Première S2 Chapitre 8 : fonctions dérivées. Page n

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1 Première S2 Capitre 8 : fonctions dérivées. Page n A la fin du XVI è siècle, savants et pilosopes s'intéressent à deux grands domaines de recerce alors inexplorés : la cinématique ( étude des trajectoires et des vitesses de mobiles en mouvement ) et la géométrie analytique pour la détermination des tangentes à une courbe et des extremums. Deux idées très éloignées se trouvent à l'origine de l'invention de la notion de dérivée au 7 è siècle. La première, celle de Newton ( ), repose sur des considérations de mécanique. A l'instant t, un mobile est en un point M, et à l'instant t +, il est en un point N. Si f est la fonction exprimant la distance parcourue, sa vitesse f(t+ ) f(t) moyenne entre ces deux instants s'exprime par V m =. Ce que devient V m lorsque devient de plus en plus petit conduit à la notion de vitesse instantanée, que l'on appellera nombre dérivé de f. La seconde idée, celle de Leibniz ( ), s'intéresse à la courbe représentative C d'une fonction f. Soit A un point de cette courbe, ayant pour coordonnées ( t, f ( t ) ), et soit B ( t +, f ( t + ) ) un second point f(t+ ) f(t) de cette courbe. La droite ( AB ), sécante à la courbe C, a pour coefficient directeur le nombre p =. Ce que devient p lorsque devient de plus en plus petit conduit à la notion de tangente à la courbe C. Imaginez un surfeur à différents moments de son parcours sur la montagne et le profil de ce parcours. En cacun des points de ce parcours, sa plance reste en contact avec la " courbe " c'est à dire qu'elle est tangente à la courbe en cacun de ses points : ainsi la pente de sa plance varie lorsque le point de contact se déplace sur la " courbe ". On sait tracer la tangente en un cercle de centre O en un point A de ce cercle. Dans ce capitre, on va apprendre à tracer la tangente à une courbe quelconque en un point de cette courbe. Au XVII e siècle, le matématicien Fermat appelait " toucante " une telle droite. Nombre dérivé d'une fonction en un point. Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Soit C sa courbe représentative dans un repère ( O ; i, j ) Soit a un nombre réel de l'intervalle I. Soit A le point de C d'abscisse a. Soit un réel tel que a + I. Le taux d'accroissement de f entre a et a + est le rapport r ( ) = f(a+ ) f(a). f est dérivable en a si et seulement si r ( ) tend vers un nombre réel quand tend vers 0 appelé nombre dérivé de f en a. Notation : f ' ( a ) = f(a+ ) f(a) lim. 0 Lecture : f prime de a est égale à la limite quand tend vers 0 du rapport f(a+ ) f(a). Exemples : f ( x ) = x. Soit a. Déterminer si f est dérivable en a et si oui, donner f ' ( a ). Soit f la fonction définie sur par f ( x ) = x. Recercons la dérivabilité en 0.

2 Première S2 Capitre 8 : fonctions dérivées. Page n 2 E Savoir déterminer des nombres dérivés. ) Soit f la fonction définie par f ( x ) = Soit a. Déterminer si f est dérivable en a et si oui, donner f ' ( a ). 2 ) Soit f la fonction définie par f ( x ) = x. Soit a. Déterminer si f est dérivable en a et si oui, donner f ' ( a ). 3 ) Soit f la fonction définie par f ( x ) = 3x 2. Soit a. Déterminer si f est dérivable en a et si oui, donner f ' ( a ). 4 ) Soit f la fonction définie par f ( x ) = x définie sur *. Soit a *. Déterminer si f est dérivable en a et si oui, donner f ' ( a ). 5 ) Soit f la fonction définie par f ( x ) = x définie sur +. Soit a +*. Déterminer si f est dérivable en a et si oui, donner f ' ( a ). 2 Tangente en un point à une courbe. Soit f une fonction dérivable en un réel a. Soit C la courbe représentative de f. La tangente à C au point A ( a ; f ( a ) ) est la droite qui passe par A et dont le coefficient directeur est le nombre dérivé de f en a c'est à dire f ' ( a ). Une équation de cette tangente est y = f ' ( a ) ( x a ) + f ( a ). Démonstration : voir feuille annexe. E2 Nombres dérivés et tangentes. Soit f la fonction représentée par la courbe en page n 3. ) Tracer en bleu la tangente à la courbe représentative de f en A ( 5 ; 437,5 ). 2 ) Tracer en vert la tangente à la courbe représentative de f en B ( 2 ; 266 ). 3 ) Tracer en rouge la tangente à la courbe représentative de f en C ( ; 205,5 ). 4 ) Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de f en A. 5 ) Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de f en B. 6 ) Le nombre dérivé de la fonction f en C est f ' ( ) = 32. Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de f en C.

3 Première S2 Capitre 8 : fonctions dérivées. Page n 3 3 Fonction dérivée et dérivées usuelles. Soit f une fonction définie sur un intervalle I et dérivable en toute valeur x de I. La fonction qui à tout x de I associe f ( x ) est appelée fonction dérivée de f et on la note f. Tableau à apprendre par cœur. f ( x ) f ( x ) Ensemble de dérivabilité k ( constante ) 0 x mx + p m x 2x x 3 3x x n avec n un entier non nul nx n- x avec x 0 - x ] - ; 0 [ U ] 0 ; + [ x avec x > 0 2 x ] 0 ; + [ sin x cos x x en radians cos x - sin x x en radians

4 Première S2 Capitre 8 : fonctions dérivées. Page n 4 E3 Savoir utiliser les premières formules sur les dérivées. Calculer f ' ( x ) et préciser l'ensemble de définition de f et de f '. ) f ( x ) = x 2 ) f ( x ) = x 3 3 ) f ( x ) = x 4 4 ) f ( x ) = 5 5 ) f ( x ) = -6 6 ) f ( x ) = x 7 ) f ( x ) = 4 Dérivée d'une somme. x 8 ) f ( x ) = 9 ) f ( x ) = x 3 x 4 Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I. Alors la fonction u + v est dérivable sur I et ( u + v ) = u + v. Autrement dit : la dérivée d une somme est égale à la somme des dérivées. Exemple : f ( x ) = x 3 + x. Déterminer f ' ( x ). Voir feuille annexe. E4 Savoir dériver une somme. Calculer f ' ( x ) et préciser l'ensemble de définition de f et de f '. ) f ( x ) = x + x 3 2 ) f ( x ) = x ) f ( x ) = -6 + x 4 ) f ( x ) = x + x 3 5 ) f ( x ) = + x x 4 6 ) f ( x ) = + x + x 3 + x 4 5 Dérivée de k u ( k est une constante ). Soit u une fonction dérivable sur I. Soit k une constante. Alors la fonction k u est dérivable sur I et ( k u ) = k u. Autrement dit : la dérivée du produit d une fonction par une constante est égale au produit de la constante par la dérivée de la fonction.

5 Première S2 Capitre 8 : fonctions dérivées. Page n 5 Exemple : f ( x ) = 3x. Déterminer f ' ( x ). Voir feuille annexe. E5 Savoir dériver le produit k u. Déterminer la fonction dérivée de cacune des fonctions définies sur. ) f ( x ) = -2x 3 2 ) g ( x ) = 2x x ) ( x ) = x x 2 4 ) i ( x ) = -x + 3x 5 ) j ( x ) = 4 x4 3 x3 6 ) 2x 3 n ( x ) = x + 4x Dérivée d un produit. Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I. Alors la fonction u v est dérivable sur I et ( u v ) ' = u' v + v ' u. Exemple : f ( x ) = ( 3x + 5 ) ( -2x + 4 ). Déterminer f ' ( x ). Voir feuille annexe. Dérivée de u n. Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. Soit n un entier naturel non nul. Alors la fonction u n est dérivable sur I et pour tout n *, on a ( u n ) ' = n u ' u n-. Exemple : f ( x ) = ( 6x 7 ) 5. Déterminer f ' ( x ). Voir feuille annexe. E6 Savoir dériver un produit. Calculer la dérivée de la fonction f sur si rien n'est précisé, sinon donner les ensembles de définition. ) f ( x ) = x ( 3x ) 2 ) f ( x ) = x ( 3x + 4 ) 3 ) f ( x ) = ( x + 3 ) ( x 2 ) 4 ) f ( x ) = ( 3x ) 3 5 ) f ( x ) = 3 ( 2x ) 4

6 Première S2 Capitre 8 : fonctions dérivées. Page n 6 7 Dérivée de l'inverse. Soit v une fonction dérivable sur un intervalle I. On suppose v ( x ) non nul sur I. Alors la fonction ' v' est dérivable sur I et = v v. v Exemple : f ( x ) = 2x. Déterminer f ' ( x ). Voir feuille annexe. + 3 E7 Savoir dériver l'inverse d'une fonction. Calculer f ' ( x ) et préciser l'ensemble de définition de f et de f '. ) f ( x ) = x 4 ) f ( x ) = 7 ) f ( x ) = 2x + 5 (3x 5)(2x+ 6) 2 ) f ( x ) = 5 ) f ( x ) = 8 ) f ( x ) = x 3 ) f ( x ) = 6 ) f ( x ) = 3x + 5x + 7 ( 5x+ 3)(2x+ 7) 3x + 4 2x 3 8 Dérivée d'un quotient. Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I. On suppose v ( x ) non nul sur I. u u' v v' u Alors la fonction est dérivable sur I et =. v v v u ' Exemple : f ( x ) = 3x+ 2. Déterminer f ' ( x ). Voir feuille annexe. 7 5x E8 Savoir dériver un quotient. P 58 n 2 f 4. P 58 n 22 f 2. P 58 n 23. P 58 n 24.