TOPOLOGIE ET CALCUL DIFFÉRENTIEL. Laurent Berger

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1 TOPOLOGIE ET CALCUL DIFFÉRENTIEL Laurent Berger

2 Laurent Berger UMPA, ENS de Lyon, UMR 5669 du CNRS, Université de Lyon. laurent.berger@ens-lyon.fr Url : Septembre - décembre 2012

3 TOPOLOGIE ET CALCUL DIFFÉRENTIEL Laurent Berger

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5 TABLE DES MATIÈRES Partie I. Topologie Espaces topologiques Espaces métriques Fonctions continues Connexité Complétude Topologie générale Espaces compacts Compacité Espaces compacts Weierstrass et Stone Le théorème de Tychonoff Espaces de Banach Le théorème de Baire Espaces de Banach Le dual d un espace de Banach Espaces de Hilbert Partie II. Calcul différentiel Différentielles Fonctions réglées Fonctions différentiables Dérivées partielles Différentiation d intégrales et de suites Dérivées supérieures Inversion locale et géométrie Inversion locale Le théorème du rang constant Sous-variétés de R n Equations différentielles

6 6 TABLE DES MATIÈRES 6.1. Equations différentielles linéaires Equations différentielles non linéaires A. Appendice : ensembles A.1. Dénombrabilité A.2. L axiome du choix Index Bibliographie

7 PARTIE I TOPOLOGIE

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9 CHAPITRE 1 ESPACES TOPOLOGIQUES 1.1. Espaces métriques La topologie est l étude du lieu (anciennement : analysis situ). C est le bon cadre pour étudier les notions de limite, continuité, etc. Un espace métrique (E, d) est la donnée d un ensemble E et d une application distance d : E E R qui satisfait : 1. d(x, y) 0, et d(x, y) = 0 si et seulement si x = y; 2. d(x, y) = d(y, x); 3. d(x, y) d(x, z) + d(z, y) (inégalité triangulaire). Soit (E, d) un espace métrique. Si {x i } i 1 est une suite de E et si x E, alors on dit que x i converge vers x si pour tout ε > 0, il existe N 1 tel que d(x n, x) < ε quel que soit n N. On dit que x est la limite de la suite {x i } i 1 et cette limite est unique. Une valeur d adhérence (ou point d accumulation) de {x i } i 1 est un x E tel qu il existe une extraction ϕ (une fonction ϕ : Z 1 Z 1 strictement croissante) telle que la suite {x ϕ(i) } i 1 converge vers x. La boule ouverte de centre a E et de rayon r > 0 est B(a, r) = {x E tels que d(a, x) < r}. On dit qu une partie U de E est ouverte si pour tout x U, il existe r > 0 tel que B(x, r) U. L ensemble des ouverts de E est stable par union quelconque et intersection finie. On dit qu une partie F de E est fermée si E \ F est ouverte, ce qui fait que l ensemble des fermés de E est stable par intersection quelconque et union finie. Théorème Si F E, alors F est fermée si et seulement si pour toute suite {x i } i 1 de F qui converge vers une limite x E, on a x F. Démonstration. Si F est fermé et {x i } i 1 est une suite qui converge vers x E, alors supposons que x E \ F qui est ouvert. Il existe donc r > 0 tel que B(x, r) E \ F et donc x n / F si n 0.

10 10 CHAPITRE 1. ESPACES TOPOLOGIQUES Montrons la réciproque : si x E et si pour tout n 1, la boule B(x, 1/n) rencontre F, alors on peut choisir x n B(x, 1/n) F et la suite {x n } n 1 converge vers x ce qui fait que x F. Si x E \ F, il existe donc n 0 tel que B(x, 1/n) E \ F. Si P E, alors l adhérence P de P est l intersection des fermés de E qui contiennent P. L intérieur P de P est l union des ouverts de E contenus dans P. La frontière de P est P = P \ P. On dit que P est dense dans E si P = E. On dit que E est séparable s il contient une partie dénombrable et dense. Un point a de E est dit isolé s il existe r > 0 tel que B(a, r) = {a}. L espace E est discret si tous ses points sont isolés. Tout ensemble E peut être muni de la distance donnée par d(x, y) = 0 si x = y et d(x, y) = 1 si x y, pour laquelle il est discret. On dit alors que E est muni de la topologie discrète Fonctions continues Soient (X, d X ) et (Y, d Y ) deux espaces métriques. On dit qu une fonction f : X Y est continue en un point x X si pour tout ε > 0, il existe δ > 0 tel que si d X (x, x ) < δ, alors d Y (f(x), f(x )) < ε. On dit que f est continue si elle est continue en tout x X. Théorème Les propriétés ci-dessous sont équivalentes: 1. f est continue; 2. pour toute suite {x n } n 1 qui converge vers x, la suite {f(x n )} n 1 converge vers f(x); 3. pour tout ouvert U de Y, f 1 (U) est ouvert dans X; 4. pour tout fermé F de Y, f 1 (F ) est fermé dans X. Démonstration. (1) implique (2) : soit {x n } n 1 une suite qui converge vers x, ε > 0 et δ de continuité de f en x. Si d(x n, x) < δ, alors d(f(x n ), f(x)) < ε et donc {f(x n )} n 1 converge vers f(x). (2) implique (3) : si x f 1 (U), montrons qu il existe r > 0 tel que B(x, r) f 1 (U). Si ce n est pas le cas, alors pour tout n, il existe x n B(x, 1/n) (X \ f 1 (U)). La suite {x n } n 1 converge vers x et donc {f(x n )} n 1 converge vers f(x) mais f(x n ) Y \ U qui est fermé, et donc f(x) / U, contradiction. (3) implique (1) : si x X et ε > 0, alors f 1 (B(f(x), ε)) est un ouvert qui contient x. Il existe donc δ > 0 tel que B(x, δ) f 1 (B(f(x), ε)), ce qui implique f(b(x, δ)) B(f(x), ε). (3) et (4) sont équivalents car les fermés sont les complémentaires des ouverts. On dit qu une fonction f : X Y est uniformément continue si pour tout ε > 0, il existe δ > 0 tel que pour tous x, x X vérifiant d X (x, x ) < δ, on a d Y (f(x), f(x )) < ε.

11 1.3. CONNEXITÉ 11 On dit qu une fonction continue f : X Y est un homéomorphisme si f est bijective, et si f 1 est continue. On dit que f est une isométrie si d Y (f(x), f(x )) = d X (x, x ) quels que soient x, x X. Théorème Si (X, d) est un espace métrique, alors il existe un espace vectoriel normé (E, ) et une isométrie i : X E. Démonstration. Soit E l espace des fonctions continues bornées sur X, muni de la norme f X = sup x X f(x). Si y X, posons f y (x) = d(x, y). Comme d(x, y) d(x, z) d(x, y), avec égalité si x = z, on voit que si z X, alors f y f z E et que f y f z X = d(y, z). Si l on fixe a X, l application i : X E donnée par i(y) = f y f a est donc une isométrie Connexité On dit qu un espace métrique (X, d) est connexe si on ne peut pas écrire X = U V où U et V sont deux ouverts non-vides disjoints. Ceci est équivalent à dire que toute fonction continue f : X {0, 1} est constante. Théorème L intervalle [0; 1] de R est connexe. Démonstration. Supposons que [0; 1] = U V où U et V sont deux ouverts disjoints non-vides. Les ensembles U et V sont aussi fermés. Supposons que 0 U, et soit v = inf{x V }. Comme V est fermé, on a v V et donc v 0. L ensemble U contient donc [0; v[ et comme il est lui-même fermé, v U ce qui est une contradiction. Proposition Si E est une partie connexe de X, alors E est aussi connexe. Démonstration. Si f : E {0, 1} est continue, alors sa restriction à E est constante car E est connexe. Comme E est dense dans E, f est aussi constante sur E. Si a X, la composante connexe C(a) de a est l union des parties connexes de X qui contiennent a. Théorème Si a X, la composante connexe de a est connexe et fermée. Démonstration. Ecrivons C(a) = P où P parcourt l ensemble des parties connexes de X qui contiennent a. Si f : C(a) {0, 1} est continue, alors sa restriction à un tel P est constante (car P est connexe) et égale à f(a) (car a P ). Par suite, f est constante égale à f(a) sur C(a). Enfin, C(a) est fermée par la proposition

12 12 CHAPITRE 1. ESPACES TOPOLOGIQUES On dit que X est totalement déconnecté si la composante connexe de tout point est réduite à ce point. On dit que X est connexe par arcs si pour tous a, b X, il existe une fonction continue f : [0; 1] X telle que f(0) = a et f(1) = b. Théorème Si X est connexe par arcs, alors il est connexe. Démonstration. Si X = U V, soit a U et b V. Il existe un chemin continu f : [0; 1] X tel que f(0) = a et f(1) = b. On a alors [0; 1] = f 1 (U) f 1 (V ) ce qui contredit le théorème La réciproque n est pas vraie. On dit que X est localement connexe par arcs si pour tout x X, il existe un voisinage de X (un ouvert de X qui contient x) qui est connexe par arcs. Proposition Si X est connexe et localement connexe par arcs, alors X est connexe par arcs. Démonstration. Si a X, soit G(a) la composante connexe par arcs de a, c est-àdire l ensemble des b X tels qu il existe un chemin continu de a à b. Si X est localement connexe par arcs, alors G(a) est ouvert. L espace X est réunion disjointe des différentes composantes connexes par arcs, qui sont ouvertes et disjointes. Si X est connexe, il n y a donc qu une seule composante connexe par arcs, et X est connexe par arcs Complétude Si (E, d) est un espace métrique, on dit qu une suite {x n } n 1 est de Cauchy si pour tout ε > 0, il existe N 1 tel que si m, n N, alors d(x m, x n ) < ε. Par exemple, si {x n } n 1 converge, alors elle est de Cauchy. Dans ce cas, d(x n, x) < ε si n N. On dit que E est complet si toute suite de Cauchy admet une limite. Par exemple, R n est un espace métrique complet. Si E est complet et si F E, alors F est fermé si et seulement s il est complet. Théorème Si (X, d) est un espace métrique, et si E est l espace des fonctions continues bornées sur X, muni de la norme f X = sup x X f(x), alors E est complet. Démonstration. Soit {f n } n 1 une suite de Cauchy d éléments de E. Montrons qu il existe f E telle que {f n } n 1 converge vers f. Si x X, alors la suite {f n (x)} n 1 est de Cauchy et admet donc une limite dans R. On définit une fonction f : X R par f(x) = lim f n (x).

13 1.4. COMPLÉTUDE 13 Soient ε > 0 et N 1 tels que f n f m X < ε si m, n N. On a f(x) f n (x) = f(x) f m (x) + f m (x) f n (x) et comme f m (x) f(x), on trouve que f(x) f n (x) < ε si n N. Ceci étant vrai pour tout x X, on a f f n X < ε si n N : la suite {f n } n 1 converge uniformément vers f. En particulier, f est bornée. Montrons que f est continue. Si ε > 0, alors il existe N tel que f n f m X < ε si m, n N, et si x X, alors il existe δ > 0 tel que f N (x) f N (x ) < ε si d(x, x ) < δ. On a alors f(x) f(x ) f(x) f N (x) + f N (x) f N (x ) + f N (x ) f(x ). Si d(x, x ) < δ, alors f(x) f(x ) 3ε, et f est bien continue en x. Un espace vectoriel normé complet s appelle un espace de Banach. Théorème Si (E, d) est un espace métrique complet, et si f : E E est une fonction telle qu il existe 0 λ < 1 vérifiant d(f(x), f(y)) λ d(x, y), alors f admet un unique point fixe dans E. Démonstration. Soit x 0 E et x n+1 = f(x n ) si n 0. On a d(x n+1, x n ) = d(f(x n ), f(x n 1 )) λd(x n, x n 1 ) λ n d(x 1, x 0 ). Par suite, d(x n+m, x n ) λ n /(1 λ) d(x 1, x 0 ) et la suite {x n } n 0 est de Cauchy. Comme E est complet, elle admet une limite x dans E, qui est un point fixe de f. Si x et y sont deux points fixes de f, alors d(x, y) = d(f(x), f(y)) λd(x, y) ce qui fait que d(x, y) = 0 et donc que x = y. Si (E, d) est un espace métrique, alors on peut le compléter en y ajoutant les limites des suites de Cauchy de E. Théorème Si (X, d) est un espace métrique, alors il existe un espace métrique complet ( X, d) et une isométrie i : X X, tels que i(x) est dense dans X. L espace X est unique à isométrie près, et si Y est complet et f : X Y est une fonction uniformément continue, alors f se prolonge de manière unique en une fonction f : X Y qui est toujours uniformément continue. Démonstration. Il y a deux manières (au moins) de construire X. La première consiste à poser C = {s = {s n } n 1 où s est une suite de Cauchy de X}. On définit une relation d équivalence sur C par s t si d(s n, t n ) 0, et on pose X = C/, avec la distance donnée par d(s, t) = lim d(s n, t n ). Il faut alors vérifier que ( X, d) est bien un espace métrique complet, ce qui est un peu pénible, et que l application i : X X donnée par i(x) = (x, x,...) est une isométrie telle que i(x) est dense dans X. La deuxième méthode consiste à utiliser le théorème : il existe une isométrie i : X E où E est l espace des fonctions continues et bornées sur X. Par le théorème

14 14 CHAPITRE 1. ESPACES TOPOLOGIQUES 1.4.1, l espace E est complet ce qui fait que si l on pose X = i(x), alors X est complet. Par construction, on a une isométrie i : X X telle que i(x) est dense dans X. Montrons à présent que si f : X Y est uniformément continue, alors elle se prolonge à X. Soient x X la limite d une suite {x n } n 1 d éléments de X, et ε > 0. Il existe δ d uniforme continuité de f, et si d(x m, x n ) < δ, alors d(f(x m ), f(x n )) < ε, ce qui fait que la suite {f(x n )} n 1 est de Cauchy et admet donc une limite dans Y. On définit alors f(x) comme cette limite, et on vérifie que f : X Y est bien définie et toujours uniformément continue. Enfin, si X 1 et X 2 sont deux espaces munis d isométries i 1,2 : X X 1,2 d images denses, alors i 1 se prolonge en une isométrie X 2 X 1 dont l image est dense et complète (car elle est isométrique à X 2 ) ce qui fait que i 1 : X 2 X 1 est surjective et donc bijective. La deuxième construction de X montre que si X est un evn, alors X est un espace de Banach, et que l application i : X X est linéaire Topologie générale Soit X un ensemble; une topologie sur X est un ensemble de parties de X, qu on appelle les ouverts de X, qui satisfait aux conditions suivantes : 1. et X sont ouverts; 2. une intersection finie d ouverts est ouverte; 3. une réunion quelconque d ouverts est ouverte. La donnée d un ensemble X muni d une topologie est un espace topologique. Les parties de X dont le complémentaire est ouvert sont dites fermées. Une base d ouverts est un ensemble B d ouverts de X tel que tout ouvert de X est réunion (quelconque) d éléments de B. Si X est un espace métrique, et qu on définit les ouverts au moyen de la distance comme au 1.1, alors X est un espace topologique. Dans ce cas, une base d ouverts est donnée par l ensemble des boules ouvertes. Si X est un espace topologique et s il existe une distance sur X qui donne la topologie de X, alors on dit que cette topologie est métrisable. Deux distances différentes peuvent bien sûr donner la même topologie sur un espace. On dit que X est séparé si pour tout x y X, il existe un voisinage U de x et un voisinage V de y tels que U V =. Un espace métrique est toujours séparé. Si X = R, disons qu une partie U de R est ouverte si U est vide ou bien si U est le complémentaire d un nombre fini de points. On obtient ainsi une topologie sur R, qui n est pas séparée. C est un cas particulier de la topologie de Zariski.

15 1.5. TOPOLOGIE GÉNÉRALE 15 Si X et Y sont deux espaces topologiques, et si f : X Y est une fonction, alors on dit que f est continue si f 1 (U) est un ouvert de X pour tout ouvert U de Y. De même, les définitions que l on a vues et qui ne s expriment qu en termes d ouverts se généralisent aux espaces topologiques, par exemple les notions de connexité et de connexité par arcs. La notion de complétude est en revanche métrique, ainsi d ailleurs que la notion de partie bornée. Si {x n } n 1 est une suite d un espace topologique X, alors on dit qu elle converge vers x X si pour tout voisinage U de x, il existe N tel que x n U si n N. On dit alors que x est une limite de la suite {x n } n 1. En général, une suite peut admettre plusieurs limites, contrairement au cas métrique. De même, la caractérisation séquentielle des fermés est en générale fausse (il faut remplacer les suites indexées par Z 1 par des suites indexées par des ensembles ordonnés filtrants). Si C est un ensemble de parties de X, la topologie engendrée par C est celle pour laquelle une base d ouverts est donnée par l ensemble des intersections finies d éléments de C. Si X est un ensemble et si on se donne une famille de fonctions {f i : X Y i } i I, alors considérons l ensemble des f 1 i (U i ) où U i est un ouvert de Y i et i I. La topologie engendrée par ces parties de X est appelée la topologie initiale associée à cette famille : c est la topologie de X qui comporte le moins d ouverts possibles et pour laquelle toutes les fonctions f i sont continues. Par exemple, si {X i } i I est une famille d espaces topologiques, alors la topologie produit sur X = i I X i est la topologie qui a pour base d ouverts les parties de X de la forme U i1 U ik i I,i i j X i avec U j ouvert de X j. C est la topologie initiale associée à la famille des projections {π i : X X i } i I. Le seul résultat non trivial de topologie générale que nous verrons dans ce cours est le théorème de Tychonoff, au 2.4.

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17 CHAPITRE 2 ESPACES COMPACTS 2.1. Compacité On dit qu un espace métrique (E, d) est compact si toute suite {x n } n 1 admet une valeur d adhérence. Théorème Un espace métrique (E, d) est compact si et seulement s il est complet et si pour tout r > 0, E est l union d un nombre fini de boules de rayon r. Démonstration. Supposons que toute suite de E admet une valeur d adhérence. Si {x n } n 1 est de Cauchy, et x en est une valeur d adhérence, alors x en est la limite; par suite, E est complet. Soit r > 0 et x 1 E. On construit par récurrence x k+1 E \ B(x 1, r)... B(x k, r). Si ce n est plus possible à l étape k, c est que E = B(x 1, r)... B(x k, r) et on a terminé. Sinon, la suite {x n } n 1 n admet pas de valeur d adhérence car la distance entre deux termes est toujours r, contradiction. Montrons à présent la réciproque. Soit {x n } n 1 une suite de E. L espace E est l union d un nombre fini de boules de rayon 1 et l une d elle, notée B 1, contient donc une infinité de termes de la suite. De même, E est l union d un nombre fini de boules de rayon 1/2 et donc il en existe une, notée B 2, telle que B 1 B 2 contient une infinité de termes de la suite. On construit ainsi par récurrence une suite de boules B m de rayon 1/m telles que B 1... B m contient une infinité de termes de la suite. Pour tout m, on choisit ϕ(m) > ϕ(m 1) tel que x ϕ(m) B 1... B m. La suite {x ϕ(m) } m 1 est de Cauchy, et comme E est complet, elle admet une limite qui est alors une valeur d adhérence de la suite de départ. En particulier, les compacts de R n sont les parties fermées bornées. En général, les parties compactes d un espace complet sont les fermés bornés qui satisfont en plus une condition d uniformité (voir par exemple le théorème ci-dessous). 1. Si E est compact et si F E est fermée, alors F est compacte; 2. Si E et F sont compacts, alors E F l est aussi;

18 18 CHAPITRE 2. ESPACES COMPACTS 3. Si E est compact, alors E est séparable; 4. Si E est compact et si f : E X est continue, alors f(e) est compact; 5. Si E est compact et si f : E R est continue, alors f admet un maximum sur E. Théorème (Heine). Si X est compact, alors toute fonction continue f : X Y est uniformément continue. Démonstration. Si ε > 0, on veut montrer qu il existe δ > 0 de continuité de f valable pour tout x X. Si ce n est pas le cas, alors pour tout n 1, il existe x n, x n X tels que d(x n, x n) < 1/n mais d(f(x n ), f(x n)) ε. Si x est une valeur d adhérence de {x n } n 1, alors c est aussi une valeur d adhérence de {x n} n 1, et on trouve que d(f(x), f(x)) ε, contradiction. Théorème (Poincaré). Si X est compact et si f : X Y est une bijection continue, alors f est un homéomorphisme. Démonstration. Par le (4) du théorème appliqué à f 1, il s agit de montrer que si F est un fermé de X, alors f(f ) est fermé dans Y. Ceci résulte du fait que d une part, F est fermé dans X compact, et donc lui-même compact, et d autre part qu une fonction continue envoie les compacts sur les compacts. Si E est un R-espace vectoriel, on dit que deux normes 1 et 2 sont équivalentes s il existe C > 0 tel que 1 C 2 et 2 C 1. Dans ce cas, l application identité (E, 1 ) (E, 2 ) est un homéomorphisme; si de plus E est complet pour l une des normes, alors il l est aussi pour l autre. Théorème Si E est un R-espace vectoriel de dimension finie, alors toutes les normes sont équivalentes sur E. Démonstration. Choisissons une base {e 1,..., e n } de E et posons x i e i = sup x i. Il suffit de montrer que toute norme est équivalente à. On a x i e i x i e i et donc x C 1 x avec C 1 = e i. Si B = {x E tels que x = 1}, alors B est compacte. L application 1 : B R est continue et elle admet donc un maximum C 2 sur B ce qui fait que x C 2 x. Il suffit dès lors de prendre C = sup(c 1, C 2 ). En particulier, un R-espace vectoriel de dimension finie est complet pour toute norme. Si E est un evn et si F est un sous-espace de E de dimension finie, alors la norme de E induit une norme sur F pour laquelle F est complet, et donc F est fermé dans E. Lemme Si F est un sous-espace vectoriel de dimension finie d un evn E, et si y E, alors il existe z F tel que y z = d(y, F ).

19 2.1. COMPACITÉ 19 Démonstration. On a d(y, F ) y et comme F est fermé dans E, l intersection de F avec la boule fermée de centre y et de rayon y est compacte. La fonction x x y y admet donc un minimum en un point z F. Théorème (Riesz). Si E est un evn et si B = {x E tels que x 1}, alors B est compacte si et seulement si E est de dimension finie. Démonstration. On a déjà vu que B est compacte si E est de dimension finie, reste à voir la réciproque. Il existe x 1,..., x n dans B tels que B B(x 1, 1/2)... B(x n, 1/2). Soit F l espace vectoriel engendré par x 1,..., x n et y E. Montrons que y F. Par le lemme 2.1.5, la distance de y à F est atteinte en un point z F. Si y / F, alors y z > 0 et par construction des x i, il existe i tel que (y z)/ y z B(x i, 1/2). On a alors y (z + y z x i ) < y z /2, et z + y z x i F, ce qui contredit le fait que z minimise la distance de y à F. On a donc y F pour tout y E et donc E = F est de dimension finie. Donnons enfin une autre caractérisation des espaces compacts, c est le théorème de Borel-Lebesgue. Si (E, d) est un espace métrique, alors un recouvrement ouvert de E est un ensemble {U i } i I d ouverts de E tels que E = i I U i. Un sous-recouvrement de {U i } i I est un ensemble {U i } i J où J I, qui recouvre toujours E; on dit qu il est fini si J est fini. On dit que E a la propriété de l intersection finie si et seulement si pour toute famille de fermés {F i } i I telle que l intersection d un nombre fini d entre eux est non vide, l intersection de tous les fermés est elle-même non vide. En passant aux complémentaires, on voit que E a la propriété de l intersection finie si et seulement si tout recouvrement ouvert de E admet un sous-recouvrement fini. Théorème (Borel-Lebesgue). Si (E, d) est un espace métrique, alors E est compact si et seulement si tout recouvrement ouvert de E a un sous-recouvrement fini. Démonstration. Supposons que E est compact, et soit {U i } i I un recouvrement ouvert de E. Montrons qu il existe r > 0 (un nombre de Lebesgue du recouvrement) ayant la propriété que pour tout x E, il existe i I tel que B(x, r) U i. Si ce n est pas le cas, alors pour tout n il existe x n E tel que B(x n, 1/n) n est contenu dans aucun des U i. Si x est une valeur d adhérence de la suite {x n } n 1, alors il existe ε > 0 et i I tels que B(x, ε) U i et alors B(x n, 1/n) U i dès que d(x n, x) + 1/n < ε, contradiction. Montrons à présent que {U i } i I admet un sous-recouvrement fini. Par le théorème 2.1.1, E est la réunion d un nombre fini de boules de rayon r. Chacune est contenue dans un ouvert du recouvrement, et E est alors recouvert par ce nombre fini d ouverts.

20 20 CHAPITRE 2. ESPACES COMPACTS Montrons maintenant que si E a la propriété de l intersection finie, alors il est compact. Si {x n } n 1 est une suite de E et k 1, soit F k l adhérence de {x n } n k. L intersection d un nombre fini des F k est non vide, et il en est donc de même de k 1 F k. Or cet ensemble est précisément l ensemble des valeurs d adhérence de {x n } n Espaces compacts Donnons à présent quelques exemples d espaces compacts. On a vu que dans un R- espace vectoriel normé de dimension finie, les compacts sont les fermés bornés. L ensemble de Cantor est un sous-ensemble de [0; 1] construit de la manière suivante. On part de C 0 = [0; 1] et on construit un ensemble C n par récurrence : à chaque étape, C n est une réunion finie d intervalles fermés, et on obtient C n+1 à partir de C n en remplaçant chaque intervalle [a; b] par [a; (2a + b)/3] [(a + 2b)/3; b]. L ensemble de Cantor C est C = n=1c n. Comme C n+1 = (1/3 C n ) (2/3 + 1/3 C n ) et C 0 = [0; 1], C est aussi l ensemble des nombres réels qui peuvent s écrire sous la forme n=1 a n/3 n avec a n {0, 2}. Tout élément de C s écrit alors de manière unique sous cette forme (par exemple, on a 1 = n=1 2/3n ). L ensemble de Cantor est un espace compact qui a la propriété d universalité suivante. Théorème Si (K, d) est un espace compact, alors il existe une fonction continue surjective f : C K. Démonstration. Comme K est compact, on peut l écrire comme une réunion finie de parties fermées de diamètre 1. qu il y a 2 n 1 Quitte à rajouter des doublons, on peut supposer parties fermées, qu on met arbitrairement en bijection avec {0, 1} n 1. On peut donc écrire K = S1 {0,1} n 1 K S1. Il existe n 2 tel que pour tout S 1, le compact K S1 est la réunion de 2 n 2 parties fermées de diamètre 1/2, de sorte que l on peut écrire K S1 = S2 {0,1} n 2 K S1 S 2. Par récurrence sur k 1, on peut donc écrire K = K S1...S k où S 1... S k {0, 1} n 1 {0, 1} n k et KS1...S k est un fermé de diamètre 1/2 k. Si x C, alors x = n=1 a n/3 n et à x on peut associer la suite S(x) = {a 1 /2, a 2 /2, }, qu on découpe en S = S 1 (x)s 2 (x)..., avec S i (x) de longueur n i. L intersection des compacts K S1 (x)...s k (x) est non-vide (car K est compact) et réduite à un point (car le diamètre de K S1...S k tend vers 0); on appelle f(x) ce point. Si y K, alors pour tout k, on a K S1...S k 1 = K S1...S k et on peut donc construire par récurrence une suite S k (y) telle que y K S1 (y)...s k (y) quel que soit k, ce qui fait que f est surjective. Enfin si k 1 et a n = a n pour tout n n n k, alors f(x) et f(x ) appartiennent tous les deux au même K S1...S k. En particulier, si x x < 1/3 n 1+ +n k, alors d(f(x), f(x )) 1/2 k. Ceci montre que f est continue.

21 2.3. WEIERSTRASS ET STONE 21 Soit (X, d) un espace métrique compact et E l espace des fonctions continues f : X R. On dit qu une partie P de E est équicontinue si pour tout ε > 0, il existe un δ > 0 de continuité, valable en tout point x X pour toute fonction f P. Théorème (Ascoli). Si (X, d) est un espace métrique compact et E est l espace des fonctions continues f : X R, alors une partie P de E est compacte si et seulement si elle est fermée, bornée et équicontinue. Démonstration. Si P est compacte, alors elle est fermée et bornée. Pour montrer qu elle est équicontinue, la preuve est la même que celle du théorème de Heine : étant donné ε > 0, s il n existe pas de δ > 0 correspondant, alors pour tout n 1, il existe f n P et x n, x n X tels que d(x n, x n) < 1/n et f n (x n ) f n (x n) ε. On peut alors trouver une extraction ϕ et f P et x X tels que f ϕ(n) f et x ϕ(n) x et x ϕ(n) x, ce qui fait que f(x) f(x) ε en passant à la limite, contradiction. Montrons à présent qu une partie P fermée, bornée et équicontinue est compacte. Comme P est fermée dans E qui est complet, P est complète et il suffit par le théorème de montrer que pour tout r > 0, P est union d un nombre fini de boules de rayon r. Soit ε > 0 et δ > 0 d équicontinuité pour ε. Comme X est compact, on peut écrire X = i I B(x i, δ) où I est un ensemble fini. Comme P est borné, il existe un intervalle [a; b] de R tel que si f P et x X, on a f(x) [a; b]. On peut alors écrire P (X) j J ]y j ε; y j + ε[ où J est un ensemble fini. Si σ : I J est une application, disons que f P est de type σ si f(x i ) ]y σ(i) ε; y σ(i) + ε[ (une fonction peut être de plusieurs types). Pour chaque σ, choisissons une fonction f σ de type σ s il en existe une. Si f P est de type σ et x X appartient à B(x i, δ), alors : f(x) f σ (x) f(x) f(x i ) + f(x i ) f σ (x i ) + f σ (x i ) f σ (x) < 4ε, ce qui fait que P est inclus dans σ:i J B(f σ, 4ε). Il suffit dès lors de prendre ε = r/4. Il existe plusieurs résultats de ce type. Par exemple, si l 1 (R) désigne l espace des suites x = {x n } n 1 telles que n 1 x n converge, muni de la norme x 1 = n 1 x n, alors l 1 (R) est un espace de Banach, et une partie P de l 1 (R) est compacte si et seulement si elle est fermée, bornée et équisommable (pour tout ε > 0, il existe N 1 tel que n N x n < ε quel que soit x P ) Weierstrass et Stone Le théorème de Weierstrass, et sa généralisation le théorème de Stone concernent l approximation des fonctions continues sur un compact.

22 22 CHAPITRE 2. ESPACES COMPACTS Théorème (Weierstrass). Si I = [a; b], alors toute fonction continue sur I est une limite uniforme de fonctions polynomiales. Démonstration. Si n 1, alors (x + y) n = n ( n k=0 k) x k y n k. En posant y = 1 x, on trouve que n ( n k=0 k) x k (1 x) n k = 1; en dérivant deux fois et en réarrangeant les termes, on trouve que n ( n k=0 k) x k (1 x) n k (k nx) 2 = nx(1 x). Pour montrer le théorème, on se ramène tout de suite au cas où I = [0; 1]. Soit f : I R continue et ε > 0. Comme f est uniformément continue, il existe δ > 0 tel que si x y < δ, alors f(x) f(y) < ε. L ensemble {(x, y) I 2 tels que x y δ} est compact, donc la fonction (x, y) f(x) f(y) / x y 2 y admet un maximum K δ. On en déduit que f(x) f(y) < ε + K δ x y 2 quels que soient x, y I. Si B n (x) = n ( n k=0 k) x k (1 x) n k f(k/n), alors n ( ) n B n (x) f(x) = x k (1 x) n k (f(k/n) f(x)) k k=0 n ( ) n < x k (1 x) n k (ε + K δ k/n x 2 ) k k=0 < ε + K δ /4n, puisque x(1 x) 1/4, et donc il existe N 1 tel que B n (x) f(x) < ε si n N. Le théorème de Stone généralise ce résultat à un compact arbitraire. Si (X, d) est un espace compact et si A est un ensemble de fonctions continues sur X à valeurs dans R, alors on dit que A est une algèbre si A est stable par addition, multiplication, et contient les fonctions constantes. On dit que A sépare les points si pour tous x, y X, il existe f A telle que f(x) f(y). Théorème (Stone). Si (X, d) est un espace compact et si A est une algèbre de fonctions continues à valeurs dans R qui sépare les points, alors toute fonction continue sur X est une limite uniforme de fonctions appartenant à A. Démonstration. Il s agit de montrer que l adhérence A de A dans l ensemble C 0 (X, R) est C 0 (X, R) tout entier. Si f A, alors f(x) est un compact de R et donc inclus dans un intervalle [a; b]. Par le théorème de Weierstrass, la fonction x x est limite uniforme de polynômes sur [a; b], et la fonction f appartient donc à A. Si f, g A, alors min(f, g) = (f + g)/2 f + g /2 et donc min(f, g) et max(f, g) appartiennent à A. Soit f : X R une fonction continue et ε > 0. Si x, y X, alors il existe h x,y A telle que h x,y (x) = f(x) et h x,y (y) = f(y). Comme h x,y (y) = f(y), il existe un ouvert U y contenant y tel que h x,y (z) < f(z) + ε si z U y. En écrivant X = y X U y et en utilisant le théorème de Borel-Lebesgue, on trouve n points y 1,..., y n tels que X = U y1... U yn.

23 2.4. LE THÉORÈME DE TYCHONOFF 23 Posons h x = min(h x,y1,..., h x,yn ). On a alors h x (x) = f(x) et h x (z) < f(z) + ε quel que soit z X. Pour tout x E, il existe à présent un ouvert V x contenant x tel que h x (z) > f(z) ε si z V x. On utilise de nouveau le théorème de Borel-Lebsegue pour trouver x 1,..., x m tels que X = V x1... V xm. Si l on prend h = max(h x1,..., h xm ), alors f(z) ε < h(z) < f(z) + ε quel que soit z X. Ceci montre bien que A = C 0 (X, R). On pourra appliquer ce théorème aux espaces suivants : les polynômes en X 1,, X n sur [a; b] n R n, les polynômes trigonométriques sur S 1 et sur les tores (S 1 ) n Le théorème de Tychonoff Rappelons que si {X i } i I est une famille d espaces topologiques, alors la topologie produit sur X = i I X i est la topologie qui a pour base d ouverts les parties de X de la forme U i1 U ik i I,i i j X i avec U j ouvert de X j. C est la topologie initiale associée à la famille des projections {π i : X X i } i I. Le seul résultat non trivial de topologie générale que nous voyons dans ce cours est le théorème de Tychonoff. Théorème (Tychonoff). Si {X i } i I est une famille d espaces topologiques compacts, alors i I X i muni de la topologie produit est compact. Démonstration. Nous allons montrer que si l on se donne une famille F de fermés de X = i I X i qui a la propriété de l intersection finie, alors l intersection des éléments de F est non vide. Si F et F sont deux familles de parties de X qui ont la propriété de l intersection finie, alors disons que F F si F F. Le lemme de Zorn implique qu il existe une famille maximale G de parties de X qui a la propriété de l intersection finie et qui contient F. En particulier, si G 1, G 2 G, alors G 1 G 2 G, et si P est une partie de X telle que P G est non vide pour tout G G, alors P G. Pour tout i I, la famille de fermés {π i (G)} G G a la propriété de l intersection finie et contient donc un point x i X i. Montrons que x = {x i } i I appartient à tout F F. Soit J une partie finie de I et U un voisinage de x dans X de la forme U = j J U j i I\J X i. Chaque U j contient x j et donc un point de π j (G), quel que soit G G par densité. Si G G, on en déduit que π 1 j (U j ) = U j i j X j contient un point de G, et donc que G π 1 j (U j ) est non vide. Par maximalité de G pour la propriété de l intersection non vide, on en déduit que π 1 j (U j ) G. Ceci implique que U G et donc U F est non vide pour tout F F. Si F F est fixé, alors ceci montre que tout voisinage de x rencontre F et donc que x F, ce qu on voulait montrer.

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25 CHAPITRE 3 ESPACES DE BANACH 3.1. Le théorème de Baire Le théorème de Baire est un outil puissant de construction d éléments d un espace métrique (comme on le verra sur les applications). Théorème (Baire). Si (E, d) est un espace métrique complet, et si {U n } n 1 est une famille dénombrable d ouverts denses, alors n 1 U n est dense dans E. Démonstration. Rappelons que si {F n } n 1 est une famille de fermés emboîtés dont le diamètre tend vers 0, alors n 1 F n est non vide car E est complet. Si x E et ε > 0, montrons que n 1 U n contient un point y tel que d(x, y) < ε. Comme U 1 est dense dans E, il existe x 1 U 1 et r 1 > 0 tels que B(x 1, r 1 ) B(x, ε) U 1. Si n 1, alors comme U n+1 est dense dans E, il existe x n+1 U n+1 et r n /2 r n+1 > 0 tels que B(x n+1, r n+1 ) B(x n, r n ) U n+1. La suite {B(x n, r n )} n 1 est une famille de fermés emboîtés dont le diamètre tend vers 0, et son intersection contient donc un point y, qui vérifie alors d(x, y) < ε. En passant aux complémentaires, on trouve qu une union dénombrable de fermés d intérieur vide est elle-même d intérieur vide. On appelle G δ (Gebiet Durchschnitt) une partie de E qui est une intersection dénombrables d ouverts, et F σ (Somme de Fermés) une union dénombrable de fermés. Le théorème de Baire affirme donc que dans un espace complet, l ensemble des G δ denses est stable par intersection dénombrable. Remarque Comme le théorème de Baire s énonce en termes d ouverts et de densité, il est aussi vrai dans des espaces métriques qui ne sont pas complets mais sont homéomorphes à des espaces métriques complets (un tel espace est dit topologiquement complet).

26 26 CHAPITRE 3. ESPACES DE BANACH Baire a montré le théorème qui porte son nom afin d établir (entre autres) le résultat suivant : une fonction f : [0; 1] R est une limite simple de fonctions continues si et seulement si la restriction de f à tout fermé de [0; 1] possède un point de continuité. Voici un exemple d application du théorème de Baire. Exemple Soit E = C 0 ([0; 1], R) et U n = {f E telles que pour tout x [0; 1], il existe y [0; 1] vérifiant f(y) f(x) > n y x }. L ensemble U n est ouvert et dense dans E, donc n 1 U n est dense dans E. On en déduit que l ensemble des fonctions f E qui ne sont dérivables en aucun point contient un G δ dense de E Espaces de Banach Les espaces de Banach sont les espaces vectoriels normés complets. Rappelons que si E et F sont deux espaces de Banach, et si f L(E, F ), alors f est continue si et seulement s il existe C 0 tel que f(x) F C x E pour tout x E. On pose alors f = sup x 0 f(x) F / x E. Le théorème ci-dessous, dû à Banach et Steinhaus mais aussi à Hahn, s appelle aussi le principe de la borne uniforme. Théorème (de Banach-Steinhaus). Soit E un espace de Banach, F un evn, et {f i } i I une famille d applications linéaires continues f i : E F. Ou bien il existe M tel que f i M pour tout x E, ou bien il existe un G δ dense A de E tel que pour tout x A, sup i I f i (x) = +. Démonstration. Soit F n = {x E tels que f i (x) n pour tout i I}, qui est un fermé de E. Si n 1 F n est d intérieur vide, alors on peut prendre A = E \ n 1 F n qui est un G δ dense. Sinon, le théorème de Baire implique que l un des F n est d intérieur non vide, et contient donc une boule de centre a et de rayon r. On a alors f i (a + yr) n si y < 1 et donc f i (y) 2n/r. On peut alors prendre M = 2n/r. Exemple Soit E = F l espace des fonctions continues f : R R périodiques de période 2π, et S n : E E l opérateur qui à f associe x n k n f(k)e ikx, la somme partielle de sa série de Fourier. On a aussi (S n f)(x) = 1 2π π π sin(n + 1/2)t f(x t) dt. sin(t/2) Chaque S n est une application linéaire continue. En prenant sin(n + 1/2)x 0 x π(1 1/(2n + 1)), f n (x) = sin(n + 1/2)x π(1 1/(2n + 1)) x 0, 0 sinon,

27 3.2. ESPACES DE BANACH 27 on trouve que (S n f n )(0) + alors que f n = 1, et donc que les S n ne sont pas uniformément bornés. Le théorème de Banach-Steinhaus implique alors qu il existe un G δ dense A de E tel que pour tout f A, on a sup n 1 S n (f) = +. Théorème (de l application ouverte). Si E et F sont deux espaces de Banach, et si f : E F est une application linéaire continue et surjective, alors il existe r > 0 tel que f(b E (0, 1)) B F (0, r). Démonstration. Comme f est surjective, on a F = n 1 f(b E (0, n)) et le théorème de Baire implique que l un des f(b E (0, n)) est d intérieur non vide. Il existe donc y F et s > 0 tels que B F (y, s) f(b E (0, 1)). Il existe alors une suite {x n } n 1 de B E (0, 1) telle que f(x n ) y et si b B(0, s), alors il existe une suite {x n} n 1 de B E (0, 1) telle que f(x n) y + b. La suite {x n x n} n 1 est alors une suite de B E (0, 2) telle que f(x n x n) b et donc B F (0, s) f(b E (0, 2)). Si y B(0, s/2), alors il existe x 1 B E (0, 1) tel que y f(x 1 ) < s/4. Comme y f(x 1 ) B(0, s/4), il existe x 2 B E (0, 1/2) tel que y f(x 1 ) f(x 2 ) < s/8. On construit ainsi par récurrence une suite {x n } n 1 telle que x n B E (0, 2 1 n ) et y f(x 1 ) f(x n ) < s/2 n+1. La série n 1 x n converge vers x B E (0, 2) tel que y = f(x) et on peut donc prendre r = s/4. Corollaire Si E et F sont deux espaces de Banach, et si f : E F est une application linéaire continue et bijective, alors f 1 : F E est continue. Théorème (du graphe fermé). Si E et F sont deux espaces de Banach, et si f : E F est une application linéaire, alors f est continue si et seulement si son graphe est fermé dans E F. Démonstration. Si f est continue, alors G est le noyau de l application continue f : E F F donnée par (x, y) y f(x) et est donc fermé dans E F. Montrons donc que si G est fermé dans E F, alors f est continue. Si G est fermé dans l espace complet E F, alors il est lui-même complet et c est donc un espace de Banach. L application π : E F E donnée par (x, y) x est continue et sa restriction à G est bijective. Son inverse est continue par le théorème de l application ouverte, et donc f : E F est continue. Pour montrer qu une application linéaire f : E F est continue, il suffit donc de vérifier que pour toute suite {x n } n 1 telle qu il existe x et y vérifiant x n x et f(x n ) y, on a y = f(x).

28 28 CHAPITRE 3. ESPACES DE BANACH Exemple Soit E un sous-espace de C 0 ([a; b], R) fermé pour qui ne contient que des fonctions C 1 et soit D : f f. Le graphe de D : E C 0 ([a; b], R) est fermé par le théorème 4.4.3, et D est donc continue. Il existe alors une constante C > 0 telle que f C f et la boule unité fermée de E est donc équicontinue. Le théorème d Ascoli implique qu elle est compacte, et le théorème de Riesz dit alors que E est de dimension finie Le dual d un espace de Banach Rappelons qu une forme linéaire f : E R est continue si et seulement si elle est bornée. Le résultat ci-dessous est le théorème de Hahn-Banach, concernant le prolongement des formes linéaires continues. Théorème Si E est un evn, si V est un sous-espace de E et si f : V R est une forme linéaire continue sur E, alors f se prolonge en une forme linéaire continue f : E R, avec f E = f V. Démonstration. Quitte à multiplier f par un scalaire, on peut supposer que f V = 1. Soit w E \ V, de telle sorte que tout élément de V + Rw s écrit sous la forme v + tw avec t R. Montrons que l on peut trouver a R tel que si l on pose f(w) = a, alors f : V + Rw R ainsi définie est toujours de norme 1. Il faut pour cela que f(v) a v w quel que soit v V, c est-à-dire que a I(v) = [f(v) v w ; f(v) + v w ]. Si v, v V, alors f(v v ) v v v w + v w et donc les intervalles I(v) ont une intersection non vide quand v parcourt V, ce qui fait que l on peut étendre f à V + Rw comme souhaité. Si E est séparable, et si {x n } n 1 est une sous-suite dense de E, alors posons V n = V + Rx Rx n, de telle sorte que n 1 V n est dense dans E. Le raisonnement précédent montre que f s étend de V n à V n+1 et donc à n 1 V n en une forme linéaire qui est toujours de norme 1, ce qui permet de montrer le théorème en prolongeant par uniforme continuité. Si E n est pas séparable, on remplace la récurrence par l utilisation du lemme de Zorn. Corollaire Si E est un evn et si P est une partie de E, alors un point y E appartient à l adhérence de Vect(P ) si et seulement si f(y) = 0 pour toute forme linéaire continue f : E R qui est nulle sur P. Démonstration. Si f est nulle sur P, alors elle est nulle sur l adhérence de Vect(P ) par linéarité et continuité. Supposons que y n appartient pas à F, l adhérence de Vect(P ).

29 3.3. LE DUAL D UN ESPACE DE BANACH 29 L espace F est fermé dans F Ry, puisqu il est fermé dans E. La forme linéaire f : F Ry R donnée par f(g + ay) = a est donc continue, et par le théorème de Hahn- Banach, elle se prolonge en une forme linéaire continue f : E R telle que f(y) = 1 et f est nulle sur P. Si E est un evn, alors le dual de E est l espace E des formes linéaires continues f : E R. On peut munir cet espace de la norme f E = sup x E =1 f(x), ce qui fait de E un espace de Banach. Le théorème de Hahn-Banach implique que E sépare les points de E : si x 1 x 2 E, alors il existe une forme linéaire continue f : E R telle que f(x 1 ) f(x 2 ). Si E est un espace de Banach et x E, alors f f(x) est une forme linéaire sur E et on en déduit une application E E. Cette application est une isométrie par le théorème de Hahn-Banach. On dit que E est réflexif si cette application est un isomorphisme. C est par exemple le cas pour un espace de Hilbert, comme on le verra au chapitre suivant. Exemple Soit l l espace des suites bornées a = {a n } n 1, muni de la norme a = sup n 1 a n, soit c 0 le sous-espace de l constitué des suites tendant vers 0, et pour 1 p < +, soit l p l espace des suites a = {a n } n 1 telles que n 1 a n p < +, muni de la norme a p = ( n 1 a n p ) 1/p. On a alors (c 0 ) = l 1, (l p ) = l q si 1 p < + où 1/p + 1/q = 1, et (l ) contient l 1 mais est strictement plus gros. Les espaces l p pour 1 < p < + sont donc réflexifs. Lemme Si E est un espace de Banach et si E séparable. est séparable, alors E est Démonstration. Soit {f n } n 1 une suite dense de E \{0} et x n E de norme 1 tel que f n (x n ) 1/2 f n. Si f E est nulle sur {x n } n 1, alors comme la suite {f n } n 1 est dense dans E, il existe une extraction ϕ telle que f ϕ(n) f. On a alors f(x ϕ(n) ) = 0 et 1/2 f ϕ(n) f ϕ(n) (x ϕ(n) ) = (f f ϕ(n) )(x ϕ(n) ) 0, ce qui fait que f = 0. Le corollaire implique que E est l adhérence de l espace vectoriel engendré par {x n } n 1. Il reste à remarquer qu un espace vectoriel est séparable si et seulement s il contient une suite dénombrable qui engendre un sous-espace dense. L étude du dual E d un espace de Banach E constitue une partie importante de l analyse fonctionnelle. Grâce à E, on peut définir sur E une topologie dite topologie faible. C est la topologie initiale associée à la famille de formes linéaires continues f : E R. Une base d ouverts de E pour la topologie faible est donc donnée par les ensembles qui sont une intersection finie de parties de E de la forme U(a, b, f) = {x E tels que a < f(x) < b}, où a < b et où f E. Si E est de dimension infinie, alors toute

30 30 CHAPITRE 3. ESPACES DE BANACH intersection finie non vide de U(a, b, f) contient des espaces affines de dimension infinie, et la topologie faible est donc très différente de la topologie d evn de E. Si {x n } n 1 est une suite de E et x E, alors on dit que {x n } n 1 converge faiblement vers x si {x n } n 1 converge vers x pour la topologie faible. C est équivalent à demander que f(x n ) f(x) pour tout f E. On note alors x n x. Lemme Si x n x, alors x lim inf x n. Démonstration. Le théorème de Hahn-Banach nous donne une forme linéaire f E de norme 1 telle que f(x) = x. On a alors x = f(x) = lim f(x n ) lim inf x n. Exemple Si E = l p (R) avec 1 < p <, et si x n = (0,..., 0, 1 n, 0,...), alors x n = 1 mais x n 0. Théorème Si E est un espace de Banach séparable réflexif, alors B = {x E tels que x 1} est séquentiellement compacte pour la topologie faible. Démonstration. Il s agit de montrer que si {x n } n 1 est une suite de B, alors il existe une extraction ϕ et x B tels que f(x ϕ(n) ) f(x) quel que soit f E. Comme E est réflexif, la proposition implique que E est séparable. Soit donc {f k } k 1 une suite dense de E. Il existe une extraction ϕ 1 et y 1 R tels que f 1 (x ϕ1 (n)) y 1 R. De même, si k 1, alors il existe une extraction ϕ k et y k R tels que f k (x ϕ1 ϕ k (n)) y k. Si l on pose ϕ(n) = ϕ 1 ϕ n (n), alors f k (x ϕ(n) ) y k quel que soit k 1. Par densité, on trouve que si f E, alors la suite {f(x ϕ(n) )} n 1 converge vers une limite, notée y(f). L application f y(f) est une forme linéaire de norme 1 sur E, et elle est donc de la forme f f(x) pour un unique x E, vérifiant x 1, puisque (E ) = E. Ce résultat de compacité explique l introduction de la topologie faible, puisqu en pratique il est commode de disposer d autant d espaces compacts que possible Espaces de Hilbert Un espace de Hilbert est un espace de Banach E, dont la norme provient d un produit scalaire,, c est-à-dire que x = x, x. Rappelons l inégalité de Cauchy-Schwarz x, y x y, et la loi du parallélogramme x y 2 + x + y 2 = 2( x 2 + y 2 ). Proposition (projection orthogonale). Si C est une partie convexe fermée de E, et si x E \ C, alors il existe un et un seul c C tel que x c = d(x, C).

31 3.4. ESPACES DE HILBERT 31 Démonstration. Soit m = d(x, C) et soit {c n } n 1 une suite de points de C tels que x c n m. Soit ε > 0 et N 0 tel que m x c n m + ε si n N. La loi du parallélogramme appliquée aux deux vecteurs c n x et c m x nous donne c n c m 2 4(m + ε) 2 4 x c 2 n + c m 2 8mε + 4ε 2. La suite {c n } n 1 est donc de Cauchy et converge vers c C tel que x c = m. Si x c 1 = x c 2 = m, alors la loi du parallélogramme appliquée à x c 1 et x c 2 donne c 1 c et donc c 1 = c 2. Cette proposition est en générale fausse dans un espace de Banach qui n est pas de Hilbert. Si P est une partie de E, alors P = {x E tels que x, p = 0 pour tout p P } est un sous-espace vectoriel fermé de E. Proposition Si V est un sous-espace vectoriel fermé de E, alors E = V V. Démonstration. Il est clair que V V = {0} et il faut montrer que V + V = E. Si x E, alors par la proposition 3.4.1, il existe v V tel que x v = d(x, V ). Si w V, alors la fonction t x (v + tw) 2 admet un minimum en t = 0 et donc x v, w = 0. On en déduit que x v V et donc que x = v + (x v) V + V. Cette proposition montre que tout sous-espace fermé de E admet un supplémentaire fermé. Ce résultat est faux en général dans un espace de Banach; d ailleurs, un théorème de Lindenstrauss et Tzafriri dit que si tout sous-espace fermé d un espace de Banach E admet un supplémentaire fermé, alors E est isomorphe (mais pas isométrique!) à un espace de Hilbert. Si y E, alors x x, y est une forme linéaire sur E, et on a donc une application linéaire E E. Cette application est en fait un isomorphisme. Théorème Si E est un espace de Hilbert, et si f E, alors il existe y E tel que f(x) = x, y. Démonstration. Soit F = ker(f) de telle sorte que F est un sous-espace de codimension 1 de E, et z F tel que f(z) = 1. Si l on pose y = z/ z 2 et g(x) = x, y, alors f = g = 0 sur F, et g(z) = 1 = f(z) ce qui fait que f = g sur E = F F. En particulier, un espace de Hilbert est réflexif. On note pr V : E V la projection orthogonale sur V parallèlement à V. Si V est de dimension finie et si v 1,..., v n en est une base orthogonale, alors pr V (x) = n i=1 x, v i v i. Une base de Hilbert de E est une famille orthogonale {e i } i I qui engendre un sousespace vectoriel dense de E. Si E est séparable de dimension infinie, alors E admet une