Analyse en composantes principales en météorologie & en mécanique des fluides

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1 Analyse en composantes principales en météorologie & en mécanique des fluides O.Pannekoucke Météo-France/ CNRS, CNRM/GAME, URA 357 ISAE Séminaire CPGE 9- Mai 0, oulouse

2 Problématique : pourquoi chercher à réduire l'information? Si un champ complexe se projette sur quelques composantes, alors on peut: - accélérer la prévision numérique en réduisant le coût de calcul == Réduction de modèles compression de l'information application dans le contrôle en temps réel modélisation simplifiée d'un système complexe (urbulence, interaction fluide-structure, coeur humain,...) - mieux comprendre les interactions entre différentes régions du domaine télé-connexion en climat solution récurrente (régime de temps) Problème: - Comment savoir si un champ se prête à une simplification de la dynamique? Il faut que la dynamique soit stationnaire (i.e. qu'on ait toujours le même type de phénomènes) - Comment déterminer ces motifs récurrents dans le phénomène observé? Une approche possible : l'analyse en composante principale (ACP)

3 Plan de la présentation. Rappel: définition et propriété d'une matrice de covariance Première définition d'une composante principale. Direction (s) principale (s) comme direction(s) de plus forte variance Deuxième définition d'une composante principale 3. Exemple d'une réduction de modèle par ACP (== PCA / EOF / POD) Equation de Burger (EDP) 4. Introduction au P : composantes principales & modèle de Lorenz

4 . Rappel: définition et propriété d'une matrice de covariance 4

5 . Rappel: définition et propriété d'une matrice de covariance Covariance et distribution Gaussienne Il existe une base orthonormale ei dans laquelle cette métrique C se représente par une matrice diagonale D=diag i C= i i ei ei P i=ei ei représente le projecteur orthogonal suivant la direction e i i 0 est la valeur propre de C suivant e i Ces directions e i sont les composantes principales de C 5

6 . Rappel: définition et propriété d'une matrice de covariance Densité de probabilité et densité empirique e x k' e xk 6

7 . Rappel: définition et propriété d'une matrice de covariance Formulation ensembliste des matrices de covariance Soit X =[ x x x N ] la matrice dont les colonnes sont des réalisations de la variable aléatoire x La matrice de covariance empirique est donnée par N CN= x x x x k N k= k N x= k= x k N Dans la suite, on suppose la moyenne empirique comme nulle. La matrice de covariance empirique s'écrit alors CN= XX N (dans la pratique, on utilise souvent des variables centrées) 7

8 . Rappel: définition et propriété d'une matrice de covariance Utilisation en assimilation de données n 7 8 En assimilation de données, x ℝ,n 0 0 et on rencontre des matrices de très grande dimension C M n ℝ n 4 6 coefficients i.e. O 0 0 Une manière de réduire leur complexité est d'ader une réduction de la matrice aux premières composantes princiaples n C= i= i ei e i m C m = i= i ei ei, où m n Une autre possibilité est de supposer connues les composantes principales ei de la matrice, il ne reste alors qu'à estimer la diagonale ce qui réduit la représentation en machine de la matrice à l'équivalent du stockage mémoire d'un seul vecteur 8

9 . Direction (s) principale (s) comme direction (s) de plus forte variance 9

10 . Direction (s) principale (s) comme direction (s) de plus forte variance Direction de plus grande variance : imisation sous contraintes Quelle est la direction suivant laquelle l'information se projette le mieux? On cherche une direction e telle que la variance de la projection des états x i suivant cette direction est maximale. En particulier, e est unitaire, i.e. e = Ces composantes formes un vecteur ligne X e=e X la variance n'est autre que V X e = Xe X e = e X X e=e C N e = J e N N Le problème est donc de maximiser J e sous la contrainte c e =0 avec c e = e 0

11 . Direction (s) principale (s) comme direction (s) de plus forte variance Résolution de l'imisation sous contrainte & Lagrangien - J e ec = J e J e ec O ec J e =V X e c e =0 Je Je ce ce Je ce J e Ker dc e =Image dc e { w, dc e w = J e } J e c e =0

12 . Direction (s) principale (s) comme direction (s) de plus forte variance Résolution de l'imisation sous contrainte & Lagrangien - e maximise J e sous la contrainte c e =0 implique: J e c e =0 c e =0 Ce qui se résume à la stationnarité en e, du «Lagrangien» L e, = J e c e est appelé le «multiplicateur de Lagrange» En effet, L= e L e L =0 est équivalent à e L = J e L =c e =0 c e =0

13 . Direction (s) principale (s) comme direction (s) de plus forte variance Résolution de l'imisation sous contrainte & Lagrangien - Une condition nécessaire et non suffisante : sta il peut y avoir plusieurs points stationnaires ei reste à trouver lequel vérifie l'imalité parmi ces points c e =0 e J e =V X e e sta 3 sta e sta =e 3

14 . Direction (s) principale (s) comme direction (s) de plus forte variance Résolution du problème avec contrainte pour l'acp L e, =e C N e e C N e= e e est un vecteur propre de C N associé à e =e e= V X e =e C N e= s'interprète comme la variance suivant la direction e e est donc le vecteur propre de C N associé à la plus grande valeur propre 4

15 . Direction (s) principale (s) comme direction (s) de plus forte variance Résolution du problème avec contrainte pour l'acp Ayant trouvé la première direction principale e, on cherche une deuxième direction e, normalisée, avec comme autre contrainte qu'elle soit orthogonale à la première direction. L e,, =e C N e e e e L'imum est un point vérifiant la stationnarité du Lagrangien: e L =C N e e e=0 L = e =0 3 L =e e=0 e C N e = =0 s'interprète comme la covariance entre e et e e C N e = s'interprète comme la variance suivant la direction e e est donc le vecteur propre de C N associé à la deuxième plus grande valeur propre. L'analyse en composantes principales construit une base orthonormale dans laquelle l'information se projette le mieux. Ces composantes sont les vecteurs propres de la matrice de covariance C N 5

16 3. Exemple d'une réduction de modèle par ACP aussi appelé: Analyse en Composantes Principales (ACP) Principal Component Analysis (PCA) Empirical Orthogonal Function (EOF) Proper Orthogonal Decomposition (POD) 6

17 3. Exemple d'une réduction de modèle par ACP Réduction de modèle dans le cas d'une EDP : l'éq. de Burger E t u u x u= x u Sur un domaine circulaire de périmètre L Supposons que les composantes principales soient les exponentielles circulaires en x =e ik n x, k= L La dynamique s'exprime par la description de l'évolution en temps des composantes dans cette base u x, t = n= un t en x L un t = en u = 0 u x, t en x dx L x u x, t = n= un t x en x = n= un t i n k en x u x, t u x,t = n= un t en x

18 3. Exemple d'une réduction de modèle par ACP Réduction de modèle dans le cas d'une EDP : l'éq. de Burger E t u u x u= x u La projection de Galerkin consiste à ré-écrire la dynamique (E) dans cette représentation: d un en u x u x u =0, n [, ] dt d un en u x u = n k un, dt d un p q=n up i q k uq = n k un, dt d un = p q=n u p iq kuq n k un. dt

19 3. Exemple d'une réduction de modèle par ACP Réduction de modèle dans le cas d'une EDP : l'éq. de Burger E t u u x u= x u t=0 t=0.4 t=0 t=0.4 t=0.6 u u =00 9 t=0.6 x =50 x

20 4. Introduction au P : composantes principales et modèle de Lorenz

21 4. Introduction au P : composantes principales & modèle de Lorenz 963. ACP à partir d'une simulation ou d'observations X =[ x x x3 x4 xn ] N x= k= x k=0 N -- Diagonalisation de C N = X X pour construire les composantes principales N -- Calcul des amplitudes du champ le long des premières composantes principales -3- Représentation de cette dynamique dans l'espace réduit

22 Conclusion L'analyse en composante principale est un outil d'algèbre linéaire simple à mettre en oeuvre. Le formalisme qui repose sur l'imisation sous contrainte d'égalité (Lagrangien, multiplicateur de Lagrange). Cet outil permet de simplifier la représentation d'un phénomène complexe (champ de la mécanique des fluides, coeur humain,..) On peut en déduire une dynamique réduite qui permet de diminuer le coût d'une prévision et faciliter l'assimilation des données en recherchant la solution dans un petit sous-espace. Quelques questions à traiter : Réduction de modèle pour quelques EDP simples Étude de la convergence vers la solution théorique avec le nombre de composantes sélectionnées Assimilation de données dans le modèle réduit, comparaison avec celle dans le modèle complet Déduction de la dynamique dans l'espace réduit à partir d'une séquence d'observations

23 Merci