Logarithmes et exposants

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1 Le Centre d éducation en mathématiques et en informatique Ateliers en ligne Euclide Atelier n o 1 Logarithmes et eposants c 14 UNIVERSITY OF WATERLOO

2 BOÎTE À OUTILS Soit a, b, et des nombres réels et n un entier non nul. Voici les lois des eposants : a 1 n = n a a = 1 (a ) a = 1 (a ) a a a = a + a b = (ab) a a = a (a ) a b = ( ) a (b ) b (a ) = a De plus, n est pas défini s il survient dans n importe laquelle de ces formules. Soit a, et des nombres réels non nuls. Voici les lois des logarithmes : ( ) log a () = log a + log a log a = log a log a log a ( ) = log a log a (a ) = a log a = log a 1 = log a = 1 log a log a log a = log Si f() = a, alors f 1 () = log a. Il faut savoir tracer la représentation graphique de f et de f 1. Voici le graphique de =, suivi de celui de = log : LE CENTRE D ÉDUCATION EN MATHÉMATIQUES ET EN INFORMATIQUE

3 EXEMPLES DE PROBLÈMES 1. Calculer la valeur de, sachant que log 5( 3) = log 5 () + log 5 (). L argument de chaque terme logarithmique doit être strictement positif. Donc >, > et > 3. Or : log 5 ( 3) = log 5 () + log 5 () log 5 ( 3) = log 5 (4) Puisqu une fonction logarithmique est croissante, l égalité précédente indique que les arguments sont égau. Donc : ( 3) = = = ( )( 9) = Donc = ou 9 =, d où = 1 ou = 9. Or d après les restrictions, > 3. Donc = 9.. Déterminer toutes les solutions de l équation 9(7 k + 7 k+ ) = 5 m m, m et k étant des entiers. On factorise chaque membre de l équation, ce qui donne : 9(1 + 7 )7 k = 5 m ( ) k = 5 m 3 7 Puisque chaque membre de l équation est un entier et que la factorisation première d un nombre est unique, alors la seule solution est m = et k = Déterminer les points d intersection des courbes définies par = log ( ) et = 1 log ( + 1). Puisque l argument de chaque terme logarithmique doit être strictement positif, alors > et + 1 >, d où >. Or : log ( ) = 1 log ( + 1) log ( ) + log ( + 1) = 1 log [( )( + 1)] = 1 ( )( + 1) = = 1 = ( 4)( + 3) = Donc = 4 ou = 3. Cette dernière est rejetée, puisque l on doit avoir >. Donc = 4. Le point d intersection est (4, log ), ou (4, 1 log 5). Puisque log + log 5 = 1, ces deu points sont identiques. LE CENTRE D ÉDUCATION EN MATHÉMATIQUES ET EN INFORMATIQUE 3

4 4. Résoudre l équation log (9 ) = 3. Puisque l argument d un logarithme doit être strictement positif, alors 9 >. On reporte = dans cette équation pour obtenir : log (9 ) = 3 (9 ) = 3 (9 ) = 8 9 = = ( 1)( 8) = Donc = 1 ou = 8. On reporte ces valeurs dans l équation = pour obtenir = ou = 3. Puisque chacune de ces valeurs satisfait à la restriction, les solutions sont = et = La représentation graphique de = m passe au points (, 5) et (5, n). Quelle est la valeur de mn? Puisque la courbe passe par ces points, leurs coordonnées vérifient l équation. Donc m = 5 et n = m 5. Donc : m = ± 5 n = (± 5) 5 mn = ( 5) 6 mn = 15 LE CENTRE D ÉDUCATION EN MATHÉMATIQUES ET EN INFORMATIQUE 4

5 TROUSSE DE PROBLÈMES 1. Déterminer les valeurs de pour lesquelles log + log 4 + log 8 = 1.. Déterminer les valeurs de pour lesquelles 1 +1 = Déterminer la somme de la série suivante : 3 log + log log log Déterminer les valeurs de et de pour lesquelles 3 5 = et 5. Soit log 8 3 = k. Eprimer log 8 18 en fonction de k. = Déterminer le point d intersection des courbes définies par = log () et = log Soit A( 1, 1 ) et B(, ) deu points sur la courbe représentative de = log a. On considère une droite horizontale qui passe au milieu du segment AB. Cette droite coupe la courbe au point C( 3, 3 ). Démontrer que ( 3 ) = La courbe repésentative de = a r passe au points (, 1) et (3, 4). Déterminer la valeur de r. 9. Soit +3 + = 3 + 3, et étant des entiers. Déterminer les valeurs de et de.. Soit f() = 4. Déterminer une epression simplifée pour f() f(1 ). 11. Déterminer toutes les valeurs de pour lesquelles log 5 ( ) + log 5 ( 6) =. 1. Démontrer que trois nombres strictement positifs a, b et c forment une suite géométrique si et seulement si log a, log b et log c forment une suite arithmétique. LE CENTRE D ÉDUCATION EN MATHÉMATIQUES ET EN INFORMATIQUE 5