Soit une suite. On dit qu elle est géométrique si, partant du

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1 Suites géométriques I) Définition Soit est un nombre entier naturel. Soit une suite. On dit qu elle est géométrique si, partant du TERME INITIAL, pour passer d un terme au suivant, on MULTIPLIE toujours par le même nombre appelé RAISON Exemple: Une voiture, achetée neuve coûtait (en 2008), perd chaque année 20% de sa valeur. Au bout d un an : la voiture coûtait 20% moins cher : (1 - ) , En 2009 la voiture coûtera Au bout de deux ans la voiture a perdu encore 20% de sa valeur : (1 - ) , En 2010 la voiture coûtait Au bout de trois ans la voiture a perdu encore 20% de sa valeur : (1 - ) , En 2011 la voiture coûtait Et ainsi de suite on multiplie la valeur de la voiture de l année précédente par 0,8 pour obtenir celle de l année suivante. Soit la valeur de la voiture en est la valeur de la voiture au bout d un an c'est-à-dire 0, est la valeur de la voiture au bout de deux ans c'est-à-dire 0, Soit la valeur de la voiture au bout de années, 0,8 Cette suite est géométrique : On passe d un terme au suivant en multipliant toujours pas le même nombre (dans notre cas 0,8)

2 II) Les deux formules de calculs de termes. est une suite géométrique de premier terme et de raison q Soit, une suite, et un entier naturel supérieur ou égal à,. On passe d un terme au suivant en multipliant toujours par la même valeur appelée raison: On peut obtenir directement la valeur de à partir de celle de en appliquant la formule suivante : Cas particulier où le 1er rang est 0 : Remarques : La première formule s appelle formule de récurrence. Elle traduit exactement la définition de suite géométrique. En revanche, elle est incommode dans le cas où il s agit de calculer un terme de rang élevé. Par exemple, pour calculer à partir de, il faut effectuer 28 multiplications par le nombre. C est inefficace! Il convient dans ce cas d employer la seconde formule, appelée formule directe. Les deux formules sont équivalentes : toute suite qui, pour tout entier, vérifie l une des formules vérifie l autre. Exemples : Exemple 1 : Soit la suite ( ) définie par: 3 et 2 1) Justifier que cette suite est géométrique 2) Calculer ; ; puis 3) Calculer en fonction de n 1) Pour tout n appartenant à, 3. On passe d un terme au suivant en multipliant toujours par 3, la suite est donc géométrique de raison 3 et de 1 er terme 2

3 2) On applique la 2 ème formule : ) 3 n 2 3 n Exemple 2 : Soit la suite ( ) définie par: et 3 1) Justifier que cette suite est géométrique 2) Calculer ; ; puis 3) Calculer en fonction de n 1) Pour tout n appartenant à,. On passe d un terme au suivant en multipliant toujours par.la suite est donc géométrique de raison et de 1er terme 3. 2) 1,5 1,5, 0,75 0,75, 0,75 0,375 On applique la 2 ème formule : le 1 er terme de la suite est au lieu de La suite a donc un terme de moins donc la formule est 3 3) 1 1 3

4 Exemple 3 : Soit ( ) la suite géométrique définie sur par 4 et 32. Déterminer la raison et le 1 er terme de est une suite géométrique de raison q. Pour tous entiers m et n : 32 4 donc 8. Donc 2 Son 1 er terme est : on obtient : 4 2 Donc. La suite géométrique a pour raison 2 et a pour 1 er terme Exemple 4 : Soit la suite ( ) définie par: 1.Montrer que pour tout entier n, 5 2.Montrer que est une suite géométrique. Préciser sa raison et son 1 er terme U 0 1. Pour tout n appartenant à, Pour tout n appartenant à, La suite est donc géométrique de raison. Son 1 er terme est 5 III) Sens de variation d une suite géométrique Propriété: Soit une suite géométrique de raison ( > 0) et de 1 er terme : 0 < < 1 > 1 1 > 0 ( ) est strictement décroissante. ( ) est strictement croissante. ( ) est constante. < 0 ( ) est strictement croissante. ( ) est strictement décroissante. ( ) est constante. 0 ( ) est une suite nulle

5 Exemples: Exemple 1: Etudier le sens de variation de la suite ( ) définie par : 3 et 2 Pour tout n appartenant à, 3 la suite ( ) est une suite géométrique de raison 3 > 1 La suite ( ) est donc croissante. Exemple 2: Etudier le sens de variation de la suite ( ) définie par : 3 et -2 Pour tout n appartenant à, 3 la suite ( ) est une suite géométrique de raison 3 > 1 mais -2 < 0 La suite ( ) est donc décroissante. Exemple 3 : Etudier le sens de variation de la suite ( ) définie par : et 2 Pour tout n appartenant à, la suite ( ) est une suite géométrique de raison < 1 La suite ( ) est donc décroissante.

6 IV) Somme des puissances successives d un nombre réel 1) Propriété: Pour tout entier naturel non nul et : ². + Exemple: Calculer S ² + + S ² S V) Exemple de graphique Exemples : Si 1 ou si 0, alors les points du graphiques sont alignés, sur la droite d équation (voir points rouges ci-dessous pour 0 et les points bleus pour 1 et 3). Les points verts ci-dessous sont les premiers points de la représentation graphique de la suite géométrique de raison 1,2 et de terme initial 0,5.