Mécanique des matériaux composites Annexe A-1 Introduction à la méthode des éléments finis

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1 A- Introduction à la. Contexte. Méthode des éléments finis.. Principes.. Discrétisation..3 Interpolation..4 Formulation des matrices élémentaires par les équations d équilibre..4. Équations d équilibre des noeuds..4. Formulation des matrices élémentaires..5 Assemblage de la matrice globale..6 Application des conditions aux limites..7 Résolution des équations pour les valeurs nodales : déplacements etc....8 Détermination des contraintes et réactions dans les éléments..9 Autres méthodes de formulation des matrices élémentaires..9. Énergie potentielle total minimale..9. Résidus pondérés..0 Algorithme de calcul par éléments finis. Contexte e point de départ de toute modélisation est la réalité physique. Or, la complexité des phénomènes étudiés rend très difficile la résolution des équations mathématiques qui sont en général, des équations différentielles. Des approximations sont alors souvent nécessaires. a figure. montre la démarche et la procédure de modélisation. Réalité physique Idéalistaion Expériemntation Modélisation mathématique Comparaison Solution? Solution analytique exacte Contrôle des erreurs Approximation Numérique approchée Analytique approchée Figure. Procédure de modélisation des systèmes (Adapté de réf. )

2 En pratique les solutions analytiques ne sont possibles que pour des cas simples. Deux causes évoquées souvent sont : la méconnaissance du champ à modélisé et la complexité de la géométrie. a première nécessite la proposition d une allure générique du champ inconnu, tandis que le découpage du système en domaines plus simples est la solution pour contourner la deuxième difficulté. a est la combinaison de ces deux principes, (figure.). Champ inconnu Géométrie complexe Méthode de Rayleigh-Ritz Discrétisation Méthode des éléments finis Figure. Modélisation des systèmes complexes (Adapté de réf. ) En ce qui concerne la résolution du système d équations différentielles décrivant le phénomène étudié, deux alternatives sont : analytique et numérique, (figure.3). D(Φ) - f = 0 dans le volume avec les conditions aux limites Solutions analytiques - Séparation des variables - Solution similaires - Transformation de Fourrier ou de aplace Solutions numériques - Différence finies - Méthode de Ritz - Éléments finis - Volume fini - Éléments de frontière Figure.3 Méthodes de résolution des problèmes mathématiques (Adapté de réf. )

3 . Méthode des éléments finis a permet de résoudre les types de problèmes présentés dans la figure.4. Résolution des problèmes physiques par la Équilibre stationnaire Mécanique des solide Mécanique des fluides Transfert de chaleur Champ magnétique Valeurs propres Dynamique, vibration Stabilité des structures Flux laminaire Acoustique Dépendence du temps Non linéarité Dynamique (cas général) Thermique transitoire Propagation (fissures ) Figure.4 Types de problèmes physiques modélisés par la (Adapté de réf. ) Dans le cas de l analyse des solides déformables, la consiste à restreindre le champ de déplacement en tout point du milieu par la détermination du déplacement aux certains points définis du milieu qui sont les nœuds. Cette démarche s appelle la discrétisation (figure.5). Figure.5 Principe de l approximation (Réf.) 3

4 e champ du domaine entre les valeurs nodales est interprété par la fonction de forme ou fonction d interpolation... Discrétisation Une structure physique à analyser comporte des points permettant de définir sa géométrie, appelés nœuds physiques (joints de connexion, extrémités, etc..). Par ailleurs, les éléments finis crées par le découpage de cette structure en sous domaines selon la sont connectés entre eux par certain point d attache appelés, nœuds du maillage. es deuxièmes se trouvent de façon naturelle aux premiers. a discrétisation des structures en différents types d éléments selon les besoins. Éléments D - Barres - Poutres - Coque axisymétrique Noeuds du maillage Noeuds de géométrie Éléments D - Élasticité plane - Axisymétrie - Plaque mince - Coque mince Noeuds de géométrie Noeuds du maillage Éléments 3 D - Solide massif - Plaques épaisses - Coques épaisses Figure.6 Discrétisation des systèmes (Adapté de réf. ) 4

5 .. Types d éléments es types d éléments les plus utilisés sont présentés à la figure.7. e classement se fait en fonction de l espace et du degré du polynôme utilisés pour l interpolation. Figure.7 Différents types d éléments (Réf. ) 5

6 ..3 Interpolation approximation du champ réel par le champ approximatif peut s écrit par l expression suivante : û(x, y,z) u(x, y,z) = N x(x, y,z).u noeuds i où N i (x, y, z) est la fonction de forme ou fonction d interpolation associé au nœuds i et u i est le déplacement au même nœud. es fonctions de forme représentent le poids associé à chacun des nœuds de l élément permettant la prédiction de l évolution du champ à l intérieur du domaine d interpolation. Pour que l interpolation soit illicite, la fonction de forme doit : être continue sur le domaine; conduire à des valeurs uniques du champ en tout point du domaine pour un jeu unique de valeurs nodales; au noeud j=i N (x,y,z ) = 0 au noeuds j i i j j j Cette condition permet que : Exemple. : u(x,y,z ) = u + 0 u u(x,y,z ) = u i i i i j i i i i j i Déterminez les fonctions de forme pour l élément linéique (D) suivant en utilisant les polynômes. Solution Élément D à noeuds (interpolation linéaire) : x 0 e champ de déplacement est : 6

7 a0 u(x) = a0 + ax = [ x] a u(x) = X a [ ]{ } () es deux conditions nodales suivantes permettent de déterminer les coefficients a 0 et a : u(0) = a + a.0 = u 0 u() = a + a. = u 0 ou sous forme matricielle comme : u(0) 0 a0 u = u() = a u = = [ B]{ a} { q} () d où la solution de ce système d équations est : 0 a u = a 0 u { a} = { B} { q} (3) d où : a = u 0 a = u + u Substitution de (3) dans () : [ ][ ] { } u(x) = X B q (4) Afin de déterminer les fonctions de forme, considérons l expression générale de l approximation : u u(x) = N i(x).ui = N (x).u+ N (x).u = [N (x) N (x)] i= u u(x) = N(x) q [ ]{ } (5) où N i (x) sont les fonctions de forme. 7

8 a comparaison des deux équations (4) et (5) donne : 0 x x N(x) = X B = x = [ ] [ ][ ] [ ] x x d où N (x) = et N (x) = Figure.8 Fonctions de forme de l élément à nœuds..4 Formulation des matrices élémentaires par les équations de l équilibre..4. es équations d équilibre des noeuds Exemple. a figure.0 illustre une attache en aluminium d un système de levage. Sachant que son épaisseur est de 5mm et que la charge pèse.5kn, déterminez l allongement et les contraintes au long de la pièce. Solution Considérons la membrure de section A et d une longueur soumise à une charge F telle F qu illustrée à la figure.9. a contrainte axiale est σ=, tandis que la A 8

9 déformation est ε=. Or selon la loi de Hooke σ= Eε où E est le module d élasticité. AE a charge devient par conséquent F=σ A = ( ). Ce qui est semblable à l équation de la force du ressort F = kx. Il est donc possible de modéliser une membrure de section AE uniforme soumise à une charge axiale par un ressort dont la rigidité est k =. A Δ x F F Figure.9 Modélisation de la membrure de section uniforme soumise à une force externe F A u k u A k 3 A3 3 u 3 k 3 4 u 4 P P Figure.0 Discrétisation de la pièce en éléments et nœuds 9

10 Par conséquent, la pièce présentée à la figure.0 peut être modélisée comme un système de 3 (éléments) ressorts en série. e diagramme du corps libre des noeuds avec les forces appliquées à chacun des nœuds de à 4 est montré à la figure.. R Nœud Nœud k (u -u ) k (u -u ) k (u 3 -u ) k (u 3 -u ) Nœud 3 k 3 (u 4 -u 3 ) Nœud 4 k 3 (u 4 -u 3 ) P Figure. Diagramme du corps libre des nœuds es équations d équilibre statique s écrivent : Nœud : R k (u u ) = 0 Nœud : k (u u ) k (u 3 u ) = 0 Nœud 3 : k (u 3 u ) k 3 (u 4 u 3 ) = 0 Nœud 4 : k 3 (u 4 u 3 ) P =0 ou sous forme matricielle : 0

11 k k 0 0 u R k k + k k 0 u 0 = 0 k k + k3 k 3 u k3 k3 u4 P (c) et en séparant par la suite les réaction et les forces externes : R k k 0 0 u 0 0 k k + k k 0 u 0 = 0 0 k k + k3 k 3 u k3 k 3 u 4 P (d) { R} = [ k]{ u} { F} ou {Réaction} = [Rigidité] {Déplacement} {Chargement} e déplacement du nœud () est nul à cause de la fixation de l extrémité supérieure de la membrure. application de cette condition aux limites rend le système d équations (c) à un nouveau système d équations : u 0 k k + k k 0 u 0 0 k k + k k u k k u P = [Rigidité] {Déplacement} = {Chargement} Sachant que u = 0, la résolution de ce système d équations donne les valeurs nodales de déplacement. e(s) réaction(s) peuvent se calculer à l aide de la résolution du système d équation (d)...4. Formulation des matrices élémentaires Chaque élément du modèle de l exemple. contient nœuds avec chacun un déplacement associé. Il nous faut donc développer deux équations par élément. es forces internes en fonction de la rigidité de l élément et du déplacement nodal telles qu illustrées à la figure. (b) sont : fi = k (ui u i+ ) f = k(u u ) i+ i+ i

12 ou sous forme matricielle : fi k k ui = f k k u i+ i+ (Notons que les deux diagrammes du corps libre de l élément sont équivalents.) f i =k(u i+ -u i ) f i =k(u i -u i+ ) u i u i y u i+ f i+ =k(u i+ -u i ) u i+ f i+ =k(u i+ -u i ) (a) (b) Figure. Diagramme du corps libre de l élément..5 Assemblage de la matrice globale a matrice de rigidité de l élément () est : et sa position dans la matrice globale est : [ K] k k = k k [ ] () K k k 0 0 u k k 0 0 u = u u (G) Par analogie on obtient pour les éléments () et (3) : k k = k k [ ] () K 3 4

13 [ K] [ K] u 0 k k 0 u = 0 k k 0 u u (G) k k = k3 k 3 [ ] (3) 3 3 K u u = 0 0 k k u 0 0 k k u (3G) a matrice globale est assemblée par l addition des matrices : [ K] = [ K] + [ K] + [ K] (G) (G) (G) (3G) k k 0 0 u k k k k 0 + u 0 k k + k k u 0 0 k k u Application des conditions aux limites Sachant que u = 0, le système d équations devient :..7 Résolution du système d équations u 0 k k + k k 0 u 0 = 0 k k + k3 k 3 u k3 k3 u4 P u 0 k k + k k 0 u 0 = 0 k k + k3 k 3 u k3 k3 u4 P a résolution du système d équations réduit nous donne les déplacements correspondants. 3

14 Application numérique : es déplacements nodaux et les contraintes dans les éléments se déterminent avec les données suivantes : E = 70GPa; A = 480mm ; A = 0 mm ; 3 = 3mm; P = 800N. A 3 = 360 mm ; = 3 mm; = 0mm;..8 Calcul des contraintes dans les éléments et les réactions es contraintes se calcul à l aide de la loi de Hooke en connaissant les déplacements nodaux : e tableau. présente les résultats. ui ui E E( + ) σ= ε= Tableau. Propriétés des éléments, déplacements nodaux et contraintes Élément Nœud A E k=(ae/) u σ i =E(u i+ - u i )/ (mm ) (mm) (MPa) (MPa) (mm) (MPa) Vérification : P 800 σ = = = 3.75MPa A 480 P 800 σ = = = 5 MPa A 0 P 800 σ 3 = = = 5MPa A es réactions peuvent se calculer à l aide du système d équation(d). Ce qui donne une valeur de R =P=800N. 4

15 ..9 Autres méthodes pour la formulation des matrices élémentaires..9. Énergie potentielle totale minimale Un corps solide soumis à des forces externes se déforme. Durant cette déformation le travail de ces forces est emmagasiné dans le corps solide sous forme de l énergie de déformation. Figure.3, présente une membrure qui se déforme sous l action d une force axiale F. orsque la membrure s allonge d une distance dy, l énergie de déformation dans le matériau est : Dans le cas d un volume infiniment petit de la membrure cette énergie s écrit : Figure.3 Comportement élastique d une membrure soumise au chargement axial énergie totale de déformation emmagasinée dans la membrure s écrit : où V est le volume de la membrure. 5

16 énergie potentielle totale Π pour un corps solide comportant n éléments et m nœuds est la différence entre l énergie de déformation totale et le travail fourni par les forces externes : n (e) Π= Λ m e= i= équilibre d un corps solide se réalise lorsque cette énergie est minimale : n Π (e) i i e= i i= m Fu = Λ Fu i i = 0 pour i =,,3...,n u u u application de ce théorème permet de déterminer les déplacements nodaux. es équations élémentaires peuvent s obtenir par la minimisation de l énergie potentielle totale de l élément. En s appliquant ce principe à l exemple antérieur, l énergie de déformation dans un élément quelconque du modèle s écrit : Eε AE Λ= dv = (ui+ + ui ui+ u i) V u u ε= = i+ i où et V A a différentiation de l énergie de déformation donne les équations suivantes : i i (e) Λ = i i+ = i i+ ui AE (u u ) k(u u ) (e) Λ = i+ i = i+ i ui+ AE (u u ) k(u u ) (e) Λ u i k k ui (e) = k k Λ ui+ u i+ où k eq =(A moy E)/ et pour les forces externes agissant au nœuds i et i+ on obtient : 6

17 Finalement la matrice de rigidité globale de la structure est obtenue en additionnant celle des éléments comme dans le cas de la méthode de formulation directe...9. Résidus pondérés Cette approche est basée sur le principe de minimiser l erreur entre la solution proposée et la solution exacte de l équation différentielle du phénomène étudié. a solution proposée doit satisfaire les conditions aux limites. Dans cette catégorie d approche, il existe plusieurs méthodes. Seulement la méthode de Galerkin est présentée ici comme illustration. Ex..3 Soit une membrure en aluminium de section variable qui est fixée à une extrémité et soumise à une charge P à l autre extrémité telle qu illustrée à la figure.4. Sachant que son épaisseur est t tandis que le module d élasticité de l aluminium est E déterminez la répartition de l allongement de la membrure suivant sa longueur. Figure.4 a contrainte moyenne dans la membrure en fonction de la force appliquée Solution exacte : équilibre des forces suivant la direction y donne l équation suivante: 7

18 où du ε= dy En réarrangeant les termes, on obtient : e déplacement en fonction de y est alors : Pdy du = EA(y) Pdy u(y) = du = = EA(y) où la section à une distance y est : Finalement : u = + w A(y) (w ( )y)t Pdy w w E(w + ( )y)t w Application numérique : P (w w ) u(y) = ln w+ y ln w Et(w w ) Soit w = 50.8mm, w = 5.4mm, = 54mm, t = 3.75mm, E = 7 705MPa, P = 4448N. Tableau. Déplacement exacte suivant la longueur de la membrure y u(y) (mm) (mm) Solution par la méthode de Galerkin : Reconsidérons l exemple., l équation de l équilibre est : 8

19 Proposons une solution de la forme : a fonction de l erreur est alors : A(y) du EA(y) P 0 dy = u(y) = a y + a y + a y 3 3 w w (w + ( )y)t E (a+ ay + 3a3y ) P =R application des données numériques donne : a méthode de Galerkin implique : R = + + E ( y)(a a y 3a 3y ) a b ΦR dy = 0 i =,,..., N où les fonctions de pondération sont Φ =y; Φ =y et Φ 3 =y 3 pour le cas d une solution proposée contenant 3 inconnus. Par conséquent : 0 y ( )dy = R y( )dy = 0 E R E R y ( )dy = 0 E intégration de ces équations donne le système d équations suivant: a a = (0) a a résolution de système d équations donne a = , a = (0) -7 et a 3 = (0) -9. e déplacement en fonction de y est par conséquent : 9

20 Application numérique : u(y) = y (0) y (0) y. Soit w = 50.8mm, w = 5.4mm, = 54mm, t = 3.75mm, E = 7 705MPa, P = 4448N. Tableau.3 Déplacement suivant la longueur de la membrure obtenu par la méthode de Galerkin y (mm) Solution exacte u(y) Approximation par la méthode de Galerkin u(y) (mm) (mm) Algorithme de calcul par la algorithme de calcul comporte trois phases : Pré-processeur Solveur Post-processeur Définition du modèle, calcul des matrices élémentaires, l assemblage de la matrice global et l introduction des conditions aux limites Résolution numérique du système matriciel pour l obtention des déplacements nodaux Calcul des contraintes des déformations et des réactions. Cette phase contient également le traitement graphique (illustrations, analyses, coupes, rapport etc.) 0

21 Références [] Comprendre les éléments finis - Principes, formulations et exercices corrigés, Alain Chateauneuf, Ellipses, ISBN [] Finite Element Analysis Theory and Application with ANSYS, 3 rd Edition, Saeed Moaveni, Pearson Prentice Hall, ISBN [3] A first course in the Finite Element Method using Algor, Dany ogan, PWS publishing Co, ISBN

22 Exercices. Déterminez les fonctions de forme pour les éléments linéiques suivants en utilisant les polynômes : 3 0 / (a) x /3 /3 (b) x Réponses : a) N (x)= -3x/+x /, N (x)= 4x/-4x /, N 3 (x)= -x/+x / b) N(x)= -x/+9x / -9x 3 / 3, N(x)= 9x/-45x +7x 3 / 3 N3(x)= -9x/+8x / -7x 3 / 3 N4(x)= x/-9x / +9x 3 / 3. a figure suivante présente une plaque d acier qui est soumise à une force axiale F=3 500N. Sachant que l épaisseur de la plaque est.6mm et que le module d élasticité de l acier est 0 GPa, calculer l allongement et les contraintes au long de la plaque. 5mm 50mm 50mm F 5mm 00mm 50mm