Algèbre linéaire avancée I Jeudi 17 septembre 2015 Prof. A. Abdulle

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1 Algèbre linéaire avancée I Jeudi 17 septembre 015 Prof. A. Abdulle EPFL Série 1 (Corrigé) Exercice 1 Soit f : R R définie par f(x) = x 4x. Répondre à chacune des questions suivantes en cochant la case correcte. a) Est-ce que la fonction f est injective? Oui. Oui, si on restreint l ensemble de départ à l intervalle [0, [. Oui, si on restreint l ensemble de départ à l intervalle ], 0]. b) Est-ce que la fonction f est surjective? Oui. Oui, si on restreint l ensemble de départ à l intervalle [0, [. Oui, si on restreint l ensemble d arrivée à l intervalle [ 4, [. Sol.: Pour l injectivité, la surjectivité, les images réciproques, le fascicule Notions de base et notations courantes en mathématiques. (a) C est la 3ème réponse qui est correcte. On a f(0) = f(4), donc f n est pas injective, et sa restriction à l intervalle [0, [ pas non plus. Donc les deux premières réponses ne sont pas correctes. Pour la 3ème, on constate que f est strictement décroissante entre et, car la dérivée de f(x) vaut x 4 et f(x) admet un minimum en x =. En particulier f est strictement décroissante dans l intervalle ], 0]. Cela implique que deux points distincts de cet intervalle ont des images distinctes, donc que f est injective sur cet intervalle. (b) C est la 3ème réponse qui est correcte. On a vu que f(x) admet un minimum en x = et la valeur en vaut f() = 4. Par conséquent, si y < 4, alors y n est pas dans l image de f. L image de f est l intervalle [ 4, [. Donc f n est pas surjective et sa restriction à l intervalle [0, [ n est pas non plus surjective. En revanche, en restreignant l ensemble d arrivée à [ 4, [, on obtient une application surjective. Exercice Soit f : R R définie par f(x) = sin(πx). Déterminer f 1 (0), f 1 ( 1 ), f 1 ( 3 ). Sol.: Pour l injectivité, la surjectivité, les images réciproques, voir le fascicule Notions de Les images réciproques sont : f 1 (0) = {x R sin(πx) = 0} = {x R k Z f 1 ( 1 ) = { x R sin(πx) = 1 } tel que πx = kπ} = Z = { x R k Z tel que πx = π 6 + kπ} { x R k Z tel que πx = 5π 6 + kπ} = { k k Z} { 5 + k k Z} 6 f 1 ( 3 ) =, car sin(α) 1, α R. 1

2 Exercice 3 Soit f : X Y une application d un ensemble X dans un ensemble Y. Soient A et B deux sous-ensembles de X. a) Montrer que f(a B) f(a) f(b). (b) Trouver un exemple pour lequel f(a B) f(a) f(b). (c) Montrer que si f est injective, alors f(a B) = f(a) f(b). Sol.: Pour les définitions et notations de la théorie des ensembles et pour l inclusion et l égalité d ensembles, voir le fascicule Notions de (a) Soit y f(a B). Alors il existe x A B tel que y = f(x). En particulier x A, et par conséquent f(x) f(a). De même, x B et donc f(x) f(b). Il s ensuit que f(x) f(a) f(b), c est-à-dire y f(a) f(b). On a ainsi démontré que f(a B) f(a) f(b). (b) Par exemple, posons X = {1,, 3}, Y = {1, }, et f(1) = 1, f() = 1, f(3) =. En prenant A = {1, 3} et B = {, 3}, on obtient A B = {3} et f(a B) = {}, mais d autre part f(a) f(b) = {1, } {1, } = {1, }. (c) On a déjà montré en (a) l inclusion f(a B) f(a) f(b). Montrons maintenant l inclusion inverse. Soit z f(a) f(b). Alors il existe x 1 A et x B tels que f(x 1 ) = z = f(x ). Comme f est injective, x 1 = x, et donc x 1 A B. Par conséquent, z = f(x 1 ) f(a B), ce qui montre que f(a) f(b) f(a B). Il en résulte l égalité f(a B) = f(a) f(b). Exercice 4 Montrer par récurrence sur n que la somme des n premiers nombres entiers impairs est égale à n, c est-à-dire que (n 1) = n. Sol.: Pour la technique des preuves par récurrence, voir le fascicule Notions de base et notations courantes en mathématiques. Pour n = 1, l égalité est vraie, car 1 = 1. En faisant l hypothèse de récurrence que l égalité est vraie pour n, on a donc (n 1) = n. En ajoutant (n + 1) 1, c est-à-dire n + 1, on obtient (n 1) + (n + 1) = n + (n + 1) = (n + 1), ce qui montre l égalité pour n + 1. Ainsi l égalité est vraie pour tout entier 1.

3 Exercice 5 On considère les sous-ensembles de R suivants : A = {(x, y) R x + y = 9}, B = {(x, y) R x + y 9}, C = {(x, y) R y = x}, D = Z. (a) Déterminer A C, A D, B C, B D. (b) Déterminer (B C) D. (c) Calculer Card ( (B A) D ). Sol.: (a) A C = {(x, y) R x + y = 9 et y = x}, donc A C = {(x, x) R x + ( x) = 9} = {(x, x) R 3x = 9} = { ( 3, 6), ( 3, 6) }. A D = {(0, 3), (0, 3), (3, 0), ( 3, 0)}. B C = {(x, x) x [ 3, 3]} (cf. A C). B D = {(0, 3), (0, 3), (3, 0), ( 3, 0)} {(x, y) Z x et y }. (b) Constatons d abord que (x, y) (B C) D (x, y) (B D) (C D) (x, y) B D ou (x, y) C D. Or C D est réduit à un seul point, à savoir (0, 0), car si x est un entier non nul, y = x n est jamais un entier. On obtient donc que (B C) D = (B D) {(0, 0)}. Mais le point (0, 0) appartient déjà à B D, donc (B C) D = B D, qui a été déterminé en (a). (c) Pour trouver (B A) D, on doit considérer B D et exclure les éléments de A D. Il reste alors {(x, y) Z x et y }. Il y a 5 valeurs possibles pour x et 5 valeurs possibles pour y, donc 5 points en tout. Ainsi Card ( (B A) D ) = 5. Exercice 6 Soit f : R R définie par f(x) = x + 1. Parmi les assertions suivantes lesquelles sont correctes? (a) L application f est injective. (b) L application f est surjective. (c) L application f N : N R est injective. (d) Soient A = [ 3, ] et B = [1, 3]. Alors f(a B) = f(a) f(b). Sol.: Pour l injectivité, la surjectivité, les images réciproques, voir le fascicule Notions de (a) Non. Par exemple, f( 1) = = f(1). (b) Non. Par exemple, 0 n appartient pas à l image de f, car f(x) = x pour tout x R et donc f ne prend jamais la valeur 0. (c) Oui. En effet, si n, m N sont tels que f(n) = f(m), alors n + 1 = m + 1 et donc n = ±m. Comme n, m 0, on déduit que n = m. L application f N : N R est donc injective. 3

4 (d) Non. En fait, on a toujours f(a B) f(a) f(b), mais on n a pas toujours l égalité. Ici A B = [1, ] et donc f(a B) = f([1, ]) = [, 5]. Par ailleurs f(a) = [1, 10] et f(b) = [, 10], donc f(a) f(b) = [, 10]. On voit bien que f(a B) f(a) f(b), car [, 5] [, 10]. Mais on n a pas l égalité, car par exemple 6 [, 10] mais 6 / [, 5]. Ainsi f(a) f(b) f(a B). Exercice 7 Soit f : X Y une application d un ensemble X dans un ensemble Y. Soient A et B deux sous-ensembles de X et C et D deux sous-ensembles de Y. (a) Montrer que f(a B) = f(a) f(b). (b) Montrer que f 1 (C D) = f 1 (C) f 1 (D). (c) Montrer que f 1 (C D) = f 1 (C) f 1 (D). Sol.: Pour les définitions et notations de la théorie des ensembles, pour les inclusions et égalités d ensembles et pour l usage des quantificateurs et, voir le fascicule Notions de (a) Pour tout y Y, on a y f(a B) x A B tel que y = f(x) x A ou x B tel que y = f(x) x A tel que y = f(x) ou x B tel que y = f(x) y f(a) ou y f(b) y f(a) f(b) Ceci montre que f(a B) = f(a) f(b). (b) Attention au fait que f 1 ne désigne pas une application inverse (qui n existe pas en général), mais c est seulement une notation pour l image réciproque d un sousensemble. Pour tout x X, on a x f 1 (C D) f(x) C D (par définition de l image réciproque) f(x) C ou f(x) D (par définition de la réunion) x f 1 (C) ou x f 1 (D)(par définition de l image réciproque) x f 1 (C) f 1 (D) (par définition de la réunion) Ceci montre que f 1 (C D) = f 1 (C) f 1 (D). (c) Attention au fait que f 1 ne désigne pas une application inverse (qui n existe pas en général), mais c est seulement une notation pour l image réciproque d un sousensemble. Pour tout x X, on a x f 1 (C D) f(x) C D (par définition de l image réciproque) f(x) C et f(x) D (par définition de l intersection) x f 1 (C) et x f 1 (D)(par définition de l image réciproque) x f 1 (C) f 1 (D) (par définition de l intersection) Ceci montre que f 1 (C D) = f 1 (C) f 1 (D). 4

5 Exercice 8 En utilisant la définition de la multiplication des nombres complexes, montrer que i = 1. Sol.: Soient deux nombres complexes z 1 et z. Il existe a, b, c, et d dans R tels que z 1 = a + ib et z = c + id. La multiplication entre z 1 et z est définie par En écrivant i = 0 + i1, on obtient z 1 z = (a + ib)(c + id) = (ac bd) + i(ad + bc). i = (0 + i1)(0 + i1) = (0 1) + i(0 + 0) = 1. 5