Correction des exercices sur les fonctions numériques

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1 Correction des exercices sur les fonctions numériques I. les différentes désignations des fonctions numériques 1) les places de cinéma - une formule : pour x appartenant à IN : f(x)=8x - une phrase : si 8 est le prix d une place de cinéma, le prix de n places est 8xn Cette fonction est une fonction linéaire. Son ensemble de départ est IN ainsi que son ensemble d arrivée. Cette fonction est directement liée à la notion de proportionnalité : le prix payé est proportionnel au nombre de places achetées. La représentation graphique est une droite qui passe par l origine du repère. 2) le tarif d une course en taxi - une phrase Distance parcourue Prix de la course - une formule : pour x appartenant à IR : f(x)=0,5x + 3 Cette fonction est une fonction affine. Son ensemble de départ est IR ainsi que son ensemble d arrivée. Elle n est pas linéaire. Le prix de la course n est pas proportionnel à la distance parcourue en kilomètres. La représentation graphique est une droite qui ne passe plus obligatoirement par l origine du repère. 3) le magasin de location de VVT - des formules si x est la durée de location et y le prix payé, on peut écrire : Pour 0 < x 3 : - pour 0 < x 1, y = 10x = 35 - pour 1 < x 2, y = 10x = 45 - pour 2 < x < 3, y = 10x = 55 Pour 3 x 15 : Pour x=3 y = 8 x pour 3 < x 4, y = 8x = 57 - pour 4 < x 5, y = 8x = 65 - pour 5 < x 6, y = 8x = 73 - etc. C est une fonction dite «en escalier». Les situations du même type sont : - les tarifs postaux - les tarifs de parkings - les tarifs de téléphone Il existe aussi des fonctions affines par morceaux : les taux d imposition 4) la distance de freinage x est la vitesse en km/h,y est la distance de freinage en m - une formule : pour x appartenant à IR + : y = f(x)= - une phrase : si x est la vitesse en km/h, la distance de freinage est égale au carré de x divisé par 100. la distance est proportionnelle au carré de la vitesse et n est pas proportionnelle à la vitesse. Cette fonction est une fonction «puissance», ce n est pas une fonction linéaire. Son ensemble de départ est IR + et son ensemble d arrivée est. La représentation graphique est une branche de parabole. 5) Le rectangle Si L et l sont les dimensions du rectangle en cm, Lxl = 84 est la relation qui lie les deux dimensions

2 - une formule : pour l appartenant à IR + : L = f(l)= Cette fonction est une «fonction» inverse. La représentation graphique est une branche d hyperbole. 6) Le général romain N est le nombre de jours et y le nombre de sesterces - une formule : pour N appartenant à IN: y = f(n)=2 Cette fonction est une fonction exponentielle. 7) Les restes de la division euclidienne d un nombre par 5 Par contre, on a du mal à trouver une formule : nombre reste ) dimensions du rectangle et périmètre Si L et l sont les dimensions du rectangle en cm, 2(L + l) = P est la relation qui lie les deux dimensions. - une formule : pour l appartenant à IR + : L = f(l)= - l f est une fonction affine.p étant différent de 0, la représentation graphique est une droite qui ne passe pas par l origine. 9) ras le bol! Les graphiques associés aux différents récipients sont : 3 :D - 1 :A 2 : C 4 : B II. Exercices Exercice 1 1) Les cyclistes commencent à monter à 9 h + 1h 15 min + 25 min, soit à 10h 40 min. Ils parcourent cette montée à la vitesse constante de 12 km/h. Ce qui signifie que la distance parcourue est proportionnelle à la durée. En appliquant les propriétés de linéarité, on peut dire que les cyclistes parcourent 4 km en 20 min et donc 16 km en 80 min. Ils arriveront donc sur le lieu du pique-nique à l0h 40 min + 80 min, soit à 12 h. L'automobiliste veut arriver à 11h 45 min. Il parcourt à la vitesse constante de 48km/h les 16 kms de montée. En appliquant les propriétés de linéarité, on peut donc dire qu'il met 20 min pour effectuer la montée. Comme il roule à la vitesse constante de 120 km/h pour parcourir les 30 kms d'autoroute, en s'appuyant sur ces mêmes propriétés, on peut dire qu'il met 15 min pour effectuer ce trajet. Il met donc 35 min pour aller sur le lieu du pique-nique. Il doit donc partir à 11h 45 min - 35 min soit à 11h l0min. Ces indications permettent de construire le graphique. 2) D'après ce qui précède, l'automobiliste va doubler les cyclistes dans la montée. On prend donc comme origine des calculs le début de la montée. Quand l'automobiliste va rencontrer les cyclistes, tous auront parcouru la même distance d depuis le début de la montée. Soit t la durée qui sépare le début de la montée de l'instant de la rencontre. Puisque les vitesses sont constantes, on peut utiliser la relation liant la distance, la vitesse et la durée : distance = vitesse moyenne x durée: - pour les cyclistes: d = 12 km/h x (t - 10h40min) - pour l'automobiliste: d = 48 km/h x ( t - 11h 25 min) soit 12 km/h x (t - 10h 40 min) = 48km/h x (t - 11h 25 min). On en déduit que t - 10h 40 min= 4 x (t - 11h 25 min). Or 11h 25 min = 10 h 40 min + 45 min On peut alors écrire t - 10 h 40 min = 4 x (t - 10 h 40 min - 45 min), soit 3 x (t 10h 40 min) = 4 x 45 min, soit t - 10h 40 min = 60 min. On en déduit donc que t = 10h 40 min + 1h soit 11h 40 min. On peut alors calculer d la distance parcourue depuis le début de la montée : d = 12 km/h x ( 11h 40 min - 10h 40 min) = 12 km. L'automobiliste double donc les cyclistes à 11h 40 min, au km 12 de la montée. 3) On considère la vitesse des cyclistes constantes sur cette partie de parcours, ce qui signifie que la distance parcourue est proportionnelle à la durée du parcours. Si v est cette vitesse exprimée en km/h, si d est la distance parcourue en km et si t est la durée exprimée en heure, on peut écrire d= v x t Soit avec les données de l'énoncé: 30 = v x 1,25 ( 1heure 1;4 correspond à 1,25 h) soit v = 24 km/h 4) L'automobiliste met 35 min soit 35/60 d'heure pour parcourir 46 km. On en déduit sa vitesse moyenne sur l'ensemble du parcours en divisant la distance parcourue par la durée du trajet soit 46 x 60/35. La vitesse moyenne est comprise entre 78, 85 km/h et 78,86 km/h. Le nombre décimal à un chiffre après la virgule le plus proche de la valeur exacte est 78,9 km/h.

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4 Exercice 2 1) Etude du placement P : a) Au bout d'un an les intérêts avant imposition représentent euros x 8/100 soit 800 euros. Après l'imposition annuelle de 15%, il ne reste plus que 800euros euros x 15/100 soit 680 euros. b) Le pourcentage que représentent ces intérêts nets par rapport au capital de euros est donc de 6,8 % : 6,8 % de euros correspondent bien à 680 euros. c) Au bout d'un an les intérêts net sur un capital de euros s'élèvent à 680 euros. Comme il s'agit d'intérêts simples, on peut dire qu'au bout de n années, les intérêts s'élèveront à n x 680 euros S = euros euros x n f(n) = x n. C'est la restriction de la fonction affine x où x est un nombre réel dont la représentation graphique est une droite ne passant pas par l'origine. La représentation graphique de f(n) est une suite de points alignés sur cette droite. 2) Etude du placement Q a) Au bout d'un an, le capital C obtenu aura pour valeur C + C x 5/100 = C x (1 + 5/100) Au bout de deux ans, le capital obtenu sera donc de C x (1 + 5/100) + C x (1 + 5/100) x 5/100 soit C x (1+5/100)². Au bout de n années, le capital devient C x (1 + 5/100) n. 3) Comparaison des deux placements; a) voir feuille jointe. b) Pour n = 8, f(n) > g(n). Monsieur Martin a donc intérêt à choisir le premier placement. c) L'intersection des deux courbes joignant les points des deux représentations graphiques se fait au voisinage de n = 13, donc no = 13. Calculons pour chaque sorte de placement, le capital acquis au bout de ces 13 années : Pour le placement P : S = euros + 13 x 680 euros = euros. Pour le placement Q : C = euros x (1 + 5/100) euros. L'écart est donc de 16 euros Exercice 3 1) Le volume du tronc de cône est égal à la différence entre le volume du cône dont la base est le disque de rayon 1 cm et dont la hauteur est 3 cm et le volume du cône dont la base est le disque dont le rayon cm est r et de hauteur 3 cm - h. Déterminons r : pour cela, on peut appliquer le théorème de Thalès sur une section du cône passant par l'axe de ce dernier ce qui permet d'écrire l'égalité des rapports suivante: = soit r = cm La mesure du volume en cm 3 du grand cône est 1/3 x π x (1)² x 3 = π La mesure du volume en cm 3 du petit cône est 1/3 x π x (3 - h)² /3 2 x (3-h) = π x (3 - h) 3 /27 La mesure du volume du tronc de cône est donc: π ( π x (3 - h) 3 /27). Or (3 - h) 3 = 27-27h + 9h 2 - h 3. et π x (3 - h) 3 /27 = π (1 - h + h 2 / 3 - h 3 /27) On en déduit donc la mesure du volume du tronc de cône: π (h - h 2 / 3 + h 3 / 27) soit πh(27-9h + h 2 ) /27. 2) a) Pour x compris entre 0 et 3 cm, la mesure en cm 3 du volume occupé par le liquide est égal à la différence entre la mesure du volume en cm 3 d'un cylindre dont la base est un disque de 1 cm de rayon et dont la hauteur est x cm soit πx et la mesure du volume du tronc de cône dont la mesure de la hauteur en cm hauteur est x soit d'après la question précédente:. πx /27 (27-9x+ x 2 ). Soit V(x) = πx - πx /27 (27-9x+ x 2 ) = πx 2 / 27 (9 - x) Pour x compris entre 3cm et 5 cm, la mesure du volume du liquide est égale à la valeur précédente pour x = 3 cm à laquelle on ajoute la mesure d'un cylindre de base le disque de rayon 3 cm et dont la mesure de la hauteur en cm est (x-3). Soit : V(x) = 2 π + π (x - 3) =πx π b) Les représentations graphiques 1) et 6) ne peuvent convenir parce que pour x compris entre 0 et 3 cm, V(x) n'est pas une fonction linéaire et donc ne peut être représentée par un morceau de droite passant par l'origine. Les représentations graphiques 2) et 3) ne conviennent pas parce qu'elles ne représentent pas une fonction croissante, alors que c'est le cas pour V(x). La représentation graphique 5) ne convient pas non plus: en effet, sur cette représentation V(3) = π alors que dans la réalité V(3) = 2 π. Seule la représentation graphique 4) convient.

5 Exercice 4 (d'après CRPE Dijon 2001) 1) On appelle x le nombre de kilomètres parcouru en une semaine de location. Formule 1 : quel que soit le nombre x de kilomètres parcourus, le prix correspond à un forfait hebdomadaire fixe de 5500F. On peut donc traduire le prix payé en fonction des kilomètres parcourus par l'écriture: f(x) = Formule 2 : on doit considérer deux cas: - soit le client parcourt moins de km et dans ce cas le prix payé en fonction du nombre x de kilomètres parcourus s'exprime par : g(x) = pour 0 < x 2000). - soit le client parcourt plus de km et dans ce cas le prix payé en fonction du nombre de kilomètres parcourus s'exprime par : g(x) = ,6 (x ) pour x> On peut donc encore écrire que dans le cas où x> g(x) = 1,6 x ,6 x = 1,6 x Formule 3 : Le client paye 350F par jour pendant 7 jours et 1,50 F par kilomètre parcouru. Dans ce cas le prix payé en fonction du nombre de kilomètres parcourus s'exprime par :g(x) = 7 x ,5 x soit: g(x) = 1,5 x ) voir feuille jointe. 3) a) Résolution graphique: Sur la représentation graphique, la formule la plus avantageuse se repère quand sa courbe est située en dessous des deux autres d'où par lecture graphique: - pour 0 < x 1 400, la formule 3 est la plus avantageuse - pour < x 2 600, la formule 2 est la plus avantageuse. - pour x > 2 600, la formule 1 est la plus avantageuse. b) Résolution par le calcul: Pour trouver la quelle des trois formules est la plus avantageuse, il faut comparer deux à deux les fonction f(x), g(x) et h(x). Comparons f(x) et g(x) en calculant f(x) - g(x) : - Si x : f(x) - g(x) = = 950 donc f(x) g(x) - Si x> : f(x) - g(x) = ( ,6 x) = ,6 x. d'où f(x) -g(x) 0 si ,6 x 0 soit si x 2593, 75. On peut donc résumer les résultats de la comparaison entre f(x) et g(x) de la manière suivante: - Si x 2 593,75 alors g(x) f(x) - Si x 2 593, 75 alors f(x) g(x) Comparons f(x) et h(x) en calculant f(x) - h(x) : f(x) - h(x) = ( l, 5 x) = l, 5 x D'où f(x) - h(x) 0 si ,5 x 0 soit si x 3050/1,5, soit si x 2 033,33... On peut donc résumer les résultats de la comparaison entre f(x) et h(x) de la manière suivante: - Si x 2 033,33. alors h (x) f(x) - Si x 2 033,33. alors f(x) h(x) Comparons g(x) et h(x) en calculant g(x) - h(x) : - Si x g(x) - h(x) = ( ,5 x) = l, 5x. d'où g(x) - h(x) 0 si l, 5 x 0 soit si x 2 100/1,5, soit si x 1400 et donc g(x) - h(x) 0 si x 2000, - Si x > 2 000, g(x) - h(x) = ( ,6 x) - ( l, 5 x) = 0,lx , d'où g(x) - h(x) 0 si 0,lx soit si x 1100/0,1,soit si x g(x) - h(x) 0 si 0,lx soit si 2000 x On peut donc résumer les résultats de la comparaison entre g(x) et h(x) de la manière suivante: - Si x 1400 alors h(x) g(x) - Si x alors g(x) h(x) - Si x alors h(x) g(x) En synthétisant les résultats des comparaisons précédentes, on peut mettre en évidence quelle est la formule la plus avantageuse: - Si x alors h(x) g(x) f(x) et dans ce cas, la formule 3 est la plus avantageuse. - Si x 2 033, 33, alors g(x) h(x) f(x) et dans ce cas, la formule 2 est la plus avantageuse. - Si 2 033,33 x 2593,75 alors g(x) f(x) h(x) et dans ce cas, la formule 2 est la plus avantageuse.

6 - Si 2 593,75 x alors f(x) g(x) h(x) et dans ce cas, la formule 1 est la plus avantageuse. - Si x > alors f(x) h(x) g(x) et dans ce cas, la formule 1 est la plus avantageuse. Remarque: on retrouve les résultats de la résolution graphique de manière plus précise. 4) Les formules 1 et 2 proposées sont valables pour une semaine. Aucune information sur les tarifs n'est donnée pour deux semaines consécutives. On peut donc envisager plusieurs possibilités même si certaines d'entre elles ne sont pas vraisemblables: il est en effet peu probable que le loueur vérifie le kilométrage au bout d'une semaine. D'autre part, on considère que le client garde la même formule pour les deux semaines. En choisissant la formule l, le client paye: 2 x F = F. S'il avait choisi la formule 3, il aurait payé (350 x ,5 x 4500) F =11650 F. Si le client avait choisi la formule 2, plusieurs cas auraient pu se présenter: - Soit on considère que pour deux semaines, le client bénéficie d'un crédit de km, inclus dans le forfait hebdomadaire de 4500F et que les 500 km restants sont payés à 1,60 F le kilomètre. Le client paierait alors (2x ,6 x 500) F = F - Soit on considère qu'il parcourt plus de km sur chacune des deux semaines. Soit x le nombre de kilomètres parcourus en plus la première semaine. Le client va alors payer la somme suivante en francs : ,6x ,6 ( x) = ,6 x 4550 = F - Soit on considère qu'il a parcouru 2000 km la première y semaine et 2500 km la deuxième semaine et dans ce cas il va payer: F F + 1,6F x 500 = 9900F. Dans tous les cas, c'est donc la formule 2 qui aurait été la plus avantageuse Mais que se passerait-il dans le cas où le nombre de kilomètres parcourus lors d'une des deux semaines est inférieur à 2000 km? Le prix maximum payé en choisissant la formule 2 est obtenu dans le cas limite peu vraisemblable dans la réalité où le nombre de kilomètres parcourus lors de la première semaine est nul et où les 4500 km sont parcourus la deuxième semaine. Dans ce cas le prix payé serait égal à 4550F F + 1,6F x 4550 = F. On peut alors se poser la question suivante: à quelle condition sur la répartition du kilométrage parcouru sur les deux semaines, le choix de la formule 2 serait le plus avantageux? Si la distance parcourue en une semaine est inférieure à 2000 km et dans l'autre est x 2000 km, le prix payé en francs par le client est ,6x = ,6x. Pour que ce prix soit le plus intéressant, il doit être inférieur au prix payé en choisissant la formule la plus avantageuse soit ici 11000F (d'après ce qui précède). On doit donc avoir ,6x < , soit x < 3187,5, ce qui correspond à un trajet de plus de 1312,5 km lors de la première semaine et à un trajet de moins de 3187,5 km la deuxième semaine. Exercice 5 : 1) L'aire d'un trapèze est (b + B)xh 2. Ce qui donne pour ABCD, dont les bases sont DC et AB et la hauteur AD : (DC + AB)xAD 2 aire égale à 1800 m 2. = ( )x30 2 2) A(AMGD) = 30 x, d'où A(BMGC) = x. = Le jardin à donc une 3) A(AMGD) = A(BMGC) 30 x = x 60 x = 1800 x = 30. C'est pour AM = 30 m que la pelouse et le potager ont même aire. AMGD est alors un carré. 4) a. et b. Les courbes se coupent au point de coordonnées (30, 900) : pour x = 30, le jardin et le potager ont même aire, 900 m 2. 5) La quantité de semence est proportionnelle à la superficie à ensemencer. Si 10 kg de semence sont nécessaires pour 500 m 2 alors y = x y = 30 x x

7 10x900 pour ensemencer 900 m 2, il faut, c'est à dire 18 kg. 500 Exercice 6 1) La mesure en cm 3 du volume d un pavé droit est égale au produit des mesures en cm de ses trois dimensions. D où V 1 (x) = (1 2 x) donc V 1 (x) = 2 x ) La pyramide de base SABCD a pour mesure de volume, en cm 3 : 1 SEFGH : (3 2) 5, (6 4) 11 et la pyramide 3 D où V 2 (x) = (3 2 x) (6 4) (3 2) 5,5, c est à dire V 2(x) = 6 x ) a) et b) V 1 et V 2 sont représentés graphiquement par des droites qui se coupent au point de coordonnées (5,7 ; 111,5). C est donc pour x 5,7 que V 1 (x) = V 2 (x). c) L équation V 1 (x) = V 2 (x) s écrit volume en cm 3 111, V 2 (x) = 6 x + 77 V 1 (x) = 2 x ,75 6 x + 77 = 2 x x = 23 x = 5,75 C est très précisément pour x = 5,75 que V 1 (x) = V 2 (x). longueur en cm d) V 1 (5,75) = 2 5, = 111,5 cm 3 or 1 cl = 10 cm 3 donc V 1 (5,75) = V 2 (5,75) = 11,150 cl.