Calcul matriciel (II)
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- Quentin Edmond Baril
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1 Calcul matriciel (II) Valeurs et vecteurs propres eigenvalues and eigenvectors Introduction Cas des matrices symétriques Calcul pratique des valeurs propres et des vecteurs propres Une fois la lecture lancée (clique souris), utilisez les touches ou pour naviguer
2 Introduction (notion intuitive de vecteur propre) f étant une application linéaire, on a f (α u) = α A u, α On peut se faire une idée de l image de f en se limitant aux vecteurs unitaires u ( u = 1) :
3 Introduction (notion intuitive de vecteur propre) f étant une application linéaire, on a f (α u) = α A u, α On peut se faire une idée de l image de f en se limitant aux vecteurs unitaires u ( u = 1) : on va donner toutes les directions possibles à u
4 Introduction (notion intuitive de vecteur propre) f étant une application linéaire, on a f (α u) = α A u, α On peut se faire une idée de l image de f en se limitant aux vecteurs unitaires u ( u = 1) : on va donner toutes les directions possibles à u et on va regarder comment varie son image v = A u
5 Introduction (notion intuitive de vecteur propre) Faisons-le sur un exemple avec une matrice symétrique v = A u
6 Introduction (notion intuitive de vecteur propre) Faisons-le sur un exemple avec une matrice symétrique v = A u
7 Introduction (notion intuitive de vecteur propre) Faisons-le sur un exemple avec une matrice symétrique v = A u
8 Introduction (notion intuitive de vecteur propre) Faisons-le sur un exemple avec une matrice symétrique v = A u
9 Introduction (notion intuitive de vecteur propre) Faisons-le sur un exemple avec une matrice symétrique v = A u
10 Introduction (notion intuitive de vecteur propre) Faisons-le sur un exemple avec une matrice symétrique v = A u
11 Introduction (notion intuitive de vecteur propre) Faisons-le sur un exemple avec une matrice symétrique v = A u
12 Introduction (notion intuitive de vecteur propre) Faisons-le sur un exemple avec une matrice symétrique v = A u
13 Introduction (notion intuitive de vecteur propre) Faisons-le sur un exemple avec une matrice symétrique v = A u
14 Introduction (notion intuitive de vecteur propre) Faisons-le sur un exemple avec une matrice symétrique v = A u
15 Introduction (notion intuitive de vecteur propre) Faisons-le sur un exemple avec une matrice symétrique v = A u
16 Introduction (notion intuitive de vecteur propre) Faisons-le sur un exemple avec une matrice symétrique v = A u
17 Introduction (notion intuitive de vecteur propre) Faisons-le sur un exemple avec une matrice symétrique v = A u
18 Introduction (notion intuitive de vecteur propre) Faisons-le sur un exemple avec une matrice symétrique v = A u
19 Introduction (notion intuitive de vecteur propre) Faisons-le sur un exemple avec une matrice symétrique v = A u
20 Introduction (notion intuitive de vecteur propre) Faisons-le sur un exemple avec une matrice symétrique v = A u
21 Introduction (notion intuitive de vecteur propre) Faisons-le sur un exemple avec une matrice symétrique v = A u
22 Introduction (notion intuitive de vecteur propre) Faisons-le sur un exemple avec une matrice symétrique v = A u
23 Introduction (notion intuitive de vecteur propre) Faisons-le sur un exemple avec une matrice symétrique v = A u
24 Introduction (notion intuitive de vecteur propre) Faisons-le sur un exemple avec une matrice symétrique v = A u
25 Introduction (notion intuitive de vecteur propre) Faisons-le sur un exemple avec une matrice symétrique v = A u
26 Introduction (notion intuitive de vecteur propre) Faisons-le sur un exemple avec une matrice symétrique v = A u
27 Introduction (notion intuitive de vecteur propre) Faisons-le sur un exemple avec une matrice symétrique v = A u
28 Introduction (notion intuitive de vecteur propre) Faisons-le sur un exemple avec une matrice symétrique v = A u
29 Introduction (notion intuitive de vecteur propre) Faisons-le sur un exemple avec une matrice symétrique v = A u
30 Introduction (notion intuitive de vecteur propre) Faisons-le sur un exemple avec une matrice symétrique v = A u
31 Introduction (notion intuitive de vecteur propre) Faisons-le sur un exemple avec une matrice symétrique v = A u
32 Introduction (notion intuitive de vecteur propre) Faisons-le sur un exemple avec une matrice symétrique v = A u
33 Introduction (notion intuitive de vecteur propre) Faisons-le sur un exemple avec une matrice symétrique v = A u deux directions pour lesquelles v u //
34 Introduction (notion intuitive de vecteur propre) Faisons-le sur un exemple avec une matrice symétrique v = A u deux directions pour lesquelles v u // dans cette direction les vecteurs images ont même sens et même longueur que leurs antécédents.
35 Introduction (notion intuitive de vecteur propre) Faisons-le sur un exemple avec une matrice symétrique v = A u deux directions pour lesquelles v u // dans cette direction les vecteurs images sont trois fois plus longs que leurs antécédents et sont dans le sens inverse. dans cette direction les vecteurs images ont même sens et même longueur que leurs antécédents.
36 Introduction (notion intuitive de vecteur propre) Faisons-le sur un exemple avec une matrice symétrique v = A u deux directions pour lesquelles v u // Les extrémités des vecteurs images décrivent une ellipse dans cette direction les vecteurs images sont trois fois plus longs que leurs antécédents et sont dans le sens inverse. dans cette direction les vecteurs images ont même sens et même longueur que leurs antécédents.
37 Définitions Soit u 0 et v = A u Si (avec ) on dit que v = λ u λ λ est une valeur propre de A est un vecteur propre associé à u λ
38 Définitions Dans l exemple précédent
39 Définitions Dans l exemple précédent tous les vecteurs parallèles à cette direction sont des vecteurs propres associés à la valeur propre λ = 1
40 Définitions Dans l exemple précédent tous les vecteurs parallèles à cette direction sont des vecteurs propres associés à la valeur propre λ = 1 u v = A u
41 Définitions Dans l exemple précédent tous les vecteurs parallèles à cette direction sont des vecteurs propres associés à la valeur propre λ = 1 u v = A u = 1 u
42 Définitions Dans l exemple précédent tous les vecteurs parallèles à cette direction sont des vecteurs propres associés à la valeur propre λ = 1 u v = A u = 1 u
43 Définitions Dans l exemple précédent tous les vecteurs parallèles à cette direction sont des vecteurs propres associés à la valeur propre λ = 1 u v = A u = 1 u tous les vecteurs parallèles à cette direction sont des vecteurs propres associés à la valeur propre λ = -3
44 Définitions Dans l exemple précédent tous les vecteurs parallèles à cette direction sont des vecteurs propres associés à la valeur propre λ = 1 v = A u u v = A u = 1 u tous les vecteurs parallèles à cette direction sont des vecteurs propres associés à la valeur propre λ = -3
45 Définitions Dans l exemple précédent tous les vecteurs parallèles à cette direction sont des vecteurs propres associés à la valeur propre λ = 1 v = A u u v = A u = 1 u = 3 u tous les vecteurs parallèles à cette direction sont des vecteurs propres associés à la valeur propre λ = -3
46 Définitions Remarques u u Si est un vecteur propre associé à alors l est aussi : A ( u) = A u λ
47 Définitions Remarques u Si est un vecteur propre associé à alors l est aussi : A ( u) = A u λ u = λ u
48 Définitions Remarques u Si est un vecteur propre associé à alors l est aussi : A ( u) = A u λ u = λ u = λ ( u)
49 Définitions Remarques u Si est un vecteur propre associé à alors l est aussi : A ( u) = A u λ u = λ u = λ ( u) Plus généralement, si est un vecteur propre associé à alors α u λ u l est aussi (linéarité de f ).
50 Définitions Remarques u Si est un vecteur propre associé à alors l est aussi : A ( u) = A u λ u = λ u = λ ( u) Plus généralement, si est un vecteur propre associé à alors α u λ u l est aussi (linéarité de f ). Une matrice n n possède au plus n valeurs propres distinctes.
51 Définitions Remarques u Si est un vecteur propre associé à alors l est aussi : A ( u) = A u λ u = λ u = λ ( u) Plus généralement, si est un vecteur propre associé à alors α u λ u l est aussi (linéarité de f ). Une matrice n n possède au plus n valeurs propres distinctes. Si une matrice n n admet n valeurs propres distinctes, les n vecteurs propres associés sont linéairement indépendants. Ils forment donc une base de R n
52 Matrices symétriques et matrices anti-symétriques Définition : A est symétrique si A T = A (A ji = A ij ) Remarque : A est alors forcément carrée Définition : A est anti-symétrique si A T = A (A ji = A ij ) Remarque : A est alors forcément carrée et Aii=0.
53 Matrices symétriques et matrices anti-symétriques
54 Matrices symétriques et matrices anti-symétriques n'est pas symétrique
55 Matrices symétriques et matrices anti-symétriques n'est pas symétrique est symétrique
56 Matrices symétriques et matrices anti-symétriques n'est pas symétrique est symétrique
57 Matrices symétriques et matrices anti-symétriques n'est pas symétrique est symétrique
58 Matrices symétriques et matrices anti-symétriques n'est pas symétrique est symétrique
59 Matrices symétriques et matrices anti-symétriques n'est pas symétrique est symétrique
60 Matrices symétriques et matrices anti-symétriques n'est pas symétrique est symétrique (A12=A21=1, A13=A31=5, A23=A32=9)
61 Matrices symétriques et matrices anti-symétriques n'est pas symétrique est symétrique (A12=A21=1, A13=A31=5, A23=A32=9) n'est pas symétrique
62 Matrices symétriques et matrices anti-symétriques n'est pas symétrique est symétrique (A12=A21=1, A13=A31=5, A23=A32=9) n'est pas symétrique
63 Matrices symétriques et matrices anti-symétriques n'est pas symétrique est symétrique (A12=A21=1, A13=A31=5, A23=A32=9) n'est pas symétrique (A13=5 A31=-5)
64 Matrices symétriques et matrices anti-symétriques
65 Matrices symétriques et matrices anti-symétriques n'est pas anti-symétrique
66 Matrices symétriques et matrices anti-symétriques n'est pas anti-symétrique est anti-symétrique
67 Matrices symétriques et matrices anti-symétriques n'est pas anti-symétrique est anti-symétrique (A11= A33= A33=0, A12=1 =-A21, A13=-5 =-A31, A23=9 =-A32)
68 Matrices symétriques et matrices anti-symétriques n'est pas anti-symétrique est anti-symétrique (A11= A33= A33=0, A12=1 =-A21, A13=-5 =-A31, A23=9 =-A32) n'est pas anti-symétrique
69 Matrices symétriques et matrices anti-symétriques n'est pas anti-symétrique est anti-symétrique (A11= A33= A33=0, A12=1 =-A21, A13=-5 =-A31, A23=9 =-A32) n'est pas anti-symétrique (A33 0)
70 Matrices symétriques et matrices anti-symétriques Remarque 1 - une matrice qui n'est pas symétrique n'est pas forcément anti-symétrique (et inversement).
71 Matrices symétriques et matrices anti-symétriques Remarque 1 - une matrice qui n'est pas symétrique n'est pas forcément anti-symétrique (et inversement). Remarque 2 - une matrice quelconque A peut toujours s'écrire, de façon unique, comme la somme d'une matrice symétrique et d'une matrice anti-symétrique : S + Ω
72 Matrices symétriques et matrices anti-symétriques Remarque 1 - une matrice qui n'est pas symétrique n'est pas forcément anti-symétrique (et inversement). Remarque 2 - une matrice quelconque A peut toujours s'écrire, de façon unique, comme la somme d'une matrice symétrique et d'une matrice anti-symétrique : S + Ω ( ) (S est dite partie symétrique de A) S = 1 2 A + AT
73 Matrices symétriques et matrices anti-symétriques Remarque 1 - une matrice qui n'est pas symétrique n'est pas forcément anti-symétrique (et inversement). Remarque 2 - une matrice quelconque A peut toujours s'écrire, de façon unique, comme la somme d'une matrice symétrique et d'une matrice anti-symétrique : S + Ω ( ) (S est dite partie symétrique de A) S = 1 2 A + AT ( ) (Ω partie anti-symétrique de A) Ω = 1 2 A AT
74 Matrices symétriques et matrices anti-symétriques Exemple : trouver la partie symétrique et la partie antisymétrique de la matrice
75 Matrices symétriques et matrices anti-symétriques Exemple : trouver la partie symétrique et la partie antisymétrique de la matrice Réponse S =
76 Matrices symétriques et matrices anti-symétriques Exemple : trouver la partie symétrique et la partie antisymétrique de la matrice Réponse S = Ω =
77 Valeurs et vecteurs propres : cas des matrices symétriques On montre que si A est symétrique alors les valeurs propres λ sont toutes réelles if A is symetric, the eigenvalues are reals
78 Valeurs et vecteurs propres : cas des matrices symétriques On montre que si A est symétrique alors les valeurs propres λ sont toutes réelles if A is symetric, the eigenvalues are reals les vecteurs propres associés à deux valeurs propres distinctes sont orthogonaux if A is symetric, the eigenvectors are orthogonals
79 Valeurs et vecteurs propres : cas des matrices symétriques On montre que si A est symétrique alors les valeurs propres λ sont toutes réelles if A is symetric, the eigenvalues are reals les vecteurs propres associés à deux valeurs propres distinctes sont orthogonaux if A is symetric, the eigenvectors are orthogonals les vecteurs propres normalisés forment une base orthonormée dans laquelle f a une matrice qui est diagonale Then, the normalized eigenvectors form a orthonormal basis
80 Valeurs et vecteurs propres : cas des matrices symétriques pour l exemple précédent : e 2 - la matrice de f sur la base est e
81 Valeurs et vecteurs propres : cas des matrices symétriques pour l exemple précédent : e 2 - la matrice de f sur la base est e e1 e2 - la matrice de f sur la base est
82 Valeurs et vecteurs propres : cas des matrices symétriques pour l exemple précédent : e 2 - la matrice de f sur la base est e e1 e2 - la matrice de f sur la base est on dit que l on a diagonalisé la matrice
83 Calcul pratique des valeurs propres Par définition, u 0 est un vecteur propre de A s il existe λ tel que A u = λ u
84 Calcul pratique des valeurs propres Par définition, u 0 est un vecteur propre de A s il existe λ tel que A u = λ u A u λ u = 0
85 Calcul pratique des valeurs propres Par définition, u 0 est un vecteur propre de A s il existe λ tel que A u = λ u A u λ u = 0 ( ) A λi u = 0 I u = u (car )
86 Calcul pratique des valeurs propres Par définition, u 0 est un vecteur propre de A s il existe λ tel que A u = λ u A u λ u = 0 ( ) A λi u = 0 I u = u } B u = 0 (car )
87 Calcul pratique des valeurs propres Par définition, u 0 est un vecteur propre de A s il existe λ tel que A u = λ u A u λ u = 0 ( ) A λi u = 0 I u = u } B u = 0 (car ) Si detb 0, ce système n admet que la solution u = 0. Il faut donc que detb=0 pour que u soit vecteur propre.
88 Calcul pratique des valeurs propres Les valeurs propres λ sont solutions de l équation, dite «équation caractéristique» de A : ( ) det A λi = 0
89 Calcul pratique des valeurs propres Les valeurs propres λ sont solutions de l équation, dite «équation caractéristique» de A : ( ) det A λi = 0... équation polynomiale de degré n.
90 Calcul pratique des valeurs propres Les valeurs propres λ sont solutions de l équation, dite «équation caractéristique» de A : ( ) det A λi = 0... équation polynomiale de degré n. L ensemble des valeurs propres λ s appelle le spectre de la matrice A.
91 Calcul pratique des valeurs propres Exemple pour une matrice symétrique
92 Calcul pratique des valeurs propres Exemple pour une matrice symétrique A λi
93 Calcul pratique des valeurs propres Exemple pour une matrice symétrique A λi = λ λ
94 Calcul pratique des valeurs propres Exemple pour une matrice symétrique A λi = λ λ ( ) ( ) = λ 2 λ 3 det A λi ( )( 3 )
95 Calcul pratique des valeurs propres Exemple pour une matrice symétrique A λi = λ λ ( ) ( ) = λ 2 λ 3 det A λi = λ 2 + 2λ 3 ( )( 3 )
96 Calcul pratique des valeurs propres On a donc à résoudre l équation du deuxième degré en λ : On trouve λ 2 + 2λ 3 = 0 λ = 3 et λ = 1 1 2
97 Calcul pratique des valeurs propres Rappel : c est bien ce que l on avait déjà trouvé v = A = 1 u u u v = A = 3 u u
98 Calcul pratique des valeurs propres Cas général pour une matrice 2 2 a c b d A λi = a λ c b d λ ( ) = λ 2 ( ) λ a + d + ad bc det A λi
99 Calcul pratique des valeurs propres Cas général pour une matrice 2 2 a c b d A λi = a λ c b d λ ( ) = λ 2 ( ) λ a + d + ad bc det A λi = λ 2 λ trace(a) + det A
100 Calcul pratique des valeurs propres Cas général pour une matrice 2 2 L équation à résoudre est donc λ 2 λ trace A + det 0
101 Calcul pratique des valeurs propres Cas général pour une matrice 2 2 L équation à résoudre est donc Δ = ( trace A) 2 4 det A λ 2 λ trace A + det 0
102 Calcul pratique des valeurs propres Cas général pour une matrice 2 2 L équation à résoudre est donc Δ = ( trace A) 2 4 det A λ 2 λ trace A + det 0 ( trace A) 2 > 4 det A : deux valeurs propres réelles distinctes ( trace A) 2 = 4 det A : une valeur propre réelle ( ) 2 < 4 det A trace A : deux valeurs propres complexes (et conjuguées)
103 Calcul pratique des valeurs propres Cas général pour une matrice 2 2 Remarque Si la matrice est symétrique (b = c) alors Δ = ( trace A) 2 4 det A 0.
104 Calcul pratique des valeurs propres Cas général pour une matrice 2 2 Remarque Si la matrice est symétrique (b = c) alors Δ = ( trace A) 2 4 det A 0. = 0 que lorsque b = 0 et a = d. Autrement dit, la matrice est isotrope (homothétie de rapport a) : a 0 0 a = ai et λ 1 = λ 2 = a.
105 Calcul pratique des valeurs propres Remarque Si λ 1, λ 2,..., λ n sont les n valeurs propres d'une matrice A de dimensions n n alors det λ 1 λ 2... λ n
106 Calcul pratique des valeurs propres Remarque Si λ 1, λ 2,..., λ n sont les n valeurs propres d'une matrice A de dimensions n n alors det λ 1 λ 2... λ n Exemple det 3 et on a vu que λ 1 = 3, λ 2 = 1 λ 1 λ 2 = 3
107 Calcul pratique des vecteurs propres Une fois trouvées les valeurs propres λ il faut trouver pour chacune d elles un vecteur système d équations homogène : u 0 satisfaisant au Knowing the eigenvalurs, we seek the eigenvectors by solving for each eigenvalue them the system: ( ) A λi u = 0 Par construction, ce système admet une infinité de ( ) = 0 det A λi solutions ( ).
108 Calcul pratique des vecteurs propres Reprenons l exemple précédent (matrice symétrique 2 2) On a trouvé λ = 3 et λ =
109 Calcul pratique des vecteurs propres Reprenons l exemple précédent (matrice symétrique 2 2) On a trouvé λ = 3 et λ = Il faut résoudre pour chacune d elles le système ( A λi ) u = 0
110 Calcul pratique des vecteurs propres Reprenons l exemple précédent (matrice symétrique 2 2) On a trouvé λ = 3 et λ = Il faut résoudre pour chacune d elles le système ( A λi ) u = 0 λ λ u = 0
111 Calcul pratique des vecteurs propres Reprenons l exemple précédent (matrice symétrique 2 2) On a trouvé λ = 3 et λ = Il faut résoudre pour chacune d elles le système ( A λi ) u = 0 c est-à-dire, il faut trouver λ 3 3 λx 3y = 0 3x (2 + λ)y = 0 2 λ u = (x, y) (0,0) u = 0 vérifiant pour λ=-3 puis pour λ=1.
112 Calcul pratique des vecteurs propres Pour λ=-3 λx 3y = 0 3x (2 + λ)y = 0
113 Calcul pratique des vecteurs propres Pour λ=-3 λx 3y = 0 3x (2 + λ)y = 0 3x 3y = 0 3x + y = 0
114 Calcul pratique des vecteurs propres Pour λ=-3 λx 3y = 0 3x (2 + λ)y = 0 3x 3y = 0 3x + y = 0 y = 3x
115 Calcul pratique des vecteurs propres Pour λ=-3 λx 3y = 0 3x (2 + λ)y = 0 3x 3y = 0 3x + y = 0 y = 3x équation d une droite de pente ѳ = 60 (tanѳ= 3)
116 Calcul pratique des vecteurs propres Pour λ=-3 λx 3y = 0 3x (2 + λ)y = 0 3x 3y = 0 3x + y = 0 y = 3x équation d une droite de pente ѳ = 60 (tanѳ= 3) y 60 x
117 Calcul pratique des vecteurs propres Pour λ=-3 λx 3y = 0 3x (2 + λ)y = 0 Tout vecteur de la forme 3x 3y = 0 3x + y = 0 y = 3x u = x, x 3 est vecteur propre associé à λ1 =-3. ( ), x 0 équation d une droite de pente ѳ = 60 (tanѳ= 3) y 60 x
118 Calcul pratique des vecteurs propres Pour λ=-3 λx 3y = 0 3x (2 + λ)y = 0 Tout vecteur de la forme 3x 3y = 0 3x + y = 0 y = 3x u = x, x 3 est vecteur propre associé à λ1 =-3. On peut en choisir un représentant : u 1 = 1 2, 3 2 ( ) ( ), x 0 équation d une droite de pente ѳ = 60 (tanѳ= 3) y 60 x
119 Calcul pratique des vecteurs propres Pour λ=-3 λx 3y = 0 3x (2 + λ)y = 0 Tout vecteur de la forme 3x 3y = 0 3x + y = 0 y = 3x u = x, x 3 est vecteur propre associé à λ1 =-3. On peut en choisir un représentant : u 1 = 1 2, 3 2 ( ) ( ), x 0 équation d une droite de pente ѳ = 60 (tanѳ= 3) y 60 u1 x
120 Calcul pratique des vecteurs propres Pour λ=1 λx 3y = 0 3x (2 + λ)y = 0
121 Calcul pratique des vecteurs propres Pour λ=1 λx 3y = 0 3x (2 + λ)y = 0 x 3y = 0 3x 3y = 0
122 Calcul pratique des vecteurs propres Pour λ=1 λx 3y = 0 3x (2 + λ)y = 0 x 3y = 0 3x 3y = 0 y = 3 3 x
123 Calcul pratique des vecteurs propres Pour λ=1 λx 3y = 0 3x (2 + λ)y = 0 x 3y = 0 3x 3y = 0 y = 3 3 x équation d une droite de pente ѳ = 150 (tanѳ=- 3/3)
124 Calcul pratique des vecteurs propres Pour λ=1 λx 3y = 0 3x (2 + λ)y = 0 x 3y = 0 3x 3y = 0 y = 3 3 x équation d une droite de pente ѳ = 150 (tanѳ=- 3/3) y 150 x
125 Calcul pratique des vecteurs propres Pour λ=1 λx 3y = 0 3x (2 + λ)y = 0 x 3y = 0 3x 3y = 0 y = 3 3 x équation d une droite de pente ѳ = 150 (tanѳ=- 3/3) y Tout vecteur de la forme u ( = x, x ) 3 x 0 est vecteur propre associé à λ1 = x
126 Calcul pratique des vecteurs propres Pour λ=1 λx 3y = 0 3x (2 + λ)y = 0 x 3y = 0 3x 3y = 0 y = 3 3 x équation d une droite de pente ѳ = 150 (tanѳ=- 3/3) y Tout vecteur de la forme u ( = x, x ) 3 x 0 est vecteur propre associé à λ1 =1. On peut en choisir un représentant : u 2 = 3 2, 1 2 ( ) 150 x
127 Calcul pratique des vecteurs propres Pour λ=1 λx 3y = 0 3x (2 + λ)y = 0 x 3y = 0 3x 3y = 0 y = 3 3 x équation d une droite de pente ѳ = 150 (tanѳ=- 3/3) y Tout vecteur de la forme u ( = x, x ) 3 x 0 est vecteur propre associé à λ1 =1. u2 150 x On peut en choisir un représentant : u 2 = 3 2, 1 2 ( )
128 Calcul pratique des vecteurs propres Remarque La matrice étant ici symétrique on savait à l avance que les valeurs propres allaient être réelles.
129 Calcul pratique des vecteurs propres Remarque La matrice étant ici symétrique on savait à l avance que les valeurs propres allaient être réelles. On savait aussi que les vecteurs propres étaient orthogonaux. Vérifions : x x = x 2 x 2 = 0 x 3 x 3
130 Calcul pratique des vecteurs propres Remarque La matrice étant ici symétrique on savait à l avance que les valeurs propres allaient être réelles. On savait aussi que les vecteurs propres étaient orthogonaux. Vérifions : x x = x 2 x 2 = 0 x 3 x 3 La base formée par les 2 vecteurs propres u 1 et u 2 est une base orthonormée dans laquelle A est diagonale. On l appelle la base propre de A.
131 À savoir faire - Calculer les valeurs propres d une matrice
132 À savoir faire - Calculer les valeurs propres d une matrice Exemple : trouver les valeurs propres de la matrice M =
133 À savoir faire - Calculer les valeurs propres d une matrice Réponse : det ( M λi ) = λ λ 0 = λ 3 + 2λ 2 + λ 2 = λ λ 1 = 1, λ 2 = 1, λ 3 = 2.
134 À savoir faire - Calculer les valeurs propres d une matrice Réponse : det ( M λi ) = λ λ 0 = λ 3 + 2λ 2 + λ 2 = λ λ 1 = 1, λ 2 = 1, λ 3 = 2. - Calculer des vecteurs propres d une matrice connaissant ses valeurs propres
135 À savoir faire - Calculer les valeurs propres d une matrice Réponse : det ( M λi ) = λ λ 0 = λ 3 + 2λ 2 + λ 2 = λ λ 1 = 1, λ 2 = 1, λ 3 = 2. - Calculer des vecteurs propres d une matrice connaissant ses valeurs propres Exemple : sachant que les valeurs propres de la matrice M précédente sont λ1=-1, λ2=1 et λ3=2, trouver des vecteurs propres de M.
136 À savoir faire - Calculer les valeurs propres d une matrice Réponse : det ( M λi ) = λ λ 0 = λ 3 + 2λ 2 + λ 2 = λ λ 1 = 1, λ 2 = 1, λ 3 = 2. - Calculer des vecteurs propres d une matrice connaissant ses valeurs propres Réponse : pour λ 1 = 1 : u 1 = 2, 1,1 ( )
137 À savoir faire - Calculer les valeurs propres d une matrice Réponse : det ( M λi ) = λ λ 0 = λ 3 + 2λ 2 + λ 2 = λ λ 1 = 1, λ 2 = 1, λ 3 = 2. - Calculer des vecteurs propres d une matrice connaissant ses valeurs propres Réponse : pour λ 2 = 1 : u 2 = 0,1,1 ( )
138 À savoir faire - Calculer les valeurs propres d une matrice Réponse : det ( M λi ) = λ λ 0 = λ 3 + 2λ 2 + λ 2 = λ λ 1 = 1, λ 2 = 1, λ 3 = 2. - Calculer des vecteurs propres d une matrice connaissant ses valeurs propres Réponse : pour λ 3 = 2 : u 3 = 1,1, 1 ( )
139 Fin de la seconde partie
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