Processus stochastiques et fiabilité des systèmes

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1 Christiane Cocozza-Thivent Processus stochastiques et fiabilité des systèmes Springer

2 Table des Matières Avant-Propos Terminologie et notations VI XIV 1 Introduction à la fiabilité Mesures de performances Taux de hasard, de défaillance, de réparation Les formules de base Taux de défaillance monotone Loi NBU Deux familles de lois classiques en fiabilité Généralisation de la notion de taux de hasard Simulation Simulation d'une variable aléatoire de densité donnée Simulation d'une variable aléatoire de taux de hasard donné Ordre stochastique Exercices 18 1 Analyse statistique 21 2 Processus de Poisson > Processus de Poisson homogène sur R Définition et propriétés Conséquences pour la loi de Poisson Résultats asymptotiques Processus de Poisson non homogène sur R Définitions Constructions Propriétés générales Cas d'une intensité diffuse Lois des instants d'occurrence Retour sur le changement de temps Nouvelles caractérisations du processus de Poisson Processus de Poisson sur R k Exercices 58

3 TABLE DES MATIERES IX 3 Processus de Poisson et fiabilité Pourquoi le processus de Poisson Observation sur [0,t] Cas d'un processus de Poisson homogène Une estimation de la fiabilité dans le cas général Cas d'un processus de Weibull Cas de p processus de Weibull indépendants Observation des n premiers points Cas d'un processus de Poisson homogène Cas d'un processus de Weibull Tests Un test d'homogénéité non paramétrique Un test paramétrique Test de Laplace Exercices 85 4 Processus ponctuels et martingales Introduction Compensateur d'un processus de comptage Cas d'un processus ponctuel réduit à un point Cas d'un processus ponctuel simple Changement de temps Vraisemblance Convergence vers un processus de Poisson Convergence vers un processus gaussien Convergence vers une variable gaussienne Convergence d'une suite de processus Exercices Processus ponctuels et fiabilité Estimateur de Nelson-Aalen... / Heuristique de sa construction Quelques propriétés Comportement asymptotique Bibliographie succinte sur le lissage Estimateur de Kaplan-Meier Etude de quelques cas particuliers Cas général Comportement asymptotique Estimation paramétrique Consistance Normalité asymptotique Exemples Modèle de Cox 151

4 X TABLE DES MATIÈRES II Analyse prévisionnelle Processus de renouvellement Renouvellement simple Renouvellement à délai Propriétés Processus de renouvellement stationnaire Quelques inégalités Résultats généraux Résultats complémentaires pour des lois particulières Superposition Processus de renouvellement alterné Théorème de renouvellement Théorème de Blackwell Extension aux fonctions directement Riemann intégrables Equations de renouvellement Exemples Propriétés Applications Cas où la loi est étalée Nouvelle construction et applications Construction N Cas d'un taux de défaillance décroissant Cas d'un taux de défaillance croissant Processus régénératif Exercices Quelques modélisations de la structure d'un système Diagramme de fiabilité Représentations de la fonction de structure Arbre de défaillance Coupes minimales > Quelques mots sur les BDD Calculs associés Indisponibilité Facteurs d'importance Nombre moyen de défaillances et MTBF Fiabilité Factorisation Processus markovien de sauts Les propriétés de base Définitions Matrice génératrice Equations de Chapman-Kolmogorov Propriété de Markov 252

5 TABLE DES MATIERES XI Propriété de Markov faible Propriété de Markov forte Récurrence et transience Loi stationnaire Caractérisation Autres propriétés Théorèmes limites Constructions Constructions de base Méthode d'uniformisation Martingales associées Agrégation d'états Couplage et ordre stochastique Exercices Processus de Markov et fiabilité Modélisation Composant élémentaire Sous-systèmes et composants indépendants Dépendances fonctionnelles Mode commun Macro-états Composants en série et en parallèle Calcul des grandeurs de fiabilité Disponibilité Loi stationnaire et disponibilité asymptotique Temps moyens de fonctionnement Temps de séjour cumulé et nombres moyens de pannes et de réparations sur un intervalle donné Fiabilité Taux de défaillance Comparaison de systèmes A propos du taux de Vesely Différentes expressions du taux de défaillance Majoration du taux de défaillance asymptotique Majoration de l'erreur relative entre les deux taux Exercices Processus semi-markovien Définitions et premières propriétés Processus de renouvellement markovien Propriété de Markov Propriété de Markov aux instants de saut Propriété de Markov aux instants d'entrée Lois marginales du processus semi-markovien Equations d'états 346

6 XII TABLE DES MATIÈRES Loi limite A propos de stationnante Equations de renouvellement markovien Fonctions de renouvellement associées à un processus de renouvellement markovien Les équations et leurs solutions Convergence de la solution Application à un problème de délai Processus semi-régénératif Grandeurs de fiabilité Disponibilité Durées moyennes Fiabilité Taux de défaillance asymptotique Sur le produit de processus semi-markoviens Exercices 366 III Appendices 369 A Intégrale de Stieltjés 371 A.l Définition dans le cas d'une fonction croissante A.2 Quelques formules utiles 372 A.3 Fonctions à variation bornée 375 B Intervalles de confiance 377 B.l Introduction 377 B.2 Construction pratique 378 B.3 Exemples C Statistiques classiques 381 Cl Introduction ^ 381 C.2 Cas se ramenant à un échantillon 383 C.2.1 Plan sans censure ni réparation 383 C.2.2 Plan multicensuré de type C.3 Plan de type 1 sans réparation 385 C.4 Plan de type 1 avec réparation 386 C.5 Plan de type 2 sans réparation 387 C.6 Plan de type 2 avec réparation 389 D Convergence de mesures 391 E Transformée de Laplace 394 ~ E.l Transformée de Laplace de mesures positives 394 E.l.l Cas des mesures bornées 394 E.l.2 Extension aux mesures non bornées 395

7 TABLE DES MATIERES XIII E.2 Transformée de Laplace de fonctions 396 E.3 Quelques transformées de Laplace usuelles 397 E.4 Inversion 397 E.5 Théorèmes taubériens 398 F Quelques résultats sur les martingales 401 F.l Martingales 401 F.2 Martingales à variation bornée 404 F.2.1 Processus prévisibles 404 F.2.2 Processus croissants associés 405 F.2.3 Sur la terminologie 406 F.2.4 Quelques propriétés 407 F.3 Quelques résultats généraux 409 F.4 Martingales locales 410 F.4.1 Localisation 410 F.4.2 Propriétés générales des martingales locales 412 F.4.3 Deux résultats de convergence 414 F.4.4 Martingale et martingale locale 415 F.5 Martingales locales à variation bornée 416 F.5.1 Quelques résultats généraux 416 F.5.2 Somme de sauts compensés 418 G Caractérisation par martingales 421 Bibliographie 425 Index 432