Quelques applications du cours sur les séries de Fourier

Transcription

1 Quelques applications du cours sur les séries de Fourier

2 Plan de la séance 1 Transformée de Fourier rapide 2 La transformée en cosinus Série de Fourier à deux variables La compression J.P.E.G Filtrage et convolution Analyse de Fourier sur des maillages

3 Transformée de Fourier rapide ou comment calculer rapidement?

4 Transformée de Fourier discrète La transformée de Fourier discrète d un signal f est définie par la formule suivante : ˆf [j] = 1 N 1 f N k=0 ( kt N ) ( exp 2πi ) N jk ou en notation matricielle : w = e 2πi N, x k = f ( ) kt N ˆf [0] ˆf [1] ˆf [2] = 1 1 w w 2 w n 1 1 w 2 w 4 w 2(n 1) N ˆf [n 1] 1 w n 1 w 2(n 1) w (n 1)2 j = 0,..., N 1. x 0 x 1 x 2,. x n 1

5 Transformée de Fourier Rapide Coût du calcul? O(N 2 ) opérations Comment le faire efficacement la FFT ˆf [2j] = 1 N ˆf [2j+1] = 1 N Applications? N/2 1 k=0 N/2 1 k=0 [ ( kt f N [ ( kt f N ) ( kt + f N + N )] ( exp 2πi ) 2 N/2 jk ) ( kt f N + N )] ( exp 2πi ) 2 N/2 jk

6 Le format JPEG

7 AHHHHHHHHHHHH!!!!

8 Principe de la compression On dispose d un signal f que l on décompose dans une base (ou juste une famille génératrice) (g m ) m f = + Le signal compressé est donné par : c m g m f = Q(c m )g m m I où Q(c m ) est une approximation de c m. Par exemple, on ne peut pas représenter fidèlement avec une machine n importe quel nombre réel. La compression est d autant meilleure que f f est petit.

9 Séries de Fourier Comment utiliser les séries de Fourier pour analyser/compresser un signal? Plus le signal est globalement régulier plus les coefficients de Fourier décroissent rapidement. Le phénomène de Gibbs. Comment limiter ce phénomène symétriser le signal Transformation en cosinus

10 Théorème de Shanon et aliasing

11 Série de Fourier d une image 1 Séries de Fourier d une fonction de deux variables? S n (f )(x, y) := c p,q e i(qx+py) (p,q) n c p,q = 1 4π 2 f (x, y)e i(qx+py) dxdy [0,2π] 2 2 Qu est ce qu une image? 3 La série de Fourier d une image? Une version discrète...

12 Représentation du spectre d une image

13 Exemple du phénomène de Gibbs pour une image

14 La compression JPEG

15 Principe de la compression JPEG

16 Découpage par blocs Exemple :

17 Découpage par blocs (Zoom)

18 Calculs des coefficients de Fourier

19 Compression On effectue un seuillage : c p,q 0 si (p, q) > N ou c p,q < ε

20 Compression (suite)

21 Résultat

22 Résultat

23 Exemple d une compression

24 Et JPEG 2000? Qu est ce qu une ondelette? On définit une famille ψ s,τ d ondelettes à partir de l ondelette mère : t R, ψ s,τ (t) = 1 ( ) t τ Ψ s s On définit la transformée en ondelette continue de f L 2 (R) par : g(s, τ) = Il existe une formule d inversion... f (t)ψ s,τ (t) dt

25 Complément sur la convolution Si D n est le noyau de Dirichlet alors : n S n (f ) = c k (f )e k = f D n n C est un filtre passe-bas. On a un filtrage Gaussien en convolant avec une Gaussienne f G a, avec G a (x) = 1 2 πa e x 2 4a 2

26 Débruitage de signal Principe : chaque point/pixel est remplacé par la valeur moyenne d un voisinage défini. Principe : convolution avec une Gaussienne :

27 Débruitage de signal grâce aux Gaussiennes

28 Un maillage

29 Des vecteurs propres...

30 Compression de maillage

31 Débruitage de maillage

32 FIN!! Références : Cet exposé est très largement inspiré de Du site http :// licois/vulgarisation/fetedelascience/ Du Site de gabriel Peyre. Wikipédia Polycopié d analyse de l ENS cachan et des Cours du Master MVA. Une exploration des signaux en ondelettes (S.Mallat)