Étude physique de quelques phénomènes biologiques

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1 Banque Agro - Véto A PHYSIQUE Durée : 3 heures 30 minutes L usage d une calculatrice est interdit pour cette épreuve. Si, au cours de l épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu il a été amené à prendre. Chaque candidat est responsable de la vérification de son sujet d épreuve : pagination et impression de chaque page. Ce contrôle doit être fait en début d épreuve. En cas de doute, il doit alerter au plus tôt le chef de centre qui vérifiera et éventuellement remplacera son sujet. Étude physique de quelques phénomènes biologiques Ce sujet est consacré à l étude de quelques phénomènes biologiques. Tout résultat donné par le candidat doit absolument être justifié pour être pris en compte. Un seul chiffre significatif est fourni dans les données et est donc demandé dans les applications numériques. Il sera tenu le plus grand compte dans la notation de la qualité de la rédaction. Les deux problèmes A et B sont totalement indépendants. Données : champ de pesanteur terrestre : g = 10 m.s 2 masse volumique de l eau : ρ e = 1 kg.l 1 viscosité dynamique de l eau : η e = Pl constante de Boltzmann : k B = J.K 1 masse volumique du sang : ρ s = 1 kg.l 1 viscosité dynamique du sang : η s = Pl A Sédimentation et centrifugation A.1 Principe de la sédimentation Une des méthodes les plus simples pour éliminer des particules en suspension dans l eau est d utiliser la gravitation. Dans un récipient, l eau occupe la partie de l espace entre z = 0 et z = H (Fig. 1). Les particules sont considérées comme sphériques, de masse volumique ρ P et de rayon R. La masse volumique de l eau est notée ρ e. 1/8 TSVP

2 z u z H 0 Figure 1 Eau dans un récipient. A.1.1. Exprimer la masse m d une telle particule. Application numérique : calculer m pour ρ P = 2 kg.l 1 et R = 0,1 µm ou R = 0,1 mm. A.1.2. Donner l expression de la poussée d Archimède Π sur une telle particule. À quelle condition sur la masse volumique ρ P la sédimentation aura-t-elle lieu? Cette condition sera supposée vérifiée par la suite. A.1.3. En ajoutant le poids et la poussée d Archimède, montrer que tout se passe comme si la particule était uniquement soumise à un poids m g. Donner alors la masse effective m pour les particules en fonction de ρ e, ρ P et R. Application numérique : calculer la masse effective m pour les particules avec les deux rayons donnés précédemment. Une particule sphérique de vitesse v = v(t) u z et de rayon R subit de la part de l eau qui possède une viscosité dynamique η e la force de viscosité (force de Stokes) d expression f = 6πη e R v A.1.4. Déterminer l équation différentielle satisfaite par la fonction v(t). Montrer que la vitesse tend vers une limite notée v lim et exprimer v lim en fonction de R, m, η e et g. A.1.5. Donner l ordre de grandeur du temps τ nécessaire pour qu une particule acquière sa vitesse limite. τ sera exprimé en fonction de variables choisies dans R, m, m, η e et g. A.1.6. Tracer l allure du module de la vitesse v(t) en considérant une vitesse initiale nulle. Indiquer τ sur le schéma. A.1.7. Application numérique : calculer τ pour des particules possédant les deux rayons donnés en question A.1.1. A.1.8. Déduire l ordre de grandeur du temps t mis par une particule initialement à la surface pour sédimenter jusqu au fond du récipient. Exprimer t en fonction de H, m, m, g et τ. A.1.9. Application numérique: calculer t pour des particules possédant les deux rayons précédemment donnés en question A.1.1. et H = 10 cm. Les résultats seront exprimés dans une unité bien adaptée à la durée concernée. Commenter les résultats. 2/8

3 A.2 Limite à la sédimentation A.2.1. Donner l énergie potentielle de pesanteur Ep p d une particule. L énergie potentielle sera choisie nulle pour z = 0 (les notations sont données en Fig. 1). A.2.2. Montrer que la poussée d Archimède dérive d une énergie potentielle Ep A. Donner l expression de Ep A. Dans l eau à la température T fixée, le facteur de Boltzmann indique que la densité volumique en particules au point M est donnée, au bout d une durée suffisamment longue, par ( n(m) = n 0 exp Ep(M) ) (1) k B T oùk B estlaconstantedeboltzmann,n 0 uneconstanteetep(m)l énergiepotentielled uneparticule au point M. Dans le cas présent, Ep = Ep p +Ep A. A.2.3. Exprimer Ep en fonction de variables choisies dans m, m, g et z. A.2.4. Tracer l allure de la distribution n(z). Sur quelle hauteur h par rapport au fond du récipient les particules se répartissent-elles typiquement? h sera exprimée en fonction de variables choisies dans g, m, m, k B et T. A.2.5. Expliquer pourquoi, au bout d un temps assez long, toutes les particules ne sont pas tombées au fond du récipient comme cela a été étudié en partie A.1. A.2.6. Application numérique: calculer h pour les particules des deux rayons donnés précédemment en question A.1.1. à la température T = 300 K. Commenter. A.2.7. Rappeler la loi de Fick de la diffusion en expliquant les différents termes et la forme de la loi. Par un raisonnement concernant les dimensions, donner l unité du coefficient de diffusion D. A.2.8.DanslecadredelaloideBoltzmann(1),exprimerlevecteurdensitédecourantdeparticules j dû à la diffusion en fonction de D, n 0, z et h. A.2.9. D après l étude de la partie A.1, les particules possèdent un mouvement d ensemble à la vitesse v lim. Exprimer le vecteur densité de courant de particules j lié à ce phénomène. A En régime permanent, quelle relation lie j et j? En déduire la relation d Einstein exprimant le coefficient de diffusion D en fonction de η e, R, k B et T. A Lors de l étude de régimes non permanents de diffusion de particules, l une des équations suivantes peut être établie pour la densité particulaire n(z, t). Expliquer laquelle est forcément la correcte : 2 n t = n 2 D 2 z 2 2 n t = D n 2 z n t = n D 2 z 2 n t = D n z A.3 Centrifugation Pour les raisons évoquées dans les parties précédentes, la sédimentation ne permet pas forcément d isoler des particules dans l eau. Une possibilité pour remédier à ce problème est d utiliser la centrifugation. Le principe est de mettre le récipient en rotation autour de l axe z (Fig. 2) à la 3/8 TSVP

4 vitesse angulaire ω. Du fait des forces de viscosité, le liquide est entraîné par les parois et se met en rotation à son tour. Dans la suite de ce problème, l effet de la rotation sur le mouvement des particules en suspension est étudié à l aide du modèle simplifié suivant. Le mouvement des particules est étudié dans le référentiel dans lequel le récipient est immobile. Comme dans les parties précédentes, chaque particule de masse m subit son poids et la poussée d Archimède(cette dernière conservant la même expression, pour simplifier les calculs). Afin de tenir compte de la rotation, il convient, simplement, d ajouter au bilan des forces une force supplémentaire d expression : F rot = mω 2 r u r où r est la distance à l axe et u r le vecteur radial en coordonnées cylindriques (Fig. 2). ω u z z r M u r Figure 2 Récipient mis en rotation. A.3.1. Montrer que la force F rot dérive d une énergie potentielle Ep rot qui sera exprimée explicitement. A.3.2. La répartition de Boltzmann (1) sera supposée valable si la nouvelle énergie potentielle est incluse. Quel est le rapport α, défini comme le rapport de la densité particulaire au bord du récipient sur la densité particulaire au centre, à une même altitude? Le rayon du récipient est noté a. A.3.3. Sur quelle distance d par rapport au bord se concentrent typiquement les particules? A.3.4. Application numérique : calculer d pour les particules de rayon R = 0,1 µm et une vitesse de rotation ω = 3000tours.minutes 1, toujours à la température T = 300K. Commenter. A.3.5. En considérant des particules de même type mais de rayons R différents, à quelles puissances de R les distances d et h sont-elles proportionnelles (h étant définie à la question A.2.4)? Commenter. A.3.6. L ordre de grandeur de la durée du régime transitoire pour la centrifugation est 1/ω. Conclure. 4/8

5 B Écoulements sanguins L écoulement du sang dans les vaisseaux sanguins est un phénomène complexe. Quelques aspects de la circulation sanguine vont être étudiés en utilisant une modélisation simple. Tout effet dû à la pesanteur est négligé, et le régime d écoulement dans les vaisseaux sanguins est supposé stationnaire. B.1 Ordres de grandeur Le sang est un fluide visqueux, de viscosité dynamique η s définie de la manière suivante. Dans un écoulement de la forme v = v(y) u x, la force exercée au travers d une surface ds = dxdz par le fluide au-dessous sur le fluide au-dessus vaut (Fig. 3) où ε vaut 1 ou -1. d F = εη s dv dy ds u x (2) v u y ds u x u z Figure 3 Définition de la viscosité dynamique. B.1.1. Quelle est la valeur de ε? Exprimer l unité de η s en fonction du mètre, du kilogramme et de la seconde. Le cas de l écoulement du sang dans un vaisseau sanguin sera désormais considéré. Le vaisseau est modélisé par un cylindre de longueur L, de rayon a et d axe parallèle à u x (Fig. 4). u x a Figure 4 Modélisation d un vaisseau sanguin. L 5/8 TSVP

6 B.1.2. Afin d induire un écoulement, une différence de pression est exercée entre les deux extrémités du vaisseau. Pour que l écoulement ait lieu dans la direction + u x, de quel côté la pression doit-elle être la plus élevée? Donner alors le sens du gradient de pression associé. B.1.3. La loi de Poiseuille donne l expression du débit volumique Q de sang au travers d un vaisseau de longueur L et rayon a, soumis à la différence de pression P : Q = η ε 1 s P ε 2 πa4 8L où ε i (i = 1,2) vaut 1 ou -1. Expliquer quelles sont les valeurs de ε 1 et ε 2. B.1.4. Application numérique : pour l aorte, le rayon vaut a = 1 cm, la longueur L = 20 cm et le débit volumique est celui sortant du cœur Q = 6 L.minute 1. Calculer la vitesse moyenne v du sang dans l aorte. Calculer la différence de pression P entre le début et la fin de l aorte. Commenter sachant que la pression sanguine à la sortie du cœur est d environ P c = 10 kpa (il s agit en fait d une surpression par rapport à la pression standard p 0, mais cet aspect n intervient pas ici). B.1.5. Application numérique : calculer le nombre de Reynolds pour l écoulement du sang dans l aorte. B.1.6. Prendre la tension artérielle consiste à appliquer à l artère du bras une surpression à l aide d un brassard gonflable puis à écouter avec un stéthoscope les bruits liés à l écoulement sanguin dans cette région. Expliquer du point de vue de l écoulement ce qu entend le médecin. B.2 Bilans Le champ des vitesses du sang dans un vaisseau sanguin sera modélisé de la manière très simple suivante (cette modélisation est très grossière mais donne des résultats satisfaisants pour les considérations qui suivent). La vitesse est supposée stationnaire, uniforme de valeur v dans la quasi-totalité du vaisseau, sauf au voisinage immédiat des parois où elle diminue rapidement pour s annuler au contact des parois. B.2.1. Quelle caractéristique du sang force l annulation de la vitesse sur les parois des vaisseaux? Tracer les lignes de courant sur un schéma. Mettre en défaut le théorème de Bernoulli entre le début et la fin d une ligne de courant. Quelle hypothèse n est pas vérifiée? B.2.2. Le vaisseau a pour rayon a 0, comme longueur L 0, et comme différence de pression à ses extrémités P 0 (figure 5). En prenant comme volume de contrôle le volume délimitant le sang contenu dans le vaisseau (en tirets sur la figure 5) et en supposant le régime stationnaire, réaliser un bilan de quantité de mouvement. Exprimer la résultante selon u x (notée F x ) de la force exercée sur le vaisseau sanguin et due à l écoulement. B.2.3. Application numérique : calculer F x pour une artère avec a 0 = 1 mm, L 0 = 10 cm, la différence de pression étant P 0 = Pa (cette valeur est quelque peu élevée mais permet de majorer les effets rencontrés). La comparer au poids du sang contenu dans l artère et commenter. B.2.4. Réaliser avec la même surface de contrôle un bilan d énergie mécanique. En déduire la puissance mécanique P diss dissipée dans l écoulement. Où a lieu cette dissipation et quelle en est la cause? 6/8

7 a 0 u x L 0 Figure 5 Surface de contrôle. B.2.5. Le sang possède une capacité thermique massique c s. En appliquant le premier principe de la thermodynamique toujours sur le même système, et en négligeant tout transfert thermique, évaluer la variation de température T du sang entre son entrée et sa sortie de l artère. Doit-on prendre en compte le travail (ou la puissance) de la force exercée par les parois du vaisseau sur le sang? B.2.6. Application numérique : calculer T pour c s = 4 kj.k 1.kg 1. Commenter. B.3 De l aorte aux capillaires Le sang est évacué du cœur par l aorte de rayon a de de longueur L avec un débit volumique Q. Pour obtenir des ordres de grandeur, il est supposé que l aorte se divise ensuite en N a artères de rayon a a et longueur L a, parcourues chacune par le débit volumique q a, puis en N a artérioles de rayon a a et longueur L a (Fig. 6). La vitesse moyenne du sang dans une artériole est v a. cœur aorte artères artérioles Figure 6 Aorte, artères et artérioles (le schéma n est pas à l échelle). Rappel : pour les applications numériques a = 1cm et L = 20cm. B.3.1. Exprimer N a, puis N a en fonction de Q, q a, v a et a a. B.3.2. Application numérique : calculer N a et N a pour Q = 6 L.minute 1, q a = m 3.s 1, a a = 20 µm et v a = 0,5 cm.s 1. 7/8 TSVP

8 B.3.3. Exprimer le rapport des différences de pression β = P a/ P aux extrémités des artérioles et aux extrémités de l aorte en fonction de a, a a, L, L a et N a. B.3.4. Application numérique : calculer β pour une longueur L a = 0,5 cm, et commenter. Fin du sujet 8/8