Enchaînements d opérations

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1 Enchaînements d opérations 1. Effectuer une succession d opérations : règles de priorités opératoires Dans une expression sans parenthèses, quand il y a uniquement des additions et des soustractions, on effectue les calculs de gauche à droite. Dans une expression sans parenthèses, quand il y a uniquement des multiplications et des divisions, on effectue les calculs de gauche à droite. ex : A = B = 15 : 3 4 : 5 A = B = 5 4 : 5 A = B = 20 : 5 A = 5 B = 4 Dans une expression sans parenthèses, on effectue d abord les multiplications et les divisions. On dit que la multiplication et la division sont prioritaires sur l addition et la soustraction. ex : C = D = 150 : 5-2,5 4 C = D = C = 52 D = 20 Dans une expression avec parenthèses, on effectue d abord les calculs entre parenthèses, en commençant par les parenthèses les plus intérieures. ex : E = ( ) : 4 F = 2 [ 8 ( 1,2 + 3,8)] E = 5 : 4 F = 2 [ 8 5] E = 1,25 F = 2 3 F = 6 2. Nommer un calcul Une expression est: - une somme si la dernière opération à effectuer est une addition; - une différence si la dernière opération à effectuer est une soustraction; - un produit si la dernière opération à effectuer est une multiplication; - un quotient si la dernière opération à effectuer est une division. ex : l expression est une somme (on effectue en dernier l addition) l expression (18-6 ) : 3 est un quotient ( on effectue en dernier la division) 1

2 1. Reconnaître des figures symétriques La symétrie centrale Deux figures sont symétriques par rapport à un point O si elles se superposent en effectuant un demi-tour autour du point O. O est le centre de symétrie. 2. Construire le symétrique d un point Soit M un point donné, le symétrique de M par rapport à O est le point M tel que O soit le milieu de [MM ]. M Remarque : le symétrique de O est O. M O 3. Propriétés Si deux segments sont symétriques par rapport à un point, alors ils ont la même longueur. Si deux droites sont symétriques par rapport à un point, alors elles sont parallèles. Si deux cercles sont symétriques par rapport à un point, alors ils ont le même rayon. Si deux angles sont symétriques par rapport à un point, alors ils ont la même mesure. 2

3 4. Trouver le centre de symétrie d une figure. Si, par symétrie de centre O, le symétrique d une figure est la figure elle-même, alors O est le centre de symétrie de cette figure. Pas de centre de symétrie un centre de symétrie Axes et centre de symétrie des figures usuelles Rectangle Losange Carré Deux axes de symétrie Un centre de symétrie Deux axes de symétrie Un centre de symétrie Quatre axes de symétrie Un centre de symétrie Triangle isocèle Triangle équilatéral cercle Un axe de symétrie Pas de centre de symétrie Trois axes de symétrie Pas de centre de symétrie Une infinité d axes de symétrie (toutes les droites passant par O) Un centre de symétrie 3

4 La proportionnalité 1. Définition Deux suites de nombres sont proportionnelles si on peut passer de l une à l autre en multipliant par un même nombre. Ce nombre est appelé coefficient de proportionnalité. ex : Masse de fruits ( en kg) Prix en 3 7,5 16,5 21 1,5 = 1,5 = 1,5 = 1,5 = 1,5 Tous les quotients sont égaux donc la masse est proportionnelle au prix. Le coefficient de proportionnalité est 1,5 2. Compléter un tableau de proportionnalité en calculant le coefficient de proportionnalité : Masse de fruits ( en kg) 4 3 Prix en 6,4 Calculons la valeur manquante : 6,4 : 4 = 1,6 ( calcul du coefficient de proportionnalité) 3 1,6 = 4,8 3 kg de fruits coûtent 4,8. en additionnant ou soustrayant deux colonnes : Masse de fruits ( en kg) Prix en 6,4 8 Calculons la valeur manquante : = 9 6,4 + 8 = 14,4 9 kg de fruits coûtent 14,4. en multipliant ou en divisant les deux nombres d une même colonne par un même nombre : : 2 6 Masse de fruits ( en kg) Prix en 6,4 Calculons les valeurs manquantes : 4 : 2 = = 12 6,4 : 2 = 3,2 3,2 6 = 19,2 : kg de fruits coûtent 3,2 12 kg de fruits coûtent 19,2 4

5 3. Pourcentages : a. Prendre un pourcentage : Pour prendre «t %» d un nombre, on le multiplie par t 100. Exemple : 35% des élèves d un collège de 560 élèves sont demi-pensionnaires. Cela veut dire que s il y avait 100 élèves dans le collège, 35 d entre eux seraient demi-pensionnaires. On a donc le tableau de proportionnalité suivant : Elèves demi-pensionnaires 35 Total des élèves ,35 5,6 Calcul à effectuer : 35 : = 0, ou 560 : = 5,6 35 = 196 = 196 Il y a 196 élèves demi-pensionnaires. b. Calculer un pourcentage : Calculer un pourcentage revient à calculer une quatrième proportionnelle à 100. Exemple : Dans une école de 250 élèves, 80 sont demi-pensionnaires : demi-pensionnaires 80 total ,32 Calcul à effectuer : 80 : = 0, ou 100 : = 0,4 80 = 32 = % des élèves sont demi-pensionnaires. 5

6 4. Échelles : Sur un plan, les distances sont proportionnelles aux distances réelles. On appelle «échelle» le coefficient de proportionnalité qui permet de passer des distances réelles aux distances du plan (les distances étant exprimées dans la même unité). a. Utiliser une échelle 1 Exemple : sur une carte on peut lire : «réduction à l échelle ». Cela signifie que 1 cm sur la carte correspond à cm ( 250 m ) dans la réalité. Les longueurs sur la carte sont donc fois plus petites que les longueurs réelles. Distance sur le plan 1 40 : (en cm) (en cm) Distance réelle Calculs à effectuer : : = 0,64 cm = cm = 6,4 mm = 10 km b. Calculer une échelle Une distance réelle de 8 km est représentée par une distance de 2 cm sur une carte. Quelle est l échelle de cette carte? Distance sur la carte (en cm) 2 1 Distance réelle (en cm) Le plus souvent, cela revient à se demander, quelle est la distance réelle dans l unité choisie pour une distance de 1 sur la carte (dans la même unité) : 2 = Les longueurs réelles sont fois plus grandes que les longueurs de la carte. L échelle de la carte est donc 1/

7 Prisme droit et cylindre de révolution 1. Caractériser un prisme droit et le représenter en perspective Un prisme droit est un solide qui a : - deux faces polygonales, parallèles et superposables : les bases ; - les autres faces sont des rectangles perpendiculaires aux bases : les faces latérales. La longueur d une arête reliant les deux bases est la hauteur du prisme. base base hauteur hauteur Face latérale Face latérale Remarque : un pavé droit est un prisme droit particulier. 2. Caractériser un cylindre de révolution et le représenter en perspective Un cylindre de révolution est un solide qui a : - deux faces parallèles, superposables qui sont des disques : ce sont les bases ; - une surface latérale dont le patron est un rectangle. hauteur base hauteur 7

8 3. Réaliser un patron de prisme droit et de cylindre de révolution périmètre du cercle : ou diamètre 2 rayon 8

9 Nombres en écriture fractionnaire I- Vocabulaire a b Numérateur Dénominateur Lorsque a et b sont des nombres entiers (b O), cette écriture s appelle une fraction. Exemple : 3 2 est une fraction. On dit que 3 2 est le quotient de 3 par = 3 : 2 = 1,5 Ecriture fractionnaire c est toujours une valeur exacte Ecriture en ligne Ecriture décimale 3 2 est le nombre qui, multiplié par 2, donne 3, c est-à-dire : = 3 Une écriture fractionnaire peut être l écriture : - d un nombre entier : = 4 = 9 - d un nombre décimal : = 0,25 = 3,7 - d un nombre qui n est pas décimal : ,71 II- Multiple et diviseur- exemple 72 6 = 72 : 6 = est un nombre entier alors on dit que : 72 est un multiple de 6 (72 = 12 6) 6 est un diviseur de 72 ; 72 est divisible par = 81 : 6 = 13,5 6 13,5 n est pas un nombre entier Donc 81 n est pas divisible par 6. 9

10 Critères de divisibilité- Rappels Un nombre est divisible par 2 s il est pair (c est-à-dire s il se termine par 0 ; 2 ; 4 ; 6 ou 8). Un nombre est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5. Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3. Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9 Un nombre est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4 III- Egalité de deux quotients On ne change pas la valeur d un quotient si on multiplie ou on divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre (non nul). Exemples 1) Ecrire 2 3 avec un dénominateur égal à 12 : 2 3 = = ) Ecrire 9 12 avec un dénominateur égal à 4 : 9 12 = = 3 4 (on a simplifié par 3) 3) 3,1 4 = 3, = On peut transformer toute écriture fractionnaire en fraction. Simplifier une fraction c est écrire une fraction qui a la même valeur, mais avec un numérateur et un dénominateur plus petits. Exemples : 1) = = 3 5 On a divisé le numérateur et le dénominateur par 5, donc on dit qu on a simplifié par 5. 2) = = 4 3 On a simplifié par 9 et par 10. Lorsqu on ne peut pas simplifier une fraction, on dit que la fraction est irréductible. Exemple : 3 5 et 4 3 sont des fractions irréductibles. 10

11 IV- Division de deux nombres décimaux Pour diviser deux nombres décimaux, on se ramène à une division par un nombre entier en multipliant le dividende et le diviseur par 10 ou 100 ou Exemple : 3,6 2,25 = 3,6 3,6 100 = 2,25 2, = V- Notion de proportion Exemple : Les 2 des élèves du collège Camille Claudel sont externes. 5 On dit que la proportion d élèves externes est , , Collège Camille Claudel Cela signifie, que sur 5 élèves du collège, 2 sont externes. 2 5 = = 40 % VI- Comparaison de nombres en écriture fractionnaire a- Si les dénominateurs sont les mêmes Si des nombres en écriture fractionnaire ont le même dénominateur alors le plus petit est celui qui a le plus petit numérateur. ex : < car 3,1 < 3,01 b- Si l un des dénominateurs est multiple de l autre On commence par écrire les nombres avec le même dénominateur. ex : > car = c- Si les numérateurs sont les mêmes Si des nombres en écriture fractionnaire ont le même numérateur alors le plus petit est celui qui a le plus grand dénominateur. ex : < d- Comparaison à 1 Si le numérateur est plus petit que le dénominateur, alors le nombre est plus petit que 1. Si le numérateur est plus grand que le dénominateur, alors le nombre est plus grand que 1. ex : < car < 1 et > 1 e- On effectue les divisions 0,82 0,76 donc > 11

12 I- Vocabulaire Les angles Deux angles sont adjacents lorsque : ils ont le même sommet ; ils ont un côté commun ; ils sont de part et d autre de ce côté commun. II- Propriétés a- pour calculer des angles Si deux angles sont opposés par le sommet, alors ils ont la même mesure. Si des angles alternes-internes sont formés par des droites parallèles, alors ils ont la même mesure. Deux angles sont complémentaires lorsque leur somme est égale à 90. (d) (d ) Deux angles sont supplémentaires lorsque leur somme est égale à 180. Si des angles correspondants sont formés par des droites parallèles, alors ils ont la même mesure. (Δ) Deux angles sont opposés par le sommet lorsque : ils ont le même sommet ; les côtés sont dans le prolongement l un de l autre. Deux angles sont alternes-internes lorsqu ils sont situés : de part et d autre de la sécante (la droite ); entre les droites ( d ) et ( d ' ). b- pour montrer que des droites sont parallèles (d ) (Δ) (d) Deux angles sont correspondants lorsqu ils sont situés : d un même côté de la sécante (la droite ); l un entre les droites ( d ) et ( d ' ), l autre pas. Si deux droites coupées par une sécante forment des angles alternes-internes de même mesure, alors ces droites sont parallèles. Si deux droites coupées par une sécante forment des angles correspondants de même mesure, alors ces droites sont parallèles. 12

13 Les nombres relatifs I - Définition : Exemple : l ascenseur ème étage er étage 0 rez-de-chaussée er sous-sol ème sous-sol Un nombre positif est un nombre plus grand que 0. : 3 ; 7,2 ; +5 Un nombre négatif est un nombre plus petit que 0. : -5 ; -2 ; -5,3 0 est à la fois positif et négatif. Tous ces nombres sont appelés nombres relatifs. II - Repérage des points sur une droite : B O I A Pour graduer une droite, on choisit : un sens (souvent le sens de l écriture) ; une origine : O ; une unité : OI = 1. Chaque point d une droite graduée peut être représenté par un nombre : son abscisse. Exemples : l abscisse du point A est + 4. On note A ( + 4) l abscisse du point B est - 2. On note B ( - 2) Vocabulaire : la distance à zéro de -5 la distance à est 5 zéro de 3 est 3 Un nombre relatif est déterminé par : son signe (- ou +) ; sa distance à zéro. Deux points symétriques par rapport à l origine ont des abscisses opposées. L opposé de + 5 est - 5. L opposé de - 6,2 est + 6,2. 13

14 III - Comparaison de deux nombres relatifs : Pour comparer deux nombres relatifs, il y a trois cas possibles : 1 er cas : les deux nombres sont positifs. On sait déjà les comparer. ex : 6,3 > 6,17 ; +25 > +8 2 ème cas : l un est positif, l autre est négatif. Un nombre positif est toujours plus grand qu un nombre négatif. ex : -3 < 7 ; 0 > - 4 ; + 0,5 > ème cas : les deux nombres sont négatifs. Le plus petit est celui qui est le plus éloigné de zéro. ex : - 6 < - 4 ; - 7 > -10 ; -5,3 < -5,15 IV- Repérage d un point dans le plan : Deux droites graduées perpendiculaires et de même origine O forment un repère du plan. Chaque point peut être repéré par deux nombres appelés les coordonnées du point : le premier nombre, lu sur l axe horizontal (Ox), s appelle l abscisse ; le deuxième nombre, lu sur l axe vertical (Oy), s appelle l ordonnée. axe des ordonnées (+2) A B (+1) (-5) (-4) (-3) (- 2) (-1) 0 (+1) (+2) (+3) (+4) (+5) axe des abscisses (-1) D (-2) C Exemple : A est le point d abscisse (+3) (on lit la graduation sur l axe des abscisses) et d ordonnée (+2). On écrit A(+3 ; +2). De la même manière, on a : B(- 5 ; +1) C(+5 ; - 3) D(- 2 ; - 2) Exercice : Place les points S(- 4 ; -1) ; T(-3 ; 3) ; U(3,5 ; -2) ; V(0 ; -2) et W(-2 ; 0). 14

15 Statistiques I- Vocabulaire Lorsque l on mène une enquête, on s intéresse à une population d individus. Ex : élèves d une classe, pays de l union européenne animaux d une région ) On en étudie une propriété commune appelée un caractère. Ex : taille des élèves, langue officielle des pays de l union européenne, régime alimentaire des animaux) Un caractère peut prendre plusieurs valeurs. II- Effectifs- Fréquences L effectif d une valeur dans une série statistique est le nombre de fois où cette valeur apparaît. La somme des effectifs est l effectif total. La fréquence d une valeur est le quotient de l effectif de cette valeur par l effectif total. Fréquence d une valeur = ex : Voici les notes obtenues par les élèves de la classe d Elise lors d un devoir (note sur 10) 6 ; 7 ; 2 4 ; 7 ; 4 ; 10 ; 7 ; 4 ; 4 ; 10 ; 2 ; 5 ; 5 ; 4 ; 6 ; 6 ; 7 ; 6 ; 7 Ces notes constituent un relevé statistique. La population est : les élèves de la classe Le caractère étudié est les notes obtenues au devoir Les valeurs du caractère sont 2, 4, 5, 6, 7, 10 Note Effectif Fréquence (sous forme de fraction) Fréquence (en valeur décimale) Fréquence (en %) total 20 0,1 0,25 0,1 0,2 0,25 0, Remarque : la somme des fréquences dans une série statistique vaut toujours 1 ou 100% 15

16 III- Représentation d une série statistique a) Diagramme en bâtons effectifs ayant obtenus une note donnée effectifs b) Diagrammes circulaires, semi-circulaires, en tuyaux d orgue, en bandes Lors d une enquête menée auprès d élèves de 5 e, la question suivante a été posée : «Que buvez-vous le plus?». Voici les résultats de l enquête : Boissons Jus de Soda Lait Eau autres Total fruits Effectif Angles Calcul des angles : 360 : : Diagramme en tuyaux d orgues Diagramme circulaire jus de soda lait eau autres Diagramme en bandes jus de fruits soda lait eau autres Dans un diagramme en tuyaux d orgue, la hauteur des barres est proportionnelle à l effectif. Dans un diagramme en bandes, la longueur des rectangles est proportionnelle à l effectif. Dans un diagramme circulaire ou semi- circulaire, la mesure des angles est proportionnelle à l effectif. 16

17 IV- Regroupements en classes Histogrammes Lorsque les données d une série statistique sont trop nombreuses, on les regroupe en classes pour faciliter leur lecture. ex : voici les tailles en centimètres de quelques joueurs de volley-ball : Ces tailles étant nombreuses et diverses, il est préférable de les regrouper par classes de même amplitude, ici 3 cm. Taille t (en cm) 182 t < t < t < t < 194 Effectif Taille t (en cm) 194 t < t < t < 203 Effectif Effectif t < t < t < t < t < t < t < Taille 191 t (en cm) taille en cm

18 Addition et soustraction de nombres relatifs I Addition de relatifs : 1) Pour additionner deux nombres de même signe : on écrit le signe commun aux deux nombres ; on ajoute les distances à zéro. Exemples : (+3,6) + (+6,4) 10 (-7,2) + (- 8,6) ( -15,8) 2) Pour additionner deux nombres de signes contraires : on écrit le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro ; on soustrait les distances à zéro. Exemples : (+ 26) + (- 39) (- 13) (+7,7) + (- 6,6) 1,1 3) Addition de deux nombres opposés : Exemple : (+ 7 ) + (- 7) 0 4) Addition de plusieurs nombres relatifs : Il y a 2 méthodes : On peut calculer les nombres par deux en partant de la gauche comme ci-dessous : A= (+3) + (-5) + (- 4) + (+9) A= ( - 2) + ( - 4) + ( + 9) A= ( - 6 ) + ( + 9) A= 3 On peut regrouper tous les positifs d abord puis tous les négatifs : A= (+3) + (-5) + (- 4) + (+9) A = (+3) + (+9) + (-5) + (-4) A = ( + 12) + ( - 9) A = 3 II Soustraction de deux nombres relatifs : Méthode : Pour soustraire un nombre relatif, on ajoute son opposé. Exemple : (+3) - (+ 9) (+3) + ( - 9 ) ( - 6) (+5) - (- 9) ( + 5) + ( + 9) = (+ 14) (- 9) - (- 12) ( - 9) + ( + 12) = ( + 3) 18

19 III- Simplifications et calculs d une suite d additions et de soustractions Règles de simplifications : On simplifie l écriture d une addition de deux nombres relatifs en supprimant le signe d addition, toutes les parenthèses et éventuellement le signe du premier nombre s il est positif: (+3) + (+5) (-3) + (-7) = (-5) + (+2) = Exemple : E = (+2) + (+6) + (-5) - (- 6) - (+7) + (- 8) E = ( + 2) + ( + 6) + ( - 5 ) + ( + 6 )+ ( - 7) + ( - 8) On transforme en une addition des opposés E On supprime les parenthèses et les signes d additions Première méthode : on calcule de gauche à droite. E E = E = E = Deuxième méthode : on regroupe les positifs d abord puis les négatifs E E = E = E = - 6 E = 2 8 E = - 6 III. Distance sur une droite graduée : Définition : Soient deux points A et B d abscisses respectives x A et x B. Si x A > x B alors AB = x A x B. Si x A < x B alors AB = x B x A. Remarques : 1 La distance s obtient en calculant la différence des abscisses dans le «bon ordre» : «l abscisse la plus grande» «l abscisse la plus petite» 2 Une distance est toujours positive. Exemple : Sur une droite graduée, on considère les points A(- 4), B(- 3), C( 1,5 ), D( 3,5 ) AB = - 3 ( - 4 ) BC = 1,5 ( - 3) CD = 3,5 1,5 AD = 3,5 ( - 4) AB = 1 BC = 4,5 CD = 2 AD = 7,5 19

20 Les parallélogrammes I- Définition A B Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles B Les côtés [AB] et [CD] sont parallèles Les côtés [AD] et [CB] sont parallèles D C II - Propriétés A B Si un quadrilatère est un parallélogramme O alors il a un centre de symétrie. D C O est le centre de symétrie Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses diagonales ont le même milieu. E O H O milieu de [EG] F G O milieu de [HF] Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés ont la même longueur. Si un quadrilatère est un parallélogramme alors les angles opposés ont la même mesure. III- Comment reconnaître un parallélogramme? Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles alors c est un parallélogramme. Si un quadrilatère a ses diagonales de même milieu alors c est un parallélogramme. Si un quadrilatère a ses côtés opposés de même longueur alors c est un parallélogramme. Si un quadrilatère a deux côtés opposés parallèles et de même longueur alors c est un parallélogramme. 20

21 Calcul littéral I- Le calcul littéral Une expression littérale est une expression dans laquelle un ou plusieurs nombres sont désignés par des lettres. exemples : le périmètre d un rectangle est : (L + l) 2 le périmètre du cercle est : π d Remarque : Dans l expression 5 x 6 x 4, la lettre x désigne le même nombre. II- Ecrire «en fonction de» Ecrire un résultat en fonction de x, c est trouver une expression où apparaît x. A B exemple 1: Ecrire la longueur AB en fonction de x : x AB = 20-3 x 20 exemple 2 : J ai choisi un nombre x. Je l ai multiplié par 5, puis j ai ajouté 7. Ecrire le résultat en fonction de x : 5 x + 7 III- Conventions d écritures Afin d'alléger les écritures, on convient des règles suivantes : Le signe de la multiplication disparaît: - entre deux lettres : a b = ab - entre un nombre et une lettre : 3 a ou a 3 s'écrit 3a - entre un nombre et une parenthèse : 4 ( 2x + 1) = 4( 2x + 1) Attention : On ne supprime pas le signe entre deux nombres sinon : 4 35 se lirait 435!!! Les facteurs s'écrivent dans l'ordre suivant : 1) Les nombres 2) Les lettres et dans l'ordre alphabétique 3) Les parenthèses. exemples : a 2 b = 2ab a ( x + 2 ) 4 b = 4ab ( x +2) 21

22 IV- Distributivité de la multiplication sur l addition et la soustraction PRODUIT SOMME SOMME PRODUIT k ( a + b ) = k ( a + b ) k a + k b = k ( a + b ) k ( a - b ) = k a k b k a k b = k ( a - b ) Je développe Je factorise On dit que la multiplication est distributive sur l addition et la soustraction exemple 1: Développer A, B et C : A = B = C = 4 ( x + 5) A = B = C = 4 x A = B = C = 4x + 20 A = 432 B = exemple 2: Factoriser D, E et F : D = 2, ,2 10 E = F = 11 a 11 7 D = 10 ( 2,8 + 3,2 ) E = 8 (120 20) F = 11 ( a 7 ) D = 10 6 E = D = 60 E = 800 G = 4x + 6x + x - 2x G = ( ) x G = 9x On dit que l on réduit l expression exemple 3: Réduire les expressions : 2a + 3a = 5a 14y 2y = 12y - 8b 2,5 + 3b + 3,5 = - 5b + 1 3y 5 x + 6 y + 6 x +12 = 2y + x

23 Les triangles I- Inégalité triangulaire: Dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés Dans le triangle ABC, on a : AB < AC + BC AC < AB + BC BC < AB + AC A B Si le point B appartient au segment [AC] alors AC = AB + BC C A B C Si A, B et C sont trois points tels que AB + BC = AC alors le point B appartient au segment [AC] (les 3 points sont alignés Remarque : Pour savoir si un triangle est constructible, il suffit de regarder si le plus grand des côtés est inférieur à la somme des 2 autres. Ex : Peut-on construire ABC avec AB = 6 cm ; AC = 3 cm et BC = 2 cm? AC + BC = AC + BC = 5 On a AC + BC < AB donc le triangle ABC n est pas constructible. II- Somme des angles dans un triangle Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180 B + + = 180 A C 23

24 III- Angles dans les triangles particuliers Triangle rectangle Si un triangle est rectangle, B alors la somme des mesures de ses angles aigus est égale à 90 Le triangle ABC est rectangle en A donc : + = 90 A C Triangle isocèle Si un triangle est isocèle alors il a deux angles de même mesure. H K PHK est isocèle en P donc : P = Triangle équilatéral Si un triangle est équilatéral alors chacun des ses angles mesure 60. R RST est équilatéral donc : = = = 60 T S 24

25 Opérations sur les nombres en écriture fractionnaire I- Addition et soustraction a- Si les dénominateurs sont les mêmes - On ajoute ou on soustrait les numérateurs - On garde le dénominateur commun Ex : + = - = b- Si les dénominateurs sont différents On commence par écrire les nombres avec le même dénominateur. On applique la règle précédente. Ex : A = + B = 2 - A = + B = - A = B = II- Multiplication On multiplie les numérateurs entre eux et on multiplie les dénominateurs entre eux. Ex : C = D = 3 C = D = Remarque : lorsque c est possible, penser à simplifier avant de calculer. E = E = = 25

26 I- Les hauteurs a) Définition Droites remarquables dans un triangle Dans un triangle, une hauteur est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet. b) Propriété des 3 hauteurs d un triangle Dans un triangle, les 3 hauteurs sont concourantes. (elles se coupent en un même point, l orthocentre) II- Les médiatrices a) Définition La médiatrice d un segment est la droite qui passe par le milieu du segment et qui est perpendiculaire à ce segment. Construction : 26

27 b) Propriétés Si un point est sur la médiatrice d un segment, alors il est à égale distance de ses extrémités. Si alors Si un point est à égale distance des extrémités d un segment, alors il est sur la médiatrice de ce segment. Si alors Application : construction de la médiatrice au compas Dans un triangle, les 3 médiatrices sont concourantes. Ce point est le centre d un cercle passant par les 3 sommets du triangle. Ce cercle est le cercle circonscrit au triangle. 27

28 III- Les médianes a) Définition Dans un triangle, une médiane est une droite qui passe par un sommet et par le milieu du côté opposé. K E G b) Propriétés des 3 médianes d un triangle Dans un triangle, les 3 médianes sont concourantes. IV- Les bissectrices Définition La bissectrice d un angle est la droite qui passe par son sommet et qui le partage l angle en deux angles adjacents de même mesure. Méthode de construction au compas : fig 1: avec le compas pointé en O (le rayon est quelconque) tracez un arc de cercle qui coupe les côtés en A et B. fig 2: avec le compas pointé en A (le rayon est quelconque, pas forcément égal au premier) tracez un arc dans l'intérieur de l'angle. fig 3: avec le compas pointé en B et le même rayon que ci-dessus, tracez un arc qui coupe l'arc de la figure 2 au point E. fig 4: La droite (OE) est la bissectrice demandée.

29 Les aires I- Mesures d aires (révisions) On mesure les aires en mètres carrés. Un mètre carré est l aire d un carré dont le côté mesure un mètre. 1 m² = 100 dm² (10 dm 10 dm). Tableau de conversion des unités d aires : km² hm² dam² m² dm² cm² mm² ha a ca Mesures agraires : 1 hectare = 1 ha = 1hm² 1 centiare = 1 ca = 1 m² 1 are = 1 a = 1dam² II- Aire d un triangle Pour calculer l aire d un triangle, on multiplie un côté par sa hauteur correspondante et on divise par 2 : h A = c h 2 Aire = c Ex : I H L H 2,4 cm 3 cm 2,8 cm 3,5 cm 2,1 cm T 2,8 cm R 2,4 cm O 5,3 cm E A = A = A = A = A = 3,36 A =3,36 29

30 L aire des triangles LIO et RTE est de 3,36 cm². III- Aire d un disque L aire d un disque de rayon R est égale à : R A = π R R π 3.14 ex : Aire d un disque de diamètre 6 cm. A = π 3 3 A = π 9 A 28,27 L aire d un disque de diamètre 6 cm est d environ 28,27 cm² IV- Aire d un parallélogramme hauteur Aire d un parallélogramme : A = côté hauteur côté 30

31 Les parallélogrammes particuliers I- Le rectangle : A C B D Propriétés : - Le rectangle est un parallélogramme particulier donc il en a toutes les propriétés. - Le rectangle a 4 angles droits. - Les diagonales du rectangle ont même longueur. Comment démontrer qu un quadrilatère est un rectangle? Si un quadrilatère a 3 angles droits alors c est un rectangle. Si un quadrilatère a ses diagonales de même longueur et qui se coupent en leur milieu alors c est un rectangle. Comment démontrer qu un parallélogramme est un rectangle? Si un parallélogramme a un angle droit alors c est un rectangle. Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur alors c est un rectangle. II- Le losange : A D C B Propriétés : - Le losange est un parallélogramme particulier donc il en a toutes les propriétés. - Le losange a 4 côtés de même longueur. - Le losange a ses diagonales perpendiculaires. Comment démontrer qu un quadrilatère est un losange? Si un quadrilatère a ses 4 côtés de même longueur alors c est un losange. Si un quadrilatère a ses diagonales perpendiculaires et qui se coupent en leur milieu alors c est un losange Comment démontrer qu un parallélogramme est un losange? Si un parallélogramme a 2 côtés consécutifs de même longueur alors c est un losange. Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires alors c est un losange. 31

32 III- Le carré : A B C D Propriétés : - Le carré est un parallélogramme particulier donc il en a toutes les propriétés. - Le carré est un losange particulier donc il en a toutes les propriétés. - Le carré est un rectangle particulier donc il en a toutes les propriétés. Comment démontrer qu un quadrilatère est un carré? Si un quadrilatère est à la fois un losange et un rectangle alors c est un carré. Si un quadrilatère a ses diagonales perpendiculaires, de même longueur et qui se coupent en leur milieu alors c est un carré. 32

33 Les volumes I- Unités de volumes On mesure les volumes en mètres cubes. Un mètre cube est le volume d un cube dont le côté mesure un mètre. 1 m 3 = dm 3 (10 dm 10 dm 10 dm). Tableau de conversion des unités de volumes et de capacités km 3 hm 3 dam 3 m 3 dm 3 cm 3 mm 3 hl dal L dl cl ml 1 L = 1 dm 3 1 m 3 = L 2. Calculer le volume d un prisme droit et d un cylindre de révolution Volume = aire de la base hauteur 1. 6 cm V 2. = 3 25 : cm cm V = cm 7 cm V = 18 le prisme droit a un volume de 18 cm 3. 3 cm cm En 3 particulier, cm 5 le cm volume du cylindre est : 8 cm 10 V = rayon rayon hauteur 7 cm 5 cm 4 cm 2 V = cm cm V = 36 6 cm 5 cm 9 cm V 113, 1 Le cylindre a un volume de 113,1 cm 3. 33