Reproduction d un objet à l échelle. d. Agrandissement / reproduction aux dimensions réelles / réduction.

Transcription

1 Reproduction d un ojet à l échelle.. Echelle. a. Définition.. Calculer une échelle. c. Exemple de calculs. d. grandissement / reproduction aux dimensions réelles / réduction. e. Utilisation d échelle.. Effet d une échelle sur les aires et les volumes. a. ur les aires.. Exemples. c. ur les volumes. d. Exemples.. ection d une pyramide et d un cône par un plan parallèle à sa ase. a. Découverte.. Conséquence. c. pplications. 4. Exercices divers.

2 Echelle.. Définition : voir cours proportionnalité 5 ème. a. Deux ojets sont à l échelle quand leurs longueurs correspondantes sont dans un rapport de proportionnalité. Exemple : soit deux rectangles dont le taleau ci-dessous donnent les longueurs et largeurs. Longueur Largeur Rectangle 8 cm 8 cm Rectangle 98 cm cm n n Longueurs et largeurs sont dans la même proportion, ces deux rectangles sont dans un rapport d échelle.. Calcul de l échelle : e. Une échelle fait la plupart du temps intervenir un ojet de référence dont on fait une représentation : Un terrain dont on fait une carte, un âtiment dont on fait une maquette, etc Nous noterons distances réelles les distances relatives à l ojet de référence. e dist. sur. la. reproduction dist. réelle IPERIVEEN les mêmes unités en numérateur et dénominateur! c. Exemple de calcul d échelle : n :0 cm sur une carte représentent km dans la réalité. 0. cm 0. cm e. km cm 0 e e 0000 eul le fait d avoir la même unité permet d arriver à un rapport de proportionnalité interprétale : les distances réelles sont fois plus grandes que les distances sur la carte. Les distances sur la carte sont fois plus petites que les distances réelles. n : Une actérie de 8µm est représentée par une photo de 4cm. 4cm 40mm e 8µm 8µm 40000µm e 8µm 8 eul le fait d avoir la même unité permet d arriver à un rapport de proportionnalité interprétale : la photographie est un agrandissement de

3 d. grandissement / reproduction aux dimensions réelles / réduction. a e i a < : Réduction. i a : dimensions réelles. i a > : agrandissement. e. Utilisation d échelle : Exemple : ur une carte à l échelle e : deux villes sont séparées de 5cm Calculons la distance réelle entre ces deux villes. e d. carte d. réelle 5. cm d. réelle d. réelle cm cm 7,5. km Exemple : Quelle est la distance sur une carte à l échelle distantes de 08 km? entre deux villes d. carte d. carte 08. km cm e d. carte 4,. cm d. réelle 08. km Effet d une échelle sur les aires et les volumes. a) ur les aires : Une aire se calcule toujours à partir du produit de deux longueurs. Carré : c c Rectangle : l L riangle : ase hauteur Disque : π r r etc Prenons le cas d un carré de côté C. on aire vaut : C² Prenons maintenant une représentation de ce carré à l échelle Notons par C et a C' e C' C ' son côté et son aire. ac ' Calculons maintenant la proportion : a e ac. on aire vaut alors : ' C' C a a C ' a e C Conclusion : Le rapport de proportionnalité entre les aires n est pas le même que celui entre les longueurs! Il est égal au carré de celui entre les longueurs. En résumé : si les longueurs d un ojet sont multipliées (ou divisées) par un nomre k, alors ses aires le sont par k.

4 ) Exemples : n : ur un plan à l échelle, une parcelle agricole a la forme d un rectangle de 4, cm sur ,5 cm. Quelle est l aire de la parcelle agricole? D après l échelle, les longueurs de la parcelle sont 5000 fois plus grandes que celles du plan. on aire sera donc 5000 fois plus grande. ire du rectangle sur le plan : a 4,. cm 6,5. cm 7,. cm² ire de la parcelle : 7, 5000 cm² 7, cm² cm² m n : La lune a un rayon de 76 km et la erre de 6 70 km. Comien de fois l aire de la erre est-elle plus grande que l aire de la Lune? Rayon. erre 670 Calculons la proportion, 669 rayon. Lune 76 n a donc : Rayon. erre,669 rayon. Lune. Conclusion : ire errestre,669 irelune,46 irelune; L aire terrestre est dans les,46 fois plus grande que l aire de la Lune. i on utilise les valeurs des aires fournies par des données astronomiques : ire erre: km² ire Lune: L km² L , c) Effet d une échelle sur les volumes. Un volume se calcule toujours à partir du produit de trois longueurs. Pavé droit : l L h Cylindre : π r r h etc Prenons le cas d un pavé droit de dimension l, L. et. h. on volume V vaut : V l L h a Prenons une représentation de ce pavé droit à l échelle e. Notons l', L', h' ses dimensions : al l ' al L ' ah h '

5 on volume V ' vaut : al al ah a a a a V ' l' L' h' l L H V La proportion entre les volumes vaut donc : V ' V a V V a e Conclusion : Le rapport de proportionnalité entre les volumes n est pas le même que celui entre les longueurs! Il est égal au cue de celui entre les longueurs. En résumé : si les longueurs d un ojet sont multipliées (ou divisées) par un nomre k, alors son volume l est par k. d) pplications : n : vec une outeille donnée, tu remplis 8 verres identiques. Comien de verres remplis-tu avec une outeille qui est un agrandissement de la précédente à l échelle? Le nomre de verres remplis est une fonction du volume de la outeille. i on suppose proportionnalité entre le nomre de verres et le volume : Comme les longueurs de la ère outeille sont multipliées par : son volume l est par 8. n peut donc remplir : verres avec la seconde outeille. n : La lune a un rayon de 76 km et la erre de 6 70 km. Comien de fois le volume de la erre est-il plus grande que le volume de la Lune? Rayon. erre 670 Calculons la proportion, 669 rayon. Lune 76 n a donc : Rayon. erre,669 rayon. Lune. Conclusion : Volume Volume Volume errestre, 669 Lune 49 Lune Le volume terrestre est dans les 49,9 fois plus grande que le volume de la Lune. i on utilise les valeurs des volumes fournies par des données astronomiques : Volume erre: V,08 0. km Volume Lune: V, L. km V V L, ,958 0

6 n : iologie. Les organismes à constante régulent leur par différents mécanismes. Pour que cette reste constante, les apports doivent exactement compenser les pertes. upposons deux organismes théoriques de forme cuique : le er de cm de côté et le second de 0 cm de côté. Nous supposerons qu ils pèsent chacun g/cm. Nous supposerons de même que les apports énergétiques doivent couvrir les deux esoins suivants : ) les esoins internes liés à leur physiologie : calorie par seconde et par gramme. ) les esoins liés aux compensations des pertes de chaleurs avec l extérieure : les pertes sont de calorie par cm² et par seconde. a) Calculer les apports énergétiques en calorie par seconde pour chaque organisme ) Exprimer dans chaque cas le % que les pertes représentent par rapport aux apports énergétiques. c) Le taleau suivant donne les esoins de ases de certains organismes par unité de masse en Watt (comme les ampoules!) Watt Joule / seconde calorie 4,8 Joule. Expliquer pourquoi plus un organisme est petit* plus ses esoins / unité de masse sont grands. * : valale pur les organismes homéothermes endothermes. Espèce Poids (kg) Watt par kg o uris 0,0 0,00 Rat 0,8 4,79 Coaye 0,4 4,5 Po ule,45 Lapin,98,45 Chat,67 Chien 5,47 outon 46,4, Ho mme 64,55 Po rc 8 0,9 Cheval 44 0,55 Vache 600 0,64 Résumé : i les longueurs d un ojet sont multipliées par un nomre k : son aire est multipliée par k son volume par k

7 4. ection des pyramides et des cônes par un plan parallèle à la ase. a. Généralités : Considérons une pyramide de sommet, de hauteur []. [] est une arête de la pyramide. D est un point quelconque du polygone de ase. Coupons-là par un plan parallèle à sa ase, plan passant par le point de la hauteur []. L arête [] sera coupée en un point noté. [D] est coupée en N. La fig. centrale et celle de droite donnent les vue isolées dans les plans et D N N D D Comme le plan de coupe est parallèle à la ase de la pyramide, () est parallèle à () de même que (N) et (D). n peut donc appliquer le théorème de halès dans les triangles et ainsi que dans les triangles N et D et N D N D Finalement : N D N D D Les longueurs de la partie supérieure et les longueurs de la grande pyramide sont proportionnelles entre elles. La partie supérieure de la section est donc elle-même une pyramide qui est une réduction de la grande à l échelle : e Il en est de-même avec la section d un cône (de sommet et de centre ) par un plan parallèle à sa ase qui le couperait en un point de sa hauteur []. La partie supérieure est alors une réduction du cône de départ à l échelle : e

8 L essentiel : N La section d une pyramide ou d un cône de sommet et de hauteur [] par un plan parallèle à sa ase coupant la hauteur en un point engendre une pyramide ou un cône de sommet, de hauteur [], qui est une réduction du solide de départ à l échelle : D e. Conséquence : i on note par a et les aires de ase et par v et V les volumes respectivement de la section et du grand solide, d après les effets d une échelle sur ces grandeurs, on a : a et v V c. pplications : ) n coupe une pyramide de ase carrée de côté c 80 cm et de hauteur 0 cm par un plan parallèle à sa ase. Le plan passe par le point de la hauteur [] avec : 8 Calculer le volume de la pyramide supérieure issue de la section. D ase h 80 0 * Volume de la grande pyramide : V cm. * oit v le volume de la petite pyramide : v v 7 V v v 500. cm.

9 ) Une glace deux parfums a la forme d un cône. Les épaisseurs des deux parfums sont les mêmes. Quelle proportion du volume total représente chaque parfum? * Notons : V le volume total de la glace. v le volume du parfum du haut. V le volume du parfum du as. Comme les épaisseurs des tranches sont les mêmes : v. V 8 ème v V v V 8 8 Le volume du parfum du haut représente du volume total. 8 8 *Le volume du parfum du as représente donc : èmes du volume total. n peut calculer cette proportion de manière plus «rigoureuse» en justifiant le pour ceux qui ne voient pas en quoi il est implicite. V V v V v 7 V V V V 8 8 V 7 7V V V Exercices divers : a) N : Un goelet a la forme d un tronc de cône. est le centre du disque supérieur. C est le centre du disque inférieur. C, la hauteur du goelet, vaut : C 8 cm. cm. C cm. Calcule le volume du goelet au centimètre cue près. C

10 ) partir du schéma ci-dessous : calculer la proportion du volume total de la erre que représentent le noyau, le manteau inférieur et l asthénosphère. c) Pour les gourmands : reprenons la glace de l application C. et généralisons en supposant toujours que les tranches ont toutes la même épaisseur mais que. Elle a parfums : quelle proportion du volume total représente chaque parfum?. Et avec 4 parfums?. upposons maintenant qu elle a n parfums avec n nomre entier naturel. Numérotons les parfums en partant du sommet : er ième parfum, second, troisième,.. k parfum, n ième et dernier parfum. Notons par Pk la proportion du volume total que représente le volume du sommet. rouver l expression de Pk en fonction de n et de k. ème k parfum en partant du