Chaos classique et quantique, un survol.
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- Flavien Pageau
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1 et quantique, un survol. A. YOUSSEF Ens Cachan 4 août 2005 A. YOUSSEF et quantique, un survol.
2 1 Problématique 2 Exemple de singularité Naissance et motivation de la théorie Construction des bons ensembles statistiques de matrices L'universalité intégrable billard chaotique A. YOUSSEF et quantique, un survol.
3 Stage de licence réalisé sous la direction de M. E. Bogomolny Laboratoire de physique théorique et modèles statistiques (LPTMS) A. YOUSSEF et quantique, un survol.
4 Problématique A. YOUSSEF et quantique, un survol.
5 Le statut du chaos dans les deux dynamiques A. YOUSSEF et quantique, un survol.
6 Le statut du chaos dans les deux dynamiques En mécanique classique A. YOUSSEF et quantique, un survol.
7 Le statut du chaos dans les deux dynamiques En mécanique classique Existe expérimentalement Correctement décrit par les équations de Newton A. YOUSSEF et quantique, un survol.
8 Le statut du chaos dans les deux dynamiques En mécanique classique Existe expérimentalement Correctement décrit par les équations de Newton En mécanique quantique A. YOUSSEF et quantique, un survol.
9 Le statut du chaos dans les deux dynamiques En mécanique classique Existe expérimentalement Correctement décrit par les équations de Newton En mécanique quantique L'évolution de la fonction d'onde semble beaucoup plus simple (linéarité de l'équation de Schrödinger) Flou de l'espace des phases quantiques (pas de structures nes) A. YOUSSEF et quantique, un survol.
10 Pourtant toute la physique est quantique. Même la trajectoire de la lune doit obéir aux lois de la mécanique quantique. A. YOUSSEF et quantique, un survol.
11 Pourtant toute la physique est quantique. Même la trajectoire de la lune doit obéir aux lois de la mécanique quantique. Donc, pour avoir une description cohérente du monde réel, le chaos doit nécessairement émerger dans la limite 0 A. YOUSSEF et quantique, un survol.
12 Problème fondamental Classique Quantique Pourtant la dynamique classique semble plus riche que la dynamique quantique Car Le chaos refuse d'émerger le la quantique, et on ne voit pas comment il pourrait le faire A. YOUSSEF et quantique, un survol.
13 Le point clef est que la limite 0 est mathématiquement hautement singulière. A. YOUSSEF et quantique, un survol.
14 Le point clef est que la limite 0 est mathématiquement hautement singulière. = Susamment de richesse à la frontière quantique-classique pour pouvoir reproduire la dynamique classique. A. YOUSSEF et quantique, un survol.
15 Exemple de singularité 0 A. YOUSSEF et quantique, un survol.
16 Exemple de singularité 0 Théorie générale Théorie spéciale quand δ 0 A. YOUSSEF et quantique, un survol.
17 Exemple de singularité 0 Quelques frontières entre théories 1 Relativité restreinte Mécanique classique δ = v 2 c 2 A. YOUSSEF et quantique, un survol.
18 Exemple de singularité 0 Quelques frontières entre théories 1 Relativité restreinte Mécanique classique δ = v 2 Analytique 1 δ2 = δ c 2 A. YOUSSEF et quantique, un survol.
19 Exemple de singularité 0 Quelques frontières entre théories 1 Relativité restreinte Mécanique classique δ = v 2 Analytique 1 δ2 = δ Physique statistique Thermodynamique δ = 1 N c 2 A. YOUSSEF et quantique, un survol.
20 Exemple de singularité 0 Quelques frontières entre théories 1 Relativité restreinte Mécanique classique δ = v 2 Analytique 1 δ2 = δ Physique statistique Thermodynamique δ = 1 N Grandes dicultés autour du point critique (groupe de renormalisation,... ) c 2 A. YOUSSEF et quantique, un survol.
21 Exemple de singularité 0 Quelques frontières entre théories 1 Relativité restreinte Mécanique classique δ = v 2 Analytique 1 δ2 = δ Physique statistique Thermodynamique δ = 1 N Grandes dicultés autour du point critique (groupe de renormalisation,... ) 3 Mécanique des uides δ = 1 Re c 2 (Re nombre de Reynolds). A. YOUSSEF et quantique, un survol.
22 Exemple de singularité 0 Quelques frontières entre théories 1 Relativité restreinte Mécanique classique δ = v 2 Analytique 1 δ2 = δ Physique statistique Thermodynamique δ = 1 N Grandes dicultés autour du point critique (groupe de renormalisation,... ) 3 Mécanique des uides δ = 1 Re (Re nombre de Reynolds). δ 0 singulière turbulence c 2 A. YOUSSEF et quantique, un survol.
23 Exemple de singularité 0 Exemple de singularité 0 A. YOUSSEF et quantique, un survol.
24 Exemple de singularité 0 Particule quantique envoyée depuis x = avec une énergie E > V Fig.: Potentiel discontinu A. YOUSSEF et quantique, un survol.
25 Exemple de singularité 0 ψ(x) = { e ikx + Be ikx si x > 0, avec k = Ae ik x si x 0, avec k = 2mE 2m(E V 0 ) A. YOUSSEF et quantique, un survol.
26 Exemple de singularité 0 ψ(x) = { e ikx + Be ikx si x > 0, avec k = Ae ik x si x 0, avec k = 2mE 2m(E V 0 ) Coecient de réexion ( R = k ) 2 k E E V0 k + k = E + E V0 A. YOUSSEF et quantique, un survol.
27 Exemple de singularité 0 ψ(x) = { e ikx + Be ikx si x > 0, avec k = Ae ik x si x 0, avec k = 2mE 2m(E V 0 ) Coecient de réexion Indépendant de! ( R = k ) 2 k E E V0 k + k = E + E V0 lim R( ) 0 = R(0) 0, 0 A. YOUSSEF et quantique, un survol.
28 Exemple de singularité 0 Nous sommes allés un peu vite A. YOUSSEF et quantique, un survol.
29 Exemple de singularité 0 Nous sommes allés un peu vite Potentiel V (x) = 1 V e x/a Fig.: Potentiel doux A. YOUSSEF et quantique, un survol.
30 Exemple de singularité 0 Landau et Lifchitz ont calculé R R(, a) = ( sinh aπ(k k ) ) 2 sinh aπ(k + k ) A. YOUSSEF et quantique, un survol.
31 Exemple de singularité 0 Landau et Lifchitz ont calculé R R(, a) = ( sinh aπ(k k ) ) 2 sinh aπ(k + k ) lim a 0 lim R(, a) = 0 0 A. YOUSSEF et quantique, un survol.
32 Exemple de singularité 0 Autre diculté pour le chaos quantique : A. YOUSSEF et quantique, un survol.
33 Exemple de singularité 0 Autre diculté pour le chaos quantique : Pour le chaos, la limite des temps innis est importante A. YOUSSEF et quantique, un survol.
34 Exemple de singularité 0 Autre diculté pour le chaos quantique : Pour le chaos, la limite des temps innis est importante Mais lim lim lim t 0 lim t 0 A. YOUSSEF et quantique, un survol.
35 Dénitions A. YOUSSEF et quantique, un survol.
36 Intégrable : nbre constantes du mouvement = nbre de degrés de liberté A. YOUSSEF et quantique, un survol.
37 Intégrable : nbre constantes du mouvement = nbre de degrés de liberté Chaotique : sensibilité extrême aux conditions initiales. A. YOUSSEF et quantique, un survol.
38 Intégrable : nbre constantes du mouvement = nbre de degrés de liberté Chaotique : sensibilité extrême aux conditions initiales. Toute une zoologie au milieu A. YOUSSEF et quantique, un survol.
39 Intégrable : nbre constantes du mouvement = nbre de degrés de liberté Chaotique : sensibilité extrême aux conditions initiales. Toute une zoologie au milieu Partiellement structurée par KAM A. YOUSSEF et quantique, un survol.
40 Naissance et motivation de la théorie Construction des bons ensembles statistiques de matrices L'universalité A. YOUSSEF et quantique, un survol.
41 Naissance et motivation de la théorie Construction des bons ensembles statistiques de matrices L'universalité Naissance et motivation de la théorie A. YOUSSEF et quantique, un survol.
42 Naissance et motivation de la théorie Construction des bons ensembles statistiques de matrices L'universalité De manière surprenante, une théorie très riche pour les mathématiciens et les physiciens A. YOUSSEF et quantique, un survol.
43 Naissance et motivation de la théorie Construction des bons ensembles statistiques de matrices L'universalité De manière surprenante, une théorie très riche pour les mathématiciens et les physiciens Née des travaux de Wigner en physique nucléaire A. YOUSSEF et quantique, un survol.
44 Naissance et motivation de la théorie Construction des bons ensembles statistiques de matrices L'universalité Pour les gros noyaux atomiques, ρ(e) croît très vite avec l'énergie (c, et a constantes qui dépendent du noyau) ρ(e) c (E ) 5/4 exp (a E ) A. YOUSSEF et quantique, un survol.
45 Naissance et motivation de la théorie Construction des bons ensembles statistiques de matrices L'universalité Pour les gros noyaux atomiques, ρ(e) croît très vite avec l'énergie (c, et a constantes qui dépendent du noyau) ρ(e) c (E ) 5/4 exp (a E ) Justication : nombre de partitions d'un entier A. YOUSSEF et quantique, un survol.
46 Naissance et motivation de la théorie Construction des bons ensembles statistiques de matrices L'universalité Fig.: Allure de ρ(e) (échelle insigniante) A. YOUSSEF et quantique, un survol.
47 Naissance et motivation de la théorie Construction des bons ensembles statistiques de matrices L'universalité Régions hautement énergétiques (typiquement Mev) A. YOUSSEF et quantique, un survol.
48 Naissance et motivation de la théorie Construction des bons ensembles statistiques de matrices L'universalité Régions hautement énergétiques (typiquement Mev) = nombre de niveaux très élevés A. YOUSSEF et quantique, un survol.
49 Naissance et motivation de la théorie Construction des bons ensembles statistiques de matrices L'universalité Régions hautement énergétiques (typiquement Mev) = nombre de niveaux très élevés = on doit abandonner une description individuelle des niveaux A. YOUSSEF et quantique, un survol.
50 Naissance et motivation de la théorie Construction des bons ensembles statistiques de matrices L'universalité Situation élégamment résumée par F. Dyson What is required is a new kind of statistical mechanics, in which we renounce exact knowledge not of the state of a system, but of the nature of the system itself. We picture a complex nucleus as a "black box" in which a large number of particles are interacting according to unknown laws. The problem is then to dene in a mathematically precise way an ensemble of systems in which all possible laws of interaction are equally probable. A. YOUSSEF et quantique, un survol.
51 Naissance et motivation de la théorie Construction des bons ensembles statistiques de matrices L'universalité Construction des bons ensembles statistiques de matrices A. YOUSSEF et quantique, un survol.
52 Naissance et motivation de la théorie Construction des bons ensembles statistiques de matrices L'universalité But : construire un bon ensemble de lois d'interactions, c'est à dire d'hamiltoniens A. YOUSSEF et quantique, un survol.
53 Naissance et motivation de la théorie Construction des bons ensembles statistiques de matrices L'universalité 1 Matrice hermitienne pour pouvoir correspondre à un Hamiltonien. A. YOUSSEF et quantique, un survol.
54 Naissance et motivation de la théorie Construction des bons ensembles statistiques de matrices L'universalité 1 Matrice hermitienne pour pouvoir correspondre à un Hamiltonien. 2 Ne pas privilégier une loi d'interaction par rapport aux autres. A. YOUSSEF et quantique, un survol.
55 Naissance et motivation de la théorie Construction des bons ensembles statistiques de matrices L'universalité 1 Matrice hermitienne pour pouvoir correspondre à un Hamiltonien. 2 Ne pas privilégier une loi d'interaction par rapport aux autres. Hamiltonien = matrice symétrique A. YOUSSEF et quantique, un survol.
56 Naissance et motivation de la théorie Construction des bons ensembles statistiques de matrices L'universalité 1 Matrice hermitienne pour pouvoir correspondre à un Hamiltonien. 2 Ne pas privilégier une loi d'interaction par rapport aux autres. Hamiltonien = matrice symétrique = invariante dans toute transformation orthogonale A. YOUSSEF et quantique, un survol.
57 Naissance et motivation de la théorie Construction des bons ensembles statistiques de matrices L'universalité 1 Matrice hermitienne pour pouvoir correspondre à un Hamiltonien. 2 Ne pas privilégier une loi d'interaction par rapport aux autres. Hamiltonien = matrice symétrique = invariante dans toute transformation orthogonale = La mesure de probabilité P(H) aussi A. YOUSSEF et quantique, un survol.
58 Naissance et motivation de la théorie Construction des bons ensembles statistiques de matrices L'universalité 1 Matrice hermitienne pour pouvoir correspondre à un Hamiltonien. 2 Ne pas privilégier une loi d'interaction par rapport aux autres. Hamiltonien = matrice symétrique = invariante dans toute transformation orthogonale = La mesure de probabilité P(H) aussi H = O T H O P(H )dh = P(H)dH O T O = Id A. YOUSSEF et quantique, un survol.
59 Naissance et motivation de la théorie Construction des bons ensembles statistiques de matrices L'universalité 1 Matrice hermitienne pour pouvoir correspondre à un Hamiltonien. 2 Ne pas privilégier une loi d'interaction par rapport aux autres. Hamiltonien = matrice symétrique = invariante dans toute transformation orthogonale = La mesure de probabilité P(H) aussi H = O T H O P(H )dh = P(H)dH O T O = Id 3 Les éléments de la matrice sont tous indépendants (simplicité) A. YOUSSEF et quantique, un survol.
60 Naissance et motivation de la théorie Construction des bons ensembles statistiques de matrices L'universalité = Une unique loi de probabilité P(H) de la forme : P(H) = exp ( a Tr H 2 ) avec a réel positif A. YOUSSEF et quantique, un survol.
61 Naissance et motivation de la théorie Construction des bons ensembles statistiques de matrices L'universalité L'universalité A. YOUSSEF et quantique, un survol.
62 Naissance et motivation de la théorie Construction des bons ensembles statistiques de matrices L'universalité Taille de la matrice = les corrélations des valeurs propres ne dépendent pas des détails de P(H) mais dépendent uniquement de propriétés de symétries très générales. A. YOUSSEF et quantique, un survol.
63 Naissance et motivation de la théorie Construction des bons ensembles statistiques de matrices L'universalité Taille de la matrice = les corrélations des valeurs propres ne dépendent pas des détails de P(H) mais dépendent uniquement de propriétés de symétries très générales. C'est l'espacement entre plus proches voisins (λ k+1 λ k ) k qui est universel (p(s)) A. YOUSSEF et quantique, un survol.
64 Naissance et motivation de la théorie Construction des bons ensembles statistiques de matrices L'universalité Suggère que les corrélations des valeurs propres des matrices aléatoires sont plutôt la règle que l'exception. A. YOUSSEF et quantique, un survol.
65 Naissance et motivation de la théorie Construction des bons ensembles statistiques de matrices L'universalité Suggère que les corrélations des valeurs propres des matrices aléatoires sont plutôt la règle que l'exception. Ceci reste une conjecture A. YOUSSEF et quantique, un survol.
66 Naissance et motivation de la théorie Construction des bons ensembles statistiques de matrices L'universalité Suggère que les corrélations des valeurs propres des matrices aléatoires sont plutôt la règle que l'exception. Ceci reste une conjecture prouvée dans le cas avec V polynôme. P(H) = exp (Tr V (H))dH A. YOUSSEF et quantique, un survol.
67 (matrices 2 2) A. YOUSSEF et quantique, un survol.
68 En guise de référence, on calcule p(s) de deux variables aléatoires gaussiennes indépendantes a et b A. YOUSSEF et quantique, un survol.
69 En guise de référence, on calcule p(s) de deux variables aléatoires gaussiennes indépendantes a et b p(s) = 1 R2 δ[s (a b)] exp ( a 2 + b 2 ) da db 2π 2 A. YOUSSEF et quantique, un survol.
70 En guise de référence, on calcule p(s) de deux variables aléatoires gaussiennes indépendantes a et b p(s) = 1 R2 δ[s (a b)] exp ( a 2 + b 2 ) da db 2π 2 ce qui donne une gaussienne. A. YOUSSEF et quantique, un survol.
71 Fig.: p(s) de deux variables indépendantes (10 4 données) A. YOUSSEF et quantique, un survol.
72 Fig.: p(s) de deux variables indépendantes (10 4 données) l'écart à cette courbe sera la preuve de corrélation A. YOUSSEF et quantique, un survol.
73 Étude analytique A. YOUSSEF et quantique, un survol.
74 Soit une matrice symétrique à éléments réels ( ) a c M = c b A. YOUSSEF et quantique, un survol.
75 Soit une matrice symétrique à éléments réels ( ) a c M = c b Diérence entre les 2 valeurs propres = (a b) 2 4c 2 A. YOUSSEF et quantique, un survol.
76 1 R3 p(s) = δ[s ] exp ( a 2 + b 2 + c 2 ) da db dc (2π) 3/2 2 A. YOUSSEF et quantique, un survol.
77 1 R3 p(s) = δ[s ] exp ( a 2 + b 2 + c 2 ) da db dc (2π) 3/2 2 distribution de Wigner p Wigner (s) = π 2 s exp ( π 4 s 2 ) A. YOUSSEF et quantique, un survol.
78 1 R3 p(s) = δ[s ] exp ( a 2 + b 2 + c 2 ) da db dc (2π) 3/2 2 distribution de Wigner p Wigner (s) = π 2 s exp ( π 4 s 2 ) Excellente approximation du cas N N avec N grand A. YOUSSEF et quantique, un survol.
79 Fig.: Distribution de Wigner A. YOUSSEF et quantique, un survol.
80 Fig.: Histogramme de p(s) pour 10 4 matrices 2 2 A. YOUSSEF et quantique, un survol.
81 x x Fig.: Gaussienne et Wigner Répulsion des niveaux A. YOUSSEF et quantique, un survol.
82 La répulsion des niveaux est liée à l'indépendance des éléments de la matrice. A. YOUSSEF et quantique, un survol.
83 La répulsion des niveaux est liée à l'indépendance des éléments de la matrice. Simulation de la décorrélation du spectre ( ) a + γc c M = c b + γc γ mesure la corrélation entre les termes de la matrices A. YOUSSEF et quantique, un survol.
84 A. YOUSSEF et quantique, un survol.
85 A. YOUSSEF et quantique, un survol.
86 A. YOUSSEF et quantique, un survol.
87 A. YOUSSEF et quantique, un survol.
88 (Lien entre la RMT et le chaos quantique) A. YOUSSEF et quantique, un survol.
89 RMT pour décrire des systèmes très complexes La complexité justiait la théorie A. YOUSSEF et quantique, un survol.
90 RMT pour décrire des systèmes très complexes La complexité justiait la théorie Mais observation : des systèmes quantiques très simples sont également très bien décrits par la RMT A. YOUSSEF et quantique, un survol.
91 RMT pour décrire des systèmes très complexes La complexité justiait la théorie Mais observation : des systèmes quantiques très simples sont également très bien décrits par la RMT Conditions d'application de la RMT? A. YOUSSEF et quantique, un survol.
92 Réponse : Applicabilité de la RMT liée à un changement de la notion de complexité A. YOUSSEF et quantique, un survol.
93 Réponse : Applicabilité de la RMT liée à un changement de la notion de complexité Complexité de la dynamique classique du système quantique équivalent (intégrable, chaotique,... ) et non la complexité du système physique considéré (grand nombre de particules interagissant,... ) A. YOUSSEF et quantique, un survol.
94 Lien entre la dynamique classique et quantique : La signature quantique du chaos A. YOUSSEF et quantique, un survol.
95 Spectre d'un système dont l'équivalent classique est intégrable = spectre totalement décorrélé. En particulier p(s) est une loi de Poisson. A. YOUSSEF et quantique, un survol.
96 Spectre d'un système dont l'équivalent classique est intégrable = spectre totalement décorrélé. En particulier p(s) est une loi de Poisson. Spectre d'un système dont l'équivalent classique est totalement chaotique = corrélations d'ensemble RM dont seule la symétrie globale importe. En particulier p(s) suit Wigner. A. YOUSSEF et quantique, un survol.
97 Les symétries spatio-temporelles du système déterminent uniquement l'ensemble des matrices pour le décrire. A. YOUSSEF et quantique, un survol.
98 Les symétries spatio-temporelles du système déterminent uniquement l'ensemble des matrices pour le décrire. Seules trois possibilités existent A. YOUSSEF et quantique, un survol.
99 1 Système invariant sous renversement du temps et sous toute rotation Matrices réelles symétriques (GOE). A. YOUSSEF et quantique, un survol.
100 1 Système invariant sous renversement du temps et sous toute rotation Matrices réelles symétriques (GOE). 2 Système non invariant sous renversement du temps Matrices Hermitiennes complexes (GUE). A. YOUSSEF et quantique, un survol.
101 1 Système invariant sous renversement du temps et sous toute rotation Matrices réelles symétriques (GOE). 2 Système non invariant sous renversement du temps Matrices Hermitiennes complexes (GUE). 3 Système invariant par renversement du temps mais pas sous les rotations spatiales Matrices quaternions réelles. A. YOUSSEF et quantique, un survol.
102 A. YOUSSEF et quantique, un survol.
103 Exemples de systèmes non génériques A. YOUSSEF et quantique, un survol.
104 L'universalité ne s'applique pas à des systèmes trop simples : non générique A. YOUSSEF et quantique, un survol.
105 L'universalité ne s'applique pas à des systèmes trop simples : non générique Exemple : Deux oscillateurs harmoniques non couplés. H = p 2 1 2m + p 2 2 2m + ω q 12 + ω 22 q 2 A. YOUSSEF et quantique, un survol.
106 Simulation A. YOUSSEF et quantique, un survol.
107 Simulation Fig.: Histogramme de p(s) pour deux oscillateurs harmoniques non couplés, avec un rapport de fréquence égal au nombre d'or. A. YOUSSEF et quantique, un survol.
108 intégrable billard chaotique A. YOUSSEF et quantique, un survol.
109 intégrable billard chaotique Résoudre l'équation de Schrödinger (stationnaire) avec conditions de Dirichlet au bord du billard : { ( + E) ψ = 0 ψ bord = 0 A. YOUSSEF et quantique, un survol.
110 intégrable billard chaotique intégrable Rectangle A. YOUSSEF et quantique, un survol.
111 intégrable billard chaotique rectangulaire de côtés a et b A. YOUSSEF et quantique, un survol.
112 intégrable billard chaotique rectangulaire de côtés a et b E n1,n 2 = ( ) 2π 2 ( ) 2π 2 a n 1 + b n 2 A. YOUSSEF et quantique, un survol.
113 intégrable billard chaotique t Fig.: p(s) d'un rectangle A. YOUSSEF et quantique, un survol.
114 intégrable billard chaotique chaotique Stade A. YOUSSEF et quantique, un survol.
115 intégrable billard chaotique Fig.: p(s) d'un stade A. YOUSSEF et quantique, un survol.
116 intégrable billard chaotique Conclusion On étudie des systèmes tout à fait déterminés (en mécanique classique ou quantique, l'évolution de l'état du système est déterministe). A. YOUSSEF et quantique, un survol.
117 intégrable billard chaotique Conclusion On étudie des systèmes tout à fait déterminés (en mécanique classique ou quantique, l'évolution de l'état du système est déterministe). Cependant, une approche probabiliste et statistique peut être appliquée de manière très fructueuse à de tels systèmes ou aucune stochasticité n'a était introduite de l'extérieure. A. YOUSSEF et quantique, un survol.
118 intégrable billard chaotique Conclusion Force de la RMT : universalité (comme le groupe de renormalisation... ) A. YOUSSEF et quantique, un survol.
119 intégrable billard chaotique Conclusion Force de la RMT : universalité (comme le groupe de renormalisation... ) Corrélations des zéros de ζ de Riemman = corrélations de la RMT?? A. YOUSSEF et quantique, un survol.
120 intégrable billard chaotique Annexe : Richesse de l'espace des phases classiques A. YOUSSEF et quantique, un survol.
121 intégrable billard chaotique Fig.: Projection dans l'espace des phases d'une trajectoire intégrable -1 A. YOUSSEF et quantique, un survol.
122 intégrable billard chaotique Fig.: Allure de l'espace des phases d'un système intégrable A. YOUSSEF et quantique, un survol.
123 intégrable billard chaotique Fig.: Projection dans l'espace des phases d'une trajectoire non intégrable A. YOUSSEF et quantique, un survol.
124 intégrable billard chaotique Fig.: Allure de l'espace des phases d'un système non intégrable A. YOUSSEF et quantique, un survol.
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