ICE3 - Circuit mobile dans un champ magnétique stationnaire

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1 Nous allons étudier dans ce chapitre l autre facette de l induction, celle de Lorentz où un circuit est mobile dans un champ magnétique stationnaire, c est-à-dire constant dans le temps. Nous en avons déjà vu des exemples lors de l étude de la force de Lorentz, mais nous allons en profiter pour utiliser les lois de l induction et effectuer des bilans énergétiques. I Conversion de puissance mécanique vers électrique 1) Rails de Laplace L étude qui va suivre doit servir de modèle lorsqu on aborde un système faisant intervenir à la fois le phénomène d induction et un déplacement mécanique. On a déjà observé que l application d un courant dans un tel circuit permettait de mettre en mouvement la barre. On va maintenant présenter le phénomène inverse. a) Dispositif On rappelle le dispositif employé, constitué de deux rails conducteurs parallèles, distants d une longueur a et reliés par un fil d un coté, le circuit étant alors fermé électriquement grâce à une tige mobile conductrice de masse m placée verticalement aux rails et tirée par une force constante F = F e x. qui lui a donné naissance. L opérateur qui exerce la force F va donc devoir compenser au minimum cette force s il veut maintenir la translation. c) Equation électrique Calculons d abord le flux du champ magnétique. D après l orientation de la surface, le vecteur surface est orienté selon e z et vaut S = ax(t) e z. Ainsi Φ = B S = Bax(t). On peut alors appliquer la loi de Faraday, comme le déplacement de la tige coupe des lignes de champ durant son déplacement : e = dφ dt Le circuit peut être modélisé électriquement en tenant compte de la résistance des fils et du générateur de tension e (attention à l orientation de e, qui doit être dans le sens du courant). On peut alors écrire la loi des mailles : 0 = Ri e = Ri + Bav x (t) = Ba dx dt = Bav x(t) L ensemble est plongé dans un champ magnétique permanent B = B e z. On n oublie pas enfin d orienter le circuit, pour fixer le sens du vecteur surface. b) Principe de fonctionnement Avant de résoudre des équations, on peut simplement se demander quel phénomène va se produire. Le déplacement de la tige a pour conséquence l augmentation de la surface traversée par le champ magnétique, donc du flux magnétique Φ. Il y a donc apparition d une force électromotrice induite, en vertu de la loi de Faraday, et donc d un courant induit. La barre est alors soumise à une force de Laplace dont on peut prévoir qualitativement le sens : d après la loi de Lenz, le courant induit crée une force qui s oppose au mouvement Remarque : nous avons négligé le phénomène d auto-induction. En théorie il faudrait ajouter dans le circuit électrique une bobine, et donc ajouter L di dans l équation précédente. dt Néanmoins il parait légitime ici de négliger son effet, dans la mesure où l on a une seule spire de courant. Cependant ce ne sera pas toujours le cas (confère la deuxième partie). d) Equation mécanique L apparition d un courant a fait apparaître une force de Laplace, dont nous pouvons calculer sa norme. En effet, pour une tige rectiligne, la force de Laplace s exprime par F L = i(a e y ) B = iab e y e z = iab e x. Cette force s oppose bien au mouvement, comme le courant est négatif. Les forces s exerçant sur la barre sont donc : son poids, orienté vers le haut la réaction des deux barres parallèles, vers le bas la force de Laplace la force exercée par l opérateur. L application du principe fondamental de la dynamique conduit alors à 1 E. Van Brackel

2 m d v dt = P + N + F + F L soit projeté selon l axe x : m dv x dt = iab + F On aboutit donc à deux équations couplées, que l on peut néanmoins très facilement découpler. En effet i = Bav x R et donc finalement m dv x dt = a 2 B2 R v x + F que l on réécrit sous une forme canonique dv x dt + 1 τ v x = F m où τ = mr est un temps caractéristiques. (Ba) 2 Plusieurs remarques : la force de Laplace est ici équivalente à une force de frottements fluides, s opposant ainsi au déplacement de la tige, conformément à notre analyse initiale. On aboutit à une équation différentielle du premier ordre, soluble très facilement, où l on tend vers une vitesse limite constante caractérisée, comme pour la chute libre, par l exacte compensation entre la force de frottements et la force exercée ici par l opérateur. e) Bilan de puissance Méthode Une méthode qui s applique toujours pour obtenir un bilan de puissance d un système électromécanique consiste à multiplier par i l équation électrique, et par v l équation mécanique Appliquons cette méthode ici, on obtient ei = Ri 2 = Bav x i et m dv x dt v x = Fv x + iabv x où on reconnaît la dérivée de l énergie cinétique de c dt = m dv x dt v x et E c = 1 2 mv2 x. On aboutit, en éliminant le terme de couplage Bav x i, à de c dt = Fv Ri2 soit finalement Fv x = de c dt + Ri2 Cette équation traduit explicitement les échanges de puissance : la puissance fournie par la force motrice exercée par l opérateur permet d une part de mettre la tige en mouvement (puissance cinétique) et d autre part génère un courant qui, si le système n est pas relié à un dipôle l utilisant à bon escient, est simplement dissipé par effet Joule. En outre, on constate que la puissance de la fém vaut P fem = ei = Bav x i et que la puissance des forces de Laplace vaut l opposé : P L = F L v = iabv x. Ainsi, et c est général, pour un circuit mobile dans un champ magnétique stationnaire, la somme de la puissance de Laplace et de la fém induite est nulle : P fem + P L = 0 2) Freinage par induction On l a vu dans l exemple précédent, la force magnétique qui peut apparaitre à cause du phénomène d induction s oppose au mouvement du conducteur qui a été la cause du phénomène d induction. Dès qu il y a conversion de puissance mécanique en puissance électrique, l action mécanique de Laplace est une action de freinage, conformément à la loi de Lenz. Cela a plusieurs applications intéressantes : Freinage par induction sur les TGV ou les camions Récupération d énergie lors de ce freinage, afin de convertir l énergie cinétique du véhicule en énergie électrique (voitures hybrides) A noter que lorsque le conducteur en mouvement n est plus filiforme, la modélisation développée jusqu à présent n est plus valable, mais les phénomènes restent qualitativement les mêmes. Il y a apparition de courants induits à l intérieur du conducteur, répartis dans tout le volume, et sont appelés courants de Foucault. Ces derniers provoquent, du fait du champ magnétique, des efforts de Laplace qui vont s opposer au mouvement. On retrouve également les courants de Foucault lorsque le conducteur est fixe mais le champ magnétique instationnaire, l exemple le plus simple étant la plaque à induction, où le courant induit provoque l échauffement de la casserole. II Conversion de puissance électrique vers mécanique Avant de présenter les différents types de moteurs, on va étudier un exemple qui se rapproche du rail de Laplace, et qui fait partie du quotidien de tout un chacun : le haut-parleur. 1) Principe Un haut-parleur est composé d un aimant permanent et fixe, permettant de créer du fait de sa géométrie un champ magnétique radial d intensité constante B. Une membrane de masse m est reliée mécaniquement à cet aimant par une suspension modélisée par un ressort de constante de raideur k. Un cylindre portant un circuit bobiné de longueur l b peut se déplacer librement dans l entrefer de l aimant. Lorsqu un courant circule dans la bobine, la 2 E. Van Brackel

3 membrane est mise en mouvement par des forces de Laplace, et crée une onde de pression, à l origine du son. A noter que, comme dans le cas précédent, si une onde de pression vient rencontrer et mettre en mouvement la membrane, une fém induite pourra être récupérée : c est le principe du microphone! Bien souvent les systèmes électromécaniques sont réversibles. 2) Mise en équation a) Equation mécanique Calculons dans un premier temps la force de Laplace. On négligera l hélicité de la bobine, et l on se place dans un repère cylindrique. B s exprime par B = B e r (le champ est dirigé du Sud vers le Nord!), tandis qu un petit élément d une spire s écrit dl = dl e θ. Par conséquent la force de Laplace élémentaire vaut df L = i dl B = idlb e θ e r = idlb e z L expression est indépendante du courant et du champ, on intègre alors sur tout le fil, de longueur l b, pour obtenir F L = i l b B e z. On rend compte du couplage de la membrane avec l air par des frottements visqueux (sans frottements, pas d air déplacé et donc pas de son) de la forme F f = γv z ez, tandis que le ressort exerce une force de rappel de la forme F r = kz e z où la membrane est repérée par rapport à sa position au repos. L application du principe fondamental de la dynamique permet d aboutir, une fois les forces projetées selon l axe z, à b) Equation électrique m dv z dt = kz γv z + il b B Méthode Si on connaît la résultante des forces de Laplace, ou des moments associés aux forces de Laplace, il est plus judicieux de calculer directement la fém induite en se servant du bilan de puissance établi dans la section précédente : P fem + P L = 0 Le calcul du flux du champ magnétique n est pas aussi évident que dans le système précédent, on va alors se servir de la méthode : P fem + P L = 0 = ei + F L v = ei + il b Bv z ainsi on obtient directement la fém e = l b Bv z Le circuit étant bobiné, il convient de prendre en compte le phénomène d auto-induction en introduisant une bobine d inductance L. La loi des mailles dans le circuit électrique équivalent permet d écrire E = Ri + L di dt e 3 E. Van Brackel

4 3) Bilan énergétique (Entraînez-vous à l obtenir en écrivant au crayon ou sur une feuille à part) Interprétation : III Applications aux systèmes tournants Le systèmes précédents permettent un calcul aisé ainsi qu un bilan de puissance quantitatif à partir d un petit nombre de paramètres. Les principes généraux vont pouvoir être appliqués sur des objets plus complexes tels que les moteurs, qui bien souvent peuvent également jouer le rôle de producteur d électricité (alternateur, dynamo,..). 1) Moteur à courant continu a) Principe de fonctionnement On va se baser sur les résultats obtenus au chapitre ICE1 : un cadre mobile (le rotor) alimenté par un courant continu, subit un champ magnétique B uniforme (créé par la pièce fixe, le stator), et est soumis à des forces de Laplace sur chacune de ses arêtes, dont la résultante est nulle, mais le moment de forces est non nul : Γ = m B où m = i S est le moment magnétique associé à la spire de courant orientée. Ce moment, comme on l a vu, permet la rotation du cadre mobile autour de son axe de symétrie, jusqu à ce que le moment s aligne dans le sens du champ magnétique, dont on rappelle qu il s agit d une position d équilibre stable. Pour cette spire, on peut calculer la fém induite en utilisant le bilan de puissance : P fem + P L = ei + Γω = 0 soit e = SBω. On constate que la fém est proportionnelle à la vitesse de rotation, à l instar des rails de Laplace où elle était proportionnelle à la vitesse. b) Structure physique - nécessité d un commutateur Ci-contre correspond un dessin de moteur continu usuel. La première constatation est qu il n y a pas qu une seule spire, mais un grand nombre, pour permettre de découpler les efforts sur une multitude de spires. Les lois précédemment obtenues restent vraies pour l enroulement de spires, et l on aboutit à des relations du type : e = Kω et Γ = Ki où K est une constante de proportionnalité, homogène à un flux magnétique. Un problème subsiste, il faut intervertir le sens du courant tous les demi-tours, sinon la spire reste à l équilibre (2e figure ci-dessus). C est le rôle du commutateur (aussi appelé collecteur) : le but est qu à chaque demi-tour, le courant dans la spire soit inversé. Le commutateur frotte sur la surface de la bague tournante, le contact électrique étant assuré par des "balais". Le souci majeur vient de l usure de ces pièces mécaniques et donc il nécessite un entretien régulier, auquel s ajoutent des frottements. 4 E. Van Brackel

5 d) Bilan de puissance On peut enfin effectuer un petit bilan de puissance : c) Equations électro-mécaniques Pour l équation électrique, si on ne prend pas en compte les effets inductifs éventuels (on est en courant continu!), on a simplement un générateur de tension u reliant une résistance (celle du bobinage) et la fem, soit u = Ri e = Ri + Kω D un point de vue mécanique, on est en présence d un système tournant autour d un axe fixe ( ), on applique donc le théorème du moment cinétique scalaire, sachant que l on peut relier le moteur à une charge mécanique, ce qui induit un couple résistant Γ r : J dω dt = Ki Γ r où J est le moment d inertie du système par rapport à l axe. En régime stationnaire, le couple développé par le moteur doit compenser exactement ( le couple résistant. Or, U Γ = KI = K R K ) R ω soit Γ = KU R K2 R ω Graphiquement on peut donc obtenir le point de fonctionnement, lieu d intersection entre le couple résistant et le couple développé. On remarque que, pour un couple résistant donné, la vitesse de rotation est proportionnelle au courant, comme le couple moteur est proportionnel au courant! C est un résultat utile pour le pilotage des moteurs! Un moteur est en général conçu pour fonctionner avec une charge bien définie et une vitesse de rotation bien définie, ce que l on appelle le point de fonctionnement nominal, où le rendement de conversion électromécanique est maximal. C est en général une caractéristique indiquée sur les moteurs. A noter qu on appelle souvent l ensemble des pertes par effet Joule et des pertes par frottements les pertes collectives. On définit enfin le rendement comme η = P utile. A noter P fournie que ce rendement est en général faible : environ 30% dans le meilleur des cas! e) Applications On trouve ces moteurs dans de nombreux systèmes du quotidien : ils actionnent tous les systèmes tournants de petite taille (dans l ordinateur, la voiture, dans les robots,..). ils sont utilisés dans les appareils électroménagers (robots, mixer), ce sont des moteurs à courant continu "détournés" car alimentés par un courant alternatif à la fois pour le rotor comme le stator (une bobine crée un champ magnétique), ce qui remplace l utilisation d un collecteur (=moteur universel). il ne faut pas oublier que ce type de convertisseur électromécanique est réversible : si on tourne mécaniquement l axe du moteur, on crée du courant, c est une dynamo (ou génératrice)! 2) Moteur synchrone a) Principe Les connaissances acquises dans les chapitres précédents permettent maintenant d aborder le moteur synchrone. L idée est d employer un champ magnétique tournant (stator), que l on peut réaliser avec 2 ou 3 bobines (ou davantage!), et de placer dans ce champ magnétique tournant un aimant permanent, de moment magnétique non nul (rotor). Qualitativement, le moment magnétique cherche à s aligner avec le champ magnétique, et va donc tenter de le suivre en tournant à son tour. Cependant, la vitesse de rotation du moment magnétique est nécessairement la même que celle du champ, d où son nom (synchrone). 5 E. Van Brackel

6 En effet, supposons que le champ tourne à la pulsation Ω, et le moment magnétique à ω 0. Le moment résultant sur l aimant vaut Γ = m B = mb sin (Ω ω 0 )t + φ 0 ) où φ 0 est l angle entre B et m à t=0. Si Γ on moyenne dans le temps, = 0 si Ω ω 0. Par conséquent le couple développé est nul, et globalement l aimant ne va pas se déplacer.. Il y a donc synchronisme entre les deux vitesses de rotation pour que le système puisse véritablement tourner et fournir un couple non nul. Dans cette configuration, il pourra y avoir un équilibre stable : si on se place dans le référentiel tournant à la vitesse de rotation Ω, moment et champ seront fixes l un par rapport à l autre. A noter que, lorsqu un couple résistant est appliqué, et que le moteur tourne à vitesse constante, on doit avoir égalité entre les deux couples : Γ = Γ r = mb sin(φ 0 ) soit sin(φ 0 ) = Γ r. On constate que le moment magnétique est toujours en retard sur le champ, mb et que ce retard croît à mesure que le couple résistant augmente. b) Applications Détaillons les divers avantages et inconvénients qui sont liés à son utilisation : contrôle précis de la vitesse de rotation, quelque soit le couple (pourvu qu il ne soit pas trop grand) : utilisation adéquate dans des usines de production où l on souhaite une rigueur dans les vitesses permet de développer de fortes puissances : il équipe par exemple la ligne TGV Atlantique... son fonctionnement est réversible : on peut s en servir comme alternateur (dans toutes les centrales, qu elles soient hydrauliques, nucléaires, thermiques!) pour produire un courant alternatif très bon rendement, supérieur à 95%! Un inconvénient majeur, cependant, réside dans leur démarrage : en effet, on peut faire une expérience simple et placer une aiguille fixe dans un champ tournant, on se rendra compte que l aiguille ne se mettra en mouvement que si on lui donne une vitesse initiale... Par conséquent, certains moteurs synchrones sont lancés par des moteurs différents, ou d autres techniques plus sophistiquées. 3) Moteur asynchrone a) Principe L idée du moteur asynchrone consiste à remplacer le rotor précédent par un circuit mobile, sans source, par exemple une spire rectangulaire comme pour le moteur à courant continu. Du fait du chmap magnétique variable, des courants sont induits dans la spire, ce qui implique des forces de Laplace. Qualitativement, on peut s attendre par la loi de Lenz à ce que le cadre mobile tourne en essayant de suivre le champ magnétique afin de faire en sorte que le flux reste constant. Une propriété remarquable est que la fréquence de rotation du moteur est nécessairement inférieure à Ω, vitesse de rotation de B, sinon dans le repère du champ tournant, il n y aurait pas de phénomène d induction, et donc pas de couple. b) Point de fonctionnement On peut tracer l allure du couple développé par le moteur asynchrone en fonction de la fréquence de rotation, afin de connaître le point de fonctionnement : Dans ce graphique, R correspond à la résistance du bobinage, L à son inductance, S sa section, et B 0 l intensité du champ tournant. Plusieurs remarques : Pour les fréquences comprises entre 0 et Ω le fonctionnement de la machine est moteur, car Γ > 0 et ω > 0. A pulsation nulle, le couple développé est non nul, ce qui permet de faire démarrer le moteur sans soucis (contrairement au moteur synchrone) : on peut même l augmenter en augmentant la résistance dans l induit, pour la diminuer une fois que le moteur prend de la vitesse. Il y a deux points de fonctionnement possibles si le couple résistant vérifie Γ r < (B 0S) 2, mais seul celui de droite est stable. En effet, si le moteur tourne 4L un peu plus vite, son couple moteur diminue, et il ralentit. Inversement, si le moteur 6 E. Van Brackel

7 ralentit, le couple augmente, et donc il va accélérer. La situation est contraire pour le point de fonctionnement de gauche (vérifiez!) Le point de fonctionnement déterminé précédemment indique que la vitesse de rotation dépend de la charge appliquée, contrairement au moteur synchrone. Néanmoins, la valeur de R L dépasse rarement 2 3 rad.s 1, donc une variation maximale de 50 tours.min 1 (à comparer à la fréquence de rotation du moteur de N 3000 tours.min 1 ). c) Applications Du fait d excellents rendements (très proches de 1), ces moteurs sont utilisés dans de nombreuses machines tournantes nécessitant un couple important, pas de vitesse de rotation précise. Ils sont robustes, bon marché (pas d aimant!), sans entretien. Au quotidien, on en trouve dans les VMC, le chauffage central, les pompes de vidange de machine à laver. Ils équipent de nombreux TGV dont la ligne Eurostar. Enfin, ils sont réversibles, à la seule condition qu on alimente le rotor avec un courant continu pour qu il y ait un champ magnétique créé au niveau du rotor, qui induise une fém dans le stator ( car faire tourner une spire dans un bobinage n a jamais créé de courant...). 7 E. Van Brackel