L objet de la cinématique est de décrire le mouvement d un corps, indépendamment des forces qui s exercent sur lui.

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1 Chapitre II CINÉMATIQUE DU POINT L obj de la cinématique est de décrire le mouvement d un corps, indépendamment des forces qui s exercent sur lui IIA Espace temps en physique Nous nous placerons dans ce cours dans le cadre de la mécanique classique newtonienne Nous ferons donc les hypothèses suivantes : l espace le temps sont absolus distances durées ne dépendent pas de l observateur sont indépendants l un de l autre ; l espace usuel est un espace affine euclidien réel de dimension 3 ; la position le mouvement des corps sont parfaitement définis Ces hypothèses, faites implicitement pour certaines d entre elles par Isaac Newton au 17 e siècle, ont été remises en cause au 20 e siècle La théorie de la relativité restreinte Albert Einstein, 1905 a montré que l espace le temps sont relatifs à l observateur que le concept pertinent est celui d espace-temps : on peut en eff construire des quantités absolues indépendantes du mouvement de l observateur mélangeant espace temps D après la théorie de la relativité générale Einstein, 1916, le phénomène de gravitation doit être interpété comme une courbure de l espace-temps par la matière : l espace n est donc pas affine euclidien Enfin, la mécanique quantique de Broglie, Bohr, Schrödinger, Heisenberg ; années 1920/1930 a établi que la position le mouvement d un corps ne peuvent être définis simultanément au-delà d une certaine précision La faiblesse des vitesses des champs de gravitation, ainsi que le caractère macroscopique des corps que nous étudierons nous permtent néanmoins d adopter ici les hypothèses de la mécanique classique IIB Changement de base de dérivation Vecteur vitesse angulaire de rotation La dérivation dans une base B = u x, u y, u z d une fonction vectorielle f t de composantes f x, f y, f z dans cte base B a été définie au IB3a Si le vecteur f a pour composantes f x, f y, f z dans une base B = u x, u y, u z, sa dérivée dans la base B est d /B f d fx u x = u x + f x d fy + u y + f y u y alors que, par définition, sa dérivée dans la base B est simplement d fz + u z + f z u z, f = d f x u x + d f y u y + d f z u z Les termes f x B quand t varie u x /, c ne sont nuls que si les vecteurs de la base B sont fixes dans la base 25

2 Michel FIOC Dynamique des systèmes Sinon, posons d/b u y Ω B /Bt = u z d/b u z u x + u x d/b u x u y + u y u z On constate que f x u x + f y u y + f z u z = Ω B /B f Il existe donc un vecteur Ω B /Bt tel que, pour toute fonction de R dans R 3, f = f + Ω B /B f 1 Si t est le temps, ΩB /B porte le nom de vecteur vitesse angulaire de rotation de B par rapport à B Justifions cte appellation en examinant le cas où u z u z sont confondus Dans ce cas, u x resp u y est l image de u x resp u y par une rotation d angle φt d axe u z = u z, c-à-d u x = cos φ u x + sin φ u y u y = cosφ + π/2 u x + sinφ + π/2 u y = sin φ u x + cos φ u y On a alors Ω B /B = dφ u z, où dφ/ est la vitesse angulaire de rotation de u x u y autour de u z On a par ailleurs Ω B /B = Ω B /B + Ω B /B, Ω B/B = Ω B /B Ω B /B = Ω B /B Remarque Il est important de bien distinguer la dérivée d un vecteur dans la base B indice «/B» des composantes d un vecteur dans la base B indice «B» Les composantes d un vecteur a dans deux bases B = u x, u y, u z B = u x, u y, u z sont les projections de a sur les vecteurs de ces bases ; elles sont différentes a x = a u x a x = a u x, c, mais il s agit du même vecteur : a x u x + a y u y + a z u z = a x u x + a y u y + a z u z En revanche, généralement, f / d/b f / Les deux dérivées ne sont égales que si B B sont fixes l une par rapport à l autre 1 On peut rrouver les composantes de Ω B /B en appliquant cte relation aux vecteurs de B En eff, u x = u x + Ω B /B u x {z } 0 En faisant le produit scalaire avec u y, on obtient u x u y = Ω B /B u x u y = u x u y Ω B /B = u z Ω B /B, c-à-d la composante de Ω B /B selon u z 26

3 Chapitre II Cinématique du point Dérivée d un produit scalaire On peut vérifier qu il est inutile de préciser par rapport à quelle base on dérive le produit scalaire En eff, f g d/b g = d /B f g + f d/b f = + Ω B /B f g + f d/b g + Ω B /B g IIC IIC1 = f g + f = f g d/b g + Ω B /B f g + f Ω B /B g + Ω B /B f g + g f } {{ } 0 = f g Notion de référentiel Vitesse accélération Référentiel Soient R 1 = O 1, B 1 R 2 = O 2, B 2 deux repères, M un point t le temps On a 1 O 1 M = d /B 1 O 1 O 2 = d /B 1 O 1 O 2 /B O 2 M 1 /B O 2 M 2 + Ω B2 /B 1 O 2 M Les vecteurs 1 O 1 M/ 2 O 2 M/ sont égaux pour tout point M si 1 O 1 O 2 / = 0 pas de translation de R 2 par rapport à R 1 ; ΩB2 /B 1 = 0 pas de rotation de R 2 par rapport à R 1 Les repères fixes les uns par rapport aux autres sont donc équivalents pour dériver le vecteur position par rapport au temps Un ensemble de repères d espace 2 R 1, R 2, c équivalents constitue un référentiel 3 R Par un abus de langage commode, on parle parfois du référentiel «R = O, u x, u y, u z», où O, u x, u y, u z n est en fait qu un repère fixe dans le référentiel R IIC2 Vitesse La valeur de la dérivée par rapport au temps est indépendante du choix de la base de l origine O du repère, tant que celui-ci est fixe dans le référentiel R ; on peut donc définir le vecteur vitesse instantanée 4 de M dans R par v M/R = d /ROM IIC3 Accélération De même, on définit le vecteur accélération instantanée de M dans le référentiel R par a M/R d /R[ v M/R ] = d2 /ROM 2 2 En théorie de la relativité, il faut adjoindre un repère de temps au repère d espace pour définir un référentiel, car le temps dépend du mouvement de l observateur 3 On utilise parfois aussi l expression solide de référence au lieu de référentiel On peut effectivement concevoir un référentiel comme un solide immatériel parfaitement rigide sur lequel sont fixés des repères 4 Sauf mention contraire, le terme «vitesse» désigne le vecteur vitesse instantanée, pas la vitesse moyenne ni la norme de la vitesse De même pour l «accélération» 27

4 Michel FIOC Dynamique des systèmes IID IID1 Composantes de la vitesse de l accélération Repère cartésien Soit O, u x, u y, u z un repère fixe dans R En notant q q les dérivées première seconde par rapport au temps d une quantité q, on a v M/R = ẋ u x + ẏ u y + ż u z a M/R = x u x + y u y + z u z IID2 Repère cylindrique Rappelons que u ρ = d u ρ /dφ dφ/ = φ u φ que u φ = d u φ /dφ dφ/ = φ u ρ v = dρ u ρ + z u z = ρ u ρ + ρ u ρ + ż u z + z u z = ρ u ρ + ρ φ u φ + ż u z a = d ρ u ρ + ρ φ u φ + ż u z = ρ u ρ + ρ u ρ + ρ φ u φ + ρ φ u φ + ρ φ u φ + z u z = ρ ρ φ 2 u ρ + 2 ρ φ + ρ φ u φ + z u z Remarquer que même pour un mouvement circulaire uniforme autour de O dans le plan ρ = c te, φ = c te z = c te, l accélération radiale n est pas nulle : il reste un terme centripète, ρ φ 2 u ρ IID3 Repère de Fren v = d OM = d OM, v = v u T, en notant v = / la norme de v a = d v = dv u T + v d u T = dv u T + v d u T, a = dv u T + v2 R c u N L accélération tangentielle a T = dv/ correspond à un changement de norme de la vitesse l accélération normale centripète a N = v 2 /R c à un changement de direction IIE IIE1 Changements de référentiels Formules générales Soient R R deux référentiels quantités correspondantes dans R Exprimons la vitesse l accélération dans R en fonction des 28

5 Chapitre II Cinématique du point IIE1a On a Composition des vitesses v M/R = d /ROM = d /ROO /RO M = d /ROO /R O M + Ω R /R O M, où v M/R = v M/R + v e, v e = v O /R + Ω R /R O M est la vitesse d entraînement Les termes v O /R Ω R /R O M sont dus respectivement à la translation à la rotation de R par rapport à R IIE1b Composition des accélérations a M/R = d /R v M/R = d /R v M/R + d /R v O /R + Ω R /R d /RO M = d /R v M/R + Ω R /R + d /R Ω R /R O M + Ω R /R v M/R + a O /R + d /RΩ R /R d/r O M + Ω R /R O M, O M où a e = a O /R + d /R Ω R /R est l accélération d entraînement a M/R = a M/R + a e + a C, O M + Ω R /R Ω R /R O M a C = 2 Ω R /R v M/R est l accélération de Coriolis ou complémentaire IIE2 Cas particulier Si Ω R /R = 0, le référentiel R a uniquement un mouvement de translation par rapport à R Dans ce cas, les lois de composition des vitesses accélérations se réduisent aux lois d additions suivantes : v M/R = v M/R + v O /R a M/R = a M/R + a O /R 29