Combinatoire : rappels

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1 Combinatoire : rappels 1 Savoir utiliser des arbres, des tableaux, des diagrammes pour des exemples simples de dénombrement Exemple 1 : Un arbre... Un enfant joue à «pile ou face» en lançant trois fois consécutivement une pièce de 1 euro et en notant, pour chaque lancer, le résultat obtenu. Combien de possibilités l enfant rencontre-t-il? 1 er lancer 2 e lancer 3 e lancer Exemple 2 : Un tableau... Je lance deux dés équilibrés et numérotés de 1 à 6. Je fais la somme des points obtenus. Combien de possibilités ai-je d obtenir 7? À l aide de ce tableau, nous déduisons que j ai 6 possibilités d obtenir 7. 1

2 Exemple 3 : Un diagramme... Une entreprise fabrique des pièces destinées au monde de l aérospatiale. Celles-ci peuvent présenter trois types de défauts : A, B et C. Sur 1000 pièces fabriquées, 48 présentent au moins le défaut A, 55 présentent au moins le défaut B, 31 présentent au moins le défaut C, 21 présentent au moins les défauts A et B, 16 présentent au moins les défauts B et C, 12 présentent au moins les défauts A et C et 5 présentent les défauts A, B et C. Combien de pièces présentent uniquement le défaut A, le défaut B, le défaut C? A B À l aide de ce diagramme, nous déduisons que 20 pièces présentent uniquement le défaut A, 23 pièces présentent uniquement le défaut B et 8 pièces présentent uniquement le défaut C. C 2 Savoir reconnaître une p-liste, un arrangement, une permutation et une combinaison 2.1 Le principe de multiplication Réponse : rincipe Monsieur Hasard a 6 pantalons, 4 chemises, 2 vestes et 3 paires de chaussures. Combien a-t-il de façons de s habiller? Évidemment il y a =144 façons de s habiller pour Monsieur Hasard. Si l on fait m expériences de suite et si (indépendamment des résultats des expériences 1,2,...,k 1) l expérience k a n k résultats possibles alors le nombre de résultats possibles pour la suite de m expériences est n 1 n 2... n m. 2.2 Les p-listes Combien y-a-t-il de façons de répondre à un questionnaire de 15 questions? 1) Si on répond par oui/non. (réponse : 2 15 ) 2) Si on répond par oui/non/je ne saisi pas. (réponse : 3 15 ) Définition 1. Une p-liste d éléments d un ensemble E est une liste ordonnée de p éléments (non nécessairement distincts). Une p-liste est donc une suite ou un mot de longueur p où l ordre des éléments est important. Il découle immédiatement du principe multiplicatif que ormule Le nombre de p-listes d un ensemble à n éléments est n p. 2

3 2.3 Arrangements 12 personnes font parties d un club de probabilistes. Combien y a-t-il de façons de choisir : 1 président, 1 vice-président, 1 trésorier et 1 secrétaire? Réponse : = Définition 2. Soit E un ensemble fini de n éléments et p un entier tel que 1 p n. Un arrangement de p éléments de E est une p-liste d éléments de E tous distincts. En ajoutant à une p-liste la contrainte que les éléments la composant soient deux à deux distincts, la longueur maximale d une liste est n. C est pourquoi on a la condition p n. Un exemple typique d un arrangement est un classement à l issue d une épreuve. Si on donne le classement des 5 premiers dans une compétition comportant 15 participants, on a un arrangement de 5 concurrents parmi 35. Le nombre de classements différents qu il est possible d avoir est de : ormule Le nombre d arrangements de p éléments d un ensemble de n éléments est le nombre noté A n p, défini par A n p= n(n 1)(n 2)... (n p+1) p facteurs Le principe multiplicatif nous donne en effet sans autre ce résultat : n choix possibles pour le premier terme de la liste, (n 1) pour le second, etc., n (p 1) ou n p+1 pour le p ième. Souvent, le nombre A n n! p est défini par (n p)!, car n! n(n 1)(n 2)... (n p+1)(n p)(n p 1) = = n(n 1)(n 2)...(n p+1) (n p)! (n p)(n p 1) ermutations Combien y-a-t-il de façons de ranger 6 livres sur une étagère? Réponse : ar le principe de multiplication on a =6! Définition 3. On appelle permutation d un ensemble E de n éléments, un arrangement des n éléments de E. ormule Le nombre de permutations de n éléments est le nombre noté n = n!=n (n 1) (n 2) Les combinaisons simples Réponse : Il y a 12 membres dans dans le club de probabilistes. Combien y a-t-il de façons de constituer un comité de 4 membres? nombre d arrangements de 4 pers. sur 12 = = 495 (l ordre n est pas important). nombre de permutations de 4 pers Définition 4. Soit E un ensemble fini de n éléments et p un entier tel que 1 p n. On appelle combinaison de p éléments de E toute partie de E ayant p éléments. Le nombre de combinaison de p éléments d un ensemble à n éléments est noté C n p. On a : C0 n Cn n = 1 : une seule partie à 0 élément : la partie vide ; = 1 : E est la seule partie à n éléments ; 3

4 C1 n = n : E ayant n éléments, il y a n parties à un élément ; Cp n= C n p n : à chaque partie A de E ayant p éléments, correspond la partie complémentaire A à n p éléments. Ainsi, il y a autant de parties à p éléments que de parties à n p éléments. ormule our n et p tel que 0 p n, on a : Cp n = An p p! = n! n(n 1)...(n p+1) = p!(n p)! p(p 1) Combinaisons avec répétition Question 1 : Combien y a-t-il de façons de placer 4 boules indiscernables dans 3 tiroirs? Réponse : On va réduire ce problème au problème du code binaire. On désigne les boules par des «0» et les tiroirs par des «1». On place le premier «1» à la première position. Les zéros entre ce premier «1» et le deuxième «1» correspondent aux boules dans le premier tiroir, les zéros entre le deuxième «1» et le troisième «1» correspondent aux boules dans le deuxième tiroir et les zéros situés à droite du troisième «1» correspondent aux boules dans le troisième tiroir. ar exemple : signifie qu il y a trois boules dans le premier tiroir, une dans le deuxième tiroir et aucune dans le troisième tiroir signifie que les 4 boules sont dans le troisième tiroir. uisque on a toujours un chiffre «1» à la première position on cherche le nombre des codes binaires de longueur 4+3-1= 6 qui contient 4 chiffres «0». Donc il y a C4 6 = 15 façons de placer 4 boules indiscernables dans 3 tiroirs. Question 2 : De combien de façons distinctes peut-on distribuer 11 bonbons à 4 filles et 2 garçons de manière que chaque fille en reçoive au moins 1 et chaque garçon en reçoive au moins 2? Réponse : Après avoir distribué les bonbons de telle sorte que chacune des filles en ait 1, et chacun des garçons 2, il reste à partager 3 bonbons entre 6 enfants. C = 56 Question 3 : Combien y-a-t-il de vecteurs (x 1,x 2,x 3 ) distincts à composantes entières et non négatives satisfaisant x 1 + x 2 + x 3 = 10? Réponse : On va réduire ce problème au problème de tiroirs ci-dessus. Les composantes correspondent aux tiroirs et la somme de composantes correspond au nombre de boules. Donc il y a C = 66 de tels vecteurs. Définition 5. Soit un ensemble de n objets ou éléments. Le choix de p objets, chaque objet pouvant être pris plusieurs fois, est appelé une combinaison avec répétition. ormule Le nombre de choix de p objets parmi n objets, avec répétition, est désigné par C n p C n p = C n+p 1 p = (n+ p 1)! p!(n 1)! 2.7 Résumé avec répétition, avec ordre avec répétition, sans ordre sans répétition, avec ordre sans répétition, sans ordre Dénomination p-liste combinaison avec répétition arrangement combinaison simple Notation n C n p = C n+p 1 n 1 A n p C n p ormule n p (n+ p 1)! p!(n 1)! 4 n! (n p)! n! p!(n p)!

5 robabilités : rappel Le jeu de la roulette présente une expérience aléatoire avec 37 résultats possibles ou issues : 0, 1, 2,..., 36. L ensemble de toutes les issues est appelé univers des possibles et désigné parω, ainsiω = {0,1,2,...,36}. Une issue quelconque sera désignée par la lettreω. Un joueur ne s intéresse pas à proprement parler au numéro sorti. Lorsque le croupier annonce, par exemple : «Le 31, noir, impair et passe», l issue de l expérience appartient à plusieurs événements différents : l événement élémentaire 31 la couleur noire la parité du nombre le nombre sortie est supérieur ou égal à 19 (dans le cas contraire, cela aurait été «manque») 3 Définitions de base Définition 1. On appelle expérience aléatoire, toute expérience E conduisant, selon le hasard à plusieurs résultats possibles. Définition 2. On appelle univers associé à l expérience aléatoire E, l ensemble de tous les résultats possibles de E. Tout élémentωde est appelé événement élémentaire. Définition 3. On appelle événement aléatoire, associé à l expérience E, tout événement dont la réalisation dépend des résultats de E. Un événement aléatoire s identifie donc à une partie A deω. Exemples : On lance un dé. On aω={1,2,...,6}, chaque élément de cet ensemble étant un événement élémentaire. ar contre «le dé amène un nombre paire» est un événement qui n est pas élémentaire et s écrit comme{2,4,6}. On s intéresse à l ordre d arrivée dans une course de 7 chevaux, portant les numéros : 1,..., 7. Comme événement élémentaires on a 7! permutations de l ensemble{1,...,7}. On joue deux fois à pile ou face.ω={,,, }. On jette une pièce de monnaie jusqu à ce que pile sorte pour la première fois.ω={,,,,...}. On considère le nombre de kilomètres parcourus par une comète. Le résultat peut être n importe quel nombre réel positif.ω=r + Une fois qu un événement aléatoire a pu être suffisamment caractérisé, il serait intéressant de pouvoir évaluer les chances qu il se réalise, c est-à-dire d en calculer la probabilité. our cela, il faudra d abord trouver la probabilité de chaque issue d une expérience aléatoire appartenant à cet événement. Dans le cas du lancer d un dé non pipé, chaque face a autant de chance de sortir qu une autre. Si l on note une des six issues possibles (1,2,...,6) par la lettre ω, la probabilité de cette issue sera notée (ω) et elle vaudra (ω)= 1 6. Maintenant, si l on s intéresse à l événement air (le nombre montré par le dé est pair), alors il est évident que la probabilité de cet événement s obtient en additionnant les probabilité de chacune des issues appartenant à l événement air : (2)+(4)+(6)=3 1 6 = 1 2. Définition 4. On définit la probabilité en donnant la probabilité de chaque issue. SiΩ={ω1,ω2,...,ωN}, on fournira les valeurs (ω1),(ω2),...,(ωn), qui devront vérifier : 1. chacun des nombres (ωi) est compris entre 0 et 1, (1 i N ) 2. la somme de ces nombres est égale à 1 : (ω1)+(ω2)+...+(ωn )=1 La probabilité d un événement A est la somme des probabilités de toutes les issues appartenant à A. 5

6 4 ropriétés des probabilités parties deω événement propriété,ω événement impossible, certain ( )=0, (Ω)=1 A B= A et B sont incompatibles (A B)=(A)+(B) A A est l événement contraire de A (A)=1 (A) A, B A et B quelconque (A B)=(A)+(B) (A B) 5 Équiprobabilité Réponse : Théorème 1 Quelle est la probabilité d avoir une somme supérieure à 7 lorsque l on lance deux dés équilibrés? En se référant au tableau de la page 1 et sachant que les issues d un lancer sont équiprobables, cette probabilité vaut : (X > 7)= = 5 12 Il y a équiprobabilité lorsque toutes les issues ont même probabilité. Dans ce cas, si card(ω)=n : 1. pour toute issueω, (ω)= 1 N 2. pour tout événement A, (A)= card(a) card(ω) 6 robabilité conditionnelle Le tableau ci-dessous présente le décompte des fumeurs et des non-fumeurs dans une entreprise de personnes hommes B femmes B umeurs A Non-fumeurs A Réponse : a) (B)= (A)= b) = 0,7 c) () (B) = card(a B) card(b) = 200 = 2 3 = 180 = 3 5 = card(a B) card(b) = 0,7 En choisissant un individu au hasard dans cette population, quelle est la probabilité a) qu il soit un homme? (noté (B)) qu il soit fumeur? (noté (A)) b) qu il soit fumeur sachant que c est un homme? c) calculer (A B) et comparer avec b). (B) La probabilité que quelqu un soit fumeur sachant qu il est un homme est une probabilité conditionnelle. Définition 5. Soit B un événement de probabilité non nulle. La probabilité conditionnelle de A sachant que B est réalisé, notée (A B), est définie par (A B). (B) 6

7 Remarque. Cette formule n est évidemment pas utile quand on peut calculer directement (A B). Dans ce cas, il est plus efficace d écrire : (A B) = (A B)(B) Définition 6. On dit que deux événements A et B sont indépendants si (A B) = (A)(B), ou encore, si (A B)=(A) (dans le cas où (B) 0). Exemple. On tire successivement et sans remise deux jetons de l urne ci-dessous. Quelle est la probabilité de tirer un jeton a en premier et un jeton b en second? Soit A et B respectivement les événements A : «tirer a en premier» et B a a b «tirer b en second». La probabilité recherchée est (A B) ou encore a (A) (B A). b b a De façon immédiate, on trouve que (A)= 5 8 a et et (B A)= 3 7. Il en découle (A B)= = Il est clair que l événement A n est pas indépendant de l événement B. En utilisant le test donné ci-dessus, on a (B)= = ormule des «probabilités totales» et (B A)= 3 7 (donc différentes) Soit B 1, B 2,..., B n une partition de l universω. Alors pour tout événement A: Théorème 2 et, pour tout i ( 1 i n) : (A)=(A B 1 )+(A B 2 )+...+(A B n ) (A B i )=(A B i ) (B i ). Deux urnes U 1 et U 2 indiscernables contiennent respectivement : urne U 1 : 3 boules rouges, 2 boules vertes ; urne U 2 : 2 boules rouges, 1 boules verte. On choisit une urne au hasard et on tire une boule dans cette urne. Quelle est la probabilité qu elle soit rouge? Réponse : L univers Ω des issues est constitué des boules provenant des deux urnes. Certaines de ces issues peuvent être regroupées sous différents événements : U 1 (respectivement U 2 ) : «la boule tirée de l urne U 1» (respectivement U 2 ) ; R (respectivement V ) : «la boule tirée est rouge» (respectivement verte). La formule des probabilités totales donne : Il est clair : (R)=(R U 1 )+(R U 2 ), (R U 1 )=(R U 1 )(U 1 ) et (R U 1 )=(R U 2 )(U 2 ) (U 1 )=(U 2 )= 1 («deux urnes indiscernables») ; 2 (R U 1 )= 3 5 (probabilité de tirer une rouge de l urne U 1) (R U 2 )= 2 3 (probabilité de tirer une rouge de l urne U 2) On en déduit : (R)= =