Epsilon. Analyse 1. 8 novembre 2013

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1 Epsilon Analyse 1 8 novembre 2013

2 En bref But du jeu : voir les raisonnements les plus simples avec ε (epsilon) Justification de quelques propriétés des limites de suites en utilisant ces raisonnements «Principe 2ε». Application : «principe du majorant» «Principe du plus grand des n 0». Applications : limite des sommes, recollement, théorème des gendarmes «Principe du ε particulier». Applications : limites des produits, définition de la continuité avec ε et δ Quelques suites importantes Le début de l analyse «conceptuelle» : suites de Cauchy. Application : méthode des approximations successives de Picard

3 Principe 2ε Rappel Par définition, x n l R ssi ε > 0, n 0 tq x n l < ε, n n 0

4 Exercice Calculer le plus petit n 0 si x n = 1 n et ε = 10 1, ou ε = 10 2 Solution. On a l = 0 On a (1) x n l < ε 1 n < ε n > 1 ε Si ε = 10 1, alors (1) n > 10, et donc le plus petit n 0 qui convienne est n 0 = 11 Si ε = 10 2, alors n 0 = 101 convient

5 Remarques Donc, en général, n 0 dépend de ε Si nécessaire, on écrit n 0 = n 0 (ε) pour souligner la dépendance de n 0 par rapport à ε n 0 n est pas unique Dans l exemple précédent, tout n 0 11 peut être pris comme n 0 (10 1 ) Plus généralement, si m peut jouer le rôle de n 0, alors tout k m peut jouer ce rôle

6 Principe 2ε Principe 2ε Pour prouver la convergence x n l R, il suffit de trouver (pour tout ε > 0) n 0 tq x n l < 2ε, n n bien que cette inégalité soit plus faible que x n l < ε, n n 0 Démonstration. Si n n 0 (ε/2), alors nous avons x n l < 2 ε 2 = ε

7 Principe 2ε Travail individuel Enoncer et prouver le principe 10ε Enoncer et prouver le principe ε 2 Nous avons le principe suivant (admis) Principe g(ε) Soit g : [0, [ [0, [ continue et telle que g(0) = 0 Pour prouver la convergence x n l R, il suffit de trouver (pour tout ε > 0) n 0 tq x n l g(ε), n n 0 Remarque Le principe fonctionne aussi si on obtient «< g(ε)» au lieu de «g(ε)»

8 Principe 2ε Ainsi, pour prouver que x n l R, la stratégie est la suivante : On se donne ε > 0 («Soit ε > 0») On cherche n 0 tq x n l g(ε), n n 0 (avec g convenable) Variante : on montre que x n l < g(ε), n n 0

9 Application : principe du majorant Principe du majorant Hypothèses x n l Cy n, n y n 0, C > 0 constante Conclusion x n l Démonstration. Soit ε > 0 Soit n 0 tq y n = y n < ε, n n 0 Alors x n l < Cε, n n 0 On conclut grâce au principe Cε

10 Principe du majorant Exercice d application On a lim n sin n 2 n = 0 Solution. On a sin n 2 n 0 = sin n2 n 3 1 n On applique le principe du majorant avec y n := 1 n et C = 3

11 Principe du plus grand des n 0 Principe du plus grand des n 0 Si la propriété (P1) est vraie pour n n 1, et si la propriété (P2) est vraie pour n n 2, alors les propriétés (P1) et (P2) sont vraies (en même temps) pour n n 0, où n 0 := max{n 1, n 2 }

12 Application : limite de la somme Proposition Hypothèses x n l R et y n L R Conclusion x n + y n l + L Démonstration. Soit ε > 0. Soient n 1, n 2 tq x n l < ε, n n 1 et y n L < ε, n n 2 Soit n 0 := max{n 1, n 2 }. Si n n 0, alors (x n + y n ) (l + L) = (x n l) + (y n L) x n l + y n L < ε + ε = 2ε On conclut grâce au principe 2ε

13 Application : théorème des gendarmes Théorème des gendarmes Hypothèses y n x n z n y n l R, z n l (même l) Conclusion x n l Il existe des variantes de ce résultat si l = ou l = (voir feuille d exercices no 4)

14 Application : théorème des gendarmes Démonstration. Soit ε > 0. Soient n 1, n 2 tq y n l < ε, n n 1 et z n l < ε, n n 2 Soit n 0 := max{n 1, n 2 }. Si n n 0, alors l ε < y n x n z n < l+ε et donc l ε < x n < l+ε D où x n l < ε, n n 0

15 Application : recollement Formulation vague Si une suite (x n ) «se casse» en plusieurs sous-suites, toutes avec la même limite l, alors x n l L hypothèse clé est que l ne dépend pas de la sous-suite

16 Application : recollement Voici une formulation rigoureuse d un cas particulier de recollement Proposition Hypothèses (x ϕ(n) ) et (x ψ(n) ) sous-suites de (x n ) Tout entier m est soit de la forme ϕ(n), soit de la forme ψ(n). Càd : m N, n N tq soit m = ϕ(n), soit m = ψ(n) x ϕ(n) l et x ψ(n) l (même l) Conclusion x n l

17 Application : recollement Exemples Si x 2n l et x 2n+1 l (même l), alors x n l Si x 2n+1 l, x 3n+1 l, x 3n+2 l et x 6n l (même l), alors x n l Travail individuel : reprendre, dans le poly sur le sup, l exercice sur la suite (z n ) donnée par z n := ( 1)n+1 1 n, n 1, et montrer que (z n ) converge

18 Application : recollement Preuve si l R. Soit ε > 0. Soient n 1, n 2 tq x ϕ(n) l < ε, n n 1 et x ψ(n) l < ε, n n 2 Soit n 0 := max{ϕ(n 1 ), ψ(n 2 )} Soit m n 0. Soit n tq m = ϕ(n) ou m = ψ(n) Si m = ϕ(n), alors n n 1. De même : si m = ψ(n), alors n n 2 Dans les deux cas : x m l < ε, m n 0 Travail individuel Examiner les cas où l = ou l = Etudier le cas de plusieurs sous-suites. Notes de cours, Poroposition 5.16, p. 40

19 Principe du ε particulier Principe du ε particulier Une propriété vraie pour tout ε est vraie pour des valeurs particulières de ε

20 Application : une suite convergente est bornée Proposition Une suite convergente est bornée Càd : si x n l R, alors a, b R tq a x n b, n

21 Application : une suite convergente est bornée Démonstration. On prend ε = 1 dans la définition de la convergence. Soit n 0 tq x n l < 1, n n 0 On a donc l 1 < x n < l + 1, n n 0 On obtient a x n b, avec a := min{l 1, x 0,..., x n0 1}, b := max{l + 1, x 0,..., x n0 1} Travail individuel : si x n l R, montrer qu il existe M tq x n M, n

22 Application : limite d un produit Proposition Hypothèses x n l R et y n L R Conclusion x n y n l L

23 Application : limite d un produit Démonstration. Soit M tq x n M, n Soit ε > 0. Soient n 1, n 2 tq x n l < ε, n n 1 et y n L < ε, n n 2 Soit n 0 := max{n 1, n 2 }. Si n n 0, alors x n y n l L = x n y n x n L + x n L l L x n y n x n L + x n L l L = x n y n L + x n l L Mε + L ε = (M + L )ε On conclut grâce au principe Cε

24 Application : continuité avec ε δ Rappel Si f : A R et x A, alors f est continue en x ssi [(x n ) A, x n x] = f (x n ) f (x)

25 Application : continuité avec ε δ Proposition Hypothèses f : A R x A Conclusion f continue en x ssi ε > 0, δ > 0 tq [y A, y x < δ] = f (y) f (x) < ε

26 Application : continuité avec ε δ Démonstration de «=». Par l absurde : ε > 0 tq δ > 0, y A tq y x < δ et f (y) f (x) ε Prenons un δ particulier : δ := 1 n. Soit y = y n comme ci-dessus Alors (1) y n A, y n x < 1 n, et (2) f (y n) f (x) ε, n De (1) et du principe du majorant, nous avons (3) y n x Si n n 0 (ε), (2) et (3) contredisent f (y n ) f (x)

27 Application : continuité avec ε δ Travail individuel Preuve de «=». Voir notes de cours, Proposition 4.9, pp Caractérisation de la limite lim y x f (y) avec ε δ. Notes de cours, Proposition 6.1, p. 43

28 Quelques suites importantes Suite arithmétique x 0 R, x n := x n 1 + a, n 1, avec a R constante Terme général : x n = x 0 + na, n 0, si a > 0 Limite : x n, si a < 0 x 0, si a = 0

29 Quelques suites importantes Suite géométrique x 0 R, x n := q x n 1, n 1, avec q R constante Terme général : x n = x 0 q n, n 0 0, si 1 < q < 1 1, si q = 1 Limite si x 0 = 1 : x n, si q > 1 n existe pas, si q 1

30 Quelques suites importantes Calcul de lim n x n Pour q 0, voir feuille 4 TD Si 1 < q, alors q n q n q n. Grâce au théorème des gendarmes, nous obtenons q n 0 Si q = 1, alors x 2n 1 et x 2n+1 1. On conclut grâce à l absence de recollement Raisonnement analogue si q < 1 : nous avons x 2n et x 2n+1

31 Suites de Cauchy Motivation : étudier la convergence d une suite (x n ) sans aucune information sur sa monotonie Définition Une suite (x n ) est de Cauchy ssi : ε > 0, n 0 tq x m x n < ε, m, n n 0 Théorème (x n ) converge ssi (x n ) est une suite de Cauchy Travail individuel : preuve de «=». Notes de cours, Théorème 5.18, p. 41

32 Suites de Cauchy Preuve de «=». Posons A n := {x n, x n+1,...}, y n := inf A n et z n := sup A n Nous avons y n x n z n, n Soit ε > 0. Si n n 0 = n 0 (ε), alors x n ε est un minorant de A n et x n + ε est un majorant de A n D où z n y n 2ε, n n 0 Nous obtenons z n y n 0 (principe 2ε) Le théorème des suites adjacentes donne y n l R et z n l (même l) Le théorème des gendarmes implique x n l

33 Résultat admis Proposition Une suite (x n ) est de Cauchy (donc converge) ssi ε n tq x m x n ε n, m > n ε n 0

34 Application : méthode de Picard Définition Soit f : R R. Alors f est contractante ssi : k < 1 tq f (x) f (y) k x y, x, y R

35 Application : méthode de Picard Exemple f : R R, f (x) = x sin x, est contractante 3 Solution. On a f (x) = 1 cos x, d où f (x) Le TAF donne f (x) f (y) 2 x y, x, y R 3

36 Application : méthode de Picard Proposition Hypothèse f : R R contractante Conclusions Il existe un (seul et un seul) c R tq f (c) = c Pour tout x 0 R, la suite de Picard, donnée par x n := f (x n 1 ), n 1, converge vers c Travail individuel : unicité de c. Voir feuille 5 de TD

37 Application : méthode de Picard Démonstration de «x n c». Par récurrence sur n 0, nous avons x n+1 x n k n x 1 x 0 Si m > n, alors x m x n = (x m x m 1 ) + + (x n+1 x n ) x m x m x n+1 x n x 1 x 0 1 k k n := ε n Nous avons ε n 0 (car 0 k < 1) Donc (x n ) est une suite de Cauchy Soit c := lim n x n Alors x n+1 = f (x n ) = c = f (c)