Un corrigé du baccalauréat blanc

Transcription

1 Un corrigé u baccalauréat blanc EXERCICE 1 (5 points. Commun à tous les caniats On a tracé ci-essous la courbe représentative C f une fonction f éfinie sur R ainsi que sa tangente au point A abscisse 2. Comme f est croissante sur ] ; 2] et écroissante sur [ 2; + [, sa fonction érivée f est positive sur ] ; 2] et négative sur [ 2;+ [. Ce ne peut onc être que la proposition (a.. Parmi les courbes représentées ci-essous, laquelle représente f la érivée secone e la fonction f? A 2 Comme après la courbe, la fonction est convexe sur ] ; 6] et concave sur [ 6;+ [, sa érivée secone f est positive sur ] ; 6] et négative sur [ 6;+ [. Ce ne peut onc être que la proposition (c. 5. Parmi les courbes représentées ci-essous, laquelle représente une fonction F telle que F = f? 1 1. Quelle est l équation e la tangente à C f en A? (a y = ex+ 2e (b y = x+ 2e (c y = ex+ e ( y = 5x+ e Parmi les trois équations e roites proposées, une seule correspon à une roite passant par le point (2; 0. En effet, pour x = 2, la proposition (a onne y = e 2+2e = 0 tanis que les autres propositions onnent, respectivement, y = 6+2e 0, y = 5e 0 et y = 10+e 0. Ce ne peut onc être que la proposition (a. 2. La fonction f est : (a concave sur ] ; 0] (b convexe sur ] ; 0] (c concave sur [0 ; 2] ( convexe sur [0 ; 2] Par lecture graphique, la fonction est convexe sur ] ; 6] et concave sur [ 6;+ [. Le seule proposition correcte est onc la (c.. Parmi les courbes représentées ci-essous, laquelle représente f la fonction érivée e la fonction f? Le signe e F = f onne les variations e F, or, par lecture graphique, F = f est positive sur ] ; 2] et négative sur [2;+ [ onc F est croissante sur ] ; 2] et écroissante sur [2; + [. Ce ne peut onc être que la proposition (b. (a (c 8 8 (b ( 0.5

2 2 EXERCICE 2 (5 points. Pour les caniats e la série ES n ayant pas suivi l enseignement e spécialité et pour les caniats e la série L Une enquête a été réalisée auprès es élèves un lycée afin e connaître leur point e vue sur la urée e la pause u mii ainsi que sur les rythmes scolaires. L enquête révèle que 55 % es élèves sont favorables à une pause plus longue le mii et parmi ceux qui souhaitent une pause plus longue, 95 % sont pour une répartition es cours plus étalée sur l année scolaire. Parmi ceux qui ne veulent pas e pause plus longue le mii, seulement 10 % sont pour une répartition es cours plus étalée sur l année scolaire. On choisit un élève au hasar ans le lycée. On consière les évènements suivants : L : l élève choisi est favorable à une pause plus longue le mii ; C : l élève choisi souhaite une répartition es cours plus étalée sur l année scolaire. Les calculs evront être justifiés par es formules. 1. Construire un arbre ponéré écrivant la situation. L et L réalisant, par éfinition, une partition e l univers, on a, après la formule es probabilités conitionnelles totales : 1 point ( P(C = P(C L + P = 0, P ( L C L P L (C = 0, (1 0,55 0,10 = 0, ,05 = 0, Calculer P C (L, la probabilité e l évènement L sachant l évènement C réalisé. En onner une valeur arronie à 10. P C (L= P(C L = 0, ,9207 P(C 0, On interroge ouze élèves au hasar parmi les élèves e l établissement. Le nombre élèves ans l établissement est suffisamment gran pour que le choix es élèves soit assimilé à un tirage avec remise. Soit X la variable aléatoire qui onne le nombre élèves favorables à une répartition es cours plus étalée sur l année scolaire. 0,55 L L 0,95 0,10 2. Calculer P(L C la probabilité e l évènement L C. C C C C P(L C =P(L P L (C = 0,55 0,95= 0,5225. Montrer que P(C =0,5675. (a Justifier que X suit une loi binomiale et préciser les paramètres e cette loi binomiale. Pour chaque élève il n y a que eux issues possibles : C (succès ou C (épreuve e BERNOULLI Le tirage est assimilé à un tirage avec remise onc les tirages sont ientiques et inépenants (schéma e BERNOULLI. X est la variable aléatoire qui onne le nombre e succès. X suit onc une loi binomiale e paramètres n= 12 et p = 0,5675. (b Calculer la probabilité qu exactement les trois quarts es élèves interrogés soient favorables à une répartition es cours plus étalée sur l année scolaire. En onner une valeur arronie à 10. p(x = 9= ( , (1 0,5675 0,1087

3 (c Calculer la probabilité qu au moins un tiers es élèves soient favorables à une répartition es cours plus étalée sur l année scolaire. En onner une valeur arronie à 10. Partie A. 1. Ce graphe est-il complet? Justifier et interpréter votre réponse en termes e ranonnée. p(x =1 p(x < =1 p(x 0,971 EXERCICE 2 (5 points. Pour les caniats e la série ES ayant suivi l enseignement e spécialité Un groupe amis part en ranonnée en Corse et ésire passer plusieurs jours à écouvrir 7 lacs e montagne. Pour optimiser leur trajet, ils écient e préparer leur ranonnée en se servant un graphe. Ils nomment A, B, C, D, E, F et G les 7 lacs qu ils représentent par es sommets, les arêtes u graphe représentent les sentiers possibles pour rejoinre eux lacs. Voici leur graphe : F Ce graphe n est pas complet car tous les sommets ne sont pas ajacents (B et D, par exemple. Cela signifie qu il n y a pas toujours e sentier entre eux lacs. 2. Ce graphe est-il connexe? Justifier. La chaîne AGBEDCG, par exemple, passant par tous les sommets, cela signifie qu il existe toujours pour eux sommets quelconques une chaîne ont ces eux sommets sont les extrêmités. Donc ce graphe est connexe.. Donner l orre u graphe et éterminer le egré e chacun e ses sommets. A B E C Le graphe est orre 7. Sommet A B C D E F G Degré 2 2 D. Déterminer le nombre arêtes u graphe en justifiant à l aie e la question précéente. G La somme es egrés es sommets est le ouble u nombre arêtes, onc ce nombre vaut = 22 = Déterminer la matrice ajacence M e ce graphe. Sauf si cela est précisé, on ne emane pas e justification.

4 Partie B. En prenant les sommets ans l orre alphabétique : M = Les amis peuvent-ils parcourir tous les sentiers sans repasser eux fois par le même sentier? Si oui, onner un exemple e ranonnée possible ; si non, justifier. C est possible. Par exemple : ECDEBFCGABGD. 2. L un es amis insiste pour parcourir tous les sentiers sans repasser eux fois par le même, tout en faisant ce qu il appelle une boucle, c est-à-ire en revenant au point e épart. (a Justifier que cela n est pas possible. Les sentiers étant les arêtes u graphe, cela revient à chercher si le graphe contient un cycle eulérien. Pour cela, après le théorème EULER, il faut qu il soit connexe et qu il ne comporte que es sommets pairs, or, s il est bien connexe, eux sommets sont impairs onc il ne contient pas e cycle eulérien. Une telle boucle est onc impossible. 1 point (b Proposer une moification u graphe pour que cela le soit en justifiant. (c Interpréter votre moification en termes e ranonnée. Cela revient à ne pas tenir compte u sentier entre les lacs E et D ans leur projet e ranonnée. 0,25 point Partie C. Certains amis ont peur e ne pas tenir le rythme, aussi écient-ils e se concentrer sur le lac A et le lac D et e se limiter à es ranonnées e étapes, c est-à-ire comportant exactement sentiers. Combien y a-t-il e ranonnées e étapes conuisant u lac A au lac D? Justifier. M inique le nombre e chaînes e longueur quatre entre tous les sommets u graphe. Le coefficient e M e la ligne 1 colonne (ou colonne 1 ligne est 12. Il y a onc 12 chaînes e longueur entre les sommets A et D, soit 12 ranonnées e étapes conuisant u lac A au lac D. EXERCICE (5 points. Commun à tous les caniats Le responsable u foyer es jeunes un village a écié organiser une brocante annuelle. Pour la première brocante, en 2012, il a recueilli 110 inscriptions. D après les renseignements pris auprès autres organisateurs ans les villages voisins, il estime que une année sur l autre, 90 % es exposants se réinscriront et que 0 nouvelles emanes seront éposées. On ésigne par u n le nombre exposants en (2012+n avec n un entier naturel. Ainsi u 0 est le nombre exposants en 2012, soit u 0 = Quel est le nombre exposants attenu pour 201? Pour que tous les sommets soient pairs, il suffit e supprimer l arête entre les sommets E et D qui evienraient e egré 2. 0,25 point u 1 = 0,90 u 0 + 0= exposants sont onc attenus pour ,25 point 2. Justifier que, pour tout entier naturel n, u n+1 = 0,9u n + 0.

5 u n+1 est la somme es exposants e l année précéante se réinscrivant, soit 0,9 u n, et es 0 nouvelles emanes. (v n étant géométrique v n = v 0 q n = 190 0,9 n. Or v n = u n 00 u n = v n + 00= 190 0,9 n Vu la configuration actuelle e la manifestation ans le village, le nombre exposants ne peut pas excéer 220. (a Recopier et compléter l algorithme proposé ci-essous afin qu il permette e éterminer l année à partir e laquelle l organisateur ne pourra pas accepter toutes les emanes inscription. Initialisation : Affecter à u la valeur 110 Affecter à a la valeur 2012 Traitement : Tant que u 220 Affecter à u la valeur 0,9 u+ 0 Affecter à a la valeur a+ 1 Sortie : Afficher a (b Iniquer la valeur qu affiche l algorithme. L algorithme affiche la valeur Pour tout entier naturel n, on pose v n = u n 00. (a Démontrer que la suite (v n est une suite géométrique e raison 0,9. v n+1 = u n+1 00 = 0,9 u n = 0,9 u n 270 ou = 0,9 u n 270 ( = 0,9 u n 270 0,9 = 0,9 (v n = 0,9(u n 00 = 0,9v n = 0,9v n = 0,9v n (v n est onc une suite géométrique e raison 0,9. 1 point (b En éuire que pour tout entier naturel n, u n = 190 0,9 n Dans cette question, toute trace e recherche, même incomplète, ou initiative, même non fructueuse, sera prise en compte ans l évaluation. Retrouver le résultat que renvoie l algorithme e la question a en utilisant la formule e la question b. Plusieurs méthoes sont envisageables. En voici quelques unes. En utilisant un autre algorithme. L algorithme suivant utilise la formule e la question a : Initialisation : Affecter à u la valeur 110 Affecter à n la valeur 0 Traitement : Tant que u 220 Affecter à n la valeur n+ 1 Affecter à u la valeur 190 0,9 n + 00 Fin u Tant que Affecter à a la valeur n Sortie : Afficher a Cet algorithme affiche lui aussi En étuiant la suite u n. La calculatrice inique que u et u Comme 0<0,9< 1, on a : 0,9 n > 0,9 n ,9 n < 190 0,9 n ,9 n + 00 < 190 0,9 n u n < u n+1 On a onc u 8 < 220<u 9 et une suite (u n strictement croissante. C est onc à partir u rang n = 9, soit à partir e = 2021 que le nombre exposants excèera 220.

6 Par le calcul ,9 n + 00 > ,9 n > 80 0,9 n < 80 ln(0,9 n < ln ( 8 n ln0,9 < ln ( 8 n > ln( = ln0,9 car ln0,9< 0 Or ln( ,2, c est onc à partir u nombre entier n = 9, soit à partir ln0,9 e = 2021 que le nombre exposant excèera 220. Par le calcul ,9 n + 00 > ,9 n > 0 Or, 190 étant strictement négatif et 0,9 n strictement positif, le prouit es eux ne pourra pas être strictement supérieur à 0. Cette inéquation n a onc pas e solution, c est-à-ire qu il n existe pas e n tel que le nombre exposants u n sera strictement supérieur à 00. L organisateur a onc raison. EXERCICE (5 points. Commun à tous les caniats 6 6. L organisateur écie effectuer une émarche auprès e la mairie pour obtenir assez e place pour ne jamais refuser inscriptions. Il affirme au maire qu il suffit e lui autoriser 00 emplacements. A-t-il raison e proposer ce nombre? Pourquoi? Là aussi plusieurs méthoes possibles. En voici quelques unes. En étuiant la suite (u n. Comme 0<0,9<1, lim 0,9 n = 0 onc limu n = = 00. De plus : Comme 0<0,9<1, on a : 0,9 n > 0,9 n ,9 n < 190 0,9 n ,9 n + 00 < 190 0,9 n u n < u n+1 (u n est onc strictement croissante et ten vers 00 : u n sera onc toujours strictement inférieur à 00. L organisateur a onc raison. On consière la fonction f éfinie sur l intervalle [0; ] par f (x=(xe x +2. Partie A. 1. On ésigne par f la érivée e la fonction f. (a Montrer que l on a, pour tout x appartenant à l intervalle [0; ], f (x=(7 xe x. f est e la forme u v+w où u(x=x, v(x=e x et w(x= 2. Et u (x=, v (x=( 1e x et w (x=0. Or f = u v+ u v + w Donc f (x = e x + (x ( 1e x + 0 = [+(x ( 1]e x = ( x+ e x = (7 xe x (b Étuier les variations e f sur l intervalle [0; ] puis resser le tableau e variations e f sur cet intervalle. Toutes les valeurs u tableau seront onnées à 10 2.

7 Comme e x > 0, f (x sera u signe e (7 x où : 1,25 point Partie B. x Déuire e la partie A le signe e f (x selon les valeurs e x sur l intervalle [0; ]. f (x + 0 2,29 f 2 2,15 D après le tableau es variations, on a : x 0 α f (x (a Montrer que l équation f (x = 0 amet une unique solution α sur l intervalle [0; ]. Sur [ 7 ; ], après le tableau es variations e f, le minimum e f (x est f (>0onc f (x=0n a pas e solution sur [ 7 ; ]. Sur [ 0; ] 7, comme : f est continue, f est strictement croissante, f (0<0< f ( 7 alors, après le théorème es valeurs interméiaires, l équation f (x=0 amet une unique solution sur [ 0; ] 7. Donc, sur [0; ], l équation f (x=0 amet une unique solutionα. (b Donner à l aie e la calculatrice, une valeur approchée eαà0,01 près. 2. On consière la fonction F éfinie sur l intervalle [0; ] par F (x = (1 xe x + 2x. (a Montrer que F a pour érivée f sur [0; ]. F est e la forme u v+w où u(x=1 x, v(x=e x et w(x=2x. Et u (x=, v (x=( 1e x et w (x=2. Or F = u v+ u v + w Donc F (x = e x + (1 x ( 1e x + 2 = [ +(1 x( 1]e x + 2 = ( 1+xe x + 2 = (x e x + 2 = f (x (b En éuire les variations e F sur [0; ]. D après la calculatrice : x 0,6 α 0,7 f (x 0, ,00 7 Doncα 0,6 ouα 0,7 sont es valeurs approchées eαà 0,01 près. Vous traiterez, au choix, la partie B ou la partie C. Le signe e F (x= f (x nous onne les variations e F : F est écroissante sur [0; α] F est croissante sur [α; ]

8 Partie C. On ésigne par f la érivée secone e la fonction f. 1. Montrer que l on a, pour tout x appartenant à l intervalle [0; ], f (x= (x 10e x. f est e la forme u v où u(x=7 x, et v(x=e x. Et u (x= et v (x=( 1e x. Or f = u v+ u v Donc f (x = e x + (7 x ( 1e x = [ +(7 x( 1]e x = ( 7+xe x = (x 10e x 2. Déterminer l intervalle sur lequel la fonction f est convexe. e x > 0 onc f (x sera u signe e x 10. D où : 8 x 0 10 f (x 0 + f f concave convexe f est onc convexe sur [ 10 ; ].. Montrer que la courbe représentative C e la fonction f possèe un point inflexion ont on précisera l abscisse. Comme f (x s annule et change e signe en 10, la courbe représentative C e f possèe un point inflexion abscisse 10.