Théorème de Varignon. Par Mathtous

Transcription

1 Théorème de Varignon Par Mathtous En regardant ici ou là sur Internet, j'ai remarqué que la démonstration de ce célèbre théorème est, sinon fausse, du moins incomplète : il n'est pas exact que deux droites parallèles à une même troisième soient parallèles entre elles : elles peuvent aussi être confondues. Or, pour obtenir la conclusion souhaitée, les droites concernées doivent être parallèles strictement et pas confondues. Le théorème classique Soit un quadrilatère convexe ABCD, I le milieu de [AB], J le milieu de [BC], K le milieu de [CD], et L celui de [DA]. Alors le quadrilatère IJKL est un parallélogramme. La démonstration, niveau collège, est élémentaire : on utilise le théorème dit de la droite des milieux dans un triangle. Selon ce théorème, les droites (IL) et (BD) sont parallèles, mais également les droites (JK) et (BD). C'est souvent là que les choses se gâtent : les deux droites (IL) et (JK), toutes deux parallèles à (BD), sont donc parallèles entre elles. Or cela est faux : les droites (IL) et (JK) pourraient être confondues. Pourquoi ici ne le sontelles pas? C'est à cause de l'hypothèse faite que le quadrilatère ABCD est convexe. De ce fait, les droites (IL) et (JK) sont situées dans deux demi-plans diérents de part et d'autre de la diagonale (BD) : elles ne peuvent donc pas être confondues. Elles sont donc parallèles. On fait évidemment la même chose pour les droites (IJ) et (LK). Le quadrilatère IJKL ayant ses côtés deux à deux parallèles est donc bien un parallélogramme. Mais on voit qu'ici (avec cette démonstration) l'hypothèse de convexité du quadrilatère ABCD (donc forcément plan), est indispensable. 1

2 Une conséquence immédiate du fait que IJKL soit un parallélogramme, est que ses diagonales [IK] et [JL] ont le même milieu Ω. Mais cela exige que ABCD soit un quadrilatère convexe. Qu'en est-il dans les cas contraires? Généralisation En utilisant les mêmes points A, B, C, et D, on peut former plusieurs quadrilatères : un convexe (déjà vu), et deux croisés. Attention, le quadrilatère est ici ABDC (attention à l'ordre des lettres), les côtés sont les segments noirs [AB], [BD], [DC], et [CA]. I est toujours le milieu de [AB] et K celui de [CD]. Il faut donc introduire les milieux des deux autres côtés : M le milieu de [AC] et N celui de [BD]. On constate sur le dessin que IMKN est un parallélogramme. Si cela s'avère exact (non démontré pour le moment), les segments [IK] et [MN] ont donc le même milieu, Ω qui est déjà le milieu de [IK]. Par suite les trois segments [IK], [JL], et [MN] auraient le même milieu. 2

3 L'autre possibilité est de nommer le quadrilatère ACBD. Il est toujours croisé, mais diéremment. Les milieux de ses côtés sont cette fois L, J, M, et N. On constate une fois de plus que MJNL est un parallélogramme. Toutefois, la n de la démonstration eectuée avec un quadrilatère convexe n'est plus possible avec ces quadrilatères croisés. Il peut eectivement se faire que les droites (par exemple (JM) et (NL)) soient confondues. Sur le dessin ci-contre, elles le sont presque. Je les ai maintenues légèrement parallèles pour que le dessin reste visible, mais on voit aisément qu'elles sont confondues si les diagonales (AB) et (CD) sont parallèles (ou pire : confondues). Dans le cas où elles sont vraiment confondues, on ne peut plus parler de parallélogramme. Pourtant, l'observation du dessin laisse penser que les segments [MN] et [JL] ont quand même le même milieu. Alors, comment le démontrer, d'autant que ce résultat reste valable quels que soient les points A, B, C, et D : coplanaires ou dans l'espace, alignés ou non, et même si certains (ou tous) sont confondus. 3

4 Sur le dessin ci-contre, A,B,C,et D sont les sommets d'un tétraèdre. Les arêtes et les segments visibles sont en trait fort, alors que ce qui se trouve derrière ou dessous est en pointillé : on constate encore que MJNL est un parallélogramme. Utilisation des barycentres Soit quatre points quelconques A, B, C, et D coplanaires ou pas, alignés ou, non, confondus ou non. Ces 4 points fournissent 6 segments ayant pour extrémités ces points : [AB], [BC], [CD], [AD], [AC], et [BD]. Ces 6 segments peuvent être associés par paires (3 paires) de deux segments n'ayant pas d'extrémités communes : [AB] et [CD], [AC] et [BD], [AD] et [BC]. Soit I le milieu de [AB] et K le milieu de [CD], Soit M le milieu de [AC] et N le milieu de [BD], Soit L le milieu de [AD] et J le milieu de [BC]. Soit Ω l'isobarycentre des 4 points A, B, C, et D, c'est-à-dire le barycentre du système {(A, 1), (B, 1), (C, 1), (D, 1)}. Or, on peut remplacer une partie de ce système par le barycentre de cette partie aectée de la somme des coecients de ses points. Ainsi, (A,1),(B,1) peut être remplacé par (I,2). De même (C,1),(D,1) peut être remplacé par (K,2). Ω est donc le barycentre du système {(I, 2), (K, 2)}. Les coecients étant égaux, Ω est donc le milieu de [IK]. En associant les points diéremment, on établit de même que Ω est le milieu de [MN] et aussi de [LJ]. 4

5 On peut donc énoncer : les 3 segments ayant pour extrémités les milieux de deux côtés opposés d'un quadrilatère quelconque (ou d'un tétraèdre) ont le même milieu. Ce milieu commun est l'isobarycentre des 4 sommets (distincts ou non, alignés ou non, coplanaires ou non.) Selon la nature du quadrilatère, on peut ré-obtenir des résultats classiques. Par exemple : Autre exemple avec certains points confondus : Dans un trapèze, les milieux des côtés et des diagonales sont alignés sur une droite parallèle aux bases. Bien entendu, on peut préciser si on le souhaite d'autres propriétés de cette gure : ainsi, IJKL est un parallélogramme. Son aire est égale à la moitié de celle du trapèze. Etc. Ici, les points A et D sont confondus. Attention, il peut sembler étrange que le point Ω ne soit pas le centre de gravité du triangle ABC. C'est simplement que A compte double puisqu'il est confondu avec D : le système (A,1),(D,1) peut être remplacé par (A,2). Je laisse au lecteur le soin d'observer d'autres cas particuliers, par exemple si 3 des 4 points sont alignés. 5