). [6] Bulletins de la SEIE et de l IET (Institut de l Engrenage et des Transmissions), Paris. [7] Actes des congrès mondiaux de l engrenage : Paris (1977), Tokyo (1981), Paris (1986), Zengzou (1989) et Paris, Éd. IET (199). par Robert LE BORZEC Professeur de Construction mécanique à l École Nationale Supérieure des Arts et Métiers de Lille Bibliographie Revues françaises et étrangères France Entraînements et systèmes (m). Institut de l Engrenage et des Transmissions. Bulletin (irr). Machine-Outil (m). Machines Production (hebd). Mécanique. Matériaux. Électricité (bimest). Allemagne Antriebestechnik (m). Maschinenbautechnik (m). Belgique Revue M-Mécanique/M-Tijdschrift Werktuigkunde (tri). États-Unis Journal of Applied Mechanics (tri). Mechanical Engineering (m). Power Transmission Design (m). Machine Design (bimens). Normalisation Grande-Bretagne Journal of Mechanical Engineering Science (bimens). Machine Tool Engineering (tri). Machinery and Production Engineering (hebd). Machines and Tooling (m). Mechanical Engineering News (bimens). Italie Ingegneria Meccanica (m). Macchine (m). Meccanica Italiana (m). Japon Japan Society of Mechanical Engineers. Bulletin (m). Suède Teknisk Tidskrift (bimens). Suisse Technische Rundschau (hebd). E N S A V O I R P L U S (Extrait du Bulletin hors série de février 199 de l Institut de l Engrenage et des Transmissions) France Association Française de Normalisation (AFNOR) NF E Dessins techniques. Engrenages. Représentation conventionnelle et schémas pour chaînes cinématiques (ISO 03, 395). NF E Vocabulaire des engrenages. Définitions géométriques (ISO 11/1). NF E Engrenages. Vocabulaire des engrenages à vis. Définitions géométriques. NF E Vocabulaire des engrenages. Engrenages à vis. Géométrie des vis. NF ISO Notation internationale des engrenages. Symboles de données géométriques. NF E NF E NF E 3-01 E E E Précision des engrenages parallèles à denture en développante (ISO 138) Engrenages. Crémaillère de référence et modules des roues cylindriques à développante de mécanique générale et de grosse mécanique (ISO 53, 54) Engrenages. Engrenages cylindriques. Indications à fournir au fabricant d engrenages (ISO 1340) Engrenages. Déport des dentures des roues cylindriques pour engrenages réducteurs (ISO 4467) Engrenages. Aspect des dentures après fonctionnement. 198 Engrenages. Détermination de la capacité de charge des engrenages cylindriques extérieurs de mécanique générale. Toute reproduction sans autorisation du Centre français d exploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de l Ingénieur, traité Génie mécanique Doc. B

37 P O U R E N S A V O I R P L U S RÉDUCTEURS DE VITESSE À ENGRENAGES NF E Engrenages coniques droits. Indications à fournir au tailleur d engrenages (ISO 1341). NF E Engrenages à vis. Indications à fournir au tailleur d engrenages. E Engrenages. Code de réception des engrenages. Détermination des vibrations mécaniques. E Fraises-mères à tailler les engrenages. Dimensions des fraises-mères monoblocs, à entraînement par clavette de modules 0,5 à 0 (ISO 490). NF E Fraises-disques à tailler les engrenages. Denture à profil constant en développante (ISO 490). E Fraises-mères à tailler les engrenages (ISO 490). NF L Axes dentelés cylindriques pour petites commandes. NF L Dentures radiales symétriques (confirmée en novembre 197). L Méthode de calcul d une denture radiale symétrique, suivant NF L (confirmée en novembre 197). NF L Stries radiales (confirmée en novembre 197). Allemagne Deutsches Institut für Normung ev (DIN) Darstellung und vereinfachte Darstellung für Zahnräder und Räderpaarung. 780 T Modulreihe für Zahnräder ; Moduln für Stirnräder (ISO 54). 780 T 1977 Modulreihe für Zahnräder ; Moduln für Zylinderschneckengetriebe Werkzeugmaschinen ; Zähnezahlen der Wechselräder Werkzeugmaschinen ; Wechselräder, Maβe Bezugsprofile für Evolventenverzahnungen an Stirnrädern (Zylinderrädern) für den allgemeinen Maschinenbau und den Schwermaschinenbau (ISO 53) Allgemeine Begriffe und Bestimmungsgröβen für Zahnräder, Zahnradpaare und Zahnradgetriebe (ISO 11 /1) Schneidräder für Stirnräder ; Geradverzahnte Scheibenschneidräder Schneidräder für Stirnräder ; Geradverzahnte Glockenschneidräder Schneidräder für Stirnräder ; Geradverzahnte Schaftschneidräder. 189 T Schneidräder für Stirnräder ; Bestimmungsgröβen, Begriffe, Kennzeichnung. 189 T 1977 Schneidräder für Stirnräder ; Toleranzen, Zulässige Abweichungen. ISO Technische Zeichnungen ; Darstellung von Zahnrädern (ISO 03) Begriffe und Bestimmungsgröβen für Stirnräder (Zylinderräder) und Stirnradpaare (Zylinderradpaare) mit Evolventenverzahnung Beiblatt ; Zusammenstellung der Gleichungen Toleranzen für Stirnradverzahnungen ; Grundlagen. 396 T Toleranzen für Stirnradverzahnungen ; Toleranzen für Abweichungen einzelner Bestimmungsgröβen (ISO 138). 396 T 1978 Toleranzen für Stirnradverzahnungen ; Toleranzen für Flankenlinienabweichungen (ISO 138). 396 T Toleranzen für Stirnradverzahnungen ; Toleranzen für Teilungs-Spannenabweichungen Toleranzen für Wälzabweichungen (ISO 138) Achsabstandsabmasse und Achslagetoleranzen von Gehäusen für Stirnradgetriebe T Toleranzen für Kegelradverzahnungen ; Grundlagen T 1986 Toleranzen für Kegelradverzahnungen ; Toleranzen für Abweichungen einzelner Bestimmungsgröβen T Toleranzen für Kegelradverzahnungen ; Toleranzen für Wälzabweichungen T Toleranzen für Kegelradverzahnungen ; Toleranzen für Achsenwinkelabweichungen und Achsenschnittpunktabweichungen T Angaben für Verzahnungen in Zeichnungen ; Angaben für Stirnrad-(Zylinderrad-) Evolventenverzahnungen (ISO 1340) T 1978 Angaben für Verzahnungen in Zeichnungen ; Angaben für Geradzahn-Kegelradverzahnungen (ISO 1341) T Angaben für Verzahnungen in Zeichnungen ; Angaben für Schnecken- und Schneckenradverzahnungen Getriebe-Paβsystem ; Flankenspiel, Zahndickenabmaβe, Zahndickentoleranzen, Grundlagen Toleranzen eingängiger Wälzfräser für Stirnräder mit Evolventenverzahnung T Oberflächenrauheit von Zahnflanken ; Rauheitskenngröβen ; Oberflächenklassen T Lehrzahnräder zum Prüfen von Stirnräderm ; Radkörper und Verzahnung T 1974 Lehrzahnräder zum Prüfen von Stirnrädern ; Aufnahmedorne Begriffe und Bestimmungsgröβen für Kegelräder und Kegelradpaare Bezugsprofile von Verzahnwerkzeugen für Evolventen- Verzahnungen nach DIN Begriffe und Bestimmungsgröβen für Zylinderschneckengetriebe mit Achsenwinkel 90 o (ISO 11/1) Zylinderschnecken, Maβe, Zuordnung von Achsabständen und Übersetzungen in Schneckenradsätzen Meβstückdurchmesser für das radiale oder diametrale Prüfmaβ der Zahndicke an Stirnrädern (Zylinderradern) Schrägungswinkel für Stirnradverzahnungen Zahnschäden an Zahnradgetrieben ; Bezeichnung, Merkmale, Ursachen T Tragfähigkeitsberechnung von Stirnrädern ; Einführung und allgemeine Einfluβfaktoren T 1987 Tragfähigkeitsberechnung von Stirnrädern ; Berechnung der Grübchentragfähigkeit T Tragfähigkeitsberechnung von Stirnrädern ; Berechnung der Zahnfuβtragfähigkeit T Tragfähigkeitsberechnung von Stirnrädern ; Berechnung der Fresstragfähigkeit T Tragfähigkeitsberechnung von Stirnrädern ; Dauerfestigkeitswerte und Werkstoffqualitäten. E 3990 T Tragfähigkeitsberechnung von Stirnrädern ; Betriebsfestigkeitsrechnung T Tragfähigkeitsberechnung von Stirnrädern ; Anwendungsnorm für Industriegetriebe ; Detail-Methode. E 3990 T Tragfähigkeitsberechnung von Stirnrädern ; Anwendungsnorm für Industriegetriebe ; Einfach-Methode T Tragfähigkeitsberechnung von Stirnrädern ; Anwendungsnorm für Schnellaufgetriebe und Getriebe ähnlicher Anforderungen T Tragfähigkeitsberechnung von Stirnrädern ; Anwendungsnorm für Schiffsgetriebe T Tragfähigkeitsberechnung von Stimrädern ; Anwendungsnorm für Fahrzeuggetriebe T Trägfähigkeitsberechnung von Kegelrädern ohne Achsversetzung ; Einführung und allgemeine Einfluβfaktoren. Doc. B 5 64 Toute reproduction sans autorisation du Centre français d exploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de l Ingénieur, traité Génie mécanique

38 RÉDUCTEURS DE VITESSE À ENGRENAGES 3991 T 1988 Trägfähigkeitsberechnung von Kegelrädern ohne Achsversetzung ; Berechnung der Grübchentragfähigkeit T Trägfähigkeitsberechnung von Kegelrädern ohne Achsversetzung ; Berechnung der Zahnfuβtragfähigkeit T Trägfähigkeitsberechnung von Kegelrädern ohne Achsversetzung ; Berechnung der Freβtragfähigkeit Profilverschiebung bei Stirnrädern mit Auβenverzahnung T Geometrische Auslegung von zylindrischen Innenradpaaren mit Evolventenverzahnung ; Grundregeln T 1981 Geometrische Auslegung von zylindrischen Innenradpaaren mit Evolventenverzahnung ; Diagramme über geometrische Grenzen für die Paarung Hohlrad-Ritzel T Geometrische Auslegung von zylindrischen Innenradpaaren mit Evolventenverzahnung ; Diagramme zur Ermittlung der Profilverschiebungsfaktoren T Geometrische Auslegung von zylindrischen Innenradpaaren mit Evolventenverzahnung ; Diagramme über Grenzen für die Paarung Hohlrad-Schneidrad Profilverschiebung bei geradverzahnten Stirnrädern mit 05-Verzahnung ; Einführung T Geradverzahnte Auβen-Stirnräder mit 05-Verzahnung ; Achsabstände und Betriebseingriffswinkel T 1963 Geradverzahnte Auβen-Stirnräder mit 05-Verzahnung ; Fuβkreisdurchmesser T Geradverzahnte Auβen-Stirnräder mit 05-Verzahnung ; Kopfkreisdurchmesser T Geradverzahnte Auβen-Stirnräder mit 05-Verzahnung ; Zahnweite T Geradverzahnte Auβen-Stirnräder mit 05-Verzahnung ; Prüfmaβ M a T Geradverzahnte Auβen-Stirnräder mit 05-Verzahnung ; Zahndickensehne und Zahnhöhe über der Sehne T Geradverzahnte Auβen-Stirnräder mit 05-Verzahnung ; Überdeckungsgrade T Geradverzahnte Auβen-Stirnräder mit 05-Verzahnung ; Gleitgeschwindigkeiten am Zahnkopf Beiblatt Benennungen an Zahnrädern und Zahnradpaaren ; Stichwortverzeichnis (ISO 11 /1) T Allgemeine Begriffe T 1976 ; Stirnräder und Stirnradpaare (Zylinderräder und Zylinderradpaare) (ISO 11 /1) T ; Kegelräder und Kegelradpaare, Hypoidräder und Hypoidradpaare (ISO 11/1) T ; Schneckenradsätze (ISO 11 /1) Kurzzeichen für Verzahnungen (ISO 701). E 3999 T1 198 Kurzzeichen für die Antriebstechnik ; Verzahnungen (ISO 701) T7 198 Sachmerkmal-Leisten für Getriebe T Sachmerkmal-Leisten für Zahnstangen, Stirnräder, Stirnradwellen, Kegelräder, Kegelradwellen, Schnecken und Schneckenräder Bestimmungsgröβen und Fehler an Wälzfräsern für Stirnräder mit Evolventenverzahnung ; Grundbegriffe Maschinenwerkzeuge für Metall ; Wälzfräser für Stirnräder mit Quer- oder Längsnut, Modul 1 bis Krane ; Getriebe, Anschluβmaβe, Umgrenzungsmaβe, Abtriebsmomente Bezugsprofil für Evolventenverzahnungen an Stirnrädern für die Feinwerktechnik Beiblatt Stirnradgetriebe der Feinwerktechnik ; Rechenvordruck T1 197 Stirnradgetriebe der Feinwerktechnik ; Rechenvordruck. Geltungsbereich, Begriffe, Bestimmungsgröβen, Einteilung T 197 Stirnradgetriebe der Feinwerktechnik ; Rechenvordruck. Getriebepassungsauswahl, Toleranzen, Abmaβe T3 197 Stirnradgetriebe der Feinwerktechnik ; Rechenvordruck. Angaben in Zeichnungen, Berechnungsbeispiele T4 197 Stirnradgetriebe der Feinwerktechnik ; Rechenvordruck. Tabellen Wälzfräser für Stirnräder der Feinwerktechnik mit Modul 0,1 bis 1 mm Bezugsprofile für Verzahnwerkzeuge der Feinwerktechnik; Evolventenverzahnungen nach DIN und DIN Toleranzen für Wälzfräser der Feinwerktechnik Lehrzahnräder zum Prüfen von Stirnrädern der Feinwerktechnik ; Radkörper und Verzahnung T Kreisbogenverzahnungen für die Feinwerktechnik ; Übersicht, Kurzzeichen, Benennungen T 1980 Kreisbogenverzahnungen für die Feinwerktechnik ; Zahnprofil T Kreisbogenverzahnungen für die Feinwerktechnik ; Berechnung und Konstruktion von Rad und Trieb T Kreisbogenverzahnungen für die Feinwerktechnik ; Zulässige Abweichungen und Toleranzen für Rad und Trieb T Profil für Zahnformfräser T ; Angaben in Zeichnungen T ; Tabellen, Diagramme T Übertragung von Drehbewegungen ; Formen der Anschlüsse an Getrieben, Zwischengetrieben, biegsamen Wellen und Geräten. Verein Deutscher Ingenieure/Verband Deutscher Elektrotechniker (VDI/VDE) VDI Planetengetriebe ; Begriffe, Symbole, Berechnungsgrundlagen. VDI Emissionskennwerte technischer Schallquellen; Getriebegeräusche. VDI Zahnräder aus thermoplastischen Kunststoffen. VDI/VDE Prüfung von Wälzfräsern für Zylinderräder mit Evolventenprofil. VDI/VDE Einflanken- und Zweiflanken-Wälzprüfung von gerad- und schrägverzahnten Stirnrädern mit Evolventenprofil. VDI/VDE 61 Blatt Prüfung von Stirnrädern mit Evolventenprofil ; Profilprüfung. VDI/VDE 61 Blatt 1980 Prüfung von Stirnrädern mit Evolventenprofil ; Flankenlinienprüfung. VDI/ VDE Teilungsprüfung an Verzahnungen ; Stirnräder (Zylinderräder), Schneckenräder, Kegelräder. VDI/ VDE Rundlaufprüfung an Verzahnungen ; Stirnräder (Zylinderräder), Schneckenräder, Kegelräder. VDI/ VDE Rauheitsprüfung an Zylinder- und Kegelrädern mit elektrischen Tastschnittgeräten. VDI Ausrichten von Getrieben. VDI Wälzfräsen von Stirnrädern mit Evolventenprofil. VDI 370/ Lärmarm Konstruieren, Leistungsgetriebe, Minderung der Körperschallanregung im Zahneingriff. VDI 370 Blatt Lärmarm Konstruieren ; Leistungsgetriebe ; Minderung der Körperschallanregung im Zahneingriff. P O U R E N S A V O I R P L U S Toute reproduction sans autorisation du Centre français d exploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de l Ingénieur, traité Génie mécanique Doc. B

39 P O U R E N S A V O I R P L U S RÉDUCTEURS DE VITESSE À ENGRENAGES Belgique Institut Belge de Normalisation (IBN) NBN Engrenages cylindriques de mécanique générale et de grosse mécanique. Crémaillère de référence. NBN Engrenages cylindriques et engrenages coniques. Module et diametral pitches. NBN Engrenages. Modules et diametral pitches normaux des engrenages cylindriques de mécanique générale Engrenage. Terminologie et symboles (avec annexe A. Répertoire alphabétique). NBN Mesure de l épaisseur des dents des engrenages cylindriques à développante. Mesure sur plusieurs dents (mesure de Wildhaber). NBN Mesure de l épaisseur des dents des engrenages cylindriques à développante. Mesure de la corde constante. NBN Engrenages coniques droits de mécanique générale et de grosse mécanique. Crémaillère de référence. NBN E Engrenages cylindriques. Indications à fournir aux tailleurs d engrenages par le client afin d obtenir la denture désirée. NBN E Engrenages cylindriques à développante. Jeu entre dents. NBN E Engrenages coniques droits. Indications à fournir aux tailleurs d engrenages par le client afin d obtenir la denture désirée. NBN E Roues à vis et vis cylindriques de mécanique générale. Tracé de référence. NBN E Roues à vis et vis cylindriques de mécanique générale. Modules et quotients diamétraux. NBN E Engrenages. Mesure de l épaisseur des dents d une crémaillère. Espagne Asociación Española de Normalización y Certificación (AENOR) UNE (1) 1979 Engranajes. Vocabulario y definiciones geometricas. Definiciones generales (ISO 11). UNE () 1979 Engranajes. Vocabulario y definiciones geometricas. Engranajes cilindricos (ISO 11). UNE (3) 1979 Engranajes. Vocabulario y definiciones geometricas. Engranajes cónicos (ISO 11). UNE (4) 1979 Engranajes. Vocabulario y definiciones geometricas. Engranajes de tornillo (ISO 11). UNE (5) 1979 Engranajes. Vocabulario y definiciones geometricas. Indice Espanol, Aleman, Inglès, Frances (ISO 11). UNE Engranajes cilindricos para mecánica general y mecánica pesada. Modulos y diametral Pitch (ISO 54). UNE Engranajes. Principios fundamentales. UNE Engranajes. Tipos de dentado. UNE Engranajes cilindricos para mecánica general y pesada. Cremallera de referencia (ISO 53). UNE Engranajes. Utiles para el tallado. Fresas madre de un filete de modulo 1 a 0. Medidas (ISO 490). UNE Notacion internacional de los engranajes. Simbolos de datos geometricos (ISO 701). UNE Engranajes. Nomenclatura de los degastes y rotura de los dientes. UNE Sistema ISO de precision de ruedas dentadas y engranajes cilindrico. Recto con dientes de perfil de evolvente (ISO 138). UNE Engranajes de conicorrectos. UNE Engranajes. Utiles par el tallado. Fresas madre de cuchillas de un filete. Calidad B. UNE Engranajes rectos y helicoïdales. UNE Engranajes cilindricos. Datos a figurar en los planos. UNE Fresas madre una entrada. Tolerancias de un filete. Tolerancias (ISO 4468). UNE Engranajes rectos. Utiles para el tallado. Cuchillas pinon. Medidas. UNE Engranajes cónicos rectos. Datos a figurar en los planos (ISO 1341). UNE Engranajes cónicos con dentado recto de mecánica general y de mecánica pesada. Cremallera de referencia (ISO 677). UNE Engranajes cónicos rectos para mecánica general y mecánica pesada. Modulos y pasos diametrales (ISO 678). États-Unis American Gear Manufacturers Association (AGMA) Nomenclature of gear tooth failure modes Gear nomenclature (geometry). Terms, definitions, symbols and abbreviations Information sheet. Formats for fine-pitch gear specifications data R 1987 Reference information. Basic gear geometry Glossary. Terms used in gearing Information sheet. Gear tooth surface texture for aerospace gearing (surface roughness, waviness, form and lay) Gear-cutting tools fine and coarse pitch hobs R 1974 Tooth proportions for coarse-pitch involute spur gears Fine-pitch on-center face gears for 0 degree involute spur pinions Tooth proportions for fine-pitch involute spur and helical gears Information sheet. Gear scoring design for aerospace spur and helical power gears Information sheet. Geometry factors for determining the strength of spur, helical, herringbone and bevel gear teeth A 1983 Recommended procedure for carburized aerospace gearing Specification. Lubrication of industrial enclosed gear drives Specification. Lubrication of industrial open gearing Specification for measurement of sound on high speed helical gear units R 1987 Sound for enclosed helical, herringbone and spiral bevel gear drives R 1987 Sound for gearmotors and in-line reducers and increasers P1 R 1987 Gear sound manual : Section I. Fundamentals of sound as related to gears P R 1987 Gear sound manual : Section II. Sources specifications and levels of gears sound P3 R 1987 Gear sound manual : Section III. Gear-noise control Helical and herringbone gearing for rolling mill service R 1976 Manual for assembling bevel and hypoid gears R 1970 Design of general industrial coarse-pitch cylindrical wormgearing R 1978 Design manual for fine-pitch gearing Design for fine-pitch wormgearing. Doc. B Toute reproduction sans autorisation du Centre français d exploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de l Ingénieur, traité Génie mécanique

40 RÉDUCTEURS DE VITESSE À ENGRENAGES a 1980 Handbook. Gear classification, materials and measuring methods for bevel, hypoid, fine pitch wormgearing and racks only as unassembled gears R 1974 Design procedure for aircraft engine and power take-off spur and helical gears Practice for enclosed speed reducers or increasers using spur, helical, herringbone and spiral bevel gears Practice for high speed helical and herringbone gear units Practice for helical and herringbone speed reducers for oilfield pumping units R 1974 Practice for helical and herringbone gearing for oilfield mud pumps Information sheet. Systems considerations for critical service gear drives Design procedure for aircraft engine and power take-off bevel gears Practice for gearmotors using spur, helical, herringbone and spiral bevel gears Practice for spur, helical and herringbone gear shaftmounted speed reducers Information sheet. Drive shafts for screw conveyor drives Metric dimensions for gear coupling flanges. American National Standards Institute (ANSI) 908-B 1989 Information sheet. Geometry factors for determining the pitting resistance and bending strength of spur, helical and herringbone gear teeth. 910-C 1990 Formats for fine-pitch gear specification data. 101-F 1990 Gear nomenclature, definitions of terms with symbols. 000-A 1988 Gear classification and inspection handbook. Tolerances and measuring methods for unassembled spur and helical gears (including metric equivalents). 001-B 1988 Fundamental rating factors and calculation methods for involute spur and helical gear teeth. 00-B 1988 Tooth thickness specification and measurement. 003-A 1986 Rating the pitting resistance and bending strength of generated straight bevel, Zerol bevel and spiral bevel gear teeth. 004-B 1989 Gear materials and heat treatment manual. 005-B 1988 Design manual for bevel gears. 008-C 1990 Assembling bevel gears A 1988 Specification for measurement of linear vibration on gear units C 1988 Design and selection of components for enclosed gear drives F 1988 Gear power rating for cylindrical grinding, mills, kilns, coolers and dryers E 1988 Standard for spur, helical, herringbone and bevel enclosed drives E 1986 Rating and application of single and multiple reduction double-enveloping worm and helical worm speed reducers. 603-A 1988 Design manual for epicyclic gear drives C 1987 Design of industrial double-enveloping wormgears A 1987 Practice for enclosed cylindrical wormgear speed reducers and gearmotors. 613-A 1988 Design manual for enclosed metric module gear drives. Finlande Suomen Standardisoimisliitto (SFS) SFS Cylindrical and bevel gears. Modules (ISO 54, 678). SFS Cylindrical gears. Basic rack without tip relief (ISO 53). SFS Cylindrical gears. Basic rack with tip relief (ISO 53). SFS Straight bevel gears. Basic rack without tip relief (ISO 677). SFS Cylindrical gears. Basic rack with tip relief (ISO 677). SFS Spur gears. Calculation of geometrical data. SFS Helical gears. Calculation of geometrical data. SFS Straight bevel gears. Calculation of geometrical data. SFS Gears. Geometrical definitions (ISO 701, 11). SFS Basic rack for worm gears. SFS Worms. Thread forms ZA, ZN, ZI, ZK. SFS Worms. Information to be given on drawings. SFS Worms wheels. Information to be given on drawings. SFS Cylindrical gears. Information to be given on drawings (ISO 1340). SFS Bevel gears. Information to be given on drawings (ISO 1341). SFS Cylindrical gears. Involute gears. Errors and measuring techniques (ISO 138). SFS Cylindrical gears. Tolerances. General directions. SFS Cylindrical gears. Tolerances. Metric modules 1-40 (ISO 138). SFS Bevel gears. Errors and measuring techniques. SFS Bevel gears. Tolerances. General Directions. SFS Bevel gears. Tolerances. Metric modules SFS Gears. Load capacity of cylindrical gears. SFS Cylindrical gears. Protuberance rack without tip relief. Grande-Bretagne British Standards Institution (BSI) BS Specification for gears for electric traction. BS 436 P Spur and helical gears. Basic rack form, pitches and accuracy (diametral pitch series) (ISO 53, 54, 138, 1340, 1341). BS 436 P 1984 Spur and helical gears. Basic rack form, modules and accuracy (1 to 50 metric module) (ISO 53, 54, 138, 1340, 1341). BS 436 P Spur and helical gears. Method for calculation of contact and root bending stress limitations for metallic involute gears. BS Specification for bevel gears (machine cut) (ISO 677, 678). BS 71 P Specification for worm gearing. Imperial units. BS 71 P 1983 Specification for worm gearing. Metric units. BS 978 P Specification for fine pitch gears. Involute spur and helical gears. BS 978 P 1990 Specification for fine pitch gears. Cycloidal type gears. BS 978 Add Specification for fine pitch gears. Double circular arc type gears. BS 978 Add 1990 Specification for fine pitch gears. Double circular arc type gears. BS 978 Add Specification for fine pitch gears. Bevel gears. BS 978 P Specification for fine pitch gears. Hobs and cutters. BS Specification for marine main propulsion gears and similar drives : metric module. P O U R E N S A V O I R P L U S Toute reproduction sans autorisation du Centre français d exploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de l Ingénieur, traité Génie mécanique Doc. B

41 P O U R E N S A V O I R P L U S RÉDUCTEURS DE VITESSE À ENGRENAGES BS Specification for circular gear shaving cutters, 1 to 8 metric module, accuracy requirements. BS 06 P Specification for gear hobs. Hobs for general purposes, 1 dp to 0 dp inclusive. BS 06 P 1985 Specification for gear hobs. Hobs for gears for turbine reduction and similar drives. BS 518 P Specification for rotary form relieved gear cutters. Diametral pitch. BS 518 P 1977 Specification for rotary form relieved gear cutters. Metric module. BS 519 P Glossary for gears. Geometrical definitions (ISO 11). BS 519 P 1976 Glossary for gears. Notation (ISO 701). BS Specification for rack type gear cutters, metric module. BS Specification for dimensions of worm gear units. BS 3696 P Specification for master gears. Spur and helical gears (metric module) (ISO 53, 54). BS 4185 P Specification for change gears. BS 4185 P Recommandations for accuracy grades of gears. BS Specification for dimensions of spur and helical geared motor units (metric series). BS 458 P Specification for fine pitch gears (metric module). Involute spur and helical gears. BS 458 P 1986 Specification for fine pitch gears (metric module). Hobs and cutters. BS 4656 P Accuracy of machine tools and methods of test. Gear hobbing machines. BS 4656 P Accuracy of machine tools and methods of test. Gear planing machines. BS 4656 P Accuracy of machine tools and methods of test. Gear shaping machines. BS Specification for general purpose, metric module gear hobs. BS Specification for pinion type cutters for spur gears, 1 to 8 metric module. BS Specification for non-metallic spur gears. BS 6431 P Lubricants, industrial oils and related products (class L). Classification for family C gears. BS Guide to the application of addendum modification to involute spur and helical gears. Italie Ente Nazionale Italiano di Unificazione (UNI) UNI Cylindrical involute gear hobs. UNI Basic rack of cutting gears for involute teeth. UNI 4760/1a 1975 Gears vocabulary. General definitions (ISO 11). UNI 4760/a 1975 Gears vocabulary. Cylindrical gears (ISO 11). UNI 4760/3a 1975 Gears vocabulary. Conical and hypoid gears (ISO 11). UNI 4760/4a 1977 Gears vocabulary. Screw gears (ISO 11). UNI 4760/5a 1975 Gears vocabulary. Alphabetical index of the terms (ISO 11). UNI Horizontal gear cutting machine. Move senses. UNI Single start gear hobs for cylindrical involute gears. Tolerances. UNI Cylindrical and straight bevel gears. Modules and diametral pitches (ISO 54, 678). UNI Cylindrical gears. Basic rack (ISO 53). UNI Straight bevel gears for general. Basic rack (ISO 677). UNI Gears. Symbols (ISO 701). UNI Technical drawings. Representation of gears. UNI Cylindrical gears. Data to be indicated on drawings (ISO 1340). UNI Straight bevel gears. Data to be indicated on drawings. UNI 7880/1a 1979 Gears. System of accuracy of parallel involute gears. Definitions (ISO 138). UNI 7880/a 1979 Gears. System of accuracy of parallel involute gears. Fundamental prescriptions (ISO 138). UNI 7880/3a 1979 Gears. System of accuracy of parallel involute gears. Tolerance values (ISO 138). UNI 7880/4a 1979 Gears. System of accuracy of parallel involute gears. Application example (ISO 138). UNI 886/1a 1987 Load capacity design of gears with parallel axes. Principles, symbols, fundamental formulas and limit parametres. UNI 886/a 1987 Load capacity design of gears with parallel axes. Factors. Pays-Bas Nederlands Normalisatie-Instituut (NNI) UDC Tandwielen NEN Cilindrische tandwielen. Theoretisch heugelprofiel. NEN Tandwielen. Modulus. NEN Tandwielen. Symbolen. NEN Tandwielen. Algemene meetkundige begrippen. Benamingen en definities. Viertalige woordenlijst. NEN Cilindrische tandwielen met evolvente tanden. Maatnauwkreurigheid en vorm en plaatszuiverheid. Definities. NEN Begeltandwielen met rechte tanden. Theoretisch heugelprofiel. UDC : 61.8/.85 A anduiding van machine-onderdelen op tekeningen NEN Technische tekeningen. Tekenwijzen van tandwielen. NEN Cilindrische tandwielen. Vermelding van gegeven op tekeningen. NEN Wormen en wormwielen. Vermelding van gegeven op tekeningen. NEN Kegeltandwielen met rechte tanden. Vermelding van gegevens op tekeningen. Suède Standardiseringskommissionen i Sverige (SIS) SMS Gears. List of Swedish Standards (F). SS Terminology (M) (ISO 701, 11). SS Tooth damage on gear trains. Designation, caracteristics, causes. SMS Cylindrical and bevel gears. Modules (C) (ISO 54, 678). SS Worms. Modules, diameter ratios and lead angles. SMS Cylindrical gears. Basic rack without tip relief (C) (ISO 53). SMS Cylindrical gears. Basic rack with tip relief (C) (ISO 53). SMS Cylindrical gears. Basic rack with machining allowance for millingand shaping (C). SMS Cylindrical gears. Basic rack with machining allowance for grinding (C). SMS Cylindrical gears. Basic rack with tip chamfer and machining allowance for shaving (C). SMS Straight bevel gears. Basic rack without tip relief (C) (ISO 677). SMS Straight bevel gears. Basic rack with tip relief (C) (ISO 677). SMS Basic rack for worm gears (C). SMS Worms : Type ZA, ZN, ZI, ZK (F). SMS Cylindrical and bevel gears. Fatigue limits for steel and cast iron (G). SS Spur and helical gears. Calculation of load capacity (M). SS Bevel gears. Calculation of load capacity (L). SS Cylindrical gears. Tolerances and general directions (H). Doc. B Toute reproduction sans autorisation du Centre français d exploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de l Ingénieur, traité Génie mécanique

42 RÉDUCTEURS DE VITESSE À ENGRENAGES SS Cylindrical gears. Tolerances for metric modules 1 to 5 (K) (ISO 138). SS Bevel gears. Tolerances and general directions (H). SS Bevel gears. Tolerances for metric modules 1 to 5 (H). SS Spur gears. Geometrical data (K). SS Helical gears. Geometrical data (L). SMS Straight bevel gears. Geometrical data (I). SS Worm gears. Geometrical data (H). SMS Cylindrical gears. Information to be given on drawings (D). SMS Bevel gears. Informations to be given on drawings (D). SMS Worms. Information to be given on drawings (D). SMS Worm wheels. Information to be given on drawings (D) SMS Cylindrical gears. Involute gear teeth. Errors and measuring techniques (J). SS Bevel gears. Errors and measuring techniques (H). Normes internationales International Organization for Standardization (ISO) TC 60 : Gears. Engrenages Engrenages cylindriques de mécanique générale et de grosse mécanique. Crémaillère de référence. Correspondances ISO ISO France Allemagne Espagne Finlande Engrenages cylindriques de mécanique générale et de grosse mécanique. Modules et diametral pitches Engrenages coniques à denture droite de mécanique générale et de grosse mécanique. Crémaillère de référence Engrenages coniques à denture droite de mécanique générale et de grosse mécanique. Modules et diametral pitches Notation internationale des engrenages. Symboles de données géométriques Vocabulaire des engrenages. Partie 1 : Définitions géométriques Engrenages parallèles à développante. Système ISO de précision Engrenages cylindriques. Indications à fournir au tailleur d engrenages par le client pour obtenir la denture désirée Engrenages coniques. Indications à fournir au tailleur d engrenages par le client pour obtenir la denture désirée Fraises-mères monoblocs à une entrée, à entraînement par clavette, de modules 1 à 0 et de diametral pitches 1 à 0. Dimensions nominales. TR Déport des dentures des roues cylindriques pour engrenages extérieurs réducteurs et multiplicateurs Fraises-mères à une entrée. Tolérances. (0) Grande- Bretagne 53 E UNE SFS 3094 BS 436/1/ SMS 96 UNI 6587 SFS 3095 BS 3696 SMS E T1 UNE SFS 3093 BS 436/1/ BS 3696 UNI 6586 SMS UNE SFS 3096 SMS 187 BS 545 UNI 6588 SFS 3097 SMS UNE SFS 3093 BS 545 UNI 6586 SMS ISO UNE SFS 3535 BS 519/ UNI 6773 SS /1 E ; 3998 UNE UNI 4760 SFS 3535 BS 519/1 1//3/4 1//3/4/5 1//3/4/5 SS E SFS 3993 BS 436 UNI / UNE SFS / 1/3/ SS E T1 SFS 3959 BS 436 1/ UNI E T UNE 1811 SFS 3960 BS 436 1/ 490 E 66-1 E 66- UNE 1809 E E UNE Italie Suède P O U R E N S A V O I R P L U S Toute reproduction sans autorisation du Centre français d exploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de l Ingénieur, traité Génie mécanique Doc. B

43 P O U R E N S A V O I R P L U S RÉDUCTEURS DE VITESSE À ENGRENAGES E = Engrenages ABB Asea Brown Boveri (R). Accary (ER). Accesso Ferm (R). Acmé (ER). AEP Ateliers Engrenages Précision (ER). Alpha Réducteurs (R). AMPB Atelier Mécanique du Pont-Bineau (ER). Andraud (E). ARDC (R). ATV Mécanéral (R). Balland Gailleton (E). Baret (ER). Baudot Hardoll (ER). Bauer France (R). Benzlers (R). Billard Engrenages (E). Bonfiglioli Transmissions (R). Brampton Renold (ER). Brie Transmissions (R). Bronzes d Industrie (Les) (ER). Castor (R). CATEP Constructeurs Associés de Transmissions et Engrenages de Précision (ER). CBB Transmissions (ER). Cellard (ER). Cerclet (R). Chauvalon Poulton (R). CIR Cie Industrielle du Roulement (ER). Clécim (ER). CMD Cie Messian Durand (ER). Colmant Cuvelier (R). Comélor (ER). CORDM (ER). Cyclo France (R). Danfoss (R). David Brown Sadi France (ER). DEFA Distribution Équipement Fourniture Automobile (E). Devance Industries Transmissions (ER). DSN (Sté Nouvelle) (R). Ducarme et Cie (E). ED Tech (ER). Engins Mécaniques Ségor (ER). Engrenages et Réducteurs Citroën-Messian-Durand (ER). Esco Transmissions (R). Eurotransmissions Rivoire (ER). Fenner (R). Ferry Capitain (E). Ferry Constructions Mécaniques (ER). Fimatec (ER). Fimet (R). Flender Graffenstaden (R). Foc Transmissions (ER). Gammatic (R). GB Automation (ER). GEC Alsthom Éts Parvex (R). Générale de Transmissions Girard Transmissions (ER). Hansen SIT (ER). Hanssen et Cie (R). Helmke (R). Herbeaux Engrenages (E). Honneur- ASP (E). Hydréco Hamworthy (R). Itafran (E). Keb (R). Kopp France (ER). Lapeyre J.S. (R). Fabricants. Constructeurs. Distributeurs R = Réducteurs Lebel Simplabelt (ER). Lenze (R). Leroy Somer (ER). Lohmann et Stolterfoht (ER). Maag France (R). Majou Perrin (ER). Mannesmann Demag (ER). Manquat-Allard Latour (E). Massardier Engrenages (E). MCT Mouvement et Contrôle des Transmissions (ER). MDP (R). Merger (ER). Mijno et ses Fils (ER). Morisse Nayrat (E). Muvmo (R). Nord Engrenages (E). Nord Réducteurs (R). NT Transmissions (R). PIV (E). Portescap France (R). Posiva (R). Pujol Muntala France (R). RBEI Rémy Barrère Engrenages Industrie (ER). Redex (ER). Ribaut Engrenages (E). Richard Systèmes (R). Rollix Defontaine (E). Rossi Moto Réducteurs (R). Sabathé et Himmelspach (E). Safia (R). Salami France (R). Sauer Sundstrand Hydraulique (R). Savhydro (R). Seditec (ER). SEE Sté Européenne d Engrenages (R). SERMES Sté d Études et Représentations en Matériel Électrique (R). Serv Usocome (R). SET Sté Européenne de Transmissions (ER). Sevenier (R). SINBRO Sté Industrielle de Brochage (E). SITE Sté Industrielle de Taillage d Engrenages (E). SITMA Sté Industrielle de Taillage et de Mécanique Appliquée (ER). SNT (R). Sobetra (R). Sté Industrielle de l Est (R). Socitec (R). Socomo (E). Sofraret (R). Solyfi Industrie (ER). Sopap (R). Souchet Engrenages (ER). Stéphan Transmissions (ER). Stieber (E). Stockvis (E). Superior Electric (R). TAA Magnétic (R). Thinard (E). Transmondial (ER). Transtechnik (R). Unicum Outillage Variateurs (R). Varéac TRM (R). Vassal Moteurs Électriques (R). Verney Cognet (E). Voith France (ER). Warner et Tourco (R). Weco II (ER). Doc. B Toute reproduction sans autorisation du Centre français d exploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de l Ingénieur, traité Génie mécanique

44 RÉDUCTEURS DE VITESSE À ENGRENAGES Français Bureau Veritas. Centre Technique des Industries Mécaniques (CETIM). Groupement pour l Avancement de la Mécanique Industrielle (GAMI). Institut de l Engrenage et des Transmissions (IET). Institut Français du Pétrole IFP. Union Nationale des Industries de Transmissions Mécaniques (UNITRAM). Étrangers Allemagne Verband Deutscher Maschinen- und Anlagenbau ev (VDMA). Belgique Fédération des Entreprises de l Industrie des Fabrications Métalliques, Mécaniques, Électriques et de la Transformation des Matières Plastiques FABRIMETAL. États-Unis American Gear Manufacturers Association (AGMA). American Society of Mechanical Engineers (ASME). Society of Automotive Engineers (SAE). Society of Manufacturing Engineers (SME). Organismes Finlande Suomen Metalliteollisuuden Keskusliitto Voimansiirtoryhmä (SMKV). Grande-Bretagne Associated British Machine Tool Makers (ABMTM). British Gear Manufacturers Association (BGMA). British Mechanical Engineering Confederation (BRIMEC). Institution of Mechanical Engineers (IME). Italie Associazione Italiana Costruttori Organi di Trasmissione e Ingranaggi (ASSIOT). Associazione Nazionale Industria Meccanica Varia ed Affine (ANIMA). Japon Japan Society of Mechanical Engineers (JSME). Suède Sveriges Mekanförbund. Suisse Verein Schweizerischer Maschinenindustrieller (VSM). P O U R E N S A V O I R P L U S Toute reproduction sans autorisation du Centre français d exploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de l Ingénieur, traité Génie mécanique Doc. B